（固体力学专业论文）弹性力学中佯谬问题的研究.pdfVIP

浙江大学博士学位论文 摘要 佯谬问题是弹性力学中具基础性而又难度较大的研究课题，在总结已有研 究成果的基础上，本文对弹性力学中的佯谬问题作了系统而深入的理论研究， 首次发现了多次佯谬现象，提出了求解多次复杂佯谬问题的系统方法，给出了 若干典型的具有重要理论意义或应用价值的佯谬问题的完整解答。本文的主要 研究内容包括： 1 ) 应用复变函数方法，对已有研究成果进行概括和总结，揭示出佯谬问题可通 过构造关于i n z ) ”“= 1 ，2 ，) 的特解序列来解决这一规律。 2 ) 深入研究并解决了表面受任意分布载荷的曲杆问题，发现这是弹性力学平面 问题中个新的佯谬。 3 ) 完整地解决了表面受r ”分布载荷的楔体问题，并由此首次发现了二次佯谬 现象。 4 ) 全面深入地研究了双材料界面接合残余应力问题，给出了各种情形下的残余 应力特解，并由此首次发现了三次佯谬现象和热残余应力的高阶对数奇异 性。 5 ) 对各向异性弹性力学中的佯谬问题作了研究，首次给出了圆柱型正交各向异 性楔体顶端受集中力偶，或表面受均匀载荷这两个佯谬问题的完整解答。 、，r 关键谤i 佯毒，弹性另莩，楔体，曲杆，界啬确，圆柱型正菱各向异性， 应力奇异性，理论研究 浙江大学博士攀位论文 a b s 室r a c t p a r a d o x p r o b l e m sa r eaf u n d a m e n t a lb u td i f f i c u l tr e s e a r c hl o p i ci nt h et h e o r yo f e l a s t i c i t y b a s e do i lt h eg e n e r a l i z a t i o na n ds u m m a t i o no ft h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t s o b t a i n e db yn o w , a s y s t e m a t i ca n dt h n r o u 薛t h e o r e t i c a ls t u d yo i lp a h d o xp r o b l e m s i n l i n e a re l a s t i c i t yi sm a d e ，i nw h i c ht h ep h e n o m e n ao f m u l t i p l ep a r a d o xa r ed i s c o v e r e d f o rt h ef i r s tt i m e ，t h es y s t e m a t i cm e t h o dt os o l v e c o m p l i c a t e dp a r a d o xp r o b l e m si sp u t f o r w a r d a n ds o m et y p i c a lp a r a d o x e sw i t l lt h e o r e t i c a lo rt e c h n i c a li m p o r t a n c ea r e r e s o l v e d t h em a i nc o n t e n to f t h i s p a p e r i n c l u d e s ： 1 ) w i t ht h ea p p l i c a t i o n so ft h ec o m p l e xv a r i a b l em e t h o d s 。t h eg e n e r a l i z a t i o na n d s u m m a r ya r em a d ef o rt h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t sg a i n e du n t i ln o 鞭f r o mw h i c hi ti s r e v e a l e dt h a t p a r a d o xp r o b l e m s c a l lb es o l v e d b yc o n s t r u c t i n gt h ep a r t i c u l a r s o l u t i o n s e q u e n c e s a b o u to n ：) “n = l ，2 ，) 2 ) t h ep r o b l e mo f t h ec u r v e db a rs u b j e c t e dt oa na r b i t r a r i l yd i s t r i b u t e dl o a d i n go nt h e s u r f a c e s ，# 癌a n dr = bi ss t u d i e d t h o r o u g h l y , i ti sd i s c o v e r e dt h a tt h i sp r o b l e m i sa n o t h e r p a r a d o x i nt h et w o d i m e n s i o n a lt h e o r yo f e l a s t i c i t y 3 ) 弧ep a r a d o xp r o b l e mo f t h ew e d g es u b j e c t e dt ot r a c t i o n sp r o p o r t i o n a lt o r n 0 0 ) i sc o m p l e t e l ys o l v e d ，i nw h i c ht h es e c o n d a r y p a r a d o xi sf i r s td i s c o v e r e d 4 ) a l lt h ec a s e so ft h et h e r m a lr e s i d u a ls t r e s sf i e l di l e a l t h e a p e xi nd i s s i m i l a r b i m a t e r i a l sb o n d e dw i t ht w oa r b i t r a r y a n g l e s a r es t u d i e d t h o r o u g b l y ，a n d t h e c o r r e s p o n d i n gp a r t i c u l a rs o l u t i o n sa r ep r o v i d e d ，i nw h i c ht h et r i p l ep a r a d o xa n dt h e l o g a r i t h m i cs i n g u l a r i t i e sw i t l lh i g h e ro r d e r si nt h e r m a ll e s i d u a ls t r e s sf i e l da r ef i r s t d i s c o v e r e d ， 5 ) l 瓠。r e s e a r c h e so np a r a d o xp r o b l e m si na n i s o t r o p i ee l a s t i c i t ya r em a d e a n dt h e p r o b l e m o ft h e c y l i n d r i c a lo r t h o g o n a la n i s o t r o p i c w e d g es u b j e c t e d t oa c o n c e n t r a t e dc o u p l ea tt h ea p e xo ru n i f o r mt r a c t i o n so nt h es u r f a c e si sc o m p l e t e l y r e s o l v e d k e y w o r d s ：p a r a d o x ，e l a s t i c i t y , w e d g e ，c u r v e db a r , i n t e r f a c e e d g e ，c y l i n d r i c a l o r t h o g o n a la n i s o t r o p y , s t r e s ss i n g u l a r i t y , t h e o r e t i c a l 或u d y 浙江大学博士学位论文 1 1 概述 第一章绪论 佯谬问题是弹性理论中具基础性而又难度较大的研究课题，与弹性力学几 百年的发展历史相比，人们对佯谬问题的关注和研究则是近四十余年的事。最 早关注并研究佯谬问题的是两位外国学者：s t e i n b e r g 和k o i t e r l l 】( 1 9 5 8 ) ，他们 注意到，平面极坐标系中顶端受集中力偶楔体的经典解口6 1 ，其应力当楔顶角 2 a = 2 a + ( 其中t a n 2 a = 2 a 。，即2 a 。z1 4 3 牙) 时因解的分母项为零而成为无 穷大，这种神秘的解的失效现象自该解放c a r o t h e r s t 7 】( 1 9 1 2 ) 和i n g l i s t 8 i ( 1 9 2 2 ) 相互独立地给出以来却一直未引起人们的注意。 对于以上解在2 a = 2 a 。处的病态行动，s t e r n b e r g 和k o i t e r 称之为佯谬 ( p a r a d o x ) ，他们在文i 1 中先考虑了一个修改的问题，即将原来作用于楔顶的 集中力偶静力等效地替换为作用于楔体两侧有限区间0 r 蔓口上并关于楔的中 心线反对称的分布载荷( 称“替换载荷”) ，再借助于m e l l i n 变换和留数定理， 获得了修改问题在，a 斗0 0 时的渐近解，最后取a 哼0 时渐近解的极限，结果 发现：当2 a 2 a 。时，仅当替换载荷具有某一特殊分布方式时，渐近解的极限 才存在并亦为经典解；而当2 a = 2 a 。时，无论替换载荷的分布方式如何，渐近 解的极限均不存在。t i n g 例( 1 9 8 5 ) 则进一步注意到，由于楔体在r = m 处的边 界条件没有给定，因此该问题的解是不唯一的，存在着满足零应力边界条件( 楔 体两边及顶端均不受力) 的齐次解。通过适当选取齐次解并将之与经典解叠加， t i n g 构造了2 口趋近并等于2 a 。时均有界的解，由其结果看到，当2 a = 2 c t 时， 应力在楔顶附近具有( 1 n r ) r 2 的奇异性。继s t e i n b e r g 和k o i t e r 以及t i n g 的工作 之后，d u n d u r s 和m a r k e n s c o f f t ”j ( 1 9 8 9 ，1 9 9 4 ) 又对该佯谬问题作了更深入 的探讨，其中文【1 0 】主要研究与该佯谬密切相关的集中力偶问题，说明了在裂 纹尖端附近，或在两种不同材料结合的界面附近，以及在嵌入另一种材料内的 楔体顶端上作用集中力偶时的一些特异现象；而文【1 1 贝j j 归结了均以该佯谬问 题作为极限情形的三种不同的问题模型，分别讨论了各模型中的特异现象及其 与圣维南原理( s a i n t - v e n a n t sp r i n c i p l e ) 的关联。 - 继楔体顶端受集中力偶的佯谬被关注之后，另一些弹性力学中的佯谬问题 浙江大学博士学位论文 也被陆续发现并相继得到解决。它们包括：表面受均匀载荷的楔体当楔顶角 2 口：z 、2 石( 对称受载) 或2 a 。( 反对称变载) 时 1 2 ”1 ( 1 9 8 1 ，1 9 8 4 ) ；承受 反平面切向载荷的长楔当楔顶角2 a = 疗( 反对称受载) 或2 z ( 对称受载) 时【1 4 】 ( 1 9 8 5 ) ；表面受与，”成正比的分布载荷的楔体当楔顶角2 a = 口、n 为整数及 2 “= 2 r e 、疗为整数或半整数时m 1 ( 1 9 8 6 ) 。上述工作均采用应力函数解法， t i n g t l 3 , 1 4 和王敏中5 1 还通过叠加齐次解的办法，构造了2 口趋近及等于石、2 r e 或 2 口。时均有界的修正解。 除了以上列举的众所周知的典型佯谬问题之外，我们在研究中还发现了平 面弹性力学中一个新的佯谬一表面( ，= a 、b ) 受任意分布载荷的曲杆问题。 关于曲杆纯弯曲和在一端受力时弯曲的解，在弹性力学教材 2 6 】和专著 1 6 中 均有论述，尤其是文 1 7 1 ( 赵兴华，1 9 9 0 ) ，提出并解决了曲杆表面受均匀剪力 或受与s i n 目和c o s 0 成正比的分布载荷问题，但文中所谓“含有边界尺寸因素的 应力函数”的提法是不恰当的，因为应力函数应满足的双调和方程中并不含尺 寸因素，而且文中所谓“含有边界尺寸因素的应力函数”实际上是三个应力函 数特解( 其中有非分离变量型的应力函数特解) 的线性组合，为了要满足边界 条件，才导致引入有关边界尺寸因子。这个例子告诉我们，分离变量型的应力 函数特解序列f l a - 2 1 有时并不足以给出问题的简洁闭合形式解，为此还需要添加 非分离变量型的特解序列【2 2 ，2 ”，但这种构造是无穷尽的，因此是补充不完的， 正如文【2 4 】所指出，用复变函数方法是合适的。 另外，对以直角结合和以任意角度结合的两种不同材料所形成的异材，m u n z 等口5 2 6 】( 1 9 9 2 ，1 9 9 3 ) 发现当材料弹性常数的组合使应力奇异指数为零时，热 残余应力中的常规应力项( 特解) 趋于无穷大，而对结合后自由表面成一直线 的异材，i o k a 等f 2 7 2 q ( 1 9 9 4 ，1 9 9 6 ) 亦发现了同样现象，指出这时热残余应力 将出现对数型奇异性，并用边界元法在数值上进行了论证。实际上，这里m u n z 和i o k a 等遇到的即是一个佯谬问题，只是他们并未意识到，更没有能够开展理 论上的分析去解决。许金泉等口”1 1 ( 1 9 9 5 ，1 9 9 6 ) 虽认识到界面接合残余应力 问题中存在佯谬并作了初步的理论分析，但远未能彻底弄清全部情况。 由于界面接合热残余应力对异种接合材料的强度影响很大，故其研究在工 程中具有重要意义。m i z u n o 、s u g a 及s e o 等 3 2 - 3 4 1 ( 1 9 8 8 ，1 9 8 9 ) 对陶瓷与金属材 料结合中的热应力作了分析与计算，y u u k i 和许金泉等1 3 5 ”i ( 1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) 提出 了一种计算接合残余应力的弹性边界元法，通过应用该方法及大量的数值分析， 发现残余应力在界面端还可能出现对数型奇异性。k o g u c h i 等m 1 ( 1 9 9 3 ) 用有 限元法研究计算了空间轴对称的陶瓷一金属界面端中不同的界面结合角对热残余 应力的影响。c h e n 等【3 8 j ( 1 9 9 3 ) 发现界面角点附近的奇异热残余应力场可用由 2 浙江大学博士学位论文 双向拉伸引起的奇异弹性应力场替代，并由此提出了一种分析界面角点附近奇 异热残余应力场的简单方法。i n o u e 等，4 0 ( 1 9 9 5 ) 进一步对由三种不同的各向 同性材料结合而成的平面界面端中的热残余应力作了研究，并探讨了双材料平 面界面端中由表面载荷引起的应力场与由热载荷引起的应力场之间的关系l ( 1 9 9 7 ) 。 在对平面界面端中应力奇异性研究方面，b o g y l 4 2 j ( 1 9 6 8 ) 利用m e u i n 变换 最先对由两种不同材料的四分之一平面粘结成的半平面问题进行了分析，紧接 着，d u n d u r s 4 3 - “1 ( 1 9 6 7 ，1 9 6 9 ) 提出了两个描述各向同性双材料结合时力学性 能的复合参数，即著名的d u n d u r s 异材参数，从而开始了双材料界面端研究的 新纪元。随后，利用d u n d u r s 异材参数，b o g y t ”，4 6 1 ( 1 9 7 0 ，1 9 7 1 ) 又对以两个 直角结合而成的半平面边界上受法向与切向载荷问题作了深入研究，并进一步 给出了具有两个任意结合角的双材料界面端的应力奇异性特征方程，并就一些 特殊结合角的界面端应力奇异性作了详细讨论，首次给出了产生对数应力奇异 性的条件，标志着双材料平面界面端研究的新里程碑。后来，b o g y l 4 7 i ( 1 9 7 1 ) 利用m e l l i n 变换对裂纹从任意方向遇到双材料界面的平面问题进行了研究，并 就一些特殊方向的裂纹尖端的应力奇异性作了详细讨论。d e m p s e y 和s i n c l a i r t 4 8 。 4 9 1 ( 1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) 利用特征展开法对各种边界条件下具任意结合角的界面端应 力奇异性进行了全面分析，c h e n 和n i s i t a n i t 5 0 1 ( 1 9 9 2 ) 及许金泉等1 5 1 1 ( 1 9 9 6 ) 利用复变函数方法给出了具任意结合角的界面端应力奇异性特征方程及其附近 的奇异应力场。i n o u e 等f 5 2 1 ( 1 9 9 3 ) 分析了以两个直角结合丽成的半平面界面端 受表面载荷时的位移场，k u b o 等1 ( 1 9 9 1 ) 和i n o u e 等唧- ”1 ( 1 9 9 6 ) 讨论了应 力奇异性消失的条件，c h e n 等【“8 1 ( 1 9 9 3 ，1 9 9 6 ) 和y a n g l 6 ( 1 9 9 8 ) 还研究了 对数应力奇异性及其奇异应力场。 此外，t h e o c a r i s t 6 2 i ( 1 9 7 4 ) 、d e m p s e y 和 s i n c l a i r l 4 8 1 ( 1 9 7 9 ) 以及k o g u c h i 和i n o u e 等 6 3 4 s 1 ( 1 9 9 5 ，1 9 9 6 ) 分析了三相以及 多相材料组合的界面端的应力奇异性。最近，亢一澜和l a e r m a n n l 6 6 1 ( 1 9 9 5 ) 对 双材料界面端应力奇异性作了实验研究。 1 9 7 1 年，b o g y 即坪0 用m e l l i n 变换又对双材料平面问题的界面角点进行了分 析，并就一些特殊结合角的界面角点的应力奇异性作了详细讨论，给出了产生 对数应力奇异性的条件，开创了双材料界面研究的另一个领域。此后，c h e n 和 n i s i t a n i 陋7 m ( 1 9 9 1 1 9 9 3 ) 又对这一模型作了进一步研究，他们将平面乔面角点 问题分解为对称与反对称变形的组合，给出了界面角点的应力奇异性及其奇异 应力场，并对这一模型在反平面载荷作用下的问题进行了分析1 7 1 i ( 1 9 9 2 ) ，且研 究了由三种不同材料形成的界面角点问题m 1 ( 1 9 9 3 ) 。 继在各向同性弹性力学的佯谬问题研究方面取得一系列成果之后，t i n 2 又 浙江大学博士学位论文 开展了对二维直线型各向异性弹性力学| 7 4 ，7 中佯谬问题的研究，通过采用s t r o h 理论陋s m ，给出了顶端受集中力偶或表面受均匀载荷楔体问题的临界角( 发生 佯谬时的楔顶角) f 8 2 1 ( 1 9 8 8 ) ，以及在临界角处的解( 佯谬解) ”】( 1 9 9 0 ) 。 在各向异性材料平面界面端研究方面，k u o 和b o g y 口4 】( 1 9 7 4 ) 、e r d o g a n 和 d e l a l e t ”，“1 ( 1 9 7 6 ，1 9 8 4 ) 、l i n 和s u n 9 1 8 7 】( 1 9 9 8 ) 分析了双材料界面端问题， 而p a g e a u 和b i g g e r s t ”1 ( 1 9 9 6 ) 、c h e n i ”l ( 1 9 9 8 ) 考虑了多相材料界面端问题， m a 和h o u r p o ( 1 9 8 9 ) 、w u 和c h i u i ”1 ( 1 9 9 1 ) 对反平面问题作了分析，而t i n g ”1 ( 1 9 9 5 ) 给出了各向异性双材料的d u n d u r s 异材参数的定义。 由以上综述可以看到，佯谬问题的研究不仅在理论上，而且在工程应用中 都具有重要意义，而随着理论研究的不断深入和工程技术中新问题的不断提出， 人们必将发现并解决更多的佯谬问题。然而从现有的研究成果看，对佯谬问题 的内部规律人们还缺乏深入的认识，其求解在很大程度上仍依赖于数学上的技 巧，而随着所研究问题的日益复杂，对各向同性体通常使用的实应力函数的研 究方法将变得更为繁琐，其局限性也更加明显，故而使用更加简捷有效的研究 方法并进一步揭示佯谬问题及其求解的内在规律性，便显得十分必要。 1 2 本文的主要研究内容 本文主要论述复变函数法在各向同性体佯谬问题上的应用。其中第二、三 章用复变函数方法对已经用实应力函数方法解决的顶端受集中力偶的楔体和受 反平面切向载荷的长楔两个问题重新进行求解，从而概括总结出发生佯谬时的 有界解可通过构造关于( 1 n z r o = l ，2 ，) 的特解序列来解决这一规律，并指出复 变函数方法是求解佯谬问题简捷有效的方法。第四章研究受任意分布载荷的曲 杆问题，发现这是平面弹性力学中一个新的佯谬。第五章研究受r 吖h 0 1 分布 载荷的楔体问题，并完整地解决了这一佯谬，还首次发现了二次佯谬现象。第 六章研究双材料界面接合残余应力问题，获得了各种情形下的特解，并首次发 现了三次佯谬现象。第七章研究圆柱型正交各向异性楔体顶端受集中力偶或表 面受均匀载荷的问题，是用实应力函数来完整地解决这一佯谬的。第八章为全 文总结，简要地总结了本文的主要内容、结论，以及有待进一步研究的问题。 4 浙江大学博士学位论文 第三章顼端受集中力偶酶楔体 提要：应用复函数方法，本章研究了顶端受爨中力偶楔体的佯谬问题。首先由构造的复函 数形式特簿痔到，褥到了2 a = 2 a 。( 其中t a n 2 9 + = 2 敷) 时熬毒赛解，然后遵过叠加齐 1 次解，给出了2 口趋近2 瓯时仍有界的修正解。 ” 2 。1 孽| 言 在掇坐拣系，e ) m ，设有一顼囊戈2 a 聪 0 为半径在楔内作一园弧，与楔两边相交于 鼻= r e l “和马= r e “( 见图2 1 ) ，则圆弧只b 上的面力应满足 x + i y = 0 ，眠= 一口 ( 2 8 b ) 根据( 2 3 ) 一( 2 5 ) 式，知能满足( 2 8 ) 的o ( z ) 、w ( z ) 简单而又明显的形 1 式是1 了，于是可以对面( z ) 和w ( z ) 各构造一序列 6 塑坚奎堂堡主堂焦生皇二一 o ( z ) 、王，( z ) 三，三一n z ， z z 。 占，毒1 n z ， z 。z 试各取前两项作线性组合，得 。( z ) = 爿吉+ b 7 1 l n z ， 甲( z ) = c 专+ d j 1 。1 n z ( 2 1 0 a ) 其中a 、b 、c 、d 为复常数。再由( 2 7 ) 并积分得 妒( z ) ：一4 ! 一b ! ( 1 n z + 1 ) ，z ( z ) ：一c i n z - d ( 1 l n 2 z 十l n z ) ( 2 1 0 b ) 将( 2 1 0 a ) 代入( 2 3 ) 得 ( 7 0 + i q j r e2 专【- a e - 2 a + t l e 2 1 8 + b ( 1 卅矿2 巧。驴”托彻。引 亿1 1 、 + r l - j - i n r ( - b e - 2 口+ - b e 2 j o + d ) 将( 2 1 1 ) 代入边界条件( 2 8 a ) 得 一b e - 2 r a + 瓦2 “+ d ：0 一b 产+ 助一2 8 + d = 0 f 2 1 2 、 一a e 一2 1 “+ p 2 幢+ 露n i a ) e 一2 城一b i a e 2 墙+ c + d i c t = 0 一a e 2 衄+ 盈一2 8 + b n + i a ) e 2 8 + 否i a e 一2 。+ c d i a = 0 方程组( 2 1 2 ) 可进一步化为 仁+ 否k 2 一e 。“) = 0 孑茹，篓+ e - 2 i a ) = 。0 e - 2 。ab ( e 可。脚书。小。2 i c t ：0 ( 2 m - d )0 + j k 2 “一) 一2 “e 4 ”) 一p + 百l 口g 2 “+ e 。2 “) + d = 一( 彳一j k 2 m + e - 2 i a ) + b g 2 ”+ e - 2 i a ) + b 一百) a g 2 m e - 2 i a + 2 c = 0 将( 2 1 0 ) 代入( 2 4 ) 、( 2 5 ) ，不难推知式( 2 1 2 ) 成立时( 2 8 b ) 第一式 自然满足，而由( 2 8 b ) 第二式得 一b ( e 2 “一e - 2 i a ) + d 2 f 口= 0 擘g2 i a - - e - 2 l a ) 一掣，口g 2 r a + e - 2 t a ) 一宰2 i a = - q q 1 4 小 容易看到，( 2 1 4 a ) 可由( 2 1 3 a - c ) 推得，因而不独立，将( 2 1 3 ) 与( 2 1 4 b ) 联立并化简，例如未知复常数的实部和虚部可分别求解，则得下列两组方程 白+ 多n z 口= o 占：三蚕：口一( b + 百b 。：a ：。 c z ，s a ， 0 + j ) s i n 2 口一白+ 百b c 。s 2 a ：o f 卜“叫 白+ 百) c o s 2 口+ ( c + 石) = 0j 7 叻q ： 乙 一 h 争土 塑坚奎堂竖主兰堡笙苎 b b x s i n 2 a ( d 一面) 一0 一 乙一a ) ( s i n 2 a 仁一百) 一0 一 ( 2 1 5 b ) 方程组( 2 1 5 a ) 为关于a + a ，d + 3 的齐次线性方程组，方程组( 2 1 5 b ) 为关于a j ，d d 的非齐次线性方程组。为简单起见，不妨取 4 + j = b + 百= c + 石= d + 面= 0 于是只需求解方程组( 2 1 5 b ) 。 f 1 1s i n 2 a 一2 a c o s 2 a 0 时 由( 2 1 5 b ) 和( 2 1 6 ) 解得 b = d = 0 ，爿= 甭五i i q 五祠， 代入( 2 1 0 a ) 有 c ： 翌! ! ! 丝 s i n 2 口一2 a c o s 2 口 ( 2 1 6 ) 巾( z ) 2 甭而五i q 元雨，7 1 ，、王，( z ) = 面i i q c 蕊o s 2 a 。了1 ( 2 1 7 ) 此即经典解，其相应的a i r y 应力函数和应力分量即为( 2 1 ) 。 ( 2 ) s i n 2 a t 一2 a c o s 2 a = 0 ，即2 a = 2 a 。时 这时经典解( 2 1 7 ) 发生佯谬，由( 2 1 5 b ) 和( 2 1 6 ) 解得 b ：一婴，d ：一z i q c o s 2 a ，c ：2 a c o s 2 口一婴( 2 口s i n 2 a - c o s 2 a ) 4 a 2s i n 2 a 2 a 2s i n 2 a 。 4 a 2s i n 2 口、 代入( 2 1 0 a ) 有 三篙1 渤吉i q 一淼l _ i , l n z ( 2 a s i n 2 a - c o s 2 a ) z - 1 2 一一篇仁，s ，帅冲翩s 2 口吉一煮蠹一篆盎专m 。“ 其中a 为任意虚常数。( 2 1 8 ) 即为2 c t = 2 a , 时的有界解，可称为佯谬解。 ( 2 1 8 ) 中与a 相关的解析函数为 。( z ) = 4 ，7 1 ， 甲( z ) = 2 爿c 。s 2 口7 1 它对应于楔在两边和顶点不受力的状态，因此为齐次解。 不妨取a = 0 ，再由( 2 6 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可得佯谬解 8 ( 2 1 9 ) ( 2 1 8 ) 相应的应 【，i l q 搪 刮 盯 q 舵 弘豇晓矿出 2 口 斟硗 0 o l 毕口 加却岫扯 缸撕扯搪 薹兰 瞄 | 宝 一 缸k 缸k 砂砂 堕! 燮堂堂主堂垡堡壅 力函数和应力分凝为 秽= 一盎汐如s 2 搿+ 铡n 2 司s i n 2 8 + 2 0 删引黔 ( 2 2 。曲 + ( 0 c o s 2 8 一s i n 2 0 - l n r ) 。 q 。驴彘【( 1 - 4 1 n r ) s i n 2 8 + 4 伊c 。s 2 口- 2 0 c o s 2 口】 * 萨煮函c o s 2 群- s 越护)， * 矛三手堇忑妊一2 如( c o s 2 9 一蝴2 护) + 2 考或狂2 0 2 蚓魅2 8 1 2 3 齐次解 设齐次辫为 ( 力= 专， 其中e 、f 为虚常数，p 为实数。 将( 2 2 2 1 ) 代入( 2 。3 ) 褥 f 2 2 0 b ) ( = ) = 而f( 2 2 1 ) ( t o + i f r o 寸“ _ 点陆+ 1 ) e - i ( p + 2 ) o + e i ( p + 2 ) o j + 凡删 憋( 2 。2 2 ) 投入努次边雾条辫( 2 。8 a ) 鸯 一应k p + 1 弦( 一+ 2 ) “+ 口。( ，+ 2 k1 + ，奢一妒a = o 一嚣* 尹手i 础沁+ g ”吒抖2 k + f e 巾。；o ( 2 2 3 ) 研迸一疹化简为 r 2 2 2 ) 陀2 3 ) 互，嵇) = 。， f 一蠢+ 矿妇，搿) 嚣0 ( 2 2 4 ) 其中 w ( p ，堪 = + 1 ) s i 琏2 a s i n 2 ( p + l k 矿0 ，口) = 0 + 1 ) c o s 2 口+ c o s 2 0 十l k ( 2 - 2 5 ) 刚当矽如岱) = 。对，e 、，有菲零解，就对 镁本专， 9 掣 力= 蔗。v z ( p j ，_ + 2 3 ( 2 2 6 ) 经鲰 。 虬子解截联黼 。糯函鳓勘慧 埘应变 的离墩溯粉 戮静颂 蕊一 髅瓤 ，碡油 蝣好协 鬈一 髓豳乳与力嘭 撕腋 q 解和 浙江大学博士学位论文 其中e 为任意虚常数。另还可推知( 2 2 6 ) 满足q = 0 时的( 2 8 b ) ，故( 2 2 6 ) 为齐次解。 关于方程矽0 ，口) = ( p + 1 ) s i n 2 a s i n 2 ( p + 1 ) a = 0 的根已有详尽的研究， 图2 2 绘出了w ，口) = 0 曲线的一条分支。可以看到，当2 c t 趋近2 0 r 时，p 有 趋近零的实根，且对此分支可证明有 1 0 7 5 o 5 0 2 5 q0 - 0 2 5 - 0 5 o 7 5 1 l i m 鱼：一三 ( 2 p a + - 。0 2 ) a d 口 口 l i ，( 2 魄，0 ) 、 o3 1 4 1 64 7 1 2 4 2 a 图2 2 方程w ( p ，口) = 0 相应曲线的一条分支 2 4 2 口趋近2 a 。时修正的特解 f 2 2 7 ) 虽然佯谬解( 2 1 8 ) 在2 a = 2 a t 处是有界解，但经典解( 2 1 7 ) 在2 a 。附近 应力很大的现象仍末消除，故还须构造2 口趋近2 口。时仍有界的解。为此我们在 齐次解( 2 2 6 ) 中取e = 一承五忑i j i q i 碉，并使0 ，口) 落在图2 2 所示曲线 上，然后与经典解( 2 1 7 ) 叠加，得到一个新的特解为 1 0 妻一 浙江大学博士学位论义 当2 群- o 2 a 。辩，p o ，( 2 。2 8 ) 中分式均成为罟的不定型，稻用l 礓。s p i t a l 法 则芳注爨到( 2 2 7 ) ，霹求终( 2 + 2 8 ) 豹极限秘为2 a = 2 a 。薅豹鸯赛辫( 2 + 1 8 ) ( 取 其中彳= 0 ) ，因此( 2 2 8 ) 即为2 a 趋避2 a , 时的有界解。 若程齐次解( 2 2 6 ) 中取茸= 一氯五童譬钿并叠加到经舆解( 2 1 7 ) 上，则所得修藏的特解与t i n g t 9 l ( 1 9 8 5 ) 结果一致。 2 5 结论 由本章看到，用复函数方法求解佯谬问题具有概念明确，推导简洁、结粜 繁凑熬特点，较之英它方法毒褥显静饶越幢，并峦藏羯示崮撵谬发生辩静有弊 解可通过构造必于l n z ) n 0 ；1 ，2 ，) ( 其中z 。地”) 的特解序列来得到，表明 俘谬弱惩熬求解是骞矮律霹簇瓣。 浙江大学博士学位论文 第三耄受反乎羲切羯羹祷戆长搂 提蘩：应用炙茵数方法，本章研究了在两侧面受均匀的反平面切两载荷长旗的佯谬洒题。 首先，由构造的复函数形式的特解序列，得到了楔顶角2 a = 万、2 z r 时的谢界解；然后， 通避囊加齐次解，构造了2 a 趟近石或2 万时仍裔莽的修赢解；最赢，对在r = r o 处懿有固 定边界的长楔，给出了相应的闭合解答。 辩在两髑蟊受均匀静爱乎嚣弼自载蘅豹长禊，滋模矮建2 9 = 筇( 反对称受载) 或2 硝( 对称受载) 时，经典解成为无穷大，该佯谬醴由t i n g l “】( 1 9 8 5 ) 研究过并 应弼实匮数方法予戳解决，零文爨g 袋蠲复添数方法求解。 3 1 基本方程帮佯谬豹察决 在圆柱嫩标系p ，只z ) 中，顶角为2 口而z 方向秃隈长的楔体如瞬3 i 所示， 当长楔在两侧面移= 口上受均匀的反平面切向载荷时，边界条件为 龟p ，口) = r + ，。( r ，一酣) = 一f 一( 3 i ) 其中f + 和f 一为常数。 豳3 1 两侧面受均匀的反呵黼切向载荷的长楔 1 2 浙江大学博士学位论文 ( 3 1 ) 可分解为菠辩称受辫帮对称受载嚣张清形静叠旁拜： 反对称受载时：龟机能) = ( ，一搿) 。 ( 3 2 a ) 对称受载时： ( r ，掰) = 一( r ，- a ) 。f ， ( 3 2 b ) 式孛 如= ；，o 。( 3 2 c ) 如2 丁，o2 下 ) j 记嚷一非零的沿z 方向的殿乎颟位秽分量州为卯o h ，0 ) ，则目e 零的应力分量为 = 肛害，铲卢吾荔 葫ro h 冀孛斑夔留模萋，两谴移努撵西，艿) 瘴满足搿 v 2 弦= 爱+ 吾导+ 吉象w = o 霹， 、爵tr 蹄r i ” 、 帮；酣为调和函数，于遐碍薅葵裘示为 = r e z ( z ) j 。委k o ) + 而l ( 3 5 ) 箕孛善( 力隽复擎嚣( g = r e 8 ) 土静瓣橱函数。 摄攫( 3 f 3 ) 鞠( 3 ，印式，翔能满足边界蘩转( 3 1 ) 翁妖z ) 麓单惑又甥显赫形式是 z ，于是可以对z ( z ) 构造序列； 搿0 ) ：= ，z l n z ，z l n 2 而 ( 3 ，6 ) 试彀蓠聪壤穆线性蕴合，箨 z ( z ) ；a - = + b z l n z ( 3 7 ) 其孛a 、啻为黧特定常羧。 将( 3 7 ) 代入( 3 5 ) ，辩由( 3 3 ) 得到 = 三( 彘8 一五”) 一联挽4 + 磊”) + 姻矿一菇”) ( + l n ，) 】 ( 3 8 ) 将( 3 8 ) 代入边界条件执1 ) 毒 b e * 孰一m ；0 b e “8 西m ：0 主鼢“一石“) 一口( b e + 赢m ) j ：r + 丢i 奠e m 一盈“) g ( 糯“8 + 磊w ) 】：一r 一 ( 3 。9 ) 浙江大学博士学位论文 方程缝( 3 鳓冒遘一步纯为 么b - 一百) c o s a 一= ；0 a ) c o s a 嚣一一b ) a s i n 搿：- 2 i t 。 c 。，。a ， 么一( 嚣一 搿= 。l 下礤我们分反对称蹙载和对称受载两种情形分别求解。 f 3 1 0 b ) 3 1 1 反对称受载下的特解 这越气= 0 ，方程缢 3 1 锄是券次豹。不蕊取_ j = 君再= 0 ，粼只霉求 解方程组( 3 1 0 a ) 。 ( 1 ) 当c o s a 毋0 ，即2 口石时，易解得占= 0 ，a = i c o s a ，代入( 3 7 ) 得 z ( 。) ：一f j k z c o s a ( 3 1 1 ) 孬囊( 3 。5 ) 翻 3 。3 ) 有 型。sin#，t&=tacoslzc o s o f罴 ( 3 1 2 ) 2 7 n 一7 “。7 a ，蕊 ( 3 - 1 2 ) p 1 1 ) 或( 3 1 2 ) 瑟蔻经典群。 圆当c o s = 0 ，聱2 a = 露潜t 经典姆3 1 2 ) 发生谨谬。易瓣褥暑。2 i c a z ，霞 入( 3 7 ) 得 z 扛) ：“z 十f 盈z l n z 彤 其中a = - , 4 为 壬豢建鬻数。孬自( 3 。5 ) 露( 3 3 ) 毒 = 孚f _ ( 1 n ，) s i n 8 - s 口+ a r s i n 口 = 等卜( 1 + l n 巾i n 臼s 睁】榭s i n 睁 = 等f _ ( 1 + l n 咖。s 疗十矧n 0 + a c o s 秒 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 注1 3 ) 或& l 瑟麓2 a = 耳辩静毒秀解，胃称为佯谬解，焚中与馁意实常数a ， 相关的项为齐次解。由( 3 1 4 ) 知这时应力在楔顶端附近具有l n ，的奇异性。 若取一= 等p + ，( 国】，翔( 3 1 4 ) 与文f 1 4 】中( 1 2 ) 式结桊完全一致。 蛰1 2 对称受载下懿特簸 、；j ， f2一 = 谨socg ) 一器+ o 谬 i l 饼 球 n 取 研 。鞋 一动一鸯 十 十b ( ( 浙江大学博士学位论文 这辩毛= ，方程维( 3 1 0 笱是齐次鹃。不娆取蠢一a = b - 嚣= 0 ，爨只需求 解方程纽( 3 1 0 b ) 。 ( 1 ) 当s i n 0 ，即2 a 毋2 z 时，易解得b = 0 ，a = - r j s i n a ，代入( 3 7 ) 得 z ( z ) ；一善= $ 1 1 1 口 ( 3 1 s ) 薅由( 3 5 ) 秘( 3 。3 ) 骞 j 吧掣。：_ c o s 0 ，吖_ s i n 0 - s( 3 1 6 ) ”o 面7 ，7 口2 _ s l r l ，27 s _ s 1 1 1 ( 3 - 1 6 ) ( 3 1 5 ) 或( 3 16 ) 鄯为经典瓣。 ( 2 ) 当s i n a = 0 ，帮2 a 。2 帮薅，经典解( 3 1 辞发生佯谬。荔勰缮b = 气勿，代 入( 3 得 z ( z ) = 彳z + 曼z l n z f 3 1 7 ) 石 筵串a 澎任意实常数。蒋由 密 = 等r l c 。s 护一麟n 毋】十爿瑚s f 。= 曼【( 1 + 1 n ，) e o s 0 0 s i n 口】十一c o s 0 7 = 一鲁【( 1 十l n ，) s i n 0 + 0 c 。8 p 】一爿s i n 0 石 一 ( 3 1 8 ) ( 3 1 7 ) 竣( 3 1 8 ) 邵为2 d = 2 ，r 时的有界解，可称为佯谬解，其中与任意蜜常数名 相关的项为齐次解。由( 3 1 8 ) 知这时应力在楔顶端附近具有1 n ，的奇异性。 若歆彳= 一詈f l + g ( o ) 】，刚( 3 1 8 ) 与文 1 4 】中( 1 7 ) 式( 取其中= o ) 结果完 全一致。 至此，反对称受载下2 a = 硝和对称爱载下2 a = 2 z 时的佯谬苴经解决，但 注意翻2 搿趋近硝或2 石辩，经典解( 3 1 2 ) 或( 3 1 6 ) 的数德仍菲常犬，故运时还必 须另外构造有界解。 3 。2 齐次您 设齐次解的形式为 堂坚盔兰堡主兰堡燕茎一 。 卅 z ( z ) = c - 毛 十j f 3 ，t 9 ) 其中五为实数，c 为复待怒常数。注意到r 一0 时应有猝，馥必须讧+ l 0 。 将( 3 1 9 ) 找入( 3 5 ) ，髯由( 3 3 ) n 銎j f 。= = 2 r a i c e f f j a ) 9 - c e 一，( j 十1 ) 9 l ( 3 2 0 ) 将( 3 2 茂入齐次迭界条髂鹃( 3 1 ) 式( 瑟令f + = f 一。o ) ，蠢 肌+ 沁一乙一棚弘= 0且c e 一2 ( 州扭一乙。k = 0( 3 。2 11 ( 3 2 1 ) - 1 进一步化为 够一c ) c o s ( , t + l 弦= 0 旦( c o s i n ( 2 + l 玲= 0( 3 2 2 则知仅当c o s ( j t 十l = 0