（信号与信息处理专业论文）基于压缩感知的信号重构与分类算法研究.pdf

摘要 摘要 压缩感知理论是以信号稀疏表示为基础前提发展起来的新型的信号处理框 架，它打破传统信号处理中先采样后压缩的既定格局，用远低于香农定理要求的 采样率对信号进行采样的同时实现压缩，有效降低了采样、存储和处理成本。本 文基于压缩感知理论，重点研究了适合于信号重构或分类的各种算法，同时选用s 变换作为时频滤波工具对含噪信号进行抑噪预处理，降低噪声对信号重构或分类 的影响。 在信号抑噪中，通过引入变趋势窗函数和方向性参数，提出了广义方向性s 变换，然后结合谱减法和门限处理技术提出了基于广义方向性s 变换的噪声抑制 方法。实验结果验证了其在噪声抑制方面的优越性，为后续的重构与分类提供有 效的抑噪预处理手段。 在基于压缩感知的信号重构中，分析并对比了经典的信号重构算法，包括凸 优化算法中的迭代加权最小二乘法( i r l s ) ，贪婪算法中的匹配追踪算法( m p ) 、正 交匹配追踪算法( o m p ) 、压缩采样匹配追踪算法( c o s a m p ) 和子空间追踪算法( s p ) 。 通过实验证实了基于压缩感知信号重构的可行性，以及使用k s v d 算法训练得到 的冗余字典作为变换矩阵的优越性。此外，提出的噪声抑制方法有助于提高含噪 信号的重构概率。 在基于压缩感知的信号分类中，针对传统重构算法k s v d 的目标函数只包括 重构误差项和稀疏项，因而只能应用于无监督分类的缺点，引入f i s h e r 判别项得 到适合于信号分类的监督分类算法k s v d s ；进一步，针对s k s v d 算法中不同类 原子集可能存在交集的局限性，对其进行了两点修改得到m s k s v d 算法，使得不 同类的原子集互不相交，同时使同类的原子集保持线性独立。仿真实验证实了 m s k s v d 算法较之其他方法的优越性，并且在不同参数a 、不同训练集比例、不 同稀疏度、以及不同信噪比下所提算法均能保持鲁棒的分类性能。 关键词：压缩感知广义方向性s 变换信号重构监督分类算法 a b s t r a c ti i i a b s t r a c t c o m p r e s s i v es e n s i n gw h i c hd e v e l o p sf r o mt h ef u n d a m e n t a lp r e m i s en a m e ds p a r s e r e p r e s e n t a t i o n , b r e a k i n gt h en o r m a lp a t t e r ni nt h et r a d i t i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n go ff i r s t s a m p l i n ga n dt h e nc o m p r e s s ，u s i n gt h es a m p l i n gr a t ew h i c hi sf a rb e l o wt h er e q u e s to f s h a n n o nt h e o r e mt os a m p l i n gt h es i g n a lw h e nt h ec o m p r e s s i o ni sf i n i s h e da tt h es a m e t i m e i ti san e wf a f i eo fs i g n a lp r o c e s s i n gc u t t i n gd o w nt h ec o s to fs a m p l i n g 、s t o r a g e a n dp r o c e s s b a s e do nt h et h e o r yo fc o m p r e s s i v es e n s i n g ，t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so n t h er e s e a r c ho fv a r i o u sa l g o r i t h m sf o rt h es i g n a lr e c o n s t r u c t i o na n dc l a s s i f i c a t i o n ，a s w e l la sc h o o s et h est r a n s f o r ma st h et i m e 一抒e q u e n c yf i l t e r i n gt o o lf o rt h ed e n o i s i n g p r e t r e a t m e n t , i nt h ep u r p o s eo fr e d u c i n gt h ei m p a c to ft h en o i s eo nt h es i 星m l r e c o n s t r u c t i o na n dc l a s s i f i c a t i o n f o rs i g n a l d e n o i s i n g ，p r o p o s et h eg e n e r a l i z e d d i r e c t i o n a lst r a n s f o r m b y i n t r o d u c i n gt h ev a r y i n g t e n d e n c yw i n d o wa n dt h ed i r e c t i o n a lp a r a m e t e r , a n dt h e n i n c o r p o r a t i n gs p e c t r a ls u b t r a c t i o na n dt h r e s h o l dp r o c e s s i n gp r o p o s e st h ed e n o i s i n g m e t h o db a s e do nt h eg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a lst r a n s f o r m t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s v a l i d a t et h ea d v a n t a g eo ft h ep r o p o s e dm e t h o do v e rd e n o i s i n g ，t a k i n gi tf u r t h e r ，t h e p r o p o s e dm e t h o dc a np r o v i d ee f f e c t i v ed e n o i s i n gp r e t r e a t m e n tf o r t h es u b s e q u e n t r e c o n s t r u c t i o na n dc l a s s i f i c a t i o n f o rs i g n a lr e c o n s t r u c t i o nb a s e do nt h ec s ，a n a l y s i sa n dc o m p a r i s o n sa r em a d et o t h ec l a s s i c a ls i g n a lr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s ，i n c l u d i n gi t e r a t i v e l yr e w e i g h t e dl e a s t s q u a r e si nt h ec o n v e xr e l a x a t i o n , m a t c h i n gp u r s u i t 、o r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t 、 c o m p r e s s i v es a m p l i n gm a t c h i n gp u r s u i ta n ds u b s p a c ep u r s u i ti nt h eg r e e d yp u r s u i t a l g o r i t h m e x p e r i m e n t sv a l i d a t et h ef e a s i b i l i t yo ft h es i g n a lr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d b a s e do nc s 、t h es u p e r i o r i t yo ft h et r a n s f o r mm a t r i xw h i c ht r a i nf r o mt h ek s v d a l g o r i t h m 、t h ei m p r o v e m e n to ft h er e c o n s t r u c t i o np r o b a b i l i t yw i t l lt h ep r o p o s e d d e n o i s i n gm e t h o d f o rs i g n a lc l a s s i f i c a t i o nb a s e do nt h ec s ，f o rt h ed r a w b a c k so ft h et r a d i t i o n a l r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m st h a ti to n l yc a nb ea p p l i e dt ot h eu n s u p e r v i s e dc l a s s i f i c a t i o n , d u et ot h er e a s o nt h a ti t so b j e c t i v ef u n c t i o no n l yc o n s i s t so fr e c o n s t r u c t i o ne r r o ri t e m a n ds p a r s ei t e m ，p r o p o s eas u p e r v i s e dc l a s s i f i c a t i o na l g o r i t h ma p p l i e dt os i g n a l c l a s s i f i c a t i o nb yi n t r o d u c i n gt h ef i s h e rd i s c r i m i n a t i o ni t e mi n t ot h eo b j e c tf u n c t i o n f u r t h e r , f o rt h el i m i t a t i o no ft h es k s v dt h a td i f f e r e n tc l a s s e sm a yb eh a v ei n t e r s e c t i o n 。 r e s e a r c h0 1 1a l g n r i t h m so fs i g n a lr e c o n s t r u c t i o na n dc l a s s i f i c a t i o n 型b a s e d o nc o m p r e s s i v es e n s i n g o b t a i n et h em s k s v d a l g o r i t h mb ym o d i f y i n gt h ea t o ms e to ft h es k s v d ，i nw h i c h d i f f e r e n tc l a s s e sh a v em u t u a l l yd i s j u n c ta t o ms e t s ，w h i l et h ea t o mi nt h es a m ec l a s si s l i n e a ri n d e p e n d e n c e t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h es u p e r i o r i t yo ft h em s k s v d o v e rc l a s s i f i c a t i o np e r f o r m a n c ec o m p a r e d 、 r i mo t h e ra l g o r i t h m , a n dt h er o b u s t n e s so f t h em s k s v dt od i f f e r e n tp a r a m e t e r 、t r a i n i n gs e tr a t e 、s p a r s ed i m e n s i o na n dt h es n t l k e y w o r d s ：c o m p r e s s i v es e n s i n g g e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a lst r a n s f o r m s i g n a lr e c o n s t r u c t i o n s u p e r v i s e dc l a s s i f i c a t i o na l g o r i t h m 第一章绪论 第一章绪论 研究背景及意义 2 0 世纪以来，光学传感器、无线电接收机、地震检波器等传感系统获取物理 世界数据的能力得到不断地发展和增强，需要处理的数据量也日益增多。由于这 些传感系统的目的在于得到可靠的信号表示，采样得到的数据往往要求能够很好 的恢复出原始信号，这就是著名的香农一奈奎斯特采样定理【1 】：任何一个连续的带 宽有限信号，只要采样率在两倍截止频率以上就可以对采样得到的离散数据进行 无失真的恢复。香农一奈奎斯特采样定理从出现以来就成为数字信号和图像处理 领域的重要理论基础，它几乎支撑着所有信号和图像的处理过程：包括获取、存 储、处理和传输。例如在医学图像设备、无线电接收设备、音频设备等设备中的 都隐含了这样的采样定理。 采样定理的出现一方面为信号从模拟到数字的转换奠定了基础，另一方面， 以该采样定理为基础的传统信号获取和处理过程开始遭遇瓶颈，出现的难题日益 加剧。首先：奈奎斯特采样定理只能解决带宽有限的信号采样，对于超带宽信号， 根据定理要求采样的数据量非常庞大，这就要求a d 转换器等硬件设备拥有高速 率采样和高采样带宽，然而在现有技术工艺基础上提高这些硬件指标代价非常高。 其次：高的采样率给数据处理工作带来麻烦，例如数码相机和摄像机，由于产生 过多的采样点而不利于后续的存储和处理，通常要对采样后的数据进行压缩，然 后将压缩后的数据进行存储或传输，这显然浪费了高采样率的采样资源。 近几年来国内外的研究热点一压缩感知( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 【2 叫理论有效 地解决了上述的问题。c s 理论表明只要信号和图像在某个空间域是稀疏的，就能 用远低于奈奎斯特的采样率进行采样，同时用得到的少量观测数据就可以精确重 构信号。压缩感知将传统信号获取和处理过程中的采样和压缩结合成一个步骤一 压缩采样：直接从信号中获取少数的观测值，这些观测值本身就是压缩后的结果， 并且每个观测值是原始信号的线性组合，包含了信号的全部信息。最后所要做的 工作就是运用优化算法从这些观测值中恢复出原始信号，大大降低了采样，存储 和处理成本。例如：基于压缩感知的模拟信息转换器【l o 】就可以在宽带无线电信号 分析中用远低于奈奎斯特采样定理的采样率对信号进行采样，摆脱目前传感器及 a d 转换器的技术限制：另外在地震勘探成像【】、核磁共振成像【1 、医疗成像【1 2 】 中使用c s 方法对目标信号进行少量的随机观测次数就能获得高精度的图像重构。 2 基于压缩感知的信号重构与分类算法研究 另外，由于压缩感知理论通过少数的测量值就可以无失真的重构出原始信号 或图像，也就是说少量的测量值已经保持了原始信号或图像的结构和足够多的信 息，因此，利用压缩感知原理还可以将少量的测量值直接用于实现各种信号和图 像的分类，并由于测量值维数小，信息密度高等优点，可以大大减少相关算法的 时间和存储代价。 综上所述，开展压缩感知方面的研究是一项非常有必要且有意义的工作，本 文所有的工作即在此背景下进行的。 1 2 压缩感知及噪声抑制研究现状 1 2 1 压缩感知研究现状 压缩感知理论最早在是在2 0 0 6 年由d d o n o h o 、e c a n d e s 、t t a o 和j r o m b e r g 正式提出【2 ，5 - 6 , 1 1 1 ，并通过研究表明了其巨大的应用前景，理论一出便引起广泛的 关注，其中某些抽象理论源于范函分析和逼近论1 1 3 1 的原理。压缩感知理论与传统 的香农一奈奎斯特采样定理不同，它指出，只要信号在某个变换域是稀疏的，就 可以用一个与变换矩阵不相关的观测矩阵将原始数据投影到一个低维空间，然后 通过求解一个优化问题将信号从低维投影中重构出原始信号。 由于从理论上讲任何信号或图像都具有可压缩性，只要能找到稀疏域，就可 以进行有效的压缩采样，即c s 的一个重要前提是要找到信号的稀疏域，也就是 找到合适的变换矩阵，它直接关系到压缩感知的重构精度。最早的稀疏基( 或变 换矩阵，变换基) ，例如傅里叶变换基和小波基，并不能使所有的信号都可以达到 很好的稀疏表示效果，使得传统的基于“基 的稀疏表示方法有一定的局限性。 p e y r t l 4 l 将适合于各种信号的稀疏基合并在一起得到级联的稀疏基字典，即在字典 里，自适应地寻找表示某一种信号的最佳稀疏基，但仍然不法解决所有信号的稀 疏问题。h r a u h u t 等人在2 0 0 8 年将c s 理论把变换矩阵从传统的正交基空间推广 到了过完备字典( o v e r - c o m p l e t ed i c t i o n a r y , 又称冗余字典) 1 5 1 , 并证明了冗余字典下 的信号稀疏表示的有效性。冗余字典的研究进展又进一步推动了c s 理论的发展。 c s 理论的另一理论点是观测矩阵的构建，d o n o h o 在文献【1 6 】中指出了观测矩 阵所必须具备的条件，并指出大部分一致分布的随机矩阵都满足这些条件，然而 使用这些随机矩阵作为观测矩阵进行观测后，只能保证以高概率恢复信号，而不 能保证百分之百地精确重构信号。对于任何信号是否存在一个确定的观测矩阵来 精确地重构信号仍然是目前的一个研究重点。 使用观测矩阵进行观测后，就要使用重构算法对少量的观测值进行重构恢复。 目前为止出现的重构算法可分为两大类：贪婪算法n 7 1 、凸优化法【1 3 】。贪婪算法主 要根据匹配追踪的思想，通过局部最优解来逐步逼近原始信号。主要包括匹配追 第一章绪论 3 踪算法m p 1 9 1 、正交匹配追踪算法o m p f 2 0 2 1 1 、压缩采样匹配追踪c o s a m p 2 2 1 、分 段正交匹配追踪算法s t o m p 2 3 1 、正则化正交匹配追踪算法r o m p 2 4 】和子空间追踪 算法s p 【2 5 j 等。凸优化算法将原始的非凸优化问题转化为凸优化问题求解，如基追 踪方法b p 2 6 、内点法【2 7 1 、梯度投影法【2 8 1 、迭代加权最d - - 乘法l r l s l 2 9 1 等。比较 两类方法，凸优化法所需的观测次数较少，所得的解趋于最优解，但计算负担重， 而贪婪算法所需的观测次数稍多，重构精度比凸优化法低，但是其计算快速，负 担小。因此，当前压缩感知的重构算法研究仍然是一个重中之重，研究重点主要 集中在要求计算复杂度低、测量值小、重构精度高三方面。 当前，国内外对c s 理论的应用已经涉及到诸多领域，如：c s 雷达【3 0 】、生物 传感【3 1 1 、医学成俐1 2 1 、信道编码【3 2 1 、无线通信【3 3 】、集成电路分析【3 4 1 ，分类识别等 方面。其中基于c s 的分类的应用研究正在如火如荼的进行，例如人脸识别、信号 与图像分类等，各种基于c s 的分类算法应运而生，例如稀疏表示的信号分类算法 s r s c l 3 5 1 、监督k 均值奇异值分解法s k s v d 算法【3 6 】等。寻找切实有效的分类算法 成为c s 领域中的一个新的研究热点。 1 2 2 噪声抑制研究现状 虽然目前压缩感知得到了快速的发展，然而对于含噪信号或压缩采样后信号 引入噪声的问题仍然是一个难点，研究结果尚不理想。这主要是由于压缩感知的 基础前提是要求信号在某个变换域是稀疏的，噪声的引入则会破坏信号的稀疏位 置，以致得到的k 稀疏1 9 】的系数不能很好的表征原始信号，直接影响到后续的重 构和分类。由此可见，对于含噪信号，寻找切实有效的噪声抑制方法尤为关键。 传统的抑噪方法可分为非参数法1 3 7 和参数法【3 8 】两类。前者实际上是一种加窗 平滑方法，虽然能够抑制部分噪声分量，但该处理属于有损抑噪方法，会模糊信 号的细节特征。另一类参数法主要通过建模设计滤波器来对信号进行滤波，包括 维娜滤波、卡尔曼滤波、自适应滤波等，但该类方法需要先验知识才能获得较好 的抑噪效果。 由于现实生活中的大部分信号为非平稳信号，先验知识通常很难获知，同时 抑噪处理作为后续重构和分类的前端，要求是一种无损恢复。较之传统的方法， 时频滤波具有上述的显著优势，成为抑噪的理想工具。 常规的时频分析工具包括短时傅里叶变换s t f t t 3 9 1 、c o h e n 类时频分布【柏】、小 波变换【4 l 】、h i l b e r t - h u a n g 变换【4 2 1 、s 变换等【4 3 1 。s t f t 是一种线性变换，存在唯一 的逆变换，但是时频分辨率较低。c o h e n 类时频分布具有较高的时频聚集性，但它 不是一种线性变换，当信号为多分量时存在交叉项的干扰。小波变换具有多分辨 率的特点，具有表征信号局部信息的能力，但大部分小波变换不存在唯一的逆变 换，同时最佳小波基不易求得。h i l b e r t h u a n g 变换吸取了小波变换多分辨率的优点， 4基于压缩感知的信号重构与分类算法研究 同时又克服了小波变换选择小波基的困难。但该方法只针对单分量信号，对于多 分量信号首先要进行经验模态分解( e m d ) 4 2 】得到固有模态函数m f ，然后再对m f 进行h i l b c r t h u a n g 变换，但e m d 在实际上存在边界问题以及分解选择原则的确定 性问题。s 变换是由美国地球物理学家s t o c k w e l l 等人在1 9 9 6 年提出的一种结合短时 傅里叶变换和小波变换局部优势的时频分析方法，其可控的多分辨率特性符合非 平稳信号的分析特点，具有较高精度的瞬时频率估计能力，同时s 变换是一种线性 变换，对多分量信号无交叉项的干扰，具有唯一的逆变换，并可借助f f t 快速算法 实现。s 变换的诸多优点使其成为噪声抑制领域的的一个新的研究方向。 1 3 本文的主要工作及章节安排 本文基于压缩感知理论，在信号的重构与分类两方面开展了细致的研究，并 且针对噪声环境下的重构率或分类率的下降，对信号进行了抑噪的预处理。论文 的主要研究内容和章节安排如下： 第一章阐述了本文的研究背景和意义，概述了压缩感知及噪声抑制的研究现 状、最后对论文的主要研究内容和各章节的安排进行了说明。 第二章提出了基于广义方向性s 变换的噪声抑制方法。首先介绍了s 变换的 原理，然后引入变趋势窗函数和方向性参数提出广义方向性s 变换，并结合谱减 法和门限处理等给出了基于广义方向性s 变换的噪声抑制方法。最后通过与其他 方法的对比，得到瞬时频率估计的m s e ，置信度以及误识率的比较图，证明其在 噪声抑制方面的优越性，为后续的重构与分类提供有效的抑噪预处理。 第三章首先介绍了压缩感知的基本理论。其次详细陈述了基于压缩感知信号 重构的内容，包括信号重构的数学模型、变换矩阵和观测矩阵的确定等，从理论 上证明了基于压缩感知信号重构方法的可行性。第三介绍了信号重构的凸优化算 法i r l s 和贪婪算法m p 、o m p 、c o s a m p 、s p 。最后通过实验验证了基于压缩感 知理论信号重构的优越性，冗余字典对重构概率的提高，以及提出的噪声抑制方 法对信号重构概率的提高。 第四章提出了适合于信号分类的m s k s v d 算法。首先介绍了无监督分类的几 种算法，包括o m p 、k s v d 、s o m p 及k s v d 。其次介绍了监督分类算法：s s o m p 、 k s v d s 、c s s o m p 、s k s v d 。最后针对s k s v d 算法进行了两点修改得到 m s k s v d ，并通过实测数据实验证实算法的优越性，以及算法不同参数a 、不同 训练集比例、不同稀疏度、不同信噪比下鲁棒性能。 第五章对全文工作进行了总结，并展望了未来的研究方向。 第二章基于广义方向性s 变换的噪声抑制 第二章基于广义方向性s 变换的噪声抑制 2 1 引言 由于噪声的存在会对后续的重构与分类造成影响，那么在重构与分类前对噪 声的抑制显得尤为重要。s 变换是一种对多分量信号不存在交叉项干扰的线性变 换，由于具有唯一的逆变换、符合非平稳信号特点的多分辨率特性、较高精度的 瞬时频率估计能力等优点，使之成为噪声抑制领域的的一个新的研究方向。本章 选用s 变换作为噪声抑制的基本分析工具，并对其进行改进提出基于广义方向性s 变换的噪声抑制方法：首先是引入变趋势窗函数的广义s 变换，有效抑制了高频区 的失真；其次，在广义s 变换的基础上引入方向性参数并运用最大化准则提出了广 义方向性s 变换，实现了复杂调频信号时频域的方向匹配；再者，通过时频域的谱 减法及门限处理进一步达到抑噪的效果。实验通过对瞬时频率估计的置信度、误 识率以及最小均方误差( m s e ) 的对比分析验证了基于广义方向性s 变换的噪声抑制 效果。 2 2s 变换基本原理 s 变换是由美国地球物理学家s t o c k w e l l 等人在1 9 9 6 年提出的一种结合短时傅 里叶变换和小波变换优势的时频分析方法，其可控的多分辨率特性符合非平稳信 号的分析特点，具有较高精度的瞬时频率估计能力，同时s 变换是一种线性变换， 对多分量信号而言不存在无交叉项的干扰，具有唯一的逆变换，并可借助f f t 快速 算法实现。 2 2 1s 变换定义 信号s ( f ) 的s 变换在时间域的定义如下【4 3 】： 墨( f ，厂) = e s ( r ) ( f _ t ) e - j 2 z f r d r ( 2 - 1 ) 其中w ( t ) 为高斯窗函数 嘶) = 面去唧 _ 丽t 2 2a o 口i ，l 、，7 rii ，ji 由于窗函数满足条件： 哪) 2 南 ( 2 - 2 ) 田 一， 1w ( r - t ，f ) d r = 1 或1w ( f - t ，f ) d t = 1 ( 2 - 3 ) - - a o - - e o 因此，容易得到信号s ( f ) 的s 变换与傅里叶变换的关系： 6 基于压缩感知的信号重构与分类算法研究 s ( f ，f ) a t = e 亡s ( r ) ( r 一, ) e - j 2 - , , d z d t = e 柿。2 斫 e 国( 川) 西 卉 ( 2 4 ) 。= s q y 脚t d t = s ( 厂) 可见通过求疋( ，厂) 衍傅里叶反变换可以实现无损的s 变换的逆变换， 印) = e e 墨( f ，厂) 出卜( j 2 丌夕) 矽= i f r e s , ( r ，门如 ( 2 - 5 ) 另外，从时域公式( 2 1 ) 可以看出s 变换其实是窗函数以f ) 与s o ) p 一，2 石刀的卷积， 即： 墨( f ，) = s ( f ) e 印耳夕川) ( 2 - 6 ) 根据傅里叶变换在时间域与频率域的相互转换关系，可得s 变换在频率域的定义： 墨( f ，) = e s ( ，+ 厂) 形( ，) 一2 # 疗办= _ f 刀 s ( ，+ 厂) 形( ，) ( 2 - 7 ) 其中s ( ，) 与形( ，) 为信号与窗函数的傅里叶变换，形( ，) = 唧i 一兰笋l ，从公式 ( 2 - 7 ) 表明s 变换可借助f f t 快速计算，易于实现。 2 2 2s 变换性质】 ( 1 ) 线性性质 若输入信号为： x ( f ) = s ( f ) + 刀( f )( 2 8 ) 经过s 变换后有： 最( f ，) = s ( f ，) + s ( f ，厂) ( 2 - 9 ) 可见，s 变换是一种线性变换，当信号存在多分量时，不存在交叉项的干扰。 ( 2 ) 具有唯一的无损逆变换 从式( 2 5 ) 可知，s 变换将信号从时间域变换到时频域，然后通过与信号傅里叶 变换的关系实现s 逆变换从时频域又回到时间域，整个过程没有任何的信息丢失， 是唯一的并且无损的逆变换。 ( 3 ) 具有多分辨率 由s 变换的窗函数定义可知，其时宽宽度与信号的频率成反比，因此在低频 处有较高的频率分辨率，而在高频处有较高的时间分辨率。 2 3 基于广义方向性s 变换的噪声抑制 由s 变换的基本原理可知，其分析窗长随频率呈反比变化，使得时频面内的时 频聚集性和高频处的频率分辨率较低，在低信噪比下甚至不可辨认。针对这些问 题，本节首先引入了变趋势窗函数和方向性参数到s 变换，提出广义方向性s 变 换，该方法可以有效的解决高频处低频率分辨率和低时频聚集性问题。其次通过 第二章基于广义方向性s 变换的噪声抑制 7 时频谱减法及门限处理进一步达到抑噪的效果。通过对瞬时频率估计的置信度、 误识率以及最小均方误差( m s e ) 与其他方法的对比分析，证明基于广义方向性s 变 换的噪声抑制效果。 2 3 1 广义s 变换 由公式( 2 - 2 ) 可见，s 变换高斯窗函数的时宽是受标准差仃( 厂) 控制的，在低频 处具有很高的频率分辨率，而在高频处由于窗长减小过快使得频率分辨率急剧下 降。为了缓和窗宽的变化趋势，出现了很多以改变高斯窗函数为基本思想的广义s 变换h 5 4 刀。同理，本小节引入变趋势窗长控制函数仃。( 厂) 得到新的窗函数。( f ) 用 以适当的降低低频处的频率分辨率同时提高高频处的频率分辨率。由于基本思想 同样只改变了高斯窗函数，本文将改变后的s 变换也称为广义s 变换。引入的仃，( f ) 表达式如下： 仃。( 厂) = 争蛔o l o ( f + o 0 1 ) + 1 1 ( 2 - l o ) 不同于a ( 厂) ，仃。( 厂) 中的是归一化频率，范围为【o ，0 5 】，值域为【o ，0 5 6 9 2 a 】。 ： 则新的标准差为： 鲁切1 0 1 0 ( f + 0 0 1 ) + l 】 仃( f ) = o r ( f ) x c r , ( 厂) = 上t ；广一 ( 2 - 1 1 ) 新的窗函数称为变趋势窗函数： - ) = 考去印 - 南 仍满足在时间轴的积分为l ，即： 胁) d t = 如e 唧始卜 l 卅厂；一 2 嚣历。1 百瓦万(21342x f 2 , - 1 3 )q u ) 1 2，( 厂) 。 ( 2 一 ：一幻 ! 兰：! 三它! 倒 2 石仃。( 厂)l f i = 1 则得到的广义s 变换仍满足公式( 2 - 4 ) ，即可以得到无损的s 变换的逆变换。 图2 1 为跳频信号在5 d b 信噪比下使用原s 变换和广义s 变换的效果图，设 置a = 4 。 从图2 1 看出，原s 变换在低频处的频率分辨率较高，而在高频处的频率分辨 率较低，在低信噪比下甚至不可辨认。广义s 变换从整体上适当降低了低频处的 分辨率并且提高了高频处的频率分辨率，有效地抑制了高频处出现的极低的频率 8基于压缩感知的信号重构与分类算法研究 分辨率和时频聚集性，同时又不改变s 变换的频率分辨率从低频到高频由低到高 的特性。 6 0 0 5 0 0 4 0 0 将 爨3 0 0 2 0 0 1 0 0 6 0 0 5 0 0 4 0 0 羹。o o 2 0 0 1 0 0 2 0 04 0 06 0 08 0 01 0 0 01 2 0 0 2 0 04 0 06 0 08 0 01 0 0 01 时间 时问 ( a ) 原s 交换 ( b ) 广义s 变换 图2 1 不同变换的s 谱图( 5 d b 信噪比) 2 3 2 广义方向性s 变换 对于给定的时频分析方法，当瞬时频率曲线与时间轴平行时，要想提高i f 曲线 上的能量值，最简单的方法是加个时间平滑窗。对于复杂多分量的非线性f m 信 号，其i f 曲线与时间轴不平行，只有当所选的平滑窗与i f 曲线的切线方向一致而不 是简单的平行于时间轴时才可以加强曲线上所有点的能量，这就要求所选的平滑 窗的角度是自适应不断匹配的。文献【4 8 】中证明的m 曲线分段线性的性质从理论上 验证了上述分析的可行性，本文基于上述思想引入方向性参数提出方向性s 变换， 来提高s 变换时频曲线上能量。 引入方向性参数d 后的s 变换定义如下： 霹( ，f ，日) = f n s ( t + h c o s o ，f + h s i n o ) a h ( t + h r , o s o r ) 2 ( 2 14 ) = 巴：i 圭万es ( f ) p 2 d 。( ，) 2 e - j 2 x ( f , 岫7 d r d h 2 k 而石丽l s 【f j p ” “一p 其中仃( 厂) 2 厅i 丽1 ，通过定义可以看出引入方向性参数的s 变换就是 在时频面上沿着一定的方向对s 变换的每一个时频点加了一个方向为细棚长为日 的矩形窗，并在这个矩形窗内加权平均得到这个时频点的新值。当所加矩形窗t a n o 的方向与信号方向匹配时，则该时频点的能量将被加强。 引入特定方向的参数日后s 变换只能加强瞬时频率曲线上的某些时频点，即 t a n o 方向和曲线切线相一致的时频点。而方向性s 变换的目的则是加强整个瞬时 频率曲线。方向性s 变换定义如下： d s , ( t ，门2 勰 世( r ，厂) j ( 2 。1 5 ) 其中，9 表示不同角度，0 历l ，即有l + 1 个不同的方向。 第二章基于广义方向性s 变换的噪声抑制9 由( 2 1 5 ) 可知要产生方向性s 变换首先要得到一组不同方向的s 变换，由于不 同方向的s 变换加强了瞬时频率曲线上的不同时频点，通过最大化的操作后可以 提取出每个时频点的最大值，加强整个瞬时频率曲线。即方向性s 变换在每个时 频点的值是l + 1 个方向的s 变换中在这点的最大值。需要注意的是经过最大化操作 后，每个时频点相当于选择了一个最优的方向核，这些角度方向通常是不同的。 文献 4 8 1 q b 的a m a d 利用了c o h e n 类的时频分布( p w v d ) ，c o h e n 类的时频分 布虽然具有较好的时频聚集性，但当信号为多分量时存在交叉项的干扰。a m a d 通过加各个角度的平滑窗在很大程度上抑制了干扰，但是并不能完全消除。s 变换 是一种线性变换，当信号为多分量时并不存在交叉项的干扰，这使得方向性s 变 换更适合于多分量信号的i f 估计。 若使用广义s 变换作为方向性s 变换的基础变换，则得到广义方向性s 变换。 广义方向性s 变换不仅具有方向性s 变换的优点，而且抑制了高频处的失真，提 高了频率分辨率。 2 3 3 时频谱减法 最经典的频域白噪声抑制算法是谱减法【4 9 】，其基本思想是要从带噪语音的功 率谱中减去噪声功率谱，从而得到较为纯净的语音频谱，达到语音增强的目的。 本文将该算法引入时频域，目的在于使f m 信号的能量得到增强。其中关键的步骤 是要从时频图中估计噪声的方差。 文献 5 0 1 中提到在s 谱内高斯白噪声的平均功率随频率成线性增长。设疗( f ) 是 均值为0 ，方差为p2 的高斯白噪声，即： e 1 ) 1 2 - 磊1e 矿伽w 。_ f 广如f 州咖胁狮枷_ | 户如i = 去肛：厂：6 ( 川- 1 2 z f ( r - u ) e - 冲1 州卅如幽 = 尘k 一，2 ( 纠) 2 d r ( 2 - 1 6 ) 2 7 r ： 0 2f 2 陌 = = 一- i 一2 万vf 2 p 2 1 2 石仃( 厂) 同理，对于广义s 变换经过同样的推导可得到： e j 驰硝 = 番掐2 孺p 2 疋赢面i s l 瓦而2 丽p 2 砀1 ( 2 - 1 7 ) 对于高斯白噪声，不管是使用原s 变换还是广义s 变换，由于噪声的随机分布， 1 0基于压缩感知的信号重构与分类算法研究 使得经过方向性操作后噪声的功率分布基本保持不变。即方向性s 变换和广义方向 性s 变换的噪声功率仍分别满足( 2 1 6 ) 和( 2 - 1 7 ) 式。 由公式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 可知，高斯白噪声的平均功率谱是随着窗函数标准差的 倒数改变的。仃( ) 为原先窗函数的标准差，仃c f ) 为变趋势窗函数的标准差。为 统一以下式子，都用仃( 厂) 表示。 。 假设在一次实现中，i 最( f ，) 1 2 在固定厂时，它的值是恒定不变的并取为均值。 由于纯f m 信号j ( ，) ，它的s 变换在任意固定的厂内一般只存在少数点，忽略不计， 这样对于x ( f ) = j ( f ) + 胛( f ) 信号就可以通过以下式子来估计方差p 2 ： 筹熹艺l s ( 拧，州2 ( 2 1 8 ) 2 厅仃- n = l v 叫 、 其中s ，( 胛，f ) 为离散化的s 变换，n 为离散化后信号的长度。由此可以估计出 在固定厂下的方差p ：。虽然方差p ：其实是固定不变的，但是由于是一次实现，所 以无法得到准确值，这可以通过求各个厂下方差的平均值来提高其准确度。即： p 2 = m e a n ( p 2 ( 厂) ) ( 2 1 9 ) 同时由于之前忽略不计了信号的功率。得到的噪声方差p 2 比理论值会偏大， 所以要去掉一个值孝，即： p 2 = m e a n ( p 2 ( 厂) ) 一亏 ( 2 2 0 ) 计算得到方差p ：后，将信号x ( r ) s 变换的功率图减去相应频率下噪声的功率， 最后将功率图转换为原来的时频图，达到增强f m 信号能量的目的。即： 跏，力旧) 1 2 一象去j ( 2 2 ) 经过时频谱减法后的时频图虽然去掉了大部分噪声干扰，但是在时频面上的 能量聚集性不是很高，不利于提高i f 估计的精度。e m d 5 1 1 信号分解的思想是把一 个信号依次分解成相互独立的一系列固有模态函数之和，去掉残余能量部分。仿 照e m d 算法思想依次提取出时频图中的最大值、次大值从大到小把这些值进行 累加直到达到占所有值相加的一定比例，7 ，以累加的最后一个时频点值为门限y ， 去掉时频图中小于y 的残余点，达到提高能量聚集性和i f 估计精度的目的。 设彳为按降序重排时频矩阵最( 力的一维向量。刀2 删为重排成一维向量后的 个数。根据以下式子来求得累加的最后一个点彳( m ) ，得到门限值y 。 a ( i ) = r 么( f ) ( 2 2 2 ) y=么(聊)(2-23) 最后根据门限值去除残余点： 若最( 以，力 y ，母( 丹，厂) = 0 ( 2 2 4 ) 综上所述，本文将信号通过广义方向性s 变换、时频谱减法和门限处理的过 第二章基于广义方向性s 变换的噪声抑制 程称为基于广义方向性s 变换的噪声抑制方法。 2 3 4 瞬时频率估计 以时频分析为基础的瞬时频率估计的常规方法是提取时频脊线【5 2 】，它的基本 思想是在时频面上找出每一时刻上的最大值，并把最大值所对应的频率视为每一 时刻估计出的瞬时频率。公式表示如下： i f ( n ) = a r g m a x ( s x ( 疗，厂) ) ， ( 2 2 5 ) 提取出瞬时频率曲线后，通过与真实瞬时频率曲线的对比得到最小均方误差 ( m s e ) ，用于评价该时频分析方法在瞬时频率估计方面的有效性。然而针对多分量 信号，由于存在多条瞬时频率曲线，要想得到较小的m s e ，关键在于所用时频分 析方法可获得较为准确的时频支撑域，这可通过本章基于广义方向性s 变换的信号 抑噪方法达到。 其中，对时频支撑域的评价可仿照信号检测理论，二值化最后时频结果，通 过m o n t ec a r l o 仿真设置具有一定时频带宽的谱图作为真实的时频支撑域，并用以 下公式计算相应的置信度罡和误识率耳【5 3 】。 最= 等群s f n 。 群n 、 。 耳= 塑端端产 公式中撑表示求非零个数，s ( n ，厂) 代表真实的s 变换时频支撑域或置信区间： 离真实瞬时频率欧式距离为6 之内的区域。计算得到的卑和耳为相应的i f 置信区 间的置信度和误识率。 基于上述分析，本文首先对多分量信号进行基于广义方向性s 变换的噪声抑 制，然后通过对瞬时频率估计的置信度、误识率以及最小均方误差( m s e ) 的对比分 析证明该方法的噪声抑制效果。 2 4 实验结果及分析 为验证上述分析的正确性及算法性能，将进行如下仿真实验。实验采用的多 分量f m 信号包括两个分量，双曲线f m 和l f m ( 1 i n e a rf r e q u e n c y m o d u l a t e d ) ，并加入 高斯白噪声。即： 墨( r ) = c o s ( - 2 0 石t + 2 2 7 rl o g ( 13 t + 1 ) ) ，f = 0 2 3 s l s( 2 2 7 ) s 2