（固体力学专业论文）波激海洋平台与风激高层建筑的非线性随机最优控制.pdf

浙江人学博1 ：学位论文摘要 摘要 本论文简述了现代土木工程结构控制中的若干问题，介绍了拟h a m i l t o n 系 统随机平均法、随机动态规划原理及拟h a m i l t o n 系统非线性随机最优控制策略， 并在此基础上，应用拟h a m i l t o n 系统非线性随机最优控制策略研究了波浪力作 用下海洋平台振动的非线性随机最优控制、风作用下高层建筑部分可观测的非线 性随机最优控制，以及应用m r e r 阻尼器的高层建筑的风致振动的非线性随机 最优半主动控制。与l q g 控制策略的比较结果表明，拟h a m i l t o n 系统非线性随 机最优控制策略性能比l q g 性能好( 控制效果好，控制效率高，等等) 。对于应 用m r e r 阻尼器的非线性随机最优半主动控制策略，如果参数选取适当，m r e r 阻尼器能完全实现由非线性最优控制策略所确定的最优控制力，其性能优于截断 l q g 半主动控制策略。 关键词：随机平均法，随机动态规划，随机最优控制，波浪力，海洋平台 风载荷，高层建筑，m r e r 阻尼器，半主动控制 浙江大学博i j 学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t s e v e r a lp r o b l e m si ns t r u c t u r a lc o n t r o lo fm o d e mc i v i le n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa r e s u m m a r i z e d t h e n ，t h es t o c h a s t i ca v e r a g i n gf o rq u a s i h a m i l t o ns y s t e m ，s t o c h a s t i c d y n a m i c sp r o g r a m m i n gp r i n c i p l ea n d t h en o n l i n e a rs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g y f o rq u a s i h a m i l t o ns y s t e ma r ei n t r o d u c e d t h en o n l i n e a rs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l s t r a t e g yf o rq u a s i i n t e g r a b l eh a m i l t o ns y s t e m si su s e dt os t u d yt h ev i b r a t i o nc o n t r o l o fo f f s h o r ep l a t f o r ms t r u c t u r e su n d e rw a v el o a d i n g ，o ft a l lb u i l d i n gs t r u c t u r e su n d e r w i n dl o a d i n gw i t hp a r t i a l l yo b s e r v a b l ei n f o r m a t i o na n do ft a l l b u i l d i n gs t r u c t u r e s u n d e rw i n dl o a d i n gb yu s i n gs e m i a c t i v ec o n t r o lw i t hm r e rd a m p e r s c o m p a r i s o n w i m l q g c o n t r o ls t r a t e g ys h o w st h a tt h en o n l i n e a rs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o ls t r a t e g y f o rq u a s i h a m i l t o ns y s t e m si sb e t t e rt h a nl q oc o n t r o ls t r a t e g yi nt e r m so fc o n t r o l e f f e c t i v e n e s sa n dc o n t r o le f f i c i e n c y f o rt h ep r o p o s e ds e m i a c t i v es t o c h a s t i co p t i m a l c o n t r o ls t r a t e g yu s i n gm r e rd a m p e r s ，i fc e r t a i nc o n d i t i o n sa l es a t i s f i e d ，m 1 u e r d a m p e r sc a nf u l l yp r o d u c et h er e q u i r e do p t i m a lc o n t r o lf o r c e sw i t h o u tc l i p p i n g ，a n d i t sp e r f o r m a n c ei ss u p e r i o rt ot h a to f c l i p p e dl q g s e m i a c t i v ec o n t r o ls t r a t e g y k e y w o r d s ：s t o c h a s t i ca v e r a g i n gm e t h o df o rq u a s i h a m i l t o ns y s t e m ，s t o c h a s t i c d y n a m i cp r o g r a m m i n g ，s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l ，w a v el o a d i n g ，o f f s h o r ep l a t f o r m s t r u c t u r e s ，w i n dl o a d i n g ，t a l lb u i l d i n gs t r u c t u r e s ，m r e rd a m p e r , s e m i - a c t i v e c o n t r o l u 学号j 0 1 0 8 0 0 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝垄盘堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名= 呷啾 签字眦柳平年，月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝 江盘堂有关保留、使用学位论文的舰定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝江盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 呷峨 签字日期：7 一f 年( 月c 7 日 、。 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 蓉吁，! = 芬 翩虢杯l k 签字日期：伊卅年r 月】) 日 电话： 邮编： 浙江人学蚺l 。学位论义 第一章绪论 土木工程结构，如建筑和桥梁结构，大多和我们的日常生活密切相关。通 常在这些土木工程结构的设计中主要考虑静载荷，但实际上这些结构在其寿命期 中还要承受各种各样的动载荷，例如强风、地震及海浪等。这些动载荷引起结构 的振动，会导致结构部件损坏，影响结构内部仪器和设备的正常工作，剐于民用 建筑还会影响人的舒适度，严重的还可能会导致整体结构破坏。传统的结构减振 策略是依靠结构本身的性能抵御各种动载荷的作用，即由结构的强度、刚度、变 形性能及耗能性能，来满足结构减振的要求。由于人们尚不能准确地确定结构在 未来可能遭遇的动载荷的强度与特性，而按传统方法设计和建造的结构不具备自 我调节能力，因此很有可能不满足安全性和功能性的要求；另一方面，随着城市 建设的发展和科学技术的进步，结构正在向高层、高耸、大跨度及轻质高强方向 发展，从而导致结构刚度和阻尼大大下降，在各种动载荷的作用下结构的振动增 大，使得传统结构更加不能满足安全性和舒适性的要求。合理有效的降低结构振 动的途径是在主结构上附加适当的控制系统，产生控制力来减小主结构的振动， 这种方法称为结构振动控制或简称为结构控制 1 。自1 9 7 2 年y a o 2 教授首次 提出土木工程主动结构控制以来，结构控制在土木工程领域迅速发展，吸引了许 多研究人员的兴趣和关注，并且取得了很大的成就 1 。 1 1 结构控制分类 迄今为止，控制装置可分为三类，分别对应三种不同控制策略( 见图卜1 ) 。 第一类为被动控制装置，它是不可控的，不需要外部能量。第二类为主动控制装 置，它是可控的，但需要相当大的外部能量。第三类为半主动控制装置，它具有 被动与主动控制装置两者的优点，它是可控制，又仅需要很少外部能量 1 。 1 1 1 被动控制策略 被动控制策略的目的在于耗散或转移外部动载荷的能量，或将结构t j 动载 荷隔离。被动控制装置包括金属屈服阻尼器 3 、摩擦阻尼器 4 、粘弹性蛆尼器 5 ，6 、粘性液体阻尼器 7 、调谐质量阻尼器 8 ，9 和调谐液体阻尼器 1 【】1 1 ， 等等。被动控制装置不需外部能量，具有内在的稳定性，并且设计与建造简咀， 浙旺人学f 【l f 学位论文第一尊绪论 因此它在工程实际中应用最广。然而，被动控制装罱只被设计来控制结构在特定 被动控制策略主动控制策略 、 被动控制装置 不可控、无需外部能源 、 主动控制装置 可控、大量外部能源 半主动控制策略 图l 一1 结构控制分类 的外部动载荷下的振动，因而只有对特定的结构在特定的动载荷下，被动控制装 置的性能才是最优的，在其它情形下其性能则要降低，甚至根本没有控制作用。 例如，若某个被动控制装置设计来减小结构第一模态的振动，那么它对于第二或 更高阶模态振动则可能不是最优的。正因如此，被动控制的应用也存在很大的局 限性 1 。 1 1 2 主动控制策略 主动控制是直接对受控结构旌加主动的控制力以消除外部动载荷对结构的 作用。主动控制装置利用结构在外部荷载作用下的整体响应与或外部动载荷的 相关信息及一定的控制策略确定控制力，因此它能控制各阶模态以及各种外部动 载荷作用下结构的动态响应，其性能也优于利用局部响应来确定控制力的被动控 制装置的性能 1 ，1 2 。例如被动调谐质量阻尼器只能利用其在结构所处位置( 一 般为结构顶部) 的响应来确定控制力，而主动控制则是利用测量到的结构整体响 应与或外部动载荷的相关信息，并根据一定的控制策略来确定控制力。主动控 制不足之处在于它需要相当大的外部能源来产生控制力，并且需要传感器与作动 器等设备，其结构比被动控制装置复杂，从而相对不稳定。例如在恶劣的环境( 如 强风，强震) 条件下，外部能源可能会被破坏，主动控制系统就不能提供所需的 控制力而失效，因此主动控制实际工程应用也受到很大限制。 浙江大学博 ：学位论文第一章绪论 1 1 3 半主动控制策略 半主动控制装置为目前研究的重要内容，它同时具有被动与主动控制装置两 者的优点。半主动控制策略与主动控制策略类似，只是作动器的控制力并不直接 作用于结构，而是用于修改被动控制装置的特性，进而改变主结构的动力学特性， 以达到振动控制的目的。因此，半主动控制也称为交结构控制，即变刚度和变阻 尼控制。由此可见，半主动控制只能产生耗散控制力，它不仅具有被动控制内在 的稳定性，而其控制性能可与主动控制相近，并且由于其操作仅需少量能量( 其 所需的外部能量远小于主动控制所需的外部能量) ，即使在恶劣的自然环境条件 下也不会因为外部能源破坏而失效，因此具有广阔的应用前景，引起国内外学者 的广泛关注 1 ，1 3 一- 1 7 。 1 2 结构控制算法 考虑n 自由度集中质量一弹簧一阻尼受控系统，系统运动的微分方程为： m 妒( f ) + c y ( t ) + k y ( t ) = d u f f ) + e f ( t ) ( 1 2 - 1 ) 式中m ，c ，k ：n n 阶系统质量、阻尼和刚度矩阵； y ( r ) ：维位移向量： f ( t )：s 维扰动向量： u ( t ) ：m 维控制力向量； d：n m 阶控制力位置矩阵； e：s 阶外扰力位置矩阵。 通常情况下，控制力u 为位移x 、速度文及外载荷f ( f ) 的函数，可取如下 形式： u = f ( x ，文，f ( f ) 1 ( 1 2 - 2 ) 为叙述简单起见，取控制力u 为位移x 、速度文及外载荷v ( t ) 的线性函数，即： u = k l x + c l 文+ e l f ( f ) ( 1 2 - 3 ) 式中k 。，c ，和e 。为相应的控制增益阵。将式( 1 _ 2 3 ) 代入( 1 2 - 1 ) ，整理可得 浙江大学博 ：学位论文 第章绪论 m j t + ( c - d c ，) x + ( k - d k l ) x = ( e + d e l ) f ( f ) ( 1 2 4 ) 式中i 为n x n 单位阵。由式( 1 2 - 4 ) 可见，d k 。x + d c 文是对结构力学特性 的修改，而d e f ( f ) 则是对外扰力的特性的修改。主动控制设计的目的在于选择 适当的控制算法，确定控制增益阵k ，c 。及e 。，使得系统性能满足一定的要求。 控制算法的好坏将直接影响受控系统的性能，因此结构控制算法的研究是结构控 制研究的主要内容 1 。迄今，控制工程中已经有许多成熟的控制理论，目前应 用于土木工程结构的控制算法主要有确定性最优控制算法、瞬时最优控制算法、 极点配置法、h ：m 。控制算法、滑动模态控制算法及随机最优控制算法，等等。 现代控制系统理论基本上都是在状态空间中发展起来的 1 2 ，因此在控制设 计前，首先必须将土木工程中描述动态系统运动的二阶微分方程( 1 2 - 1 ) 转换 为相应的状态方程 1 2 ： 妁= a x ( ) + b u ( ) + s m ； ( 1 2 - 5 ) x ( o ) = x o 式中x ( t ) = y r ( f ) ，7 ( r ) 7 ，为2 n 维状态向量： a = 一0 。k 一0 。c ，b = e n 。l o ，s = m 0 。e c ，z 。， 分别为2 n 2 n 阶系统矩阵、2 n m 阶控制器位置矩阵及2 n s 阶外扰力位置矩 阵。0 表示零矩阵。 1 2 1 最优控制算法 最优控制算法的基本思想在于选取控制力向量u ( f ) ，在受控系统在满足其状 态方程及其它约束( 不等式或等式约束) 条件下，使得某一选定的性能指标为最 小，即在满足方程( 1 2 5 ) 的条件下，使得以下有限时间区间的性能指标( 或 成本泛函) 1 8 ： j ( u ) = f ，( x ( f ) ，u ( f ) ，f ) 加+ 烈x ( f ，) ( 1 2 - 7 ) 为最小。式中( x ( r ) ，t r ( t ) ，r ) 称为流动成本，g x ( rr ) 】称为终时成本。式( 1 2 7 ) 性能指标称为b o l z a 型：若只考虑流动成本，不考虑终时成本，则称为l a g r a n g e 浙江大学博士学位论文第一章绪论 型；若只考虑终时成本，即为m a y e r 型。解决最优控制问题的两个主要方法为 p o n t r y a g i n 的极大值原理和b e l l m a n 的动态规划原理 1 8 。若成本函数取为状态 和控制力的二次型，即 三( x o ) ，u ( f ) ，t ) = x 7 0 ) q x o ) + u 7 ( t ) r u ( t ) ( 1 2 - 8 ) 式中，q 为2 n x 2 n 半正定对称状态加权矩阵，r 为m m 正定对称控制加权矩 阵，此时最优控制为经典最优控制( l q r ) 。对于闭环控制，最优控制力为： u ( f ) 一三r “脚x ( 1 2 - 9 ) 式中矩阵v ( t ) 由如下r i c c a t i 方程确定： 争( ，) + p ( f ) a 一三p b r - i b r p ( f ) + a 7 p ( f ) + 2 q = o ； p ( t i ) 2 0 经典线性最优控制至今被大量研究，并应用于土木工程结构的振动控制 1 2 ，1 9 ： y a n g 等 2 0 3 提出性能指标中包含结构绝对加速度响应的广义线性最优控制，其 流动成本函数为： l = x t ( ，) q x ( f ) + u 7 ( t ) r u ( t ) + y r q 。， 式中妒为绝对加速度向量。y a n g 等 2 1 和h g r a w a l 等 2 2 将成本函数取为如下多 项式形式： 式中 女 工= x 7 ( r ) q x ( f ) + u 7 ( f ) r u ( r ) + ( x 7 m ，x ) 卜1 ( x q 。x ) + 万( x ) ( 1 2 - 1 2 ) i 万( x ) = 【( x 7 m 。x ) 。一1 x 7 m b r 一1 8 7 【( x 7 m ，x ) 。一1 x 7 m ，】 f _ 2i _ 2 而q ，q ，( f - 2 ，3 ，尼) 为半正定状态权矩阵；r 为正定控制权矩阵 m ，( f - 2 ，3 ，女) 为正定矩阵。q ，q 及r 为任意给定，而m ，由下面l y a p u n o v 方 程确定： m 。( a - b r “b 7 p ) 一( a b r 1 8 7 p ) m 。+ q ，= 0 浙江大学博士学位论文笫一章绪论 式中矩阵p 由下列r i c c a t i 方程确定 p a + a 7 p p b r 1 8 7 p + q = 0 ( 1 2 - 1 5 ) 应用动态规划原理，可得最优控制力为 k u ( f ) = 一r 一1 b p x r 一1 8 7 ( x 7 m f x ) 。一m ，x f = 2 这种最优控制称为最优多项式控制。 1 2 2 瞬时最优控制 在上述最优控制理论中，其性能指标为在时间段 0 ，f ，】内的积分。由于外部 动载荷的随机性，其信息不可能预测，因此上述最优控制的开环和开一闭环控制 不可能实现 1 2 。为此，y a n g 2 3 提出了瞬时最优控制，其性能指标为在所考虑 时刻r 的状态x ( t ) 和控制力u q ) 的函数，即： 引入变换 j o ) = x 7 ( 0 q x ( t ) + u 7 ( t ) r u ( t ) x ( t ) = t z ( t ) 其中t 为2 n x 2 n 模态矩阵，其列向量为系统矩阵a 的特征向量。则方程( 1 2 - 5 ) 可化为如下解藕形式 z ( t ) = z ( f ) + q ( r ) ；z ( o ) = z o 式中a = t _ 。a t 为2 n x 2 n 阶对角矩阵，其对角元为与t 的列相对应的系统矩阵 a 的特征值；并且 q ( t ) = t “ b u ( t ) + h f ( ，) ( 1 2 - 2 0 ) 方程( 1 2 - 1 9 ) 的解可写成 z 0 ) = e x p a ( t r ) q ( r ) d r 对于较小时间间隔& ，方程( 1 2 - 2 1 ) 可表示成 一出 。 z ( 0 2j ：e x p a ( t f ) q ( f ) d r + - z u e x p a ( t f ) 】q ( f ) d f 兰e a 山z ( t 一f ) + 去扣“址q ( f 一，) + q ( f ) 由方程( 1 2 1 8 ) 、( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 2 2 ) 可得 ( 1 2 2 2 ) 浙江大学博士学位论文 第一帝鳍论 x ( ，) = t d ( f 一f ) + i 1 ， b u ( r ) + h f ( r ) 式中 d o 一f ) = e 旭t 一1 z ( f a t ) 一昙 b u o 一r ) + h f ( f 一f ) 这样，瞬时最优控制问题即为在方程( 1 2 - 2 3 ) 的约束条件下，寻求控制力u ( t ) ， 使得方程( 1 2 - 1 7 ) 所指定的性能指标最小。对于闭环控制，瞬时最优控制力为 u ( r ) 一等r _ 1 8 7 q z ( r ) ( 1 2 _ 2 5 ) 对于开环控制，最优控制力为 u ( r ) = 一等( r + 等b r q b ) - 官q t d ( f 圳+ 等h f ( f ) 】 对于开闭环控制控制，最优控制力为 u ( f ) ：a 。tr 一1 8 1 p ( f ) z ( ，) + p 0 ) 】； 斗 ( 1 2 - 2 7 ) p ( f ) 一( i + 等q b r - b r ) ，p ( f ) - p ( f ) t d ( 卜+ 等h 即) 瞬时最优控制策略因为能利用瞬时激励信息实现开环和开一闭环控制而在土 木工程控制中应用也受到广泛关注。例如，y a n g 等 2 3 给出了地震激励下瞬时 最优控制三种控制律的表达式，随后y a n g 等 2 4 ，2 5 又将其推广至非线性和滞迟 系统地震响应的控制，n a g a r a j a i a h 等 2 6 等利用绝对加速度反馈的瞬时最优控 制研究桥梁振动控制，等等。 1 2 3 极点配置法 考虑系统( 1 2 5 ) ，其系统矩阵a 的特征值绣与原系统( 1 2 - 1 ) 的模态频 率q 及模态阻尼比之间的存在如下关系： q j = 弧她j 谣，j = 五 可见，吼的取值反映了系统的动力学特性。对于闭环控制系统，假定控制力为 u ( f ) = g z ( t ) ( 1 2 - 2 9 ) 式中g 为控制增益阵。将式( 1 - 2 2 9 ) 代入方程( 1 2 5 ) ，得闭环控制系统为 i o ) = ( a + b g ) x ( t ) + h f ( t ) ( 1 2 3 0 ) 浙江大学博e 学位论文第一章绪论 若记闭环系统矩阵a + b g 的特征值为屈，它的值就反映了闭环控制系统的动力 学特性。极点配置算法的思想在于选择合适的控制增益阵g ，使得闭环系统矩阵 a + b g 的特征值屈为预先设定的值 1 2 。a b d e l r o h m a n 等 2 7 和m a r t i n 等 2 8 的研究表明，若系统响应仅由少数主模态确定，极点配置法是有效的；l e i p h o l z 和a b d e l r o h m a n 2 9 给出了状态反馈与输出反馈两种情形控制增益阵的确定方 法。c h a n g 等 3 0 研究了单自由度系统最优极点配置法，并用独立模态控制法将 它推广于多自由度系统。 1 2 4 h ，h 。控制算法 如图( 卜2 ) 所示，g 为系统传递函数，k 为 控制器传递函数，w ( t ) 外激励，u ( t ) 为控制输入， z ( 0 为所要控制的系统响应，y ( f ) 为系统输出。 h ：h 。控制算法的任务在于寻找k ，使得从w ( t ) 到 z ( ，) 的闭环传递函数g 。的h 2 h 。范数最小。图1 - 2 控制系统框图 对于稳定的传递函数h ，h 2 h 。范数的定义由b o y d 和b a r r a t 3 1 给出，其 中h ：定义为 l i h l l ：= r r 盯c e 畦h ( ，) h + ( 知，) d 】( 1 2 - 3 1 ) 丽h 。的定义为 恻l = s u p 盯 【h ( s ) 】 ( 1 2 - 3 2 ) 坤( j 1 o 式中s u p 表示上确界，p 表示j 的实部，盯( ) 表示最大奇异值向量运算符。 文献 3 2 已给出h 2 h 。控制算法。h ：h 。控制策略在土木工程领域也受到 极大关注。s u h a r d j o 等 3 3 研究了建筑结构风振响应的h ：控制问题，随后 s p e n c e r 等 3 4 研究了土木工程结构地震响应的h 2 h 。控制，a n k i r e d d i 和 y a n g 3 5 利用h ：研究了建筑结构的风致振动有约束的控制问题，等等。 浙江大学博j ：学位论文 箱一章绪论 1 2 5 滑动模态控制 滑动模态控制是应用变结构理论 3 6 对结构振动进行控制的一种有效的方 法，其核心思想是确定控制律，使得在该控制作用下系统的运动轨迹趋于滑动面， 随之维持在滑动面上，在此滑动面上系统的运动是稳定的。可见滑动模态控制首 先必须确定滑动面。滑动面可以表示为 3 7 s ( t ) = p x ( t ) 式中s = s i ，岛，s r 为，维向量：s i 为第i 个滑动变量；矩阵p 称为， 维滑动 面系数阵。利用极点配置法和l q r 方法可确定p 3 8 ，3 9 。系统轨迹界定在滑动 面内的充分条件是 s = o ：s = 0( i 2 - 3 4 ) 滑动面确定后，可应用l y a p u n o v 直接法求解控制律。构造如- v l y a p u n o v 函数： 矿( f ) = 三s 7 ( ，) s ( f ) ( 1 23 5 ) 则滑动模态控制律的选取应使得 旷( f ) = s r ( f ) 宣( r ) 0 ( 1 23 6 ) 由( 1 2 5 ) 、( 1 2 - 3 5 ) 及( 1 2 - 3 6 ) 可得 矿( r ) = 丑( u ( f ) 一g ( r ) ) = ( u ( r ) 一g ( r ) ) = v a t ) ( i 2 - 3 7 ) 其中九为m 维行向量，g ( f ) 是m 维列向量，它们的第f 个元素分别为五和g ，( f ) ； u ( ，) 是第f 个控制力，且 九= s r ( ，) p b ；6 ( t ) = 一( p b ) “p ( a x ( t ) + h f ( t ) ) ( 1 2 - 3 8 ) 这样滑动模态控制律为 u ( f ) = g f ( f ) 一丑巧 ( 1 2 3 9 ) 式中点为滑动余量。如果结构在无控状态下就是稳定的，则滑动模态控制律为 ( f ) = 口，c a t ) 一丑4 ( 1 2 - 4 0 ) 式中0 矾l 。滑动模态控制算法也已被广泛用于土木工程结构的地震 4 0 和风 浙江大学博二e 学位论文 鹅一章绪论 振响应的控制 3 9 。 1 2 6 随机最优控制 由于土木工程所受的外激励如风、地震、海浪等都是随机的，因此结构控制 设计也需应用随机最优控制理论 1 8 ，4 1 ，4 2 。随机最优控制理论的思想与确定最 优控制类似，只是对随机最优控制而言，受控系统的状态与控制力皆为随机过程， 因此性能指标应取为原性能指标的数学期望，即 ，c u ，= e 了上c x c 嘎u 。，r ，出+ g c x c ，r ， 式中上和g 为给定函数，意义与确定性最优控制类似。与确定性最优控制类似， 随机最优控制的性能指标也分为b o l z a 、l a g r a n g e 和m a y e r 型。对于长时问后能 达到平稳遍历状态的系统在半无限时间区间上的最优控制，称为遍历控制，可考 虑如下平均性能指标： f ， j ( u ) - l i r a 。p ( x ( f ) ，u ( f ) ，o a t 0 随机最优控制研究和应用最多的是线性二次高斯( l q g ) 控制 4 1 ，4 2 ，其性能指 标为 删) 妪 f ，( x 埝+ u 7 r u ) d t + x 7 竹) q r x ( ( 12 - 4 3 ) 对于闭环控制，最优控制力为 u ( ) 一三r 。即) x 式中矩阵p ( t ) 由如下r f c f f 方程确定： p ( f ) + p ( f ) a 1 2 p b r 一1 8 7 p ( ，) 十a 7 p ( f ) + 2 q = o ； p ( t i ) = 0 最近，z h u 等 4 2 ，4 3 ，4 4 提出基于拟h a m i l t o n 系统随机平均法 4 2 ，4 5 ，4 6 和随 机动态规划原理的拟h a m i l t o n 系统的非线性随机最优控制策略。它包含如下步 骤：首先将受控的动态系统表示成拟h a m i l t o n 系统；然后在控制力未确定的情 况下，应用拟h a m i i r o n 系统随机平均法，对系统进行部分平均，保持包含控制 力的项不变，得出关于系统首次积分的i t 6 微分方程；再对平均后的i t 6 微分方程 0 浙江大学博士学位论文 第一帝绪论 应用随机动态规划原理，确定最优控制力；最后对系统首次积分的i t 6 微分方程 中包含最优控制力的项进行完全平均，可得系统首次积分完全平均的i t j 微分方 程，求解与此i t 6 微分方程相对应的简化f p k 方程，可得首次积分的稳态概率密 度，最终可以得出关于系统响应的统计量。拟h a m i l t o n 系统随机最优控制策略 具有许多优点，随机平均的应用使得动态规划方程简化、维数降低，使原来退化 的动态规划方程变成非退化，从而有古典解，控制前后系统的随机响应可通过求 解f p k 方程获得，并且非线性随机最优控制比l q g 控制的效果好、效率高 4 2 ，4 7 。 1 3 系统模型降阶 现代大型土木工程结构，例如高层建筑和大跨桥梁等，往往具有很大的自由 度。对大自由度的系统反馈控制器不容易设计，并且大多数控制算法只有对小自 由度的结构性能良好，而且控制器的成本和复杂性随着受控对象的自由度的增大 而显著增加。因此在设计高阶结构系统的控制器时，首先要对原有的模型降阶而 获得低阶系统模型，然后在低阶系统模型上设计控制器，这样可以减少控制律设 计的计算量，简化控制器结构，并便于控制算法的实时实现。从高阶系统模型获 取低阶控制设计模型的过程称为模型降阶。模型降阶过程的首要要求是精度，即 要求降阶模型的动态特性与实际高阶模型的动态特性有较好的近似性，但必须同 时考虑控制器的设计 4 8 。模型降阶是现代大型土木工程结构主动控制设计的必 要环节，目前国内外学者已经提出并发展了许多模型降阶的方法，如平衡降阶法， 模态降阶法，等等。 1 3 1 平衡降阶法 1 9 8 1 年，m o o r 4 9 利用系统的可控性与可观性概念，提出平衡降阶法，即系 统的内平衡实现。设由方程( 1 2 5 ) 所描述的线性控制系统具有如下观测方程： k ( f ) = c 。x ( t ) + d 。u ( t ) + s 。f ( t ) ( 1 3 - 1 ) 式中x ( r ) 为状态向量，u ( t ) 为控制力向量，v 卅( f ) 为，维量测向量，f ( ，) 为s 维外 激向量， c 。，d 。和s 。分别为l x 2 n 、l m 和l x s 阶矩阵。为实现平衡降阶，首 先引入系统能控性格莱姆矩阵w ：与能观性格莱姆矩阵w ，其定义如下 4 9 ，5 0 ： 浙江大学博士学位论文笫一章绪论 w 2 f e x p ( a t ) b b r e x p ( a r t 冲 ( 1 3 _ 2 ) w o = f e x p ( a 7 f ) c ：c 。e x p ( a t ) d t 对于稳定的系统，令、j l j ：= o ，、配= 0 ，则其稳态的能控性矩阵w ：与能观性矩阵w o 可通过求解以下代数黎卡提方程而得 a w ，+ w j a 。+ b b l = 0 鲥w 。+ w 。a + c ：c ，= 0 13 - 2 。 ， () 所谓系统的内平衡描述是指，若引入坐标变换 x 6 ( f ) = t x ( t ) ( 1 3 - 3 ) 式中t 非奇异，则可得原系统的另一坐标下的状态空间描述 i 。( ) 2 ，。( ) + 芝u ( ) + s ，( 1 3 4 ) y ( f j 2 c 。x b ( t ) + d 。u u ) + s m f ( r ) 式中五= t a t ，豆= t b ，蠡= t s ，e 。= c 。t ，6 。= d 。和s 。= s 。此时系统的能 控性格莱姆矩阵吼与能观性格莱姆矩阵吼为 睨= t 。1 w t - t ，吼= t 。w t ( i 3 - 5 ) 若变换矩阵t 使得 喊= 睨= d i a g ( 盯l ，c r 2 ，0 2 。) ( 1 3 - 6 ) 式中仃口：，吒。为系统汉克尔奇异值，则称变换矩阵t 为平衡变换矩阵， 而方程( 1 3 - 4 ) 为系统的平衡实现。由定义可知系统汉克尔奇异值旺的大小表 示状态的能控性与能观性的大小。 系统平衡降阶法的思想在于对于系统的内平衡实现，在设计控制律时，仅 考虑能控性与能观性大的状态，而除去那些能控性与能观性小的状态。例如保留 前女个能控性与能观性大的状态，则降阶模型为 主r ( ，) 蛩x ，( r ) + b 。r u ( t ) + s r ( 1 3 - 7 ) y ( f ) = c ，x ，( r ) + d ，u ( f ) + s 。，_ 。p ) 式中x ，= h ，t ，杖】7 为降阶系统状态向量：五，豆，s ，e 。6 。和。，分别为与 浙江大学博士学位论文第一章绪论 x ，相应的a ，豆，e 。，西。和s 。的子矩阵。 1 3 2 模态降阶法及模态控制 模态降阶法乃基于模态叠加法，其主要思想在于系统或结构的振动可以在模 态空间考察，高维或无限自由度系统的振动在时间域内的振动通常可以用低阶自 由度系统在模态空间内的振动足够近似地描述。因此，若在模态空间来考虑振动 控制，只需要考虑少数对结构响应起主要作用的主模态，而忽略其它次要的模态， 这样的控制方法称为模态控制。对于由二阶微分方程组( 1 2 - i ) 所描述的受控 系统，引入模态变换 x = m q ( 1 3 - 8 ) 式中q 为n ( n n ) 阶广义位移向量；西为n x n 阶由前n 个主振型组成的主模态 矩阵，取为如下归一化形式： m 7 m 中= i ( 1 3 - 9 ) 假设结构具有经典形式阻尼矩阵，则前挖个主模态的运动方程为 q + 2 q q + q 2 q = u + m s r ( t ) q ( 0 ) = q 。 式中2 = 西7 c 西；q 2 = a i a g ( o g ) = m 7 k m ，啦为第j 个模态频率；u ：m r d u 为n 维模态控制力向量。一般而言，对于土木工程结构，振动中起主要作用的主 模态只是极少数，因此方程( 1 3 - 1 0 ) 的维数比方程( 1 2 一1 ) 的维数小得多。 基于模态降阶法的控制称为模态控制，模态控制可分为耦合模态控制和独立模态 控制两种 4 s 。 1 耦合模态控制 若第i 个模态控制力“表示为 毪= 一( q + 丸龟) ， i = l 州2 一，行 ( 1 3 - 1 1 ) s = l 式中乳和九分别为模态控制位移增益和速度增益。从式( 1 3 - 1 1 ) 可知，第i 个 模态控制力“，为所有模态位移和速度的函数，因而这种控制称为耦合控制。 2 非耦合模态控制 浙江大学博j ：学位论文 第一带绪论 若第i 个模态控制力“，表示为 u 。= 一g 。q f + 红龟 ( 1 3 - 1 2 ) 此时第i 个模态控制力仅为第i 个模态位移q 和速度龟的函数，而闭环控制系 统为完全相互独立的，因而称为独立模态控制。由于独立模态控制使得控制律的 设计变得极为简便，因此越来越受到研究者得关注【4 8 。 式( 1 3 - 1 1 ) 或( 1 3 - 1 2 ) 中的模态控制增益可以应用前面所述的任意一种 主动控制算法来确定 1 2 ，4 8 。当模态控制力确定后，实际物理控制力即可随之 确定。若m = 胛，即控制力个数与受控模态数相等，则 若m n ，则有 式中 u = l - 1 u ：l = m 7 d u = l 9 u 矿群：门r l1 ( u l ) “u ，m 1 4 控制装置 无论是被动、主动或半主动控制，其控制力都要由一定的控制装置来实现。 因此，控制装置的研究也是结构控制研究的重要内容。结构振动控制发展至今， 国内外学者已经提出各种被动、主动及半主动控制装置，土木工程中最常用的控 制装置有质量阻尼器、主动拉索控制装置等，对于建筑结构风致振动的响应控制 还有空气动力装置，以及各种半主动控制装置，等等。 1 4 1 质量阻尼器 迄今，对用质量阻尼器控制外力如强风或地震作用下高、柔结构已经作了 许多的研究，并且已在许多实际的建筑上装质量阻尼器来控制振动 1 。质量阻 尼器中应用最广一种是附加质量块。它可分为被动、主动和混合三种类型( 如图 卜3 所示) ，即被动调谐阻尼器( t m d ) ，主动质量驱动器( a m d ) 及主动调谐质量 阻尼器( a t m d ) 。被动质量阻尼器的附加质量通过弹簧与阻尼设备同主结构相连 接，主动质量驱动器的附加质量通过作动器与主结构相连接，而混合的质量阻尼 浙江大学博l ：学位论文 第一帝绪论 器附加质量块通过弹簧、阻尼设备及作动器与主结构相连接。被动调谐阻尼器的 减振原理与动力吸振器类似，若t m d 的振动频率与主结构频率调整为一致时，主 ( a ) ( b )( c ) 图1 3 被动质量阻尼系统( a ) ；主动质量驱动系统( b ) ；混合质量阻尼系统( c ) 结构的振动能量会通过弹簧转移到附加质量上，并且通过阻尼设备耗散。被动调 谐质量阻尼器减振的有效性已由m c n a m a r a 5 1 和m a h m o o d i 5 2 研究过，他们发 现，当t m d 的频率调节到与建筑结构的频率相等时，会达到最大的减振效果。 g e r g e s 和v i c k e r y 5 3 利用风洞实验研究新型非线性t m d 控制结构横风向振动的 效果，它与传统的t m d 不同之处在于它采用金属索弹簧代替典型t m d 中的弹簧于 阻尼设备，因而具有成本低，维修费用低等优点。随后，g e r g e s 等 5 4 又对其 迸行大量的参数实验研究。影响t m d 控制性能的另外的因素是t m d 的质量比、刚 度比和阻尼比。t a n a k a 5 5 则在限带白噪声激励下对t m d 的参数进行研究；x u 5 6 基于风洞实验提出高层建筑t m d 参数分析的半分析法。此外还有许多学者对被 动、混合及主动质量块阻尼器的性能进行研究 5 7 - 6 3 。质量块阻尼器的另一问 题是最大冲程问题，所谓冲程是指附加质量块阻尼器与其在主结构安装位置的相 对位移。由于物理限制，附加质量块的最大冲程不能超过实际所允许的最大位移 6 4 。 另一种质量阻尼器为液体质量阻尼器，其附加质量为液体。这种类型的质 量阻尼器通过盛在容器内的液体的激荡运动吸收结构的振动能量，并通过液体的 内阻尼、容器壁或浮游的微粒的摩擦作用和微粒的碰撞作用等耗散。两类主要的 液体阻尼器为调谐液体阻尼器( t l d ) 和调谐液体柱状阻尼器( t l c d ) 。t a m u r a 等 6 5 对四幢建筑安装t l d 前后在风作用下的响应实测表明，t l d 可使风致振动减 少高达5 0 。m o d i 等 6 6 ，6 7 在阻尼器中引入障碍物以提高t l d 阻尼器在胍致振 浙江大学博j j 学位论文 第一帝缔论 动控制的性能。b a l e n d r a 等 6 8 研究了t l d 控制塔振动的效率。x u 等 6 9 研究 了利用t l c d 和t l c m d 对结构顺风响应控制的可能性。g a o 等 7 0 研究了各种不 同u 型t l c d 和v 型t l c d 控制在谐和激励作用下结构峰值响应的有效性，指出v 型t l c d 适用于结构强风振动控制。h i t c h c o c k 等 7 1 ，7 2 研究一种t l c d 的变体 l c v a ，其固有频率不仅决定于液柱的长度，而且与其几何形状有关。c h a n gc c 7 3 指出，虽然l c v a 的性能仍比t m b 稍差，但可能跟t l c b 一样，甚至更好。h i t c h c o c k 等 7 4 利用s l c v a 和m l c v a 对6 7 米的钢框架结构的风致振动控制研究表明了 l c v a 对结构风振控制的有效性。c h a n g 7 5 对t b d 、t l c d 和t c v a 三种被动质量 阻尼器在控制风和地震作用下的性能的研究表明，t m