（大地测量学与测量工程专业论文）杨赤中滤波推估法的研究和应用.pdf

桂林工学院硕士学位论文 中文摘要 当今，人类社会进入了信息时代。随着国家经济的快速发展，城市建设、 环境保护、资源开发等众多领域，对基础地理信息数据的需求日益增大。要 实现社会信息化，必须要有系统的、全面的、满足要求的基础地理信息数据 体系作为基本保障。具体地说，构建以数字地面模型( 简称d n l ) 为基础之一 的，具有完善的空间分析功能的地理信息系统( 简称g i s ) ，以之作为一种高 效的、可靠的辅助决策工具，才能为社会经济工作、生活决策提供有力的支 持。 对空间信息的分析是g i $ 最为重要的内容之一，它主要以数字高程模型 d 叫( 或数字地形模型d t m ) 为基础。d e m 的核心是地形表面特征点的三维坐标 数据和一套对地表提供连续描述的算法。在d t m 的基础上，能够实现等值线 的绘制、开发空间分析的功能。d t m 的形式包括不规则三角网( t i n ) 和规则 格网( g r i d ) 两种形式。对于d t m 的规则格网形式，网格点属性值一般通过 对离散点数据进行插值而得。有多种插值算法可建立d t m 格网数据，它们各 有特点。 杨赤中滤波推估法作为一种插值算法，应用了中国古代数学杨辉三角系 数这一民族遗产，几十年来为中国矿床统计几何学科发展做出了重要的贡献， 将其应用于构造d t m 并在此基础上开发g i s 的空间分析功能，形成具有自主 知识产权的g i s 体系，无论在经济上还是在社会上将会产生积极的效益。 本论文分两大部分： 4 第一部分首先阐述了杨赤中滤波推估法的基本原理，分析了杨赤中滤波 推估法的统计、回归特性；对杨赤中法与其他方法在建立估值核函数的过程 和d e m 插值效果进行了对比。结论是：( 1 ) 杨赤中法是现有推估法中唯一令 观测序列在逐遍杨赤中滤波的过程中建立核函数，从而使建立估值数学模型 的过程完全实现了自动化的最小二乘推估法；( 2 ) 杨赤中滤波具有统计意义 上的最优无偏性及等量演进性；杨赤中滤波的频谱曲线不产生相位移动， 桂林工学院硕士学位论文 不会给局部趋势带来歪曲，保证滤波曲线或曲面的基本变化不产生相移。( 3 ) 西方地质统计的克立格法演绎出的变异与协方差函数对变化特征与结构性缺 乏实际的反映，而通过逐遍杨赤中滤波建立的杨赤中核函数能反映空间域变 量的变化性、结构性与自相关性。 第二部分首先阐述了应用杨赤中法开发g i s 的d e m 模块及等值线绘制 模块的原理，对等值线生成、拟合、平滑的方法进行了研究，详细讨论了网 格尺寸、边界处理等关键问题的处理。以此为基础，提出了滤波模块、插值 模块、等值线绘制模块、利用m a p x 的专题图对话框生成g r i d 图和三维地形 图的程序实现方案，并在程序实例运行中验证了其可行性和正确性。 关键词：滤波、插值、d t m 、等值线、不规则边界、估值权系数、m a p x 桂林工学院硕士学位论文 a b s t r a c t t o d a y ，h u m a ns o c i e t ye n t e r e dt h ei n f o r m a t i o na g e w i t ht h er a p i d d e v e l o p m e n to ft h en a t i o n a le c o n o m y ，u r b a nc o n s t r u c t i o n ，e n v i r o n m e n t a l p r o t e c t i o n ，r e s o u r c ed e v e l o p m e n t ，a n dm a n yo t h e rf i e l d s ，b a s e do nt h e g r o w i n gd e m a n df o rg i sd a t a t oa c h i e v es o c i a li n f o r m a t i z a t i o n ，t h e n e e df o rs y s t e m a t i c 。c o m p r e h e n s i v ea n dm e e tt h er e q u i r e m e n t so fb a s i c g e o g r a p h i ci n f o r m a t i o ns y s t e md a t aa sab a s i cp r o t e c t i o n s p e c i f i c a l l y ， b a s e do nd i g i t a lt e r r e s t r i a lm o d e l ( d t mf o r s h o r t ) 。g e o g r a p h i c i n f o r m a t i o ns y s t e m s ( g i sf o rs h o r t ) w h i c hh o l ds o u n ds p a t i a la n a l y s i s f u n c t i o n ss h o u l db eb u i i tt os u p p o r tp o w e r f u l l yd e c i s i o n - m a k i n go f s o c i o e c o n o m i cw o r ka n dl i v e a sa ne f f i c i e n ta n dr e l i a b l ed e c i s i o n s u p p o r tt o o l s t h es p a t i a li n f o r m a t i o na n a l y s i si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t c o n t e n to fg i s ，i tm a i n l yi sb a s e do nd i g i t a le l e v a t i o nm o d e ld e m ( o r d i g i t a l t e r r a i nm o d e l sd t m ) d e mc o r ei st h et h r e e d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e sd a t a o ft e r r a i ns u r f a c ef e a t u r e sp o i n ta n das e to f a r i t h m e t i ct op r o v i d eas e r i a t ed e s c r i p t i o no ft h et e r r a i ns u r f a c e b a s e do nd t m ，i s o l i n em a p p i n gc a db ea c h i e v e dt od e v e l o ps p a t i a l a n a l y s i sf u n c t i o n s d 1 湖sf o r mc o n t a i nt r i a n g u l a ri r r e g u l a rn e t w o r k ( t i n ) a n dt h er u l e sg r i dn e t w o r k ( g r i d ) f o rt h ef o r mo fg r i dr u l e s n e t w o r k t h eg r i dp o i n t sa t t r i b u t ev a l u ec a nb eo b t a i n e dg e n e r a l l yb y t h es e p a r a t i o no fd a t ai n t e r p o l a t e df o r m 。t h e r ea r eav a r i e t yo f i n t e r p o l a t e da l g o r i t h m s c a ne s t a b lis hd t mg r i dd a t a ，t h e yh a v e d i f f e r e n tf e a t u r e s a sai n t e r p o l a t e d a l g o r i t h m s ，y a n g c h i z h o n g sf i l t e r i n g e s t i m a t i o nm e t h o da p p l yt h en a t i o n a lh e r i r a g eo fa n c i e n tc h i n e s e m a t h e m a t i c s y a n g h u it r i a n g l ef a c t o r ，a n dh a v e m a d ei m p o r t a n t 桂林工学院硕士学位论文 c o n t r i b u t i o n st oc h i n ad e p o s i t ss t a t i s t i c a lg e o m e t r i cd e v e l o p m e n tf o r d e c a d e s i tc a nb eu s e dt oc o n s t r u c td t m a n do nt h i sb a s i st h e d e v e l o p m e n to fg i ss p a t i a la n a l y s i sf u n c t i o n s ，a n dt h ea u t o n o m o u s i n t e l l e c t u a lp r o p e r t yr i g h t sg i ss y s t e mc a nb ef o r m a t t e d w h e t h e r e c o n o m i c a l l yo ri nt h ec o m m u n i t yt h er e s u l t sw i l lb ep o s i t i v e t h i sa r t i c l ei sd i v i d e dt ot w op a r t s ： o n eo nt h ef i r s tp a r ta tf i r s te x p o u n d so nb a s i cp r i n c i p l e so ft h e y a n gc h i z h o n g sf i l t e r i n ge s t i m a t i o nm e t h o d ，t h ea n a l y s i so fi t s s t a t i s t i c sa n d r e g r e s sc h a r a c t e r i s t i c ，t h ec o n t r a s to ft h e e s t a b l i s h m e n to ft h ee s t i m a t ev a l u e sn u c l e a rf u n c t i o na n dd e m i n t e r p o l a t e de f f e c t s b e t w e e ny a n gc h i z h o n g sf i l t e r i n ge s t i m a t i o n m e t h o da n do t h e rm e t h o d s c o n c l u s i o n sa r e ：( 1 ) y a n gc h i z h o n g sm e t h o d i st h e u n i q u e l e a s t s q u a r e e s t i m a t e sm e t h o dw h i c hm a k et h e o b s e r v a t i o ns e q u e n c e se s t a b l i s hn u c l e a rf u n c t i o nw h i l et i m e sy a n g c h i z h o n g sf i l t e r i n g ，s ot h a tt h ep r o c e s so fe s t a b l i s h i n gv a l u a t i o n m a t h e m a t i c a lm o d e l sc a nb ea c h i e v e da u t o m a t i c a l l ya m o n ga l lo f e s t i m a i i o nm e t h o d s ：( 2 ) y a n gc h i z h o n g sf i l t e r i n g ：as t a t i s t i c a l s e n s ec h a r a c t e ro fo p t i m a ln o n e x c u r s i o na n de q u i v a l e n te v o l u t i o n a r y ： t h es p e c t r u mc u r v eo fy a n gc h i z h o n g sf i l t e r i n gd o e sn o th a v et h ep h a s e m o v e m e n t ，n o tt od i s t o r tl o c a l t r e n d sa n di tc a nb ee n s u r e dt h a t f i l t e r i n g sc u r v eo rt h ef u n d a m e n t a lc h a n g e so fc a m b e rs u r f a c ed o e s n o th a v ep h a s em o v e m e n t ( 3 ) t h ev a r i a t i o na n dc o v a r i a n c ef u n c t i o n d e d u c e df r o mk r i g i n g sm e t h o do fw e s t e r nd e p o s i t ss t a t i s t i c sl a c k p r a c t i c a l r e f l e c t i o n f o rt h e c h a n g e s c h a r a c t e r i s t i c sa n d c o n f i g u r a t i o n ，b u ty a n gc h i z h o n g sn u c l e a rf u n c t i o nw h i c hi sb u i l t e d b yt i m e sy a n gc h i z h o n g sf i l t e r i n gc a r lr e f l e c tt h ec h a n g i n gn a t u r e ， s t r u c t u r a ln a t u r ea n ds e l f - p e r t i n e n c eo fs p a c er e g i o n t h es e c o n dp a r tf i r s te x p o u n d so nt h et h e o r yt h a td e v e l o p i n gg i s s d e mm o d u l ea n di s o l i n em a p p i n gm o d u l eb ya p p l y i n gy a n gc h i z h o n g s m e t h o d ，i ti si n v e s t i g a t e da b o u tt h em e t h o do ft h ei s o l i n eg e n e r a t i o n ， 桂林工学院硕士学位论文 s i m u l a t i o na n ds m o o t h n e s s ，d i s c u s s e di nd e t a i lg r i ds i z e s ，b o r d e r s ， a n do t h e rk e yi s s u e s o nt h i sb a s i s ，t h ep r o g r a mr e a l i z a t i o np r o j e c t i sb r o u g h tf o r w a r dt om a k ef i l t e r i n gm o d u l e ，i n t e r p o l a t e dm o d u l e ， i s o p l e t hm a pm o d u l e ，a n dg e n e r a t i n g g r i dm a p sa n dt h r e e d i m e n s i o n a l t o p o g r a p h i c a lm a pb yu s i n gt h e m a t i cm a p sd i a l o gb o xo fm a p x ，a n di t s f e a s i b i l i t ya n da c c u r a c yi sp r o o f e db yr u n n i n ge x a m p l e so ft h ep r o g r a m k e y w o r d ：f i l t e r ，i n t e r p o l a t i n gv a l u e ，d t m ，i s o l i n e ，i r r e g u l a rb o r d e r s ， t h ev a l u a t i o nr i g h tf a c t o r ，1 4 a p x 桂林工学院硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得桂林工学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 桂林、工学院硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 本课题的研究背景 随着国家经济的快速发展，人民生活水平的不断提高，对各种相关信息 的需求越来越多。特别地，城市建设、交通设施、环境保护、农林建设、资 源开发乃至宇宙探索等等，更离不开基础地理信息数据体系的的支持。 要实现社会信息化，必须要有系统的、全面的、满足要求的基础地理信 息数据体系作为基本保障。具体地说，构建以数字地面模型( 简称d t m ) 为基 础的，具有完善的空间分析功能的地理信息系统( 简称6 1 s ) ，以之作为一种 高效的、可靠的辅助决策工具，才能为社会经济工作、生活决策提供有力的 支持。 对空间信息的分析是g i s 最为重要的内容之一，它主要以数字高程模型 ( d e m ) 为基础。d e m 的核心是地形表面特征点的三维坐标数据和一套对地表 提供连续描述的算法i l j 。 数字高程模型d e m 是国家空间数据基础设施的框架数据之一，其弥补了 等高线的不足，既能表示地而的连续起伏变化，又适合作相应的数学分析和 模拟，现在已在各个领域得到了广泛的应用。大比例尺数字高程模型是数字 城市空间信息的基础，它提供了数字城市中的一维地图和三维城市模型信息， 为海量的城市高程数据提供了管理、存储和维护的有效手段。它的建立为城 市设施的数字化、城市三维仿真模型、城市规划、城镇景观设计、虚拟现实 的建立提供了强有力的支撑平台1 2 j 。 广义的看，d e m 的第三维数据( 属性) 可以是地面高程、矿石品位、大 气温度等空间域变量。此时d e m 中的e 字母可改为属性值相应的英文单词头 一个字母，如t e r r a i n 的t 等，g i s 只有在d t m 的基础上才能实现等值线的绘 制等空间分析功能。d t m 的形式包括规则网格形式、不规则三角网形式、等高 线模型、数学分块法，对于d t m 的规则网格形式，三维坐标数据一般通过对 1 桂林工学院硕士学位论文 离散点数据进行插值而得。有多种插值算法可建立d t m 规则网格数据，它们 各有特点。 杨赤中滤波推估法作为一种插值算法，由中南大学杨善慈教授( 已故) 创立，该法应用了中国古代数学杨辉三角系数这一民族遗产，几十年来为中 国矿床统计几何学科发展做出了重要的贡献，将其应用于构造d t m 并在此基 础上开发g i s 的空间分析功能是值得探讨的。 1 。2 国内外插值算法的现状 目前常见的插值算法有：线性插值法，按距离加权内插法，多项式内插 法，双三次样条函数内插法( s p l i n e ) ，有限差分法，克里金内插法( k r i g i n g ) ， ，指数级数趋势面内插法，傅立叶级数内插法，最小二乘样条函数内插法，按 距离加权最小二乘内插法( i d w ) 等。 在国外的g i s 软件中常采用i d w ，s p l i n e ，k r i g i n g 法等。下面简单地介 绍一下。 ( 1 ) i d w 法1 3 】 i d w 英文为i n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t ，意思即与距离反比加权，该法是 典型的逐点内插法。采用二次多项式插值公式 z 。i a x + b x y + c y + d x + e y + ， ( 1 1 ) 式中：- 歹为数据点坐标经坐标系原点平移至待求点坐标工p ，) ，后的坐 标值。 式中有6 个待求参数，最少取用6 个数据点的信息( 毛y ，2 ) 代入求得。 当取用的数据点多于6 个点时，则以数据点高程z 为观测值，列出误差方程 式 q i 爿工+ b x y + c y + d x + 层，+ ，一z ( 1 2 ) 并以数据点到待求点的距离给予适当的权，按最小二乘法平差原理求解。 权的值与距离成反比，如取 2 桂林工学院硕士学位论文 形。砉或等) 2 ( 1 3 ) 式中：d 为待定点到数据点间的水平距离； r 为定义函数待定参数时所求的园半径。 i d w 法的优点是：原始数据信息不会损失，缺点是：对地形的拟合效果 不太理想。 ( 2 ) s p l i n e 法【4 l 【5 1 分三次样条函数和双三次样条函数两种。前者为一维插值，后者为二维 插值。三次样条函数的定义是： 对于给定如下函数表，表中a ；粕c 工。t x n - b ，若函数s ) 满足条 件 x 墨 x n y f 0 )y o y ly s o ) 在每个区间k 。，x ；】( f - 1 2 j i ) 上都是不高于三次的多项式； s ) ，s o ) ，s ”o ) 在区间【a , b 】上都连续； ( 函s ( 毪) 一y 。( f 一1 ，2 ，1 ) a 则称s ( x ) 为函数f ( x ) 关于结点而，工2 ，x n 的三次样条插值函数。 三次样条函数插值的优点是：计算简便、数值稳定性较好、拟合曲线光滑性 较好。其缺点是：曲面不甚确定，对折线需要特殊处理。 ( 3 ) k r i g i n g 法1 6 】【7 】 该法( 中文译名为克里金法) 是法国g 马特隆教授在二十世纪六十年代 正式提出的作为地质统计学的一种方法，普通克里金法是一种对空间分布数 据求最优、线性、无偏内插估计量。它是以区域化变量理论的平稳假设为根 据演绎出半变异函数与协方差函数作为核函数的最小二乘推估法。 克里金法根据一个待估块段邻域内的若干信息样品的品位数据，在考虑 了样品的形状、大小及相互位置关系、空间位置等信息后，对每个样品值分 别赋予一定的权系数，最后进行加权平均，从而估计该块段的品位。 3 桂林工学院硕士学位论文 区域化变量理论是克里金法的基础，该理论重点阐述地质统计的平稳随 机观点，主要内容是二阶平稳假设。即在估值时，增加了平稳假设，对权系 数增加了一个无偏约束条件，即： k 。1 ( 1 4 ) 同时应满足方差最小，即： 铲= 羹耄墨k ，c ) + 石o 一2 砉k 石纯力 ( 1 5 ) 求其条件极值，得普通克里金法的方程为： c l l c 1 2 c 2 1 c 笠 c dc n 11 c 1 | l 1 c 知 1 c 。1 10 墨 k 2 k 一 c o 。 c 皿 c 0 。 1 ( 1 6 ) 式中：u 为拉格朗日乘常数 k 为权系数 克里金法用半变异函数代替直接求协方差函数，在二阶平稳下有如下关 r ) * c ( 0 ) - c ) ( 1 7 ) 式中：k h l 为变异函数 c ( 0 ) 为方差 c ( h ) 为协方差函数 克里金法理论较为严密，但在实际应用中却存在着一些难以解决的问题： ( 1 )克里金法建立核函数进行估值，要求有大量的已知点数据，已 知点过少时，求得的核函数极不稳定。 ( 2 )由于r ( h ) 基于几何学和统计学两方面的理论，故r ( h ) 解算烦琐， 且r ( h ) 形态多复杂，难以拟合。 4 桂林工学院硕士学位论文 1 3d t m 及其在g l s 空间分析中的作用1 8 】【9 】 d t m 模型按照数据的表现形式主要分为两种：不规则三角网 ( t r i a n g u l a t e di r r e g u l a rn e t w o r k 简称t i n ，也称三角网嗍) 和规则格网( 简 称g r i d ，也称格网d 皿垤) ( 如图1 1 ) 。 规刚格网锄b ) 不删三角同 图1 1d e m 的两种主要表现形式 1 3 1 不规则三角网t i n t i n 采用离散数据点生成的连续的小重叠的小规则三角形网格来表示地 形表而，在地形平坦的区域，三角形较少，而在地形复杂的区域，三角形较 多。因此，t i n 能较好地顾及地形地貌特征，逼真表示复杂地形的高低起伏 变化，并且能够克服地形平坦区域的数据冗余。但t i n 的数据结构复杂，数 据量大，一般只适用于小范围大比例尺的高精度地形建模。另外，t i n 对于 空间分析的算法实现较困难。 t i n 是一种典型的矢量拓扑结构，通过边与结点的关系以及三角形而与 边、结点的关系显式地表示地形参考点之间的拓扑关系。 1 3 2 规则格网g 刚d 数字地面模型( d t m ) 是定义于二维区域上的一个有限项的向量序列，它 5 桂林工学院硕士学位论文 以离散分布的平面点来模拟连续分布的地形。基于栅格( 规则网格g r i d ) 的 数字地面模型，可以写成以下形式： d t m z i , j ， f = 1 , 2 ，3 ，研一1 , m ( 1 8 ) _ ；l 2 ，3 ，开- l n g r i d 是以规则排列的正方形网格来表示地形表面。有于格网间距一定， 对于复杂的地形地貌，很难确定合适的网格尺寸逼真表示，因此，在平坦地 形区域，会产生大量的冗余数据，但对于地形起伏变化明显的区域，又不能 准确表示地形特征。g r i d 在数据存储时，实际上是一个矩阵，存储的是点的 高程值，而点的平面坐标，可直接由原点坐标、格网间距及相应矩阵的行列 号经过简单计算获得。因此g r i d 数据结构简单，数据存储量小，还可压缩 。存储，适合于大规模的使用和管理。现在我们常说的d e m 及大规模的d e m 数据库建设，主要是指这种形式，本文所称的数字高程模型1 3 e m ，也是指 g r i d 。d e m 实现空间分析的算法较容易( 见后文) 。 地形数据的多维复杂性，使采集到的地形数据常常是随机分布、不均匀 的，要得到连续、完整的地性信息，必须通过内插来建立表示完整地而模型 的格网d e m 。 1 3 3d r m 在g i s 空间分析中的作用 g i s 空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术， 其目的在于提取和传输空间信息。它涉及五个方面：空间位置、空间分布、 空间形态、空间距离、空间方位、拓扑、相似及相关。空间分析的研究内容 非常丰富，具体来说，对于空间位置，包括地图投影、空间坐标计算等；对 于空间分布，包括聚类分析、趋势面分析等；对于空间形态，包括曲面拟合、 地形分析( 体积、坡度、坡向等) 等；对于空间关系，包括网络( 路径) 分 析、缓冲区分析等。 d t m 地形分析是g i s 空间分析的主要内容之一。进行d t m 地形分析， 其步骤大致为； 6 桂林工学院硕士学位论文 ( 1 ) 建立数字高程模型每一格网点的标准矢量，标准矢量即由坐标原点指 向格网点的矢量。 ( 2 ) 计算地表单元法矢量。对于每个由相邻四个格网点确定的地表微分单 元，分别由对角线网格点计算其基本矢量，由其可确定地表单元法矢 量。 ( 3 ) 根据法矢量，提取坡度、坡向、曲面面积、地表粗糙度等地形因子。 1 4 论文的主要内容与组织结构 本论文的主要内容有：阐述杨赤中滤波推估法的基本原理，对杨赤中滤 波推估法的最优无偏性和等量演进自适应回归特性进行研究、论述，在理论 与实际中比较杨赤中滤波推估法和其他插值方法( 如克里金法等) ，通过实例， 。讨论杨赤中法与其他插值法在d t m 内插中的优劣，提出基于杨赤中推估法的 g i s 的结构体系设计方案，详细论述了在v b 编程平台中利用姚p x 控件构造基 于杨赤中法的d t m 插值模块和等值线绘制模块。讨论了在程序实现中的若干 关键问题。对杨赤中法的应用前景进行了展望。 论文组织结构如下图所示。 7 桂林工学院硕士学位论文 图1 2 论文内容的结构 桂林工学院硕士学位论文 第2 章杨赤中滤波推估法的基本原理 2 1 杨辉函数 杨赤中滤波与推估法是在复合变量理论的基础上，对已知矿石样品数据 进行二项式加权游动平均，在逐遍游动平均中，原始观测值的权系数如下图 2 1 所示，其分布规律正好为为中国古代的杨辉数表，又称杨辉函数。杨辉系 数a p = 项式系数【1 0 l 。 谴波遍敷 区间半径磬n l 区问内的极系数p |区问内权蓉敷和 oo o 2 l l 丢煳 o o 2 l 2奴4 1 o o o 2 | 3 1 - - 义6 1畏勰 鲈 -一 0 参n ，两c ：c ：女 矽 k 图2 1 一维杨赤中滤波区间内的权系数分布 2 2 杨赤中滤波 2 2 1 一维加权游动平均原理 设有沿线域按相等的向量间距l 分布的抽样观测值墨，如图2 2 所示， i = 1 ，2 n 。 9 桂林工学院硕士学位论文 q 1q 2q 3q 4舢+ l 0 12i - - - i n 3 c 图2 2 一维抽样观测值的规则分布 求n 个复合变量的加权游动平均，关键的问题在于权系数的确定。思路 分析如下： 首先采用半径为i 2 的游动区间，每次取两个原始观测值x i 计算游动平 均值，即石；k ，各个平均值计算式为： q ( ! ) 1t ( i 吼+ q 2 ) 2 巩。( q 2 + q 3 ) 2 2 1 可见两个原始观测值的权系数均为1 。在此基础上，每次取两个；t ! v 再 z 次计算游动平均值，则： 【q ( i 1 ) 1 + q ( 圳2 = 瓴+ 幻2 + q 3 ) 4 ( 2 2 ) 由上式可见，游动区间半径为1 倍l 时，相当于每次取三个原始观测值 的加权游动平均值；，权系数为1 ，2 。1 ，逐次类推，把半径为k l ( k = 1 ， 2 ，n ) 的区间内的原始观测值的权系数列成数表，就形成了如图2 1 所示 的杨辉三角形。 按照等权迭代平均法形成的过程，可以认为，一维滤波的实质是逐步增 大游动区间半径k l ，按二项式系数( 杨辉系数) 加权的游动平均。如图2 3 所示。 1 0 桂林工学院硕士学位论文 o l 湖 。夕，；j 一一一一 。 。 -4zvz 图2 3 一维杨辉系数的衍生形成图2 4 一维杨赤中滤波权分布图 设g - - ；( k 表示第k 遍滤波值序列( k - - - - 1 ，2 ) ，则一维杨赤中滤波迭 代公式为： ：( 瑶“+ 日- - ：( k - 1 ) ) 4 。函(k-1+巧p+日-。(-1q i l l ) 4 ( 2 3 )j 。憎+ 钾j + 日f + lj 珥 ( 2 3 ) 嚣：6 。( k - l - 1 + - - ( k - 1 ) ) 4 在滤波区间长度一定时，权系数值与其位置关系可以用图形表示。图2 4 线上的小圆圈是滤波半径为4 l 时的权分布图。 2 2 2 二维加权游动平均原理 二维杨赤中滤波是以二维杨辉系数表的第l ，3 ，5 等奇数层的系数为卷 1 1 桂林工学院硕士学位论文 如图2 5 所示，此处观测值符号记为吼二维加权系数的确定与一维加 权权系数确定的分析方法基本相同，不同之处在于二维数阵，首先是区半径 等于1 2 l 的正方形的游动区间，每次取区间四个角点上的值进行加权游动平 均，即四个原始观测值相加除4 ，得到的值记为石髫，再取四个孑孑求其加权平 均值，其效果相当于用半径等于l 的面游动区间，取九个原始观测值计算加 权游动平均口；1 ：，区间内的权如图( 2 5 ( b ) ) 所示，图( c ) ( d ) 分别是二维杨辉数 值计算加权游动平均值口_ ，游动区间中心点取权4 ，四条边的中点取权2 ， 四个角点取权l ，用q i j ( i = i ，2 m ，j = 1 ，2 n ) 表示二维的样本序列，则 矿。f 簿：銎牙要升1 6 一 劬 簟1( 七- 1 ) 忙”仲_ 1 ) 仲”、 1 4 - 【吼吐卜1 + q i - l , l + l+ g f + 1 ，- l+ q i + 1 , 1 + l j j 二维杨赤中滤波的权分布模型与一维杨赤中滤波的情况类似，具体见图 ( 2 6 ) 。 桂林工学院硕士学位论文 争型t 耵l 二pi 伊i j 图2 5 二维扬赤中滤波的权系数分布 图2 6 二维杨赤中滤波的权分布图 d j 一 团团一 围 勰 桂林工学院硕士学位论文 2 2 3 三维加权游动平均原理 三维杨赤中滤波是以三维杨辉数表的1 ，3 ，5 - - - - - 等奇数层的系数为卷 积权函数的逐遍滤波。 图2 7 ( a ) ，( b ) ，( c ) 分别表示三维杨辉数表的第二层，三层，五层的权系 数，但在实际应用中，我们通常把它化为竖直方向的一维和水平方向的二维 滤波来完成，研究表明，杨赤中二维滤波和三维滤波都可以转化为一维情况。 图2 7 三维杨辉系数 2 2 4综合随机函数r ( l ) 的理论公式和实践公式【1 1 】 在逐遍滤波的基础上，杨赤中法推导出了能够灵敏反映复合变量变化特 征的多种方差和复合协方差函数，其中最为重要的是综合随机函数r ( l ) 和 基本变化特征函数g ( 乙) 。 ， 2 2 4 1 几种离差和方差的概念 设有某地形高程变量的n 个抽样观测值的数组吼( i = 1 ，2 n ) ，经过逐 遍杨赤中滤波后，得i “，则口f 和i 耻之间产生了三种离差： 1 4 桂林工学院硕士学位论文 基本离差：i 件对平均值；的离差，即： d 。石仲) 一孑 ( 2 5 ) f 。吼一日 厶oj 随机离差：原始抽样值吼对滤波值石耻之间的离差，即： 6 ；。4 ；一i ” ( 2 6 ) ，fi 窜j 一口j l z - dj 总离差：变量的抽样观测值吼( 样本元素) 对样本平均值一目的离差： 厶f 一吼一g ( 2 7 ) 三者之间具有如下关系： l - 吨+ 吐 ( 2 8 ) ， 即：总离差等于随机离差和基本离差之和。 三种离差相对应的几种方差为： 基本方差：基本离差的平方的平均值 d ；一皇d ? 一( i q ) 2 ( 2 9 ) 或 d q ；q 一2 一；2 。 ( 2 1 0 ) 基本方差是反映空间域变量的基本变化特征的指标，不属于对复合变量 产生随机影响的变化分量。 加权游动方差 巧非2 - 三【国；4 一i 让) 2 + 2 ( q 。一i 耻) 24 ( q i + 1 - - i 忙) 2 】( 2 1 1 ) k 为滤波的遍数，加权游动方差可以衡量变量在各个游动区间范围内的 随机变化。 综合随机方差 每次滤波之后取加权游动方差的平均值，可求得综合随机方差为： 桂林工学院硕士学位论文 尹- 窆i 2 彳一尹 ( 2 1 2 ) 它反映了复合变量的综合随机性变化。式中：为各原始观测值的平方 的平均值，孑2 为各加权游动平均值的平方的平均值。 总方差：总离差的平方的平均值。 或 铆。善髯肌弘- i 。矛2 像1 3 ) 马 】1 【z 三1 日= q 2 一日 简单随机方差：随机离差的平方的平均值。 s ；- p i 2 n - 6 2 复合协方差： 巩= 弘肌黔一一q i ) ( q i _ _ ) ) ，汜 以上各种方差，可有如下两种关系： 珊= s + d q ( 2 1 5 ) 5 一s ；+ 2 d 耐 ( 2 1 6 ) 2 2 4 2 综合随机方差理论公式的推导 变量观测列置在经过逐遍滤波逐步分离随机性变化与显现基本变化 的演进过程中，产生三种随滤波遍数k ( 也就是随区间半径盯) 增大而演变的 离差，即随机离差，基本离差和总离差。则总方差c ( 0 ) 中包含三种组织成 分： 1 6 桂林工学院硕士学位论文 c ( 。) 。昙骞2 一言耋【6 ，+ d p 】2 一言耋6 产2 + 2 昙砉6 r d r + 昙；| ；d r 2 ( 2 1 7 ) 由于上式右边三项中的元素6 p 与d ：k 是随游动区间半径埘的增大而 变化的，因此各项都是以k l 为自变量的函数，即 单纯随机方差实验函数 u ( w ) = 昙骞彰”2 = 昙妻【呸一荔：? 】2 即有 协随机方差实验函数 形 ) 一2 昙耋6 p - 2 丢套k 一；，】【_ ，一动 基本方差实验函数 g + ( 材) - 吾砉d 严2 一昙砉【；? 一石】2 于是有 c ( 0 ) 一u a i ) + 形( k 1 ) + g ( k 1 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 而综合随机方差函数( 称综合随机特征函数) 的实验函数为： 咖) 一羹i 2 孑一 亿z z ， 由于将( 2 1 8 ) 与( 2 1 9 ) 式相加后乘方并项的结果与( 2 2 2 ) 式右边相同， 故 r + ) - u + 似) + 似) ( 2 2 3 ) 1 7 桂林工学院硕士学位论文 ：二竺? )汜2 4 )c ( 0 ) 一只) + g ) j ( 2 如图2 7 所示，r 似) 与g 似) ( 或r ( l ) 与g ( l ) ) 是以c ( 0 ) 2 水 平线为对称轴的两条曲线，统称为杨赤中函数。根据规则的二维观测序 列建立杨赤中函数的计算公式与一维的完全一样，但要采用纵横两道一维 代替一遍二维的滤波方法。通常只要按公式( 2 2 2 ) 和公式( 2 1 8 ) 求出 综合随机特征实验函数r ( 材) 与单纯随机特征实验函数u 倒) 的实验值 及其曲线。图2 7 中之虚线表示u 似) 实验曲线。 c ( 图2 ，7 杨赤中函数曲线图 如图2 7 所示，用七，f 表r 似) 曲线达到一定平缓度时的最大游动区 间半径，用c ( o ) k r z 表曲线图的总面积用k ，圪，0 ，和分别表 r 。似) ，u 。( 肼) ，w ( 甜) 和g ( h ) 曲线下的面积与图的总面积的百分比， 称为空间域变量的变化系数系列。综合随机变化系数珞是全面表述变量 随机性变化的相对分量的指标，k ，和是k 的两个组织成分，它们 各自在中所占的分量的大小，能够区分变量随机变化的性质( 是以高频 随机起伏为主还是以局部基本起伏为主) 。基本变化系数是定量表述变 量的规律性变化的相对指标。由于有关系式g 似) - c ( 0 ) 一r 似) 和关系式 形似) 一只倒) 一【，( 筋) ，故通常只须求得尺似) 和u ( 甜) 曲线，则其他函 数与所有变化系数就可全部计算出来。 桂林工学院硕士学位论文 2 3 杨赤中推估 杨赤中滤波与推估法是在复合变量理论的基础上，对已知离散点数据进 行二项式加权游动平均，在滤波的基础上，建立随机特征函数及估值协方差 函数，对待估点的属性值( 如高程等) 进行推估。问题的关键在于估值协方 差函数的建立，在上述讨论中注意到：实验杨赤中函数r 伍) 与g 犯) 是 通过逐遍杨赤中滤波自动建立的，具有全面反映空间域复合变量的变 化性与结构性的能力。综合随机变化系数是全面表述变量随机性变化 的相对分量的指标，基本交化系数珞是定量表述变量的规律性交化的相 对指标。在杨赤中滤波时，随着肼的增大，r 。佩) 增大，而同时g q d ) 减 少，表明分离的随机性变化越充分，而剩下的基本变化越明显故采 用由g ( t a ) 实验曲线拟合得到的g ( l ) 函数( 称基本变化特征函数) ， 它可变换为估值协方差函数( 叙述见后文) 。 估值协方差函数计算公式为： 即 g 仁) - r ( a ) 一r 伍) ( 2 2 5 ) b g ( ) ：灵( 4 ) 一口e ， ( 2 2 6 ) 推估某待估点。的高程值x o 时，按极限半径1 t 确定的范围搜索离散点， 如图2 8 撕示