（应用数学专业论文）基于偏微分方程图像处理的不对称差分数值方法.pdf

二，i ll u ，jj 、。f i 61f j ；jf ? ，i l - 乏 摘要 h 像处州的偏微分乃氍斤法址。个新必变义j o 卡： 分支，埘j ：它的数值力。法研歹e 仃r 嘤的川! 论，盘义, fj l 。爻1 1jf 介f i f 。小f - 沦文 t l 刈l 纠f 玺处川! | l f i ，j 儿类绐0 l ! f f ，jf 5 ：4 微分力+ f l i ! f ；! i ! ：- i f ( 川卜辛j 瑚i 功乃n ! ( m ( m 乃。n ：) 、仍q ，j j i ，惫j ：j ! j 芝。i i i q 力f , i ( a m s s 乃。n ! ) 、i l 线性扩敞( p - m ) 模型、全变左( ，l v ) 模型、测地线活动轮廓( g a c ) 模型，构造了丛j ：l 述模型的无条件稳定显式差分格式一一不对称差分格式，将半隐式格式显式计算， 采用线性化稳定性分析方法对该格式进行数值稳定性分析，给出格式的稳定性证 明，讨论了格式的计算效率。 理论分析及数值实验表明，不对称差分格式在进行图像处理时，有效地平滑了 噪声，提高了去噪效率，保持了边缘信息同时又加快了分割速度，与已有方法相比， 是一种高效可行的数值方案。 关键词：图像处理；非线性偏微分方程；不对称差分格式；数值稳定性；数值实 验 ab s l r a c i i m a g ep r o c e s s i n gb a s e do nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) i sa ne m e r g i n g i n t e r d i s c i p l i n a r yb r a n c h ，a n d i t s s t u d yo fn u m e r i c a lm e t h o d sh a si m p o r t a n t t h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e a n d p r a c t i c a l v a l u e t h i s p a p e rc o n s t r u c t san e w u n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t yd i f f e r e n c es c h e m e s - m a s y m m e t r i cd i f f e r e n c es c h e m ef o r s e v e r a lk i n d so fc l a s s i c a lm o d e l ：m e a nc u r v a t u r em o t i o n ( m c me q u a t i o n ) 、a f f i n e m o r p h o l o 百c a ls c a l es p a c e ( a m s se q u a t i o n ) 、n o n l i n e a rd i f f u s i o n ( p m ) m o d e l 、t o t a lv a r i a t i o n ( t v ) m o d e l 、g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u r ( g a c ) m o d e l ， a n a l y z e st h es t a b i l i t yo ft h e s e s c h e m e su s i n gl i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i sa n dp r o p o s e st h es t a b i l i t yp r o o f , d i s c u s s e st h e c o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c yo ft h e s es c h e m e s t h e o r e t i c a l a n a l y s i s a n dn u m e r i c a l e x p e r i m e n t ss h o wt h a t ，u s i n gt h ea s y m m e t r i c d i f f e r e n c es c h e m ei ni m a g ep r o c e s s ，i m a g ec a nb es m o o t h e db e t t e ra n di m p r o v et h e e f f i c i e n c yo fd e n o i s i n g , m a i n t a i nt h ee d g ei n f o r m a t i o na n de n h a n c e st h es e g m e n t a t i o n s p e e d c o m p a r e dw i t ht h ee x i s t i n gm e t h o d s ，t h ea s y m m e t r i cd i f f e r e n c em e t h o di saf e a s i b l e a n de 珩c i e n tn u m e r i c a ls c h e m e g u on a ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f y a n gx i a o z h o n g k e yw o r d s ：i m a g ep r o c e s s ，n o n l i n e a rp d e ，a s y m m e t r i cd i f f e r e n c es c h e m e ， n u m e r i c a ls t a b i l i t y ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t s 摘要 a b s t r a c t 目录 j i 。i l 第龋坫j ：| l l 线演化办刷的图像上噪l i 对称篪分办法3 1 1 曲线演化办程与4 i 对称差分格式3 1 1 1m c m 方程不对称差分格式的构造3 1 1 2a m s s 方程不对称差分格式的构造7 1 2 稳定性分析8 1 3 数值实验一9 1 3 1m c m 斤程的图像去噪9 1 3 2a m s s 方程的图像去噪1 l 1 4 数值实验分析l3 1 5 j 、结1 4 第二章基于p - m 模型的图像去噪不对称差分方法l5 2 1p - m 模型与不对称差分格式的构造l5 2 2 稳定性分析l7 2 3 数值实验及分析l9 2 4 小结2 3 第三章基于t v 模型图像恢复的不对称差分方法2 4 3 1t v 模，毪与不对称篪分格式的构造一2 4 3 2 稳定性分析2 6 3 3 数值实验及分析2 8 3 4 j 、l 右31 第四章基于卧c 模型图像分割的不对称差分方法3 2 4 1g a p , 模型与不对称差分格式的构造3 2 4 2 稳定性分析3 4 4 3 数值实验及分析3 6 4 4 j 、结3 8 结论3 9 参考文献。4 0 致谢4 4 在学期间发表的学术论文和参加科研情况4 5 华i i ；q a h 人：乏硕。 ：乏f ? i 沦爻 引言 图像处理的偏微分方程方法是一个新兴交义学科分支，自2 0 世纪9 0 年代以来， 使用变分偏微分方程进行图像处理的方法获得了较大的发展，逐渐成为门十分具 有吸引力的研究课题。目d 订，基于变分偏微分方程的图像处理技术在图像复原、图 像分割、图像重构、图像识别、图像分析等方面得到了广泛应用，最早的研究工作 可以追溯到n a g a o 、r u d i n 等关于图像光滑和图像增强的研究以及k o e n d e r i n k 对图 像结构的探索1 1 - 4 1 。此外，图像处理和数学的其他分支如图像水平集( 1 e v e ls e t ) 、图像 形状( s h a p e ) $ h 形态学( m a t h e m a t i c sm o r p h o l o g y ) 等也为该学科的形成注入了一定的内 容。其中，图像处理中的两个重要分支直接影响到了这个学科的最终形成：一是图 像分割，二是图像滤波。基于偏微分方程( p d e ) 的图像处理方法的基本思想是令图 像或以图像为背景的几何曲线( 曲面) 按指定的p d e 进行演化( e v o l u t i o n ) 或形变 ( d e f o r m ) ，而p d e 的解就是希望处理的结果1 - s l ，即针对所要解决的图像问题，建立 适当的p d e 和其对应的数值方案，求其稳定解足基于p d e 的图像处理的关键。 图像去噪是图像处理中的重要研究内容，k o e n d e r i n 给出的基于尺度空间理论的 两个重要意义的曲线演化p d e ，中值曲率驱动方程( m e a nc u r v a t u r em o t i o n ，m c m 方 程) 和仿射形态学尺度空间方程( a f f i n em o r p h o l o g i c a ls c a l es p a c e ，a m s s 方程) 在图像 去噪中有着很好的应用1 2 1 。p e r o n a 和m a l i k ( 1 9 9 0 ) 提出的各向异性扩散模型( p m 模 型) t ，将图像滤波和图像边缘的检测过程结合起来，得到了较线性滤波更优良的性 能。图像复原问题也是图像处理中的经典问题，o s h e r , r u d i n 和f a t e m i ( 1 9 9 2 ) 在文献 【6 】中提出的全变分( t o t a lv a r i a t i o n ，t v ) 模型为图像复原开创了一种全新有效的模 型。图像分割也一直是图像处理领域中的热点问题之一，gs a p i r o ( 1 9 9 7 ) 等1 7 1 提出的 测地线活动轮廓( g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u r g a c ) 模型是目前基于偏微分方程( p d e ) 方法 图像分割的最基本的活动轮廓模型之一，其目的是希望将图像中感兴趣的对象与图 像中的其余部分分离。 以上图像处理中p d e 的数值实现也是一个极具挑战性的热点问题，由于图像函 数固有的不连续性，致使所得到p d e 的非线性，以及图像数据量的庞大使得数值方 法不仅要保证计算的稳定性还要考虑算法的效率和精度。针对以上图像处理中p d e 的数值方法研究，王大凯等( 2 0 0 8 ) 分别给出了基于中心差分离散化的显式、半隐式 北i u j 人0 颁f j 似沦义 方案，易于求解，但是限制条件比较苛刻，时间步k 必须足够小 2 1 。p s m e r e k a ( 2 0 0 3 ) 在文献 1o 中给出了一种针对曲线演化方程的稳定性很高的加性算子分裂 ( a d d i t i o n a lo p e r a t o rs p l i t t i n g ，a o s ) 算法，但是比较耗费存储量。w e i c k e r t 等( 2 0 0 1 ) 构 造了针对p m 方程的半隐式方案，该力案导致了一个线。陀联直力程组，这给方秤组 的求解带来困难，求解效率比较低12 1 。p e a c e m a n 和jr a c h t b r d 也提 了针对该方程的 分裂算法，称为p r 算法，该算法是一种乘法算子分裂算法，绝对稳定且精度较高， 但是这类算法不满足数字旋转不变性 1 2 1 。m a r q u i n a a 和o s h e rs 在文献 1 5 】中给出了 t v 模型的的迎风差分数值方案，该算法具有很好的收敛性和滤波效果，但不易于数 值实现。实现g a c 模型的三种现有的显式数值方案为：水平集方法、变分水平集 方法及改进的变分水平集方法，该类方法的数值方案需要重新初始化，改进的变分 水平集方法采用的数值计算方法具有较高的稳定性，可选用较大的时问步长，但是 效率比较低 2 1 3 1 。 本学位论文针对现有模型及数值方案，从基于偏微分方程的图像处理理论出 发，利用文献 1 1 中的无条件稳定格式一一s a u l y e v 不对称差分数值方法，将半隐式 格式显式计算，对图像处理中的几类经典模型的数值求解方法进行了新的探索和研 究，以克服现有数值格式的不足，我们希望能够从基本的偏微分方程图像处理的理 论和方法出发，寻求出更加有效、实用可行的数值新方法。 第一章，针对图像去噪中的两类曲线演化方程m c m 方程和a m s s 方程，构造了一 种新的不对称差分格式并给出该算法的实现过程，分析了算法的数值稳定性，数值 实验的定性分析和定量分析证明了该类格式的有效性和实用性；第二章，继续将该 类不对称差分格式应用于图像去噪中经典的非线性模型p m 模型，利用该算法 对噪声图像进行平滑，数值实验结果证明该格式针对p - m 方程在图像去噪中的可行 性；第三章，针对图像复原中的t v 模型，构造它的不对称差分数值格式，给出格 式的数值稳定性分析，用退化图像进行图像复原数值实验，证实该格式在利用t v 模型进行图像复原时是有效的；第四章，构造了图像分割中g a c 模型的不对称差分 格式，数值实验表明不对称格式在不亚于传统算法分割精度的同时，提高了图象分 割速度，证明了格式的有效性和可行性；最后对本文的主要工作和研究成果进行了 总结。 2 华，i l i u j 人0 j 硕卜伊论文 第一章基于曲线演化方程的图像去噪不对称差分方法 利用文献 1 1 中的s a u l y e v 不对称差分方法的优点，将半隐式格式显式计算， 针埘图像去噪中的阿类曲线演化方程：中值曲率驱动方程( m e a nc u r v a t u r em o t i o n ， m c m 方程) 和仿射形态学尺度空间方程( a f f i n em o r p h o l o g i c a ls c a l es p a c e ，a m s s 方 程) ，构造出一类新的无条件稳定、易于计算的显式差分格式不对称差分格式， 给出该格式的算法实现过程，分析了算法的数值稳定性，最后，数值实验的定性和 定量分析都证明了格式的有效性和实用性。 1 1 曲线演化方程与不对称差分格式 1 1 1m c m 方程不对称差分格式的构造 传统的中值滤波是指利用一种中值滤波器对图像进行处理，目前用于图像处理 的加权中值滤波器基于一个结构元素b ，其定义为 m e d k ( “) ( x ) = s u p i n fu ( y ) i s l ；y e b + x 其中，k 是权函数，m e d k ( u ) 是一个平移不变的形态学算子，s u p 和i n f u ( y ) 分别表示 二 y e b + x 上确界和下确界。( 1 - 1 ) 式是目前应用于图像处理上的中值滤波器的一种加权改进方 法，令其中的b = d ( o ，j i ) ，| i ( 七= 协 、，测度是上的平均测度，并令j i i 寸o ，刀寸，且甩| i i ：f ， 刀_ - z l - i - ,bti 则“( f ，川= 。枷一l i r 。a ：，m e d ；i ，是式( 1 - 2 ) 在f 时刻的解， ( 1 2 ) 当c ：1 时，上式被称为中值曲率驱动方程 2 1 ，其在时刻t 的解可作为滤波后的图像。 其中，一= 盟嚣爷丛，i d ( u ) l = 厢于是基于m c m 方程的p d e 为 3 0 = 。 v y 叫以卜刮 塑乱吣 ，【 8 u u x _ 。u i - 2 u 。“，u 。栅。“： 一= - - - - - - - - 二- - - - - - - 二- - - - - 二- - - - - - - - 二二一 a u ；+ “： ( 1 - 3 ) 容易验汪上式右边r l j 表示为孚：a “一( “) ，式中a 材一。+ 1 4 , v ，( “) ：塾笠竺掣竺掣， u t “。+ “ 蛳“闱m 。丽v u 。 我们利用s a u l y e v 1 提出的针对扩散方程的不对称差分方法，构造出一类新的无条 件稳定显式格式不对称差分格式，采用如下近似 孚：坚蔓加i - ( f ) 一= _ = - ，、，l a t a t 、。 鲁旦：连蔓删， 舐2 h 、7 ( 1 4 ) ( 1 - 5 ) 既对孚用向前差分，对窘= 兰( 罢) 采用中心差分，用( i ，k + i 代替( 豢) t 。，于是 o t 出出出 出一出j - 上式为 鲁旦：趁扔 m6，h苏2 、7 ”。 2 矿ll k + t 一“；一矿“+ 吩k 一+ t l j x + d ( f + 2 ) ( 1 - 7 ) 由( 1 4 ) 7 f 1 ( 1 5 ) 式，得到扩散方程譬：口笔的差分格式 优o 矿州=等矿+忐(喇+畋。)(1-8)ara r 7 l + o l + 、，1，”7 这里，= 万a t 。其截断误差前三项为 hi g ua t 2a 4 uh 2a 6 掰 f 苏31 2 苏41 2 融6 故误差阶为o ( a t 2 + 2 + 三) 阶。从上式可以看出，如边界“：+ 1 已知，贝l ji ：l d ( 1 8 ) 可以显 a t 式地写出吩k + 1 ( = l ，) 之值，即计算从左边界开始逐步向右移动。 4 l # 此l u 力人学硕t ；”t - f ? i 沦文 若在( 1 - 5 ) 式中用( 款o x + - - ! 代替( 飘；，则i、oxj 二 于是得到另一个类似的格式 其截断误差前三项为 喜：鲢删叭确 舐2h 、 = 古( “争”，k + l 州j “j - 1 ) + d ( 2 ) ( i - 9 ) ( 1 1 0 ) u + , _ 1 十- “a r 厂矿+ l + a r 口，( “川k + l + u 川k ) ( 1 - 1 1 ) ha 3 ua t 2a 4 uh 2a 6 u 出缸31 2 苏41 2 苏6 故误差阶为o ( a t z + z + _ h ) 阶，如果计算从右边界向左边界移动，则( 1 1 1 ) 式也是显 f 式格式。 如果a r 为常数且与原方程相容，则截断误差为o ( a t + h 2 ) 阶，l a r k i n 提出了使 用s a u l y e v 近似格式易于使用的各种算法，这些算法是1 ： 1 只使用( 1 8 ) ，在时间方向上一条线一条线地进行计算，在同一条线上始终从左 到右。 2 只使用( 1 一1 1 ) ，在同一条线上始终从右到左进行计算。 3 交替使用( 1 8 ) 和( 1 1 1 ) ，在某一条线上使用( 1 8 ) ，在下一条线上使用( 1 1 1 ) 。 4 在同一条线上同时使用( 1 8 ) 式( 从左到右) 和( 1 - 1 1 ) 式( 从右到左) ，然后把所得结 果取平均值作为结果，这种取平均值的方法可以抵消截断误差，其计算过程可以写 成 彳+ 1 = 高“k + 忐( 瑞1 + “舢j = l ，j l ( 1 - 1 2 ) l + a r 。1 + a r 、厂1 r “。 。 o 。，k + l - - 而1 - - a r “；+ 品( 喇叫k 一) ，_ l ，一l ( 1 - 1 3 ) = 乏型 ( 1 - 1 4 ) 华，i 匕l u j 人。z 影j j 0 乏化沦义 我们利用上述算法4 ，针对图像去噪中的两类曲线演化方程m c m 方程和a m s s 方程， 对图像的每个像素( f ，) ，做如下离散化， r 是在工轴方向上对图像的细分，缈是在y 轴方向上对图像的细分，将图像网格化。一般情况下，为了计算方便，令触= 缈= 厅， 使得每一个小的州格都构成个币力7 髟，而f 为时川步k ，这样t 就农示为训始图 像在第n 个时间层在( _ ，乃) 处的图像。 “铲华，( u x 驴孥 ) ，：等 c 甜。，玎：二挚，c 甜w ，：! 学( 甜。) 玎= ：至二产，( 甜w ) ，= ! ： ) ，= 盟盟学 对于上式中的石轴方向的二阶导数，用( “。) ? + ；代替式中( ) ? 。，对于上式中的y 轴方 卜三卜三， 向的二阶导数，用( “，l 代替式中( “，) ：， ，得到下式： k 驴毕：盟铲( 1 - ( 口= 学= 堕凸产 1 5 ) 。吼：丝n 等i 2 丛、n + l ：盥气2 盟 ( 1 - 1 6 ) 将以上各式及( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 式代) k 至l j ( 1 3 ) 式中便得到m c m 方程的不对称差分格式 为 材；州= 而1 - 2 r 中一南( n + l j 叫n 户+ l ，一“飞n + ，) 一垃孵( 1 - 1 7 ) 这里，= 矿a t ，从上式计算的网格点可以看出，若计算边界值“0 州已知，则由( 1 一1 7 ) 式可 显式的写出“( f ，j = l ，2 ，) 之值，即计算从左边界开始逐步向右移动。同理，若用( 叱) 麓， 代替式中( ) ? ，用帆) _ ，代替式中( 叱) 7 。，于是得到另一个类似的格式： i + ：jt j + ：i ，+ ： 。嗡：华：盟牟幽 m 6 f 北电力人硕f j 学f t 沦丈 ( u l , v ) ，27 一沁一墨一( 峨一一噬型 hh 2 ( 1 - 1 9 ) 将以上各式及( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 式代入到( 1 3 ) 式中便得到m c m 方程的另一个不对称 差分格式为 = 篙t ，；一南似。n + 一1 1 _ n + + 1i ，n 一柚咄弼( 1 - 2 0 ) 这里，：等。如果计算从右边往左边移动，则上式也是显式格式。 对于以上两种类似的不对称格式，我们采取以下算法，在同一条直线上同时使 用( 1 1 7 ) 式( 从左到右) 和( 1 2 0 ) 式( 从右到左) ，然后把所得结果取平均值作为结 果，这种取平均值的方法可以抵消截断误差，其计算过程如下： p 。n + l 而1 - 2 r “；一( 毕o + 1 n 川+ l 一“二。，一磁川) 一f 嵋( 1 - 2 1 ) 0 ，n + l 而l - 2 r 蟛一南( 缆：，+ 簖。一“一“一垃弼 n +l ：p；nj+ 丁1+ on+ l 1 1 2a m s s 方程不对称差分格式的构造 ( 1 2 2 ) ( 1 - 2 3 ) 在图像滤波的偏微分方程中除了m c m 方程外，还有一种不仅具有中值曲率波 动方程的平移和欧式不变性，且具有仿射和对比不变性的偏微分方程，即a m s s 方 程【5 簪啪忉；( 1 2 4 ) 【u ( x ，y ) = u o ( x ，y ) ，t = 0 该方程在实现图像去噪的同时，能更好的保持图像边缘的特性，它和m c m 方程在 形式上的差别仅在于c u r v ( u ) 的指数次数，对上式进行化简得到基于a m s s 方程的 p d e 为 百o u = ( “材“y 2 2 “工+ “k 2 ) v 3 构造a m s s 方程的不对称差分格式 # ，i 匕l u 力人。誓顺l ：0 乏f t 论文 “；+ 。= ( “盯) 驴( “y ) ；一2 ( u ) ( “y ) | ! ，( “砂) + ( “，w ) ，( “x ) ；) 】怕 ( 1 2 5 ) 其中各导数项的定义与1 1 1 节中定义一样，类似于m c m 方程差分格式的计算方法， 址从左到有计算得出的n “为( “) ，从右边界到左计算得出的“为( “) ：，于是得 a m s s 力稚的数值解为 移1 ：华 m 2 6 ， 1 2 稳定性分析 考虑如下m c m 方程的不对称差分格式( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 式 p 。n + l _ 而1 - 2 r “；一l + r 2 r ( 毕艺+ 、；n 川+ l 一以u - - u u n + ，) 一出叼 彩”= 再1 - 虿2 r “；一若、z 川n + 1 ，+ 凯n 川+ l 一啦u _ f i n 一。) 一f 叼 “：p 罗j + _ l + o n + l m c m 方程是一种非线性扩散方程，对于非线性扩散方程的稳定性分析，目自矿还没 有一般的判定法则，加上式中的算子 r ( “) = v ( i v u i ) ，旦i v u l 县离府韭线性的，于是对该算 子不能直接使用f o u r i e r 分析方法，我们采取如下做法对该格式进行稳定性分析。算 子( 越) = v ( i 乳i ) 尚表明( “) 是“的梯度模值的梯度在尚上的投影，当“是距离函数， 则由i v “l = l jv ( 1 v “1 ) = o j ( “) = o 。如果“稍许偏离距离函数，( “) 也将是一个足够小 的量【2 1 。根据这一考察，对( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 式进行数值计算时，可将a u 的部分采用不对 称格式，而当时间步长足够小时，算子( ) 的效果可以忽略，即对m c m 方程进行 线性化稳定性分析，然后利用f o u r i e r 方法给出其稳定性的一个条件。于是 ( 1 - 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 式可以等价写成 + l = 而1 - 2 r “；一东南( 蜗：，+ 蝶。一一堋n + l ，w n + + l _ l 一) ( 1 - 2 7 ) 令球：”一p m 驯p m 肜，其中( f - ) ：一1 ，代入上式并化简得 f # j 匕i u 力人。誓硕卜。化沦文 = 篙“”一志 ( c 。s ( + c o s ( 嘲) 1 咔。s ( 施) + c o s ( m ( 1 - 2 8 ) 进一步化简得 【l + 塑等竺2 r 蚴川= 品12 r “，i + 高2 r ( c o 啪卅c o s ( 坳，”( 1 2 9 ) l + 。 + ( 1 +) 、 、。 、1 77 得其增长因子为 g c t ，口，= 吾笔三j 专雾詈浍渊 c 3 。， 可证i g ( a t ，口，d i l ，格式( 1 2 7 ) 即格式( 1 - 2 1 ) - ( 1 - 2 3 ) 式是无条件稳定的1 。 a m s s 方程和m c m 方程在形式上比较相似，差别仅在于曲率的指数的不同， 正是由于曲率指数的存在以及a m s s 方程的高度非线性，使得对该方程的不对称差 分格式的稳定性分析变得很困难，不能亩接使用f o u r i e r 分析。 1 3 数值实验 1 3 1m c m 方程的图像去噪 为了验证本文格式的有效性，数值实验采用文献 1 9 】中的例子，分别利用小对称 差分格式( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 式和文献 1 9 1 算法来对m c m 方程进行求解，得到不同尺度 下滤波后的图像。 图1 1 ( a ) 是原始图像，图1 1 ( b ) 是对原始图像添加了高斯白噪声( g a u s s i a nw h i t e n o i s e ，方差为0 0 1 ) ；图1 - 2 ( a ) 、图1 - 2 ( b ) 、图1 - 2 ( c ) 分别是利用文献 1 9 q h 方法求解， 得到不同尺度参数t 值情况下图像滤波的结果；图1 - 3 ( d ) 、图1 - 3 ( e ) 、图1 - 3 ( f ) 分别 是利用不对称差分格式( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 式求解，得到不同尺度参数t 值情况下图像滤波 的结果：图1 - 4 ( g ) 、图l - 4 ( h ) 分别为本文方法在未迭代情况下图像滤波的结果。 9 o ，i l , e 力人坝 j 0 乏f 沦文 图1 1 文献【1 9 】中的数值算例 ( a ) t = o 4 ( b ) t = o 8( c ) t = 1 2 图1 - 2 义献【1 9 】方法去噪实验 ( d ) t = o 4 ( e ) t = o 8 ( dt = 1 2 图1 3 本文方法去噪实验 1 0 f # 北i u ，j 人中硕十学何论文 ( g ) t = 0 8( h ) t = 1 2 图1 4 本文方法未迭代去噪实验 1 3 2a m s s 方程的图像去噪 针对a m s s 方程进行图像去噪实验，同样利用不对称差分格式( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 式进 行求解，得到不同尺度下滤波后的图像。 图1 - 5 ( a ) 是原始图像，图1 5 ( b ) 是对原始图像添加了高斯白噪声( g a u s s i a nw h i t e n o i s e ，方差为o 0 1 ) ；图1 - 6 ( a ) 、图1 6 ( b ) 、图1 - 6 ( c ) 分别是用文献 1 9 q h 方法求解， 得到的不同的尺度参数t 值情况下图像滤波的结果；图1 7 ( d ) 、图1 - 7 ( e ) 、图1 - 7 ( f ) 分别是利用不对称差分格式( 1 2 6 ) 式求解，得到的不同尺度参数f 值情况下图像滤波 的结果；图1 - 8 ( g ) 、图1 8 ( h ) 分别为本文方法在未迭代情况下图像滤波的结果。 图1 - 5 文献 1 9 q h 的数值算例 f # 北il l 力人。颁f j 0 乏f 沦文 ( a ) t = o 4( b ) t = o 8 ( c ) t = 1 2 图1 - 6 文献 1 9 1 方法去噪实验 ( d ) t = o 4 ( e ) t = o 8( f ) t = 1 2 图1 7 木文方法去噪实验 ( g ) t = o 8( h ) t = 1 2 图1 8 本文方法未迭代去噪实验 1 2 华北i u 力人硕f j 。f p 论文 从效果图中看出，本义的不对称差分格式在去除噪声的同时较好的保持了图像 的细节特征，尽可能较大程度的平滑噪声。采用不对称格式进行小尺度、多次迭代 算法去噪优于文献 1 9 1 的差分格式和末迭代算法，得到了较高质量的图像。 1 4 数值实验分析 采用以下定义的均方误差( m s e ) 和峰值信噪比( p s n r ) 两个指标1 2 1 。 m ( 耶，j ) - j ( i ，朋2 m s e = j l 面丽一 ( 川，朋2 驴 ( 1 - 3 1 ) p s n r ：面l o 百x 1 n ( 2 5 5 2 x m x n ) ( 1 - 3 2 ) ( 川，j ) - j ( i ，肭2 其中，分别为原图和进行滤波后的图像，m ，n 分别为原图的行列数，均方误差 和峰值信噪比反映滤波后图像与原图的逼近程度。均方误差越小越好，而峰值信噪 比越高则说明滤波后图像越接近原图。下面分别给出以上数值实验结果中的评价指 标。 表1 1m c m 方程图像去噪评价指标 1 3 # 北l 也j 人0 0 形! 卜f 口沦文 表1 2a m s s 方程图像去噪评价指标 从以上两表中可以看出，相对于文献 19 】中的算法和未迭代算法，本文分别针对 m c m 方程和a m s s 方程构造的不对称差分格式，在经过小尺度、多次迭代对噪声 图像滤波后，得到了较小的均方误差和较高的峰值信噪比，达到了较好的滤波效果。 1 5 小结 本文针对图像去噪的m c m 方程和a m s s 方程，构造出一种新的无条件稳定的 显式差分格式不对称差分格式，采取在时间方向一条线上从左到右和从右到左 的差分算法的平均值作为方程f 时刻的数值解，进行图像滤波。本文方法与文献 1 9 】 中方法相比，抵消了截断误差，易于计算，达到了较好的滤波效果；均方误差和峰 值信噪比的定量分析说明了该格式在图像去噪中的有效性。 1 4 华北l 【! 力人0 乏硕十。忙沦文 第二章基于p m 模型的图像去噪不对称差分方法 本章继续将该类无条件稳定的显式计算方法彳i 对称差分格式应用于图像 去噪巾经典的二i f 线性模型一一p m 模型，利f h 亥算法对噪声图像进行平滑，给出格 式的稳定性分析，数值实验证明该格式针埘p m 方程在图像去噪中的有效性和实用 性。 2 1 p - m 模型与不对称差分格式的构造 为了达到去噪同时保持边缘，p e r o n a 和m a l i k 于1 9 9 0 年首先提出如下各向异性 扩散模型f 3 1 ： 争州到乳胁( 2 - 。) 【u ( x ，y ，o ) = u o ( x ，y ) 上式即为p - m 方程，方程中的“传导系数”为g ( i v 1 ) ，依赖于变化中的图像u ( x ，y ，f ) 。 它利用了图像的一个重要的局部特性一一梯度模值，将图像的滤波过程与图像边缘 的检测过程结合起来，得到了优于线性滤波方法的效果。对于一副图像，在边缘处 l v u l 通常很大，g ( i v “i ) 很小，扩散程度变小，在平坦区域i v u i 很小，g ( i v u l ) 很大，扩散 程度变大，这样就可以有选择地把图像进行平滑，在边缘处平滑得少，而在平坦的 区域平滑得多，从而达到去噪并保持边缘的目的。( 2 - 1 ) 式中，g ( 1 v u l ) 可采取如下函 数： g 七：时，沿梯度方向的扩散系数为负；肖l v “i 二 o 且通常很小，而且，一般选择最小的正参数= 1 0 。2 。 于是我们给出如下方程的不对称差分格式 知枷c 南m 陬。训 4 ， 肌机c 南，2 筹铲。 对于梯度模值，根据离待求像素越远的像素对其灰度值和性质影响越小的原则， 得到改进的计算梯度模值的平方为： l v “i ；= 峨，一甜f _ ，一l 4 一咋一l ，4 一距f - 1 ，一l 2 】2 于是对于( 3 4 ) 式中的各项，针对图像的每个像素( f ，) ，采用不对称差分对( 3 4 ) 式中 第一项散度算子进行离散化，令 = “f ，w c ( “；) 2 2 “罗“；+ 矽、u 矿x ，) 2 ，善= ( “爹) 2 + ( “孑) 2 + 而( 3 4 ) 式中第二项采取冻结系数的做法进行离散化，得到( 3 4 ) 式的不对称差分格式 如下： ( “m = “j ! ：，+ f 1 v 叱等+ 允刚盯( o 一瞄) 】 ( 3 5 ) 从上式计算的网格点可以看出，若计算边界值n + 1 已知，则由( 3 5 ) 式可显式的写出 嵋+ ( f ，= l ，2 ，) 之值，即计算从左边界开始逐步向右移动。同样的道理，若用( 心) 麓，代 替式中( 吣) 7 。，用( b ) ? - 代替式中o ，) 7 。，得到另一个类似的不对称差分格式： i + = ji j 一：1 j 一： ，r + i ) ：= + f 【i v “k 善+ a i v 叱( 啦一巧) 】( 3 - 6 ) 如果计算从右边往左边移动，则上式也是显式格式。 对于以上两种类似的不对称格式，采取以下算法，在同一条直线上同时使用( 3 5 ) 式( 从左到右) 和( 3 6 ) 式( 从右到左) ，然后把所得结果取平均值作为结果，这种 取平均值的方法可以抵消截断误差，其计算过程如下： f 三，i t ：l u 力人坝卜f t 论义 ( 蚋- 剐f 唰焉“i 乳l f ，( 旷0 蟛) 】 ( 3 7 ) ；+ 1 ) ：= ，+ 出1 1 v “i 痞+ 五i v 旷0 啪】 ( 3 - 8 ) n + l 掣 则( 3 9 ) 式的数值解即为图像恢复的结果。 3 2 稳定性分析 对于t v 模型的不对称差分格式( 3 7 ) 一( 3 9 ) 式，有下面的数值稳定性分析 + i ) - 剐出 i v u | ，号“吼睁蜘】 蚴+ 1 ) ：= 鸭础唰号“眦0 叫铷 ( 3 9 ) “；“：坚婴盟 t v 模型对应的p d e ( 3 - 4 ) 式是一类非线性方程，对于非线性方程的稳定性分析，目 前还没有一般的判定法则，加上式中的散度算子是高度非线性的，于是对该算子不 能直接使用f o u r i e r 分析方法，采取如下做法对该格式进行稳定性分析。 首先将( 3 - 4 ) 式进行化简，在( 3 - 4 ) 式中，由于正参数= 1 0 刁2 是一个极小值，对 稳定性的影响可以忽略不计，( 3 - 4 ) 式可以改写为 鲁制咖( 尚叫v 水”) 给1 0 ) 由于机丽v u ) = 塾堕篙泸，( 3 - l 。) 式进一步展开为 鲁卸拶坨堕老券丛刊v 小) 一u x x u 2 2 u 拶“j ”y + ”k 2 = 一 + “； 2 6 # ，i 匕i u j 人。硕t j 。学f p 论文 容易验证上式右边可表示为詈= a u - n ( “) + 五i v “l ( 一“) ，其中“= + “ m ) = 丛专等型，最口脚) = v ( | v 叫) - 丽w u v ，于足差分格式( 3 - 7 ) 式可以改写为 “j + “：“i ( z ，) 。= “；+ f ( “) ；一蟛+ i v t ：( “；叫：) ( 3 1 1 ) 其中算子( “) = v ( 1 v 邓晶表明j v ( “) 足“的梯度模值的梯度在同v i i ：的投影，当“是距 离函数，则由i v “j = l j v ( 1 v i ) = o j ( “) = o 。如果u 稍许偏离距离函数，( “) 也将是一 个足够小的量，根据这一考察，对( 3 1 1 ) 式进行数值计算时，可将l | 的部分采用不 对称格式，梯度模值部分采用冻结系数法，而当时间步长足够小时，算子( “) 的效 果可以忽略，即对( 3 1 1 ) 式进行线性化稳定性分析，然后利用f o u r i e r 方法给出其稳 定性的一个条件。于是( 3 1 1 ) 式可以等价写成1 ( “；+ 1 ) 。= 甜；+ 订( “) ；+ a l v u l 玎( “：一“；) 】 同理可以得出( 3 7 ) 式的等价形式，得到不对称筹分格式( 3 7 ) - ( 3 9 ) 式的等价形式为 瞄“2 “；+ 素( = ! ，+ “等t + 畋u + “：川一n + u l 一磁；：t + “王+ 嵋川一4 “；一4 “) + a i v ”e ( 磁一蟛) ( 3 - 1 2 ) 令，= 紊，对于上式采用线性化稳定性分析，将i v “嘭用g 来表示，令“；= “”懈p m 刀，其 中( i 5 2 = 一1 ，代入上式并化简得 1 = 等等小而万【( c 。啪咖c o s ( 例1 _ ( c 0 啪咖c 0 啪励州+ 而a g “。 进一步化简得 【1 + 巫铲矽“= 等尘小丽r 12 r( c o 啪小c 傩( 枷“+ 高“。 ( 1 + 2 r ) 。 + ( 1 + 2 厂) 、 、7、 ( 1 + 2 ，) 上式中最后一项为初始值，不影响格式的稳定性，故得其线性化稳定性分析后的增 长因子为 g ( a t , a , f 1 ) = 煮篙等等 可证i g ( f ，口，历i l ，格式( 3 1 2 ) 即格式( 3 7 ) ( 3 9 ) 式是无条件稳定的。 2 7 华，i 匕l