（凝聚态物理专业论文）量子混沌系统中的纠缠动力学性质.pdf

摘要 2 0 世纪中期开始，人们就意识到量子混沌的重要性，通过对量子混沌一系列的研究， 人们对量子混沌的一些特征有所认识。但是，目前关于量子混沌的一些根本性的问题仍 然未得到解决。近年来的一些研究工作发现，在量子纠缠动力学特征中存在着混沌现象。 因此，量子纠缠被认为是量子混沌的一个特征，二者之间存在着本质的关系。由于纠缠是 量子力学的核心以及量子信息的来源，因此量子混沌体系内的纠缠可以为研究量子混沌 提供一种有效的方法。研究人员通过很多方法来研究量子纠缠，包括线性熵、退相干等， 也有通过量子纠缠和量子自旋压缩、量子混沌的关系来研究量子纠缠的。自旋压缩同量 子纠缠一样也是一种典型的纯量子效应，并且量子纠缠与自旋压缩有着紧密的联系。所 以，量子混沌、量子纠缠和量子自旋压缩的动力学性质具有内在的本质联系。 本文通过d i c k e 模型和q k t 模型经典化近似，作为研究量子混沌的典型模型。通过 改变处在相空间中不同区域的位置，即对应于不同的量子初态，由这种经典与量子的对 应关系来研究纠缠和自旋压缩的相关性质。主要工作包括以下两方面： 1 在经典极限条件下，量子化的d i c k e 模型表现为量子混沌动力学特征。通过数 值计算，分别考察了d i c k e 模型在旋转波近似和非旋转波近似条件下，与经典相空间相 对应的一些特殊点的初始条件对纠缠的影响，以及将所有点作为初始条件相空间整体纠 缠动力学的演化特征，得到经典混沌促进纠缠发生的结论。 2 讨论了量子混沌研究中一个非常典型的q k t 模型，研究了量子混沌系统中自旋压 缩的性质。利用q k t 模型通过数值模拟计算，给出了两种不同定义的自旋压缩系数与混 沌系数k 之间的变化关系，结果发现在经典相空间中，如果在规则区域占优势的情况下， 当初始自旋相干态波包位于椭圆形中心时，随着时间的演化，系统压缩行为表现得非常 强：而对于经典相空间中混沌区域占优势的情况下，初始自旋相干态波包同样位于椭圆 形中心，则系统的压缩行为表现得非常弱，说明白旋压缩对相应的经典混沌非常敏感。通 过比较还发现，采用w i n e l a n d 等定义的自旋压缩系数比采用k i t a g a w a 和u e d a 等定义的 自旋压缩系数对经典混沌更敏感一些，从而得出用自旋压缩可以刻画量子混沌的结论。 关键词：量子混沌；自旋压缩；纠缠动力学；d i c k e 模型；q k t 模型 a b s t r a c t 1 1 l em i d 一2 0 t hc e n t u r y ) p e o p l er e a l i z e dt h eq u a n t u mc h a o si m p o r t a n c e ，t h r o u g ht o q u a n t u mc h a o sas e r i e so fr e s e a r c h ，t h ep e o p l eh a dt h eu n d e r s t a n d i n gt oq u a n t u mc h a o s s s o m ec h a r a c t e r i s t i c s b u t ，s t i l lh a dn o tb e e na tp r e s e n ts o l v e da b o u tq u a n t u mc h a o s ss o m e f u n d a m e n t a lq u e s t i o n r e c e n ty e a r s ss o m e r e s e a r c hw o r kd i s c o v e r e dt h a ti nt h ec h a r a c t e r i s t i c h a st h ec h a o sp h e n o m e n o ni nt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n td y n a m i c s t h e r e f o r e , t h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n t w a sc o n s i d e r e dt h a ti saq u a n t u mc h a o sc h a r a c t e r i s t i c ，b e t w e e nt h et w oh a s n a t u r eo ft h er e l a t i o n s b e c a u s e e n t a n g l e m e n ti s t h eq u a n t u mm e c h a n i c sc o r ea sw e l la s q u a n t m ni n f o r m a t i o no r i g i n ，t h e r e f o r ei nt h eq u a n t u mc h a o ss y s t e m se n t a n g l e m e n tm a y p r o v i d eo n ee f f e c t i v em e t h o da st h er e s e a r c hq u a n t u mc h a o s 1 1 1 er e s e a r c h e r ss t u d yt h e q u a n t u me n t a n g l e m e n tt h r o u g hm a n ym e t h o d s ，i n c l u d i n gt h el i n e a re n t r o p y , d e c o h e r e n c e a n ds oo n ，a l s oh a st h r o u g ht h eq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dt h eq u a n t u ms p i ns q u e e z i n g ，t h e q u a n t u mc h a o sr e l a t i o n ss t u d i e st h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t s p i ns q u e e z i n gt h es a m eq u a n t u m e n t a n g l e m e n te q u a l l yi sa l s oo n ek i n do fc l a s s i c a lq u a n t u mp r o p e r t yi n d e e d ，t h e r e f o r e ，t h e q u a n t u mc h a o s ，t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dt h eq u a n t u ms p i ns q u e e z i n gd y n a m i c s c o m p r e s s e dn a t u r eo ft h ei n h e r e n t 1 1 1 i sa r t i c l eu s e st h ec l a s s i c a la p p r o x i m a t i o nt h ed i c k em o d e la n dt h eq k t m o d e l ，t a k e s t h er e s e a r c hq u a n t u mc h a o st h et y p i c a lm o d e l b yc h a n g i n gt h ep o s i t i o no fd i f f e r e n tr e g i o n si n t h ep h a s es p a c e ，n a m e l yc o r r e s p o n d st ot h ed i f f e r e n tq u a n t u mi n i t i a ls t a t e ，u s i n gt h i sk i n do f c l a s s i c sa n dq u a n t u mc o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i p st os t u d yn a t u r eo fe n t a n g l e m e n ta n ds p i l l s q u e e z i n g p r i m et a s ki n c l u d i n gt h ef o l l o w i n gt w oa s p e c t s ： 1 i nt h ec o n d i t i o no fc l a s s i c a ll i m i t ，q u a n t i z e dd i c k em o d e ls h o w st h ed y n a m i c a l b e h a v i o r so fq u a n t u mc h a o s t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o ns h o w st h a tt h e r ea r es o m ep a r t i c u l a r p o s i t i o n si nt h ec l a s s i c a lp h a s e s p a c e0 nw h i c ht h eq u a n t u mc h a o si sp r e s e n t t h ei m p a c to f i n i t i a lc o n d i t i o no ft h e s ep a r t i c u l a rp o s i t i o n so ne n t a n g l e m e n to ft h em o d e li sa n a l y z e db o t h u n d e rr w a ( r o t a t i n g w a v ea p p r o x i m a t i o n ) a n dn o n - r w a t h ee v o l u t i o n a r yc h a r a c t e r i s t i c so f t h eo v e r a l ld y n a m i c sa r es t u d i e di nt h ep h a s e - s p a c ea sa l lp h a s ep o i n t sa r ec o n s i d e r e dt ob e t h ei n i t i a lc o n d i t i o n t h e r ec o m e st h ec o n c l u s i o nt h a tc l a s s i c a lc h a o sw i l la c c e l e r a t et h e g e n e r a t i o no fe n t a n g l e m e n t 2 i nt h i sp a p e rav e r yt y pi c a lq k tm o d e li nt h eq u a n t u mc h a o sh a sb e e nd i s c u s s e d , a n d t h ep r o p e r t i e so fs p i ns q u e e z i n gi nt h eq u a n t u mc h a o t i cs y s t e mh a sb e e ns t u d i e d 1 1 1 er e l a t i o n b e t w e e ns p i l ls q u e e z i n gp a r a m e t e r sa n dc h a o t i cp a r a m e t e ri nt h et w od i f f e r e n td e f i n i t i o n si s w o r k e do u tb yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h es t r o n g e rt h a tt h er e g u l a rr e g i o n sa r et h a nc h a o t i c o n e s ，w h i c ha r ec h o s e nf i r s t l y , i nt h ec l a s s i c a lp h a s es p a c e ，t h es t r o n g e rt h es pi ns y s t e m w h i c ht h ei n i t i a ls t a t e sl o c a t ea tt h ec e n t r eo fe l l i pt i c a lr e g i o n sa sar e s u l t i ft h ei n i t i a ls t a t e s a l ec h o s e na n o t h e rc o n d i t i o n , t h ec o n t r a r yr e s u l ti so b t a i n e dn a t u r a l l y i ti n d i c a t e st h es p i n s q u e e z i n gi sv e r ys e n s i t i v et ot h ec l a s s i c a lc h a o sa n dt h ec l a s s i c a lc h a o ss u p pr e s s e st h es p i n s q u e e z i n g i ti si n t e r e s t i n gt h a tt h ed e f i n i t i o nb yw i n e l a n di s m o r es e n s i t i v et h a nt h eo n eb y k i t a g a w aa n du e d a ，c o n s e q u e n t l yac o n c l u s i o n ，w h i c ht h eq u a n t u mc h a o sc a nb ed e s c r i b e d b ys p ms q u e e z i n g ，i sa c q u i r e d k e yw o r d s ：q u a n t u mc h a o s ；s p i ns q u e e z i n g ；e n t a n g l e m e n td y n a m i c s ；d i c k em o d e l ；q k t m o d e l 独创性声明 、本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日期： 学位论文作者毕业后去向： 指导教师签名：生全) 整 日期：2 1 盟： 电话： 邮编： 1 3 0 0 9 1 6 8 8 7 8 1 3 2 0 1 3 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 量子混沌概述 i - 5 1 量子混沌。是上世纪7 0 年代出现的量子力学研究中的一个新的研究方向，其目 标是要弄清楚，在经典世界里普遍存在的混沌现象，在量子世界中是否存在，如果存在， 会有什么样的表现形式。自8 0 年代至今，有关量子混沌文献的数量迅速增长，其中大 部分文章的研究集中于阐明与经典混沌系统对应的量子系统所具有的特征。目前，量子 混沌研究中仍然有一些根本性的问题没有得到解决，例如量子力学描述的微观世界中是 否也像经典世界那样，存在着两类不同性质的运动：规则运动和混沌运动，如果存在， 如何区分它们。所以对什么是“量子混沌 ，仍没有二个确切的定义。1 9 8 9 年贝莱( m b e r r y ) 在他的一篇名为“是量子混沌学，还是量子混沌”的短文中建议，用能够给出明确定义 的“量子混沌学 ( q u a n t u m e h a o l o g y ) ，而不用“量子混沌 ( q u a n t u m e h a o s ) ，来称呼 量子力学中近来出现的这一新的研究领域。实际上，早在1 9 世纪末2 0 世纪初，法国数 学家庞加莱( h p o f n c a r e ) 在天体力学的研究中，就提出了混沌运动的思想：然而由于差 不多同一时期的量子论和相对论的发现，掀起了物理学的革命浪潮，吸引了物理学家绝 大多数的注意力，而忽略了对混沌的研究。随着计算机的发明和计算技术的发展，到2 0 世纪6 0 年代，由于e n l o r e n z 【6 】在研究大气现象时，重新提出了对混沌现象的研究，到 目前为止，己经对经典混沌现象有了较为成熟的理论研究和应用研究。而根据玻尔的量 子经典对应原理，人们自然想知道到，在量子理论起作用的微观世界中是否也存在着和 经典世界中类似的混沌现象。量子混沌研究的中心课题不是从理论上分析量子混沌是否 存在，而是要通过对量子现象的分析，找出量子不规则运动的特征，并阐明它与经典混 沌间的联系。 2 0 世纪中期开始，人们就意识到量子混沌的重要性，通过对量子混沌一系列的研究， 人们对量子混沌的一些特征有所认识，例如：哈密顿的光学性质，相空间表象，对扰动的 敏感性等。但是，目前关于量子混沌的一些根本性的问题仍然未得到解决。近年来的一 些研究工作发现，在量子纠缠动力学特征中存在着混沌现象。因此，量子纠缠被认为是量 子混沌的一个特征，二者之间存在着本质的关系 7 1 。由于纠缠是量子力学的核心以及量 子信息的来源，因此量子混沌体系内的纠缠可以为研究量子混沌提供一种有效的方法。 研究人员通过很多方法来研究量子纠缠，包括量子并发、线性熵等，也有通过量子纠缠和 量子自旋压缩、量子混沌的关系来研究量子纠缠的 s - m ) 。自旋压缩同量子纠缠一样也是 一种典型的纯量子效应，并且量子纠缠与自旋压缩有着紧密的联系。量子并发可以量度 东北师范大学硕士学位论文。 两个自旋1 2 粒子对的纠缠，当一个自旋相干态是压缩的，那么量子并发与自旋压缩系数 就具有一定的联系，这种对于量子自旋压缩的研究得到广泛的重视，同时也成为研究量 子纠缠的一个重要方法。所以，量子混沌、量子纠缠和量子自旋压缩的动力学性质具有 内在的本质联系【1 3 1 。 n 4 1 量子光学中最重要的模型就是二能级粒子j c 模型一和在此基础上建立的d i c k e 模 l l 1n “1 0 1 型一，它的量子混沌性质已经被几个作者讨论。，研究的内容涉及纠缠、量子相变、 r 2 0 一2 1 1 退相干等。比较有代表性的有f u r u y a 。在各种d i c k e 模型中研究了纠缠的动力学过 程，对于初始波包分别处于周期性和混沌区域两种情况做了比较；e m a r y 和b r a n d t 2 2 1 通 过统计层面的数值分析方法研究了量子混沌；h o ux i - w e n 和b a m b ih ue 2 3 1 研究了d i c k e 模型的退相干过程，应用平均纠缠来研究量子相变和对应的经典混沌对纠缠的影响。 d i c k e 模型在实验方面的进展也非常迅速。最近，有关量子点和约瑟夫森结中有发生超 辐射的实验方案被报道 2 4 - 2 6 】，体系的相互作用为d i c k e 模型描述的个二能级原子和 单模场的耦合。_ 些有关量子信息的固态系统也可以通过d i e k e 模型来实现，例如“声 子腔量子动力学 2 7 - 2 s ，以及量子点和约瑟夫森结系统2 9 1 。 本文第二章主要采用线性熵进行纠缠的度量，考察d i c k e 模型中纠缠的动力学 性质。运用数值计算的方法，分别研究了d i c k e 模型在旋转波近似和非旋转波近似两种 情况下，与经典相空间相对应的一些特殊点的初始条件对纠缠的影响，以及将所有点作 为初始条件时相空间整体纠缠的动力学演化特征。第三章通过将二个非常典型的k i c k e d t o p 模型经典化近似，即将其哈密顿量经典化，从而观察混沌系统中量子与经典的对应关 系。通过自旋压缩【3 u 系数定义，数值模拟了系统在不同混沌系数k 时的自旋压缩，结果发 现，自旋压缩对经典混沌是非常敏感的，经典混沌很好地控制着自旋压缩的量子动力学 过程。 1 2研究量子混沌的几种模型 ( 一) j a y n e s - e u 衄i n g s ( j _ c ) 模型 它是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器时提出的，由单个二能级原子与一单 模量子化的光场组成的相互作用系统的理想模型。它是描述原子与光场相互作用的一种 理想模型。由于它只需作旋转波近似就可精确求解，因此不仅在量子光学中，而且在激 光物理，核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。h 模型在旋转波近似下的哈 密顿量为 2 东北师范大学硕士学位论文 日= w o s z + w a + 口+ ( 口+ 叟+ a s + ) 1 2 1 这里口+ ，a 分别为频率为w 的单模光场的产生和湮没算符，s ：和& 是描述本征跃迁 频率为w 0 的二能级原子行为的赝自旋算符，为原子一光场耦合常数，它反映原子与光 场相互作用的强度。 ( 二) 狄克( d i c k e ) 。模型 d i e k e 模型是描述单个或多个原子与单模或多模光场相互作用的理论模型，在许多 物理研究领域具有重要应用，例如自发辐射、量子耗散以及量子混沌等 3 2 - 3 4 。当原子与 光场的相互作用较弱时，共振或近共振的d i c k e 模型可以做旋转波近似( r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o n r w a ) 。对于这样的可积的d i c k e 模型，一些重要物理现象的分析得以 简化，例如拉比振荡，体系的崩塌和回复效应，超辐射，压缩和相变等 3 5 - 3 6 。当辐射场 远离共振的时候，旋转波近似( r w a ) 将不再成立，这时的d i c k e 模型是不可积的，人们更 多的运用数值计算的方法分析其动力学性质。假设原子仅有一个处于中心位势v ( r ) 中且质量为m ，电荷为e 的电子( 如氢原子) ，电子的动量为p 。如果这个原子与由矢 势i ( ，) 描述的辐射场作用，那描述系统的哈密顿量可写为 日2 去( p 一嘭) 2 + v ( ，- ) + 砟= 一+ 坼+ 日 1 2 2 其中描述原子的哈密顿量为巩= 芝+ y o ) 描述自由的哈密顿量为砟= 国+ 描述原子与场相互作用的哈密顿量为马= 一去( 户_ + 互户) + 去( 嘭) 2 式中第二项含矿，与前一项相比较非常小，作为近似可略去这一相对微弱的项。于 是日，= 一熹( 声a 。+ a 。户) 此外，由于我们主要考察经典混沌对原子和场之间相互作用的量子纠缠的影响，所 以忽略原子( 量子比特) 之间的相互作用，将原子系统作为一个大的自旋系统( n = 2 ，) 来处理。这时d i c k e 模型的哈密顿量可以写为下列形式 日= 吐+ 州口+ 面r ( 工口+ ) + 南( + 删1 2 3 这里，戤绲分别是个二能级原子的跃迁频率和单模光场的频率。r ，r 7 是原子与场相 互作用过程中与偶极近似有关的耦合系数。一般可以通过设置r 7 = o 来获得旋波近似。 东北师范大学硕士学位论文 a m 口是光场的产生和湮灭算符。以，是和原子的可观测量有关的赝白旋算符。他们满 足s u ( 2 ) 李代数 以，上】- 2 以， 以，】= 以 1 2 4 我们有了量子哈密顿量1 2 3 式后就可以研究系统的动力学性质。 ( 三) q u a n t u mk i c k e dt o p ( q k t ) 模型 q k t 模型是一个非常典型的自旋模型，它在经典极限的条件下可以表现为混沌行为。 所以在量子混沌研究中也经常被采用。而其h i l b e r t 空间是有限维的，相空间的庞加莱 截面可以用来分析量子及经典动力学的性质，可用以研究自旋压缩在系统中的作用。q k t 模型可以用哈密顿量来描述，其哈密顿量表示为： ， h = 寺j 0 七w 8 ( t - n r ) - ，# 日 这里j - ( j x ，j y ，j z ) 是自旋角动量算符，t 表示k i c k 持续作用的时间，p 是每次k i c k 作用的动量。 ( 四) p o i n c a r e ( 庞加莱) 截面 庞加莱截面( p o i n c a r es u r f a c eo fs e c t i o n ) 由p o i n c a r e 于十九世纪末提出， 用来对多变量自治系统的运动进行分析，是反映经典系统是否达到混沌的有力手段。 p o i n c a r e 截面是研究量子混沌问题经常采用的模型，在相空间中适当选取一截面，这个 截面的选取要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含 轨线。在此截面上取某一对共轭变量如而，彳为固定值，称此截面为p o i n c a r e 截面，相 空间的连续轨迹与p o i n c a r e 截面的交点称为截点。通过观察f o i n c a r e 截面上截点的情 况可以判断是否发生混沌。当p o i n c a r e 截面上有且只有一个不动点或少数离散点时，运 动是周期的：当p o i n c a r e 截面上是二封闭的曲线时，运动是准周期的：当p o i n c a r e 截面 上是一些成片的具有分形结构的密集点时，运动便是混沌的。 4 东北9 币范大学硕士学位论文 第二章量子d i c k e 模型中纠缠动力学性质 在经典极限条件下，量子化的d i c k e 模型的量子纠缠表现为量子混沌动力学特征。 本章主要采用线性熵进行纠缠的度量，考察d i c k e 模型中纠缠的动力学性质。运用数值 计算的方法，分别研究了d i c k e 模型在旋转波近似和非旋转波近似两种情况下，与经典 相空间相对应的一些特殊点的初始条件对纠缠的影响，以及将所有点作为初始条件时相 空间整体纠缠的动力学演化特征。 2 1d i c k e 模型量子与经典映射 在本文中，我们考虑的d i c k e 模型描述的是个二能级原子( 量子比特) 和一个单 模辐射场的相互作用，并且通过改变耦合系数来实现旋波近似和非旋波近似。此外，由 于我们主要考察经典混沌对原子和场之间相互作用的量子纠缠的影响，所以忽略原子 ( 量子比特) 之间的相互作用，将原子系统作为一个大的自旋系统( n = 2 i ) 来处理。 这时d i c k e 模型的哈密顿量可以写为下列形式 日= 砒+ 耐口，南口+ ) + 南( + ，口) 2 1 1 这里，以鳓分别是个二能级原子的跃迁频率和单模光场的频率。r ，尺7 是原子与场相 互作用过程中与偶极近似有关的耦合系数。一般可以通过设置r 7 = 0 来获得旋波近似。 a ) a 是光场的产生和湮灭算符。以，以是和原子的可观测量有关的赝自旋算符。他们满 足s u ( 2 ) 李代数 ，正】- 2 以以，以】以 2 1 2 我们有了量子哈密顿量( 2 1 1 ) 后就可以研究系统的动力学性质。首先，选择初 始量子态。这里取初态为相干态，即最小不确定波包集中在对应的经典相空间中，这样 有利于我们考察纠缠和经典混沌之间的关系。选择初始量子态如下： i 叭o ) ) = l ) o l 谚= l 谚， 2 1 3 这里i ) 和i 谚是原子和场相干态，分别由下式给出 i ) = ( 1 + 彬) 一7 i j ，一j ) ， 2 1 4 i 谚= p 一甜佗p 吼1 0 ) 。 2 1 5 东北师范大学硕士学位论文 其中， ：下尘呈k ， 2 1 6 。 4 j 一( g i + p i ) 口2 万i l 9 2 2 + p ；) 。 2 1 7 这里1 0 ) 是玻色场的基态，用1 和2 分别作为原子子系统和辐射场子系统的标记，则 q i ，p l ，q 2 ，p ：描述的是系统的整体相空间。通过一个标准的变换过程，我们可以得到一个 与公式( 2 1 1 ) 对应的经典哈密顿量， h ( q m ，9 2 = 扣帽2 2 j ) + 譬( g ；+ p g ) + 平。啪m 咖 2 l8 这里，墨= r + r 7 。和上述哈密顿量相关的经典动力学已有研究，结果说明当r 或r 7 为 零时是处于可积的情形；而增加耦合系数时，大部分混沌动力学是与r = r 7 这个条件相 联系的。我们的目的是研究在个原子与辐射场系统之间随着初始的半经典波包的时间 演化量子纠缠的发生。特别是，当我们比较可积情形和不可积情形时，试图找到他们约 化波包动力学的可能不同之处。当我们选择相干态作为初态，集中在相空间的对应点时， 量子纠缠的经典动力学关系是确定的。然后，利用公式( 2 1 1 ) 的哈密顿量使系统进 行演化，利用数值计算的方法来研究系统量子纠缠动力学的性质。 2 2d i c k e 模型的纠缠度量和经典相空间 关于纠缠的度量在前面已经进行了详细介绍，对于我们研究的d i c k e 模型是两体 纯态系统，这里我们利用与o k t 模型相同的线性熵和y o nn e u m a n n 熵来度量纠缠。数值 计算的结果表明，二者具有相似的表现，因此我们采用线性熵来度量纠缠。对于d i c k e 模型，我们定义线性熵如下， e ( f ) = 1 一死肛( f ) z ， 2 2 1 这里，死表示对原子子系统取迹。a ( f ) = 巩l y ( f ) ) ( y ( f ) i 是约化密度矩阵，i y ( f ) ) 是整 个系统的量子态，在哈密顿量( 2 1 1 ) 作用下随时间f 演化。 为了知道在什么位置放置原子和场波包，首先应该研究经典相空间的结构。我们 可以通过四维相空间的庞加莱截面来描述。由于系统是哈密顿函数，能量 e = 詈( 彳憎一乃) + 挚呐+ 学( 足脶咖咖2 2 2 东北师范大学硕士学位论文 是守恒的。在图1 中我们通过数值模拟计算画出了当g ：= 0 ，p 2 0 时，不同耦合系数 ( r ，r ，) 的原子面( 吼，局) 庞加莱截面图。这里为了讨论方便，我们固定耦合系数r = o 5 ， 通过改变r 7 的大小来观察相空间结构的改变。 在研究d i c k e 模型的纠缠性质时，对于采取旋波近似时的可积情形，即耦合系数选 择为r = 0 5 ，r = 0 的情形，在庞加莱截面图中g l = o 的直线上选取三个特殊的点作为初 始条件，如图1 ( a ) 所示。其中两个考察点分别为椭圆环的中心点p l = 2 5 5 、p l = 2 8 5 ， 另一个是分界线上的点p l = o ，在图l ( a ) 中分别用方形符号进行标记；对于非旋波近 似时的不可积情形，- 为了研究混沌和纠缠之间的关系，我们选取图1 ( b ) 作为研究对象， 即耦合系数为r = 0 5 ，r 7 = 0 2 。在这样的经典相空间中，选取我们特别感兴趣的四个区 域作为初始条件，即图中q l = 0 的直线上一个明显的不动点岛= 2 8 5 ；一个区域是周期 轨道和混沌轨道交界的地方，选择一点为p l = 1 8 5 ；第三个区域是完全的混沌轨道，即 在混沌海中选择具有代表性的一点p l = 0 8 5 作为研究对象，在图1 ( b ) 中分别用方形符 号进行标记。 糕鹣 德 q 1 慕 雾 ( a ) r = 0( b ) r = 0 2 图1d i e k e 模型经典相空间庞加莱截面图。 2 ，3d i c k e 模型中量子纠缠动力学性质 ( 二) 初始条件对量子纠缠的影响 7 东北师范大学硕士学位论文 下面分析一下当初始相干态集中在相空间不同区域时，纠缠的动力学表现。对于可 积情形图1 ( a ) 和不可积情形图1 ( b ) ，我们分别选择上述庞加莱截面图中的特殊点作 为初始条件，考察初始条件对量子纠缠动力学性质影响。 ( a 1 ) r 7 = 0( b ) r 7 = 0 2 图2 初态取g l = 0 ，不同p l 值时线性熵e ( f ) 动力学演化曲线图。 图2 ( a ) 和图2 ( b ) 分别给出了以上可积情形和不可积情形线性熵数值计算结果。 由图2 ( a ) 可以发现，对于可积情形当初态集中在两个同心圆环面中心点时，量子纠缠 随着时间的演化均表现为缓慢的增加，二者具有相类似的变化趋势。而当初态集中在边 界线上的点时，纠缠则展示了一个非常快速的增加，这种现象称为边界效应，主要是由 于边界上的量子态处于一种无序状态，从而导致较大的线性熵的产生。由图2 ( b ) 可以 发现，对于不可积情形当初态集中在稳定岛中心( n = 2 8 5 ) 点时，量子纠缠随着时间 演化呈现出振荡增加的趋势，而对于初态位于混沌区域中心( 卉= o 8 5 ) 点时，纠缠在 非常短时间内有一个快速的增加，然后趋于达到一个稳定的小幅振荡状态。而混沌与规 则区域的交界处( p l = 1 8 5 ) 点作为初态的线性熵曲线则说明了一种中间的过渡行为。 通过以上分析发现，当初态集中在混沌区域中心时，线性熵的值比初态集中在规则区域 时要大得多，经典混沌是促进量子纠缠发生的。反过来，量子纠缠对于动力学演化的初 始条件是十分敏感的。 ( - - ) 相空间纠缠动力学的整体演化特征 下面，我们考察经典相空间的整体纠缠动力学演化特征。取庞加莱截面图上的每个 点作为初态，然后考察各个量子态随时间演化的纠缠动力学表现，最后分析经典相空间 的整体纠缠动力学性质。 8 东北师范大学硕士学位论文 l li ；i 怛 ( a ) r = 0( b ) r = 0 2 削3 线性墒e t 随时间演化灰度闰。( 时间演化 = 4 0 ，灰度值表示e ( f ) 值 首先，我们分析一下以庞加莱截面图上的每个点作为初态的线性熵的演化特征。与 图1 ( a ) ，( b ) 相对应的相空间中线性熵整体演化灰度图如图3 ( a ) ，( b ) 所示。 由图中可以发现，图3 ( a ) ，( b ) 中线性熵的变化规律与图3 ( a ) ，( b ) 中的混沌 和规则结构具有较好的对应关系，显示了系统的内在的种非常好的经典一量子对应关 系。同时，比较图3 ( a ) ，( b ) 可进一步理解o i c k e 模型的可积与不可积情形之间的 区别，在图3 ( b ) 中可以明显发现，图3 ( a ) 相空间中的线性熵的规则分布被破坏， 相空间中整体线性熵数值的也远远大于图3 ( a ) 中的线性熵的数值，再次证明了经典混 沌促进纠缠的发生。另外，由图3 ( b ) 也发现了灰度图的圆周上线性熵具有一个相同的 极大值，说明在整个庞加菜截面图的圆周上同样存在着的边界敏应，分析认为同样是由 于量子惫的混乱分布产生的。 东北师范大学硕士学位论文 第三章量子混沌系统中的自旋压缩性质 在经典极限条件下，量子混沌系统除了量子纠缠外，压缩同纠缠一样也是一种典型 的纯量子效应。最近的研究表明，量子自旋压缩与量子纠缠有着紧密的联系并且意味着 压缩【3 7 1 。量子并发可以量度两个半自旋粒子的纠缠。当一个自旋相干态是压缩的，那么 量子并发与自旋压缩系数就具有一定的联系，这样对于量子自旋压缩的研究得到广泛的 重视。有关光的压缩与量子混沌之间的关系以及量子混沌系统中有关自旋压缩性质的研 究在文献中已经有所报道【3 射。本章通过将一个非常典型的k i c k e dt o p 模型经典化近似， 即将其哈密顿量经典化，从而观察混沌系统中量子与经典的对应关系。通过自旋压缩系 数定义，数值模拟了系统在不同混沌系数k 时是非常敏感的，经典混沌很好地控制着自 旋压缩的量子动力学过程。这对在量子混沌系统中引入自旋压缩来刻画其特性是一个十 分有意义的探索。 3 1q k t 模型的经典近似和态函数 q u a n t u mk i c k e dt o p ( q k t ) 模型是一个非常典型的自旋模型，它在经典极限的条件下 可以表现为混沌行为，所以在量子混沌研究中经常被采用。而其h i l b e r t 空间是有限维 的，相空间的庞加莱截面可以用来分析量子及经典动力学的性质，可用以研究自旋压缩 在系统中的作用。q k t 模型可以用哈密顿量来描述，其哈密顿量表示如下：【”】 日= 去厶j + p j y 善8 f f 一 3 1 1 这里j = ( j x ，j y ，j z ) 是自旋角动量算符，r 表示k i c k 持续作用的时间，p 是每次k i c k 作用的动量，本文取t = 1 ，p = 2 。在q k t 模型中，其动力过程是通过下面的算符来进行 描述的，f = e x p 一寺以2 】e x p 【一以】 3 1 2 选择量子态函数如下：i o r ( 刀) ) = f ”l j f ，( o ) 3 1 3 式中i y ( o ) ) 为初态，是一个自旋相干态。对于经典极限条件下( j 一) 的q k t 模型，可以 用经典运动学方程表示如下： x = z c o s ( kx ) + y s i n ( kx ) y = - z s i n ( kx ) + y c o s ( kx ) z = - x 3 1 4 东北师范大学硕士学位论文 进行坐标变换( x ，y ，z ) = ( s i noc o s 巾，s i nos in 击，c o s 日) ( o 和中分别是极化 角和方位角) 。这样，由上述方程就可以描述系统随时间的动力学演化过程，结果在相空 问表示出来，实质是一个有关( o ，中) 的二维图形，即通常所说的庞加莱截面图。在图1 中，给出了经典情况下经过演化后的相图，分别对应混沌系数取k - - 1 ，2 ，3 ，4 四个不同数 值的情形。在x ：1 和t = 2 时，相空间大部分是规则区域：随着* 值的不断增加，规则区域 逐渐减小，混沌区域逐渐增大：在k = 3 时，是一个过渡的规则与混沌的混合区，并出现了 报好的k a m 环面：在k = 4 时，相空问大部分是混沌区域，只有很小的几个对应的椭圆形规 则区域。在4 个图中，分别选定对应的椭圆形规则区域中心的一个固定点作为初始波包， 并用r 一个黑色的圜点( ) 柬标记。4 个图中对应点的坐标分别为ax = 1 ( 0 ，巾) = ( 15 ， l7 ) ，bk = 2 ( 日，= ( 15 ，l6 ) ，ck = 3 ( o 中) = 22 5 ，06 3 ) ，dk = 4 ( 0 ，m ) = ( 2 4 ，02 ) 。 l d1 q k t n 相空m 中时肫_ ：间k 恤的魔加繁槛而i 目 3 2 自旋压缩系数 ( 一) 压缩态 已知凿振子的相干志定义为m 】：f 。) p 卜j 1n r 薹籍a ) 321 引入两个自共轭算符二，、j 2 ，使得，a = a ，+ 瞄：。j ，、j ：满足二，2 j 。+ ，二：2 二，+ ，6 ： = i 2 。 在帕干态f ，容易证明( 出。) 2 = ( 岛) 2 = i 1 ，即满足最小测不准关系 ( 2 ( 2 = 去 东北师范大学硕士学位论文 定义i 历= u ( ，) i 口) = e x p 晦a 2 一昙铲1 1 口) 3 2 2 则a 。、a ：在l 历上的涨落为 ( 她) 2 = l e2 r ( 她) 2 = i 1 矿，且( 筋。) 2 ( 她) 2 = 熹 当r o 时，( 她) 2 = 1 ，即( 她) 2 被压缩了，所以称i 历为压缩态，确切来说应该是正交压 缩态，是幺正算符u ( r ) 作用在相干态上得到的。 ( 二) 自旋压缩系数定义 如果系统是由二能级原子组成的系综系统，每一个二能级原子看成一个自旋1 2 粒 子。由于原子之间的量子关联，按照测不准关系，在整体自旋的一个分量上量子涨落如果 很小，那么在其他分量上量子涨落就可以很大，测不准关系是保持的，这个现象和光场压 缩很相似，故相应的量子态叫做原子自旋压缩态。对于自旋压缩的判定方法有很多种，本 文采用两种比较典型的定义【4 1 1 ，公式表示如下： 舌：= 型 3 2 3 “j j 乒错 3 z 4 其中下脚标n 指的是与平均自旋方向以= x j 5 ( d 垂直的轴线方向，取方差 ( a j ) 2 的最小值，j = n 2 ，n 为系统中原子的个数，并且以上= _ ，刀上。当舌2 1 ( 受2 1 ) 时， 说明这个系统是压缩的。这里式( 3 2 3 ) 采用的是k i t a g a w a 和u e d a 等的压缩系数定义： 式( 3 2 4 ) 采用的是w i n e l a n d 等的压缩系数定义。这两种定义均可作为判断压缩存在与 否的依据。下面，分别根据这两种不同定义，在混沌系统中研究自旋压缩的性质。 3 3 数值计算分析 ( 一) k 取不同值时，毒2 的数值计算结果 下面，根据k i t a g a w a 和u