（固体力学专业论文）二自由度碰撞振动系统的随机响应.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文应用随机激励的耗散的哈密顿系统理论研究了二自由度碰撞振动系统 的随机响应。首先将随机激励下的二自由度碰撞振动系统表示为随机激励的耗散 的哈密顿系统的形式。在阻尼和随机激励之间满足一定条件时，应用随机激励的 耗散的哈密顿系统精确平稳解理论得到该系统的精确平稳响应；在不满足上述条 件时，并且在随机激励和阻尼较小的情况下，运用拟哈密顿系统随机平均法研究 了该系统的近似平稳响应。当该系统中的弹性壁的存在严重影响系统的响应时， 运用拟不可积哈密顿系统随机平均法研究系统近似平稳响应；反之，弹性壁对系 统的响应影响较小时，应用拟可积哈密顿系统的随机平均法研究了该系统的近似 平稳响应。最后，当弹性壁对系统响应的影响介于二者之间时，综合应用拟可积、 拟不可积哈密顿系统的随机平均法及最小二乘法研究了该系统的近似平稳响应。 通过与数字模拟结果的比较，说明拟哈密顿系统的随机平均法可方便地应用于二 自由度碰撞振动系统的预测并具有很好的精度。 关键词：碰撞振动系统j 随机平均法；随机响应 a b s t r a c t t h er e s p o n s eo fat w o d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o - i m p a c ts y s t e mu n d e rs t o c h a s t i c e x c i t a t i o nc a l lb eo b t a i n e db yu s i n gs t o c h a s t i c a l l ye x c i t e da n dd i s s i p a t e dh a m i l t o n i a n s y s t e mt h e o r y f i r s to fa l l ，t h ev i b r o - i m p a c ts y s t e mi sf o r m u l a t e da sas t o c h a s t i c a l l y e x c i t e da n dd i s s i v a t e dh a m i l t o n i a ns y s t e m t h e nt h ee x a c ts t a t i o n a r ys o l u t i o no ft h e s y s t e mu n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n si so b t a i n e db yu s i n gt h ee x a c ts t a t i o n a r ys o l u t i o nf o r s t o c h a s t i c a l l ye x c i t e da n dd i s s i p a t e dh a m i l t o n i a ns y s t e m a f t e rt h a t ，t h ea p p r o x i m a t e s t a t i o n a r ys o l u t i o no f t h es y s t e mi so b t a i n e db yu s i n gt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o d f o r q u a s i - - n o n i n t e g r a b l e h a m i l t o n i a ns y s t e mw h e nt h e r e s p o n s eo ft h es y s t e mi s s t r o n g l ya f f e c t e db y t h eb a r r i e ro f s y s t e m ，o rb yu s i n gt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o d f o r q u a s i i n t e g r a b l e h a m i l t o n i a ns y s t e mw h e nt h e r e s p o n s e o ft h es y s t e mi sn o t s t r o n g l ya f f e c t e db yt h eb a r r i e ro f t h es y s t e m l a t e ro n ，t h ea p p r o x i m a t es t a t i o n a r y s o l u t i o no ft h e s y s t e m i so b t a i n e db a s e do nt h ec o m b i n a t i o no ft h es t o c h a s t i c a v e r a g i n gm e t h o d sf o rq u a s i - - i n t e g r a b l eo rq u a s i n o n i n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m a n dt h el e a s t - - s q u a r e - m e t h o dw h e nt h ep a r a m e t e r so ft h es y s t e ml o c a t e db e t w e e nt h e t w oe x t r e m ec a s e s f i n a l l y , a l lt h er e s u l t so b t a i n e db y u s i n gt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n g m e t h o df o rq u a s i h a m i l t o n i a ns y s t e ma g r e ew e l lw i t ht h o s eo b t a i n e df r o md i g i t a l s i m u l a t i o n k e y w o r d ：v i b r o i m p a c ts y s t e m ，s t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o d ，s t o c h a s t i cr e s p o n s e 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景及现状 振动现象可以分为两大类：一类称为确定性振动，另一类称为随机振动。所 谓确定性振动是指那些时间历程可以用确定性函数来描述的振动。随机振动则与 之不同，对一个随机振动系统记录下来的振动时间历程显得各相径庭，复杂多样。 从单个记录来看似乎变幻莫测，但从大量记录来看却存在一定的统计规律性。因 此随机振动得借助统计特性来描述。用数学术语来说，无论是随机激励还是随机 响应都必须描述为随机过程。由随机振源激起的机械或结构系统的振动称为随机 振动。随机激励可以是外加的，此时随机振动是一种强迫振动，随机激励也可以 通过使系统参数发生随机变化而起作用，称为随机参变激励，相应的振动称为参 激随机振动。作为门技术学科，随机振动是关于机械或结构系统对随机激励的 稳定性、响应及可靠性的一整套理论的总称。随机振动可看成是机械振动或结构 动力学与概率论及其分支相结合的产物，是现代应用力学的一个分支。 对于线性系统的随机振动，已经有了成熟的理论方法【2 ，3 j 。而几乎所有机械 或结构系统都在某种程度上呈现出非线性性态。系统的非线性可以表现为非线性 恢复力、非线性阻尼或非线性惯性。例如在固体中，非线性恢复力可来自物理非 线性，即应力与应变不服从虎克定律。也可来自几何非线性，即应变与位移之间 的非线性关系。此外许多结构在承受严重载荷时会出现滞迟效应以及刚度与( 或) 强度的退化，这使恢复力成为位移的非线性多值函数，恢复力的值不仅取决于系 统当时的状态，而且取决于系统响应的历史，同时伴随着能量的耗散。非线性阻 尼也是多种多样的，如干磨擦，固体在流体中快速运动时受到的幂律阻尼等等。 按照线性理论所得的结果，往往是实际系统随机响应量的一次近似。这种近似在 许多情形下是够满意的。但是，也有很多场合，问题的线性处理并不能给出满意 的结果。首先，由于随机激励响应出现的概率可能很小，但它密切关系着结构的 破坏，而非线性效应正是在这些大幅响应中起着重要甚至决定性作用。例如，非 线性效应可使受高斯激励的系统的响应明显地偏离高斯分布，而这种偏离对系统 的可靠性与寿命估计往往有着显著的影响。其次，从确定性非线性振动理论知道， 在非线性系统中存在许多线性系统中不会出现的现象，即所谓本质非线性现象， 例如跳跃、自激振动、亚谐与高谐振动、浑沌等。用线性理论预测存在这种本质 非线性现象的非线性系统的随机响应，往往会给出错误的结论。因此，研究非线 性系统的随机振动，发展预测非线性系统随机响应的方法，揭示非线性系统在随 机扰动下可能发生的现象，具有十分重要的意义。 近2 0 年中，非线性随机振动已成为随机振动理论研究的重点之一，已发展 浙江大学硕士学位论文 了许多预测非线性随机响应的方法。其中一类是扩散过程理论方法，主要是福克 一普朗克一柯尔莫哥洛夫( 简称f p k ) 方程方法。还有一类是从确定性非线性振 动理论方法推广而来的，包括等效线性化，摄动法等。随机平均法则是上述两类 方法的结合的产物。 随机平均法是一类方法的总称。在随机振动中获得广泛应用的主要有二种： 标准随机平均法及能量包线随机平均法，前者适用于多自由度拟线性系统，后者 适用于单自由度强非线性系统。近年来朱位秋等利用哈密顿系统的可积性与共振 性概念，提出了拟哈密顿系统的随机平均法】，并将它应用于拟哈密顿系统的 随机稳定性、随机分叉、可靠性及随机非线性反馈控制等【”j ，实践证明该方法 是研究多自由度强非线性随机系统的有效方法。本论文就是在拟哈密顿系统的随 机平均法的基础上研究多自由度的碰撞振动系统的响应。 对于现代机电系统，内部或边界上的间隙通常使系统产生碰撞振动，即零部 件间或零部件与边界间的往复碰撞。例如：机器人操作器与环境接触和脱离过程 中总有碰撞，这会影响操作器的正常工作，甚至引起能量传递以及零部件的失灵 1 0 , 1 1 。机械传动副因碰撞会产生高频噪音，航天器伸展系统由于关节间隙导致传 动误差而要求较高的碰撞控制策略【i2 1 。深入研究间隙引起的碰撞振动，一方面要 在其设计阶段把握其动力学牲能，避免后继阶段的大挫折，另一方面是要抑制振 动。目前各种被动、主动或半主动阻尼器的作用就是抑制系统共振。但系统阻尼 器的设计是针对线性振动，而不是非线性的碰撞振动。由于碰撞振动系统是复杂 的非线性动力学系统，对它的研究既有理论难度又有重要工程实际意义。因此， 该研究近年来得到了普遍关注【i “。 人们对碰撞振动的研究已有近5 0 年的历史。早期研究主要针对涡轮机叶片 【1 4 】、机翼【1 5 】和机床的碰撞阻尼，系统模型是具有刚性约束的单自由度系统。人 们曾提出了一些理论方法 1 6 】和碰撞模型【1 7 】来确定碰撞恢复系数，发展了相应的 实验技术和模拟计算机仿真。1 9 8 1 年，p e t e r k a i g 综述了这些早期研究成果，这 一时期关于碰撞振动的专著陆续出版。从上世纪8 0 年代以来，随着非线性动力 系统理论、动态测试技术和计算机技术的发展，人们对碰撞振动的研究进入了一 个新的阶段1 1 9 1 。 根据对碰撞模型的不同假设，现有两种不同的分析方法：( 1 ) 刚性碰撞。假 设碰撞在瞬息完成，通过恢复系数描述撞击过程前后撞体的速度阶跃和能耗而不 考虑撞击过程的细节。( 2 ) 弹性碰撞。假设撞击过程需一定时间完成，用无质量 弹簧一阻尼器描述碰撞体相互作用时的变形和能耗，分析中包括了接触一变形一 恢复一脱离连续变化的实际碰撞过程。 在应用刚性碰撞理论方法方面，研究的主要问题是确定各种周期碰撞振动， 浙江大学硕士学位论文 分析其稳定性和分叉。从6 0 年代起，m a s r i 等人对多种冲击消振器的对称与非对 称周期运动的存在和稳定性进行了理论与实验研究【20 ，“j ，发现了对称与非对称周 期运动的相互转化现象 2 2 , 2 3 1 。h o l m e s 2 4 1 首次用数学方法证实了简化的弹跳小球 碰撞模型存在倍化序列与马蹄现象，揭示了碰撞中的混沌存在。谢建华1 2 5 , 2 6 研究 了弹簧一质量系统撞击无限大板的h o p f 分叉和余维二分叉问题以及振动锤的全 局性问题。d i m e n t b e r g 2 ”得到了具有刚性壁的单自由度碰撞振动系统的精确平稳 解。上述研究模型仅有一个自由度，在实际应用上多自由度系统显然更有价值。 s u n g 2 8 用数值方法研究了基础受简谐力激励的两自由度冲击振动系统。曹登庆1 2 9 研究了多自由度质量一弹簧系统的周期运动及鲁棒稳定性。 在应用弹性碰撞模型所做的研究中，d u b o w s h y 【3o j 曾使用线性粘滞阻尼器与 h e r t z 弹簧来模拟碰撞过程，l e e 3 1 】提出非线性阻尼模型。这种基于h e r t z 定律和 阻尼函数来描述的碰撞过程在碰撞振动的连续分析中得到了普遍应用 3 2 】。关于存 在随机因素的碰撞振动系统，j i n g 3 3 , 3 4 1 精确求解了具有间隙的单自由度碰撞振动 系统随机响应的闭合解。他也使用h e r t z 理论描述接触，激励为具有零均值的高 斯过程。发现当间隙是对应于线性系统均方响应的两倍时，可以忽略接触现象。 l i n ” 分析了基础存在随机性的碰撞系统。而多自由度受白噪声激励的碰撞振动 系统的随机响应，则少有人进行研究。在本论文中，我们将采用h e r t z 理论来描 述接触，应用拟哈密顿系统的精确平稳解及随机平均法，对一个二自由度的碰撞 振动系统的响应进行详细研究。 1 2 本文的主要工作 本文的第二章简单介绍了利用哈密顿系统的可积性与共振性等性质导出的 随机激励的耗散的哈密顿系统的精确平稳解及拟哈密顿系统的随机平均法。第三 章通过将随机激励的二自由度碰撞振动系统表示成随机激励的拟哈密顿系统的 形式，当系统参数满足一定的条件时，可得该二自由度碰撞振动系统的精确平稳 解；当系统参数不满足该条件时，系统的精确平稳解不存在，但可利用己发展的 随机平均法得到该系统的近似平稳解，此时当质量与壁的非线性效应不明显时 f 例如质量与壁间距很大或系统的随机激励很小等情形) ，可将该系统近似为拟线 性系统，并用拟可积哈密顿系统的随机平均法进行研究；反之，当质量与壁的非 线性效应很明显时，该系统为一完全耦合的拟不可积哈密顿系统，可用拟不可积 哈密顿系统的随机平均法进行处理；当质量与壁的非线性效应介于二者之间时， 我们综合应用拟可积与拟不可积哈密顿系统的随机平均法及最小二乘法进行处 理。通过与数字模拟结果的比较，证实了用随机平均法有很好的精度，可以很好 地预测碰撞振动系统的响应。 浙江大学硕士学位论文 第二章拟哈密顿系统的精确平稳解及随机平均法 近几年来的研究表明，对于多自由度强非线性随机结构动力学系统，哈密顿 提法较之拉格朗日提法有许多优点，因为哈密顿动力学中可积性与共振性概念对 了解各自由度之间在相空间中的全局关系很有帮助。最早，f u l l e r l 3 6 1 在评述精确 平稳解时将非线性随机系统表示成随机激励的耗散的哈密顿系统的形式。随机激 励的耗散的哈密顿系统指原哈密顿系统基础上加上随机激励及耗散构成的系统。 上世纪8 0 年代末与9 0 年代初，s o i z e 3 7 , 3 8 , 3 9 与z h u 等【4 0 , 4 1 1 用随机激励的耗散的哈 密顿的提法推广了非线性随机系统的精确平稳解。然而，所有这些精确平稳解皆 具有能量等分之性质。9 0 年代中，z h u 与y a n g l 42 j 运用哈密顿系统的可积性与共 振性等概念及泊松括号的性质，首次得到了非能量等分的非线性随机系统的精确 平稳解。在此基础上，z h u 等1 4 3 , 4 4 提出了随机激励的耗散的不可积与可积哈密顿 系统的等效非线性系统法。与此同时，z h u 等【9 ，lu j 运用哈密顿系统的可积性与共 振性等概念及k h a s m i n s k i i 的一个定理提出了拟可积与拟不可积哈密顿系统的随 机平均法。最近，z h u 与h u a n g 将精确平稳解推广于随机激励的耗散的部分可积 哈密顿系统 45 】与同时受谐和随机激励的耗散的可积哈密顿系统【4 们，提出了随机 激励的耗散的部分可积哈密顿系统的等效非线性系统法【47 与拟部分可积哈密顿 系统的随机平均法1 “。这样基本上形成了一个非线性随机动力学与控制的哈密顿 理论框架，在该理论框架内可统一处理单自由度与多自由度、线性与非线性( 特 别是强非线性) 随机动力学与控制系统，为深入研究多自由度非线性随机动力学 与控制系统打下了良好的基础。 2 1 哈密顿系统简介 考虑一个n 自由度哈密顿系统由以下哈密顿方程表示 反：掣( 2 1 - 1 。)吼2 _l 厶l l a j 吼 p ，：一掣( 2 。1 - 1 b )，2 一_ l z 。jb ) 6 q ， i = 1 , 2 ，一，h 这里q 。和p 是相应的广义位移和广义动量；h = h ( q ，p ) 是连续一阶可导的哈密 顿函数。一个押自由哈密顿系统，如果仅存在哈密顿函数日这一独立的运动积分， 则称该哈密顿系统是不可积的。如果存在n 个独立的、两两对合的运动积分 浙扛大学硕士学位论文 h ，( f _ 1 , 2 ，n ) ，就称它为完全可积哈密顿系统。所谓两两对合 h 的p o i s s o n 括号为零，即 【日，h ， = 0 ，f ，j = 1 , 2 ，” 式中 ， 表示p o i s s o n 括号，即 i n 卜_ o h , 竽一_ o h , _ o h s。 。pko qko qk 印k k = l ，2 ，一，” 完全可积的哈密顿系统的另一个定义可表述如下 ( 2 1 1a ) 与( 2 1 一l b ) ，存在如下的正则变换 i ，= i ，( g ，p ) 0 ，= 0 。( g ，p ) i = 1 ，2 ，一，” 使得新的哈密顿方程具有如下正则形式 ，：一旦日( ，) = 0 0 0 、7 非嘉即) 锄 就是任意两个 ( 2 1 - 2 ) ( 2 1 3 ) 若对n 自由度哈密顿系统 r 2 1 4 a ) r 2 1 - 4 b ) f 2 1 5 a ) r 2 1 - 5 b ) i = 1 , 2 ，一，n 上式中，。，只及国，分别为作用量、角变量及频率，日( ，) 为新的哈密顿函数，它与 角变量p 无关，就称( 2 1 一l a ) ( 2 1 - 1 b ) 为完全可积哈密顿系统。此时，由方程( 2 1 5 a ) 与( 2 1 5 b ) 积分可得 i = c o n s l 臼。= ，( ，) r + j ( 2 1 6 a ) r 2 1 6 b ) i = 1 , 2 ，。一，盯 其中一是任意常数。，和占，构成了2 n 个积分常数，于是，可以作为月个特殊的 独立的运动积分，它满足如下的方程 ，l j = 0 ( 2 1 _ 7 ) f ，j = 1 ，2 ， 得到给定的哈密顿系统的作用角变量的一个方法是解与系统相应的哈密顿- 浙江大学硕士学位论文 雅可比方程。然而除了一类可分离力学系统外，这通常是一件困难的工作。其中 一类更简单的可分离的子系统中哈密顿函数本身是”个独立的运动积分之和，即 日= h ，( g p ) ( 2 1 8 ) 当存在如下共振关系时 ? ，= 0 ，i = 1 , 2 ，n ，“= 1 , 2 ，口( 2 1 - 9 ) 其中| | ? 为整数，此哈密顿系统称为共振的。当其振关系个数a = ”一1 时，称为完 全共称的；当共振关系数口满足关系1 口 ”一1 时，称为部分共振的；当口= 0 时， 称为非共振的。一个n 自由度完全可积哈密顿系统的相迹分布在n 维环面上，完 全共振哈密顿系统的相轨线在 维环面上是封闭的，即运动是周期的；非共振哈 密顿系统的相轨线均匀地覆盖在席维环面上，运动是概周期的，在刀维环面上具 有各态历经性质，即时间平均等于空间平均；部分共振的哈密顿系统的相轨线则 介于两者之间。引入角变量之组合 帆= 掣p ，i = 1 ，2 ，n ，“= 1 ，2 ，口 ( 2 1 1 0 ) 当存在a 个共振关系时，帆= 巧。考虑如下的函数 g i = g i ( 1 1 ，l ，) ( 2 1 1 1 ) 它满足如下方程 1 1 4 , g l h h ，g 1 = 喜 筹器一万o h 瓦o g l - o _ ( 2 1 - 1 2 ) 2 2拟哈密顿系统的精确平稳解 考虑一个n 自由度的随机激励的耗散的哈密顿系统，其运动方程为 龟= 万o h ( 2 2 - 1 a ) 仁嚣飞等+ 厶哪) ( 2 2 - 1 b ) i ，= 1 ，2 ，”；k = 1 ，2 ，m 其中q 和# 是相应的广义位移和广义动量；h 。= ( q ，p ) 是二次可微的哈密顿 函数；c o = c v ( q ，p ) 是可微函数；厶= 厶( q ，p ) 是二次可微函数，表示激励的幅 值；( r ) 是s t r a t o n o v i c h 意义下的高斯白噪声，它的相关函数是 e ( ，) 彬p + f ) 】= 2 玩a ( r ) 七，= 1 ，2 ，t 7 ( 2 2 - 2 ) 浙江大学硕士学位论文 由方程( 2 2 1 a ) _ 乖l l ( 2 2 1 b ) 所描述的系统通常情况下是非线性系统。在( 2 2 l b ) 的右 边的第一个求和项代表示一系列的线性和( 或) 非线性的阻尼力，而第二个求和项 包括高斯白噪声的外激和( 或) 参激。 方程( 2 2 1 a ) 与( 2 2 一l b ) 等价于下列的一组i t 6 随机微分方程 ：塑疵 “a p r 2 2 - 3 a ) 州一誊飞篝+ + f , t d b k ( r ) ( 2 2 - 3 b ) i ，j = 1 ，2 ，- 一，n ；k ，= 1 ，2 ，- ，m 其中，毋( r ) 是w i e n e r 过程。方程( 2 2 3 b ) 右i 2 2 的双重求和项是w o n g z a k a i 修正 项。此项通常可以分解为保守力部分和阻尼力部分：其中保守力部分与原保守力 一起构成新的哈密顿函数h = h ( q ，p ) 且有o l r o e , = o h 。妒。而阻尼力部分与 原阻尼力一起构成等效阻尼力一m oo h a e , 。这样式( 2 2 - 3 a ) 乘1 ( 2 2 3 b ) 可改写为如 下形式 ：丝出 “a 尸 r 2 2 4 a ) 啦一( 筹喝署m f , k a b 。( d ( 2 2 - 4 b ) f ，j = 1 , 2 ， ；k = 1 , 2 ，一，m 与i t 6 方程( 2 2 4 a ) n ( 2 2 4 b ) 相应的稳态概率密度p = p ( q ，p ) 所服从的简化f p k 方程为 一鬲0 。( o h 小雨o ( 百o h p ) + 砉( 券力+ j 1 雨0 2 ( = 。 ( 2 - 2 _ 5 ) o q ：印。印。o q i o p 。 。d p l 2o p 。o p l 这里= 2 ( m f 7 ) 。是扩散系数，其中f = i l l ，d = b 】。方程( 2 2 - 5 ) 的前两项与 循环概率流相关，后面两项与势概率流相关。简化的f p k 方程( 2 2 5 ) 在如下的边 界条件下求解： 掣p ：o ( 2 2 6 a ) ( 筹+ i o h 聃j 1 石o ( 力= 。( 2 2 - 6 b ) ( q p ) s ，f ，j = l ，2 ，” 这里s 代表边界。通常边界是无限的，即l q i + i p 卜。方程( 2 2 6 a ) n ( 2 2 6 b ) 浙江大学硕士学位论文 在方程( 2 2 5 ) 的左边两项是p 和h 的p o i s s o n 括号，即 一旦o q , f 塑o p , 内+ 丢面o h 列 亿：扪 ：一霎掣+ 霎掣：慨 。 啦i 印! 印| o q 。 于是方程( 2 2 5 ) 可以改写为 蚴+ 参( 釉+ 互1 丽0 2 ( 2 。 ( 2 2 _ 8 ) 做变换，使 b , j = 嘭。+ 巧0 ( 2 2 _ 9 ) 于是方程( 2 2 8 ) 也可以写为 慨即三( 罢力+ 羔( 蚴：o (2210)o p ,j 印o p 。o p 。 下面分别给出当原哈密顿系统分别为不可积哈密顿系统与可积哈密顿系统 时的精确平稳解。 22 1 拟不可积哈密顿系统的精确平稳解 假设哈密顿系统的哈密顿函数日由方程( 2 2 4 a ) 与( 2 2 4 b ) 决定，该哈密顿系 统在无阻尼和随机激励时是不可积的。在方程( 2 2 - 8 ) 或( 2 2 - 1 0 ) 方括号里的项( 即 泊松括号) ，如果p 是日的函数，该项为零。于是如果能找到一个特殊函数p ( h ) 使方程( 2 2 8 ) 或( 2 2 1 0 ) 剩余的两项为零，就可得到方程( 2 2 8 ) 或( 2 2 1 0 ) 的解。 设非负的稳态概率密度p ( h ) 并满足自然边界条件( 2 2 6 a ) 和( 2 2 6 b ) ，假设方 程( 2 2 1 8 ) 或( 2 2 1 0 ) 的解形式如下 p ( q ，p ) = c e x p 一妒( 日) b ；日( q p ) 这里c 是归一化常数，妒是被决定的函数。 ( 2 2 6 a ) 和( 2 2 6 b ) 的边界条件，得到 聊。丝+ 型一6 ；f ) 塑塑：o 聊u 瓦+ i 劬；。o p j 荔刮 ( 2 2 - 11 ) 将( 2 2 一l1 ) 代入( 2 2 1 0 ) 并考虑方程 ( 2 2 - 1 2 ) 这是一组关于妒= 妒( h ) 的n 个一阶线性常微分方程，并表示月个方向上的势概率 流为零。为得到相容函数妒( 日) 满足这所有的月个方程，必须对阻尼和随机激励 浙江大学硕士学位论文 参数做一些限制性假设，讨论如下： a 、如果吒( q ，p ) = 厂( 日) 虿，( q ) 并且f , k ( q ，p ) = g ( 日) 厶( q ) ，于是w o n g - z a k a i 修正项和阻尼项有相同的形式并且没有包含保守力部分。这种情况下，日= h 。 进一步，如果阻尼系数和随机激励强度满足条件瓦，= 石。= ，7 6 。2 ，这里 b ，= 2 ( d 旷7 ) ，于是方程( 2 2 4 a ) 和( 2 2 4 b ) 的精确平稳解为 加，p ) = c g 弋跏x p - 7 7 r 舞酬懒神 ( 2 2 - 1 3 ) b 、如果阻尼系数c 。和随机激励强度厶是q 和p 的函数并满足如下的条件 a h j 。 每产叫忉 亿z 出， i = 1 , 2 ， 于是方程( 2 2 4 a ) 和( 2 2 4 b ) 的精确平稳解为 p ( q ，p ) = c e x p 一r 矗( “) 伽b ( q t 。) 其中c 为归一化常数。 ( 2 2 15 ) 2 2 2 拟可积非共振哈密顿系统的精确平稳解 假设哈密顿系统的哈密顿函数h 由方程( 2 2 4 a ) 与( 2 2 4 b ) 决定，在无阻尼和 随机激励时是可积非共振的，并有n 个独立的运动积分q ，马，以。由方程 ( 2 2 8 ) 或( 2 2 1 0 ) 知，如果p 是q ，皿，圮的函数，则泊松括号为零。因此如果 我们能找到一个特殊的函数，使方程( 2 2 - 8 ) 或( 2 2 1 0 ) 中的其余两项为零，则可以 得到方程( 2 2 8 ) 或( 2 2 一l o ) 的解。 考虑到p 的非负性及方程( 2 2 6 a ) 和( 2 2 6 b ) 表示的边界条件，可以假定方程 ( 2 2 8 ) 或( 2 2 1o ) 的解形式如下 p ( q ，p ) = c e x p 一妒( q ，h 2 ，一，只) k ：以( 。p ) ( 2 2 - 1 6 ) 这里c 是归一化常数，妒是待定的函数。将方程( 2 2 1 6 ) 代入方程( 2 2 一l o ) ，并考 虑边界条件( 2 2 6 a ) 和( 2 2 - 6 b ) 得到 筹+ 参矽卅等盖2 。( 2 2 - 1 7 ， 浙江大学硕士学位论文 1 2 l ，2 ，一，以；j ，= l ，2 ，n 这是一组关于妒的开个阶线性偏微分方程组 流为零。方程( 2 2 - 1 7 ) 可以写为 n “盖= a ! i = 1 ，2 ，- 一，” 其中 嘞= 矽磬 妒m 若+ 抄 d l 一”虿+ 瓦啄 代表胛个方向上的可能的概率势 ( 2 2 18 ) ( 2 2 - 1 9 a ) ( 2 2 1 9 b ) 如果a 喝( ，= 1 ，2 ，n ) 可以从方程( 2 2 1 8 ) 中求出( 这种情况即矩阵a = 【】是 非奇异的) 并为风( = l ，2 ， ) 的函数，且满足相容性条件 l ：鱼 f2220)ah j o h k8 h k 3 h i 、 七，= l ，2 ，” 则方程( 2 2 1 8 ) 的解为 妒确+ r ” 暑靴 ( 2 2 纠) 这里= 妒( o ，o ，0 ) ，上式中右边的第二项是一个线性积分，被积函数是对所有 的，= 1 ，2 ， 求和。将( 2 2 2 1 ) 代入( 2 2 - 1 6 ) 即得到原系统方程( 2 2 - 4 a ) 和( 2 2 4 b ) 的精确平稳概率密度。 由( 2 2 1 2 ) 及( 2 2 1 7 ) 可知，要得到拟不可积及拟可积哈密顿系统的精确平稳 解，需对系统的参数作许多限制。任意给定的参数条件很难满足这些苛刻的条件， 这大限制了该方法的实际应用范围，为了得到不满足这些限制条件时系统的近似 解，随机平均法是很有效的近似方法之，我们在下一节对拟哈密顿系统的随机 平均法做一简单介绍。 2 3 拟哈密顿系统随机平均法 随机平均法是研究随机振动问题的有效方法，它可使所研究系统的自由度大 大降低，并可保留原系统的主要性质，可以说，随机振动理论的许多重要结果都 是在随机平均法基础上得到的。随机平均法主要有标准随机平均法及能量包线随 浙江大学硕士学位论文 机平均法，前者适用于宽带随机激励的多自由度拟线性随机系统，后者适用于单 自由度强非线性随机系统。近几年来，朱位秋等利用哈密顿系统的可积性与共振 性概念，提出了拟哈密顿系统的随机平均法，并将它应用于拟哈密顿系统的随机 稳定性、随机分叉、可靠性及随机非线性反馈控制等，证明了该法是一研究多自 由度强非线性随机系统的有效方法。下面对该随机平均法做简要介绍。 2 3 1 拟不可积哈密顿系统随机平均法 一个n ( n 2 1 自由度不可积哈密顿系统只有哈密顿函数一个独立运动积 分时，完全不可积哈密顿系统的运动十分复杂，一般情形下呈混沌性质。在统计 物理中，假定系统状态在2 n 一1 维等能量球面上等概率分布。 设随机激励的耗散的哈密顿系统由( 2 2 4 a ) 和( 2 2 4 b ) 支配，且当该方程无阻 尼及随机激励时为一完全不可积的哈密顿系统，其哈密顿函数h = h ( q ，p ) ，应 用式( 2 2 - 4 a ) 和( 2 2 4 b ) 及i t 6 微分规则，可得如下关于h 的i t 6 随机微分方程 d h = e ( 飞面o h 面o h + 巩厶厶器) d t + 8 1 2 署厶蛾( ，) ( 2 3 - 1 ) 以哈密顿函数h 作为新的变量代替原变量只，由于哈密顿系统是不可积的，并 且阻尼较小，高斯白噪声激励较弱，则哈密顿函数日是一个慢变过程，而广义 位移q ，q 2 ，q 和广义动量最，只是快变过程。根据k h a s m i n s 虹i ( 1 9 6 8 ) 定理， 当s 一0 时，在时间区间0 t t ( t o ( e 。1 ) ) 上日弱收敛于一维扩散过程，即对 于小参数占，过程日的一次近似可以用一个扩散过程来代替。 这个扩散过程的i t 6 微分方程可以通过对方程( 2 3 ，1 ) 应用时间平均来得到。 利用方程( 2 2 4 a ) 的第1 个( 或第n 个) 方程，在日保持为常数时，时间平均可以用 对q 1 ( 或q ) 的空间平均来代替。为了在平均后的i t 6 微分方程中消去q 2 ，q ， 墨，只，将得到的方程对q 2 ，q ，最，只进一步进行平均。最后一步包括了 各态历经的假设，平均后关于日的i t 6 微分方程给出如下 d h = e u ( h ) d t + , 5 1 2 v ( h ) d b ( t ) ( 2 3 2 ) 其中 咄，2 高肛酉o h 虿o h + 巩兀厶器， 亿，勘、 面由。印：咖。 浙江大学硕士学位论文 暇耻高l 2 d “l h , o 呱b a b ( 2 ，舶) 鬲o h 】由。由。咖：印。 、 丁( h ) = ( 1 豢) 由。嘶。咖：印。 ( 2 3 3 c ) 其中式( 2 3 - 3 a ) - - ( 2 3 3 c ) 中的积分域q ，q 。为 三。魏l 篡qp 黜ph 国( 0 1 嚣器0p p i 霪h ， 眨，卅 q 。= ( 9 2 ，。，2 ，。) i，q 2 ，g 打，2 ，。) h 。 与i t j 随机微分方程( 2 3 2 ) 相应的f p k 方程为 謇= s _ 3 - 务 u ( h ) p ，t 斋妒c 聊 亿s 固 其中p = p ( h ，i 。) 是哈密顿函数h 的转移概率密度，它的初始条件为 p ( h ，0ih o ) = 6 ( h h 。)( 2 3 6 ) f p k 方程通常具有如下的边界条件 p ，咖d h _ 0 ，h 斗0 0 ( 2 , 3 - 7 ) 一维的f p k 方程( 2 3 5 ) 通常只能得到数值解，然而，平稳解即f p k 方程( 2 3 5 ) 没有对时间的导数项时，常能得到解析解。考虑非负的概率密度和边界条件 f 2 3 7 ) ，平稳解假定为如下的形式 p ( h ) = ce x p 一妒( h ) ( 2 3 - 8 ) 将( 2 3 8 ) 代入方程( 2 3 - 5 ) 且对时间的导数项为0 时，可得 艄硝w 2 - ) - 2 u ( x ) 暇x 扣 s 功 归一化常数c 由下式决定 c = e x p 一f a ( h ) d h f 2 3 1 0 ) 由此可以从( 2 3 8 ) 得到稳态哈密顿函数h 的的统计量。 方程( 2 3 5 ) 的解是由( 2 2 - 4 a ) 和( 2 2 - 4 b ) 表示的原系统修正后的哈密顿函数的 转移概率密度的一次近似值。相应的广义位移和广义动量的联合概率密度的一次 近似为 p ( q ，p ) _ 肌驴川忉刮剖 ( 2 3 _ 1 1 ) 浙江大学硕士学位论文 方程( 2 3 3 a ) - 与( 2 3 3 b ) l 特出过程表明p ( g l i 一，q 。，p 2 ，p 。ih ) = c 1a h 印1 。 归一化并进一步对g ：，g 。，n ，p 。进行平均，可以得到 棚) 2 器h ”，( 2 3 - 1 2 ) 对单自由度系统，上述所用的随机平均法可退化为能量包线随机平均法。 23 2 拟可积哈密顿系统随机平均法 当式( 2 2 4 a ) - 与( 2 2 4 b ) 无阻尼及随机激励时的哈密顿系统为完全可积且非共 振的，且存在 个独立运动积分h 。，h 2 ，巩，利用i t 3 微分规则及方程( 2 2 4 a ) 与( 2 2 4 b ) 可得以n 个独立运动积分耳为基本变量的i t 3 随机微分方程 毋h 等等+ 巩厶厶器户陀，朋、 + 占啦_ o h i r 厶蛾( f )a p 、7 r ，i ，= 1 ，2 ，h ；七，= 1 ，2 ，m 以q l ，q 2 ，q ，h 。，h 2 ，以为基本未知量，从( 2 2 4 a ) 矛1 1 ( 2 3 1 3 ) 中可以看出，q ， 是快变过程，而，为慢变过程。根据k h a s m i n s k i i 定理，当s _ o 时，在时间区 i n0 t t ( 丁d p 一1 ) ) 内，h ，弱收敛于一个n 维扩散过程。这个n 维扩散过程 的i t 二方程可以通过对( 2 3 1 3 ) 式进行时间平均来得到，与之相应的f p k 方程形 式如下 害= s 卜叫o - 曼- ，- ( ap ) + i 1 丽0 2 p ) j ( 2 3 - 1 4 ) 其中 铲“驴( 一等等+ 巩厶厶础0 2 1 叭1 i ( 2 s 小的 b 。= b 2 弋战f 。o h _ 7o h ) j l , it(23-15bn 这里，h = 目，h 2 ，风r 和符号( 】) ，代表时间平均运算 ( 】) ，= 炒亍1j 。o “( 2 3 - 1 6 ) 在对方程f 2 3 1 5 a ) 和( 2 3 1 5 b ) 1 挂行时间平均运算时，根据结构的n 个独立运 浙江大学硕士学位论文 动积分，可以用对关于q ，的空间平均来代替。例如，如果哈密顿函数日是n 个 独立运动积分h ，之和，并且对于每一个h ，都有一个周期的轨道和周期z ，这样 就可以把对时间的平均用沿着 个周期的轨道的平均来代替。于是漂移和扩散系 数为 铲州h ) 专帆o 印h 一o 万h , 一仇厶厶秽o h , 酗等岫，( 2 3 - 1 7 a ) ”“h ) - 事叮阻d o h ，, o 识h 5 - ) 密( i 0 h , , d 钆 其中，m 】兀由，代表”重循环积分并且 c 耻枣l = 叮酽n 电( 2 3 - 1 8 ， 在方程( 2 2 - 4 a ) g j ( 2 2 4 b ) 中，h 的条件转移概率密度p = p ( h ，t ih 。) 的初始条件 为 p ( h ，0 i h 。) = f i ( h h o ) ( 2 3 1 9 ) p ( h ，0 ) = p ( h 。) r 2 3 2 0 ) 边界条件为 1 p 毛壶( _ o ，胍s ( 2 3 - 2 1 ) r ，j = 1 ，2 ，- ，” 这意味着在n 个方向上的边界上概率流为零。 在n 个方向概率势流为零的条件下，与平均后的f p k 3 t y5 陧( 2 3 - 1 4 ) 和边界条 件( 2 3 2 1 ) 相关的简化的f p k 方程可以进一步简化为下面的疗个方程 刮聊+ ；彘瞰聊 - o ( 2 3 - 2 2 ) ，s = l ，2 ，” 方程( 2 | 3 2 2 ) 的解假定为下面的形式 p ( h ) = c e x p 一a ( h ) f 2 3 2 3 ) 其中 ( h 称为概率指数，c 是归一化常数。将( 2 3 - 2 3 ) 代x ( 2 3 - 2 2 ) 可以得到 浙江大学硕士学位论文 b r s 盖= 鲁砌，( 2 3 - 2 4 ， ，s = 1 ，2 ，n 这是n 个一阶线性偏微分方程组，旯为日，的函数。如果矩阵b = k 】是非奇异的， 即它的逆阵b = g = 乳】存在，方程( 2 3 2 4 ) 的解为 嚣( 鲁砌，) ( 2 3 - 2 5 ) 如果满足如下相容条件 古姒鲁砌埘= 矗，瓷乏删( 2 3 - 2 6 ， i ，j = 1 ，2 ，一，n 则相容函数旯如下 硼) = 九+ r ”n 1 轰扣， ( 2 3 _ 2 7 ) 其中方程右边的第二个求和项是一个线性积分，九= 旯( o ) 。平均后的f p k 方程 f 2 3 1 4 ) 的精确平稳解，( 三d 通过将方程( 2 3 - 2 7 ) 代入方程( 2 3 2 3 ) 得到。广义位移 和广义动量的稳态概率密度可以得到如下 加2 怒l 龇 其中t ( h ) 由( 2 3 - 1 8 ) 式得到。 r 2 3 2 8 ) 2 4 数字模拟方法 数字模拟也称随机模拟、统计模拟、或蒙特卡罗法。在随机振动中，它可 看成是利用数字计算机进行随机振动试验的一类方法。该方法的基本思想就是概 率论的基本原理，即系统响应的统计特性可从大量响应样本中近似获得，且近似 程度随响应样本数的增加而提高。根据这个原理，数字模拟法包括如下三个主要 步骤： 1 、根据激励过程或场的统计特性产生激励样本。数字计算机产生的是随机 序列，它可看成是连续过程或场的采样； 2 、对每个激励样本数值求解运动微分方程产生响应样本； 3 、从大量响应样本中求取所要的统计信息，如矩、概率密度、谱密度等。 目前数字模拟已成为随机振动，尤其是非线性随机振动的重要方法之一。该 浙江大学