（固体力学专业论文）连续体结构拓扑优化设计.pdf

中 文 摘 要 摘要 结构优化的目的是让设计的结构利用材料更经济、受力分布更合理。而拓扑优 化是结构优化中极为重要的方面，结构拓扑的改进可以大大改善结构的性能或减轻 结构重量，带来直接的经济效益，近年来成为国内外研究热点。目前拓扑优化因其 描述和算法的复杂性，其理论、模型和算法还处于探索阶段。而且大量的工作还集 中于单工况下拓扑理论和方法的研究， 对实际工程中经常出现的多工况情况研究甚 少。因此本文基于单工况下连续体结构拓扑优化，进行了多工况下连续体结构拓扑 优化设计，完成了以下研究工作: i . 采用相对密度法和s i m p 法， 阐述在一定的约束 ( 体积约束) 下， 选择合适的 设计变量和目 标函数 ( 最小柔量) ， 构造适应结构拓扑优化的数学模型即 最小 柔量优化问题的数学表达式。并选取了求解上述优化问题数学模型的有效求 解方法一准则优化法， 对其密度迭代格式进行了推导。 最后利用ma t l a b编 程实现，有效地进行了结构的分析和拓扑优化设计。 2 分析了影响拓扑设计结果的一些问题:棋盘格式问题，网格依赖性问题。找 出了有效解决的方法一敏度过滤法;针对某二维结构采用敏度过滤技术进行 拓扑优化设计，对优化过程中涉及到的参数惩罚因子和移动限作了讨论，结 果表明: 在采用敏度过滤技术的条件下， 惩罚因子p ? 3 时， 其对结构的最优 拓扑形式基本上不产生影响，移动限m值的变化对结构的最优拓扑形式几乎 不产生影响。从而为多工况下连续体结构拓扑优化设计提供了参数选择的依 据。 3 . 在上述研究基础上进行了 多工况下连续体结构拓扑优化设计， 利用a b a q u s 对拓扑优化结果做了数值模拟验证，检验了 采用本文方法进行连续体结构拓 扑优化设计的有效性。 关键词:连续体结构拓扑优化棋盘格式敏度过滤惩罚因子多工况 英 文 摘 要 abs t ract t h e p u r p o s e s o f s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n a r e e c o n o m i c a l m a t e r i a l s u s a g e a n d r e a s o n a b l e s t r e s s d i s tr i b u t i o n , w h e r e a s t o p o lo g y o p t i m i z a t i o n i s a i m p o rt a n t p a r t o f s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n . a i m p r o v e d s t r u c t u r e t o p o l o g y c o u l d e n h a n c e t h e s t r u c t u r e p e r f o r m a n c e o r d e c r e a s e w e i g h t o f i t , a n d t h i s l e a d t o m o r e b e n e f i t , s o t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n h a v e b e e n t h e h o t r e s e a r c h w o r k i n t h e w o r l d i n l a s t y e a r s . n o w a d a y s t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n i s e x p l o r e d b e c a u s e o f i t s c o m p l i c i t y i n m o d e l s a n d a l g o r it h m s . mo s t w o r k f o c u s o n t o p o l o g y t h e o r y a n d m e t h o d i n s i n g l e l o a d i n g c a s e s , b u t f e w e r e ff o rt s h a v e b e e n m a d e i n m u lt i p l e l o a d i n g c a s e s w h ic h a r e c o m m o n i n r e a l e n g i n e e r i n g . t h i s t h e s i s s t u d i e s t o p o lo g y o p t i m i z a t i o n o f c o n t in u u m s t r u c t u r e s i n m u l t i p l e l o a d i n g c a s e s b a s e d o n t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n i n s i n g l e l o a d i n g c a s e s . 1 . u s i n g a rt i f i c i a l ma t e r i a l s m e t h o d a n d s i mp m e t h o d , s u i t a b l e d e s i g n v a r i a b l e s a n d o b j e c t i v e f u n c t i o n ( t h e m i n i m u m c o m p l i a n c e ) a r e s e l e c t e d , a n d a m a t h e m a t i c a l m o d e l , n a m e l y t h e f o r m u l a t i o n o f t h e m i n i m u m c o m p l i a n c e p r o b l e m i s s e t . a ft e r t h a t , a e ff e c t i v e s o l v i n g m e t h o d - p r i n c i p l e s o p t i m i z a t i o n m e t h o d i s a d o p t e d , a n d t h e u p d a t e s c h e m e f o r t h e d e n s i t y i s d e d u c e d . f i n a l l y , a s e r i e s o f s t r u c t u r e a n a ly s e s a n d t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n d e s i g n s a r e i m p l e m e n t e d b y p r o g r a m m i n g i n ma t l a b . 2 . s o m e p r o b l e m s a r e a n a l y z e d w h i c h a ff e c t t h e r e s u l t o f t o p o l o g y d e s i g n s : ( 1 ) c h e c k e r b o a r d p a t t e rn p r o b l e m ( 2 ) m e s h - d e p e n d e n c y p r o b l e m . f i l t e r i n g t h e s e n s i t i v i t i e s t e c h n o l o g y i s f o u n d t h a t c o u l d s o l v e t h e p r o b l e m a b o v e s u c c e s s f u l l y . u s i n g t h i s m e t h o d , a t w o d i m e n s i o n s t r u c t u r e i s o p t i m i z e d . me a n w h i l e , p a r a m e t e r s p e n a l t y f a c t o r a n d m o v e - l i m i t a r e d i s c u s s e d . t h e r e s u l t s s h o w t h a t t o c h a n g e t h e m o v e l i m it m， o p t i m i z e d t o p o l o g y w o u l d n o t b e a f f e c t e d w h e n u s i n g f i l t e r i n g t h e s e n s i t i v i t i e s t e c h n o l o g y , w i t h p e n a lt y f a c t o r p ? 3 ， a n d t h i s c o u l d s u p p l y b a s i s t o o p t i m i z a t i o n i n m u l t i p l e l o a d i n g c a s e s 3 . b a s e d o n t h e w o r k a b o v e , t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n i n m u l t i p l e l o a d i n g c a s e s i s s t u d i e d . t h e v a l i d it y o f t h e o p t i m i z a t i o n m e t h o d p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s i s c h e c k e d t h r o u g h t e s t i n g t h e o p t i m i z e d r e s u l t i n a b a q u s s o ft w a r e . 1 1 英 文 摘 要 k e y w o r d s : t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n o f c o n t i n u u m s t r u c t u r e s ; c h e c k e r b o a r d p a tt e r n ; f i l t e r i n g t h e s e n s i t i v i t i e s ; p e n a l t y f a c t o r ; m u lt i p l e l o a d i n g c a s i i i 第一章绪论 第一章绪论 1 . 1问题的提出及意义 结构是人类文明进步程度的一个标志，人类愈进步，科技愈发达，设计出的结 构也愈精细合理。早期历史上的结构设计同其它传统设计一样是经验和半经验的产 品，结构设计过程中甚至连结构的力学分析都没有，原因是不会算或者算不准。这 一时期，原始的模型实验方法起着重要作用。学会对结构进行力学分析，是结构设 计 水平的 第一次飞 跃3 9 1 。 结构的 力学分 析使结 构设计由 任意性达到 可行性 或安 全 性。 这一时期，结构设计的技术水平处于校验设计阶段。结构设计水平的第二次飞跃发 生于结构优化设计理论的发展和应用于实际工程， 起始于2 0 世纪4 0 年代末3 9 1 。 力 学介入结构设计，己由消极地校验设计变为主动地改善设计，使结构设计由可行性 达到最优化。人类社会的发展、科技的进步己使这一需求越来越迫切，优化的、最 佳的结构已成为人类追求的目标。 现有的各类复杂结构，如航空航天器、 船舶、车辆、 人造器官、建筑和精密机 械等，多数是不够优化的。依靠选择过大的安全系数来换取安全不必要地浪费了能 源和材料。探索在有限的资源及满足使用要求下，给出最佳的结构设计，确定结构 各部分参数，即进行优化设计已成为必要。 结构优化的目的是让设计的结构从材料上更经济，从结构上力的分布更合理。 其内容包含了结构尺寸优化，形状优化和拓扑优化，而拓扑优化是结构优化中更为 重要的方面，结构拓扑的改进可以 大大改善结构的性能或减轻结构的重量，带来直 接的经济效益，因此选择结构拓扑优化问题作为研究方向，具有极大的现实意义。 目 前，结构尺寸优化的理论和应用己经很成熟;结构形状优化的理论和算法也 己 基本建立，待提高算法在应用中的稳定性和效率问题;结构拓扑优化因其描述及 算法的 复杂 性近年来成为国际上 研究 热点 3 8 1 。 结构优化从 对象上区分包括离散 体结 构优化和连续体结构优化两大类，相对于离散体结构优化设计而台，连续体结构拓 扑优化模型较为复杂，计算量较大。从理论、 模型和算法上都还处于探索阶段1 - 2 1 因此选择连续体结构拓扑优化问题作为研究方向，具有重要理论价值。 西北一 1 : 业大学硕十学位论文 1 .2当前国际国内的研究现状 结构拓扑优化研究是从析架结构开始的， 其研究历史可追溯到 1 9 0 4年m ic h e l l 提出 的 裕架理 论 3 1 ， 但这一理论只能 用于 单工况并依赖于选择适当的 应变场， 不能 应 用 于 工 程实 际。 1 9 6 4 年d o r n , g o m o r y , g r e e n - b e r g 等 4 ) 人 提出 基 结 构 法( g r o u n d s t r u c tu r e a p p r o a c h ) ， 将 数值方 法引 入该 领 域， 此后 拓扑 优 化的 研究 重新开 始 活 跃 起 来， 具有 代表 性的 有a c h t z i g e r , b e n d s o c , c h u n g j , l e e k 等 5 .9 研究了 离 散 结 构的 拓扑优化设计。连续体结构拓扑优化由于其优化模型描述方法的困难以及数值优化 算 法的巨 大计算量而发展缓慢， 其蓬 勃发 展的 起点以b e n d s o e 和k i k u c h i 1 0 提出 的 均 匀 化 方 法为 标志。 受均 匀 化 方 法的 启发， 出 现了 相 对密 度 法1 1 1渐 进结 构 优 化 法 ( 12 1 针 对 不 同 的 拓 扑 结 构， e n m in f e n g 等 13 】 应 用 图 论 、 群论 等 知 识， 严 格 刻 划了 各 种 布 局 方 案 的内 在 性， b e n d s o e 5 4 : 1 6 0 5 - 1 6 2 2 . 程耿东. 受 应力约束的平面弹 性体的 拓扑 优化. 大连理一 大学学 报，1 9 9 5 , 3 5 ( 1 ) : 1 - 9 . 王 健， 程耿东. 应力 约束下 薄板结 构的 拓扑 优化. 固 体力 学学报， 1 9 9 7 , 1 8 ( 4 ) : 3 1 7 - 3 2 2 . 王健，程耿东.应力约束下平面弹性体结构拓扑优化设计一密度法.计算力学学报，1 9 9 7 , 第1 4 卷增刊:5 4 1 - 5 4 6 . 顾元宪， 徐新生， 二 业装各结构分析国家重点实验室研究_j 一 作介绍， 力学进展， 1 9 9 8 ( 0 2 ) : 2 7 9 一8 1 . 谭中富， 何成杰. 关于拓扑优化中最优解“ 奇异” 现象的讨论 哈尔滨建筑大学学报， 1 9 9 6 , 2 9 ( 1 ) :1 7 - 2 2 . 王 健， 具有形状和应力约束的连续体结构拓扑 优化及其在框架结构设 计中的应用. _ 程力学， 2 0 0 2 , 1 9 ( 4 ) : 9 9 - 1 0 3 . 王晓明， 刘震宇， 郭东明. 基子均匀化理论的 微小型柔性结构拓扑优化的敏度分析. 中国机 械一 程，1 9 9 9 , t o( 1 1 ) :1 2 6 4 - 1 2 6 6 . 袁振存， 吴长 养. 采用非协调元的连续体拓扑 优化设计. 力学学报， 2 0 0 3 , 3 5 ( 2 ) : 1 7 6 - 1 8 0 . 丹，月竹j 丹2伪乙 第一章绪论 3 1 衰振养，吴长 春. 基于 杂交元和变密度法的 连续体拓扑优化设 计，中国科学技术大学学 报， 2 0 0 1 , 3 1 ( 6 ) : 6 9 4 - 6 9 9 . 3 2 t.跃方，孙焕纯.多 ! 况多约束下离散变量析架结构的拓扑优化设计.力学学报，1 9 9 5 , 2 7 ( 3 ) : 3 6 5 - 3 6 9 . 3 3 陈建军， 曹一波， 孙环安. 多_ i 况 卜 具有体系可靠性约束的析架结构拓扑优化设计. 固体力学 学报， 2 0 0 0 , 2 1 ( 1 ) : 1 1 一 1 8 . 3 4 谭中富，孙焕纯.多j - 况一 f 空间朽架结构拓扑优化的修正单纯形法.力学学报，1 9 9 4 , 2 6 ( 1 ) :9 0 - 9 7 3 5 王健 ，程耿东.多 i况应力应力约束 卜 连续体结构拓扑优化 设计.机械强 度， 2 0 0 3 , 2 5 ( 1 ) : 0 5 5 - 0 5 7 . 3 6 隋允康， 杨德庆， 王备. 多工况应力和位移约束下连续体结构拓扑优化. 力学学 报， 2 0 0 0 , 3 2 ( 2 ) : 1 7 1 一 1 7 9 . 3 7 杨德庆， 隋允康， 刘正兴. 多x . 况应力约束下连续体结构拓扑优化映射变换解法. 上海交通大 学学报， 2 0 0 0 , 3 4 ( 8 ) : 1 0 6 1 - 1 0 6 5 . 3 8 褚金奎， 郝秀春等. 拓扑优化方法的研究现状及在微结构设计中的应用 微纳电子技术， 2 0 0 3 , 7 - 8 : 8 7 - 9 1 3 9 杨德庆，结构拓扑优化若千问题研究.博十后士学位论文，上海交通大学，2 0 0 0 . 西北业大学硕十学位论文 第二章连续体结构拓扑优化的模型建立和寻优方法 2 . 1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述 任何一个最优化设计工作都包括两部分内容:( 1 )将设计问题的物理模型转变 为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量，列出目 标函数，给出约束条件。目 标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式;c a 采用适当 的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件下求目 标函数的极值或最优 值问题。 结构拓扑优化设计，就是在给定设计空间、支承条件、载荷条件和某些工艺设 计要求下， 确定结构单元、节点及内部边界的最佳空间连接方式，使某种要求的性 能指标达到最优。 连续体结构拓扑优化设计， 就是在给定的 载荷和约束条件下， 选取设计变量，来 建立目 标函数并使其获得最优值。 优化的过程是确定连续体内有无孔洞，孔洞的位 置、数量和形状等。设计的目 标是为了得到一个最佳材料分布结构。 2 . 1 . 1 连续体结构拓扑优化的数学模型 为使结构拓扑优化研究具有可操作性，d o rn 等定义基结构来描述结构所有可能 的拓扑形式。对于连续体结构拓扑优化设计问题，首先需要利用基结构法确定设计 区域及设计变量。设计区域也称为基结构， 确定设计区域是为了定义载荷和边界条 件。 指 定 设 计 区 域为。 ， 设 计 变 量 为e , k r(x ) 。 弹 性 体的 内 力 虚 功为 a (u ,v ) 一 娜(x c a 采用适当 的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件下求目 标函数的极值或最优 值问题。 结构拓扑优化设计，就是在给定设计空间、支承条件、载荷条件和某些工艺设 计要求下， 确定结构单元、节点及内部边界的最佳空间连接方式，使某种要求的性 能指标达到最优。 连续体结构拓扑优化设计， 就是在给定的 载荷和约束条件下， 选取设计变量，来 建立目 标函数并使其获得最优值。 优化的过程是确定连续体内有无孔洞，孔洞的位 置、数量和形状等。设计的目 标是为了得到一个最佳材料分布结构。 2 . 1 . 1 连续体结构拓扑优化的数学模型 为使结构拓扑优化研究具有可操作性，d o rn 等定义基结构来描述结构所有可能 的拓扑形式。对于连续体结构拓扑优化设计问题，首先需要利用基结构法确定设计 区域及设计变量。设计区域也称为基结构， 确定设计区域是为了定义载荷和边界条 件。 指 定 设 计 区 域为。 ， 设 计 变 量 为e , k r(x ) 。 弹 性 体的 内 力 虚 功为 a (u ,v ) 一 娜(x 0 : p ( - ) 3 。 至此优化问题( 2 .3 ) 的连续形式数学模型表达为: m mu e u ,p 1 (u ) s .t . : a s ( u , v ) = 1 ( v ) ,、 。 “ e , kt (x ) 一 p (x ) p 味 ， ， p 1 , 工 p (x ) !a : 玖 。 1 , 工 p (x ) !a : 玖 。 p ,ri p (x ) ( 2 . 8 ) 这里引入密度p;。 的下限是为了阻止等式方程产生奇异解。 2 .2连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 要求解 ( 2 . 8 )形式的问题必须采用典型方法，这里采用有限元法来离散这个问 西北 业大学硕十学位论文 题。在有限元法中，为了简洁、清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系， 也为 了便于应用计算机进行实际计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。 2 .2 . 1 单元应变和应力 弹性力学中， 平面问题可划分为平面应力问题和平面应变问题。 对于弹性力学的 平面应力问题，物理方程可用矩阵形式表示为: ( 2 . 9 ) 凡凡踢 !子十t 勺十一ij v0 1 一v 2 ， 0 1一v - !1声 氏气气 rlesweesj! 式中e. v 分别为弹性模量和泊松比。上式可简写为: 1 6 卜 d l e 1 ( 2 . 1 0 ) 其中 v0 d = 1 一v 2， 卫 v ( 2 . 1 1 ) .1丫卜卜 resweee.es.1.l 称为平面应力问题的弹性矩阵。对于平面应变问题，物理方程也可以用式 ( 2 . 1 0 ) 表 示 ， 但 需 要 将 式( 2 . 1 1 ) 所 示 的 弹 性 矩 阵 中 的 脚 1 中 的e 换 为 单元应变和节点位移的关系式: 1 一v 2 换 为 _ v1 - v 。 。 卜 b 1 s r 式 中 !川为 单 元 应 变 矩 阵 。 单元应力与节点位移的关系式: 在平面问题的物理方程式 ( 2 . 1 0 )中， 将式 ( 2 . 1 2 ) 代入，得 , 卜d i b 扣 r 简写为 16 卜s i a ,. ( 2 . 1 2 ) ( 2 . 1 3 ) ( 2 . 1 4 ) 西北 业大学硕十学位论文 题。在有限元法中，为了简洁、清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系， 也为 了便于应用计算机进行实际计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。 2 .2 . 1 单元应变和应力 弹性力学中， 平面问题可划分为平面应力问题和平面应变问题。 对于弹性力学的 平面应力问题，物理方程可用矩阵形式表示为: ( 2 . 9 ) 凡凡踢 !子十t 勺十一ij v0 1 一v 2 ， 0 1一v - !1声 氏气气 rlesweesj! 式中e. v 分别为弹性模量和泊松比。上式可简写为: 1 6 卜 d l e 1 ( 2 . 1 0 ) 其中 v0 d = 1 一v 2， 卫 v ( 2 . 1 1 ) .1丫卜卜 resweee.es.1.l 称为平面应力问题的弹性矩阵。对于平面应变问题，物理方程也可以用式 ( 2 . 1 0 ) 表 示 ， 但 需 要 将 式( 2 . 1 1 ) 所 示 的 弹 性 矩 阵 中 的 脚 1 中 的e 换 为 单元应变和节点位移的关系式: 1 一v 2 换 为 _ v1 - v 。 。 卜 b 1 s r 式 中 !川为 单 元 应 变 矩 阵 。 单元应力与节点位移的关系式: 在平面问题的物理方程式 ( 2 . 1 0 )中， 将式 ( 2 . 1 2 ) 代入，得 , 卜d i b 扣 r 简写为 16 卜s i a ,. ( 2 . 1 2 ) ( 2 . 1 3 ) ( 2 . 1 4 ) 第二章连续体结构拓扑优化的模型建立和寻优方法 这 就 是 应 力与 节 点 位 移 的 关 系 式。 其中 is 称 为 单 元 应 力 矩阵 ， 并 且 s 一 【d i b i ( 2 . 1 5 ) 2 .2 . 2 单元平衡方程 有限元法的任务是要建立和求解整个弹性体的结点位移和节点力之间关系的平 衡方程。为此首先要建立每一个单元体的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。 这里先讨论单元的应变能和外力势能的计算公式，再建立单元总势能泛函的表达式， 利用最小势能原理，求总势能泛函的极值，最后得到单元的平衡方程。 2 .2 .2 . 1 单元的应变能 在平面应力状态下， 厚度为h 的三角形单元的应变能为 且 (ax e 二 十 ， y s y + r y y xy d x dy 1一，乙 -一 u 一 1 r r a l 2 j 召、 丁 s h d x d y 将式( 2 . 1 2 ) 和( 2 . 1 3 ) 代 入 上 式， 应 用 矩 阵 的 运 算 法 则 ， 并 注 意 到 弹 性 矩 阵脚 i 的 对称性，有 u 二合 1 i e l 告 !k s d le h d x d y b l d i b i s l e h d x d y 由 于(s 。 和扭 1 t 是 常 量， 因 此 可以 提 到 积 分 号 的 外 面， 所以 s (几 ， 了 d i b ihd xd y s lr 令 川 = 任 回回b h d x d j ( 2 . 1 6 ) 从而单元的应变能可写成 第二章连续体结构拓扑优化的模型建立和寻优方法 这 就 是 应 力与 节 点 位 移 的 关 系 式。 其中 is 称 为 单 元 应 力 矩阵 ， 并 且 s 一 【d i b i ( 2 . 1 5 ) 2 .2 . 2 单元平衡方程 有限元法的任务是要建立和求解整个弹性体的结点位移和节点力之间关系的平 衡方程。为此首先要建立每一个单元体的节点位移和节点力之间关系的平衡方程。 这里先讨论单元的应变能和外力势能的计算公式，再建立单元总势能泛函的表达式， 利用最小势能原理，求总势能泛函的极值，最后得到单元的平衡方程。 2 .2 .2 . 1 单元的应变能 在平面应力状态下， 厚度为h 的三角形单元的应变能为 且 (ax e 二 十 ， y s y + r y y xy d x dy 1一，乙 -一 u 一 1 r r a l 2 j 召、 丁 s h d x d y 将式( 2 . 1 2 ) 和( 2 . 1 3 ) 代 入 上 式， 应 用 矩 阵 的 运 算 法 则 ， 并 注 意 到 弹 性 矩 阵脚 i 的 对称性，有 u 二合 1 i e l 告 !k s d le h d x d y b l d i b i s l e h d x d y 由 于(s 。 和扭 1 t 是 常 量， 因 此 可以 提 到 积 分 号 的 外 面， 所以 s (几 ， 了 d i b ihd xd y s lr 令 川 = 任 回回b h d x d j ( 2 . 1 6 ) 从而单元的应变能可写成 西北工业大学硕士学位论文 f ,6 t, k ls e ( 2 . 1 7 ) ，1一勺 一 u 2 . 2 .2 .2 单元的外力势能 单元受到的外力通常包括体积力、表面力和集中力。 单元上体积力具有的势能为 v , 一几 q n s j , lp v h d r d y 二 一 s e 几 (n ,. p, h d x d y 单元上的表面力可能有分布载荷、压力，以 及相邻单元互相作用的内力。由于 单元 之间公共边上互相作用的内力成对出现，集合时互相抵消，故在进行弹性体整体分 析时可以不加考虑，因此亦可在进行单元特性分析时就不予考虑。这样，把表面力 看作仅包含弹性体外边界上的分布载荷并不影响计算结果。所以单元表面力的势能 为: v ,. 一j g n k s r y ip s h d l = - s ,. f n ,. lp ., h d l 式中1 表示单元的边界长度。 如果弹性体受到集中力，通常在划分单元网格时可将集中力的作用点设置为节 点。于是单元集中力的势能是 玲= 4 5 ) ,t 伽 。 。 综合以上各式得单元外力的势能为 v = v , 十 v十 v , = - s (f j n p , h dxdy + 丁n p , h d l + p,. 。) ( 2 . 1 8 ) 引进单元体积力的等效节点力 in 1, = f k fn f . lp v ki d d y 单元表面力的等效节点力 n , )， 一 f n r u s d l ( 2 . 1 9 ) ( 2 . 2 0 ) 第二章连续体结构拓扑优化的模型建立和寻优方法 则单元总的等效节点力为 f e = p,) + 知 : 。 + p,. , 因此，单元外力势能式 ( 2 . 1 8 )可写为 v 一8 r 玛 。 ( 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 2 ) 2 .2 . 2 . 3 单元的总势能泛函和最小势能原理 由单元的应变能和外力势能，可得单元的总势能泛函的表达式 i -i =u十v二 s fk ls 。 一 9l, f e 取节点位移为未知量，从弹性力学最小势能原理出发， 成了一个多元函数的极值问题。根据总势能求极值的条件， ( 2 . 2 3 ) 总势能的极值问题就变 应有 a n 甲几 一下 - = u a 协 1 , 将式 ( 2 . 2 3 )代入上式， 得到单元平衡方程 k 6 . = 回。 此式即为单元节点力与节点位移之间的关系式。 ( 2 . 2 4 ) 2 .2 .3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 在有限元分析时， 结构由单元组成， 结构体单元的作用是以其刚度矩阵来表现的， 整 体 刚 度 是 各 单 刚 的 叠 加 ， 即 k 一 艺k p ( e j , k 。 是 单 元 刚 度 阵 。 上 面 根 据 最 小 势 能 原 理 得到了 单元平衡方程， 即式( 2 . 2 4 ) ， 建立了单元节点力与节点位移之间的关系。对每 个单元，都可以建立单元平衡方程，然后将这些方程集合在一起，就得到结构体的 整体平衡方程。 k u 卜f ( 2 . 2 5 ) 这里u 是位移矢量，f 是荷载矢量。 第二章连续体结构拓扑优化的模型建立和寻优方法 则单元总的等效节点力为 f e = p,) + 知 : 。 + p,. , 因此，单元外力势能式 ( 2 . 1 8 )可写为 v 一8 r 玛 。 ( 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 2 ) 2 .2 . 2 . 3 单元的总势能泛函和最小势能原理 由单元的应变能和外力势能，可得单元的总势能泛函的表达式 i -i =u十v二 s fk ls 。 一 9l, f e 取节点位移为未知量，从弹性力学最小势能原理出发， 成了一个多元函数的极值问题。根据总势能求极值的条件， ( 2 . 2 3 ) 总势能的极值问题就变 应有 a n 甲几 一下 - = u a 协 1 , 将式 ( 2 . 2 3 )代入上式， 得到单元平衡方程 k 6 . = 回。 此式即为单元节点力与节点位移之间的关系式。 ( 2 . 2 4 ) 2 .2 .3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 在有限元分析时， 结构由单元组成， 结构体单元的作用是以其刚度矩阵来表现的， 整 体 刚 度 是 各 单 刚 的 叠 加 ， 即 k 一 艺k p ( e j , k 。 是 单 元 刚 度 阵 。 上 面 根 据 最 小 势 能 原 理 得到了 单元平衡方程， 即式( 2 . 2 4 ) ， 建立了单元节点力与节点位移之间的关系。对每 个单元，都可以建立单元平衡方程，然后将这些方程集合在一起，就得到结构体的 整体平衡方程。 k u 卜f ( 2 . 2 5 ) 这里u 是位移矢量，f 是荷载矢量。 西北工业大学硕士学位论文 则对问题 ( 2 . 8 )采用有限元法， 其有限元法离散形式表达为: m in f v a;.-“ = u k u 一 m i n0 买 (p , )n u 。 “ s .! : k u =.f 倒一 v _ v o ; 0 p.;. : p ( - ) 1 ， 、 。 。 ( 2 . 2 6 ) 其 中 单 元 刚 度k 一 1f e ) n k o a 2 . 3 连续体结构拓扑优化数学模型的求解 2 .3 . 1 概述 任何非线性规划法都可用来求解拓扑优化问题。然而，采用这些方法来求解结 构优化问题时，通常需要计算目标函数，约束函数以及它们的导数。当设计变量数 目 较多时，采用这些方法求解，计算效率较低。连续体结构拓扑优化是确定材料在 设计空间中的最优分布问题，优化时要对设计区域进行离散，离散数目 通常为上百 个单元，把每个单元的参数函数作为一个设计变量，如此多的设计变量问题若用数 学规划法求解已不太实用。 为了克服这种计算方法上的不足， mi c h e l l 在1 9 0 4 年引入 了“ 准则优化法”即 o c法，准则优化法是一种间接优化方法，不直接优化目 标函 数， 而是把数学中最优解应满足的k - t条件作为最优结构应满足的准则， 用优化准 则来更新设计变量和拉格朗日乘子。它的突出 特点是对设计变量修改较大，收敛速 度快， 迭代次数少且与结构大小及复杂程度无关。缺点是对不同类型的约束， 变量， 目标函数等需导出不同的优化准则，通用性差。 2 .3 . 2 准则优化法 最优准则设计法是结构优化中常用的一种方法，这里采用最优准则设计法，利 用简单连续体结构，受单载荷作用的 ( 2 .2 6 )问题来讲述怎样实施优化条件的问 题。 西北工业大学硕士学位论文 则对问题 ( 2 . 8 )采用有限元法， 其有限元法离散形式表达为: m in f v a;.-“ = u k u 一 m i n0 买 (p , )n u 。 “ s .! : k u =.f 倒一 v _ v o ; 0 p.;. : p ( - ) 1 ， 、 。 。 ( 2 . 2 6 ) 其 中 单 元 刚 度k 一 1f e ) n k o a 2 . 3 连续体结构拓扑优化数学模型的求解 2 .3 . 1 概述 任何非线性规划法都可用来求解拓扑优化问题。然而，采用这些方法来求解结 构优化问题时，通常需要计算目标函数，约束函数以及它们的导数。当设计变量数 目 较多时，采用这些方法求解，计算效率较低。连续体结构拓扑优化是确定材料在 设计空间中的最优分布问题，优化时要对设计区域进行离散，离散数目 通常为上百 个单元，把每个单元的参数函数作为一个设计变量，如此多的设计变量问题若用数 学规划法求解已不太实用。 为了克服这种计算方法上的不足， mi c h e l l 在1 9 0 4 年引入 了“ 准则优化法”即 o c法，准则优化法是一种间接优化方法，不直接优化目 标函 数， 而是把数学中最优解应满足的k - t条件作为最优结构应满足的准则， 用优化准 则来更新设计变量和拉格朗日乘子。它的突出 特点是对设计变量修改较大，收敛速 度快， 迭代次数少且与结构大小及复杂程度无关。缺点是对不同类型的约束， 变量， 目标函数等需导出不同的优化准则，通用性差。 2 .3 . 2 准则优化法 最优准则设计法是结构优化中常用的一种方法，这里采用最优准则设计法，利 用简单连续体结构，受单载荷作用的 ( 2 .2 6 )问题来讲述怎样实施优化条件的问 题。 西北工业大学硕士学位论文 则对问题 ( 2 . 8 )采用有限元法， 其有限元法离散形式表达为: m in f v a;.-“ = u k u 一 m i n0 买 (p , )n u 。 “ s .! : k u =.f 倒一 v _ v o ; 0 p.;. : p ( - ) 1 ， 、 。 。 ( 2 . 2 6 ) 其 中 单 元 刚 度k 一 1f e ) n k o a 2 . 3 连续体结构拓扑优化数学模型的求解 2 .3 . 1 概述 任何非线性规划法都可用来求解拓扑优化问题。然而，采用这些方法来求解结 构优化问题时，通常需要计算目标函数，约束函数以及它们的导数。当设计变量数 目 较多时，采用这些方法求解，计算效率较低。连续体结构拓扑优化是确定材料在 设计空间中的最优分布问题，优化时要对设计区域进行离散，离散数目 通常为上百 个单元，把每个单元的参数函数作为一个设计变量，如此多的设计变量问题若用数 学规划法求解已不太实用。 为了克服这种计算方法上的不足， mi c h e l l 在1 9 0 4 年引入 了“ 准则优化法”即 o c法，准则优化法是一种间接优化方法，不直接优化目 标函 数， 而是把数学中最优解应满足的k - t条件作为最优结构应满足的准则， 用优化准 则来更新设计变量和拉格朗日乘子。它的突出 特点是对设计变量修改较大，收敛速 度快， 迭代次数少且与结构大小及复杂程度无关。缺点是对不同类型的约束， 变量， 目标函数等需导出不同的优化准则，通用性差。 2 .3 . 2 准则优化法 最优准则设计法是结构优化中常用的一种方法，这里采用最优准则设计法，利 用简单连续体结构，受单载荷作用的 ( 2 .2 6 )问题来讲述怎样实施优化条件的问 题。 第二章 连续体结构拓扑优化的 模型建立和寻优方法 关键是设计迭代公式。 1 .优化模型: 求p 一 (p . . . . p j 使 m m cp 扣 ) “ u r 一 菩 伍 )r u , k ou , s .t . :k u =f ( 2 .2 6 ) 二 以 p ) v . _p 1 , x q 2 .灵敏度分析 采用准则优化法求解 ( 2 .2 6 ) 时要用到梯度，目 标函数和约束仅含有一个设计变 量一密度p，因此能较容易地推导出梯度。 _ ， _ . 、 。、 . 。二 二 ， 占。* 。a u 1 )仪移x 7 x s z ti t 父重 p i n i m a t 9 n = c ia 由有限元的整体平衡方程 k u = i f i 两边对设计变量p 求导 a k . la u o f “ 宁 凡 二二 o p , a p e a p e 、 卜 工、， ，曰 、*; 。 : 二 二k a s + 工，、众。 _曰 *、。 二 : 、 . o f 出 j m j 4 1 a j / 7 ,ej m- u - x v i -i ， i 口n j j z ) 义 r m 尸。 7 七 巾 s a , 刀i二 一= v a p a k，a u_a k，a u 丽u + tc 丽= 。 n,ji 丽“ = - k 丽 西北工业人学硕十学位论文 av 体积对设计变量的 偏导数上 二 a p e 材 料 体 积 v = 艺 p w 0 , v= v o 0 , v 0 , k u =f =0 , k u 0 , p m j. = p e 一 l = 0 , p., 0 , p e = 1 = 0 , 几 1 起作用 不起作用 rl褚eeesl 口， 之 2 )设计迭代过程 设密度下限和上限约束不起作用 ( a z = 4 = 0 )， 又由于载荷是独立的设计量 所 以 对 式 a c + ; a v + ,. a (k u ) 一 : 、 、 一 。 具 体 展 开 u ne u pe u p, 有 a ll t ，: a k，. : 。 、( a k. a u 、 万 丁 k u + u百 万 - u + u - k - +