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几类非线性系统的动力学分析 摘要 非线性系统动力学，是非线性科学的重要研究内容，自上个世纪七十年 代以来，非线性系统的动力学分析已经成为一个重要的学科分支和热门研究 领域。基因网络是复杂的非线性动力系统，具有稳定性、层次性等一系列非 线性系统的特性；l o t k a - v o l t e r r a 系统是生态学中著名的捕食一被捕食模型，研 究生物圈中的物种是否稳定，持久，具有非常重要的实际意义；人工神经网 络是模拟人的脑神经功能而提出的，它具有自主学习能力、能适应复杂环境 和多目标控制的要求，引起人们广泛的关注，并在许多领域中得到应用。如 今，非线性科学已经成为脑科学数理科学，信息科学，控制科学，生态学、 分子生物学等领域研究和探讨的一门活跃的边缘性交又学科 本文基于l y a p u n o v 泛函方法、矩阵理论、不等式技巧，泛函微分方程理 论等，对几类非线性系统的动力学行为进行了深入的研究，具体包括网络的 同步、系统的稳定性、周期解的存在性与唯一性等。全文由七个部分组成： 首先，在绪论中分别对基因网络、l o t k a - v o l t e r r a 系统和神经网络的发展和 研究现状进行了概括，同时介绍了主要研究内容和创新点。 第二章，提出了一类时滞耦合基因网络模型，利用l y a p u n o v 方法和线性 矩阵不等式( l m i ) 技术，给出了j 个时滞耦合的基因振子全局指数同步的准 则作者首次将时滞引入到基因网络的同步研究中，所得结论推广并改进了 文献中的部分结果 第三章，基于l y a p u n o v 方法和l m i 技术，研究了一类竞争性l o t k a - v o l t e r r a 系统，给出了两种群竞争性系统的正平衡点指数稳定的充分条件，数值仿真 表明我们的结论是有效的 第四章，研究了中立型神经网络模型在第一节讨论了中立型区间神经 网络的鲁棒稳定性；第二节将反应扩散项引入中立型时滞神经网络，通过构 建适当的l y a p u n o v 泛函并利用l m i 技术，得到了依赖时滞和空间测度的稳定 性条件，所给判据与其它文献的结果相比更具广泛性。 第五章，提出了一类具有脉冲影响和反应扩散项的神经网络模型，利用 l y a p n n o v 方法和脉冲时滞微分不等式，给出了该模型平衡点全局指数稳定的 判据和指数收敛速率的估计。我们不仅在模型上作了推广( 首次同时考虑了 脉冲和反应扩散的影响) ，而且所得主要判据是以l m i 形式给出的，易于用 m a t l a b 中的l m i 工具箱来验证。 第六章，考虑了一类二阶时滞h o p f i e l d 神经网络模型，借助不等式技巧、s c h u r 补引理和l y a p u n o v 方法，得到了一些用来判定此类神经网络是全局指数稳定 的充分条件，并讨论了周期解的存在性和稳定性，这为高阶神经网络的设计 和应用提供了理论依据。 最后一章，对论文进行了总结，并对今后的研究方向进行了展望。 关键词：神经网络，l o t k a - v o l t e r r a 系统，基因网络，时滞，脉7 中，反应扩 散，平衡点，稳定性，周期解，鲁棒性，同步，l y a p u n o v 泛函，线性矩阵不等 式，脉冲时滞微分不等式。 d y n a m i c sa n a l y s i sf o rs e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a r s y s t e m s a b s t r a c t d y n a m i c a lb e h a v i o ro fn o n l i n e a rs y s t e m si sa ni m p o r t a n tp a r to fn o n l i n e a rs c i e n c e s i n c e t h e1 9 6 0 s ，t h ed y n a m i ca n a l y s i so fn o n l i n e a rs y s t e mh a sb e c o m ea ns i g n i f i c a n ts u b j e c ta n d i n t e r e s t i n gr e s e a r c h a r e a g e n e n e t w o r k i sa c o m p l e x d y n a m i c a l m o d e l w i t has e r i e s o f n o n l i n e a r t r a i t s ，s u c h r o b u s t n e s s h i e r a r c h y , a n d 8 0o n l o t k a - v o l t e r r as y s t e mi st h ef a m o u sp r e d a t o r - p r e ym o d e li nt h ee c o l o g i c a ln e t w o r k ，w h e t h e rt h es p e c i e se x i s t i n gs t a b l ya n dp e r m a n e n t l yi s o fs i g n i f i c a n c ei np r a c t i c e a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r ki si n t r o d u c e dt oi m i t a t et h ef u n c t i o n so f t h eh u m a n b r a i n ，a n dh a v em a n ya p p l i c a t i o n si nc o m p l e xc o m m u n i t i e s ，m u l t i - o b j e c t i v ec o n t r o l d u et oi t sp o w e r f u ls e l f - s t u d y i n g i th a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o n so fm a n yr e s e a r c h e r sf o rt h e i r i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s ，n o w ，t h en o n l i n e a rs c i e n c eh a sb e e n 批la c t i v e m a r g i n a l a n dm n l t i - c r o s s e ds u b j e c t ，w h i c hi si n v e s t i g a t e ds y n t h e t i c a l l ya n dj o i n t l yi nt h ef i e l do fb r a i n s c i e n c e ，m a t h e m a t i c s - p h y s i c s ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，c o n t r o ls c i e n c e ，e t c ht h i sp a p e r ，b a s e do nt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，t h em a t r i xt h e o r y , i n e q u a l i t y t e c h n i q u e sa n df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w eh a v ed o n es o m et h o r o u g h l yr e s e a r c ho nt h e b e h a v i o ro fs e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a rs y s t e m s ，i n c l u d i n gt h es y n c h r o n i z a t i o no fg e n en e t w o r k ， s t a b i l i t y , e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r i o ds o l u t i o n ，a n ds oo n t h em a i l lc o n t e n t sa r e a sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，t h es i g n i f i c a n c eo f t h ew o r ki si n t r o d u c e d ，t h ed e v e l o p m e n ta n da c t u a l i t yo f t h eg e n e t i cr e g u l a t i o nn e t w o r k s ，l o t k a - v o l t e r r as y s t e ma n dn e u r a ln e t w o r k sa r es u m m a r i z e d ， r e s p e c t i v e l y , t h em a i nr e s u l t sa n dh i g h l i g h t sa x ea l s o 舀v e nl a t e ri nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h eg e n e t i cr e g u l a t i o nn e t w o r k sw i t hd e l a yc o u p l i n g b a s e d o nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl m im e t h o d ，s o m ec r i t e r i aa r eg i v e nt og u a r a n t e et h e g l o b a l l ye x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no ft h ed e l a y - c o u p l e dg e n e t i cr e g u l a t i o nn e t w o r k s t i m e d e l a yi sf i r s t l yi n t r o d u c e dt ot h es y n c h r o n i z a t i o no fg e n en e t w o r k s ，a n dt h eo b t a i n e dr e s u l t s g e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m ep r e v i o u sr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e s i i i b yu s i n gt h el y a p u n o vm e t h o da n dl m it e c h n i q u e s ，w ei n v e s t i g a t eat y p eo fc o m p e t i t i v e l o t k a - v o l t e r r as y s t e mi nc h a p t e rt h r e e ，s e v e r a ls u f f i c i e n te x p o n e n t i a lc r i t e r i aa r ed e r i v e d ，w i t h s i m u l a t i o nr e s u l t si l l u s t r a t i n gt h a t0 1 1 1 r e s u l t s & r ee f f i c i e n ta v a i l a b l e c h a p t e rf o u rs t u d i e sn e u t r a l - t y p ed e l a y e dn e u r mn e t w o r k s f i r s t l y , w es t u d yt h ei n t e r - v a lr o b u s ts t a b i l i t yo ft h en e u t r a ln e u r a ln e t w o r k s i ns e c t i o n2 ，t h er e a c t i o n - d i f f n s i o nt e r m i si n t r o d u c e di n t ot h en e u t r a ln e u r a ln e t w o r k s ，b yc o n s t r u c t i n gt h es u i t a b l el y a p u n o vr u n e - t i o n a la n du s i n gl m ia p p r o a c h ，s e v e r a ld e l a yd e p e n d e n ta n ds p a c em e a s u r ed e p e n d e n ts t a b i l i t y c o n d i t i o n sa r ep r o p o s e d t h eg i v e nr e s u l t sa r em o r eg e n e r a lt h a nt h ee x i s t i n g i nc h a p t e rf i v e ，w ep r o p o s eac l a s so fi m p u l s i v en e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e - l a y sa n dr e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m s b yu t i l i z i n gl m it e c h n i q u e sa n di m p u l s e - d e l a yd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t y , s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa x ed e r i v e dt oe n s u r et h eg l o b a l l ye x p o n e n t i a ls t a b i h t y o fn e u r a ln e t w o r k ，m e a n w h i l e ，t h ec o n v e r g e n c er a t ec a l la l s ob ee s t i m a t e d h e r e ，n o to n l yt h e m o d e lc o n s i d e r e di sm o r eg e n e r a l ( t h ee f f e c to fi m p u l s ea n dr e a c t i o n - d i f f u s i o na c ec o n s i d e r e d f i r s t l ya n ds i m u l t a n e o u s l y ) ，b u ta l s ot h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fl m i s ，w h i c hc a n b ev e r i f i e de f f i c i e n t l yb yt h el m it o o l b o xi nm a t l a b ac l a s so ft w o - o r d e rd e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k si 8c o n s i d e r e di nc h a p t e rs i x b y m e a n so fi n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，s c h u rc o m p l e m e n ta n dl y a p u n o vf u n c t i o n ，s e v e r a ls u f f i c i e n t s t a b i l i t yc o n d i t i o n sa r ed e r i v e d ，a n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep e r i o ds o l u t i o ni s a l s od i s c u s s e d w h i c hp r o v i d e8 0 m et h e o r e t i c a ls u p p o r t sf o rt h ed e s i g n i n ga n da p p l i c a t i o no f h i g h - o r d e rn e u r a ln e t w o r k s i nt h el a s tc h a p t e r ，t h er e s e a r c hw o r ko ft h i st h e s i si ss u m m a r i z e d ，a n dt h ef u t u r er e s e a r c h d i r e c t i o n sa x ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r k s ，l o t k a - v o l t e n as y s t e m ，g e n e t i cr e g u l a t i o nn e t w o r k s ，t i m e d e l a y , i m p u l s e ，r e a c t i o n - d i f f u s i o n ，e q u i l i b r i u m ，s t a b i l i t y , p e r i o ds o l u t i o n ，r o b u s t ，s y n e h r o n i z a ，- t i o n ，l y a p u n o vm e t h o d ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 符号及注记 i t , 实数域； r n n 维的e u c l i d e a n 空间； l 2 ( a )表示在集合q 上的l e b e s g u e 可测函数空间； 霉 向量，z = ( z l ，现，一r ，i = 1 ，2 ，站； i i = l l向量z 的e u c l i d e a n 范数，i i = i i = 石瓦； i l x l l z向量函数x 在f 2 上的范数，l i x lj 2 = ，ni l x i l 2 如隆 a t矩阵a 的逆矩阵； t矩阵a 的转置； j 单位矩阵； 厶n n 维单位矩阵； 日+ 垒( 去) 。 去= m a x ( h i j , o ) ，b 是任意矩阵h 垒( ) 。的元素 a ( a )矩阵a 的最大特征值； a 一( a ) 矩阵以的最小特征值； h a l l矩阵以的范数，i l a l = 、佤= t 万巧) ； p 0 ( p o ) p 为对称( 半) 正定矩阵； 尸 b ( a 2 日)a b 为对称( 半) 正定矩阵； = 警 函数z ( t ) 对t 的导数； 表示矩阵主对角线另一侧的对称元素或矩阵。 注记：矩阵的维数，在没有特别说明的情况下，满足代数运算 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名 日期。芦弘烨 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交 学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论 文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论 文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括- t 4 登) 论文的全部或部分内 容。论文的公布( 包括- t 4 登) 授权东南大学研究生院办理 麟弦新麟锹日期 第一章绪论 1 1 引言 众所周知，世界是复杂的，世界的本质是非线性的。许多描述自然界，工 程技术和社会科学领域的系统都是由相互作用而又相对独立的“同质介体” 而构成的复杂非线性系统，因此，探索非线性系统的复杂现象，揭示其演化 的规律，提出可行的解决方法，不仅对非线性科学基础理论的研究有着重要 意义，而且对现代技术的发展也具有重大的应用价值 非线性系统动力学，是非线性系统科学的一个重要组成部分，它以非线 性科学的基本原理为基础，用定性的、数值的，解析的或者实验的方法研究非 线性系统中各种运动状态的基本变化规律，尤其是系统长时间的演化机理。 当前，非线性系统动力学特性研究的中心课题包括：稳定性、分又、混沌、分 形同步和群体智能等等，其中最重要的是非线性系统的稳定性问题，因为稳 定性分析是非线性系统应用的前提，正如我国著名科学家钱学森、宋健所说 。对于控制系统的第一个要求是稳定性，从物理意义上说，就是要求系统能稳 妥地保持预定的工作状态，在各种不利因素影响下不致于摇摆不定，不听指 挥”【1 】。其实，稳定性理论和方法的形成，是源于俄国数学家l y a p u n o v 的博士 论文运动稳定性的一般问题 2 】这一开创性的工作他不仅建立了运动状态 稳定性的深刻认识，而且还提供了用于理论分析的方法- l y a p u n o v 直接法，该 方法的思想已经影响了非线性动力学领域一个多世纪，至今仍是理论与工程 领域中稳定性分析的重要方法本文正是利用l y a p u n o v 直接法这一重要工具 去分析几类非线性系统的动力学行为。下面将分别对基因网络、l o t k a - v o l t e r r a 系统和神经网络的发展与研究现状作一些介绍。 1 2 基因网络的发展与研究现状 1 9 5 3 年，w a t s o n 和c r i c k 在自然杂志上发表了。核酸的分子结构”论文， 揭示了遗传物质d n a 是由四种核苷酸排列的双链螺旋结构，从此开创了分子 第一章绪论 2 生物学研究的新时代。从分子水平上研究生物的生长、发育等现象，使科学 家认识到基因网络的重要意义，但是早期由于受到技术条件的限制，科学家 只能描述牲地研究少数几个基因在特定生命现象中所起的作用。随着基因谩i l 序技术的发展，可以在短时间内获得生物体基因表达的大量数据，这为研究 和揭示大量基因及其产物之间的相互作用关系，特别为基因表达的时一空机 制奠定了基础。同时，一些模式生物的全基因组测序已经或即翡完成，这也 为从基因组水平上研究基因网络准备了条件。为更好地理解基因网络，人们 首先要了解基因网络的调控机制细胞中所利用的大多数基因调控机制执行 下列规则：一个体系在需要时被打开，不需要时被关闭。这种“开一关”( o n - o f f ) 活性是通过调节转录来建立的，也就是说m r n a s 的合成是可以被调节的所 有生物的遗传信息，都是以基因的形式储存在细胞内的d n a ( 或r n a ) 分子 中，随着个体的发育，d n a 分子能有序地将其所承载的遗传信息，通过密码 子一反密码子系统，转化成蛋白质分子，执行各种生理生化功能，完成生命的 全过程。科学家把这个从d n a 到蛋白质的过程称为基因表达( g e n ee x p r e s s i o n ) ， 对这个过程的调节就称为基因表达调控( g e n er e g u l a t i o n 或g e n ec o n t r 0 1 ) 基因表 达包括转录( t r a n s c r i p t i o n ) 和翻译( t r a n s l a t i o n ) 两个阶段( 如图1 2 1 ) ，转录是拷贝 出一条与d n a 链序列完全相同的m r n a s 单链的过程，是基因表达的核心步 骤，翻译是指以新生的m r n a s 为模板，把核甘酸三联子遗传密码翻译成氨基 酸序列，合成多肤链的过程，是基因表达的最终目的。基因表达调控主要表 现在以下几个方面：转录水平上的调控；m r n a s 加工成熟水平上的调控； 翻译水平上的调控。 第一章绪论 图1 2 1 ：四表达调控过程示意圈 另外，基因调控的指挥系统也是多样的，不同的生物使用不同的信号来 指挥基因调控，因而，弄清基因表达调控的时间和空问概念，掌握基因表达 调控的秘密，就能更好地在分子水平上研究遗传信息的传递以便提高对疾病 的检测和治疗水平 随着分子生物学研究的深入和分子阵列等大规模测定技术的应用，人们 已经能够从整个基因组的规模，上理解生物系统的结构和动态信息然而， 零碎的描述性的研究方法已经难以深入，科学家们就需要一种定量的从整 体上解释实验结果的手段和方法。一方面，近年来，对系统科学的深入研究 正好为科学家们从系统角度看待具有高度复杂性的生命现象提供了很好的工 3 第一章绪论 具另一方面，生命系统是一个有内外相互作用的自组织系统，即储存生命 信息的各基因并不是孤立的，而是通过形成“基因网络”这样一个复杂系统 来推动生命演化的，基因之间这种相互影响相互制约的关系就构成了复杂 的基因调控网络【3 。基因调控网络分析的目的就是要建立调控网络的数学模 型，通过数学模型来分析基因之间的相互作用关系。因此，一些科学家已经 开始利用系统动力学的手段来研究基因网络，并且也取得了较好的结果 4 】。 基因调控网络本质上是一个复杂的动态系统，迄今为止，研究基因网络 的模型很多，主要有两类【5 ，6 1 一类是离散网络模型，另一类是连续网络模 型。离散基因网络是指基因及其产物的表达状态只有“开一关”两种状态f 7 ，s l ， 状态“开”表示一个基因转录表达，形成基因产物，而状态。关”则代表一个 基因未转录；而连续型网络描述的是细胞中m r n a 和蛋白质的浓度，它们都 是连续变量，细致地刻画了生物系统的j # 线性动力学行为另外，根据研究 重点的不同，还可以把基因网络分为确定性网络模型和随机网络模型等。下 面，我们就连续型基因网络模型的研究进展作简单回顾。 c h e n 6 】最早利用微分方程系统描述基因调控网络，2 0 0 0 年t o m i n a g a 9 l 又提 爨了s - s y s t e m 模型( 该模型主要用于解决网络学习问题) ，后来把离散网络模 型和s - s y s t e m 模型结合起来描述和处理较大规模的基因网络问题 加】到目前 为止，人们已经探讨了右端任意的微分方程系统作为基因调控网络模型，例 如，d x ( t ) d t = ( 巩，z 。) ( 江1 ，2 ，n ) ，其中x i 表示第i 个基因的表达水 平。n 表示网络中的基因个数。微分方程系统作为基因调控网络模型的优点 是强大灵活，利于描述基因网络中的复杂关系，对连续网络模型的优缺最已 有文献【1 l 】予以评估和综述。 基因调控网络有许多特性，如复杂性、稳定性，可进化性和有限连通性 【1 2 】等，基因网络的稳定性表现为基因网络能够通过自动调节达到稳定。基因 和其他生物分子构成的网络体系是由许多生化参数确定的，在细胞的代谢， 发育过程中这些参数势必会发生变化，这就要求基因同络的拓扑结构能够承 受这种变化，以使得系统维持稳定。不少学者认为，基因网络系统中的自组 织和负反馈回路限制了系统中各成分浓度的波动范围，从而为系统的稳定性 4 第一章绪论 5 提供保障。b e c s k e i 和s e r r a n o 1 3 】通过在大肠杆菌中构建由一个调节基因和转录 模块组成的简单基因网络说明了这个问题。应用这一理论，人们可以解释某 些基因网络在总体上具有的“开一关”特性 1 4 】。 基因网络的稳定性也体现在生物体在发育和生理过程中抵御突变的影 响，这种影响主要体现在两个方面：一是基因功能的重叠性，即一个基因 在突变中丧失的功能，可以由一个或更多具有相似功能的基因所代偿，以减 弱这一突变对网络造成的影响；另一种机理源于那些在功能上不相关基因之 间的复杂的相互作用，这种作用已经在生物代谢等系统中得到证明，而在整 个基因组范围内，这个稳定性机理更加受到关注。w a g n e r 1 5 1 以模式生物酿酒 酵母的基因组数据为例，证明在功能上无关基因之间的相互作用是系统抵抗 突变影响的主要原因，这很可能也是生物在进化中保持稳定性的原因 目前一些国内外学者已对基因网络的稳定性、鲁棒性进行了讨论，如 b e c s k e i 和s e r r a n o 在自然上讨论了有关基因网络在自我调控下的稳定性 【1 3 】s o m e r e n 在【1 6 中研究了基因网络的鲁棒性；利用神经网络，v u 和v o l l r a d s k y 【17 】 模拟了各种基因网络中的调控关系并进行可视化研究；在【1 8 】中，e l o w i t z 和 l e i b l e r 给出了下列微分方程形式的基因调控网络模型： jr h | ( t ) = - a i m ( t ) + 魄( p 1 ( t ) ，p 2 ( t ) ，一，p 。( t ) ) ，n 。1 、 1 血( t ) = - c i p t ( t ) + 也m ( t ) ；i = 1 ，2 ，n ， 、“7 其中m i ( t ) ，m ( t ) r 分别表示m r n a s 和蛋白质的浓度；a i ，c i 都是常数，分别表 示m r n a s 和蛋白质的衰减率；喀也是常数；岛是关于第i 个基因的调控函数， 它一般是关于变量0 l ( t ) ，v 2 ( t ) ，加( t ) ) 的非线性函数且对每一个变量都是单 调的。c h e n 和a i h a r a 1 9 】在模型( 1 2 1 ) 中引入时滞，给出了局部稳定性和分又 的充分条件；在【2 0 i 中，l i c h e n 和a i h a r a 基于l y a p t m o v 和l u r e 系统方法，研 究了系统( 1 2 1 ) 的稳定性，得到了一些有意义的结果 对某一物种或组织中全部基因的表达关系进行整体性研究是基因网络理 论的重要内容研究表明不同的基因振子可以在不同层次上发生相互作用， 即便在同一基因网络中，同一个基因也可能参与不同的分子调控，甚至不 同的基因会在同一种蛋白质合成中互相竞争【2 1 1 在竞争与协同作用中，各 振子的翻译和转录是否同步是非常重要的研究内容，在过去的几年中，一些 第一章绪论 6 学者发表了有关基因网络同步的论文，如，利用实验、模拟和理论分析的手 段，y a m a g u c h i 2 2 】研究了基因网络的同步；w a n g 和c h e r t 2 3 】对合成生物网络恒 同基因振子的同步进行了理论的分析；在【2 4 】中k u z n e t s o v 等给出了基因振子 的同步机制；g a r c i a - o j a l v o 2 5 】、g o n z e 2 6 对非恒同基因振子的同步进行了研究； 利用控制理论，l i 、c h e n 和a i h a r a 2 7 1 对耦合的非恒同基因振子的同步给出了 理论上的分析。 目前，对基因网络的稳定性、同步等动力学的研究才刚刚起步，但随着 计算机科学和生命科学等学科的发展，基因网络动力学的研究必将有助于人 们更深入地理解生命组织内部基因及其产物的生成过程和调控关系，可以实 现对基因功能的整体认识和把握。总之，基因网络的研究是一个新兴的领域， 随着后基因组时代的到来，基因网络必将在生命科学的研究中发挥巨大的作 用 1 3l o t k a - v o l t e r r a 系统的发展与研究现状 数学生态学主要研究生态系统中不同生物种群个体数量( 或密度，或其 它生物量) 的变化规律，它是生态学中最为基础的分支线性代数、积分方 程、差分方程、泛函微分方程、动力系统、随机过程，统计方法乃至算子半 群理论等都是一些重要而常用的理论和工具，如何应用这些理论和方法去研 究由种群生态学甚至更普遍的生态学中所提出的数学模型，是数学生态学研 究的重要课题。1 9 0 0 年v o l t e r r a 3 5 1 对数学在生物和社会中的应用产生了兴趣， 他在文献3 6 1 中提出如下种群模型： 警铀玩+ j 壹= l 铲t 独t 钆。， ( 1 s - ， 以描述生物种群间的相互演化关系；与此同时，l o t k a 于1 9 2 5 年在化学反应研 究中也提出了该模型，因此后来称( 1 3 1 ) 为l o t k av o l t e r r a 系统，该模型的提 出使数学生态学的发展出现了一次高潮。另外一位对l o t k a - v o l t e r r a 系统做出 突出贡献的科学家是g a u s e ，他提出了两种群相互竞争，总有一方占上风理论 ( 即竞争排斥理论，也称g a u s e 理论) 在g a m e 的专著 3 8 】出版以后，竞争排斥 第一章绪论 原理已成为生态学中的一个基本原理，在这以后有很多学者对该理论作了一 些有益的补充和发展【3 9 【6 6 】 随着泛函微分方程和随机微分方程在生物数学中的广泛应用，基于最初 的l o t k a - v o l t e r r a 模型( 1 3 1 ) ，各种l o t k a - v o l t e r r a 生态模型及其演变而成的生态 模型相继被提出特别是近二十年来，许多学者在人口控制。种群动力学 传染病控制等领域中提出了各种形式的l o t k a - v o l t e r r a 模型，其中具有代表性 的是两种群相互作用的l o t k a - v o l t e r r a 模型； 掣掣= 训x ( t ) 阮 b l - 吨a l l 积x ( 旷t ) - 础a 1 2 y ( t m ) , 。 其中a 。，与o 。分别反映两种群的密度作用因素，称为种内作用系数，a ，。与 。2 1 反映了两种群相互作用的因素，称为种间作用系数；h 与6 2 分别表示两种 群的内禀增长率，下面我们按其生态意义来介绍( 1 3 2 ) 的分类： ( 1 ) 竞争模型：每一种群的存在对另一种群的增长产生抑制作用。它们可 以是相互捕食，更多的情形是共同竞争资源，这时系统( 1 3 2 ) 中a 1 2 0 与 a 。 0 例如一个山头生活的虎群与豹群就是相互竞争的两种群；一个田中 生长的庄稼和野草也是相互竞争的两种群。 ( 2 ) 捕食与被捕食模型：即一种群充当另一种群的食饵，此时( 1 3 2 ) 中 a 1 2 a 2 1 0 ，a 2 1 0 ) ，即捕食者y 仅以为生；6 2 0 则表示除z 外，y 还有其它食物资源，与此相反，若o 。 0 ，则为被捕食者寄生与寄 主系统是这种类型的特殊情形，寄生是捕食者，寄主是被捕食者f i n m e 港鱼 群美洲的山猫与野兔以及食草动物与草都是这种类型的特例。 ( 3 ) 互惠合作模型：即一种群的存在对另一种群的增长都会起促进作用。 此时系统( 1 3 ，2 ) 中0 1 2 0 ，c i j ，如都是常数，臼j 表示第j 个神经元在时刻t 、空 间位置为z 处作用在第i 个神经元上的连接权，如表示第j 个神经元在时刻 t 一兀，( t ) ，空间位置为z 处作用在第i 个神经元上的连接权；( t ) 表示由第i 个 神经元沿第j 个神经元的树轴传递时的传递时延，满足0sn j ( t ) s 喝( q 是 一个常数) 光滑函数= ( t 忍u ) 0 表示沿着第i 个神经元的传递扩散算 子；瓤“= 1 ，2 ，m ) 表示空间中的第i 个坐标；n 是空间豫m 中的一个具有光 滑边界的紧集，并且m e s l n l 0 ，他( s ，z ) 是初始边值条件。对于具有反应扩散 1 2 第一章绪论 的神经网络，已经有一些结果发表在国内外杂志上，如，l i a o 等在【1 2 5 ，1 2 6 】利 用平均l y a p u n o v 函数，研究了具有反应扩散的h o p f i e l d 神经网络平衡点的全局 渐近稳定性和局部渐近稳定性；利用广义h a l a n a y 不等式，l i a n g 和c a o 1 2 7 1 给 出了具有反应扩散项的变时滞递归神经网络平衡点存在，唯一和全局指数稳 定的充分条件；w a n g 和x u 1 2 s 利用拓扑度理论和广义h a l a n a y 不等式，研究 了变时滞反应扩散h o p f i e l d 神经网络平衡点的存在性及全局指数稳定性；其 它的相关工作见【1 2 9 ，1 3 2 ，1 3 3 等。尽管在国内外期刊上已经有大量具有反应 扩散项的神经网络稳定性的结果，但它们都没有注意到在该网络中仍然存在 脉冲现象( 特别是在网络电子实现时由于受到现实条件的限制，如，电流值 的突变等，脉冲现象也是广泛存在的) ，所以研究具有脉冲和反应扩散项的 神经网络的动力学特性具有重要的理论意义和应用价值。 众所周知，神经网络理论研究不断发展的源泉和动力是其在工程技术领 域的应用。近来，在神经网络超大规模集成电路( v l s i ) 实现中发现：部分元 件等效电路( p e e c ) 中会产生中立型延时 1 5 8 1 ，而且此类延时与传输延时一样 也会影响神经网络的动态特性。现在，国内外一些学者已经对中立型神经网 络的稳定性等动力学特性进行了研究，给出了一些有意义的结果，如，b e l l e n 等在文献【1 5 8 中针对一类中立型微分方程模型，给出了零解渐近稳定的条 件；x u 、l a m 、h o 和z o u 1 4 0 利用l y a p t m o v 方法，研究了中立型神经网络平衡点 的存在唯一性与全局指数稳定性；文f 1 6 4 则针对一类中立型非线性变时滞微 分方程所描述的神经网络，给出了全局渐近稳定的充分条件；另外f l a 4 1 3 9 分别对中立型神经网络和系统的稳定性作了深入的研究，一些新的判据被给 出但据作者所知，到目前为止有关中立型时滞神经网络的区间鲁棒稳定性 和具有反应扩散项的稳定性的研究结果非常少，因此，进一步开展中立型神 经网络动力学的研究是一个非常有趣的研究课题。 总之，随着科学技术的发展与进步，新现象新问题层出不穷，这也为我 们进一步研究神经网络提出了新的挑战与课题，因此我们有必要继续对神经 网络的动力学行为进行深入的研究和探讨 1 3 第一章绪论 1 5 本文的主要研究内容与创新点 1 5 1 研究内容 全文主要研究由泛函微分方程所描述的三类非线性系统，对- , u f l 最关心 的非线性系统的动力学一网络同步、系统的稳定性和周期解的存在性与唯一 性做了深入而系统的研究。 第一章，概述了基因网络、l o t k a - v o | t e r r a 系统和神经网络的发展历史及常 见的系统模型，分析了这三类非线性系统的研究现况，并简介了本文的主要 研究内容与创新点。 众所周知，基因网络的调控机制是非常复杂的，特别是由于时滞的存在 往往会导致网络内部各振子的运动状态发生意想不到的改变，为此我们在第 二章研究了个时滞耦合的恒同基因振子的全局指数同步行为，其模型为： 觑( t ) = a z ( t ) + b l f ( x l ( t ) ) 一b z g ( z , (