（计算数学专业论文）扩散张量在图像处理中的应用.pdf

捅要近年来，随着偏微分方程( p d e ) 理论成为图像处理中的一种新型工具，逐渐引起了人们的关注。本论文以j w e i c k e r t 模型为重点介绍了基于p d e 的图像去噪模型。在此基础上，研究了扩散张量，并将其应用将其应用于图像处理的其它模型，取得了较为满意的效果。论文首先分析了扩散张量在图像特征刻画中的优势，并以扩散张量为插值放大的权函数，给出了基于扩散张量的图像插值放大方法。其次，讨论了p m 模型和j w e i c k e r t 模型的扩散方向，针对振荡等大邻域特征给出了两种构造扩散张量的特征方向的方法：h e s s i a n 矩阵法( 利用高阶微分) 和g a b o r 变换方法( 利用频域分析) ，并将它们应用于图像去噪，仿真试验效果较好。再次，将j w e i c k e r t 模型和正则化模型相结合，得出了基于张量扩散的正则化模型，并进行了仿真试验。最后，将j w e i c k e r t 去噪模型应用于几何驱动扩散方程组，得到了基于扩散张量的去噪和边缘提取的耦合模型，并且根据各方程的主要功能不同，讨论其对应扩散系数的选取原则。关键词：偏微分方程各向异性扩散图像恢复扩散张量a b s t r a c ti nr e c e n ty e a r s ，an e wm e t h o db a s e dp d et h e o r ye m e r g ei nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n ga n da t t r a c ta t t e n t i o no f m o r ea n dm o r ep e o p l e t h i sp a p e rp r e s e n t sm o d e l so fi m a g ed e n o i s i n gb a s e do np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) ，a n df o c u so nj w e i c k e r tm o d e l o nt h i sb a s i s ，w es t u d yt h ed i f f u s i o nt e n s o ra n da p p l yi tt oo t h e ri m a g ep r o c e s s i n gm o d e l r e s u l t so fs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t ss h o w e dt h a tt h em e t h o d sa r ee f f e c t i v e f i r s t , t h ep a p e ra n a l y z e st h ea d v a n t a g e so fd i f f u s i o nt e n s o ri nd e t e c t i n gf e a t u r ed i r e c t i o n a n da p p l i e st h ed i f f u s i o nt e n s o rt ow e i g h tf u n c t i o n , t h e nam e t h o df o ri m a g ei n t e r p o l a t i o nb a s e do nd i f f u s i o nt e n s o ri sp r e s e n t e d s e c o n d , w es t u d yt h ed i f f u s i o nd i r e c t i o n so fp r o n a - m a l i km o d e la n dj w e i c k e r tm o d e l ，a n dp r e s e n t st w om e t h o d s ：h e s s i a nm e t h o d ( u s i n gh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a t i o n s ) a n dg a b o rm e t h o d ( u s i n gs p a c e -f r e q u e n c ya n a l y s i s ) t od e t e c tt h eo s c i l l a t i o n s m o r e v e r , t h e yw e r ea p p l i e di ni m a g ed e n o i s i n g ，r e s u l to f s i m u l a t i o ne x p e r i m e n ts h o w e dt h a tw eg o tab e t t e ri m a g e t h et l l i r 也p a p e rc o m b i n e st h ej w e i c k e r tm o d e lw i 血t h er e g u l a r i z a t i o nm o d e l t h e ng e t sar e g u l a r i z a t i o nm o d e lb a s e do nt e n s o rd i f f u s i o n ，a n dm a k e st h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t t h el a s t ，a p p l i e st h ej w e i c k e r tm o d e li nt h ec o u p l e dg e o m e t r y d r i v e nd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，w eh a v eac o u p l i n gm o d e lf o rd e n o i s i n ga n de d g ed e t e c t i o nb a s e do nd i f f u s i o nt e n s o r a n da c c o r d i n gt ot h em a i nf u n c t i o no ft h ee q u a t i o nd i f f e r e n t ，p r i n c i p l eo f s e l e c t i n gp a r a m e t e r si sd i s c u s s e d k e y w o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e )a n i s o l r o p i cd i f f u s i o ni m a g er e s t o r a t i o nd i f f u s i o nt e n s o r创新性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。关于论文使用授权的说明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定)本人签名：导师签名：刘羞莲- i渤e t 期：趁墨：! 墨日期2 d q 8 f ：2 d第一章绪论第一章绪论本章首先简单介绍了论文的研究背景，以及研究目的和意义；然后给出了偏微分方程处理图像这一学科的形成、演化和发展，还有国内的一些研究情况；最后介绍了本论文的主要工作及内容安排。1 1 研究背景及目的人类传递信息的主要媒介是语音和图像。据统计，人类约有7 5 的信息是通过视觉系统获取的。由此可见视觉信息对人类的重要性，而图像正是人类获取视觉信息的主要途径。人是最高级的图像处理系统。人在大脑中“存储”图像并产生以形象思维为主的思维活动。除此之外，人采用各种介质存储图像，用光电设备显示图像，极大地丰富了人与人的交互( 如电视) 。图像处理起源于2 0 世纪2 0 年代，受技术手段的限制，当时发展相当缓慢，直到第三代计算机问世后其才开始迅速发展并得到广泛的应用。近年来，由于计算机技术的迅猛发展，计算机的速度越来越快，图像处理系统的价格日益下降，从而使图像处理得以广泛应用于众多的科学与工程领域，如遥感、工业检测、医学、气象、侦察、通信、智能机器人等。广义上来说，文本、图形、视频等都需要借助图像技术才能充分利用。这些技术正在明显地改变着人们的生产手段和生活方式。传统的生产、管理、教育等，正在向信息化、多样化转变。正因为图像有着如此多的应用，与我们的工作和生活方式息息相关，所以有必要对图像和图像技术进行深入细致的研究。当前图像处理面临的主要任务是研究新的处理方法，构造新的处理系统，开拓更广泛的应用领域。简单来说，图像是自然界景物的客观反映，我们生活中所要面对的图像绝大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，称它们为数字图像。在计算机中对数字图像的处理和操作被称为数字图像处理。图像处理技术的内容非常丰富，其中，最简单和最具吸引力的是低层图像处理领域，如图像的平滑技术。长期以来图像平滑都是图像处理领域中一项基本的，也是很重要的技术，也是不可回避的研究课题。因为一幅图像总是有可能受到噪声的污染。图像的平滑处理可以减小噪声，使我们从图像中获得更为准确的信息，使图像质量达到符合我们后续处理的要求。图像平滑包含两个方面内容：一是消除噪声，二是增强( 或保护) 图像特征。在实际中需要在这两者间取得良好的兼顾。目前各种常见图像平滑方法很多，各有其特点和效果，但仍不能满足人们对处理效果的更高要求。因此探寻研究新的图像处理技术是十分必要的。基于偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，缩写为p d e ) 的图像处理技术是2扩散张量在图像处理中的应用目前较新的图像处理技术。研究基于偏微分方程的图像处理技术及其应用，目的是能对该项技术全面深入地理解，并将其应用到我们的实际生活需要中。1 2 偏微分方程处理图像的基本介绍基于偏微分方程的图像处理已经成为图像领域中的一个重要分支，有关的内容日益成为相关领域研究人员关注的一个热点。这方面最早的工作可以追溯到n a g a o i ”、r u d i n 等关于图像光滑和图像增强的研究以及k o e n d e r i n ke 3 1 对于图像结构的探索。图像处理和数学的其他分支例如数学形态学( m a t h e m a t i c sm o r p h o l o g y ) 、图像水平集( 1 e v e ls e t ) 、图像形状( s h a p e ) 等也为这个学科的形成注入了一定的内容。其中图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割( i m a g es e g m e n t a t i o n ) 。图像反映了真实的世界，也反映了真实世界中的物体。图像分割的目的是为了把这些物体从图像中分离出来，同时得到相应的边界。目前，已经拥有许多成熟的图像分割方法，其中m u m f o r d - s h a h 模型是较为常用的方法。这个方法的主要思路是：给定一幅图像g ( x ) ，图像分割的目标就是寻找一个光滑的图像“( x ) 和不光滑的集合k ( 用来代表边界) ，使下面的泛函：e o ，k ) = 量。b i v 甜i x l 2 + 卢0 一g ) 2 l z x + l e n g t h ( k )( 1 1 )i d , ，其中a ，卢是参数。这个公式有非常深刻的物理背景：0 一g ) 2 这一项可以保证g ) 与原图像g g ) 保持内容上的基本一致，i v “g 】2 确保了绝大部分区域是光滑的，而艮，卿矗似) 项是为了使图像的边界最简单，这三项的折中保证了图像分割的效果。通过变分法，我们可以把这个泛函极值问题( 1 - 1 ) 转化为对偏微分方程的求解。在转化过程中，研究人员往往会根据不同的应用背景简化式( 1 - 1 ) 或对式( 1 - 1 )作一些变形，因此产生了不同的偏微分方程。例如，o s h e r 和r u d i n t 4 1 用j 詈= - 1 砒i ，( 甜)( 1 - 2 )【u ( 0 ，工) = g ( x )在某个时刻f 的解“( f ，工) 作为图像分割后的结果。而p e r o n a 和m a l i k t 5 1 选择的方程是百o u = 一咖删d u i 炳)( 1 3 )【u ( o ，x ) - - g ( x )另外，还有中值曲率运动( m e a n c u r v a t u r e m o t i o n ) 6 1 等。g k o e p f l e r , c l o p e z ,第一章绪论3j m m o r e l1 7 1 对类似的方法做了一个总结，在理论上对这类方法进行了概括和提升。第二个将偏微分方程引入图像处理领域中的研究方向是图像滤波。作为一个预处理手段，图像滤波几乎成为所有图像处理方法的前奏。早在1 9 8 4 年，k o e n d e r i n k t 3 1 就发现了图像信号经过g a u s s i a n 滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。在许多场合中，图像滤波被作为图像处理的一种预处理手段，它需要满足两个限制条件：对比度不变和仿射不变。而仿射不变性可以被分解为平移不变、旋转不变、欧氏不变、伸缩不变等。满足相关不变性条件的滤波器都有对应的一族偏微分方程，随着不变性限制条件的增强，对应的偏微分方程范围在缩小。最后，满足对比度不变和仿射不变的偏微分方程只有一个，即所谓的a m s s ( a f f i n em o r p h o l o g i c a ls c a l es p a c e ) 方程：f 劫i i、1 3j i2 l 脚f 珊( u y( 1 - 4 )【溺，x ) ：g g )l a l v a r e z ，f g u i c h a r d ，e l l i o n s 和j m m o r e l t 8 】等将整个推导过程进行了巧妙的组织，形成了一个公理体系。参考文献 8 】的发表，被认为是基于偏微分方程的图像处理这一学科形成的一个标志。其中，数学形态学算子也被纳入到整个推导体系当中，因而这类经典的滤波器被赋予了新的含义。基于偏微分方程的图像处理属于底层图像处理的范畴，其处理结果通常被当作中间结果供其他图像处理方法进一步使用。所以基于偏微分方程的图像处理的应用范围几乎覆盖了整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、彩色图像处理、动态图像分析等。目前，基于偏微分方程的图像处理还衍生出了许多分支，例如动态边界( s n a k e )【9 】、基于水平集的图像处理、图像变形( d e f o r m ) 、图像模型的研究等等。其中有些分支所采用的数学已经不完全局限于偏微分方程，有的研究甚至借用了视觉哲学的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，例如法国宇航局已经采用了a m s s 算子作为对航拍图像进行图像增强的标准方法；另一方面，随着本学科的发展，人们在越来越深刻地挖掘图像和图像处理的本质，并试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造，这对于以实用为主的图像处理方法是一种挑战。基于偏微分方程的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分理论的发展。由于常用的数学模型把图像认为是一个有界变差函数，所以偏微分方程所需要的连续性假设不能满足。因此，方程的一种弱解一粘性解( v i s c o s i t ys o l u t i o n ) 0 0 1 被引入到图像处理方法中。我国的研究人员从2 0 世纪9 0 年代中期开始就关注这个领域的工作，中科院自动化所、北京大学、复旦大学中法应用数学研究所、北京师范大学、南京理工4扩散张量在图像处理中的应用大学等陆续开始了这方面的研究并获得了大量的研究成果( 【3 6 ， 4 9 卜一【5 9 】) ，还有国防科技大学理学院院长王正明教授及其学生在这方面也做了不少的研究( 3 1 卜一 3 5 】) 。1 9 9 9 年，中科院自动化所承办了以c o m p u t e r v i s i o na n de d e 为主题的暑假学校，这为基于偏微分方程的图像处理在全国的推广做出了比较大的贡献。1 3 本文工作及主要内容安排1 。3 1 研究思路与方法p m 各向异性扩散模型的提出为图像处理提供了新的思路，但其解不是存在唯一的，并且不能消除边缘上的噪声。e c a t t e 改进后的模型解虽然是存在唯一的，但是它对边缘处的噪声依然没有做出有效地处理。j w e i c k e r t 各向异性扩散模型在去噪时很好地处理了边缘处的噪声。其主要原因是该模型采用了扩散张量来决定扩散的方向和大小。本论文首先分析了扩散张量在图像特征刻画中的优势，并以扩散张量为插值放大的权函数，给出了基于扩散张量的插值放大方法；详细分析了p m 模型和j w e i c k e r t 模型的扩散方向，针对振荡等大邻域特征给出了两种构造扩散张量的特征向量的方法：h e s s i a n 矩阵法和g a b o r 变换方法，并将其应用于图像去噪。其次本论文讨论了j w e i c k e r t 张量扩散模型的应用：( 1 ) 和正则化模型相结合，得出了基于张量扩散的正则化模型；( 2 ) 应用于几何驱动扩散方程组，得到了基于扩散张量的去噪和边缘提取的耦合模型，并且根据各方程的主要功能不同，讨论其对应扩散系数的选取办法。最后，对文中所给的每个模型选择一些比较典型的图像在m a t l a b 7 0 1 环境下进行了仿真实验，通过调整各个参数值使其达到最佳效果。1 3 2 内容结构安排全文共分五章，各章内容如下。第一章主要是对本文的研究背景和本文的主要研究的内容以及结果作以简单的介绍。第二章主要介绍图像处理的基本知识、数学模型和图像处理质量的评价指标。第三章是为后面的研究提供一些相关的基本知识：对目前常用的一些p d e 扩散模型进行了分析，重点分析了j w e i c k e r t 各向异性扩散模型。最后还提到p d e模型处理图像的优点以及将要面临的挑战。第四章分析了扩散张量在图像特征刻画中的优势，首先以扩散张量为插值放大的权函数，给出了基于扩散张量的插值放大方法。其次，对扩散张量的特征向量进行了分析，针对振荡等大邻域特征给出了两种构造扩散张量的特征方向的方法：h e s s i a n 矩阵法和g a b o r 变换方法。第一章绪论第五章主要讨论j w e i c k e r t 扩散模型的应用。首先，将j w e i c k e r t 模型和正则化模型相结合，得出了基于张量扩散的正则化模型。其次，将j w e i c k e r t 去噪模型应用于几何驱动扩散方程组，得到了基于扩散张量的去噪和边缘提取的耦合模型，并且根据各方程的主要功能不同，讨论其对应扩散系数的选取原则。第二章图像处理基本知识及数学模型第二章图像处理基本知识及数学模型本章主要介绍图像的一些基本知识，首先从两个不同的侧面对图像进行分类：第一种把图像分为灰度图像和彩色图像；第二种把图像分为静态图像和动态图像。另外，我们将介绍静态图像的连续数学模型和离散数学模型。在广泛应用的计算机图像处理领域，我们通常所指的图像就是基于离散模型的数字图像。最后简单介绍一下图像噪声及图像质量评价指标。2 1 图像基本知识2 1 1 图像概述简单来说，图像是自然界景物的客观反映，图像处理技术是人类认识世界和改造世界的重要工具。图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼并进而产生知觉的实体。具体来说，人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼中形成的影像。图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受。人类社会己经进入了信息时代，对信息的获取、加工、传输等构成了现代社会的基础工作。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有7 5 来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。今天，计算机和网络技术得到了空前的发展，我们所面对的图像绝大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，它们被称为数字图像。在计算机中对数字图像的处理和操作被称为数字图像处理。现在普遍采用的i m a g e ( 或者d i g i t a li m a g e ) 代表离散化了的数字图像。伴随着计算机速度、大规模存储容量、网络和通信速度的飞速提高和显示系统的逐步成熟，数字图像处理己经发展成为一门重要的学科。2 1 2 图像分类这里，我们只讨论按照颜色类型和运动类型的图像分类。第一，按颜色类型分，图像可以分为灰度图像和彩色图像，它们也就是通常所说的黑白照片和彩色照片，其主要区别是灰度图像仅仅使用了颜色空间中比较特殊的一类颜色，但包含了丰富的亮度层次；而彩色图像则使用了颜色空间中的大量颜色，包含了亮度、颜色饱和度、颜色对比度等信息。第二，按运动类型分，图像被分为动态图像和静态图像。简单地说，静态图像就是照片，动态图像就是电影。这里特别需要指出，动态图像是一种特殊的图像，又称为视频图像、活动图像或者运动图像，它是一组静态图像在时间轴上的有序排列。综合起来，可以对图像作以下的划分：扩散张量在图像处理中的应用表2 1 基于颜色类型和活动类型的图像分类彩色灰度静态静态彩色图像静态灰度图像动态动态彩色图像动态灰度图像简单地，我们可以把一幅黑白照片认为是静态灰度图像，一幅彩色照片认为是静态彩色图像；而一部黑白的电影就是动态灰度图像，一部彩色的电影是动态彩色图像2 2 静态灰度图像的数学模型在表2 1 所列出的图像分类中，静态灰度图像是最简单的一类图像，同时也是研究和学习图像处理中最基本的一类图像。在接下来的内容中，我们介绍静态灰度图像的数学模型，包括连续模型和离散模型。这些内容是学习图像处理的最基本的知识，必须熟练掌握。其中，建立图像的连续模型主要是因为理论研究的需要。建立图像的离散模型是出于实际应用的考虑，这是因为数字图像处理的最终实现要通过计算机对其存储的数据( 图像数据) 进行相应的计算来完成。实际上，我们可以把数字图像( 图像的离散模型) 看作是由图像的连续模型经离散化后得到的。2 2 1 静态灰度图像的连续模型一般来说，一幅静态灰度图像是一个定义在矩形区域内的反映现实景物的灰度变化的组合，其中显示图像内容的那个区域被称为图像的支撑集( s u p p o r t ) 。以图2 1 为例，假设图像的支撑集为f 2 c r 2 ，如图2 1 ( a ) 所示，图像甜的物理模型是定义在q 上的一个映射，即甜：x q v( 2 1 )其中，值域矿是所有灰度值的集合，如图2 1 ( b ) 所示，它包含了所有从最暗( 纯黑) 到最亮( 纯白) 的灰度。一幅图像对应了一个具体的映射规则甜，例如图2 1( c ) 所示的图像就是依据一个具体的映射规则得到的，依据不同的映射规则会得到不同的图像。下面需要把物理模型转化为数学模型，这就需要合适地表示矿，这样式( 2 1 )中的”就可以被认为是一个函数而加以研究。于是，需要建立一个v 和【0 , 1 】之间所有实数的映射：在图2 1 ( b ) 中，亮度最低的纯黑色对应于0 ；亮度最高的纯白色第二章图像处理的基本知识及数学模型9对应于1 ；其它的灰度根据亮度的不同而均匀地对应于【o ，1 】之间的某个实数，这是一个一一映射。借助于以下的关系“：x q 斗v 付【o ，”( 2 - 2 )建立了图像的函数模型，即甜：x q j 【0 ，1 】( 2 3 )这个模型被称为灰度图像的连续模型。( a ) 图像的支撑集( b ) 图像的值域矿：灰度值( c ) 图像图2 1 图像的连续模型( d ) 随机图像对于图像的连续模型，我们作以下几点说明：( 1 ) 在一般的情况下，图像的支撑集合q 都取为矩形。这是为了和我们通常意义下的照片相对应。同时，在目前的计算机中存储的数字图像也都是以矩形为支撑集的。矩形支撑集保证了连续模型和离散模型在支撑集上的一致性。( 2 ) 图像的支撑集合q 通常被嵌入到某个坐标系r 2 之中。单纯地看一看图像，它和坐标系的选择没有实质的联系。但是在某些情况下，将支撑集放置在某个固定的坐标系中可以使表述比较简单。例如，图像的几何变化( 平移、旋转等) ，借助于坐标变换就可以得到简洁的表述。此外，还会涉及几幅图像之间的一些运算，如切割、拼接、变形等。其中不同的图像可能会有不同大小、不同位置的支撑集，把这些不同图像的支撑集放在同一个坐标系中在数学上更容易表达和处理。( 3 ) 从集合的观点观察所有具有( 2 3 ) 形式的图像，不同的图像有不同大小、不同位置的支撑集q ，很难用统一的数学模型来表示。因此，我们需要对图像的1 0扩散张量在图像处理中的应用连续模型做一个拓展，用统一的形式表示所有的图像组成的图像空间，通常有以下两种方法来实现。第一种方法：对图像“以及它的支撑集合q 而言，我们并不关心x 芒q 时“g ) 的值，因而可以把图像的连续模型扩充为甜：x e r 2 一 o ，1 】u _ ( 2 4 )其中，如果点x 在q 内，取值为对应的灰度值，也就是【o ，1 】之间的某个实数；如果x 仨q ，那么“( x ) = m 。事实上，这里一0 0 只是一个记号，用来表示我们并不关心的取值。这个模型存在一个i ：l 较大的缺陷，即图像“( 工) 在图像的边缘a q 处不连续。所以，在图像处理的过程中，边界往往需要作特殊处理。第二种方法：针对第一种方法的缺陷，我们用反射和周期延拓的方法对图像模型进行扩展。令图像支撑集q 在如图2 1 ( a ) 所示坐标系中，原点在q 的左下角，记q 的边长为q ，、q ，则q = 扛= b ，：2 ) 1 0 z l q ，0 而q ，o第一步，将q 分别沿着x 轴和y 轴作反射，即定义扩展后的图像虿为孬0 ) =”( z i ，z 2 )o 墨毛s q ，o z 2s q ，, - - z 2 ) u ( - zz ) 0 。i 二z 1 翌0 荔z 2 羔：协s ，l ，2 )一q ，q ，u ( - z 1 ，一z 2 ) 0 一毛q ，0 一z 2 q ，图2 2 是一个从“扩展到茚的示意图。( a ) 图像“( b ) 扩展后的图像石图2 2 图像的延拓第二步，将图像茚周期化到整个r 2 平面上，即石g ) = 孑g 。，= ：) = 茚b 一肝q ，乃聊q ，)( 2 6 如果0 一l 硷，z 。s o + 1 如，- i 如，z ：似+ 1 硷，。无论是第一种方法还是第二种方法，我们都把图像空间扩展为满足以下形式的函数的集合：x r 2 一m( 2 7 )其中m 为【o ，1 】或者【o ，l 】u 一o o 。我们把具有式( 2 7 ) 形式的函数空间记为f ，它第二章图像处理的基本知识及数学模型表示了由所有图像组成的一个集合。( 4 ) 在实际应用中，图像是用来反映一定的场景和内容的，并不是所有( 2 7 )形式的函数都包含在函数空间f 中，如图2 1 ( d ) 是由一个随机数产生的“沙土图像”，它不是具体某个物体和场景的反映，在图像处理研究的领域中，不把它列入图像空间中。实际上，在图像的定义中，我们还要加上一些连续性条件：要求图像函数“几乎处处光滑( 或者u 几乎处处是c 2 ，c 3 ) 的，即f = 缸1 3 b c q ，m e a s ( 占) = o , v x 仨b ，“( x ) c ”( 2 8 )这说明了在图像支撑集的绝大部分区域上，函数”具有良好的光滑性。通过观察具体的图像，我们可以发现图像函数在所体现的物体的内部具有较好的连续性，而在物体与物体的边界上，图像函数往往不具有连续性。也正是因为在物体的边界上有了灰度的巨大差别，才使我们能够识别出图像内容中所包含的物体。在连续模型中，物体占据了q 中的二维区域，所以物体与物体的边界是一维曲线，用零测度集b 来表示物体的边界是非常自然的。2 2 2 静态灰度图像的离散模型：数字图像计算机只能接受和处理离散数据，一幅图像必须要在空间和灰度上都离散化才能被计算机处理，这种离散化了的图像就是数字图像，相应的过程称为图像的数字化。其中空间坐标的离散化称为空间采样，而灰度的离散化称为灰度量化。( a ) 原图像( b ) 原图像局部放大图2 3 图像的离散模型空间采样就是把图像支撑集合q 离散化为一些按行和列整齐排列的小方块。如图2 3 ( b ) 所示，当我们把图像的局部放大，就比较容易发现这些小方块，它们被称为像素( p i x e l ) ，在同一图像中，像素的大小是相等的。如果q 被离散化为形行和日列，那么整个图像包含了大小相等的w h 个像素。在本文中，我们假定最左下角的那个像素坐标记为o ，0 ) ，那么图像中每个像素都有一个离散的整数坐标( 五，x ，) ，0 s x w ，0 s x ：s h ，在离散的图像中，每个像素被赋予一个唯一的灰度值，记为u ( x ，岛) 。图2 4 就体现了这样的一个离散化过程。经过这样的离散化过程，我们就可以用一个矩阵来表示w h 的数字图像。扩散张量在图像处理中的应用u ( w 一1 , 0 ) u ( w 一1 ，1 )；甜( 1 ，0 )u 0 ，1 )u ( o ，0 )u ( o ，1 )u ( w1h y v - - 1 ， - - 1 ) 1u ( o ： ；= h ，i “，一) j图2 4 离散化的示意图怎样计算在每个像素的灰度值甜( 五，x 2 ) 呢? 通过前面的叙述，可以知道每个像素都对应了图像支撑集合q 中的一个小方块，记作r k ，恐】，最简单的量化方案就是令“，而) 等于连续模型中的r k 。，x ：】区域中的灰度值的平均，即“k ，x z ) = i 乩蚓“陟( 2 - 9 )所谓的分辨率，就是指离散后图像支集( 依然记作q ) 中像素的个数w h 。对于同样大小的连续图像，空间采样后的分辨率越高，图像内容就刻画得越细致。在计算得到每个像素的灰度值后，接下来需要对灰度值“g ，z ：) 作量化，在目前的通用标准中，灰度被离散化为2 5 6 个等级，它们是整数o ，1 ，2 ，2 5 5 ，最黑的映射到o ，最白的映射至0 2 5 5 ，中间的灰度被均匀地划分。整个离散灰度值的集合记为l o ，1 ，2 , - - - , 2 5 5 i 或者g 。或者说，作一个从图2 1 ( b ) 中显示的灰度矿到g 的一个映射，即甜：工q v 付【o ，l 】j l o ，1 ，2 ，2 5 5 j( 2 - 1 0 )离散图像的模型就是“：x 1 2 一g( 2 1 1 )其中，x = ( 一，也) 是离散的。图2 3 就是这样的一个模型，图2 3 ( a ) 在我们的眼中是一幅连续的图像，其实它就是一幅数字图像。将其中一个6 x 6 的像素放大，我们就可以观察到离散化的图像( 图2 3 ( b ) ) ，而离散化图像中的每个像素都有唯一的一个灰度值。灰度被离散化为2 5 6 个等级出于以下两个方面的考虑：( 1 ) 当灰度表被量化超过2 5 6 个等级后，人的视觉系统不能够辨别相邻的两个灰度，因而被灰度量化后的图像在人们看来依然是连续的。( 2 ) 2 5 6 个等级需要用8 位二迸制数来表示，而8 b i t 正好是一个字节，在计算第二章图像处理的基本知识及数学模型机数据存储上有独特的优势。2 3 数字图像的存储模型当我们对离散的图像在计算机中进行存储时，往往按照行扫描的次序记录每个像素的灰度值。如果图像大小为w h ，有w 行和日列，我们依次记录“( o ，0 ) ，u ( 0 ，1 1 一，z d o ，h 一1 ) ，u 0 ，0 1 0 ，1 l ，“也日一1 ) ，”眇一l ，o l “o 矿一1 ，1 ) ，“眵一1 ，h - 1 ) ，这是一个一维的信号。每个像素的信息量作为一个字节，分辨率为w h 的图像需要w h 字节来存储。由于事先约定了扫描次序，我们根据这个一维信号可以得到任何一个像素的灰度值。2 4 图像噪声图像在其产生、传输过程中，容易受到声源的污染而导致质量下降。因此，去除噪声、恢复图像质量是图像处理中的首要步骤。这需要设计一定的滤波器来实现。一般而言，任何滤波器都存在优缺点，适应于不同的场合。这主要因为噪声的复杂性。从噪声源来看，有感光颗粒、图像从光形式到电形式的转换以及处理信号的电子放大等。虽然，人们对噪声的模型进行了大量的研究，但还是无法完全弄明白其中的物理机理，只好用一些特定分布的随机过程来模拟和逼近污染图像的信号，并称之为随机噪声。在文献【1 l 】中，作者将图像处理的中常用的噪声分为九类：( 1 ) 短尾叠加高斯白噪声( 2 ) 叠加高斯白噪声( 3 ) 长尾高斯白噪声( 4 ) 正向脉冲噪声( 5 ) 负向脉冲噪声( 6 ) 椒盐噪声( 7 ) 积性噪声( 8 ) 与信号相关的噪声( 9 ) 混合噪声( ( 1 ) 、( 6 ) 和( 8 ) 类共存)在本文中我们主要用具有g a u s s i a n 分布的白噪声( 这也是实际处理中分布最多、最常见的噪声) 来模拟污染图像的信号，以测试我们的图像处理效果。2 5 图像处理评价指标对于如何评价图像处理的好坏，目前尚没有客观的标准。从实验的结果看，我们觉得下面的三条比较重要。( 1 ) 噪声的适应能力；1 4扩散张量在图像处理中的应用( 2 ) 图像边缘和纹理细节的保护能力；( 3 ) 算法的稳定性和计算复杂性。所谓噪声的适应性，指滤波器不能对某一特定的噪声特别有效，而对其它的噪声效果较差；图像边缘和纹理细节是图像的特征，是图像之间的区别所在。如果处理图像时，丢失纹理细节，图像的整体结构将被破坏，这样将毫无意义。所以，图像边缘和纹理细节的保护能力是图像处理的重要性能指标，但可惜的是，该指标只能定性测量，不能定量描述，具有一定的相对主观性；算法的稳定性和计算复杂性是从可靠性和效率方面考虑的，大部分的处理技术最终都归结为每一像素邻域内的多次代数运算，考虑到图像的数据量巨大，算法的可靠性和效率的要求相当重要，特别在实时环境下，更是如此。任何图像处理技术都有一定的优点和缺点，因此对于特定应用场合很难说出哪一种方法最合适。由于在客观上，目前尚无恰当并符合主观效果的评价参数，因此还必须用主观观察图像来进行辅助评价。下面介绍几种比较常见的评价方法。我们以彳和j 分别代表原始图像和处理后的图像：x = 扛( f ，j ) 1 1 i 1 , 1 ，j ；往( f ，j ) l l i i ，l o 且是非增函数。c ( ) 称为扩散系数，与图像梯度成反比。p e r o n a 和m a l i k 在其模型中给出了两个这样的扩散系数：c ( s ) ：e - ( s ”r 和c ( s ) = 了l 百。其中常数七( 为阈值) 可以预先设定，也可以随着图像每次迭代1 + l s k 的结果变化而改变，它和噪声的方差有关。由c ( ) 的性质可得方程( 3 3 ) 在图像梯度较大的地方，扩散较小；在图像梯度较小的地方，扩散较大。这样就可以在滤除噪声的同时在一定程度上保持边界。但是p m 模型的平滑效果较差，容易出现图像集块或阶梯现象( 也叫“块效应”) ，边缘保持的效果也不理想，而且无法滤除边界上的噪声( 在边界处的扩散几乎为零) ，故图像的失真度较大。集块现象的形成很大程度上是由方程是二阶的这个本质所决定，假如图像的灰度函数是平面的话，即图像在每一点的灰度与其邻点的灰度呈线性关系，则其在每一点的二阶导数为零。这种二阶的偏微分方程将在图像的支集为无限的时候向平面图像演变并最终定格于平面图像。对于有限支集的图像，为了避免边界失真，通常要用到对称边界条件，即令图像在其边界两边对称地取相同的值。这样为了满足边界的零梯度条件，图像将向水平面演化。但方程被设计为在光滑区域演化得快，而在梯度较大的地方演变得慢，因此，在经过一段时间的演变之后，图像将看上去像由不同强度值的水平区域组成，这些不同区域的界限可能正好是边界，但也有可能在大的光滑区域或斜区域中。方程( 3 - 3 ) 对应的能量泛函为：e 0 ) = i 1 陟0 v f 如q( 3 4 )这里满足厂) 是非负非减函数，由( 3 - 4 ) 可以看出v u = 0 是( 3 - 4 ) 的全局最小值解，可以证明分段水平面图像是( 3 - 4 ) 的一个全局极小解。因此集块现象导致计算机视觉处理系统很可能把本来是同一块光滑区域的不同段的交界处看成是图像的边界。3 1 3e c a t t e 模型1 9 9 2 年，f c a t t e t “1 对p m 模型进行了改进，改进后的模型为：第三章图像处理的偏微分方程模型1 9j 詈= v g o v 剃( 3 5 )i b ，o ) = b j1厂v 2 、其中2 g o “，g o2 i e x p 【一云j 是g a l l s s i 趾函数，d 为滤波尺度，。是原始图像，c ( ) 满足的条件跟p m 模型一致。在p m 模型中，利用像素点的梯度大小和梯度阈值来决定是否对该点进行扩散。如果该点的梯度大于阈值，那么在迭代过程中其幅值随着迭代次数的增加而增强，达到锐化边缘的作用；如果梯度的幅值太小，那么在迭代过程中信号的不平坦将被平滑掉。我们知道图像的边缘是图像中梯度值比较大的像素，但是并不能找到噪声与图像边缘的精确梯度分界线，事实上这的分界线也是不存在的( 理论上有些噪声具有无限大的梯度) 。f c a t t e 采用的办法是先对噪声图像进行预处理平滑，降低噪声点的梯度，而较强的灰度阶跃却被保留了下来，这样再运用p m模型进行滤波就能达到较好的效果。方程相对比较可靠，关于噪声是稳定的。但是，它同样存在着缺点，如高斯核仃的选择就是一个困难。这是因为：盯的大小将影响高斯滤波对图像平滑的程度，太小的盯将导致扩散过程是病态的，太大的仃又将模糊图像的特征。另外，同p m 模型一样，e e a t t e 模型对于边缘处的噪声也是无能为力的。3 1 4j w e i c k e r t 模型偏微分方程去噪模型除了由线性向非线性发展以外，还经历了矢量型扩散向张量型扩散的发展。1 9 9 6 年，j w e i c k e r t 在其博士毕业论文中比较完整地介绍了张量型扩散方程的模型【”1 1 ”m 4 8 】：f a ，甜= v ( d v u )q ( o ，o o ) 甜g ，o ) = 厂g )q( 3 - 6 )l ( d v u ，珂) = 0f ( o ，0 0 )其中，q 表示图像区域，边界f ：= a q ，图像用映射厂r ) 来表示，n 表示外法线方向，( ，) 表示欧几里德内积，d 为一个扩散矩阵。在模型( 3 6 ) 中，局部图像结构由结构张量来度量，结构张量定义为：，。勺) = g ，勺u o v 7 )( 3 7 )其中“，# g 。4 “，表示u 。是由“与标准方差为仃的g a u s s i a n 函数卷积得到。，。的特征向量给出了较好的局部结构方向，扩散张量d 与结构张量，。有相同的特征向量，其对应的特征值则表示在这些方向上扩散程度的大小。扩散张量在图像处理中的应用不妨设以= ( 幺：通过简单的计算可以得出它的特征值是：特征向量设为，u 2 ，u l 表示平行于v ”。的方向，u 2 表示垂直于v “。的方向，并且u 。满足下面的关系式：隹 = d l | i j 2 ：吨+ 瓜2 4 2 丽 ，d 中元素的值为a = c o s 2 a + 九s i n 2 a ，b = ( 一) s i n a c o s a ，( 3 - 1 0 )c = s i n 2 a + 如c o s 2 a 其中， 和以为扩散张量d 的特征值，分别对应于特征向量u 1 ，u 2 。j w e i c k e r t 针对其不同的应用给出了特征值的两种选择p - l p ：j ：( 1 ) 边界增强： 吐) g “) ( 3 - 1 1 )如卜2l 一鼹卜。( 3 - 1 2 )其中，m e n ，c 。 0 ，a 0 ，另外常数g 还要满足：使得g o ) 当s 【0 ，a 】时递增，当s 以，m ) 时递减。通过实验我们得到当m - 4 ( 即c 4 = 3 3 1 4 8 8 ) 时的结果l - t 较好，在下面的实验中我们就采用这个选择，并且令结构张量的积分尺度p = 0 。以图3 1 为例( 两幅图均为( 1 2 8 x 1 2 8 1 ) ，观察模型对边界的增强。 # c ii?、h 邓2( 3 1 3 )磅2 h _ 砖p ( 斋) 其它。其中，q ( o ，1 ) ，c 2 0 。在下面的实验中，我们取q - 0 0 0 1 ，c 2 # l ，圻：= 1 。黑第三章图像处理的偏微分方程模型2 1图3 1 边界增强扩散模型左边：加入噪声的图像右边：模型处理后图像图3 2 相干增强扩散模型左边：加入噪声的图像右边：模型处理后图像张量型扩散能根据边缘走向确定沿边缘方向和垂直边缘方向的扩散速度以实现沿边缘方向去噪，从而达到边缘增强的目的，克服了非线性扩散方程对边缘噪声无所作为的缺点扩散张量在图像处理中的应用3 2 偏微分方程图像处理方法的优点及面临的挑战偏微分方程方法与通常的滤波方法相比，计算量是比较大的，那么为什么偏微分方程方法受到那么多的关注呢? 文献 1 9 提出如下观点：首先，偏微分方程给出分析图像的连续模型，离散的滤波表现为连续的微分算子。因而使得网格的划分，局部非线性滤波分析易于实现。另一方面，当图像表示为连续信号时，偏微分方程可视为具有微小子邻域的局部滤波方法。实际上，a l v a r e z 等人1 对满足图像处理稳定性需要的微分方程进行了分类以适于图像分析和处理局部化、精确化的需要。进一步，偏微分方程使得图像处理方法的合成十分自然。如给定两个不同的图像处理方案：- 咖- = 互0 0 ，f ”和罢= 五0 g ，f ) ) ，它们可以合成为：罢= 嵋+ e ，u u iu l其中a r + ，如果e 和e 为对应具有最小能量蜀和e 2 的两个e u