（应用数学专业论文）凸集的一些特征性质与复杂网格的buffon问题.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 本论文以凸体为研究对致，e 要涉及两个方面的内容 此特征性质；复杂网格的b u f f o n 概率问题 ( 1 ) 凸集的。个新概念与凸集的某些特征性质 本文引进支持方向这一新概念并利用它来证明凸集的 明凸集的另外一些特征性质 凸集的一个新概念与凸集的某 个特征性质，最后再用它来证 ( 2 ) 复杂网格的b u r n 概率 在积分几何中，运动公式足止j 定义在定区域与动区域交集上的几何函数的积分公 式这些公式能够被看作是各种交集测度的积分公式，它们对于解决几何概率问题是很 有用的然而，几何概率中止匕问题需要更多的工具，例如，在解决区域格的b u f f o n 投 钊问题时，需要计算出包含测度 本文通过利用凸域内定长线段的运动测度，给出了以两个不同凸域的并为基本区域的 刚格的b u r f o n 概率公式，并将其推广到多个不同凸域的情形 关键词：支持方向；凸域；运动测度；b u f f o n 概率 第1 l 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o n v e xb o d i e sa r et h er e s e a r c ho b j e c t si nt h ep a p e lt h ep a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht w o a s p e c t s ：an e wc o n c e p to fc o n v e x s e ta n di t ss o m ec h a r a c t e r i s t i c p r o p e r t i e s ；o nb u f f o n s p r o b l e mf o rt h ec o m p l i c a t e dl a t t i c e ( 1 ) a n e w c o n c e p to fc o n v e xs e ta n di t ss o m ec h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t i e s t h i sp a p e rg i v ean e wd e f i n i t i o n ，t h es u p p o r td i r e c t i o no fab o u n d a r yp o i n to fc o n v e xs e t t h e nu s ei tt op r o v eac h a r a c t e r i cp r o p e r t i e so fc o n v e xs e ta n ds o m eo t h e rc h a r a c t e r i cp r o p e r t i e s ( 2 ) o nb u f f o n sp r o b l e mf o rt h ec o m p l i c a t e dl a t t i c e k i n e m a t i cf o r m u l a si ni n t e g r a lg e o m e t r ya r ei n t e g r a lf o r m u l a st h a tr e p r e s e n ti n t e g r a l so f g e o m e t r i cf u n c t i o n so nt h ei n t e r s e c t i o no ff i x e da n dm o v i n gd o m a i n s t h e s ef o r m u l a sc a nb e v i e w e da si n t e g r a lf o r m u l a sf o rv a r i o u si n t e r s e c t i o nm e a s u r e s t h e ya r eu s e f u lf o r s o l v i n g p r o b l e m si ng e o m e t r i cp r o b a b i l i t i e s s o m ep r o b l e m si ng e o m e t r i cp r o b a b i l i t yr e q u i r em o r et o o l s o t h e rt h a ni n t e r s e c t i o nm e a s u r e s f o ri n s t a n c e ，s o l u t i o n st ot h eb u f f o nn e e d l ep r o b l e mo fl a t t i c e s n e e dt oc o m p u t et h ec o n t a i n m e n tm e a s u r e i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h ek i n e m a t i cm e a s a r cf o ras e g m e n to ff i x e dl e n g t hw i t h i nas p e c i a l c o n v e xd o m a i n ，w eo b t a i nt h eb u f f o np r o b a b i l i t yf o r m u l ao fg r i dw h o s eb a s i cr e g i o n a la r et w o d i f f e r e n tc o n v e xd o m a i n s ，a n di t so u t r e a c ht ov a r i o u sc o n v e xd o m a i nc a s e s k e yw o r d s ：s u p p o r td i r e c t i o n ；c o n v e xb o d y ；k i n e m a t i cm e a s u r e ；b u f f o np r o b a b i l i t y 武汉科技大学硕士学位论文 第1 页 第一章绪论 1 1 综述 积分几何起源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系统工作， 在2 0 世纪3 0 年代积分几何正式成为独立的分支积分几何的研究与几何概率的问题始终 密切相关，而积分几何的研究成果运用到凸的对象中特别有效因而积分几何方法在凸 几何与几何概率中的应用具有十分重要的作用 1 9 1 1 ”1 1 2 1 i i ”i i ”1 凸几何所研究的内容涉及面 广泛它既是- - r 3 基础理论，又与实际应用密切联系，极具应用价值它与许多其它的重 要数学分支有着密切的联系积分几何与凸性的关系尤为密切积分几何是探讨凸性的 有力工具，而凸性恰好又是积分几何的有效性的实证领域 凸几何是以凸集或凸性作为研究对象的几何学分支1 9 世纪下半叶h e r m a n n b r u n n h e r m a n nm i n k o v c s k i 对凸几何的早期发展做了大量开创性的工作b r u n n m i n k o w s k i 理论是凸几何学的经典内容，其核心部分是b r u n n m i n k o w s k i 基本不等式和混合体积理论 它与许多重要数学分支都有深刻联系2 0 世纪3 0 年代，前苏联数学家a d a 1e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 独立地引入了混合面积测度的概念2 0 世纪8 0 年代， e l u t w a k 引入了对偶混合体积的概念，这些都进一步丰富了凸体理论，并由此解决了许 多长期未能取得进展的重要课题目前它依然是凸几何中最为活跃的研究方向代表性 问题由r s c h n e i d e | 5 1 1 从2 0 世纪9 0 年代丌始研究，我国数学家张高勇( g z h a n g ) 在几何 不等式、b u s e m a n n p e t t y 问题的终极性解答等方面取得十分杰出的成果i 凸几何既可用另外的数学理论作为其研究工具，又能以它的理论、方法和结果反过来 服务于其它分支乃至于实际以下三方面充分说明了这一点 ( 1 ) 凸几何与分析 h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e 级数的证法，并在后继 的论文中运用球面调和分析方法证明出一些几何结果稍后b l i n k o w s k i 运用球面调和分析 获得三维常宽凸体的一个特征由此丌辟了运用f o u r i e r 级数和球面调和分析研究几何 ( 包括凸几何) 的一个研究方向此方向至今仍然有很强的生命p r 6 0 0 d e y ， e l g r i n b e r g ，h g r o e m e r ，p m g r u b e r ，e l u t w a k 等做了大量的工作1 2 5 1 1 ”1 此外r a d o n 变 换也是研究凸几何的另一个重要分析工具1 2 6 1 ( 2 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p y ) 这是凸几何与医学c t 及体视学( s t e r e o l o g y ) 的一个交叉学科，研究由几何对象的 低维信息( 投影、截面积、平行x 射线、点x 射线) 重构该几何对象或对该几何对象的性 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 质作出推断【2 h 这是凸几何中一个有重要应用前景的研究领域，同时有许多十分深刻 的理论研究课题r j g a r d n e r 的著作中列出了7 2 个未解决的问题 ( 3 ) 积分几何、凸几何与几何概率 积分几何起源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系统工作， 在2 0 世纪3 0 年代积分几何正式成为独立的分支积分几何的研究与几何概率的问题始终 密切相关，而积分几何的研究理论运用到凸的对象中特别有效因而积分几何法在凸几 何与集合概率中的应用具有十分重要的作用1 1 9 训2 1 凸几何所研究的内容涉及面广泛 它既是一门基础理论，又与实际应用密切联系，极具应用价值他既可以用另外的数学 理论作为工具，又能以它的理论、方法和结果反过来服务于其他的学科和实际积分几何 与凸性的关系尤为密切积分几何是探讨凸性的有力工具，而凸性是积分几何的有效住 的实证领域凸体的包含测度问题是凸几何中长期未能取得进展的重要课题任德麟在 8 0 年代建立了二维和n 维含于凸体内定长线段的运动测度的系统的理论，推导出h 维欧氏 空间中凸体的弦幂积分不等式，提出并解决了一系列极其复杂的几何概率课题呻炉冽 我国前辈数学家苏步青在凸几何研究领域作出卓越贡献，他于1 9 2 7 年关于s t e i n e r 曲 率重心的成果至今仍被国外凸几何方面的著作所引用苏步青先生所著微分几何五讲 中的第一讲和第二讲所论述的正是凸几何中最精彩的内容陈省身、吴大任、严志达、吴 光磊等前辈数学家对凸几何的发展也都有重要贡献瑚”3 7 】l ”1 1 2 研究现状分析 1 2 1 凸集的一个新概念与凸集的某些特征性质的研究现状 凸集的研究在数学史上是一个相当近代的事情，尽管早在1 8 世纪就已经建立了关于 凸集的很多重要的结论就已经建立了，但是直到1 9 3 4 年才出现了第一本很系统地研究凸 集的理论的德文书籍( t h e o r i ed e rk o n v e x e nk o r p e r ，该书是由b o n n e s e n 和f e n c h e l 所著2 0 世纪4 0 年代到5 0 年代关于凸集的许多应用被发现，尤其是在优化领域的应用 这些重要的应用的发现又重新燃起了人们对凸集理论研究的热情 1 2 2 复杂阿格的b u r n 概率问题的研究现状 b u f f o n 概率问题是几何概率中的经典问题，1 7 3 3 年，b u r n 在他的一份研究报告的 附录中讨论了著名的b u f f o n 投针问题，研究的是在画有等距离的平行线簇的平面上，向 平面任意投掷长针，针与直线相交的概率后继的很多数学家和研究者都研究过这一问 题的推广和改进，上个世纪8 0 年代任德麟教授在其著作积分几何学引论中利用运动 测度对b u f f o n 概率问题进行了一系列的推广，并详细地讨论了矩形网格的b u f f o n 概率问 武汉科技大学硕士学位论文 第3 页 题而后其学生黎荣泽、张高勇“1 对平行旧边形网格，正三角形网格进行了讨论，得到 系列的结果 1 3 本论文所作的工作及其研究目标 ( 1 ) 本文引进凸集边界点的支持方向这一新概念，利用边界点支持方向的存在性来证明 支持超平面的存在性，并利用支持方向束证明凸集的一些特征性质 ( 2 ) 本文主要研究复杂网格的b u f f o n 概率问题通过利用凸域内定长线段的运动测度， 给出了以两个不同凸域为基本区域的网格的b u f f o n 概率公式，具体计算了两种特殊的以两 个不同凸域作为基本区域的网格的b u f f o n 概率，并将其推广到多个不同凸域的情形 1 4 本研究的创新之处 在凸集的一个新概念和凸集的某些特征性质问题的研究中，研究凸集时没有利用超 平面这一工具来讨论某个集合的凸性，而是先给出关于集合边界点的支持方向这一新的 概念，再利用支持方向来讨论一非宅闭集的凸性 在网格的b u f f o n 概率问题的研究中，利用任德麟教授在其著作积分几何学引论中 计算凸域包含测度的方法，来求解许多更复杂网格的b u f f o n 概率问题 1 5 本论文的内容安排 本论文分为四章： 第一章为绪论 第二章主要研究了凸集的一些特征性质定义了凸集的一个新概念并利用这个新概 念证明凸集的一些特征性质 第三章主要研究复杂网格的b u f f o n 概率问题得到了以两个不同凸域为基本区域的 网格的b u f f o n 概率公式，并将其推广到多个不同凸域的情形 第四章对所研究的两个问题作了简略的说明和展望 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 第二章凸集的一个新概念与凸集的某些特征性质 2 1 引言 凸集的研究在数学史上是一个相当近代的事情，尽管早在1 8 世纪就已经建立了关于 凸集的很多重要的结论就已经建立了，但是直到1 9 3 4 年才出现了第一本很系统地研究凸 集的理论的德文书籍( t h e o r i ed e rk o n v e x e nk o r p e r ) ) ，该书是由b o n n e s e n 和p e n c h e l 所著。2 0 世纪4 0 年代到5 0 年代关于凸集的许多应用被发现，尤其是在优化领域的应用 这些重要的应用的发现又重新燃起了人们对凸集理论研究的热情 不像其他许多古老的数学分支，关于凸性理论是一个相对年轻的研究分支，在研究 凸性时是以线性代数和基本的点集拓扑理论作为基础，h e r m a n nb r u n n h e r m a n nm i n k o w s k i 和s t e v e nr l a y 在研究凸集的一些基本的特征性质时都是以超平面和线性泛函作为工具， 本文在研究凸集时引进凸集边界点支持方向这一新概念。并利用支持方向来证明凸集的 一些特征性质僻1 5 3 】 2 2 预备知识2 ”l 【圳 2 2 1 凸集 定义2 1任给e 1 中的点x ，y ，连接x 和y 的线段x y 是指： 匍万一甜+ 触8 2o ，p 苫o ，a + 卢t 1 ) 定义2 2如果对于集合a 中的任意两点工、y ，其连线x y c a ，即：如果对坛爿、 y e a ，v o s a 1 都有f 1 - a ) x + a y 一1 ，则称爿为凸集 定义2 3所有包含集合a 的凸集的交集称为集合a 的凸包，记为c o n v a ， 事实上，集合a 的凸包就是包含集合a 的最小凸集 定义2 4设 6 r ，i 一1 , 2 , - - k ，若 厶+ 九+ + 1 1 ，五2 0 ，y 一五 + 太而+ + 疋气， 则称y 1 + 杠：+ + 丸为毛，屯，的凸组合 定义2 5 对x ，y e e “和爿f ，彳一o ，k y 为z 和y 之间的距离；a 和z 之间的 距离定义为 d ( _ ，工) - i n f i x - o i k 爿) 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 定义2 6 若a 中存在点p 满足卜一p i = d ( 爿，x ) ，则称p 是x 到爿的最近点，并记为 e ( a ，x ) 2 2 2 超平面 定义2 7若定义函数f ：f e 1 ，对任意的x ，y e r ，a r ，有 ( 1 ) ，( 工+ y ) l ，( 工) + ，( y ) ( 2 ) ，( 触) = x f ( 工) 则我们称，是线性的 定义2 8f 中的线性子空问的平移称为平台包含在集合a 内的最小平台的维数 称为a 的维数，记为d i m a n 一1 维的平台称为超平面 定义2 9 e ”中的超平面爿可以表示为h x ：x ，“) = y ) ，则称“为h 的法向量 定义2 1 0一般用标量积来表示超平面和半空间，e “中的超平面表示为 h ，- x e e 4l ( 圳) = 口) ， 其中“1 o 】，a r ，“是h 。的法向量以该超平面为界的两闭半空间为 月二- x e “i g ，“) s 口) ， ：一仁i i x , u ) z a 】 定义2 1 1 设4 ，b c e ”，乩。c e “是一个超平面， ( 1 ) 若4 c k 。，b c h l ，则称以，分离a 和b ( 2 ) 若a c i n t h i a ，b c i n t h l ，则称乩。严格分离a 和b 定义2 1 2a c e 4 ，x 剃，h 是过工点的超平面，它使得a 完全位于由h 划分e “ 所形成的两闭半空间之一当中，我们称h 是a 过石点的支持超平面 定义2 1 3设h + ，h 一为被h 分界成的两个闭半空b j ，若x c a n h ，要么4 + 要么a 一，则h 在x 处支持a 定义2 1 4 若h = 。支持爿，且 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 一c 一 y l e l ( y ，“) s a ， 则称为a 的支持半空间，“称为k 。的外法向量 2 2 3 度量映射 定义2 1 5 对于x 矿，x 售爿，若爿中存在z 到彳的最近点p ( a ，工1 ，我们定义 枇卜锷， r ( a ，z ) - 尸( 爿，z ) + 概( 一，工) 恤苫o ) 其中，h ( 4 ，x ) 为从最近点p ( 彳，石) 到x 的单位向量，r ( a ，工) 为以p ( a ，石) 为端点通过x 的 射线 定义2 1 6 用上述方式定义的映射p ，) ：e 4 一一称为a 的度量映射或最近点映 射 2 3 已有结论 定理2 1 设爿c e “为一非空闭凸集。对v t ，则存在唯一的点p ( 爿，工) 彳，使 得对任意y 爿有 i 茁一p ( 彳，工) i i 工一y f 定理2 2 设x e 。，x 譬一，y r ( a ，工) 。则p ，x ) f p ( a ，y ) 定理2 3凸集的度量映射是紧缩的，即 i p ( 爿，z ) 一p ( 彳，y ) | s k y l ，工，y “ 定理2 4a c e 4 为一闭集，a 为凸集的充要条件是：对任意的x e 1 ，在a 中都 存在着唯一的最近点 定理2 ，5 a c e “为一非空闭凸集，设x 、一。则通过p ( 彳，工) 点且正交于 尺( 爿，x ) 的超平面h 支持彳 武汉科技大学硕士学位论文 第7 页 2 4 主要结论 定义2 1 7设爿c e 8 为一非空闭集，t e o a ，x e e 。，x 譬爿，r ( r ，j ) 是以t 为端点 通过x 的射线若存在以t 为球心，r 为半径的球b ( f ；r ) ，使得对任意y 彳n 曰( f ；r ) 恒 有扛一f ，f y ) z o 成立，则称r ( f ，工) 为a 在f 处的一个支持方向 定理2 6设ac e n 为一非空闭集，a 为凸集的充要条件是：a 的任何边界点都至 少存在一个支持方向 证若爿为一非空闭凸集，由定理2 1 知a 的任意边界点t 一定是某点x f 彳到 a 的唯一最近点则r ( a 了) 为以f 为端点通过x 的射线x c - y - r ，o ，_ n 口( f ；，) 仍为一非 空凸集对任意y 爿n b ( t ；r ) ，有两种情况：y 叫或者_ ) ，i n t 爿 若) ，训，则y 一定是某点_ 弋彳到a 的唯一最近点，记p ( 4 ，) = y 由最近点 的唯一性，我们可以假定 v ：f f i e ( a ，z ) 一e ( a ，薯) 一0 ， 我们断言扛一f ，f - y ) 2 0 ，下面反证之 若扛一f ，f y ) c o ，射线r ( 4 ，x ) 与通过点p ( 爿，) 且与v 正交的超平面交于点z 由 定理2 2 有 i z p ( 月，五l t l z p ( a ，工1 一k p ( a ，z l ， 矛盾，所以( x - t ，t - y ) 0 若y i n t 月，则通过f ，y 两点的直线一定与a 的边界点有一交点，记为y 。同理y l 一 定是某点x 2 e 弋彳到爿的唯一最近点，记为p ( a ，x 2 ) 一) ，。同理可以证明扛一t ，t y 。) o ， 也即仁一t ，t y ) z o 故月( 爿，工) 为a 在f 点的支持方向，即a 的任意边界点都存在支持方 向 假设爿的任何边界点都至少存在一个支持方向但爿不是凸集，则存在点x ，) 爿 使得z j ，y 且z 6 t a 若6 为z 到曲线砂的最远的点，6 朗，且尺( 6 ，z ) - 与- a 只有一个 交点6 ，若对任意的球b ( b ；r ) 与曲线x y 交于x ，y ，点，显然有 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 ( z - b ，b - x a ) o ，而由z 譬日一，r ( x ，f ) 与h 正交，有( f 一局工一z ) t 0 ， 矛盾， 所以h 在点x 支持b ( e ，) n 彳，且b ( x ；r ) f i a c h 。下面证明该h 也是支持爿的， 若存在点，小日一，由定理2 6 ，4 为凸集，于是有 w , x c a ，【w , x ) n b ( x ；r ) 一a ，贝o ( f x , x 1 ，) 之o ， 这与w 岳日一矛盾所以h 支持a 所以a 的每个边界点都存在支持超平面 反过来，假设a 的每个边界点都存在一个支持超平面，设对a 的任意一边界点z 都有 支持超平面h ，不妨设月c 打一令以工为端点通过f 的射线r ( 石，t ) 与h 正交，f f 、爿 显然r ( x ，f ) c + ，故对任意y 6 a7 卣( t - - x ，x - y ) a o ，则r ( 工，f ) 为a 在点工的支持方向 由上述两定理我们有下面的推论： 推论2 i若a c e 为一非空闭集，则爿为凸集的充要条件是：通过a 的每个边界 点都存在支持超平面 定理2 8设a c e “是一凸集，工、彳。则a 和x 能被分离：若a 是闭的，则a 武汉科技大学硕士学位论文 第9 页 和x 能被严格分离 证若4 为凸集且为闭集，因为x e e 弋4 ，由定理2 1 知a 中存在x 到a 的唯一最近 点，记为e ( a ，x ) ，r ( a ，x ) 为a 在p ( a ，工) 点的支持方向，则通过p ( 爿，工) 点且正交于 r ( a ，茗1 的超平面h 为a 的支持超平面，该支持超平面可分离4 和x ，因为a 为闭集，则 x 至u e ( a ，工1 的距离为正数，从而过点 塑兰 兰且平行于日的超平面严格分离4 和x 若a 是凸集但不是闭集，则要么x f c l a ，要么x e c l a 若x f c l a ，则同理可证存在超平面分离c l a 和x ，显然该超平面分离a 和r ： 若x c l 4 ，则x b d c l a ，则存在过z 点的超平面支持c l a ，该支持超平面分离a 和x 定理2 9若a ，b 为两非空凸集且a 为紧集，b 为刚集，则存在趟半向严格分禺a b ，当且仅当a n b = o 证首先假设a n b = a ，设 d ( 爿，b ) i n f d ( x ，y ) ：x c a ，y c b ) ， 若 d ( 彳，b ) = d ( x o ，y 。) ， 因为a ，b 都为闭集，所以x o ，y 。一定为a ，b 的边界点，记 x o = p ( 一，y o ) ，y 。- e ( b ，) ， 则射线石为爿在处的支持方向，射线y o x o 为b 在y 。处的支持方向由定理2 7 知通 过点x o 且正交于x o y o 的超平面h 支持a ，显然h 能分离a 和b ，则过点 塑垒掣导平行于h 的超平面严格分离爿和口 反过来，若存在超平面h 严格分离a ，b 不妨设a c i n t 虬。，b c i n t e 。，则显然 有a n b = g 定理2 1 0若爿，口为两非宅紧集，则存在超平面h 严格分离a ，b ，当且仅当 c o n v a n c o n v b = 彩 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 证首先假设c o n v a n c o n v b d ，因为紧集的凸壳还是紧集，由定理2 9 知存在着 超平面汀严格分离c o n v a 和c o n v b ，显然能严格分离a ，b 反过来，若存在超平面矾，严格分离彳，b 不妨设a c i n t k 。，b c i n t 设 毛，工2 ，h 爿，则 而 则 “，“) t 口，仅，球) c 口， x a + a ：2 + + 五， 厶，“) 一 ( 五，) + + 0 ；，“) t a ，a + + 口- 口， + 九+ + - 1 ， o 所以有咒谢c i n t 既 同理可知c 册诏c i n t 雕。，所以h 严格分离c 伽谢，c o n v b ， 口a c o n v a n c o n v b ；乃 武汉科技大学硕士学位论文 第1 1 页 3 1 问题的导出 第三章复杂网格的b u f f o n 概率 设平面上有两区域k 和k ，k o 位置固定，k 位置可变，把k 带到k 内部的运动“ 所组成的集合记作x 一扣：u k c k o ，集合x 的运动测度为 坍恤：鹾c k ) 。厂赦，咖一却一出 鹾c 坼 其中，p ，妒，t 为运动参数，m u ：u k c 称为k 包含于蚝内部的包含测度凸体的包 含测度问题是凸几何中长期未能取得进展的重要课题包含问题( c o n t a i n m e n tp r o b l e m ) 一词是1 9 9 4 年由g r i n b e r g 建议使用，是几何中的一个基本问题：人们会想如何把一个 橄榄球放入一盒子中，数学家则关心在什么条件下一域包含另一域这个( 些) 条件应 当是一个( 一组) 与这两个域有关的几何不等式平面的包含问题是在1 9 4 1 年由德国数 学家h a d w i g e r 解决的1 2 3 1 1 ”i i ”i 高维情形比平面情形复杂很多，它的解决只是近几年的 事1 3 1 1 9 】1 1 4 h 1 5 】【1 6 1 1 7 1 1 1 8 i t ”1 1 9 8 0 年，任德麟建立了凸域内定长线段运动测度的一般公式，计 算了矩形域内定长线段的运动测度，并将其运用到几何概率中【2 3 ”1 9 8 4 年，黎荣泽 和张高勇计算了平行四边形，三角形和正六边形内定长线段的运动测度肿1 5 1 “ 考虑如下的几何概率问题：在平面上置放间隔为d 的平行线网，将长度为f ( s d ) 的 线段( 小针) 随机地投掷到平面上，求小针与平行线网相遇的概率p b u f f o n ( 1 7 0 7 1 7 8 8 ) 于1 7 3 3 年首先提出并解决了这一问题，于1 7 7 7 年作为他的著作自然史的附 录j 下式发表这一问题后人称之为b u f f o n 投针问题或b u f f o n 小针问题b u f f o n 投针问 题是最早的一个几何概率问题，在一定意义上说，它也是一个具有代表性的影响最大的 几何概率问题b u f f o n 问题问世二百余年以来，已有各种推广研究，其中最重要的推广 是：将小针随机地投掷于布有以某凸域为基本区域的网格的平面上，求小针与网格相遇 的概率而这类问题的解决取决于对包含测度的研究本文给出了以两个不同凸域为基 本区域的网格的b u f f o n 概率的般公式，并将其推广到多个不同凸域的情形 3 2 预备知识i ”1i 3 5 l 3 8 l 4 1 1 川 第1 2 页武汉科技大学 硕士学位论文 3 2 1 直线的广义法式 设x o y 为平面上的直角坐标系，o r 为自原点引出的射线，由m 轴到射线o r 的角记 为驴g 为垂直于射线d r 的任意一条直线若g 与o r 交于h ，规定p = i d h | ( d 到h 的 距离) 特别的，如果日与原点d 重合则p = o ；如果g 与0 旧的反向延长线交于日，则 p = 一f d 吲在这样的规定下，g 的方程为工c o s 驴+ y s i i l 妒一p - o 我们称此方程为直线 g 的广义法式方程，简记为g p ，妒) 3 2 2 平面运动群 平面上欧氏运动群( 在不致引起混淆的地方，一律简称为平面运动群，或运动群) 以 m 表示元素u m 称为运动，设平面已取定直角坐标系，若运动h 将点p o ，y ) 交到 p o ，y ) ，则“可表示为 其 g a ，b ，妒称为运动的参数，并将记作u ( a ，6 ；力将( 3 2 2 1 ) 与通常的坐标变换 公式相对照，不难解释具有参数a ，b ，妒的运动u 的几何意义：在平面上取定坐标系x o y ，设 想另有一透明薄纸覆盖与平面上，并在薄纸上取坐标系一0 y 倘开初r o y 与x f o y 重叠 且此时平面0 y 上p i 点与平面x o yi - _ p 点重合现将薄纸紧贴原平面作运动，致0 关于 x o y 的坐标为p ，6 ) ，且似到0 一的角为矿这时p 和p 关于x o y 的坐标为g ，y ) ，o 。，y ) 间 的联系正好是( 3 2 2 1 ) 式，基于这样的解释，我们称a ，b 为运动h 的平移分量，而庐称为 运动矗的旋转分量 运动口( 岔，抚) 的参数的变域为 一( 口- i - c o ，一 b + q o ，0 妒墨2 石 在3 维欧氏空问( 口，b ；d ) 中，引入等价关系： ( 口，b ，妒+ 扫) 一( 口，6 ，驴l 七为任意的整数 ( 3 2 2 2 ) 便得到个新的3 维空间( 即3 维空间借助于等价关系( 3 2 2 2 ) 所形成的商空日】) 4 6 + + 妒爹 暑瞄 y y 一 + 矿 娜 x x i - 长 “ 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 这个窄问中的点与运动群小的元素一一对应我们称此空i 日j 为运动群m 的参数空间，并 且仍以m 表示 运动群川中的元素u ( a ，b ；p ) 表示为下列矩阵的形式是很有用的： 可见 f c o s 庐 “互ls i n 妒 【o 在这种表示下，群的单位元p ( o ，0 ，o ) 对应于单位阵： ， 臼 “2 吊- 焉s i n 潍) l ，：m m ，“i - - - - ) s u ； 左推移定义为 ( 3 2 2 5 ) 墨：聊- 研，u 卜u s ； 。( 3 2 2 6 ) 寸c o s $ o - c o s i n 咖。车】 z 卫t ， 翩一l c s o ，s 硇o - 鬈s i n 如确。辜j 【c s o 鼍s 妒$ - 薯s i n 妒s ； f c o s + 晚) 一s i n + 丸) a c o s # o b s i n 确o + 1 5 i5 i n 妒0 + 丸。s 0 + 九口8 1 n 戎+ 6 1 。8 九+ 6 0j 3 2 2 8 ij 叭_ = _ v 渺妒 确| 宝o 第1 4 页武汉科技大学 硕士学位论文 类似地，对右推移有 。仨： 。嚣a c o s 毋。一- b s i n o + + a o l ： ( 3 2 2 9 ) ( 3 2 2 1 0 ) 定义于运动群的参数空间m 上的一级微分形式( 简称1 形式) 是指如下形式的表达式： w ( “) = 口( “) d a + ) e b + r ( u ) d 妒 ( 3 2 2 1 1 ) 其中口q ) ，多0 ) ，y 红) c 。，即它们都是麒的坐标露，以妒的无穷可微函数对于任意一 点u e m 处m 上所有1 级微分形式之集，以自然方式引进线性运算： 嵋o ) + ) 一( 口t ) + 。r 2 0 ) ) 如+ ( 反o ) + 反 ) ) 动+ ( n o ) + y ：m ) ) d 妒 x w ( u ) - a a 0 ) a a + a 夕0 ) e b + a r o ) d 妒， a e r ， 则构成一个3 维向量空间，此空问称为m 在点球处的余切空间，记为巧，1 形式 妇，动，矗构成0 的一组基，或者，在如，d b ，d 妒的线性组合中任取三个线性无关者，亦可 构成0 的基 由左推移t 和右推移墨分别可以诱导出余切空间之闻的映射这些诱导映射对以下 的讨论至关重要由l ，可以诱导出映射 由r 可诱导出映射 t ：0 一t 2 ，) h 甜( j “) ； ( 3 2 2 1 2 ) 霹：c 一呓， ) hc o ( u s ) ( 3 2 2 1 3 ) 具体说来，给定嘶) t 口 ) 出+ p o ) a b + r ( u ) c l 妒，埘 ) 在映射之下的像o d ( s u ) 应 这样来求：将口 ) ，声0 ) y o ) 分别换为口( 蹦) ，卢( 5 “) ，r ( s u ) ，同时如，d b ，却按下式进行代换： 妒驴 咖瞄 加 嘶螂” 却咖如 呻 1 i r m胁渺， 曲如 如 暑 宝肛如 嚣弘 1 - 1 啼 胁协眇 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 求m 0 ) 在之下的像m ( 蹦) 与此类似，即一方面以a ( s u ) ，卢( s “) ，r ( s u ) 分别代替 a ) ，卢 ) ，y ) ，同时施行如下代换： f 妇一一( 口os i n 妒+ b o c o s 妒矽妒+ 出； j 曲一( 口o c o s 妒一b os i n 妒v 妒+ 动， ( 3 2 2 1 5 ) l d 矿- d 驴 ( 3 2 2 1 4 ) 和( 3 2 2 1 5 ) 二式分别来自( 3 2 2 9 ) 和( 3 2 2 1 0 ) 二式 3 2 3 运动密度 为了建立运动密度概念，需要先介绍所谓左不变1 形式和右不变l 形式 在映射上下保持不变的1 形式称为左不变的，在映射下保持不变的l 形式称为右 不变的 为了具体地描述左不变l 形式，只需注意到矩阵 q 一h 一1 幽 具有左不变性事实上，我们有 l ：q j = ( s u ) 1 d ( s u ) = u - 1 s s d u = u - i d u = q 此式表明q 。确实是左不变的从而矩阵q l 的所有元素是左不变1 形式由( 3 2 2 3 ) 卟(吊sinco。s：s00in蒿bcos驴驴舻cos删驴d妒忿sin8嘲dbl 0 00 q = i s i n 矿 n 驴一 i l 一西d 妒 l i o0 j l =”“cos等cda+sinsc引ribde 0呲323 300 ， = ls i n 妒d 口+ c o s 妒如i ( ) l o j q c o s 曲d a + s i n c r i b ，甜2 ；一s i n 曲d a + c o s c r i b ，鸭一d e ( 3 2 3 4 ) 显然，q ，：，鸭是线性无关的 由于q ，：，屿是庄不变的，因此它们的带常系数的任何线性组合也是屉不变1 形式 形式都可表示成为。，：，屿的带常系数的线性组合事实上，由于q ，! ，屿是线性无关 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 的，它们构成巧的一组基，从而每个l 形式以) 皆可表示为 甜 ) i 口0 h + 卢 ) 2 + y o ) n k 如果再假定 ) 是左不变的，即q ( 硪) - 劬0 ) ( i l 2 ，3 ) ，从而有 【a ( s u ) 一a ( u ) p ) + 【p ( 伽) 一户o ) l q ) + 【r ( s u ) 一y m ) l 屿 ) 一0 再出q ，吐，鸭的线性无关性，有 口o “) ta ( u ) ，卢( 跚) t 卢0 ) ，r ( s u ) 一r ( “) 因为这些等式对任何s e r e 成立，故口以) ，卢0 ) ，r o ) 皆为常数总之，我们求如了 ( 3 2 3 4 ) 式中的三个左不变1 形式，实质上就求出了脚上的所有的左不变l 形式 求右不变1 形式的讨论完全类似，简要叙述如下矩阵 具有右不变性： q 一幽“4 r ：q 矗- d s ) s ) id e 娜_ 1 “重q r ，0 - d o q 一i d 妒0 10 0 从而得到三个线性无关的右不变l 形式： 1 6 d 矿+ 如，2 一口d 妒+ 曲，3i d o 与前面一样，2 脚3 的带常系数的线性组合是右不变1 形式，并且拼上任一右不变1 形式旨可 表示成这样的线性组合 有了上述准备之后，现在可以引入运动密度概念了 首先，由于q ，鲍，皆为左不变1 形式，因此它们的外积 d k ，q 鸭 鸭一出a 拈a 却 是左不变的3 级微分形式( 简称3 形式) 今设 妒一f ( u ) d 口 曲 d 妒- ，0 弘吒a 吐 为任意一个左不变的3 形式，应有 ( 3 2 3 8 ) 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 f ( s u ) w 1 ( s u ) 2 ( s u ) a0 3 3 ( $ u ) = f ( u ) w 1 0 ) a 2 ) a 屿 ) 由于诸是左不变的，即 由此推知f ( s u ) 一，0 ) q o “) 一q ) ，f = l 2 ，3 因为这一等式对任何s e r e 成立，故f ( u 1 必定是常数这就表明，若不计一个常数因 子，( 3 2 3 8 ) 式中的d k 是m 上唯一的左不变的3 形式 其次，考虑1 ，9 0 2m 3 的外积，得到 1 m 2 3l d a d b a d 西- d k( 3 2 3 9 ) 依据类似的推理可知，若不记一个常数因子，d k = d a d ba 却也是m 上唯一的右不 变3 形式 再次，微分恒等式u u 一e ( 单位矩阵) 可得 d u u 一1 + u d u 一0 即： ( “。) 。d u 一一d u u ， 亦即 q 。 1 ) 一q 。 ) ( 3 2 3 1 0 ) 此式表明，前面得到的d k d a d b 却具有如下的性质： d k ( u 。) 一d k ) ( 3 2 3 1 1 ) 由于我们仅考虑非负密度，因而( 3 2 3 1 1 ) 式实际上表明，当着以“- 1 代替u 时，d k 不变我们把这一事实称为d k 关于逆运动的不变性，简称为反演不变性或逆不变性 综上所述。3 形式 d k t l 0 3 2 鸭= c 【，1 2 3 = d aa d b c l o ( 3 2 3 1 2 ) 是具有左不变性、右不变性及反演不变性的3 形式；不计一个常数因子，它是具有这些性 质的唯一的3 形式 ( 3 2 3 1 2 ) 式所表示的3 形式d k 称为平面上运动群的运动密度显然，运动密度 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 d k t 如 曲 d o 正好是运动群的参数空间的体积元 运动群的参数空间中的一个区域石。亦即此域中之点所对应的那些运动所构成的集d k 在区 域x 上的积分便是x 所对席的运动之集的测度，叫做集x 的运动测度 设想平面上有二区域k 。，k ，其中j 0 为位置固定的区域，而区域足的位置是可变动 假定k 有一初始位置，任意一个运动珊，将把k 带到一个新的位置u k ( u k 与k 全 等) 现在我们考虑能把k 带到与民相交的位置的那些运动“这些运动所成的集可记为 x 一0 ：u k n k 。- 矿 或u k n k o 一妒 按刚才的定义，集x 的运动测度为 r e u ：旅n 蚝一对一l 慨。蕊 ( 3 2 3