（信号与信息处理专业论文）图像小波压缩编码的比特分配算法的研究与实现.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 图像信息作为传递信息的媒体和手段是十分重要的。但广泛使用数字图 像还有一个主要的障碍，就是数字图像的数据量非常大，需要很多的比特数， 因而需要对图像进行压缩。所谓图像压缩就是在保证定的图像质量和满足 一定要求的前提下，减少图像原始数据量的一种过程。针对图像中存在的相 关冗余信息，采用某种方法，去除多余成分，就能实现图像的压缩。由于小 波分析具有时一频分析、多分辨率分析等优点，易与人类视觉特性相结合， 可获得较好的压缩效果，所以小波变换的方法受到人们的高度重视，出现了 各种基于小波变换的图像编码方法。 图像压缩编码的根本目的，是在给定比特率( b i t r a t e ) 下，力求使图像 失真( d i s t o r t i o n ) 达到最小。小波变换的图像压缩算法虽然是一种有效的算 法，但因为它利用了不同子带问和各个子带内部的相关性，所以复杂度比较 高，有时不能实现实时的要求，因而小波变换编码方案的有效性很大程度上 依靠比特分配，即给定的比特数必须被有效地分配在不同子带中。一种优秀 的比特分配算法可使最终的量化失真达到最小。 本课题着重研究基于小波变换的数字图像压缩编码中的比特分配问题。 由率失真理论我们知道，对于给定的码率，可以找到一种比特分配算法对小 波变换后的各个子带进行比特分配，使重建图像的失真达到最小。论文中重 点介绍了两种不同的比特分配算法的理论和具体实现的算法。这两种比特分 配算法的差别在于，第一种是在率失真曲线是下凸的情况下进行的，这种方 法算法是以率失真曲线的斜率为基础的。第二种是在任意率失真曲线的情况 下进行的，这种算法的关键是求解l a g r a n g i a n 方程。具体的压缩效果将在第 五章中给出，并将论文中的压缩效果与 p e g 、j p e g 2 0 0 0 等标准，零树编码 等其他压缩方案进行比较，得出结论。 关键词：图像压缩；比特分配；小波变换 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t a st h em e t h o do f p a s s i n gi n f o r m a t i o n ，i m a g ei n f o r m a t i o ni sv e r yi m p o r t a n t h o w e v e r , t h ep r e d o m i n a n td r a w b a c kt oa p p l yd i g i t a li m a g ei st h eb u l kd a t at h a t n e e d m a n y b i t s i no r d e rt oo v e r c o m et h a td r a w b a c k ，w em u s t c o m p r e s s t h e d i g i t a l i m a g e n l ed e f i n i t i o no fi m a g ec o m p r e s s i o ni s t h ep r o c e s s i n go fd e c r e a s i n g o r i g i n a l d a t ai nt h e p o s i t i o n o fi n s u r i n gt h e i m a g eq u a l i t y b e c a u s e o ft h e r e d u n d a n c yo fd i g i t a li m a g ed a t a ，w ec a l lc o m p r e s st h ei m a g e w a v e l e ta n a l y s i s h a v eav a r i e t yo fa d v a n t a g e s ，s ot h e r ea r cal o to fi m a g ec o m p r e s s i o nm e t h o d s b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o 珊 n 硷b a s i ca i mo fi m a g ec o m p r e s s i o ni sm i n i m i z i n gt h ed i s t o r t i o nw i t ht h e n e e d e db i t r a t e t h ei m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mi sav a l i d m e t h o d ，b u tb e c a u s ei tu s e ss u b b a n d s r e d u n d a n c y , t h ec o m p l e x i t yi ss om u c ht h a t t h e c o m p r e s s i n gp r o c e s sc o n s u m e sm u c ht i m e s ot h ee m c i e n c yo fw a v e l e t c o d i n gd e p e n d s - o nb i ta l l o c a t i o n ，t h a ti s ，d e f i n i t eb i t sm u s t b ea l l o c a t e dt oas e r i a l o f q u a n t i z a t i o n sv a l i d l y b yu s i n gk i n d so fq u a n t i z a t i o nt a b l e s ，e a c hq u a n f i z a t i o n c a l lw o r ka tk i n d so fr a t e s i naw o r d ，b i ta l l o c a t i o ni st h em e t h o d d e c i d i n gh o w t o a l l o c a t ed e f i n i t eb i t st oav a r i e t yo fs u b b a n d s ae x c e l l e n tb i ta l l o c a t i o nc a n m i n i m i z i n gt h eo v e r a l ld i s t o r t i o n n l ee m p h a s i so ft h i st h e s i si s s m d y i n gt h em e t h o d so fb “a l l o c a t i o n so f d i g i t a li m a g ec o m p r e s s i o n b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n d m a n a g i n g t o m m m u z m gt h eo v e r a l ld i s t o r t i o n w jk n o wf r o mt h er a t e d i s t o r t i o nt h e o r yt h a t t h ea i mi s g a i n a b l e i nt h et h e s i s id e s c r i b et h et h e o r i e so ft w ob i ta l l o c a t i o n m e t h o d sa n da l s o g i v e t h er e a l i z a b l e a l g o r i t h m s t h ed i f f e r e n c eo ft h et w o m e t h o d si st h a tt h ef a s ti si nt h ep o s i t i o no fc o n v e xr a t e - d i s t o r t i o na n dt h e s e c o n di si nt h ep o s i t i o no f a r b i t r a r yr a t e d i s t o r t i o nc u l v e n l er e s u l t si sg a v ei n l ec h a r a c t e rf i v e ，a n di nt h ec h a r a c t e r , ic o m p a r er e s u l t so ft h et h e s i sw i t ht h o s e o fj p e g ，j p e g 2 0 0 0 ，z r ea n da i s oc o n c l u d ef i o mt h ec o m p a r i s o no fr e s u l t s 血a t g e tf o r m t h et w ob i ta l l o c a t i o n k e yw o r d s ：i m a g ec o m p r e s s i o n ；b i ta l l o c a t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景 人类传递信息的主要媒介是语音和图像。据统计，在人类接受的信息中， 听觉信息占2 0 ，视觉信息占6 0 ，其他如味觉、触觉、嗅觉总的加起来不 过占2 0 。所以，作为传递信息的重要媒体和手段的图像信息是十分重要的。 相比模拟图像，数字图像的优点是处理精度高，处理内容丰富，可进行 复杂的非线性处理，有灵活的变通能力，一般来说只要改变软件就可以改变 处理内容。但广泛使用数字图像还有一个主要的障碍，就是数字图像的数据 量非常大，需要很多的比特数。特别是在数字图像的存储和传输时，这个问 题显得更为突出。例如，在v g a 显示中，存储分辨率为6 4 0 4 8 0 ，2 5 6 色 的- 副图像，需要3 0 7 2 0 0 字节的存储空间，若要达到每秒3 0 帧的全动态显 示要求，每秒所需的存储量为9 2 兆字节，6 0 0 兆的光盘也只能存储6 5 秒这 样的图像数据。 因而，如果图像不经过特别处理而直接存储和传输，将是不可想象的， 而这种特别处理就是图像压缩。所谓图像压缩就是在保证一定的图像质量和 满足一定要求的前提下，减少图像原始数据量的一种过程。可见图像压缩是 非常必要的，而且实际上也是可行的。这主要是由于图像中存在大量冗余的 缘故。针对图像中存在的相关冗余信息，采用某种方法，去除多余成分，就 能实现图像的压缩。 图像压缩分为无损压缩和有损压缩。其中有损压缩方案允许重建图像的 质量有所下降。但是与无损压缩相比，它的编码比特率下降了。重建图像质 量的下降可能看出来，也可能看不出来。高度的压缩率允许较大的质量下 降。有损压缩的一般结构如图1 1 所示。 堕签堡三堡盔堂堡主堂鱼迨塞 篇m 等叵困一叵日垣x l j ，l ，h ) l _ j l _ jl _ j 原始图像 兰一 ，( 研，以) 图1 1 图像编码的一般框图 映射的作用在于减少信号的动态范围，去除冗余，从而能提供有效的编 码表示。有损压缩与无损压缩技术的基本差别在于是否进行量化。经过量化， 减少了输出的符号，同时图像的部分信息也丢失了。量化的类型和级别与有 损压缩方案的编码比特率和质量密切相关。量化后得到的符号源可以用 h u f f m a n 编码或算术编码技术进行编码。 图像信号在编码和传输过程中会产生误差，尤其是在压缩编码中，产生 韵误差应在允许的范围之内。在这种情况下，保真度准则可以用来衡量编码 方法或系统质量的优劣。通常这种衡量的尺度可分为客观保真度准则和主观 保真度准则。图像质量通常有两方面的含义，一方面指图像与人们的某种目 的的符合程度。例如，美观、清晰、层次丰富、特征突出等方面的情况；另 一方面指一幅图像与参考图像之间的相似程度。例如，图像经过传输以后通 常会产生失真或遭遇干扰等，它与传输前的图像进行比较就能反映出通信系 统在图像质量方面性能的优劣。 通常使用的客观保真度准则有输入图像和输出图像的均方根误差 ( m s e ) ，峰值信噪i ：e ( p s n r ) 。 1mnr1 2 m s e = 去【，( ) 一，( 训) j ( 1 - 1 ) y = l x = l 9 气气 p s n r = 2 0 + l g ( 兰= ：- ) ( 1 2 ) 0 m s e 其中，m 、n 为图像水平和垂直方向的像素个数，亿y ) 代表原图像在 g ，y ) 处的像素，f 。( 马y ) 代表重建图像在相应点的像素值”“”a 在图像压缩的映射部分，小波变换是一种有效的方法，但因为它利用了 不同子带间和各个子带内部的相关性，所以复杂度比较高。同时因为图像压 缩编码的根本目的，是在给定比特率( b i tr a t e ) 下，力求使图像失真 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( d i s t o r t i o n ) 达到最小，所以小波变换编码方案的有效性很大程度上依靠比 特分配。比特分配算法就是决定一定比特数在不同子带中的分配的方法，一 种优秀的比特分配算法可使最终的量化失真达到最小。 1 2 静态图像压缩的研究进展 图像数据中通常含有大量的空间冗余、频谱冗余和心理视觉冗余。其中 空间冗余是由相邻像素间的关联所产生的，频谱冗余是由彩色元素间的关联 所产生的，而心理冗余则是由人类视觉系统的特点所引起的。多年来人们根 据图像的这些冗余特点，对图像的编码技术进行了比较广泛的研究，提出了 许多切实有效的图像编码方法。 1 、波形编码 它由变换编码和子带编码构成。总体上基于波形的编码技术可以分为预 测编码和基于变换的编码两类。其中预测编码是通过利用已编码的像素来预 、测当前的像素，从而减少像素间的冗余，编码时只需对当前值与预测值之间 的差值一( 也称为预测误差) 进行编码。预测编码方法分为线性预测和非线性 预测编码两种，前者也称差值脉冲编码调制法，简称d p c m 。 基于变换的图像编码技术是将空间图像信号变换到另一个称为变换域或 频域的正交矢量空间，产生一批变换系数。如果信号在空间上具有相关性， 则反映在频域上是某些特定区域内的能量较高或者是系数的分布具有一定的 规律，这样可以利用这些特点和规律对变换系数进行量化和分配比特数。基 于变换的编码一般经历变换、量化、系数重排和熵编码几个过程。变换编码 中所采用的变换通常为正交变换，这是由于正交变换矩阵是可逆的，并且逆 矩阵与转置矩阵相等，这样在解码时能够保证有解且运算方便。 由于小波分析具有时一频分析、多分辨率分析等优点，易与人类视觉特 性相结合，可获得较好的压缩效果，所以小波变换的方法受到人们的高度重 视，出现了各种基于小波变换的图像编码方法。它的基本原理是首先选择一 个合适的小波滤波器，对图像进行小波变换，然后根据变换系数的特点进行 量化，再对得到的符号流进行压缩编码形成供传输或存储的比特流。不同的 小波滤波器、量化方法和编码会得到不同的压缩方案，压缩效果也不相同。 基于小波变换的小波分析技术被认为是近年来工程应用领域中工具及方法上 的重大突破。借助小波变换，可以把图像信号分解成许多具有不同空间分辨 哈尔滨工程大学硕士学位论文 率、频率特性和方向特征的子带信号，实现低频长时特征和高频短时特征的 同时处理，使得图像信号的分解更适合于人的视觉特性和数据压缩的要求。 随着子带编码和二进小波变换快速算法的提出，掀起了基于小波变换的静止 图像编码技术研究的热潮。人们除了利用图像小波变换的频率特性进行编码 外，近年来还利用小波变换的空间压缩特性和系数分布的相似性提出了零树 小波图像编码方法。为此，m p e g - 4 中的v t c ( v i s u a lt e x t u r ec o d i n g ) 算法和 j p e g 2 0 0 0 标准的编码算法都将小波编码作为基本方法。在本论文中也采用了 小波变换做为映射方法。然而小波编码算法中至今没有得到很好解决的一个 难题是当压缩比很高时( 5 0 倍左右) 所出现的边缘模糊现象，即g i b b s 效应。 这是因为小波编码方法是在m s e 准则下工作的，而该准则不能很好刻画图像 平坦区域与边缘的差别，为了尽量避免这种边缘模糊现象，基于形态学的子 带分解编码方案也已被提出，它们在压缩比达到7 0 8 0 后仍能取得很好的视 觉效果。 2 、第二代编码技术 第二代编码技术，也称为结构编码，是指在编码时首先将图像中诸如边 界、轮廓、纹理等结构特征提取出来予以保存，解码时根据结构和参数信息 进行合成。比如，基于分割的( s e g m e n t a t i o n b a s e d ) 编码技术和基于草图( s k e t c h b a s e d ) 的编码技术都是首先从图像中抽取出相应区域的形状信息和纹理内 容( 或轮廓信息和光亮度信息) ，产生所谓的“草图”。而纹理则由原图像和 草图的差来定义，并使用波形编码技术进行编码。 第二代图像编码技术所面临的一个困难是它通常所依赖的图像分割技术 目前虽然对一些特定图像的自动分割能得到较好的效果，但对复杂环境下或 任意图像的自动分割还没有一个很完美的方法，这在一定程度上限制了第二 代图像编码技术的发展。 3 、基于分形的编码技术 与前两种编码技术不同，基于分形的图像编码方法着眼于让计算机产生 一副与原始图像相近似的分形图像，并可以用比原始图像少的多的比特数来 表示该分形图像。之所以能够这样做是由于实际图像中通常有许多部分是自 相似的，而这些自相似部分可以通过诸如变形、旋转和平移等适当的仿射变 换使得它们可以相互表达，从而可以设计出许多不同的分形结构来表示图像。 按照这种思想，分形图像编码的过程是通过对给定的图像寻找一组收缩跌射， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 使其组成的迭代函数系统的吸引子逼近给定图像，然后记录下相应参数，解 码过程是由相应参数确定迭代函数系统，经过迭代生成图像。 分形编码的最显著的特点是利用自然景物中的自相似性，即无论尺度怎 么变化，景物的任- - d , 部分都与较大的部分极其相似。这种尺度不变性在自 然界中广泛存在。分形编码法将图像表示成一个收缩函数系统的吸引子，以 任意一副图像为初始值，对收缩函数集进行迭代，即可恢复图像。 4 、面向i n t e m e t 的图像编码技术讨论 实际的数字通信线路中由于存在干扰噪声，必然引起传输误码，误码率 的高低直接影响到通信的质量，尤其在图像的传输中，情况就更为严重。因 此在设计网上传输图像的编码方案时，也要认真考虑如何尽量降低信道误码 对图像质量的影响。实际上，数字信道所产生的误码对图像质量的影响与很 多因素有关，如当误码发生在图像的信息位置上时，它可能仅会使图像的局 部发生降质，此时误码率相对较小；而当误码发生在其它与地址有关的代码 位置时，则有可能引起块的失步、丢失包等误码率很高的严重的图像降质现 象。近年来，随着i n t e m e t 和无线通信网络的迅猛发展i 噪声信道上图像传 输技术越来越受到重视，并成为当前的一个热点问题。 1 3 论文研究内容及主要完成工作 本课题设计了一个基于小波变换的数字图像压缩方案，着重研究编码中 的比特分配问题。力图实现在给定比特数下，使重建图像的失真最小。用 v i s u a lc + + 编程实现了数字图像的压缩解压缩系统，分别采用了两种量化方 法和两种比特分配算法。 论文主要完成以下工作： 第二章系统地介绍了课题中采用的图像压缩方案的核心小波变换。 阐述了小波变换的基本理论和小波滤波器的构造。给出了一种快速小波变换 的方法，在程序中就是采用这种方法实现对数字图像的去相关变换的。 第三章中给出了课题中采用的图像小波压缩系统方案，与其它图像压缩 方案相比主要的不同之处在比特分配环节。而且还分别介绍了课题中图像压 缩系统的各个部分的具体实现方法和理论基础。 第四章是本论文的核心，具体讲述了系统中采用的两种比特分配算法的 原理和实现过程。介绍了率失真原理，它是比特分配的理论基础。在这个基 哈尔滨工程大学硕士学位论文 础上，分别讨论了率失真曲线为下凸和任意时的比特数分配算法，并按照它 们分别实现了图像的压缩。 第五章将课题中图像压缩方案的解压缩结果分别与j p e g 、j p e g 2 o 、 零树编码做比较，并且将采用的量化方法和比特分配算法的不同组合得到的 结果作比较，分析后得出相应的结论。 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章小波变换理论 2 1 采用小波变换的原因 2 1 1 对图像实施变换的原因 之所以要将图像映射到变换域中进行编码，可从两个方面进行解释： 首先，常用的正交变换都是线性变换，而线性变换具有坐标旋转的作用， 这可用于去除或减小图像在空间域中的相关性。相关性的去除或减小将导致 图像在变换域中的能量分布更为集中，更有利于对系数的量化和熵编码，从 而在保证一定图像质量的条件下使压缩比得到提高。当然，变换本身并不产 生压缩作用，它只是去除原图像中的相关性，使能量集中于少数变换系数， 而使多数系数只有很少的能量。只有对这些系数的量化和高效的熵编码才能 产生压缩作用。 其次，常用变换的变换域通常就是某种频率域。因此，在变换域中可以 方便地按照图像的频率特性或人类视觉系统( h v s ) 特性对变换系数进行量 化。例如，通常的图像在频率域中表现出低通特性，人类的视觉频率响应特 性也是低通的。因而，在确定变换系数的量化方案时，就可以对较低的频率 分量采用较小的量化步长，而对较高的频率分量采用较大的量化步长，这样 引起的平均量化误差不会太大，并且由于量化误差主要集中于高频部分，大 部分是不可见的。 换言之，可以这样来理解变换：一个变换中的每个系数都是通过输入函 数和其中一个基函数之间的内积确定的。在某些意义上，这个值表示输入函 数和那个特定基函数之间的相似程度。如果基函数是正交的( 或正交归一的) ， 那么任两个基函数间的内积为零，这表明它们完全不相似。所以，图像中除 了由与一个或几个基函数相似的分量组成的系数以外，其余系数都将很小。 同样，逆变换可以看做是通过以变换系数为幅度权重的基函数加权和来 重构原始信号或图像的。所以，如果信号或图像是由与一个或少量基函数相 似的分量组成，那么只需对一些有较大幅度的项求和即可。因此其他许多项 哈尔滨工程大学硕士学位论文 都可以忽略，从而信号和图像可用少量变换系数以紧凑的方式表示。 而且如果信号和图像中感兴趣的分量与一个或少量基函数相似，那么这 些分量将对那些( 仅仅是那些) 基函数以大系数来体现，这样它们在变换中 就“容易被找到”。而且，如果一个不希望存在的分量( 噪声) 与一个或少量 基函数相似，那么它也会很容易被找到，并去掉，此时只需要简单的降低( 或 置为零) 相应的变换系数即可。 归纳起来，用与信号或图像中所期望的成分相似的基函数对该信号或图 像进行变换是有其潜在价值的。需要指出的是，瞬变分量( 如图像的边缘) 是无法与傅立叶变换或其他波状变换的基函数相似的。 2 1 2 离散余弦变换的不足 在图像处理中常用的正交变换是离散余弦变换( d c t ) ，它已被j p e g 静 止图像压缩标准采用，j p e g 已经运行了十几年，是最盛行的静止图像压缩标 准之一。经过d c t 变换的图像主要有三个特点： f 1 1 系数取值全部集中到0 值附近( 从直方图统计的意义上) ，动态范围 很小，这说明用较少的量化比特数即可表示d c t 系数。 ( 2 ) d c t 变换后图像能量集中在图像的低频部分，即d c t 图像中不为零 的系数大部分集中在一起( 左上角) ，因此可以较有效的将它们组织起来，编 码效率很高。 ( 3 ) 没有保留原图像块的精细结构，从中反映不了原图的边缘，轮廓等信 息。而且，虽然在压缩比2 0 倍以内的时候图像基本不出现可见的失真，但随 着压缩比的提高，会出现较为强烈的“块噪声”现象，而这种失真对于人眼 又是十分敏感的。 以d c t 变换为代表的常见正交变换的不足主要有以下方面： ( 1 ) 对瞬态和局部信号分量的分析存在问题。以最具代表性的傅立叶变换 为例( 余弦变换和正弦变换都可以视为傅立叶变换的特例) ，其正交基函数是 正弦信号，具有等幅振荡和无限延伸两个特征，相比之下，瞬态信号只在很 短的间隔上是非零的。同样，图像中的许多重要特征，例如边缘等，在空间 位置上都是高度局部性的。这些瞬态或局部信号分量和傅立叶变换的任何基 函数都毫无相似之处，因而不能由其变换系数紧致的表示。这就使傅立叶变 换和其他传统的基于波的交换在分析和压缩含有这类分量的信号和图像方面 哈尔滨工程大学硕士学位论文 性能不佳。 当然，傅立叶变换能够将任何解析函数，甚至很窄的瞬态信号表示为正 弦波之和。然而，这要靠若干正弦波的复杂组合才能形成一个在大部分区间 上为零的函数。这虽然使变换成为可逆，但却使函数的频谱和函数本身看起 来截然不同。 ( 2 ) 在信号或图像分析中，我们有时需要将信号在时域和频域中的特性或 图像在空域和频域中的特性结合起来进行分析。例如，我们要了解图像的哪 一部分含有较多的高频分量，或者信号的某一段频率分量分布情况等，这都 是传统变换方法所无法解决的【7 】。 2 1 ，3 小波变换的优势 为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的许多缺点，人们一直在寻 找新的方法。1 9 8 0 年法国科学家m o r l e t 首先提出了小波变换w t ( w a v e l e t t r a n s f o r m ) ，引起了许多数学家和工程师的极大关注。近十多年来 经过许多数学家和工程技术人员的努力探索，这门学科的理论基础已经建立， 并成为当前应用数学发展的一个新的领域。与傅立叶分析相比，小波变换是 时闻和频率的局域变换，能更加有效地提取信号和分析局部信号。类似于傅 立叶分析，在小波分析中也有两个重要的数学实体：“积分小波变换”和“小 波级数”。积分小波变换是基小波的某个函数的反射膨胀卷积，而小波级数是 称为小波基的一个函数，用两种很简单的运算“二进制膨胀”与“整数 平移”表示。通过这种膨胀和平移运算可以对信号进行多尺度的细致表示， 也可以对信号进行多尺度的细致的动态分析，从而能够解决傅立叶变换不能 解决的许多困难问题。利用小波变换可以一次变换整幅图像，不仅可以达到 很高的压缩比，而且不会出现j p e g 重建图像中的“方块”效应，但编码器 复杂，有潜像问题。 小波之所以小，是因为它有衰减性，即是局部非零的。而称为波，则是 因为它有波动性，即其取值呈正负相间的振荡形式。基于小波的变换称为小 波变换。由于小波在频率和空间或时间位置上都是可变的，所以具有很好的 时一频或空一频局部特性。对图像而言，其空一频空间将是三维的，因此我 们可以用一系列图像的堆叠表示其空一频特性，堆叠中的一层，对应于一个 频率分量。于是，图像中不同频率的局部分量，将出现在不同的层中。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 具体的讲，小波变换相比与传统的正交变换有以下几个方面的优点： ( 1 ) 小波变换可以把图像信号分解成许多具有不同空间分辨率、频率特性 和方向特征的分量。对这些分量同时处理，可以使图像信号的分解更适合于 人的视觉特性和数据压缩的要求。它通过平移运算对信号( 函数) 逐步进行 多尺度细化，最终达到高频处时间细化，低频处频率细化，能自动适应时频 信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅立叶变换的困难 问题。 ( 2 ) 由于小波及小波包技术可以将信号或图像分层次按小波基展开，所以 可以根据图像信号的性质以及事先给定的图像处理要求确定到底要展开到哪 一级为止。从而不仅能有效地控制计算量，满足实时处理的需要，而且可以 方便地实现通常由子频带、层次编码技术实现的累进传输编码( 即采取逐步 浮现的方式传送多媒体图像) 。这样一种工作方式在多媒体数据浏览、医学图 片远程诊断时是非常必要的。 ( 3 ) 另外，利用小波变换具有放大、缩小和平移的数学显微镜的功能，可 以方便地产生各种分辨率的图像，从而适应于不同分辨率的图像i o 设备和 不同传输速率的通信系统。 ( 4 ) 相比之下，利用k l 变换进行压缩编码，只能对整幅图像进行；而利 用小波变换则能够比较精确地进行图像拼接。因此对较大的图像可以进行分 块处理，然后再进行拼接。显然，这种处理方式为图像的并行处理提供了理 论依据。 ( 5 ) 实际上，由于小波变换分析具有以上许多优点，所以在最近颁布的运 动图像压缩标准m p e g - 4 中的视觉纹理模式就支持视觉纹理和静态图像编 码。这种模式基于零树小波算法，在非常宽的比特率范围内具有很高的编码 效率。除了具有很高的压缩效率之外，它还提供了空间和质量的可缩放性， 以及对任意形状目标的编码。其空间可缩放性高达l l 级，质量的可缩放性具 有连续性。小波公式以累进传输和时间上扩充静态图像分辨率金字塔的形式 提供比特率可缩放的编码。编码的位流也可以用于图像分辨率层次抽样。这 种技术提供了分辨率的可缩放性，以便处理在交互应用场合广泛的观察条件， 以及把2 d 图像映射到3 d 虚拟空间。 ( 6 ) 另外，小波变换与传统离散余弦变换的一个重要区别是：后者是一种 固定的变换，而小波有几个自由度的选择灵活性，使得有可能按照信号或图 哈尔滨工程大学硕士学位论文 像的类型来选择最优小波，以获得很高的压缩比。 综上所述，由于小波变换继承了傅立叶分析的优点，同时又克服了它的 许多缺点，所以它在静态和动态图像压缩领域得到广泛的应用。当然，像其 它变换编码一样，在压缩比特别高的时候，小波变换压缩量化后的重建图像 也会产生几何畸变。 当前，小波研究的一个迫切问题是如何将小波研究所取得的重要成果变 为工程技术人员所掌握的重要工具，使之尽快应用到工程技术实践中去，特 别是将小波分析很好地用于多媒体图像和信号处理。 这些年来关于小波变换图像压缩算法的研究和应用都十分活跃。国外一 些公司将这种技术用于i n t e m e t 环境中的图像数据传输，提供商业化的服务， 对于缓解网络带宽不足、加快图像信息传播速度起到了很好的推进作用。图 文资料数字化必然会产生大量的图像数据，对于高比特率图像压缩算法的需 求尤为迫切。作为一种优秀的图像压缩算法，小波变换在这一领域具有非常 好的应用前景，也应该能够发挥关键性的作用，同时也必将对这种技术在我 国的推广和应用起到有力的推动作用1 2 】。 2 2 小波变换的基础理论 2 2 1 连续小波变换 在信号分析与处理中，为了提高算法的效率，对信号进行变换处理的积 分核应属于正交基，作为信号分析的有效数学工具的标志应是可变窗口，平 移功能和正交性。 给定实函数甲( x ) ，若其傅立叶变换甲0 ) 满足以下允许条件： q = 晔锄 ) 则称甲( z ) 为基本小波。 设函数，( f ) 具有有限能量，即f ( t ) r ( r ) ，则小波变换的定义如下： w i ( 咖，= ，c 帆出= 弘扫c 争出 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1l 积分核为妒。j ( r ) = y ( ! 兰) 的函数族。其中口为尺度参数，b 为定位参数， 、a a 函数y 。j ( f ) 称为小波。若a l 函数虬。( f ) 具有伸展作用，口 o 时，小波波形右移，b o 时， 小波波形左移。随着参数a 的减小，。( r ) 的支撑区也随之变窄，而甲( 国) 的 频谱随之向高频端展宽，反之亦然，这就可能实现窗口大小自适应变化。当 信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率， 反之亦然。由此可得到以下的结论： ( 1 ) 尺度的倒数1 a 在一定意义上对应于频率。，即尺度越小，对应频率 越高，尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则 小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号。这一点同信号时频分 布的自然规律是相符的，因为实际中高频信号必然持续时间很短，低频信号 必然持续时间较长。 ( 2 ) 在任何b 值上，小波的时、频域窗口的大小都随1 a 的变化而变化， 然而窗口面积保持不变。也即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时 提的很高。 ( 3 ) 由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作 是一组带通滤波器。通常我们将通带宽度与中心频率的比值称为某一带通滤 波器的品质因数，它不随尺度a 变化，是一组频率特性( 品质因数q ) 恒定 的带通滤波器组。生理学研究表明，人类感觉的生理过程机制与小波分析颇 有类似之处。 总之，在小波变换中时间窗口的宽度和频率窗口的宽度是尺度参数a 的 函数，但其乘积由测不准原理限定为一常数。因此，高频分量在时域局部化 分辨率提高是以频域的不确定性加大换取的。分析高频分量时，时窗交窄， 频窗加宽，分析低频分量时时窗变宽，频窗变窄，从而实现了时一频窗口的 自适应变化。 小波y ( f ) 的选择既不是唯一的，也不是任意的。这里妒( f ) 是归一化的具 有单位能量的解析函数，它应满足如下几个条件： ( 1 ) 定义域应是紧支撑的( c o m p a c ts u p p o r t ) ，换句话说就是在一个很小的 区间之外，函数为零，也就是函数应有速降特性。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 2 ) 平均值为零，即：f 5 f , ( o a t = 0 。因为要求傅立叶变换y ) 满足条件： q = 髯挚畎o 。，式蝴妒p e “出一劂瞄它意味着 v ) 连续可积，即甲( o ) = i 妒( r ) 击= 0 。由此可见，小波p ( r ) 在t 轴上取值有 正有负才能保证积分为零，所以妒( f ) 应有振荡性。 上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。对 于所有的i l l ( t ) ，( f ) r ( r ) 连续小波逆变换由下式给出： f ( t ) = 砉fi a 。w i ( a , 6 ) 。( t ) c l a a 6 ( 2 - 3 ) 2 2 2 离散小波变换 如上所述，小波变换等价于用带通滤波器组对信号或图像进行滤波。而 其中各个滤波器的冲激响应因d 的不同而宽度各异，反映在频域中，各个滤 波器的中心频率随口的增大而减小。 图像中的物体是以不同的尺度出现的。以一条边缘为例，它可能是一条 从黑直接变成白的陡峭边缘，也可能是一条跨越相当距离的缓变边缘。图像 表示和分析中的多分辨率方法就是基于这种考虑。这种多分辨率分析方法， 可以以地图为例加以说明。地图通常是以不同尺度绘制的，其尺度就是实际 距离和图上距离之比。在大尺度的地图上，如世界地图，可以看到大陆和海 洋等，而城市街道等细节则超出了其分辨率的范围。在较小尺度的地图上， 细节是可见的，但大的特征则丢掉了。所以为了能够到达目的地，通常需要 一套以不同尺度绘制的地图。小波变换主要是沿着多分辨率分析这条路线发 展的。 在连续小波变换中，伸缩参数和平移参数连续取值，连续小波变换主要 用于理论分析，在实际应用中离散小波变换更适用于计算机处理。离散小波 的定义可由下式表示： 州归赤y ( 半= q o 号埘啪 ( 2 4 ) 堕玺堡三堡盔堂堡主堂焦堡塞 相应的离散小波变换可由下式定义： 一旦吧一旦也 = u 0 2 j f ( t ) u , 。，( t ) d t = a o 2 j f ( t ) v ( a ；”t n b o ) d t ( 2 - 5 ) 由离散小波的定义，如果把r 也离散化，并选择a 。= 2 ，6 。= 1 则可得到 二进小波。( f ) = _ 7 导矿( 三二善! ) 。构造正交小波y ，f ) ，即： p 一帆。) d r = 1 苫巍钏( 2 - 6 ) 此时矿( f ) 是二进正交小波“”。 2 2 3 小波滤波器的选择与构造 基于小波变换的图像压缩技术关键的一步是选择合适的小波基函数。实 际上，小波基函数的差异关系到图像压缩能力的高低以及恢复的图像质量的 好坏。而且实际应用中由于情况各不相同，因而只有针对实际的应用场合来 选取相应的小波基函数才能取得较好的效果。我们知道内积运算实际上可转 化为信号和离散滤波器的卷积运算，因此小波变换中小波基函数的选择等价 于小波滤波器的选择。 基于小波交换的图像压缩技术在选择和构造小波滤波器时一般考虑以下 几个方面：( 1 ) 正则性；( 2 ) 线性相关性；( 3 ) 小波的紧支撑性和滤波器的长度； ( 4 ) t t 交性。由尺度函数构造小波是小波变换的必经之路。尺度函数9 ( f ) 满足 下列条件： ( 1 ) i o ( t ) a t = 1 ，它是一个平均函数，与小波函数y 0 ) 相l k 较，其傅立叶 变换具m 0 ) 有低通特性，甲0 ) 则具有带通特性。 ( 2 ) 忪( f ) l l - l ，尺度函数是蔼数为l 的规范化函数。 ( 3 ) p 。( f ) y 。，i ( t ) d t = o ，即尺度函数对所有的小波是正交的。 ( 4 ) 扣。，( f ) 妒，i ( t ) d t = o ，即尺度函数对于平移是正交的，但对于伸缩m 来说不是正交的。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 5 ) 伊= 2 h q ，( 2 t 一 ) ，即某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的 线性组合得到，h 。是尺度系数。表示为傅立叶变换： 巾”薹e 等= h ( 爿中( 2 - 7 ， ( 6 ) 尺度函数与小波是有关连的。妒( f ) 可表示为： y ( f ) = 2 岛口o ( 2 t - n ) ( 2 8 ) 式中2 是归一化因子，g 。是由尺度系数导出的系数，相应的傅立叶 变换为： 喇= 薹烈旁等= g ( 訇+ 詈) ， 这说明小波可以由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造 小波正交基的途径。 2 2 4 二维小波 由于图像和计算机视觉信息一般是二维或多维信息，因而从应用出发， 将小波函数从一维推广到二维。 二维连续小波变换的定义如下： ( 厂肌。) = 哆0 一bb ：) = 腓，f 2 p w ：) d t d t ( 2 一l o ) 逆变换为： f ( t 。, t 2 ) = p 。3 盯，6 ：h ，“：协d b l d b ：( 2 - 1 1 ) 现在介绍一下二维离散正交小波： 从多分辨率分析的角度出发，把空间作逐级二分解产生一组逐级包含的 子空间：，= k 0 ，k = o ，= + 。o 。m 是从 一一到+ c o 的整数，m 值愈小空间愈大。而且剖分是完整的，意即：当 m 斗m 时，一r ( 月) 它包含整个平方可积的实变函数空间；当 m 一+ 时，吒一0 即空间最终剖分到空集为止。这种剖分方式显然保证了 哈尔溟工程大学硕士学位论文 空间与空间既正交，且各之间也正交。 将二维尺度函数定义为：中。( f ，r ：) = 妒。，( f 1 如。：o ：) ，使它成为吃的 正交基，生成空间吃。根据上述空间剖分的概念可得到下面的表达式： k i = 一i 圆一。2 ( o 即，历) ( o 阡_ ) 2 ( p ) o ( o ) 0 ( o ) o ( k 圆暇) 2 o 阡_( 2 - 1 2 ) 正交补空间由三个子空间的直和组成，其中( o ) 由正交基 y 。o 。如。，：o ：) 生成，( 阡二) 由正交基妒。o 。杪。( f ：) 生成，( 阡名固) 由 正交基妒。乜妙。，o ：) 生成。 通常可定义三个小波：甲“，t ：) = 9 瓴弦( r ：) ，甲”“，f ：) = y “蛔o ：) ， 甲。t l ，f ：) = y “砂o ：) 。 二维离散正交小波主要解决二维多分辨分析问题。如一副原始图像 ，o 。，t ：) 由矩阵组成。在广义的情形下，可以把它看成是图像采样后的 二维离散数据。在小波级数展开中，厂“，t ：) 到圪上的投影己，= ( ，o 。，：) 是厂“，t ：) 的一个逼近，它给出了图像的轮廓，“，：) 到既上的投影 绒，= ( 甲。，) 是己乒。只一。，的细节补充。因此，二维小波基中： 甲6 0 。，f ：) = 妒( f 。弦( f ：) ，反映图像水平方向的信息； q j ”“，t ：) = 妒o 。如o ：) ，反映图像垂直方向的信息； 甲。( f 。，t ：) = 妒“砂( f ：) ，反映图像对角线方向的信息。 2 3m a i la t 算法 具体计算尺度函数和小波函数是十分困难的，1 9 8 8 年m a l l a t 受到塔式算 法的启发在多分辨分析的指导下建立了m a l l a t 算法，它的作用可与f f t 在傅 立叶变换中的作用相提并论。m a l l a t 提出的离散小波变换算法如图2 1 所示。 在该算法中，从下往上建立小波变换，即先计算小尺度系数，后计算大尺度 系数。 由尺度函数的性质可得： 1 6 哈尔派工程大学硕士学位论文 ，。o ) = = h k 一：。口，。一。，o ) ( 2 1 3 ) v 。，( r ) = g k - 2 妒山o ) ( 2 1 4 ) 由= k o 嵋，若，( f ) k ，则正交小波分解为 只一。，o ) = p m ，( f ) + q m f ( t ) ( 2 - 1 5 ) 当m = l 时，则：只，( f ) = 只o ) + q l ，o ) 。由此可得： 饨) = d ：妒o n ) = d ：l 。p ( f 一，) + 醚g 一。妒o 一，) h i n i = ( d ：吃。+ 6 ：g 。) 伊( f n ) ( 2 1 6 ) 从此式可以看出： 口：= 口：巩。+ 巩g 。 ( 2 。1 7 ) tk 由此推广到系数表达的一般式： 口，；口? + = 口? 吃。+ s ) t g 。t ( 2 - 1 8 ) 该式就是由小波系数口：和w 重构函数，o ) 的正交展开式系数d = 【_ i 的公 式。在图像信号