（固体力学专业论文）二维弹性力学边界条件识别反问题正则化边界元方法.pdf

二维弹性力学边界条件识别反问题正则化边界元方法 摘要 本文阐述了边界元法的基本原理，研究了f 则化算法在边界条件识别反问 题中的应用。针对二维薄体各向异性位势c a u c h y 边界条件识别反问题，提出 了解析积分和截断奇异值分解( t r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ) 联合正 则化算法。解析积分用于陔薄体位势问题边界元法中几乎奇异积分的j 下则化， 截断奇异值分解技术用来求解系统方程。提出了波动曲线法来截取得到适用的 奇异值，该法基于位势梯度计算结果，计算结果与精确解吻合。 本文阐述了重力荷载和温度荷载作用下弹性力学边界积分方程的建立问 题。对二维弹性力学边界条件识别反问题应用截断奇异值分解正则化算法处理 四类反问题： 1 、己知部分边界条件，反求余下的未知边界条件； 2 、己知的边界条件存在偏差，反求未知边界条件； 3 、已知部分边界条件和部分内点的位移信息，反求余下的未知边界条件； 4 、已知有体力作用时部分边界条件，反求余下的未知边界条件。 通过算例分析发现，本文方法在求解边界条件识别反问题时，计算结果与 精确解吻合。 关键词：反演问题，边界元法，弹性力学，位势问题，截断奇异值分解法， 波动曲线法 r e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mo fi n v e r s ei d e n t i f i c a t i o no f b o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt w o - d i m e n s i o n a le l a s t i c i t y p r o b l e m sb yu s i n gt h eb e m a b s t r a c t t h eb a s i cp r i n c i p l e so ft h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) a r ed e s c r i b e di n t h i sp a p e r t h ea p p l i c a t i o n so ft h er e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mi nt h ei n v e r s ep r o b l e m o fi d e n t i f y i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ef u r t h e rs t u d i e d t h ea n a l y t i c a li n t e g r a l f o r m u l a sa n ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na r e a p p l i e dt ot r e a t2 da n i s o t r o p i c p o t e n t i a lc a u c h yp r o b l e m so ft h i nb o d y t h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l si nt h eb e m f o rt h i n b o d yp r o b l e m sa r ed e a l tw i t hb yt h ea n a l y t i c a li n t e g r a lf o r m u l a s t h e s y s t e me q u a t i o ni ss o l v e db yt h et r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nt e c h n iq u e ( t s v d ) t h eu n d u l a t i n g ，c u r v em e t h o df o rf l u xs o l u t i o n si sp r o p o s e dt os e l e c tt h e t r u n c a t e dn u m b e ra s s o c i a t e dw i t hu s e f u ls i n g u l a rv a l u e s t h ec a l c u l a t e dr e s u l t sa r e i ng o o da g r e e m e n tw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n t h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sa b o u tt h eg r a v i t ya n dt e m p e r a t u r el o a d i n ga r e g i v e ni nt h i sw o r k t h et r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u ei sa p p l i e d t o t r e a t2 - di n v e r s e e l a s t i c i t yp r o b l e m s f o u rs o r t so fi n v e r s ep r o b l e m sa r e d i s c u s s e da sf o l l o w s 1p a r t so ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ek n o w n ，t h eo t h e ru n k n o w nb o u n d a r v c o n d i t i o n sa r ed e t e r m i n e d ； 2t h e r ei sn o i s ei nt h ek n o w nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h eu n k n o w nb o u n d a r v c o n d i t i o n sa r ec a l c u l a t e d ； 3p a r t so ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h e d i s p l a c e m e n to fs o m ei n t e r n a l n o d e sa r ek n o w n ，t h eu n k n o w nb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ee v a l u a t e d ； 4p a r t so ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ek n o w ni nt h em o d e li nw h i c he x i s t s b o d yl o a d i n g ，t h eu n k n o w nb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed e t e r m i n e d t h er e s u l t so ft h et y p i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h a tt h ec a l c u l a t e dr e s u l t sa r e v e r yc o n s i s t e n tw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ，b e m ，e l a s t i c i t yp r o b l e m ，p o t e n t i a l p r o b l e m ， t s v d ，u n d u l a t i n g c u r v em e t h o d 插图清单 图3 1 薄体圆环区域各向异性媒质热传导1 0 图3 2 内边界热流解对比( ，= 1 e 一1 ) 1 1 图3 3 内边界温度解( r = 1 e 1 ) 1 1 图3 4 内边界温度解( r = 1 e 一8 ) 1 1 图3 。5 内边界热流解( ，= 1 e 8 ) 1 2 图4 1 球域示意图1 4 图4 2 弹性力学问题示意图1 4 图4 3 自由方板21 图4 4 内外受压的圆筒2 2 图4 5 例4 2 本文方法求出的甜与精确解对比2 2 图4 - 6 例4 2 本文方法求出的“，与精确解对比2 2 图4 7 例4 2 本文方法求出的p 与精确解对比2 3 图4 8 例4 2 本文方法求出的p ，与精确解对比2 3 图4 - 9 例4 4 本文方法求出边界条件存在偏差时的“与精确解对比2 5 图4 1 0 例4 4 本文方法求出边界条件存在偏差时的b ，与精确解对比2 5 图4 1 l 例4 4 本文方法求出边界条件存在偏差时的p 。与精确解对比2 5 图4 1 3 有内点信息自由方板2 7 图4 1 4 有内点信息受内压的中空圆筒2 8 图4 15 例4 6 本文方法求出的u 与精确解对比一2 8 图4 1 6 例4 6 本文方法求出的u ，与精确解对比2 9 图4 1 7 例4 6 本文方法求出的p ，与精确解对比2 9 图4 18 例4 - 6 本文方法求出的p ，与精确解对比3 0 图4 1 9 受自重作用底边受光滑支撑方板3 6 图4 2 0 例4 7 的a n s y s 模型3 6 图4 2 1 例4 7a n s y s 求解的u 云图3 7 图4 2 2 例4 7a n s y s 求解的u ，云图3 7 图4 2 3 例4 7a n s y s 求解的b c 边上约束反力3 8 图4 2 4 例4 7 本文方法求出的u 。与a n s y s 解对比3 8 图4 2 5 例4 7 本文方法求出的“，与a n s y s 解对比3 9 图4 2 6 例4 7 本文方法求出的p ，与a n s y s 解对比3 9 图4 2 7 例4 7 本文方法求出的p ，与a n s y s 解对比4 0 图4 2 8 受自重作用底边简支方板4 l 图4 2 9 例4 8 的a n s y s 模型4 1 图4 3 0 图4 3 1 图4 3 2 图4 3 3 图4 3 4 图4 。3 5 图4 3 6 例4 8a n s y s 求解的“。云图4 2 例4 8a n s y s 求解的u ，云图4 2 例4 - 8a n s y s 求解的b c 边上约束反力4 3 例4 8 本文方法求出的甜。与a n s y s 解对比4 3 例4 8 本文方法求出的，与a n s y s 解对比4 4 例4 8 本文方法求出的p 。与a n s y s 解对比4 4 例4 8 本文方法求出的p ，与a n s y s 解对比一4 5 表格清单 表3 1 矩阵a 条件数1 0 表3 2 波动曲线法相关的参数( ，= 1 e 一1 ) 1 0 表4 1 例4 1 求出未知边界条件值2 l 表4 2 例4 3 存在偏差的结果2 4 表4 3 例4 5 求出未知边界条件值2 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导卜进行的研究j ：作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标：占和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金g 垦：些厶堂或其他教育机构的学位或证：传而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：三到签字日期：弘 o 年尹月形日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目曼些厶堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金目里王些太 兰l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权二体) 学位论文者签名： 、 厶1 上例铆潞j 司螈如 签字日期：叫口年驴月影日签字日期：为i 口年q 月“日 舭司 电话：哆f o 一器2 | x i 虬 邮编：2 驴砑 致谢 本文是在周焕林教授及牛忠荣教授悉心指导下完成的。 首先我要感谢周焕林教授和牛忠荣教授两年多来对我的辛勤教育和培养。 在读研期间，无论是学术上还是生活中，都得到了周老师极大的关怀和帮助。 本文从选题、展开到最后的定稿，周老师都付出了大量的心血。在近三年的学 习中，导师扎实深厚的理论知识，严谨求实的治学态度，精益求精的敬业精神， 诲人不倦的良好风范，值得我终身学习。从周老师和牛老师身上，我不仅学到 了专业知识和学习方法，更学习到很多做人道理，这是我的研究生生活的一笔 无价的财富，我再次表示深深的谢意。 我还要对我的任课老师王建国教授、王左辉教授、刘一华教授、盛宏玉教 授致以衷心的感谢和诚挚的敬意。 本文的顺利完成也离不开土木与水利工程学院许多领导和老师的帮助，特 别感谢高玉华书记以及程长征、胡宗军等诸位老师。 同时，我还要感谢杨志勇博士、葛仁余博士、辛立江、胡浩、刘波、沈永 强、张俊、崔向斌、童永耀、赵恩鹏、曹勇军以及其他计算力学组的同学在学 习和生活上的帮助。 最后，我要感谢父母的养育之恩，他们勤劳朴素的作风、诚实善良的品德， 是我一生的榜样。 作者：王剑 2 0 10 年3 月 1 1数学物理反问题概述 第一章绪论 数学物理反问题具有重要的理论意义和工程背景，是一个新兴的研究领域 f 1 9 】，有别于传统的数学物理方程的定解问题( 通常称为正问题，它由给定的 数理方程和相应的定解条件来求定解问题的解) ，反问题研究由解的部分己知信 息来求定解问题中的某些未知量，如微分方程中的系数、定解问题的区域或者 是某些定解条件。目前反问题在医学成像、无损探伤、气象预报等领域都有着 广泛的应用。例如医学诊断的c t 成像，它根据x 射线来探测人体的内部结构， 该项技术现在己发展到了核磁共振成像( m r i ) 。 与正问题相比，数学物理反问题的发展历史相对较短，一直到2 0 世纪6 0 年代中期才成为一个真正的研究领域，引起数学家和应用科学家的广泛重视和 深入研究。这种现象的原因来源于反问题大都具有不适定性( i 1 1 p o s e d ) 的特 点，该特点也是反问题研究的难点所在。在应用数学方法研究具体的自然现象 时，第一步需要给出物理现象的数学描述，即建立适当的数学模型。所谓“适当 的模型”，在经典意义下应满足下述三个条件： 1 、该模型的解是存在的，即它描述了一类现象： 2 、该模型的解是唯一的，即它描述了确定的现象； 3 、该模型的解对输入数据是稳定的，即解对数据误差应是连续变化的。 随着技术和应用的发展，人们也发现，很多描述自然现象的实际模型由于 某些条件的限制不满足上述条件，这就是所谓的不适定问题。与不适定问题密 切相关的一类问题是反问题。 从数学角度来看，对于微分方程的定解问题，亦即正问题，通常是寻求满 足方程初始条件与边界条件的解。如果在微分方程定解问题中，原来已知量中 的某一个或几个条件变成未知量，而原来未知的函数，现在或者是己知的，或 者是与这未知函数有关的某些“信息”是已知的( 这些“信息”称为“附加条件”) ，即 由支配方程、初始条件以及附加条件去确定原定解问题中的未知量，此即反问 题。 如果对应的物理方程描述的是力学问题，则称之为力学反问题【1 0 12 】。力 学反问题一般可以分为边界条件识别、几何区域重建、材料常数估算、裂纹孔 洞和缺陷测评等类型。 边界条件识别型力学反问题是指几何区域确定的，已知控制方程，材料常 数，但仅已知部分边界条件的物理问题。 l 一2反问题国内外研究进展 王彦飞详细介绍了求解数学物理反问题的数值计算方法以及在相关学科的 应用5 1 。这些方法包括f 则化方法、最优化计算方法、统计的方法、支撑向量 等。王彦飞是我国成功应用最优化计算方法和正则化方法研究数学物理反演问 题的工作者之一，他把最优化研究领域的许多优秀的方法用来求解线性和非线 性反演问题，取得了良好的结果。最优化研究和反问题有相似之处，最优化研 究的是极值问题，反问题是求解误差最小解。最优化的研究可推动反问题的发 展。国内对最优化问题的研究者有王彦飞、戴或虹、袁亚湘等。戴或虹、袁亚 湘系统地介绍无约束优化共轭梯度法的收敛理论，着重讨论了几个著名共轭梯 度法在不同线搜索下的收敛性质【6 。这些方法包括f l e t c h e r r e e v e s 方法， p o l a k r i b i e r e p o l y a k 方法，共轭下降法，最短余量法和b e a l e p o w e l l 重开始方 法，以及d a i y u a n 方法。 正则化方法 1 】主要是解决第一类算子方程特别是第一类积分方程而发展 起来的。解决不适定性的典型的方程是变分正则化方法，由于该方法始于前苏 联院士ant i k h o n o v ，因而我们称之为t i k h o n o v 正则化方法。典型正则化方法 有t i k h o n o v 法，截断奇异值分解法( t r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n 以 下简称t s v d ) ，共轭梯度法( c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d c g m ) ，最小误差 法( t h em i n i m a le r r o rm e t h o d m e m ) 等 2 ，3 ，13 】。 正则化方法是求解不适定问题的典型方法，是反问题研究的关键。大量科 研人员投入精力对正则化方法进行研究并将其应用于解决反演问题。 x i a n g ，t u a nx i o n g 用一种修正的边值方法来求解h e l m h o l t z 方程c a u c h y 问题 1 4 】。h h q i n 等引入格林函数用t i k h o n o v 算法求解修正h e l m h o l t z 方程c a u c h y 问题 15 】。a i l i nq i a n 等用准可逆的正则化方法求解h e l m h o l t z 方程c a u c h y 问 题，这种方案能稳定收敛，并给出精确的误差估计 16 。t i n gw e i 等引入格林 函数来求解h e l m h o l t z 方程c a u c h y 型反问题 17 。l i v i um a r i n 用最小误差法处 理h e l m h o l t z t p y e 方程c a u c h y 问题 18 。c h e nj t 等将t h ew i n d o wf u n c t i o n 应 用于正则化求解部分边界上超已知边界条件的l a p l a c e 不适定问题【1 9 】。f r a n c k d e l v a r e 和a l a i nc i m e t i e r e 用一阶偏导方法求解l a p l a c e 方程c a u c h y 问题 2 0 。b a n g t ij i n 用共轭梯度法求解l a p l a c e 方程r o b i n 型反问题 2 1 】。c h i h c h a n g c h i 等提出虚构时间积分方法( f i c t i t i o u st i m ei n t e g r a t i o nm e t h o d f t i m ) 来求 解l a p l a c e 方程，这是他提出的求解c a u c h y 问题的一种创新方法【2 2 。z h iq i a n 等用两种正则化算法来求解l a p l a c e 方程c a u c h y 问题，一种是扰动法( t h e p e r t u r b a t i o nm e t h o d ) ，第二种是截断法( t h et r u n c a t i o nm e t h o d ) 【2 3 ；他们还 用修正的四阶偏微分方程逼近算法来求解l a p l a c e 方程c a u c h y 问题【2 4 】。j c h e n g 等求解了l a p l a c e 方程c a u c h y 型反问题 2 5 】。w cy e i h 等对部分边界条 件已知的弹性力学反问题给出了理论解；tk o y a 等对该类型反问题给出了数值 2 算例 2 6 ，2 7 】。h ty a n g 等用组合函数的方法来求解粘弹性多约束反问题 2 8 】。魏 培君等系统介绍了弹性动力学反问题中各种数值反演方法，包括各种近似下的 线性化反演方法。非线性迭代反演方法。确定性和非确定性搜索的优化反演方 法和大范围收敛的同伦反演方法以及多尺度反演方法。阐述了各类反演方法的 原理、特点、使用范围和存在的局限性，指出了数值反演方法进一步研究的方 向 2 9 】。f e n g l i a ny a n g 等用共轭梯度法来鉴定非线性热传导反问题中的r o b i n 系数 3 0 。薛齐天等引入b r e g m a n 距离构造同伦函数，建立了二阶非定常多宗 量热传导反问题的一种求解模式，可对导热系数和边界条件等宗量进行识别 31 】，他们还提出共轭梯度法求解多宗量瞬态热传导反问题和共轭梯度法求解 非线性多宗量稳念传热反问题 3 2 ，3 3 】。贺国强等用n e w t o n 型迭代法求解热传 导反问题 3 4 】。王秀春等用遗传算法求解多维导热反问题 3 5 。i b r a h i ml y 等将 非线性椭圆型方程应用于c a u c h y 问题，从而改善了线性椭圆型方程的不适定 性 3 6 。l a r se l d e n 等用k r y l o v 子空间中迭代的数值算法求解椭圆型方程c a u c h y 问题 3 7 】。t a t a r i 等利用部分已知的边界信息来确定抛物线型偏微分方程控制函 数 3 8 。h e i n zwe n g l t 等求解出线性偏微分方程超定反问题的稳定并唯一的解 3 9 。k hc h e n 等用t r e f f t z 方法评估误差来解决部分边界上超已知边界条件 ( o v e r s p e c i f i e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 的问题，该方法主要用到的是t i k h o n o v 正则化和线性正则化方法 4 0 】。jc h e n g 等用第一类型积分方法估计误差稳定性 4 1 】。黄小为等讨论基于谱理论建立的t s v d 正则化方法，并利用m o r o z o v 偏 差原理给出能达到渐进最优阶的正则参数的后验选取方法 4 2 。金其年和侯宗 义讨论了算子和右端都近似给定的第一类算子方程的迭代t i k h o n o v 正则化， 给出了不依赖于准确解的任何信息但能得到最优收敛阶的正则参数选取法 4 3 】。吴志松等借助对t i k h o n o v 正则化算法的改进，对于广义病态方程给出了 一种优良的正则化求解方法 4 4 。张冬爽和徐莉根据紧算子的奇异系统理论， 提出了一种新的正则化滤子函数，从而建立一种新的正则化方法，来求解右端 给定的第一类算子方程，并给出了正则解的误差分析，进而建立了一类求解不 适定问题的正则化方法，通过正则参数的先验选取，证明了正则解的误差具有 最优的渐进收敛阶f 4 5 。 常用求解力学反问题的方法有边界元法、基本解法、有限元法等。 边界元法可有效分析求解各类力学反问题 4 6 。k u r tb r y a n 等用能够测量的 边界上的数值来反推未知边界的形状，这类反问题是不适定的并且是非线性的， 应用n e w t o n 1 i k e 迭代法来求解方程 4 7 。z h a n j u ng a o 等介绍了边界元法求解 部分边界上超己知边界条件的弹性力学反问题 4 8 1 。m a r i n 等对c a u c h y 弹性力 学反问题也采用同样的迭代思想进行了边界元数值求解【4 9 。m a r i n 等将边界元 法联合t s v d 和互异理论求解c a u c h y 弹性力学反问题 5 0 】。m a r t i n 等用边界元 法对c a u c h y 弹性力学问题也采用了奇异值分解方法来处理，求解出未知边界 3 上的面力和位移 51 】。nz a b a r a s 等将空间正则化方法应用于边界元法求解弹性 力学反问题中 5 2 】。lm a r i n 等将正则化方法应用于边界元法求解线弹性力学 c a u c h y 问题 5 3 ，5 4 ，5 5 】。l e s n i c 等对c a u c h y 位势( 热传导) 反问题采用边界元 法结合迭代正则化算法进行了数值求解 5 6 】。m e r a 等采用边界元法求解各向异 性介质非薄体结构c a u c h y 热传导问题 5 7 。t t mo n y a n g o 等将边界元法应用与 反求热传导系数【5 8 】。t t mo n y a n g o 等用边界元法求热传导反问题中未知边界 信息 5 9 。a b e h b a h a n i n i a 等用基于连续函数的对偶互易边界元法来求解热传 导反问题【6 0 】。kh a y a s h i 等对c a u c h y 位势问题，引入位势函数，将原边值问 题转化为新的变分问题，进一步转化为常规形式的p r i m a r ya n da d j o i n t 边值问 题，采用直接边界元法求解【6 1 。k u r p i s zk 等用边界元法求解热传导反问题 6 2 。d s o a r e sj r 等将一种有效的时间截断算法应用于边界元法求解二维标量 波动方程【6 3 】。h a y a s h ik 等直接用边界元法来求解l a p l a c e 边值问题 6 4 】。 基本解方法也是众多科研人员用来求解力学反问题的有效方法。王钧等采 用基本解方法求解了三维c a u c h y 弹性力学问题，应用t i k h o n o v 正则化和截断 奇异值分解正则化方法，正则化参数根据l c u r v e 确定 6 5 】。c fd o n g 等将基 本解法应用于各向异性材料的热传导反问题，首先算得控制方程的基本解，然 后用截断奇异值分解和l c u r v e 求解不适定性方程组 6 6 】。l i a n gy a n 等将基本 解用于无网格法中求解热传导反问题，并应用了t i k h o n o v 算法 6 7 】。d ly o u n g 等把基本解和条件数分析联合在一起来处理用l a p l a c e 方程反问题，在数据误 差很小时该方法不需要用迭代或者正则化来处理 6 8 。t i n gw e i 等用基本解的 j 下则化方法求解椭圆型方程c a u c h y 问题 6 9 】。 有限元法在实际工程中有很广泛的应用，求解反问题时也是很有效的方法。 h y u n g y uk i m 等在已测得局部边界位移的情况下用有限元法反求解边界上的 面力，并分析了测量误差对计算结果的影响 7 0 】。 如果研究区域某些边界上所有的边界条件未知，但剩余边界仅已知部分边 界条件，另外可测量某些区域内点的物理参量作为补充，这类问题也是典型的 边界条件识别反问题。a ng a l y b i n 将弹性静力学的反问题解法应用于复合材料 力学，弹性力学反问题在自由边界上测量位移然后反推面力，复合材料力学中 在部分自由边界上测位移会导致该部分边界上过多的边界条件，因此可以把这 些位移用复合材料的裂缝处或材料接触面上测量的位移来代替 7 1 】。yo h u r a 等用已知的内点信息应用边界元法来求解边界上的位移【7 2 】。c h a n t a s i r i w a n 7 3 】 采用时序函数识别法，s i n g h 7 4 采用c g m 一则化法分别数值求解了此类二维 非稳态热传导问题，且探讨了单元类型、单元数量、内点测量方位和测量结果 误差对数值结果的影响。一般这种问题，为保证数值结果的稳定，内点方位的 选择应尽量接近待确定未知条件的边界。但当所选择测量的内点接近边界时， 将出现边界元法中的边界层效应，导致计算结果失真。l u 7 5 等对类弹性力学 4 不确定边界条件反问题，采用奇异值分解法对代数方程j 下则化求解，采用局部 单元细分的传统方法来回避减小几乎奇异积分的影响。t u r c o 7 6 采用b 样条边 界元法和共轭梯度法对该类弹性力学问题正则化求解，运用解析方法处理了有 关积分。 l 3本文主要内容 本文利用边界元法对薄体各向异性位势边界条件识别反问题和二维弹性力 学边界条件识别反问题进行研究，结合截断奇异值分解正则化方法求解。 本文主要内容可概括为以下几个方面： l 、介绍不适定反演问题。 2 、针对反问题引入t s v d 方法。 3 、阐述了边界元法理论和实施过程。 4 、编制边界元程序，计算相关算例，验证本文方法的有效性和精确性。 5 第二章奇异值分解方法 有些方程在系数矩阵为非方阵甚至病态的情况下，高斯消去法和l u 分解 法不能给出满意的解，此时可以选择奇异值分解( s v d ) 方法求解。即使在有 些情况下不能精确求解，但是也能给出有参考意义的信息。 2 1 奇异值分解方法 s v d 法的基础是线性代数的理论： 对任意的m 门阶矩阵a ( m 1 ) ，都可以写为 a ：u w v 7 ( 2 1 ) 其中： u 为列向量正交矩阵，u = 0 。，u 2 ，) r ”。w 为nx 门阶对角线元 素都非负的对角线矩阵。v 为，2 x ，z 阶正交矩阵，v = 0 。，u ：，u 。) r “”。 对角矩阵w 可以写为w = d i a g ( c o l ，0 ) 2 ，q ) ，0 3 l 国2 c o 。0 ，( - o i 为矩 阵a 的奇异值。 矩阵的条件数为矩阵的最大奇异值和最小奇异值的比值。如果矩阵的条件 数太大或者其倒数很小，甚至超出计算机的计算精度( 比如，对于单精度缈，一 般不应小于1 0 - 6 ，对于双精度c o 一般不应小于1 0 2 ) ，那么该矩阵是病态的。 2 2 奇异值分解法在边界条件识别反问题中的应用 本文要用边界元法解决的是二维薄体各向异性位势边界条件识别反问题和 二维弹性力学边界条件识别反问题。对于边界条件识别反问题，部分边界上的 边界条件是未知的。把边界划分为r l ，1 1 ：，满足r l ，f 2 和r lnf 2 = 。f i 上的 边界条件全部是未知的，离散为，个连续线性单元，f 2 上的边界条件是已知的， 离散为，个连续线性单元，= + ，。运用边界元法处理后代入边界条件移 项后可得病态线性方程组： a x = b ( 2 2 ) 上式对于二维薄体各向异性位势边界条件识别反问题是由2 n ，个未知数组成的 个方程( 设n 2 n ，) ：对于二维弹性力学边界条件识别反问题是由4 n ，个未 知数组成的2 n 个方程( 设n 2 n ，) 。系数矩阵a 大多不是方阵，且矩阵4 的条 件数大，可用t s v d 法解此方程。 6 二维薄体各向异性位势边界条件识别反问题用奇异值分解法可以把系数矩 阵分解为 2 n 2 a = u 删7 = 甜，缈，u ，7 ，；l ( 2 3 ) 缈，为矩阵的奇异值，按q0 3 2 0 9 2 m 0j 顷序排列。 二维弹性力学边界条件识别反问题用奇异值分解法可以把系数矩阵分解为 4 n z a = 删7 = 列，缈，一 口l ( 2 4 ) 国，为矩阵的奇异值，按q 吐纰m o 顺序排列。 当a 的矩阵条件数很大或最小奇异值很小时a 数值秩亏，必须用 = 甜，u j 代替a ，即是截断因数，4 称截断奇异值分解矩阵。要找到最佳 截断因数月，从而能得到新的最小二乘问题r a i n l l a x - b l i 的最小范数解 x ( 一) ：产业：4 + b ，该解也称之为截断奇异值分解解。 “j = j国f 7 第三章 二维薄体各向异性位势边界条件识别反问题 本章采用解析积分算法处理了二维薄体各向异性位势问题边界元法中的几 乎奇异积分【7 7 。系统方程用截断奇异值分解技术求解。 3 1各向异性位势问题边界积分方程 征二维位势i 司题中 7 8 8 0 】，当材料具有各向异性时，其控制方程为 “筹协，：豢屿：象= 。 p ， k , 是各向异性材料特性系数。设区域几何边界为f = r lur 2 ，r l ，r 2 g ， _ r 、r 2 = o 。如果在边界f i 上，位势和法向位势梯度边界条件都已知，但在边 界r 2 上，所有边界条件都未知，则为c a u c h y 问题。 区域内点y 的边界积分方程可写成如下形式 甜( y ) = 上甜g d r 一王g 甜d f 。( 3 - 2 ) 位势基本解为 “+ 2 丽1 i n 吾 仔3 ， “= - ；一r 气气、 2 兀m r 其中 f 吒i = k - l k 2 2 - k 引k l l 纠1 2 ( 3 - 4 ) s = k - ，：| ! j jk 卜 i k l 2k 2 2 i 垒生 j k ，j蚓 一生叠 mi k ，i ：h ( 3 - 5 ) k s l 2s 2 2 且设源点坐标为( y ，y ：) ，场点坐标为( _ ，x ：) ，则厂可表示为 r = 正百i 再瓦五i 瓦j 再i 丽( 3 6 ) 对应的外法向矢量方向位势梯度基本解为 8 g + = ( 七1 1 兰+ 尼1 2 竽) 以+ ( 后1 2 竽+ 七2 2 - 咖g - - ) 、刀，： o x l积2出l“2 1( y i x 1 ) 玎，+ ( y 2 一x 2 ) 门“( 3 - 7 ) 2 兀水矿l r z 其中n ，船。为边界外法向矢量方向余弦。 当源点位于边界r 上，则得位势问题边界积分方程 c ( y ) u ( y ) = 【“( x ，y ) q ( x ) d f ( x ) 一 q ( x ，y ) u ( x ) d f ( x ) ( 3 - 8 ) 常规边界元法先离散边界积分方程( 3 8 ) ，求得边界未知位势和法向位势梯 度后，进一步用边界积分方程( 3 2 ) 离散计算可获取内点的位势。为求内点的位 势导数，将边界积分方程( 3 2 ) 对内点坐标求导得位势导数积分方程 姒y ) ：【掣( x ) d r ( x ) 一【螋( x ) d r ( x ) ( 克：1 ，2 ) ( 3 - 9 ) 4 4 c , y j , 常规边界元方法在求解边界积分方程( 3 8 ) 时，直接用高斯积分计算有关积 分。但在薄体反问题中，边界节点通常和某些邻近积分单元上场点的距离，一趋 近于零，积分具有几乎奇异性，常规高斯积分结果失真，导致边界未知量的反 求解完全失效。本文对边界积分方程( 3 8 ) 的求解，引入文【8 1 导出的解析积分 算法，应用t s v d 法求解。 3 - 2 数值算例及总结 例3 1 如图薄体圆环区域各向异性媒质热传导：k l i = 5 ，k 1 2 = 2 ，k 2 2 = i 。内外 半径分别a 和b a = l0 ，b = l1 - 10 0 0 0 0 0 0 1 。狭长比，定义为( b a ) a = 1 e - 1 - 1 e - 8 。 已知外表面的温度和法向热流。内表面边界条件待反求解。内外边界各划分7 2 个均匀线性单元。温度场精确解为甜( x 。，石：) = 孚一x ；x 24 - x i x 2 + 3 。 9 4 图3 一l 薄体圆环区域各向异性媒质热传导 表3 1 列出了各薄体情况方程系数矩阵彳的条件数。随着狭长比的降低， 条件数也随之减小。当狭长比小于等于1 e 3 ，条件数不大，表明系数矩阵没有 病态效应，不需要截断相应奇异值。然而当狭长比大于等于1e 2 ，条件数很大， 采用截断奇异值算法来j 下则化求解该类问题。 表3 1 矩阵a 条件数 表3 2 列出了狭长比1 e 1 的奇异值分布，1 4 4 个奇异值分布于1 e 0 至1 e 7 之间的8 个不同数量级。数值试验表明，微小的奇异值对热流解的影响显著， 易导致热流解曲线的波动。从而热流解对奇异值的截断值起决定性影响。反过 来可按照热流解的稳定性来选取合适的奇异值截断值。该截断值k 对应的解x 。 的温度解总与精确解吻合。解的波动也将导致解向量的2 范数显著增大。表3 2 也列出了不同截断值k 对应的解的2 范数。 表3 2 波动曲线法相关的参数( ，= 1 e 1 ) 图3 - 2 表明，与x ，x m 比较，x 的热流解曲线首先出现明显的波动特 性。同时表3 - 2 表明，f ix mi | ：开始显著增大，i ix l f ：，f | x ，。：i | ：等更大。因此取x 1 3 4 为最优解。图3 - 2 和图3 - 3 表明，x 的热流解和温度解与精确解吻合。 1 0 o ， i i l 1 52 2 53 03 s 4 0 4 5m ，“j 6 57 0 n o d en u m b e r 图3 - 2 内边界热流解对比( r = 1 e 1 ) 5i i i1 5 2 02 5 3 0 3 5 4 1 14 55 0 6 06 5竹i n o d en u m b e r 图3 - 3 内边界温度解( ，= 1 e 1 ) 总之，小的截断值解会导致相对大的奇异值对应的信息丢失，而大的截断 值解会由于小的奇异值的影响使解的范数和误差增大。通过观察x 。对应的热流 解的曲线波动，截断值k 可以有效截取得到。该正则化法称为波动曲线法。 0 51 1 11 52 02 5 3 1 ) 3 5 4 l 4 55 l i“ 酤饥i n o d en u m b e r 图3 - 4 内边界温度解( r = 1 e - 8 ) 彻圳栅姗枷j删舢删圳舢枷舢 j 咖埘啪舌埘瑚言伽。啪瑚湖枷蜘咖瑚啪 2己已u盘暑u一 l l ， l i l52 02 53 03 54 04 550606 57 0 n o d en u m b e r 图3 - 5 内边界热流解( 厂= 1 e 一8 ) 图3 4 和图3 5 给出了狭长比为1 e 8 时内边界的温度和热流解。此解可以 直接由奇异值分解法得到，与精确解吻合。 常规边界元法不能处理薄体反问题，本文采用解析积分算法，克服了几乎 奇异积分的影响，可以使长边和短边单元的长度处于不同的量级，从而可以减 小问题自由度，高效精确地求解该问题。 截断奇异值分解算法用于该薄体边界条件识别反问题。基于热流解的波动 曲线法可有效选取奇异值截断值。 1 2 h h h m m h m 枷 圳 孤 孤 州 枷 h n i k 第四章二维弹性力学边界条件识别反问题 4 1无体力二维弹性力学边界元法基本理论 4 1 1k e l v i n 解 所谓k e l v i n 解是指在均质、弹性、各向同性的无限域某点某向上作用单位 力时的解( 在无限域q 。上源点孝的f 方向作用单位力，从而在场点x 的，方向 产生位移“：和面力p ：) 这是个辅助态，用它跟实际态相配合建立功的互等定理， 就可以得到边界积分方程【7 8 8 0 】。j 下因为辅助态可以是任一个跟实际态互不相 关