（固体力学专业论文）几种典型材料中受压球形孔的扩张.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 对球形孔扩张的研究在地质工程领域，特别是对有关工业设施，如管道、 隧道设计，以及金属材料、橡胶制造和多孔固体结构性能的研究，具有十分重 要的意义。 在实际工程中，很多材料里不同程度地分布着球形空穴或孔穴型缺陷，这 种缺陷的存在有时会降低材料的力学性能。如在金属铸件的加工过程中，必须 尽量消除这些材料中较大尺寸空穴的产生。然而，对些新型结构和功能材料， 此类缺陷的存在又会在某种程度上改善材料的某些力学性能。因而，研究球形 孔穴的增长可以为材料的设计和制造提供工程依据。 d u r b a n 与f l e c k 提出一种对d r u c k e r p r a g e r 固体材料中球形孔穴增长问 题的解法。本文在此基础上，采用塑性势理论及有限变形理论，解决 m o h r c o u l o m b 材料及反映土壤压力敏感性的弹性材料中受单一径向荷载球形 孔穴的增长问题。用有限变形理论及塑性势理论解决材料中孔洞扩张的力学行 为，特别对岩土中孔洞的扩张，是十分重要的。 本文通过l a g r a n g e 坐标向e u l e r 坐标的变换，推导出弹塑性理论中塑性 势函数g 与等效应力以的关系。同时，考虑材料有限变形理论，引入对数应变， 得到材料的几何方程以及相应的协调方程。利用自相似假设，参照文献 3 ，提 出塑性区内的控制方程，该方程可以简化为以有效应力以为独立变量的一阶非 线性常微分方程。并利用t l a b 6 1 编程，对d r u c k e r p r a g e r 固体材料， m o h r - c o u l o m b 固体材料以及压力敏感性材料的相关算例进行计算，绘出材料参 数对孔洞增长的影响曲线以及应力分布曲线。这些工作可以为进一步研究孔洞 增长的力学机理提出理论参考依据。 关键词：受压球形孔：应力一变形场；d r u c k e r - p r a g e r 固体； l o h 卜c o u l o m b 固体；压力敏感性材料 a b s t r a c t s t u d i e so fc a v i t ye x p a n s i o na r eo fg r e a ti m p o r t a n c ei nt h ef i e l d so f g e o t e c b n i c a le n g i n e e r i n g ，m e c h a n i c a lb e h a v i o ro fm e t a lm a t e r i a l s ，t h e p r o d u c t i o np r o c e s so fr u b b e ra n dc a v i t a t i o n i nd i f f e r e n ts t r u c t u r e s t h e ya r ep a r t i c u l a r l yh e l p f u li nc o n s t r u c t i n gm o d e l so fi n s t a l l a t i o no f i n d u s t r i a ld e v i c e ss u c ha sd r i v e np i l e sa n dt h em o d e l i n go ft u n n e l s p r a c t i c a l l y ，t h e r e a r e m a n ys p h e r i c a l c a v i t i e ss u r r o u n d e d b y d i f f e r e n tm e d i u mi nd i f f e r e n ts c a l e s t h ee x i s t e n c eo ft h ec a v i t i e sc a n r e d u c et h ep r o p e r t yo fm a t e r i a l s i nt h ec a s eo fm e t a le a s t i n g ，f o r e x a m p l e ，l a r g es c a l ec a v i t i e ss h o u l db ea v o i d e da sp o s s i b l y a sw ec o u l d d u r i n g t h e p r o d u c i n gp r o c e s s h o w e v e r ， f o rs o m e n e w l yd e s i g n e d s t r u c t u r e sa n df u n c t i o n i n gm a t e r i a l s ，t h ee x i s t e n c eo ft h ec a v i t i e sc a n i m p r o v et h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so ft h e s em a t e r i a l st o s o m ee x t e n t t h e r e f o r e ，i tc a np r o v i d ee n g i n e e r i n gb a s i sf o rt h ed e s i g na n dp r o d u c t i o n o fm a t e r i a l sb yi n v e s t i g a t i n ge x p a n s i o np r o b l e m so fs p h e r i c a lc a v i t i e s d u r b a na n df l e c ki n t r o d u c e da n ds o l v e dt h ep r o b l e mo fs p h e r i c a lc a v i t y e x p a n s i o np r o b l e m si nd r u c k e r p r a g e rs o l i d s b a s e do nt h ew o r ko fd u r h a n a n d f l e c k ，t h ep r e s e n tw o r kc o n t a i n sas o l u t i o nt oe x p a n s i o np r o b l e m s o fs p h e r i c a lc a v i t ys u b j e c t e dt ou n i f o r mr a d i a ll o a d sf o rd i f f e r e n t m a t e r i a l s ，s u c ha sm o h r c o u l o m bs o l i d sa n dp r e s s u r es e n s i t i v em a t e r i a l s w h i c hr e f l e c t st h ep r e s s u r es e n s i t i v i t yo fs o i i s ，w i t ht h ea i do fp l a s t i c p o t e n t i a lt h e o r ya n df i n i t es t r a i na n a l y s i s f i n i t es t r a i na n a l y s i sa n d r e l e v a n ti n c r e m e n t a lt h e o r ya r eo fg r e a ti m p o r t a n c ef o ru n d e r s t a n d i n g t h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro ft h ec a v i t ye x p a n s i o np r o b l e m , e s p e c i a l l yf o r t h ec a s eo fs o i l s b yt r a n s f e r r i n g l a g r a n g ec o n f i g u r a t i o n t oe u l e r c o o r d i n a t e ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e np l a s t i cp o t e n t i a lga n de q u i v a l e n ts t r e s s o - e h a s b e e nd e d u c e di n p r e s e n tp a p e r t h e n ，b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to f l o g a r i t h m i cs t r a i n ，g e o m e t r ye q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e d a c c o r d i n gt o 3 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a n dt h es e l f - s i m u l a t i o nt h e o r y ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o nc a nb eo b t a i n e d a n dc a nb es i m p l i f i e dt oas i n g l ef i r s to r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t ht h ee f f e c t i v es t r e s sa st h ei n d e p e n d e n tv a r i a b l e s o m en u m e r i c a l c a s e sh a v e b e e nd i s c u s s e di nd e t a i l s u c ha s d r u c k e r p r a g e rs o l i d s ，m o h r c o u l o m bs o l i d s a n d p r e s s u r es e n s i t i v e m a t e r i a l s t h ec u r v e sa y ed r a w nw h i c hr e f l e c t st h ee f f e c t so fm a t e r i a l p a r a m e t e r so r t h ee x p a n s i o no fc a v i t i e s s t r e s sd i s t r i b u t i o ni sa l s o i n c l u d e di nr e l e v a n tg r a p h s t h e p r e s e n tc a np r o v i d er e f e r r i n gb a s i sf o r t h ef u r t h e rs t u d yo nc a v i t y e x p a n s i o n k e y w o r d s ：p r e s s u r i z e d s p h e r i c a lc a v i t y ；s t r e s s - d e f o r m a t i o n f i e l d s ： d r u c k e r p r a g e rs o l i d s ：m o h r c o u l o m bs o l i d s ：p r e s s u r e s e n s i t i v e m a t e r i a l s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：2 0 0 4 年1 月1 5 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 本课题的研究背景及意义 在工程实际中，很多材料都不同程度的分布有球形空穴型缺陷。此类缺 陷的存在会严重降低一些材料的力学性能，例如在金属铸件焊接区内的情况。 因此，应尽量消除这些材料中较大尺寸空穴的产生。对于一些新型结构材料 或功能材料，这种缺陷的存在又会在某种程度上改善材料的某些力学性能， 例如在陶瓷材料中常利用球形空穴的存在来提高材料的韧性。理论上，要想 对这些含球形空穴的材料进行力学分析或建立材料新的本构关系，对空穴周 围的应力分析及应力集中的评估是首先要考虑的基本问题。孔洞的成核、扩 展研究中目前占主导地位的是g l l r s o n 川理论及其改进应用。虽然g u r s o n 理 论在力学模型和损伤描述上尚有欠缺，但目前尚无更严格且简单的模型采取 代它。g u r s o n 理论已经有效地应用于从断裂模式识别到断裂韧性估计的各种 延性损伤场合。 对孔洞增长问题力学机理的研究在工程中有着广泛的应用。 首先，以合成橡胶材料为代表的超弹性材料近年来的应用越来越广泛， 在材料领域中的地位也越来越重要。而由材料的不稳定性引起的超弹性材料 中空穴的生成与增长问题在材料的损伤和破坏方面也起着重要的作用。因此， 该问题已经引起了广泛的关注。 其次，在金属材料的研究方面通过对金属材料的金相观察可知，空穴的 萌生是由于晶界滑移导致三叉晶界和夹杂二相粒子处的应力集中引起的。寻 找特定金属材料空穴成核的条件以及空穴增长的规律一直是金属材料学者们 关注的问题。从固体力学角度出发，m e c l i n t o c k i ”，r i c e 和t r a c e y 等h l j 针对 无限大理想刚塑性材料的单一空穴进行了分析，得出空穴体积膨胀率随三轴 拉伸变形而迅速增大的重要结论。早在1 9 5 9 年，g e n t 和l i n d l e y i lj 在均匀密 实硫化橡胶材料的拉伸试验中发现，当荷载达到某一临界值时，材料内部会 出现空穴的突然萌生。但类橡胶( 超弹性) 材料空穴的萌生和增长的基本理 论直到1 9 8 2 年才由b a l l 1 5 1 创立。与其它空穴理论不同的是，b a l l 的理论以非 线弹性力学为基础，并将空穴萌生和增长的数学模型归结为非线性分叉问题。 b a l l 给出了一个计算临界荷载的广义积分表达式。对于n e o h o o k e n 材料， 啥尔滨工程大学硕士学位论文 由此表达式获得的临界荷载数值结果与实验值吻合较好。然而，对于可压缩 材料超弹性材料的研究表明，是否会有空穴分叉依赖于材料应变能函数的形 式。并且，由于空穴分叉问题所固有的非线性性质，临界荷载的一般显式表 达式很难给出。自h o r g a n l 1 6 j 首先给出b l a t z k o 材料空穴分叉问题的解析解 以来，仅有少数几个解析解问世。 对空穴膨胀问题的研究在地球技术工程中也有非常重要的应用，特别对 于传动桩安装的结构模拟( r a n d o l p h ( 1 9 7 9 ) 1 9j ) 和理解场地试验( h u g h e s 等( 1 9 7 7 ) 【6 j ) 有重要的理论指导作用。对空穴膨胀问题的现有研究集中于 对m o h r - c o u l o m b 理想塑性模型( c h a d w i c k ( 1 9 5 9 ) 1 2 j ，y u 和h o u l s b y ( 1 9 9 1 ) 蚋) 的探讨。 有限变形理论在理解体积敏感性壤的特性方面有特殊的重要性，其应 用领域包括隧道的开闭模拟( w o r t h ( 1 9 8 4 ) 1 4 9 】) 和对压力记试验结果的理 论解释( w o o d ( 1 9 9 0 ) 5 0 j ，p y e ( 1 9 9 5 ) 刚) 。 需要指出的是，孔洞增长问题在建筑材料和岩石材料的研究领域在近年 也得到了飞速发展。众所周知，导致混凝土、岩石等脆性介质不稳定的主要 原因之是介质发生了破坏，而无论发生剪切的局部破坏还是整体破坏，造 成破坏的根源则是脆性介质中包含有各种尺度不同的缺陷。这些缺陷不论尺 度大小都能使材料的强度降低，从而导致材料弱化。缺陷按其几何尺度分为 零缺陷( 点缺陷) 、一维缺陷( 线缺陷) 、二维缺陷( 面缺陷) 、三维缺陷( 体缺陷) 四类。在过去人们谈起这四类缺陷时，一般主要集中在材料的宏观、细观、 微观三个层次上加以讨论，并且习惯用微裂纹、微孔洞或理想的微裂纹系统 来表示缺陷，并讨论随机的扩展效应等。在众多机制的缺陷中，孔隙缺陷是 比较重要的缺陷模式之一。对脆性介质，也可以将孔隙缺陷从宏观、细观、 微观三个层次上去进行研究，即可以从广义上将裂纹、裂缝、裂沟、断裂面、 节理、孔洞、空洞和断层都叫做缺陷。从某种意义上讲，这种广义的缺陷概 念具有相对性。例如，一条im 宽的裂缝，相对1 0 0 0 m 的岩体，它虽然渺小， 但它相对细观的分子结构又是非常巨大的。在这里可以将这些缺陷归类为两 种缺陷：裂纹缺陷和孔洞缺陷。 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( ：乡 i 2 al 图1 1 受围压用岩石缺陷示意图 f i g1 t1d e f e c ti nc o m p r e s s e dr o c km a t e r i a l s 在图中，a ，b 分别为缺陷的长和宽，其比值a b 称为纵横比。当口b 1 时，称缺陷为裂纹缺陷；当口b * 1 时，称缺陷为孔洞缺陷。研究破坏的核心 还是研究在载荷作用下裂纹与孔洞缺陷的尺度对脆性介质强度、破坏形式、 破坏过程的直接或间接影响。 裂纹一词的含义是破裂的纹理。它经常同断裂一词联系在一起，但却引 起人们不同的反映：裂纹这个词引起人们对自然材料和它们构成的结构表示 环疑，而断裂则引起人们对现实的关注。裂纹缺陷可以按四种不同的方式分 类：按裂纹缺陷的几何形状特征可分为：穿透裂纹缺陷、表面裂纹缺陷和深 埋裂纹缺陷。按在实际构件中的裂纹由于外加作用力的不同，可以分为三种： 张开型裂纹、滑开型裂纹和撕开型裂纹。按人们对裂纹缺陷研究的试样一般 分为两种：一是用天然带缺陷的试样，另一种是在模拟材料或天然材料中预 置裂纹所构造的裂纹缺陷。预置裂纹通常又可分为连续和断续，它们各自又 可分别分为闭合和张开裂纹缺陷。 按预置裂纹扩展所得到的裂纹模式进行分类，主要有两类分法：按裂 纹扩展豹形式、受力情况分为：拉裂纹( 也叫翼裂纹) 、剪裂纹和混合裂纹f 拉 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 裂纹和剪裂纹) ；按扩展裂纹的先后顺序分为：主生裂纹和次生裂纹( 图2 ) 。 在介质力学的研究中，孔是一个相对概念。从微观上讲，它通常与渗流耦合 等概念紧密联系在一起，这个时候的孔基本上是非规则的天然孔；从宏观上 看，如巷道、防空洞、地铁等，这些人为创造或改选的孔往往是规则的。孔 洞缺陷可以分为如下三类：按几何特征可以分为穿透孔、表面孔和深埋孔； 按照孔洞缺陷赋存条件可以将孔洞缺陷分为张开孔和闭合孔，这里所指的闭 合孔是在一个孔洞缺陷内充填了与孔周边材料强度低很多的材料，这种缺陷 在地震上也称孔状软包体；按孔的外形分类可将孔分成规则孔和非规则孔， 前者通常包括孔洞缺陷纵横比约为l 的圆形孔、方形孑l 和椭圆孔等。 工程材料中孔洞的存在，迫切需要从各个层次，采用各种理论来研究孔 洞增长的相关力学机理。 次生裂纹 主生拉裂纹 预肯 纹 图i 2 裂纹的形式 f i g1 2d i f f e r e n tf o r m so fr u p t u r e s 1 2 孑l 洞增长研究的理论 对孔洞增长的研究，经典的线弹性理论已经给出了球形空穴周围的弹性应 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 力场，并己形成了一些在工程中得到应用的规范。但是，由于理论本身的局 限性，经典弹性理论无法反映出孑l 穴的大小对应力集中的影响。由于任何材 料都具有其特殊的微观结构，如在晶体材料中存在原子晶格、晶粒，复合材 料中存在纤维、晶须等形式的缺陷、夹杂。而此类缺陷具有一定的内部特征 尺寸，如晶格常数、品格尺寸和纤维晶须等的间距。因此，当球形空穴的尺 寸越来越小直至接近材料的内部特征尺寸时，空穴边缘的应力集中将不会如 经典弹性理论所描述的那样恒为常值，而是要随之改变，否则将会出现结果 不连续的矛盾。 为了克服经典弹性理论的困难，近年来，人们开展了用细观力学方法研 究孔洞增长的工作。事实上，实验室的尺度大部分是细观尺度，它是介于微 观与宏观之间的某种尺度，其范围与宏观对象大小及所涉及的现象有关。 细观力学的奠基应归功于t a y l o r 等人在细观塑性理论方面的开创性工 作。细观损伤力学虽然在5 0 年代就已初其雏形，但这一学科却一直迟至7 0 年代才开始起飞。细观力学的分析方法在8 0 年代渗透到几乎所有的工程材 料，如金属与合金、金属间化合物、岩石、混凝土、结构图瓷、结构高分子、 各种形式的复合材料及微电子元件材料，从而使细观力学发展的第一阶段， 即用力学的方法来分析解释各种材料的力学行为，得以完全展开。从9 0 年代 起，细观力学步入第二阶段，即在力学原理上设计和试运行具有超级使用性 能的各类材料，即超级材料( s u p e rm a t e r i a l s ) 。作为固体力学与材料科学的交 叉学科，细观力学可兼容这两门学科各自建立的方法论。除力学工作者熟悉 的连续介质力学理论、计算力学和实验力学方法外，细观力学中还汲取了固 体物理理论、显微量测技术和近代物理量测技术。基于离散物质结构的计算 技术最近也开始应用于材料力学行为的研究。 除引用固体力学与材料科学的现有方法外，细观力学本身还不断产生新 的研究方法，如从小尺度至大尺度的均匀化方法和从大尺度至小尺度的离异 化方法，缺陷场理论和守恒积分等，并大大促进了各种数学、物理、力学和 材料科学方法的结合与发展。管宏观连续介质力学已日臻完善，但在固体的 塑性和破坏理论中还遗留下许多重要的、且无法在宏观尺度上解决的理论空 白。细观力学可提供解决这些基础理论问题的关键信息。如，固体塑性大 变形的几何理论和本构框架( 包括变形分解、界面效应、旋率选择、本构方程 的基本结构、热力学理论、织构演化等) 。细观力学为材料物质构元提供了确 定的框架结构及该框架结构在外力环境下的演化识别规律，从而使上述问题 哈尔滨工程大学硕士学位论文 得以阐明。固体的非均匀变形理论( 包括流动局部化、损伤集中、材料稳定 性等) 。细观力学结出了与非均匀变形相联系的材料微结构演化，从而使非均 匀变形理论得以封闭。固体的破坏理论( 包括破坏模式、破坏过程、延脆性 判断、断裂准则、宏观裂纹成核、疲劳机理等) 。细观力学可以在细观尺度上 给出破坏过程的几何图像和演化趋势。固体在高温、高速和相变过程下的 响应。细观力学可给出这些特殊环境变形机理的演变与异化。细观损伤力学 后来居上，在8 0 年代中后期代替了连续介质力学，主导了损伤力学的发展。 这一转变即由于细观损伤力学能描述不同材料中的具体损伤过程，也得益于 细观力学分析方法的成熟。 非局部理论是近年来发展起来的一种新的连续介质理论。它主要考虑了 材料内部微结构之间的长程相互作用，同时应用连续介质力学的分析方法， 因此，较经典弹性理论有了质的飞跃。到目前为止，采用非局部弹性理论成 功的解决了一系列具有微观效应的问题，诸如裂纹尖端的应力奇异性、高频 弹性波的弥散性、位错等，其结果与工程实际非常吻合。 在工程中，人们通常采用宏观弹塑性理论来研究孔洞的增长问题。而不 同介质中受压球形孔附近应力场问题由于其广泛的工程应用一直受到广泛关 注。虽然许多学者已研究过该问题，但是这些成果往往由于一些简化假设的 引入而使其应用受到限制。例如，通常需假设材料是不可压缩的，而且本构 方程往往忽略非线性项而不做相应调整。d u r b a n 与b a r u c h 给出了基于弹塑 性应力一应变率理论的具般性的解。介质的本构方程符合经典弹塑性增量 理论。对存在内、外压的情况，加载时的非线性微分控制方程可由围道积分 方法求解。卸载是不能得到闭合解，因此必须应用增量理论。 对稳定材料，一般采用关联流动法则进行求解。关联流动法则是经典塑 性理论的里程碑。d m c k e r 公设表述为：在一个应力循环中，初始应力盯：在 屈服面内。继续加载至，其中位于加载面上ai g - ；o n f 2 n 盯口+ d c r 口，在 这一阶段中产生塑性应变d 占；，最后返回盯；。在该应力循环中附加应力 仃f 一盯；所作塑性功不小于零a 即( 一o ，“。f20 。因为d g ；与加载面庐垂 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 j 一 真，故可将如；表述为d 甜= 以妄生，即为正交流动法则。若定义塑性势g ， j ! o # 则正交交流动法则转化为d 一= a 善。 d o 。 但d r u c k c r 公设不适于应用在由于摩擦引起能量损耗的材料中。混凝土、 岩土材料从细观角度讲，含有大量的孔洞微裂纹。变形中，随着这些微结构 的变化最终导致材料的破坏。这类材料的塑性变形主要是由于静水压力导致 微孔的扩大的结果。因此，应该采用细观力学的研究方法来研究这个问题。 工程常用材料大都处于复杂应力状态下，拉压性能差异也很大。采用 t r e s c a 和m i s e s 屈服准则进行弹塑性极限分析，将导致较大误差。近些年来， 一些学者开始利用m o h 广1 c o u l o m b 强度理论考虑材料拉压强度不同对极限 分析的影响。由于其没有考虑中间主应力的影响，对有些材料是偏于保守的。 自然土的性质较理想岩土复杂。因此，应修改c o u l o m b 定律使之更贴近实际 情况。由泥岩变形的机理，知泥岩吸水后会产生很大的体积膨胀，因而必须 考虑静水压力对体积变形的影响。假设在一维空间中应力和粘性应变率满足 幂次关系，最终得出考虑体积应变和静水应力相关的粘弹性本构方程。由给 出的本构关系，就可以展开对多孔岩土介质一系列性质的迸一步讨论。 1 3 国内外研究动态 由于在断裂及破坏机制中起到的巨大作用，固体中孔隙的形成及发展是 非常令人关注的问题。c e n t 与l i n d l e y ( 1 9 5 8 ) i ”j 通过实验首先观察到硬化 橡胶中空洞的瞬间形成( 气蚀) 。c e n t ( 1 9 9 0 ) 1 4 】给出了橡胶中成孔现象的 最新研究进展。对该问题的建模，主要采用固体力学非线性理论。其中的开 拓性研究源于b a l l ( 1 9 8 2 ) i l5 j 的工作。b a l l 研究了一系列描述均质非线弹性 各向同性固体球或圆柱介质中在临界外载作用下出现内部孔隙方程的分问 题。对该问题按瞬态微裂纹快速扩展方面的解释由h o r g a n 和a b e y a r a m ( 1 9 8 6 ) 【1 6 】给出。s i v a l o g a n a t h a n ( 1 9 8 6 ) | l7 j 也给出了相似的解释。综上所述，成孔 问题本质上属于非线性问题，不能应用线性固体力学理论获得解决。 1 9 8 2 年。在b a l l 关于径向对称解的研究中进行了可压缩及不可压缩材料 分叉及稳定性分析。对于可压缩材料的进一步分析由s t u a r t ( 1 9 9 3 ) ， p o d i o - g u i d u g i 等( 1 9 8 6 ) i t 9 j ，h o r g a n 与a b e y a r a t n e ( 1 9 8 6 ) 1 1 6 】，s i v a l o g a n a t h a n ( 1 9 9 2 ) 2 0 】，e r t a n ( 1 9 8 8 ) 2 1 】，h o r g a n ( 1 9 9 2 ) 2 2 】，m e y n a r d ( 1 9 9 2 ) 2 3 】的 哈尔滨工程大学硕士学位论文 文献以及b i w a 等( 1 9 9 4 ) 2 4 】的文献给出。对于各向异性可压缩材料的情况 由a n l m a n 与n e g r o n - m a r r e r o ( 1 9 8 7 ) 5 5 j 给出。有关可压缩材料的其它方面 还包括j a m e s 和s p e e t o r ( 1 9 9 1 ) 1 2 6 1 对非径向对称解的研究以及h a u g h t o n ( 1 9 9 0 ) 2 7 】及s t e i g m a n n ( 1 9 9 2 ) 2 8 j 对弹性动力学问题的研究。对于后一项 研究，h a u g h t o n ( 1 9 8 6 ) 1 2 9 j 应用不可压缩薄膜理论给出了解决。关于不可压 缩材料的情况c h u n g 等( 1 9 8 7 ) l s o l 研究了有限塑性应变模型，a b e y a r a n l n e 与h o u ( 1 9 8 9 ) i s l j 检验了率相关效应。对于不可压缩材料的进一步分析包括 c h o u w a n g 与h o r g a n ( 1 9 8 9 ) 川，h o u 与z h a n g ( 1 9 9 0 ) 州对弹性静力学问 题的研究以及c h o u w a n g 与h o r g a n ( 1 9 8 9 ) 3 4 j 对弹性动力学问蹶的研究。 材料不均匀性对成孔问题的影响由h o r g a n 与p e n c e ( 1 9 8 9 ) p _ 对不可压缩各 向同性复合材料的研究中给出。类似分析可见s i v a l o g a n a t h a n ( 1 9 9 2 ) p 6 j 对 各向同性渐变弹性材料的研究。不可压缩材料及可压缩材料中的孔隙破坏由 a b e y a r a t n e 与h o u ( 1 9 9 1 ) 1 3 7 】进行了研究。有关塑性问题的进一步研究由h o u 与a b e y a r a t n e ( 1 9 9 2 ) 【3 8 】，h u a n g 等( 1 9 9 1 ) 3 9 1 ，t v e r g a a r d 等( 1 9 9 2 ) ， t v e r g a a r d 与h u t c h i n s o n ( 1 9 9 3 ) 1 4 1 j 给出。成孔与非对称不稳定性的关系由 a b e y a r a t n e 与h o u ( 1 9 9 1 ) 1 4 2 1 ，h o u ( 1 9 9 3 ) 1 4 3 1 进行了讨论。 近期，p o f i g n o n e 与h o r g a n ( 1 9 9 3 ) h 检验了不可压缩非线弹性球体材 料中各向异性对成孔的影响。该研究基于a n t m a n 及n e g r o n m a r r e r o ( 1 9 8 7 ) 【2 5 j 对横向可压缩各向同性非线弹性固体以及h o r g a n 与p e n c e ( 1 9 8 9 ) s s j1 4 5 j 对 不可压缩且存在各向同性相的非线弹性复合材料球体的研究。p o l i g n o n e 与 h o r g a n ( 1 9 9 3 ) 4 4 j 研究了径向横截面各向同性不可压缩非线弹性均质材料固 体球的问题。在单一径向不变拉荷载作用下，径向对称情况的一枝包含由足 够大荷载作用下变形前情况产生的不受拉内部空洞。闭合解析界可由一个特 殊的材料模型得到，该模型可被视为经典n e o h o o k e n 模型应用到各向异性 材料的一个推广。对照n e o h o o k e n 球体的情况，分叉会向右( 超临界) 或向 左( 亚临界) 发展，这取决于各向异性的程度。对于后一种情形，孔隙半径 最初具有有限长度。在稳定平衡情况下，通过这种不连续变化，可联想到结 构力学中脆断屈曲现象。如此剧烈的孔隙失稳( “脆断成孔”) 也由a n t m a n 与n e g r o n m a r r e m ( 1 9 8 7 ) 2 s 】基于各向异性以及h o r g a n 与p e n c e ( 1 9 8 9 ) 1 - 】【4 5 】 基于材料不均匀性分别提出。各向异性与材料不均匀性对成孔的联合作用由 p o l i g n o n e 与h o r g a n ( 1 9 9 3 ) 4 6 1 进行了研究。由于这些效应的相互作用，更 为复杂的孔隙失稳过程将会产生。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 对比不可压缩材料的情况，一般不能确定用来描述可压缩材料成孔的解 析解。因此，对可压缩材料成孔的分析在很大程度上将依赖于相关微分方程 的定性分析。相应的，此类讨论需要引入一系列基本假设( 例如b a l l ( 1 9 8 2 ) d “，s m a r t ( 1 9 8 5 ) 4 7 】、( 1 9 9 3 ) i s 】，p o d i o g u i d u g l i 等( 1 9 8 6 ) 1 1 9 j ，s i v a l o g a n a t h a n ( 1 9 8 6 ) 1 7 “、( 1 9 9 2 ) 2 0 】以及m e y n a r d ( 1 9 9 2 ) 2 3 j ) 。特别的，对b l a t z - k o 材料( 种泡沫橡胶模型) ，描述成孔的直接解析解由h o r g a n 及a b e y a r a t n e ( 1 9 8 6 ) 【1 6 】获得。e r t a l l ( 1 9 8 8 ) 2 1 j 对该研究进行了推广。另一类可压缩材 料可直接获得较b 1 a t z k o 材料更简明形式的成孔解由h o r g a n ( 1 9 9 2 ) 1 2 2 j 进 行了讨论。因为此类材料可视为由v a r g a 提出的包含不可压缩材料模型可压 缩性的种推广，因此这种由应变能密度描述的材料称为广义v a r g a 材料。 h o r g a n ( 1 9 9 2 ) 2 2 j 的分析中给出了一个描述可压缩各向同性非线弹性材料的 例子。 1 4 本文的主要工作 本文在d u r b a n 及f l e c k ( 1 9 9 7 ) 【1 2 】描述的d r u c k e r p r a g e r 材料的本构模 型的基础上，基于塑性势理论、有限变形理论及r o m b e r g 一0 s g o o d 方程 s ：= 曰盯：，建立了本构模型。由变形前后l a g r a a g c 坐标向e u l e r 坐标的转换 规律及问题的对称性，在球坐标中推导出g 与仃。的关系，并得出适合有限变 形的本构方程及平衡方程。同时，采用对数应变，得出几何方程及协调方程。 而后，依据增量理论及类似的分析方法，考察了不同参数下m o h r c o u l o m b 材料，理想弹塑性压敏感材料三，毒，磊，g ，害。之间的关系，并推导出 符合边界条件的重要关系式，+ 2 z 。= 0 。采用m a t l a b 语言，给出 d r u c k e r - p r a g e r 材料、m o h r - c o u l o m b 材料以及压力敏感性材料的应力场、变 形场曲线。特别的，给出了薄壳模拟的应力场、变形场相关曲线。以上工作 为研究材料特性提供了理论依据。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章几种典型材料中球形孔增长问题的 基本方程及解法 用弹塑性有限变形理论分析材料中孔洞增长问题的困难，在于除了选择 准确的本构关系及度量物体变形的应变外还必须进行复杂的坐标变换。众所 周知，在有限变形理论中，平衡方程是相对于变形后的坐标系( e u l e r 坐标系) 而言的，但对于固体变形的描述是相对于变形前的坐标系( l a g r a n g e 坐标系) 而言的。而在计算过程中必须在同一坐标系中描述求解问题的方程。在本章 中，我们将详尽地推导d u r b a n 与f l e c k 关于d r u c k e r - p r a g e r 材料中球形孑l 洞 增长问题的解法，讨论其基本思路。然后给出另两类材料，即m o h r - c o u l o m b 固体材料和压力敏感性材料中球形孔洞增长问题求解的基本方程。这将为问 题的计算提供理论依据。 图2 。l 球形孔扩张示意 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 图2 2 球形孔扩张的坐标选取 f i g2 2c o o r d i n a t es e l e c t i o nf o rt h ee x p a n s i o no fs p h e r i c a lc a v i t i e s 2 1 d r u c k e r p r a g e r 材料中球形孔洞的增长问题 2 1 1 d r u c k e r p r a g e r 材料的弹塑性本构关系 关联流动法则和非关联流动法则： 对岩土、土壤材料的塑性研究采用非关联流动法则。需要构造塑性势g 以及屈服函数。由屈服函数判定材料是否进入屈服，由塑性势确定塑性应变 率的增量。即 f = f ( o v ，上，j ，屈服函数 g = g ( a u 二0 ，j ，塑性势函数 塑性应变率满足： 占? p ：丑堕 a o q 其中，丑为塑性流动因子，在塑性区z 0 。 l l ( 2 一1 ) ( 2 2 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 如果g = 厂则为关联流动法则。非关联流动法则的优点在于由f 的自一致 性，即f = 0 ，和占；的表达式可推导出a 的表达式。然而，其缺点在于计算 过程中要联系两个方程同时求，即确定材料是否进入屈服，而后计算塑性应 变率，然后根据荷载变化，重新判定屈服状态。 对于d r u c k e r - p r a g e r 材料，等效应力为： 厂= 盯。= ( 吾s o s u i + 三仃从 c z s ， 定义： = ( 知 i ( 2 - - 4 ， 符合典型的m i s e s 屈服条件，即： i s 口s 口= ，2 = 置2 ( 2 5 ) 因此方程( 2 - - 1 ) 可以改写为： f = d ：= o e , n 斗之”d ( 2 - - 6 ) 注意当方程是齐次( 即= 1 ) 时，有： 。8 0 f i = f ( 2 - - 7 ) 构造函数； g ：+ ；叩( 2 - - 8 )2 + = 叩 ) 此函数与f 的不同在于叩的取值与不同。f 中的反映静水压力对塑性 的影响，而g 中的刁反映曲在应力空间中的方向。由塑性势理论，有： 蚪鲁叫萼+ 扣 c z 吲 其中，a 是比例因子。一般来说，对于理想弹塑性材料，a 是无法确定 的。但对于幂硬化材料则是可以确定的。另一方面，由于研究在有限变形范 围内进行，因而用d 。来表示塑性应变率张量，用e u l e r 坐标来描述。 由等效塑性功理论： o q d ；= o e p ( 2 - - 1 0 ) 又由( 2 - - 3 ) 和( 2 - - 8 ) 方程的齐次性，即： 瓦0 9 29(2-11) 则有： 丸嘭= 吒j a = 导 ( 2 一1 2 ) 这里，郎是一个确定参数。对于幂硬化材料，由o s g o o d 方程可以得出 s ：= b 盯：。将人的表达式代入到本构关系中，有： w 叫若_ 3 s + ! 删：旦邑3 s 3 g+ 1 3 唧 。 o 洲 1 d 洲 。 对于弹性应变率，有： i d ；= 去( 二u 一击；味刚 对于变形梯度张量满足叠加条件，即： 关于毛的确定： 假设s ，= q ( 吒) ，那么 d 口= d ；+ d ； 乏2 罄薏呀 o 2 苗蔷呀 ( 2 1 3 ) ( 2 一1 4 ) ( 2 1 5 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 因此可得： 喏：詈之r 若3 _ s + 扣：詈r 鲁+ 扣鲁r 鲁3 十扣( 2 - - 1 6 ) 本构方程的确定实质在于s 。与疋的关系。这是由单向压缩确定的。即： 仃= 一盯 其余应力为零。 计算吒。，有： 则： 吒= 3 2 s 口西= 吾。吧) 2 + ( 盯：一c r 3 ) 2 + ( c r 3 1 ) 2 】= 盯? ( 2 1 7 ) 因此，有： 盯e m = 一仃，盯n = 盯，s o 吒= 盯。+ ；胪。= c 一+ ；咖，g 斗+ ；咖， 同理，有 则： 32 d = 詈 孚+ 扣h + 三3 ) 毫 g 一盯j 咖c 喾2 ( 1r ) ，一三 1 4 ( 2 1 8 ) 盯 盯 盯 一3 l 3 2 3 一 一 i l i | i i i 2 ， 墨 足 墨 qe 毛 妄：毒一c ：；，蠢，乏：毫：一! 墨l + c ! 二妻；兰字，之 通过方程( 2 - 1 9 ) ，消去s 。，可以得到s l ，s 2 ，岛之间的关系。 如果d ； d ；，即塑性变形很大时，则： 三_ - ( 1 一争) s p 乏：( 1 - 1 i 2 ) ( 1 + - 2 r ) ) 2 ( 1 一i 印) 其中詈为泊榭匕矿一量是塑性变形很大时材料的泊榭匕 当s f 占；时，材料的泊松比与无关而仅与玎有关。因此引入塑性势。 2 1 2 对受压孔的讨论 对于有限变形理论，关键在于变形模型以及变形前后坐标的变换，即由 l a g r a n g e 坐标到e u l e r 坐标的变换。变形模型：空洞受均匀压力p 作用。对 于平衡方程，这里的p 作用在e u l e r 坐标中，即平衡方程为终了平衡状态