（大地测量学与测量工程专业论文）工程三维控制网平差方法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 传统控制网布网、测量和数据处理方法，是把确定点的空间位置三维问题 分成平面位置二维问题和高程位置一维问题，这种方法存在着理论上的缺陷和 局限性。水平方向、天项距和斜距等观测量所体现的是控制点之间空间位置的 几何关系，而点的空间位置是由平面位置和高程位置共同构成的一个三维整体， 因而体现整体关系的观测数据也具有完整性和统一性，把它们分开进行一、二 维数据处理，带有某种近似性，理论上不严密。工程三维控制网平差具有一、 二维分开平差所不可比拟的优点和长处，因此本文针对工程三维控制网平差方 法进行了系统的研究。 论文首先推导了工程三维控制网中最原始观测量( 水平方向、天项距和斜 距) 的误差方程式，以及附加垂线偏差分量和大气折光未知参数的最原始观测 量误差方程式；其次，研究了不同类观测量的定权方法，并对工程三维控制网 中的多类观测量进行赫尔默特方差分量估计，以合理确定观测量的权比；再次， 对影响工程三维控制网精度的大气折光和垂线偏差等问题进行了研究；接着， 在推导了工程三维控制网整体平差数学模型的基础上，编制了工程三维控制网 的严密平差程序，并用实验数据对上述三维平差研究的内容进行了验证；最后 探讨了工程三维控制网测量和整体平差方法在高边坡三维变形监测方面的应用 情况。 通过对三维控制网平差理论的研究、平差程序的编制以及实验控制网数据 的验证，说明工程三维控制网可以在实际生产中应用，特别在山区变形监测方 面有很大应用前景。 关键词：三维控制网平差；方差分量估计；误差椭球；大气折光 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t i nt h et r a d i t i o n a lp r o g r e s so fl a y o u t ，m e a s u r i n ga n dd a t a p r o c e s s i n go fc o n t r o l n e t w o r k ，t h et h r e e d i m e n s i o n a ls p a t i a lp o s i t i o n i s s e p a r a t e d i n t ot w o p a r t s ， t w o d i m e n s i o n a l p l a n ep o s i t i o n a n de l e v a t i o n t h i sm e t h o di s s o m e t h i n g u n r e a s o n a b l ei nt h e o r y t h eo b s e r v a t i o n s ，s u c ha sh o r i z o n t a ld i r e c t i o n ，z e n i t ha n g l e a n ds l o p ed i s t a n c es h o wt h eg e o m e t r i cr e l a t i o n s h i pa m o n gt h ec o n t r o lp o i n t s a n d t h es p a t i a lp o s i t i o ni sat h r e e d i m e n s i o n a li n t e g r i t yc o m p o s e db yp l a n ep o s i t i o na n d e l e v a t i o n s ot h eo b s e r v a t i o n sa l s oh a v et h eu n i t y i tw i l lb ei m p r e c i s et os e p a r a t et h e o b s e r v a t i o n s i n t ot w o d i m e n s i o n a l p l u s o n e - d i m e n s i o n a l d a t a - p r o c e s s i n g t h r e e - d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r ka d j u s t m e n ti ss u p e r i o rt ot h es e p a r a t ea d j u s t m e n t o fp l a n ep o s i t i o na n de l e v a t i o n t h i st h e s i ss t u d i e do nt h r e e d i m e n s i o n a lc o n t r o l n e t w o r ka d j u s t m e n ti ne n g i n e e r i n gs u r v e y f i r s t l y , o b s e r v a t i o ne q u a t i o n sw e r ed e r i v e df r o mt h er a wd a t ao ft h r e e - d i m e n s i o n a l e n g i n e e r i n gc o n t r o ln e t w o r k s e c o n d l y , t h em e t h o d so fw e i g h t - m a t r i xd e t e r m i n a t i o n o fd i f f e r e n to b s e r v a t i o n sw e r es t u d i e da n dt h ew e i g h t m a t r i xo ft h r e e - d i m e n s i o n a l c o n t r o ln e t w o r kw a sd e t e r m i n e du s i n gh e l m e r tv a r i a n c ec o m p o n e n te s t i m a t i o n t h e nt h ee f f e c to fv e r t i c a ld e f l e c t i o na n da s t r o n o m i c a lr e f r a c t i o no nt h ep r e c i s i o nf o r t h r e e d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r kw a s s t u d i e d t h i r d l y , ap r o g r a m o f t h r e e - d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r ka d j u s t m e n ti sw o r ko u t f i n a l l y , t h et h e s i s d i s c u s s e dt h ea p p l i c a t i o no ft h r e e d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r km e a s u r i n ga n d a d j u s t m e n ti nt h r e e d i m e n s i o n a ld e f o r m a t i o nm o n i t o r i n go fs i d es l o p e b a s e do nt h es t u d yo ft h r e e - d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r ka d j u s t m e n t ，t h e c o r r e s p o n d i n gp r o g r a m m i n g a n dt h ev e r i f i c a t i o nw i t h e x p e r i m e n t a l d a t a ， t h r e e d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r kc a nb eu s e di ne n g i n e e r i n gs u r v e y , e s p e c i a l l yi n d e f o r m a t i o nm o n i t o r i n go fm o u n t a i na r e a k e yw o r d s ：t h r e e d i m e n s i o n a lc o n t r o ln e t w o r ka d j u s t m e n t ；v a r i a n c ec o m p o n e n t e s t i m a t i o n ；e r r o re l l i p s o i d ；a s t r o n o m i c a lr e f r a c t i o n 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密日，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名：物吹汤指导棚签名：匆够 日期：夕卯莎以，0 日期：c 毋6 r d 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 推导了工程三维控制网中最原始观测量( 水平方向、天项距和斜距) 的误差方程式，以及附加垂线偏差分量和大气折光未知参数的最原始 观测量误差方程式。 2 研究了赫尔默特方差分量估计适用于工程三维控制网平差时确定不同 类观测值的权比关系。 3 依据本文推导的平差模型，编制了工程三维控制网的平差程序，可以 实现对观测了水平方向、天项距和斜距观测量的控制网进行三维整体 平差计算。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 概述 第一章绪论 在国民经济建设和社会发展的各个领域，测量工作占有十分重要的地位。 例如，铁路工程、采矿工程、土建工程、水利工程、城市规划、海港工程和军 事工程建设都必须以测量工作为先导。工程建设的规模越大，对测量工作的依 赖性越突出。控制测量一般是指在工程建设地区布设一系列的控制网点，并精 确地确定这些点的空间位置，其服务对象主要是各种工程建设、城镇建设和土 地规划与管理等工作。这就决定了它的测量范围比大地测量的要小，并且在观 测手段和数据处理方法上还具有多样化的特点。控制测量是一切后续测量工作 的基础，没有控制测量，后面的测图和施工放样等工作就没办法进行。控制网 把测区各部分的测量工作联系起来，既起骨架的作用，又起限制误差传递和累 积的作用。 工程控制网对于工程建设的重要性，贯穿于工程建设的各个阶段。在工程 建设中，大体可分为设计、施工和运营三个阶段，每个阶段对控制测量提出不 同的要求。 首先，在工程规划及设计阶段，需要建立测图控制网来进行大比例尺地形 图绘制以及地质状况的勘探，根据实地情况在地形图上进行区域规划与建筑物 设计，以求得挖方与填方量等设计所依据的各项数据，根据工作量，合理制订 施工计划，组织人员调度，安排施工进度。在这个阶段内，测图控制网的精度 决定着地形图的精度和各幅地形图之间的准确拼接。同时，测图控制网也是相 应地籍测量的依据。 其次，在施工过程当中，要建立高精度的施工控制网。根据设计图，实地 组织施工，将图纸上设计的建筑物放样到实际施工区域中去。这是工程施工最 为重要的阶段，决定着工程的整体质量，施工控制网是一切施工活动的基础， 决定着工程的整体精度，并为日后工程验收提供了依据。因此，要有相应精度 的施工控制网作为保证。 最后，由于在施工阶段改变了地面的原有状态，加之建筑物本身的重量将 会引起地基及周围地层的不均匀变化，从而引起建筑物本身的变形。因此，在 施工过程中及竣工后的运营阶段，需要建立变形监测专用控制网，对建筑物进 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 行动态监测，实行信息化施工，提供反馈信息，及时发现问题，从而指导施工 和修改设计，以确保工程安全。由于这种变形数值一般都很小，为了能精确地 测出变形量，需要变形监测控制网具有较高的精度。 由此可见，控制网在工程的各个阶段都起着重要的作用，控制网的精度决 定着工程的整体质量。控制网达不到规定的精度，将会对工程造成一定的影响， 甚至对人民的生命财产安全造成危害。控制网的精度不仅取决于网形的布设与 选点造墩，而且与平差方法和方式有很大的关系。 控制网平差计算是一项任务繁重而且极易出现差错的工作，测绘工作者一 直不断地改进算法，提高精度。近年来，随着计算机技术的不断发展，人们不 断开发研制各种测绘软件，尤其是控制网平差系统软件，并取得了较大的成果。 控制网平差系统软件是测绘工作数字化和现代化的重要保障，它大大减少了测 绘工作者的内业数据处理的工作量，减轻了劳动强度，同时大幅缩短了控制网 平差工作的周期，提高了控制网平差的精度和测绘工作的效率。 1 2 工程控制测量数据处理研究状况 1 2 1 控制网平差理论研究现状 测量平差是测绘领域中一个重要分支，是用于测量数据处理的一门应用数 学。它在测量工作中起着举足轻重的作用，是工程中的一项基础工作n 3 。早在 1 7 9 4 年，高斯( g a u s s ) 便提出最小二乘法，解决了在测量学、天文测量等实 践中提出的如何消除由于观测误差引起的观测量之间矛盾的问题，即如何从带 有误差的观测值中找出待定量的最优值。这不仅是数学领域的一项重要发明， 更为测量平差理论的发展提供了重要的数学理论依据。以此为基础，测量平差 经过不断的充实已经发展成为一门独立的学科。 二十世纪六十年代之前，测量学者在基于最小二乘原理的平差方法上作了 许多研究，提出了一系列解决各类测量问题的经典平差方法，如间接平差法、 条件平差法、附有限制条件的间接平差法、附有参数的条件平差法等，这些方 法基本上能够满足当时的各类工程需要。但是受到计算工具的影响与限制，误 差方程的求解还有一定的局限，针对这一实际情况，人们提出了许多分组解算 线性方程组的方法，以达到简化计算的目的。 自二十世纪七十年代开始，随着计算机技术的发展和进步以及生产实践中 测量高精度的要求，测量平差得到了很大的发展，主要表现在以下几个方面： 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 、从单纯的研究观测值的偶然误差扩展到包含系统误差和粗差，在偶然误 差理论的基础上，对误差理论及其相应测量平差理论和方法进行全方位研究， 大大扩充了测量平差学科研究的领域和范围。 2 、相关平差法，将经典平差对观测值随机独立的要求，推广到随机相关的 观测值。相关平差的出现，观测值的概念广义化了，使得不仅随机独立的直接 观测值可以作为平差的对象，而且它的导出量，如随机独立直接观测值的函数 或任何一种初步平差结果都可以作为平差的对象。 3 、最小二乘法所选平差参数假设是非随机变量，随着测量技术的进步，需 要解决观测量和平差参数均为随机变量的平差问题。起源于最小二乘内插和外 推重力异常课题的最小二乘滤波、推估和配置，解决了平差参数也为随机变量 的平差问题。 4 、秩亏自由网平差方法，将经典的高斯马尔柯夫模型中的列满秩系数矩 阵，推广到奇异阵，经七、八十年代国内外学者的研究，现已形成了一整套秩 亏自由网平差的理论体系和多种解法，并广泛应用于测量实践中。 5 、为了提高平差结果的精度，比较可靠地确定各观测量之间的权比，提出 了验后估计方差的方法，即通过平差估计方差，称为随机模型的验后估计，又 称为方差一协方差分量估计理论。随机模型的验后估计主要有赫尔默特最d - 乘平差法、最小范数二次无偏估计法和最大似然估计法。 6 、最小二乘平差通常假设没有模型误差，但是实际中函数模型中含有系统 误差和粗差，随着测量精度的不断提高，对平差结果的精度要求更高，近年来 出现了通过平差剔除粗差和消除系统误差影响的平差方法。 总之，在接近两个世纪的发展过程中，结合不同的工程实践，测量平差理 论越来越多样化，精度也越来越高。特别是近几十年来，测量平差和误差理论 得到了快速发展，产生了很多新的测量平差模型，形成了区别于经典平差理论 的近代平差。最近，又有学者将有限元的理论引入到测量平差中，对大规模、 多余观测量较多的控制网进行平差，取得了较好的效果口1 。 1 2 2 控制网平差系统的发展状况 计算机技术引入到测绘工作中来是测绘技术，特别是测绘计算技术的一项 重大革命。各种测量数据处理系统的开发，使测量工作者从枯燥、繁重的计算 工作中解放出来，大大提高了测量工作的数据处理效率和精度，是测绘工作的 一个转折点，具有重大的意义。各种测量数据处理系统都是以计算机技术为基 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 础的，测量数据处理系统的每次改进和创新都离不开计算机技术特别计算机高 级语言的支持。 第一套利用b a s i c 语言编写的应用于p c 一1 5 0 0 机的平差程序于1 9 8 4 年面 世，尽管它只能用于简单的基本的控制网平差，但它为以后的不断完善和发展 奠定了基础h 3 。而且，它当时广泛地应用于生产实践中，产生了很好的社会效 益。后来，由于p c - 1 5 0 0 机的停产和p c - e 5 0 0 的迅速普及，将大部分程序成功 地移植到p c - e 5 0 0 机上并进行了改进，增强了原有平差程序的功能，拓展了其 应用范围。同时，针对p c - e 5 0 0 便携机的特点，测量工作者和程序开发人员陆 续开发了地籍测量、矿山测量、桥梁道路曲线测设等一系列测量计算程序。 随着计算机技术的发展和b a s i c 、p a s c a l 、f o r t r a n 、c 等高级编程语言的 出现，人们以这些高级语言的语言格式和强大的计算功能极大地改进了包括测 量在内的各项工作。以这些高级语言为基础，产生了一系列的控制网平差程序， 如利用f o r t r a n 语言编制的w c p 2 0 控制网平差软件包瞄1 等，这些程序与系统与 p c - e 5 0 0 机上的程序相比有了质的飞跃。首先，十六位机的普及与应用，计算 速度大幅提高，计算机存储量显著增加，使得控制网平差软件能够对控制网点 多、观测量大的较为复杂的网型快速的进行平差计算；其次，数据的输入更加 便捷，按照系统规定的格式对观测数据进行编码输入，可以一次性地进行识别 与处理；最后，随着软盘的出现，平差后的结果可以更为方便的存储与查看， 这为测量数据处理系统提供了更为广泛的应用空间。但由于这些数据处理系统 都是在字符界面的d o s 平台下进行开发和使用的，用户界面不是很好，操作不 是很方便，而且对数据的格式要求比较严格又各不相同，系统的容错性较差， 这就要求使用者不仅熟悉测量工作，还要熟悉计算机的操作，对用户要求较高。 微软公司的w i n d o w s 操作系统问世后，随即产生了面向对象语言，并提出 了可视化的概念。以v i s u a lc + + 、v i s u a lb a s i c 、v i s u a lj a v a 为代表的面向 对象语言和可视化技术的迅速发展，给测绘工作特别是平差计算工作带来了很 大的冲击。测绘行业的科研、设计与施工单位开始研制可视化的测量数据系统 软件，并取得了很大的成绩，一批功能强大、界面友好、使用方便的测绘软件 不断涌现出来h 1 ，国内的清华山维数据处理系统、武测的科傻地面控制测量数 据处理系统等都是比较完善、功能强大的测绘软件。这些软件和系统改进了原 来数据处理系统中操作不便、容错性差、精度较低等不足之处，吸收了面向对 象语言和可视化技术的先进之处，极大地方便了用户，增强了系统容错性和输 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 入输出形式。 随着大型工程越来越多，测量精度要求越来越高，对控制网平差的要求也 越来越高，现有的数据处理系统会进一步的完善和发展，不断地提高精度，特 别是最近几年g p s ( 全球定位系统) 、全站仪及智能型全站仪等测量仪器的快速 发展，也为控制网平差系统提出了更高的要求。 1 2 3 三维控制测量的发展现状 三维控制网的概念是布隆斯( h b r u n s ) 于1 8 7 8 年提出的，这种概念是把 位于不同水平面上的控制点联结起来，构成一个空间多面体，认为一个大地网 点，应该由表征该点空间位置的三个坐标参数和表征该点垂线方向( 重力向量 方向) 的两个方向参数表示凹1 。然后，通过观测水平方向、天顶距、空间斜距、 天文经纬度和天文方位角等，在平差计算中确定上面提到的每个点的五个参数。 在这五个参数中，前面三个是纯几何参数，后面两个参数涉及地球重力场。 三维控制测量在布隆斯时代并没有引起重视。从二十世纪四十年代末开始， 马露西( a m a r u s s i ) 、霍丁( m h o t i n e ) 、沃尔夫( h w o l f ) 以及后来的文森特 ( t v i n c e n t y ) 、腊姆萨耶( k r a m s a y e r ) 等对三维大地测量进行了系统的研究。 沃尔夫于1 9 6 3 年导出了适用的三维大地测量误差方程式，海兹( s h e i t z ) 于 1 9 7 3 年提出了联合水准数据的平差方法，特别是霍丁对三维大地测量的再次兴 起作了突出的贡献，他的名著 m a t h e m a t i c a lg e o d e s y 是三维大地测量的基 本贡献。 三维控制测量虽然较传统控制测量前进了一步，但是它的思想仍是将物理 量和几何量分开结算，所以三维控制测量并没有解决地球重力场信息和空间几 何信息的相互关系。近几十年来，不少学者提出并研究了所谓整体大地测量的 问题。三维控制网多面体的每一个顶点的五个参数中，前三个坐标参数是纯几 何参数，后两个垂线方向的参数则是重力场决定的参数。将这五个参数通过不 同观测量结合起来联合求解，则是整体大地测量平差方法的基本思想。现代的 整体大地测量是进一步把几何观测量( 水平方向、天顶距、斜距等) 和物理观 测量( 重力加速度等) 结合起来，在一个统一的物理空间进行大地测量联解“们， 这在理论上是很完善的，近二十年来得到愈来愈多的国内外大地测量学者的重 视。 工程测量中，监测工程构筑物或地壳活动的精密工程控制网，往往要求很 高的精度。当精密观测所得的方向值、斜距在平面上处理时，就必须把它们投 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 影到某个参考面上，这就需要测站的垂线方向以及地面控制点即参考面的高度， 也就是需要重力场的信息来确定这些量。对于一个小范围的工程测区，精度要 求又那么高，按上述办法平差计算，会造成精度的损失，特别在山区，其影响 更为严重。如果采用工程三维控制网的测量、平差计算方法，即所有的观测量 不需要归算或改正，为获得较高的精度，所有可利用的测量资料可以联合在一 起进行平差计算。 三维控制测量也存在一些问题，其中最主要的是观测工作量较大和天顶 距测定精度还较差，因而高程坐标的精度还不是很高，三维控制测量方法的推 广受到一定的限制。当前在三维控制测量研究中，除了进一步研究三维控制网 和三维导线的布设、精度以及成果处理的方法外，很多测量工作者针对上述两 个问题进行研究。对于天顶距的测量，近百年来很多测量工作者和气象学家为 了求定大气折射率做了许多理论和实验工作，其中比较著名的有约旦( j o r d a n ) ， 布洛克斯( b r o c k s ) 和勒伐路易斯( j j l e v a l l o i s ) 等人。他们的研究工作主 要是推求折光系数与气象元素之间的函数关系一大气模型，从而得到各种折光 改正数计算公式，如著名的布洛克斯公式。但由于大气场结构的复杂性和不稳 定性，因此这类公式的使用具有一定的局限性。另一些学者通过实际试验寻求 最佳的观测方法。比较一致的意见是：天项距测量应尽量避免在长边上进行， 为获取可靠的观测结果应采取同时对向的观测方法，并应在不同的气象条件下 多次重复测量+ 。显然，这些意见在具体实施时有很多困难。所以关于如何提高 天项距测定精度的问题，至今仍没有得到满意解决。 近几十年来，许多学者就提高天项距测定精度问题开辟新的途径，主要有 以下两类：采用不同的折光模型，在平差计算时把折光系数作为未知参数和采 用色散法。对于前者而言，试验中可以采用不同的折光模型，对于具体的控制 网采用哪种模型还没有统一的意见。基于色散原理消除折光影响的方法还处于 实验阶段，各国学者认为这是一种很好的方法，但还没有在实际中应用。 综上所述，三维控制网摆脱了传统的测量方法，在理论上是严密的。与传 统的平面和高程控制网相比较，不必把观测量投影到椭球面上，避免了由此带 来的归算误差；它把平面和高程控制网统一起来，避免了控制测量成果的两重 性。三维控制网尽管具有以上优点，但是鉴于以往技术条件的限制，它只能被 认为是理论上的设想，而难以实现。只是近几十年来，科学技术的发展，特别 是智能型全站仪和计算机技术的快速发展，为三维控制网的测量与平差计算提 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 供了条件，并逐步应用于生产实践中。 1 3 本文研究的主要内容 l 、本文在以前学者推导的三维控制网观测量误差方程的基础上，推导了基 于全站仪最原始观测值( 水平方向、天项距和斜距) 的误差方程，以及附加垂 线偏差分量和大气折光未知参数的最原始观测值误差方程式。 2 、三维控制网平差中，正确、合理确定各类观测量的权比关系极为重要。 各类观测量的权比确定的比较合理，平差计算的精度才比较可靠，本文通过比 较几种确定观测量权比的方法，找出合理、简便的确定各类观测量权比关系的 方法；同时本文也分析了定权误差对平差结果的影响。 3 、大气折光是影响天顶距观测的主要因素，本身具有复杂的多变性，测区 的地貌类型和大气条件不同，往往大气折光影响差别就很大。所以本文在平差 模型中附加大气折光参数，以减弱或消除其对天顶距观测量的影响，并提出几 种附加大气折光模型，分别对几种折光模型进行平差计算，比较、分析几种方 法的优劣及适用范围，找出合理的改正大气折光影响的方法。 4 、在控制网平差理论研究的基础上，编制了工程三维控制网平差程序。应 用该软件对设计的实验三维控制网分几种方案进行了平差计算，并对其结果进 行了比较和分析。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第二章工程三维控制网平差的原理 2 1 工程三维控制网的坐标系统 三维控制测量的计算可以在不同的坐标系内进行，在数学上它们是完全等 价的，借助于变换关系可以从一种坐标系变换为另一种。常用的坐标系有：地 心直角坐标系、大地坐标系和局部直角坐标系，三种坐标系间的变换公式见文 献“扣。对于工程测量三维控制网，因其涉及的面积较小，对此可以建立一个 独立的工程三维坐标系。工程三维坐标系的建立，通常取网的起始点或者任意 一点作为坐标系的原点d ，该点的垂线为z 轴方向，指向天项为正：与之垂直 的平面作为胛平面，a t 平面为过测站点的水平面或测区的平均高程面，x 轴 一般指向北方向，或某一特定方向，如桥梁的桥轴线、建筑物的主轴等；y 轴 与x 、z 轴垂直，构成左手直角坐标系o x y z ，如图2 - 1 左图所示。 z z 图2 - 1 工程三维控制网坐标系示意图 如图2 - 1 左图所示，点只为测站点，在每个测站点可以建立以测站点为原 点，测站铅垂线方向为z 轴的测站坐标系只一x 。p z 。由于地球内部质量分布 的不均匀及地球曲率的影响，各个测站点的铅垂线方向并不一致，故测站坐标 系垂线方向z 轴与工程三维坐标系z 轴并不平行，而是存在个夹角万，如图 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 2 1 图所示。大地测量中垂线偏差，是指地面上一点的重力向量g 和相应椭球 面上的法线向量n 之间的夹角。在工程三维控制网中，夹角万与垂线偏差概念 相似，一般称为“相对垂线偏差 ，简称“垂差 ，是指测站点的铅垂线方向与 工程三维坐标系z 轴之间的夹角。如图2 - 1 右图所示，各个测站的垂差万，可 以分解成在x 轴上的分量占和在】，轴上的分量r 。p 为照准点，在测站点尸测 量了到点p 的斜距s ”天顶距么i ，和水平方向l 一此外，还可以用几何水准方 法测量尸至p 之间的高差h 在以测站点只为原点、点只垂线方向为z 轴的测站坐标系p x y z 中， p 点相对于p 点的坐标差为： x j 一x i j 巧- z z j j z l 、旧= & s i n 鸣c o s 乃 s i n 4s i n t f j c o s 鸣 ( 2 - 1 - 1 ) 式中，乃= l 扩+ 嵋为在只点所测的至e 的方位角，l ，为至e 方向观测值， w f 为测站点的定向角。 通过坐标系的转换，可以将测站坐标系p x 】，z 中的坐标，转换到工程 三维坐标系o x y z 中，由图2 - 1 右图可以看出，把测站坐标系尸一x y z 绕】r 轴逆时针方向转动s ，再绕x 。顺时针方向转动7 7 ，就转换成工程三维坐标系 o x y z 中的坐标。其转换公式为： r 似赵 i 】，i = r x ( r ) r y ( 一占) i 】，l ( 2 1 2 ) l a z jl a z 。j 式中，r ；( p ) 为绕i 轴旋转角度目的旋转矩阵。对于左手坐标系，顺时针旋转， 旋转角取为正，逆时针旋转取为负。由于垂差万一般很小，故取 s i n 艿万，c o s 万1 ，那么旋转矩阵分别为： - 1 0 0 r 1 0 o q 尺x ( ，7 ) = l0c o s ( r ) s i n ( r ) l = l0 1 r i ( 2 1 3 ) 1 0 一s i n ( r ) c o s ( r ) jl o r 1 j c o s ( - 6 ) 0 - s i n ( 一占) 1 r1 0 占 母( 一占) = j 010 i - 1 010i ( 2 - 1 - 4 ) l s i n ( 一占) 0c 。s ( - 占) jl 一占ol j 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 将式( 2 1 3 ) 、( 2 - 1 - 4 ) 相乘及式( 2 1 1 ) 一并代入式( 2 1 2 ) 中，得： x j x i 巧一 z j z i ：陶： l zj 毛s i n4c o s 乃+ 嚆c o s 鸣 ss i n 鸣s i nt f j + r s o c o s 鸣 墨c o s4 一占毛s i n 鸣c o st f j r s o s i na os i n t f j ( 2 - 1 - 5 ) 由上式( 2 1 5 ) ，可以用直接测得的斜距毛、天项距鸣和方位角乇，计算工 程三维坐标系o x y z 中的三维坐标差。 2 2 工程三维控制网平差的数学模型研究 为检查和评定观测质量，提高观测精度，在控制网布设过程中，总是具有 多余观测，因此，使得观测值之间及各起算数据之间产生各种矛盾，平差计算 就是根据最d - - - 乘原理消除网中各种不符值，求出各待定点的最可靠值并评定 测量成果的精度。控制网的平差方法基本上分为条件平差法和间接平差法。对 于一个具体的控制网来说，究竟应采用哪种平差方法是首先要解决的问题。在 手工计算时，主要考虑的是选择哪种方法使得方程阶数较少，又便于解算的方 法，因此平差方法的选择依据控制网的具体情况而定。然而对于计算机程序来 说，主要考虑的是程序的难易度和通用性。当采用条件平差时，由于工程三维 控制网的条件方程是多种多样的，特别是观测了斜距、水平方向和天项距三类 观测值的边角网，条件方程非常复杂，很难找出规律性的条件方程式，同时用 条件平差方法编制通用程序必须顾及所有可能的条件，程序编制起来非常困难， 更不用说通用性。但对于间接平差而言，是以观测量来开列误差方程，规律性 就很强。对于三维控制网一般包括上述三类观测值，此外还可以把水准测量的 高差作为一类观测值，所以在编制计算机程序时，只需考虑以上几类观测值的 误差方程即可进行平差计算及其程序的编制。 2 2 1 未知参数近似值的计算 对于测角网、边角网和测边网等三维控制网，观测值是水平方向、天顶距、 斜距或者平距等，一般选取待定点的坐标为未知参数，观测值与未知参数之间 建立的关系为非线性函数，如果不给出待定点近似坐标，误差方程就无法列出， 因为误差方程的系数均由待定点近似坐标求得。故开列观测量误差方程前，必 须进行未知参数近似值的计算。 1 、垂差万在x 轴和】，轴上分量厶，7 近似值的计算 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 如前所述，垂差是指各个测站点垂线方向偏离三维控制网坐标系z 轴的量。 垂差在x 轴和】，轴上分量用& 刀表示，其主要是由地球弯曲引起的，这部分值 可以正确的计算出来；其次是各个测站铅垂线的不规则性，由于大气层的、海 洋的、固体地球地面的和地球内部的质量转移和地球密度变化形成的外力和内 力，以及月亮和太阳的潮汐力对地面点垂线方向的影响，引起地球表面重力方 向不一致，造成垂差的无规则性，这部分垂差，在文献n 3 1 中有详细的计算公式， 但在工程三维控制网中，由于涉及的范围较小，重力资料不全，很难正确计算， 因此平差时一般把这部分垂差作为未知参数来一起求解。仅顾及地球曲率时的 测站点的垂差近似值计算公式为： c a o ，= 詈 c 气= 8 0 fc o s 瓦= 等c o s t o i ( 2 2 一1 ) 几 c = 屯s i n t o ，= 等s i n t o f 式中，疋，和乃，是测站点至工程三维控制网坐标系原点o 的边长和方位角，尺 为地球平均半径，p 为常数等于2 0 6 2 6 5 。 如果测区内可以用天文水准测量的方法直接测出各控制点铅垂线与坐标系 z 轴之间的夹角即垂差，那么垂差可以作为常量直接进行平差计算。当测区内 有国家重力和天文等资料可以利用时，可首先查出控制网中各点( 包括控制网 原点) 在国家坐标系中的垂线偏差分量t 、r ；，然后按下式可以计算各点在工 程三维控制网坐标系中垂线偏差分量占，”、r ；”为： 毛”2 乞。c o s 口+ r i s i n 口( 2 - 2 - 2 ) r i = - 6 i s i n a + r i c o s 口 式中，口为工程三维控制网坐标系中x 轴的大地方位角。然后按下式计算工程 三维控制网坐标系中测站点只的垂差分量毛、r i ： c 乞= q 一岛”+ p ”= c o s t o f 【 ( 2 2 3 ) c r f = - 1 o ”+ 尸”= 警s i n t o f 式中，氏、r 。”是工程三维控制网坐标系原点的在此坐标系中的垂线偏差分量。 那么，可以根据式( 2 - 2 - 3 ) 精确计算工程三维控制网中各测站点的垂差分量 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 占，、r ，作为已知量进入误差方程进行平差计算。 2 、未知点近似坐标的计算 根据观测量的不同，未知点近似坐标可以按以下三种情况进行计算： ( 1 ) 观测了水平方向、天项距和斜距三类观测值的计算公式 足 图2 - 2 边角三维网未知点近似坐标计算原理示意图 图2 - 2 中，只、p 为已知点或者由己知点已经推算出其近似坐标，只为未 知点。在点只、p ，分别架设仪器照准只，测量了斜距、s 雎、天顶距以、a 肚 和水平方向观测值厶、乞、三雎、工矿则圪、巳边方位角的推算公式为： y 一y 毛= a r c t a n 号争，= 乃+ 1 8 0 ” a j 一。、i 瓦= 乃+ 三谴一厶， ( 2 2 4 ) t t = t i t 七l 沁一l t 参考式( 2 - 1 5 ) ，由测站点只计算只点的近似坐标为： x k = x i + s 啦s i n a i k c o s t 赴+ s i s 诖【c o s a 谁 k = z + & s i n 以s i n 瓦+ 7 i s i kc o s 以 ( 2 2 5 ) z k = z i + s 激c o sa 诤【一se s 彘s i na i kc o s t 傲一r i s i ks i na i ks i n t 彘+ t i v k 式中，量、碾为在测站点的垂差分量，可由式( 2 2 1 ) 计算其近似值或由式 ( 2 - 2 - 3 ) 计算其精确值；t 、v k 分别为测站仪器高和照准点目标高。 式( 2 - 2 - 5 ) 是仪器架设在已知点上，通过极坐标方法求得目标点近似坐标 的计算公式。如果仪器架设在未知坐标点照准已知点，那么就要用边角后方交 会的方法求解未知点近似坐标。在未知点只架设仪器分别照准已知点、只， 测量了斜距、s 矿天顶距如、如和水平方向观测值k 、l 厨。则由余弦定 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 理得，讧只在腰平面的投影角为： 掣铲一s 铲( 2 - 2 - 6 ) 式中，d 表示平距，岛= ( 一置) 2 + ( 巧一】j ：) 2 、巩= 既s i n 气、d 灯= 毛s i n 如。 那么，可以计算，边的方位角为： e v 乃= a r c t a n 君专( 2 - 2 - 7 ) 死= 乙一饵只只1 8 0 0 这样未知点最近似坐标计算公式为： x k = x t 一嫡n s i na b c o s t h + k s 畦c o sa 0 k = 鬈一( & s i n 以s i n 死+ r h c o s 如) ( 2 2 8 ) 乙= z f 一( & c o s 如一毛s k is i n 如c o s 毛一仇& s i n 如s i n 咒+ 一y i ) 式中，、仇为在测站点忍的垂差分量，由于忍点为未知点，不能由式( 2 2 一1 ) 直接计算出来。由于垂差分量& 、仇一般值很小，对近似坐标的计算影响很小， 可以取吼= 玑= 0 ；或者先令& = 仇= 0 按式( 2 2 8 ) 计算测站点的坐标，然 后再按式( 2 2 一1 ) 计算测站点只垂差分量& 、仇。 ( 2 ) 不测天顶距，以斜距和水平方向表示的计算公式 图2 2 中，在已知点、尸，架设仪器照准最点只测了斜距& 、s 肚和水平 方向观测值厶、岛、 三肚、，f ，则由已知点只、e 的坐标 ( 置、誓、z ，) 、( x ，、巧、z ，) ，可按下列公式计算未知点最的坐标。 设e 、只只边的水平距离分别为d 、d 砖，则 。d 驴= 4 ( x ，一x r ) 2 + ( 1 一r ) 2 ns i n ( l 肚一u ( 2 2 9 ) d i k 却矿面乒毒茸与 那么可以计算在测站只的天顶距a 业： 铲一n 等 式中，正负号再由弓点推算只点，由两边校核确定。 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 然后可以根据式( 2 - 2 1 0 ) 计算测站至目标点丑天顶距，以及按式 ( 2 2 - 4 ) 计算的边霉丑的方位角，按上节中式( 2 2 5 ) 的方法求得未知点只的 近似坐标。 ( 3 ) 只测斜距的计算公式 只测斜距时的近似坐标计算原理如下图2 3 所示。图2 3 中昂易b 、只 为已知点，点只为未知点，一般情况至少需要观测四条斜距边长，才能唯一地 确定尸点的坐标。 b ( x 2 、 只( x 3 、 z ) 图2 3 测边网禾知点近似坐标计算原理不蒽图 由图2 - 3 可知，斜距各边与两端点坐标的函数关系为： s i 2 , - - ( z 一墨) 2 + ( 】，一x ) 2 + ( z z 1 ) 2 s i 2 2 = ( x 一五) 2 + ( y 一艺) 2 + ( z z j ) 2 = ( x 一墨) 2 + ( y 一匕) 2 + ( z z 3 ) 2 - - ( x 一五) 2 + ( j ，一e ) 2 + ( z z 4 ) 2 由式( 2 - 2 - 1 1 ) 分别减去式( 2 - 2 1 2 ) 、式( 2 - 2 - 1 3 ) 、式( 2 2 - 1 4 ) 得未 知点坐标( 瓜y 、z ) 的三元一次方程组为： 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 x ( x 2 一五) + h 蔓一x ) + z ( z 2 一互) = 芝1 ( 鼍。一s ：) 一皤+ 彳+ 彳) + ( z + 垮+ 乏) 】 x ( x 3 一五) + h k x ) + z ( z 3 一z 1 ) = 争( 品一鼍，) 一( 矸+ 彳+ z 2 ) + ( 髯+ 蜉+ 芎) 】 。h 五一五) + h k 一写) + z ( z 4 一互) = 三 ( 品一s ：4 ) 一( 膏+ 彳+ 彳) + ( 鬈+ 坪+ 乏) 】 ( 2 2 1 5 ) 由式( 2 - 2 - 1 5 ) 可以解算未知点p 的坐标( x 、】，、z ) ，且坐标值有唯一解。 2 2 2 误差方程式的开列 工程三维控制网按间接平差方法平差，首先要列出网中各类观测量的误差 方程式，为此必须找出各观测量与未知参数之间的关系式。一般推导观测量的 误差方程，首先将观测量如斜距、天项距、水平方向观测值进行改正，如文献 n “1 5 1 6 1 中的三类观测量的误差方程都是在经过改正后的基础上推导的。对观测 量进行改正，主要有以下两种方法：一种是把以测站仪器中心和目标反光镜中 心的原始观测数据，归算到以标石为中心的观测值，此项改正水平方向观测值 不受影响，主要是天项距和斜距要归算。如图2