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东北大学硕士学住论文 摘要 彩色图像形态学处理方法研究 摘要 随着信息技术的发展，彩色图像的应用也日益广泛。与灰度图像相比，彩色图像携 带了更多的可视化信息，彩色图像处理已成为一个重要的研究领域。由于彩色图像中颜 色表示的复杂性，灰度图像的处理技术通常不能直接应用于彩色图像处理中，彩色图像 处理能否成功的关键在于如何充分地利用颜色信息。 本文首先对二值形态学和灰值形态学进行了综述性研究，对每种形态学算子给出了 仿真实例，以说明这些算子的处理效果。而且，特别介绍了形态学从二值到灰值的推广 过程，作为彩色形态学推广的基础。 颜色空间是颜色抽象表示和数学描述的方法，是进行颜色信息研究的理论基础。在 彩色图像处理中，如何根据图像处理的需要选择一个合适的颜色空间是一项关键问题。 在对颜色特性进行分析的基础上，对目前常用的颜色空间进行了分析，并对各种颜色空 间的转换关系进行了论述，并实现了从r g b 空间到h s l 空间的转换。 图像分割是图像处理中的关键环节。由于彩色图像颜色表示的非线性，彩色图像分 割具有比灰度图像分割更大的难度。在分析了几种常用颜色空间模型特点的基础上，选 择h s l 颜色空间模型作为研究的主要对象，对其进行了进一步的讨论和仿真实验分析， 并在h s l 空间中实现了彩色图像的分割。 针对目前彩色图像形态学处理研究的现状，较为系统的研究了数学形态学方法从灰 度图像到彩色图像的推广。在彩色图像处理基本理论的基础上，定义颜色向量顺序、最 大最小算子，并给出了新的彩色形态学腐蚀、膨胀运算的定义，进一步给出了复合彩色 形态变换，实现了从灰值形态学到彩色形态学的推广。 将彩色形态学的理论进一步应用到实际的彩色图像处理，构造了几种彩色形态滤波 器，用于彩色图像的滤波处理；给出了几种不同的彩色图像边缘检测算子，比较其检测 效果，并同经典算子的直接扩展方法进行了比较。 关键词：彩色图像处理；数学形态学；h s l 颜色空间；图像滤波；边缘检测 1 1 东北大学硕士学位论文 a b s t l a c t r e s e a r c ho nm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y a l g o r i t h m s f o rc o l o ri m a g e p r o c e s s i n g a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , c o l o ri m a g e sa r ea p p l i e dm o r ea n d m o r ew i d e l y , c o m p a r e dw i t hg r e yi m a g e ，m o r ev i s u a li n f o r m a t i o ni sc a r r i e db yc o l o ri m a g e c o l o ri m a g ep r o c e s s i n gh a sb e c o m ea l li m p o r t a n ts t u d yd o m a i n d u et ot h ec o m p l i c a t i o no f c o l o rr e p r e s e n t a t i o ni nc o l o ri m a g e ，t e c h n o l o g i e so fg r e yi m a g ec a n tb ea p p l i e di nc o l o r i m a g ep r o c e s s i n gd i r e c t l y h o wt ou t i l i z ec o l o ri n f o r m a t i o ns u f f i c i e n t l yi so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tp r o b l e mi nc o l o ri m a g ep r o c e s s i n g b i n a r ym o r p h o l o g ya n dg r a y s c a i em o r p h o l o g ya l es t u d i e da n ds u m m a r i z e df i r s t l yi nt h e d i s s e r t a t i o n ，a n ds i m u l a t i o ni n s t a n c eo fe a c hm o r p h o l o g i c a lo p e r a t o ri sg i v e nt oe x p l a i nt h e p r o c e s s i n ge f f e c to ft h e s eo p e r a t o r s i na d d i t i o n ，t h eg e n e r a l i z a t i o no fm o r p h o l o g yf r o m b i n a r yi m a g et og r a y s c a l ei m a g ei si n t r o d u c e di np a r t i c u l a r , w h i c ha c t sa st h ef o u n d a t i o no f t h eg e n e r a l i z a t i o nt oc o l o rm o r p h o l o g y c o l o rs p a c ei st h em e t h o df o rc o l o ra b s t r a c tr e p r e s e n t a t i o na n dm a t h e m a t i cd e s c f i i p t i o n , a n di st h et h e o r e t i c a lb a s i so fs t u d y i n gc o l o ri n f o r m a t i o n d u r i n gc o l o ri m a g ep r o c e s s i n g ，h o w t oc h o o s eas u i t a b l ec o l o rs p a c ea c c o r d i n gt ot h er e q u i r e m e n to fi m a g ep r o c e s s i n gi sa k e y p r o b l e m v a r i o u sm a i nc o l o rs p a c e s ，w h i c hh a v eb e e np r e s e n t e db yn o w , a r ea n a l y z e db a s e d o nt h ea n a l y s i so fc o l o ra t t r i b u t e s t h et r a n s f o r mr e l a t i o n s h i p sa m o n gt h o s es p a c e sa r e d i s c u s s e d ，a n dt h et r a n s f o r m a t i o nf r o mr g bc o l o rs p a c et oh s lc o l o rs p a c ei sa c h i e v e d i m a g es e g m e n t a t i o ni sak e yl i n ki ni m a g ep r o c e s s i n g b e c a u s eo ft h en o n l i n e a r i t yo f c o l o rr e p r e s e n t a t i o n , c o l o r i m a g es e g m e n t a t i o n i sm o r ed i f f i c u l tt h a ng r a y s c a l ei m a g e s e g m e n t a t i o n a f t e ra n a l y z i n gt h ef e a t u r e so fv a r i o u sm a i nc o l o rs p a c e s ，h s lc o l o rs p a c e ， w h i c hi ss e l e c t e da sc h i e fs t u d i e do b j e c ti nt h i sd i s s e r t a t i o n , i sd i s c u s s e du l t e r i o r l ya n d a n a l y z e dt h r o u g hs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t s ，a n dc o l o ri m a g es e g m e n t a t i o ni sr e a l i z e di nh s l c o l o rs p a c e c o n t r a p o s i n gs t u d ys t a t u so fm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g ya l g o r i t h m sf o rc o l o ri m a g e p r o c e s s i n g , t h eg e n e r a l i z a t i o no f m o r p h o l o g yp r o c e s s i n gf r o mg r a y s c a i ei m a g et oc o l o ri m a g e i ss t u d i e ds y s t e m a t i c l l y o nb a s i so ff u n d a m e n t a lt h e o r ya n dt e c h n i q u eo fc o l o ri m a g e p r o c e s s i n g ，c o l o rv e c t o r so r d e r i n g ，i n t i m u ma n ds u p r e m u mo p e r a t o r sa r ed e f i n e d ，a n dt h e f u n d a m e n t a lv e c t o rm o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r sa r ee x t r a c t e d f u r t h e r m o r e ，c o m p o u n dc o l o r m o r p h o l o g i c a l t r a n s f o r m a t i o n sa r e p r e s e n t e d ，a n d t h eg e n e r a l i z a t i o no fm o r p h o l o g y p r o c e s s i n gf r o mg r a y s c a l ei m a g et oc o l o ri m a g ei sa c h i e v e d t h et h e o r yo fc o l o rm o r p h o l o g yp r e s e n t e da b o v ei s a p p l i e di na c t u a lc o l o ri m a g e i i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t p r o c e s s i n g s e v e r a lk i n d so fc o l o rm o r p h o l o g i c a lf i l t e r sa l ec o n s t r u c t e dw i t ht h ep u r p o s eo f e l i m i n a t i n gn o i s ei nc o l o ri m a g ep r o c e s s i n g ；c o l o ri m a g ee d g ed e t e c t i o no p e r a t o r s a r e p r e s e n t e d ，a n dd e t e c t i n ge f f e c t sa l ec o m p a r e d v a l i d i t yo ft h en e wm e t h o di s t e s t i f i e db y e x p e r i m e n a lr e s u l t s k e yw o r d s ：c o l o ri m a g ep r o c e s s i n g ；m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ；h s lc o l o rs p a c e ；i m a g e f i l t e r i n g ；e d g ed e t e c t i n g ，i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示诚挚 的谢意。 学位论文作者签名： 多刁工傣己 签字日期。唧i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名：否则视为不同意) 学位论文作者签名：忍红莨 导师签名： 签字日期：7 厕f签字日期： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论弟一早珀下匕 目前，关于数字图像处理的研究仍然集中在灰度图像上，很多关于图像处理的理论 和方法都是针对灰度图像提出的。然而，在计算机视觉中，彩色信息是十分重要的，与 灰值图像相比，彩色图像能够提供更加丰富的色彩和亮度信息。在通常情况下，灰度图 像处理技术是不能直接应用于彩色图像的，因此对彩色信息的特殊处理是必要的。 更重要的是，近年来随着网络和多媒体技术的飞速发展，人们对彩色图像处理的要 求越来越高，彩色图像的应用也日益广泛，彩色图像的采集、处理以及显示技术在印刷 工业、电视工业、医学成像等实际应用领域中都有十分重要的意义。因此彩色图像的处 理受到了越来越多的关注。 与此同时，由于计算机性能的不断提高，使得处理大数据量的彩色图像变得容易， 处理彩色图像的彩色传感器和硬件的价格也变得容易接受，从而导致了彩色图像处理技 术的飞速发展。 1 2 数字图像与数学形态学 数学形态学是- f q 新兴的学科。1 9 6 5 年，德国和法国巴黎矿业学院的科学家们几乎 同时奠定了数学形态学的基础，此后，两者共同建立了枫丹白露形态学研究中心【l 】。经 过四十多年的发展过程，无论是在理论方面还是在应用方面都取得较大的成就】。 数学形态学建立在严格数学理论基础上 4 j ，形态学图像处理的基本思想，是利用一 个被称作结构元素的“探针”收集图像的信息。作为探针的结构元素，可直接携带图像 的形态、大小、灰度甚至是色度信息，来探测研究图像的结构特点。当探针在图像中不 断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。 最初，数学形态学是基于集合论的，是具有一定约束条件的集合变换，称之为连续 形态学。后来发展成为基于离散点集的离散形态学。从研究的对象来看，形态学也由最 早的二值形态学扩展到了灰值( 多值) 形态学。特别是近几十年，数学形态学与其它相 关学科的渗透与融合，使数学形态学又出现了许多新的分支。例如：排序统计学的注入， 使数学形态学发展成为顺序形态学( o r d e rs t a t i s t i c a lm o r p h o l o g y ) 。它研究的对象主要是 离散多值信号( 图像) ，其主要运算是局部的排序统计运算。模糊逻辑与数学形态学的 结合，又出现了模糊形态学( f t i z z ym o r p h o l o g y ) 。它是将模糊集合引入到形态学运算中， 东北大学硕士学位论文第一章绪论 从而构成模糊形态变换，用以处理图像信号。另外，形态学与神经网络的相互融合，形 成了另一个发展方向一形态神经网络( m n n ) 。经典的神经网络中，每个节点的信息组合 是通过相关节点的各个响应值与权值相乘，再将乘积结果相加完成的：而在形态神经网 络中，节点的信息组合是由相加和取极值运算完成的。软数学形态学也是数学形态学发 展的一个重要分支，这种方法用排序加权统计方法代替最小、最大法，结构元素由核心 和软边界两大部分组成，具有更强的抗噪声干扰能力，对加性噪声和微小形状变化不敏 感。最近由g o u s t i a s 提出的形态小波是一种非线性的多分辨率分析方法，兼顾了数学形 态学和小波变换的优点，具有更好的多分辨率分析特性和更好的抗噪声性能。 形态学基于探测的思想与人的视觉特点有类似之处，因此对图像处理的理论和技术 产生了重大影响1 5 , 6 】。许多非常成功的理论模型和视觉检测系统都采用了数学形态学算法 作为其理论基础或组成部分。事实上，深入了解数学形态学就会发现，数学形态学的基 本思想及方法适用于与图像处理有关的各个方面：基于击中击不中变换的目标识别：基 于流域概念的图像分割；基于腐蚀和开运算的骨架提取和图像压缩编码：基于测地距离 的图像重建；基于形态学滤波器的图像滤波等。而且，传统图像处理中的线性算法和非 线性算法均是形态学算法的特例，这说明数学形态学是一个图像处理的统理论，是对 传统理论的推广，在这个统一理论的框架下，经典的方法得以在一个新的、统一的层次 上进行分析 7 , 8 1 。 形态学图像处理已经成为计算机数字图像处理的一个主要的研究领域【9 】，近年来得 到了重视 1 0 , 1 1 。形态学的技术和应用己经广泛应用到与计算机图像处理有关的各个领 域，包括图像增强、分割、恢复、边缘检测、颗粒分析、特征分析、骨架化、形状分析、 压缩以及细化等领域。这门学科在计算机文字识别、计算机显微图像分析、医学图像处 理和机器人视觉方面都取得了许多非常成功的应用。 虽然数学形态学在计算机视觉和图像处理方面的应用十分成功，但是这些形态学处 理方法却主要局限于二值形态学和灰值形态学【1 2 1 ”，从灰值图像向彩色图像的推广，即 形态学在彩色图像中的应用研究仍处于经验阶段l i 。用于彩色图像处理的研究还不是很 多，也没有得到足够的重视。虽然人们已提出了一些应用于彩色图像处理的数学形态学 方法，但这些方法往往是先将彩色图像转换成灰度图像，甚至是将彩色图像二值化成为 二值图像后，再应用灰值( 二值) 形态学方法进彳亍处理 1 5 - 1 8 ，这仍然属于灰度图像的形 态学处理方法；还有一些将灰值形态学推广到彩色形态学的方法，这些算法通常是基于 r g b 空间进行的【1 9 m 1 ，并且是对彩色图像的各个分量分别进行考虑，而忽略了各分量 间的联系，这样难以直接对彩色图像进行有效的处理。文 1 9 】中先定义了一个变换矩阵， 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 将r g b 空间的值通过该矩阵变为新的图像矩阵值。按照某种矢量范数，在新矩阵中定 义一种顺序关系作为形态学变换取值的顺序，新的矩阵本质上也是原来图像矩阵r g b 信道的一种线性组合。文 2 2 】针对红、绿、蓝三种基色采用不同大小的结构元素的彩色 形态滤波器来处理彩色图像的方法，其实质是对三个分量分别处理，再采用某种特定方 式进行组合。近几年来，随着对彩色图像形态学处理方法的关注，基于其它颜色空间的 彩色图像形态学方法也相继出现1 2 3 - 2 6 ，但是这些文章中提出的方法十分复杂，在理解上 有很大的难度，实现起来也很困难。 1 3 本文主要工作 本文针对目前彩色图像形态学处理的现状，较为系统的研究了数学形态学方法从灰 度图像到彩色图像的推广，并将得到的彩色形态学算子进一步应用到彩色图像处理的几 个方面，本文完成的工作主要有以下几个方面： 首先，对于二值形态学和灰值形态学的基本运算进行了总结归纳，并针对这些基本 算子给出了相应的实验结果，并通过实验结果分析了这些算子的特点及作用于图像的效 果。 其次，颜色空间是颜色抽象表示和数学描述的方法，是进行颜色信息研究的理论基 础。不同的颜色空问具有不同特性，在彩色图像处理中，如何根据图像处理的需要使用 不同的颜色空间是一项关键问题。本文在考虑了几种颜色空间模型的特点后，选择h s l 颜色空间模型作为研究的主要对象，实现了从r g b 空间到h s l 空间的转换；为了更好 地认识h s l 颜色空间，对其进行了进一步的分析讨论和仿真实验，并在h s l 空间中实 现了彩色图像的分割。 然后，基于h s l 颜色空间模型，将数学形态学推广到了彩色图像，我们称之为彩 色形态学。将彩色空间的每个像素作为一个向量来处理，定义了向量的大小，并在此基 础上定义最大最小算子，最后重新定义了彩色形态学的最基本操作，包括腐蚀、膨胀操 作，并进一步给出了复合彩色形态变换，如彩色形态开、闭运算等，实现了从灰值形态 学到彩色形态学的推广。 最后，将彩色形态学的理论应用到实际的彩色图像处理，构造了几种彩色形态滤波 器，用于彩色图像的滤波去噪：给出了几种不同的彩色图像边缘检测算子，并同其它边 缘检测方法的检测效果进行了比较说明。 全文共分六章：第一章概述了彩色图像处理的发展状况，以及形态学方法在图像处 理领域尤其是彩色图像处理方面的发展现状，并提出了全文的主要工作；第二章是形态 3 一 东北大学硕士学位论文第一章绪论 学基础，介绍了二值形态学和灰值形态学的基本概念，基本运算和实现方法，并给出了 相应的实例加以说明。特别介绍了形态学从二值到灰值的推广过程，作为彩色形态学推 广的基础；第三章是彩色图像基础，介绍了几种常用的颜色空间，以及它们之间的相互 转换关系，并给出了从r g b 到h s l 空间的转换实例，讨论了h s l 空间单独控制其各 个分量的能力，分析其主要特点，并在此基础上实现了h s l 空间的彩色图像分割。第 四章实现了形态学从灰度图像到彩色图像的扩展，在最大最小算子定义的基础上，重新 定义了彩色形态腐蚀、膨胀运算及开、闭运算等，并编程实现了这些算子的功能，给出 实际的仿真结果：第五章将改进的彩色形态学基本算子用于具体的彩色图像处理，包括 彩色图像的形态学滤波和边缘检测；第六章是对全文的总结，以及对进一步的工作的展 望。 东北大学硕士学位论文g a 章数擘形态学基础 2 1 引言 第二章数学形态学基础 本章的主要内容是对本文所涉及的主要理论数学形态学进行介绍，包括二值形 态学和灰值形态学的基本运算及性质【2 1 。由于数学形态学理论是建立在严格数学理论上 的学科，专著中的论述大都是在严格的集合理论的意义上给出的，符号很多，不易理解。 这里对形态学的介绍是从工程实际的角度出发，本着简明、直观、形象的原则，给出它 的算法的基本概念、实现方法及分析，以便后文的叙述方便，其中略去了形态学中纯理 论的部分。 数学形态学方法比其它空域或频域图像处理方法具有一些明显的优势f 2 刁。数学形态 学方法最初应用于二值图像处理领域中，获得了广泛的应用【2 1 ，且效果显著，灰值形态 学是二值形态学对灰度图像的自然扩展。其中，二值形态学中用到的交、并运算分别用 最小、最大运算代替 2 , 3 , 2 5 1 ，这对于理解灰度图像到彩色图像的推广是很重要的。 本章的目的是了解二值和灰值形态学的基本概念和基本运算，并给出相应的图像处 理结果，给出了二值形态学到灰值形态学的扩展过程，为更好地理解到彩色形态学的推 广打好基础。 2 2 二值形态学 本节介绍二值图像的基本形态学运算：腐蚀和膨胀，以及由这两种基本运算构成的 其它形态学运算，包括开运算，闭运算和击中击不中运算。在有些文献中它们的定义形 式不尽相同，本文采用以下定义形式。 2 2 1 二值腐蚀 腐蚀是数学形态学最基本的运算，它表示用某种“探针”对一个图像进行探测，以 便找出在图像内部可以放进该基元的区域。膨胀是腐蚀的对偶运算，可定义为对图像的 补集作腐蚀运算。这里，我们设集合a 为图像集合，集合占为结构元素，数学形态学运 算是用b 对a 进行操作。 腐蚀是数学形态学最基本的运算，它的实现是基于填充结构元素的概念。 集合a 被集合b 腐蚀，表示为a b ，其定义为： 东北大学硕士学位论文 第二章数学形态学基础 a o b = 忸：b + x c 7 椰( 2 1 ) 其中，4 称为输入图像，b 为结构元素，c 表示子集关系。a o b 由将口平移x 仍包 含在a 内的所有点x 组成。如果将口看作模板，那么a o b 则由在将模板平移的过程中， 所有可以填入彳内部的模板的原点组成。 如图2 1 所示，从几何角度看，圆盘丑在图像a 内部移动，将圆盘的原点位置标记 出来，即得到腐蚀后的图像。这里包含两种情况：原点在结构元素的内部，这时腐蚀后 的图像是输入图像的子集；原点在结构元素的外部，那么腐蚀后图像不可能在原图像的 内部。 ( a ) 原点在结构元素内部 ( b ) 原点在结构元素外部 图2 1 二值腐蚀运算 f i g 2 1b i n a r yi m a g e e r o s i o no p e r a t i o n 本文对一幅二值图像进行了腐蚀运算，采用两种不同的结构元素，得到的结果如图 2 2 所示。 东北大学硕士学位论文 第二章数学形态学基础 爨圈爨 ( a ) 原始图像( ”用3x3 圆形结构元素腐蚀结果( c ) 用3 x3 方形结构元素腐蚀结果 图2 2 二值腐蚀运算结果 f i g 2 2r e s u l t so f b i n a r yi m a g e e r o s i o no p e r a t i o n 二值腐蚀具有下面几个性质： 首先，腐蚀具有平移不变性，这意味着首先平移图像，然后利用一个给定结构元素 对其作腐蚀，和先用一个给定结构元素对图像作腐蚀处理然后作平移，其结果是一样的， 其形式如下： ( a + x ) o b = ( a o b ) + x ( 2 2 ) 需要注意的是，对于腐蚀而言，这种平移不变性是针对平移图像，而不是针对结构 元素。 腐蚀的另一个性质是递增性，即：如果a 1 是a 2 的子集，那么a , e b 是4 0 b 的子集。 注意，腐蚀的递增性是相对结构元素及输入图像的次序，即包含关系而言的。如果a 是 一个固定的图像，b 1 是b 2 的一个子集，那么，b l 比b 2 更容易填入爿的内部，因而，4 0 b 包含4 0 b 。 2 2 2 二值膨胀 二值数学形态学的第二个基本运算是膨胀运算。膨胀运算是腐蚀运算的对偶运算 ( 逆运算) ，可以通过对补集的腐蚀来定义。一被b 膨胀表示为彳o b ，其定义为： 4 0 b = 爿。o ( 一曰) 】 ( 2 3 ) 其中，a c 表示a 的补集，一丑表示丑关于原点的映射。为了利用b 膨胀a ，可将占 相对原点旋转1 8 0 。后得到一占，再利用一曰对a 进行腐蚀。腐蚀结果的补集，便是膨胀 的结果，如图2 3 所示。 另外，膨胀的一个等价定义可表示为： 4 0 b = u a + b ：b b ， ( 2 4 ) 东北大学硕士学位论文第二章数学形态学基础 b 图2 3 二值膨胀运算 f i g 2 3b i n a r yi m a g ed i l a t i o no p e r a t i o n 本文对一幅二值图像进行了膨胀运算，同样采用两种不同的结构元素，所得结果如 图2 4 所示。 ( a ) 原始图像( b ) 用3 3 圆形结构元素膨胀结果( c ) 用3 3 方形结构元素膨胀结果 图2 4 _ 二值膨胀运算结果 f i g 2 4r e s u l t so f b i n a r yi m a g ed i l a t i o no p e r a t i o n 由以上图示可以看出，膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它是对图像 外部作滤波处理。腐蚀具有收缩图像的作用，而膨胀具有扩大图像的作用。 下面我们看看二值膨胀的性质。 膨胀也具有平移不变性，对于膨胀而言，这种平移不变性是针对平移图像和结构元 素而言的。膨胀的平移不变性具有下面的形式： ( 4 + x ) o b = ( 彳o d + x( 2 5 ) 膨胀的另一个性质是，膨胀具有递增性，即：如果4 是4 的子集，那么4o b 是 4 0 b 的子集。 另外，前面已经指出，膨胀是腐蚀的对偶运算。因为膨胀可以通过对图像的补集作 腐蚀运算求得，腐蚀也可以通过对图像的补集作膨胀运算求得，即 8 东北大学硕士学位论文g - = 章数学形态学基础 a ( 9b a 。o ( - a ) l c ( 2 6 ) a o b = 【爿o ( 一b ) r ( 2 7 ) 二值形态腐蚀变换和膨胀变换在图像处理中的主要应用是图像的预处理。 2 2 3 二值开运算 在形态学图像处理中，除了腐蚀和膨胀这两种基本运算之外，还有两种二次运算起 着非常重要的作用，即开运算和闭运算2 9 1 。从结构元素填充的角度看，它们具有更为直 观的几何形式，同时提供了一种手段，使我们可以在复杂的图像中选择有意义的子图像。 仍然假设彳为输入图像，口为结构元素，利用口对彳作开运算，用符号4 。b 表示， 其定义为： 彳o b = ( a o b ) o b ( 2 8 ) 从式2 8 可以看到，开运算实际上是彳先被曰腐蚀，再被曰膨胀的结果，即开运算。 可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。当结构元素曰在整个 图像集合内部移动时，对每一个可填入位置作标记，计算结构元素平移到每一个标记位 置时的并，便可得到开运算。 我们同样用一个圆形结构元素对矩形作开运算，来说明开运算的作用效果，如下图 所示。 r , 4 0 b b 圈 琵磊么一 图2 5 二值开运算 f i g 2 5b i n a r yi m a g eo p e n i n go p e r a t i o n 从图2 5 我们可以看出开运算的两个作用：利用圆盘作开运算起到磨光内边缘的 作用，即可以使图像的尖角转化为背景；利用4 一爿。b 可以得到图像的尖角，因此圆 盘的圆化作用可以起到低通滤波的效果。 本文对一幅二值测试图像进行了开运算处理，分别选取3 x 3 的圆形结构元素和3 9 东北大学硕士学位论文第二章数学形态学基础 3 的方形结构元素，所得结果如图2 6 ( b ) 、2 6 ( c ) 所示。 瓣爨爨 ( a ) 原始图像( b ) j l i j3 3 圆形结构元作开运算结果( c ) 用3 3 方形结构兀作开运算结果 图2 6 二值开运算结果 f i g 2 6r e s u l t so f b i n a r yi m a g eo p e n i n go p e r a t i o n 2 2 4 二值闭运算 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀再作腐蚀的运算，用b 对a 作闭运算 用符号4 曰表示，其定义为： 彳b = f 爿o b ) o b( 2 9 ) 从上式可以看出：用结构元素b 对图像a 作闭运算可得到一个集合，该集合中包含 所有这样的点x ，x 被一个平移的镜像结构元素覆盖的同时，平移的镜像结构元素与a 图 像必有一些公共点。由此看出，初始图像4 是包含在闭运算后的彳b 中，即闭运算是 具有延伸性的运算。图2 7 描述了闭运算的作用结果。 彳0 口 - - - - 彳o b ( 彳o b ) o b a b 图2 7 二值闭运算 f i g 2 7b i n a r yi m a g ec l o s i n go p e r a t i o n 显然，用闭运算对图形的外部作闭运算，其结果只是磨光了凸向图像内部的边角。 开运算和闭运算互为对偶运算，开运算具有磨光图像外边界的作用，闭运算具有磨光图 1 0 东北大学硕士学位论文 第二章数学形态学基础 像内边界的作用，利用这样的特点可以完成一些特殊的图像处理。 本文对测试图像进行了开运算，分别选取3 3 的圆形结构元素和3 3 的方形结构 元素，闭运算所得结果如图2 8 ( b ) 、2 8 ( c ) 所示。 爨溅隘 ( a ) 原始图像( b ) 用3 3 圆形结构元作闭运算结果( c ) 用3 3 方形结构元作闭运算结果 图2 8 二值闭运算结果 f i g 2 8r e s u l t so f b i n a r yi m a g ec l o s i n go p e r a t i o n 根据上面的实验结果可以看出，选取不同形状和大小的结构元素，所得闭运算的结 果是不同的。利用结构元素对图像做闭运算，可以填充目标内部狭窄的裂缝和长细的窄 沟，消去小的孔洞。 2 2 5 击中击不中运算 在图像分析中，如果想同时探测图像的内部和外部，而不仅仅局限于探测图像的内 部或是图像的外部，击中击不中变换( h m t ) 即可达到这样的目的。在解决类似于目标识 别，细化等问题时，击中击不中变换是一种非常有效的方法。 击中击不中变换在一次运算中可以同时捕获到内外标记。击中击不中变换需要两个 结构元素，设为e 和f ，做为一个结构元素对曰= ( e ，f ) ，一个探测图像内部，另一个 探测图像外部，其定义为： 爿 b = ( a o e ) n ( a 。o f ) ( 2 1 0 ) 当且仅当e 平移到某一点时可填入a 的内部，f 平移到该点时可填入a 的外部时， 该点才在击中击不中变换的输出中。显然，e 和f 应当是不相连接的，即e n f = o ， 否则便不可能存在两个结构元素同时填入的情况。由于击中击不中变换是通过将结构元 素填入图像及其补集来实现的，所以它通过结构元素对来探测图像和其补集之间的关 系。 变换关系如图2 9 所示，根据腐蚀的定义，式2 1 0 还可以表示为： a b = x ：e + x c 一；f + x c a l ( 2 1 1 ) 若取f 为空集，条件f + x c 么l 恒得到满足，则上式变为： 东北大学硕士学位论文第二章数学形态学基础 4 b = x ：e + x c 4 = a o b ( 2 1 2 ) 图2 9 击中击不中变换( a ) 击中结构元素( b ) 击不中结构元素( c ) 输入图像( d ) 输出结果 f i g 2 9h m t ( a ) h i ts t r u c t u r i n ge l e m e n t ( b ) m i s s h i ts t r u c t u r i n ge l e m e n t ( c ) i n p u ti m a g e ( d ) o u t p u tr e s u l t 利用击中击不中变换进行目标识别的方法已经被广泛应用于机器视觉和字符识别 等各类问题。 2 3 灰值形态学 随着数学形态学的发展，灰值形态学理论逐步建立起来，它是在二值形态学的基础 上发展起来的。在二值形态学的基础上，可以引出灰值形态学的四种基本运算：腐蚀、 膨胀、开、闭运算。 2 3 1 极小和极大运算 为了更好的理解灰值形态学，我们首先介绍一下灰值形态学中的关键运算：即极小 和极大运算，这与二值形态学中集合的交运算和并运算是对应的。 给定两个信号厂和g ，假设信号超出定义域时取负无穷大，由于负无穷大小于其它 所有值，故在每一个点x ，如果f ( x ) 或g ( x ) 有一个为负无穷，那么其极小也应当为负无 穷。因此，定义厂和g 的极小为：如果x 在定义域的交集d 【门n d i g 】中，那么 ( 厂 g ) ( x ) = r a i n f ( x ) ，g ( 工) ( 2 13 ) 否则，x 便不在 g 的定义域中，即厂 g 无定义。事实上，只要允许函数的值取 负无穷大，那么式2 1 3 所表示的定义对所有的x 都是成立的。 同样，可以逐点定义极大运算厂v g 为： 1 2 东北大学硕士学位论文 第二章数学形态学基础 u v g ) ( x ) = m a x 厂( x ) ，g ( x ) ) ( 2 1 4 ) 其中x 在d f u d g 内。如果x 在，的定义域内，但在g 的定义域外，那么定义 u v g ) ( x ) = f ( x ) ；如果x 在g 的定义域内，但在厂的定义域外，那么定义 ( f v g ) ( x ) = g ( x ) ；如果x 不在厂和g 的定义域内，则v g 无定义。 下面再给出一个运算：反射，如果h 为定义域d h 】内的一个信号，h 对原点的反射 定义为： 而( x ) = 一矗( _ x ) ( 2 1 5 ) 即信号的反射是通过先对纵轴反射，然后对横轴反射得到的。 2 3 2 灰值腐蚀 由于腐蚀和膨胀满足许多代数运算规则，因而对于这两种运算，同样也存在许多等 价的定义方法。前面曾指出形态学源于填充的概念，而灰值形态学处理的对象是信号( 图 像) 波形的拓扑特性，因此与二值运算一样，我们可利用填充的概念直接定义灰值运算。 利用结构元素g ( 也是一个信号) 对信号f 的腐蚀定义为： ( f o g ) ( x ) = m a x y ：g x + y 以( 2 。1 9 ) ( 厂0 9 ) ( x ) g ( 归g ) ( x ) 五 图2 1 2 利用扁平结构元素进行腐蚀和膨胀 f i g 2 1 2e r o s i o na n dd i l a t i o no p e r a t i o n su s i n gf l a ts t r u c t u r i n ge l e m e n t 图2 1 2 给出了利用扁平结构元素进行膨胀的示例。 同灰值腐蚀一样，可以用全局明可夫斯基和来定义膨胀： 厂o g = v 厶+ 9 0 ) ：x d 【羽)( 2 2 0 ) 采用这种形式的灰值膨胀更便于计算，即：对于结构元素g 的定义域d g 】中的每一 个点x 将信号厂平移工，然后再对每次平移信号的值加上g ( x ) ，这样对于结构元素定义 域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可以得到膨胀结果。 同样的，我们也给出一个例子加以说明膨胀的效果，如图2 ，1 3 所示。 1 5 东北大学硕士学位论文第二章数学形态学基础 ( a ) 原始图像 ( b ) 3 x 3 结构元素膨胀结果 ( c ) 5 5 结构元素膨胀结果 | 墨l2 1 3 灰值膨胀结果 f i g 2 1 3r e s u l t so f g r a y s c a l ed i l a t i o no p e r a t i o n 图2 1 3 ( a ) 同样显示了一幅1 1 0 x 3 7 0 大小的灰度图像，( b ) 显示了用大小分别为3 3 和5 5 的圆形结构元素对其进行膨胀的结果。我们看到，膨胀后的图像比原图更明亮， 而且原图中黑色部分被削弱了。并且，暗的细节部分减少的程度取决于所使用的结构元 素的形状和大小。 2 3 2 灰值开、闭运算 了解了灰值腐蚀和膨胀之后，便可以在此基础上定义两种对偶运算，即灰值开运算 和灰值闭运算。 灰值开运算可以参照二值的情况来定义，即先做腐蚀再做膨胀的迭代运算： f o g = ( f o g ) g( 2 2 1 ) 同样，灰值闭运算也可以参照二值的情况来定义，即先做膨胀再做腐蚀的迭代运算： f o g = ( ，og ) o g( 2 2 2 ) 另外，可以利用对偶性来定义闭运算： f o g = - ( - f ) o ( 一g ) 】( 2 2 3 ) 1 6 东北大学硕士学位论文 第二章数学形态学基础 即对水平轴翻转信号和结构元素并做开运算， 那么，开运算和闭运算又有什么作用昵， 然后，再对水平轴作翻转。 我们用一个例子说明，如图2 1 4 所示。 ( a ) 原始图像 ( b ) 3x3 圆形结构元素开运算结果 ( c ) 5x5 圆形结构元素开运算结果 ( d ) 3 x 3 圆形结构元素闭运算结果 ( e ) 5 5 圆形结构元素闭运算结果 图2 1 4 灰值开、闭运算结果 f i g 2 1 4r e s u l t so f g r a y s c a l eo p e n i n g a n dc l o s i n go p e r a t i o n s 图2 1 4 给出了一幅1 1 0 3 7 0 的灰度图像及其开、闭运算的结果，所用的结构元素 分别是3 3 和5 5 的圆形结构元素。 在实际应用中，开操作常用来去除相对结构元素较小的明亮细节，同时相对地保持 整体的灰度级和较大地明亮区域不变。如图2 1 4 ( b ) 所示开运算的结果，当采用较大结构 元素时，更多的相对小的明亮细节被去除了。开运算之所以有这样的效果，是因为先进 行的腐蚀操作可以除去小的图像细节，但同时使图像变暗，接着进行的膨胀操作又会增 强图像的整体亮度，但在腐蚀操作中被除去的细节部分不会被重新引入到图像中去。 然而，闭运算是先进行膨胀，除去图像中暗的细节，同时增加图像的亮度，接着进 行腐蚀操作，却不会将膨胀操作中被除去的部分重新引入到图像中去。因此，如图2 1 4 ( b ) 所示的闭运算结果，图像中暗细节部分被消除了，相对地保持明亮部分不受影响。 - 1 7 东北大学硕士学位论文 第二章数擘形态学基础 2 4 本章小结 本章简要介绍了二值形态学和灰值形态学的基本运算，包括腐