（控制理论与控制工程专业论文）执行器饱和时滞系统的保性能控制：低增益方法.pdf

摘要 饱和非线性是实际控制系统中的常见现象，几乎所有的控制器、执行器与传感 器都有其工作参数的饱和非线性的限制，因而这类系统的研究由于其重要的理论和 实际意义历来是控制理论的研究热点之一。 一方面，在实际工业过程控制中，要想完全准确地建立控制对象的数学模型是 不可能的，通过模型降阶近似，非线性特性的线性化近似，以及忽略对象难以建模 的动态特性，外部工作环境的变化和各种不可测干扰之后所得到的对象模型跟实际 对象的特性存在一定的差距，这种差距往往可以看成是系统模型的一种不确定性。 另一方面，在实际的工业过程中，大惯性环节、传输过程，复杂的在线分析 仪等等不可避免地会导致滞后现象，而这些滞后特性往往会严重影响控制系统的稳 定性以及系统的性能指标，因此时滞系统地研究同样具有重要的理论和实际工程意 义。 本文的研究工作主要基于l y a p u n o v 稳定性定理，r a z u r n i k h i n 稳定性定理以及凸 集的有关理论，并采用了线性矩阵不等式，矩阵分析等工具。主要研究内容如下： 首先研究具有状态时滞和输入饱和的非线性连续系统的保性能控制问题。利用 线性矩阵不等式方法给出了保性能控制律存在的条件和保性能控制器的设计方法， 该控制器可使系统稳定，并使二次型性能函数满足一定的性能指标。通过求解一个 由线性矩阵不等式表示的凸优化问题，得到系统性能指标的最小上界。 其次考虑了一类具有执行器饱和的离散时滞系统的保性能控制问题。通过构造 一个合适的l y a p u n o v 泛函，从而将问题转化为l m i 的求解问题。基于该解可求得状 态反馈保性能控制律。 最后对一类具有执行器饱和的不确定时滞广义系统，考虑其保性能控制问题， 采用线性矩阵不等式处理方法，提出了保性能控制器的存在条件和设计方法，并且 给出了相应情况下的性能指标上界。最后举例说明该方法的正确性。 关键词：饱和非线性，不确定时滞系统，广义系统，保性能控制，线性矩阵不 等式 a b s t r a c t s a t u r a t i o ni st h em o s tc o m m o n l ye n c o u n t e r e dn o n l i n e a r i t i e si nc o n t r o ls y s t e m s t a 1 m o s te v e r yp h y s i c a lc o n t r o l l e r , a c t u a t o ro rs e n s o ri ss u b j e c tt os a t u r a t i o nl i m i t s t h e r e f o r e ， d u et om ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e ，t h er e s e a r c ho n t h es y s t e ms u b j e c t t oa c t i l a t o rs a t u r a l i o nh a sa t t r a c t e dt r e m e n d o u sa t t e n t i o ni nt h ec o n t r o lt h e o r yf i e l d o no n eh a n d ，i ti sa l w a y si m p o s s i b l et oo b t a i na c c u r a t em a t h e m a t i c a lm o d e l f o rt h e 饼a c t i c a li n d u s t r i a lp r o c e s sc o n t r 0 1 t h em o d e l u n d e rw h i c ht h ec o n t r o l l e rd e s i g n e di su s u 。 a l l vd i f f e r e n tf r o mt h er e a lp l a n to w i n gt om o d e lr e d u c t i o n ，l i n e a ra p p r o x i m a t i o n sa n d t h e i g n o r i n go ft h ed y n a m i c sf o rm o d e l i n g ，t h e c h a n g e so ft h eo p e r a t i n g e n v i r o n m e n ta n do m e r u n m e a s u r a b l ed i s t u r b a n c e s t h e s ed i f f e r e n c e sc a nb ed e s c r i b e da st h eu n c e r t a i n t i e si nt h e m o d e la r g u m e n t s o nt h eo t h e rh a n d ，b e c a u s eo ft r a n s m i s s i o np r o c e s s ，l a r g e l a gl i n k sa n dc o m p l i c a t e d o n l i n ea n a l y z e r , al a r g en u m b e ro fi n d u s t r i a lp r o c e s s e sc a n b em o d e l e da st i m e d e l a ys y s 。 t e m s s y s t e m ss t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c e c a nb ed e t e r i o r a t e db yt h ed e l a yp h e n o m e n a ，s o t h e s t u d vo fd e l a ys y s t e m sa l w a y sa t t r a c t sc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nt h e c o n t r o lt h e o r yl i t e r a t u r e b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，r a z u m i k h i ns t a b i l i t yt h e o r ya n d c o n v e xs e tt h e o r y ， l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , m a t r i xa n a l y z i n gm e t h o d s a n dc o n v e xp r o g r a m m m ga r ea d o p t e di n t h i sp a p e r t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e m f o rl i n e a rc o n t i n u o u st i m e 。d e l a ys y s t e m 8 w i t hi n p u tc o n s t r a i n t si sc o n s i d e r e d ac r i t e r i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h eg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o ll a wa n dd e s i g nm e t h o do ft h ec o n t r o l l e ra r ed e r i v e di nt e r m so fl m i a nu p p e r b o u n do nt h eg u a r a n t e e dc o s ti sm i n i m i z e db ys o l v i n gac o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t h l m i s s e c o n d lv ，t h eo p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rac l a s so fd i s c r e t et i m e 。d e l a ys y s 。 t e m sw i t hi n p u tc o n s t r a i n t si ss t u d i e d b yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l el y a p u n o v f u n c t i o n a lt h i s p r o b l e mc a nb ec o n v e r t e dt ot h es o l v a b i l i t yo fm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h es t a t ef e e d b a c kl a w i sg i v e nb a s e do nt 1 1 es o l u t i o n s f i n a l l y ，t h ed e s i g nm e t h o do fo p t i m a lg u a r a n t e e dc o s t c o i l t r o l l e ri sp r e s e n t e d f i n a l l v f o rt h es i n g u l a rs y s t e m sw i t hs t a t et i m e d e l a y ，p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa n d i n p u tc o n s t r a i n t s ，t h ep r o b l e m o fd e s i g n i n go p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri sp r e s e n t e d i n t h el i g h to ft h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rt h ee x i s t e n c eo f t h ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri so b t a i n e d ，a n da nu p p e rb o u n do fp e r f o r m a n c ei n d e xi sg i v e n ，t o o t h es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s u a t et h ev a l i d i t yo ft h i sm e t h o d k e yw o r d s ：s a t u r a t i o nn o n l i n e a r i t i e s ，u n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m s ，s i n g u l a rs y s t e m s ， g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ，l m i 1 1 1 符号表 所有实数的集合 正实数的集合 n 维向量空间 mx 咒阶矩阵空问 向量范数 矩g g l ：a 的转置 矩暾的逆矩阵 单位矩阵 矩阵a 是一个对称负定矩阵 矩陬是一个对称半负定矩阵 矩阵a b 是一个对称负定矩阵 矩阵a b 是一个对称半负定矩阵 “对所有的 或“对给定的” “元素属于” “集合属于 矩阵的特征值 一d ，o 】上的连续向量函数 对角矩阵 ： m m 威胁 ：如 船n肌以n几心蛏耿胚)；巳已川咖 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位敝作者签名：剖柳 签字嗍：劲。7 年孑月为日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权基盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：刊 签字日期：加叩年箩月艿日 导师签名： po | n 签字日期撕7 年岁月丌日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 保性能控制的研究历史与意义 对实际系统来说，仅能保证系统的稳定性往往是不够的，在保证系统稳定的同 时一般还要求系统的动态响应满足一定的性能指标，由此保性能控制应运而生。现 代控制理论、最优化方法、统计数学等构成了保性能控制的理论基础。保性能控制 问题最早是f h c h a n g 和p e n g 于1 9 7 2 年在自适应控制中首次提出来的。其基本思想是 针对不确定系统设计一个反馈控制器，使得闭环系统不仅是稳定的，而且对于所有 容许的不确定性，其相应的性能指标不超过某个确定的上界。 多年来，人们对保性能控制的研究倾注了巨大的热情，在不确定连续系统方 面的研究，已经相当成熟了。但有效的系统分析和综合方法并不多见，理论分析和 实例验证表明，在不确定性范数有界假设条件下，利用不等式放大技术而得到的结 论，使得已有的不确定系统保性能控制设计方法存在一定的保守性，有的还比较严 重。 近几年来，随着不确定系统鲁棒控制研究所取得的进展，不确定系统的保性能 控制问题又得到了广泛的研究，在连续系统和离散系统领域内取得了很大的进展。 如文献 1 】针对范数有界的不确定连续系统，通过求解一个r i c c a t i 方程得到了一个次 最优保性能控制器，但是没有得到最优保性能控制器。p e t e r s e n 和m c f a r l a n e 解决了 上述问题，他们引入了一种二次保性能控制的概念，并证明了二次保性能控制律的 存在等价于一个带参数的r i c c a t i 方程矩阵对称正定解的存在性，二次保性能控制器 也可以由该对称正定解来构造。同时给出了设计使得闭环系统性能指标最小化的最 优二次保性能控制律的方法。文献【2 】采用不确定系统二次镇定的r i c c a t i 方程处理方 法，提出了二次保成本概念，通过求解特定的r i c c a t i 方程得到符合条件的最优保性 能控制矩阵。 文献【3 】【4 】考查了一类具有随机不确定的线性系统，针对一个线性有界函数， 通过对一组线性矩阵不等式的求解得到一个使系统存在最优降维控制器的必要条 件。文献【5 】在前面的基础上，考查一类可检测的初始状态随机的时变的范数有界不 确定系统，得到了与前文不同的结果。由几对矩阵方程推出了存在静态输出反馈保 性能控制的必要条件。又将动态输出反馈问题转化为一类静态输出反馈问题，通过 选择合适的加权矩阵，得到了一个存在动态输出反馈控制律的大约解的必要条件。 第一章绪论 近年来，控制系统的多目标设计方法受到了人们的重视，其中一种有效的方法 是不确定系统的地鼠保性能控制方法，如文献【6 】基于r i c c a t i 方程处理方法，提出 了不确定连续时问系统的恐风保性能控制律设计方法。 由此可见，不确定连续系统的保性能控制问题已比较完善，产生了很多有效的 系统分析和综合方法，但这些方法都是在不确定性范数有界假设条件下，以及利用 不等式放大技术而得到的，这使得目前已有的不确定系统保性能控制设计方法存在 一定的保守性是显而易见的。 人们对不确定线性系统的研究已经取得了十分丰富的成果，但是对不确定离散 系统【7 】【8 】，由于离散l y a p u n o v 方程是系统状态矩阵的一个非线性方程，当考虑系统 模型的不确定时，不确定矩阵将在l y a p u n o v 方程中以非线性形式出现，这使得对离 散系统的处理变得更为困难。 1 9 9 3 年发表在第十二界i f a c 世界会议上的文献【9 】是较早的研究不确定线性离 散时间系统的最优保性能控制问题文献之一，文献 1 0 】在此方面取得了重要进展， 研究了一类不确定离散系统的保性能控制问题，导出了保性能控制律存在的条件， 通过将保性能控制问题转化为一个辅助线性时不变系统的巩控制问题，采用风控 制技术给出了保性能控制律的设计方法。但得到的保性能控制律存在的条件仅仅是 充分的：不能确定使得闭环不确定系统指标值的上界尽可能少的最优保性能控制 律。针对以上问题，文献【1 1 】通过建立和求解一个具有线性矩阵不等式约束的凸优 化问题，给出了有效的解决方案，给不确定离散系统的保性能控制问题作出了开拓 性的贡献。 文献【1 2 】首次对具有两个不同被调输出的一类不确定离散时间系统的施风状 态反馈保性能控制问题进行了研究。基于线性矩阵不等式处理方法，导出了存在 状态反馈趣风保性能控制律的充分必要条件，用一个线性矩阵不等式的可行解给 出了所有保性能控制律的参数化表示。又通过建立和求解一个凸优化问题，给出 了恐风最优保性能控制律的设计方法。 对于不确定离散系统的输出反馈保成本控制问题，目前得到的结论还是比较少 的。文献 1 3 】针对一类具有范数有界时变参数不确定性的离散时间系统，研究设计 一个输出反馈保成本控制器，并给出了控制器的构造方法和闭环性能指标的上界。 文献 1 4 】研究了当开环系统满足一定条件的时候，可以由系统本身的矩阵容易地计 算出静态输出反馈增益，从而简化了求解静态输出反馈保性能控制器的计算。 对于不确定时滞系统，由于其特征方程是超越方程，时滞系统在理论上属于 无穷维系统。因此对时滞系统的研究，不论从数学理论上，还是在工程实际中， 都是比较有困难的，但是还是有不少学者从事这方面的研究，并取得了一定的成 果 1 5 _ 1 8 。 2 第一章绪论 保性能控制与鲁棒控制、矾控制、最优控制等有着密切的联系。当系统存在不 确定情况下，鲁棒保性能控制可以使得闭环系统既能满足保性能控制要求的性能指 标，同时该闭环系统又具有相应的鲁棒性能。其次，针对系统的不确定性，最优保 性能控制可以使得系统要求的性能指标达到符合要求的一个最优值。此外，保性能 控制与容错控制也结合起来了。即对同一个系统，设计控制律，使得系统不仅满足 相应的性能指标，又使得在传感器执行器出现故障时系统仍能稳定运行。有关这一 方面的研究取得了一些成果，值得指出的是，这类结论也包含可靠保性能控制和弹 性保性能控制问题，文献 1 9 1 一 2 1 1 都是这方面较新的成果。 1 2 执行器饱和系统的研究背景和主要方法 饱和非线性普遍存在于工程系统中。几乎所有实际系统巾的控制器、执行器与 传感器都有其工作参数的最大、最小值的限制，因而都可认为受到饱和的限制。我 们常常能够观察到下面的现象：当输入较小时，输入的增大致使输出增大( 经常是 成比例的) ；但当输入达到一定程度时，输入的进一步增大仪使输出稍许增大或不 增大，输出完全停留在其最大值附近。当出现这种现象时，就称该装置处于饱和。 一般的，执行器饱和系统的框图如图1 1 所示，系统输入饱和直接导致了控制器 输出u 和对象输入历的不同，这就是系统性能变坏的根源。 图1 1 输入饱和系统示意图 饱和系统中一个非常著名的例子就是系统中存在带有积分器的控制器， 最p p i d 控制器。积分器被普遍用于闭环系统中以减少系统静态误差。这种控制器用 于闭环系统中，将可能发生系统性能的下降。当执行器饱和时，执行器已经到达极 限位置，若此时仍然不能消除偏差，由于积分的存在，p i d 的运算结果会继续增大 或是减少，但是执行器并不会相应的产生动作，这种现象也被称为积分饱和。在没 有积分器的情况下，给定参考输入的取值可能导致一个不一致的稳态响应。 饱和根据其来源，可以分为以下两类：其一是出于安全原因而人为加入的， 例如安全电压、最高或最低液位的设置；其二是为器件装置所固有的，包括有限字 长的数字滤波器和神经网络系统等。不管其来源如何，对饱和非线性的分析和设计 都是十分重要的，因为饱和非线性的加入将会大大影响原有系统的稳定性和动态性 3 第一章绪论 能。 一般来讲，处理执行器饱和特性系统控制问题的方法基本上可以分为两类：直 接法和抗积分饱和补偿法。 直接法，即在控制器设计的开始就将执行器饱和直接考虑进去。h i n d i ，k o s u t 和p i a e r 运用绝对稳定性分析工具，圆盘判据和p o p o v 稳定性判据来估计系统的吸引 域，其中饱和被当成一种局部的扇区非线性来处理，运用二次l y a p u n o v i 函数和鲁里 叶类型的l y a p u n o v 函数来获得系统的吸引域估计 2 2 1 【2 4 】，这种方法忽略了饱和非 线性的具体特性，将其运用于处理饱和非线性去估计系统的吸引域不可避免地会带 有保守性。t a r b o u r i e c h 2 5 2 6 】利用对角矩阵法对饱和非线性项进行替代，分别研究 了具有时滞的饱和系统的镇定问题以及不确定系统的鲁棒稳定问题。为了减少处理 饱和非线性时的保守性，h u 2 7 2 8 】利用凸多面体的方法研究了具有饱和执行器跳 变系统的镇定问题。 另一类是抗积分饱和补偿法，这种方法首先忽略饱和非线性，按常规方法综 合控制器，然后考虑执行器饱和，设计补偿器来减小饱和对系统性能的影响。早 在1 9 6 7 年，f e r t i k 等就尝试克服在应用p i p i d 控制时遇到的积分饱和问题 2 9 】，他们 的策略也被称为反积分饱和方法。t e e l 以2 增益和稳定性形式给出了抗饱和补偿 器 3 0 1 ，a s t r o m 【3 1 】提出了一种基于观测器的抗饱和补偿器结构，z h e n g 提出了一种 基于内模控制的抗饱和方法，来提高系统性能【3 2 】，h u 【3 3 1 1 3 4 】运用动态抗饱和控 制器研究了一般执行器饱和线性系统的区域稳定性和如性能，c a o 运用抗饱和方法 对一般执行器饱和线性系统的吸引域的估计扩大和跟踪问题进行了研究 3 5 3 6 】。 由于饱和具有强非线性特性，故在用l y a p u n o v 稳定性理论分析饱和系统之前， 必须要对饱和非线性环节进行处理。到目前为止，已经发展出了若干处理技术。 如：非线性扇区法，对角矩阵法，凸组合法。h u 3 7 】通过引入辅助矩阵，将饱和 控锘l j a ( k x ) 替代为一个凸包上的一系列线性控制。其中，函数仃是标准的饱和函 数，a ( u ) 的定义如下： t y ( u ) = c r ( u 1 ) ，a ( u 2 ) ，c r ( u 聊) 】7 其中a ( u i ) = s i g n ( u i ) m i n 1 ，k 1 ，s i g n ( ) 为符号函数。 考虑具有执行器饱和的线性系统，系统描述为： 戈( f ) = 触( f ) + b c r ( u ) ( 1 1 ) 令跹为矩阵k 的第i 行，定义对称多面体为： 名( k ) = x r n ：i k i x 1 ，i = 1 ，2 ，m i ( 1 2 ) 4 第一章绪论 于是，如果工髟( k ) ，则表示反馈控制作用在线性区域，即c r ( k x ) = 触 由相关定理可将非线性的饱和控制问题转化为凸包中的一组线性控制问题来研 究。采用这种方法研究饱和问题，保守性较小且控制器的求解简便。 1 3 时滞系统简介 在各类系统中，时滞现象是极其普遍的。如长管道进料或皮带传输、极缓的过 程或复杂的在线分析仪、无损输入线路系统等均存在时滞现象。此外，对许多大时 间常数系统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以归结为时滞 系统模型。一般地，一个系统中原料或信息的传输也往往导致时滞现象的发生。因 此，通信系统、传输系统、化工过程系统、冶金过程系统、环境系统、电力系统等 都是典型的时滞系统。可以说时滞的存在造成系统控制无论在理论分析上还是在工 程实际中都有特殊的困难，同无滞后过程比较，滞后使系统的响应性能变差，而且 难以稳定。 随着控制系统变得越来越复杂，控制精度的要求也越来越高，我们已经不能对 时滞作简单的处理了，而是要建立时滞微分方程这个较为精确的数学模型，因而对 时滞系统的研究这个课题就摆在了我们的面前。现在数学、控制理论和计算机技术 的迅速发展为时滞系统的研究提供了强有力的工具。进几十年来，许多专家、学者 做了很多努力，这不仅仅是因为理论上研究的兴趣，而且还因为在实际控制系统中 的设计和应用的迫切需要。 目前，时域稳定性分析中一个非常重要的方法是l y a p u n o v j 函数方法，该方法已 经被广泛应用于具有不确定性和时滞的系统的鲁棒稳定性分析和综合问题的研究 当中。它主要是利用l y a p u n o v 的稳定性理论，可分为以下两种主要方法：l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法 3 8 1 1 3 9 】和l y a p u n o v r a z u m k i n 泛函方法 4 0 】- 4 2 1 。前一种方法大 多数用来研究定常时滞的不确定系统，后一种方法可以研究具有时变时滞的不确定 系统。根据众多学者的研究，目前最为普遍使用的是一种特殊的l y a p u n o v 函数，其 形式为二次型泛函 一 r f v 0 ( f ) ，t ) = x 7p x ( t ) + 7x 7 ( a ) s x ( a ) d a ，一f 式中p ，s 为对称正定矩阵，不同的学者根据需求，对矩阵p ，s 的选取方法各不相同。 因此从现代控制的角度来看，时域鲁棒控制问题可称为二次镇定问题。由于只是从 一个特定的l y a p u n o v i 函数中去求得关于时滞系统稳定性的条件，因此所获得的条件 只能是充分的，而不是必要的，具有很大的保守性，这是这种方法无法克服的缺 陷。但是由于l y a p u n o v 函数方法对各类时滞系统的适用范围非常之广，所以对于各 5 第一章绪论 种类型的时滞系统的稳定性的研究，l y a p u n o v 函数方法仍是一利- 非常有用的方法。 利用l y a p u n o v 方法对时滞系统的研究结果可以大致分为两类：时滞独立 4 3 】和 时滞依赖 4 4 1 。所谓时滞独立时滞所得结论独立于时滞的大小，即允许系统的滞后 时间为无穷大，而对系统滞后的变化率一般作小于l 的假设。相反的，时滞依赖是 跟系统滞后的大小有关，所得结论巾包含时滞的信息。显然，当实际系统的滞后时 问很小时，时滞独立的结果是非常保守的。 文献【4 5 】 4 6 】将二次镇定方法扩展到处理具有状态时滞系统的鲁棒控制问题， 最终得到了一类无记忆状态反馈控制器。在其后的几年中，针对各类不同的时滞系 统都不断有相应的鲁棒镇定结果提出。如文献 4 7 1 1 4 8 】分别研究了具有状态时滞或 控制时滞的不确定系统的鲁棒镇定问题并得到了相应结果。文献 4 9 1 一 5 2 】则研究了 同时具有时变状态时滞和时变控制时滞的不确定系统的鲁棒镇定问题，而其不确定 参数为范数有界形式。 总得来看，时滞系统研究领域在近四十年来已取得了丰硕的成果【5 3 】 5 7 】，从 研究发展的趋势来看，由于在实际应用中，特别是工业生产过程中普遍存在着难以 精确建模的过程以及对象特性时变不确定的情况，而线性不确定时滞系统的鲁棒稳 定性分析以及鲁棒镇定问题还没有得到很好的解决，这个领域的研究目前还是受到 众多学者的关注。 1 4 广义系统简介 广义系统 5 8 1 是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，广义系统理 论 5 9 】是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分 支。1 9 7 4 年，英国学者r o s e n b r o c kh h 6 0 首次提出了广义系统的概念，随后，美国 学者l u e n b e r g e rd g 对线性广义系统解的存在性和唯一性等问题展开研究。从此， 拉开了对广义系统理论研究的帷幕 6 1 】- 【6 6 】。 1 4 1 广义系统的模型 广义系统模型存在于社会生产的诸多领域，例如：电力系统、经济系统、机器 人系统和宇航系统等。广义系统，又成为奇异系统、描述系统、微分代数系统或隐 式系统，可分为用微分方程描述的连续系统和用差分方程描述的离散系统两类。连 续广义系统的状态方程描述如下 e ( f ) 戈( f ) = 厂防( f ) ，“( f ) ，t 】 y ( t ) = g k ( f ) ，“( f ) ，t 】 6 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 第一章绪论 其中，e ( t ) e r n 煳一般为奇异矩阵：，防( f ) ，h ( f ) ，f 】和g k ( f ) ，“( f ) ，f 】分别为工( f ) ，h ( f ) 和f 的咒维 和朋维向量函数；工( f ) ，u ( t ) 7 阿l y ( t ) 分别为适当维数的状态、输入和输出向量；f 为时 间变量。特别的，当r a n k e ( t ) 】= 凡时，式( 1 3 ) 表示一个离散的正常系统。 相应地，离散广义系统的状态方程一般描述如下 e ( j i ：) 工( 七+ 1 ) = ，防( 七) ，“( 七) ，翻 ( 1 5 ) y ( k ) = g 防( 足) ，h ( 七) ，翻 ( 1 6 ) 其中，e ( k ) r n n 一般为奇异矩阵：，和g o n 前所述；x ( k ) ，“( 足) 和y ( 七) 分别为适当 维数的状态、输入和输出向量；k n 为时间变量。同样，当r a n k e ( k ) 1 = ，z 时， 式( 1 5 ) 表示一个连续的正常系统。 正则性是保证连续和离散线性广义系统对给定的允许初始状态有惟一解的充要 条件，因而是广义控制系统设计的最基本的要求。另外，正则性又是广义系统其他 一些基本概念或属性的必要条件，所以正则性也蕴涵在这些概念或属性之中。正则 的广义系统更是普遍存在。 1 4 2 广义系统理论的研究方法及展望 到目前为止，广义系统理论的研究思路大多是参照已有的正常系统理论向广义 系统推广和移植，其研究方法主要是几何方法、频域方法和状态空间法。 几何方法是将广义系统化为状态空间中的几何问题进行研究。它的优点是对 系统结构有着独到的刻画，例如：广义系统的能控性结构、能控性子空间以及不变 子空间的刻画等。而且几何方法简单明了，避免了状态空间法中大量繁杂的矩阵运 算，且所产生的结果都可化为矩阵运算。其缺点是对系统的鲁棒性问题的分析显得 无能为力。 频域方法是对状态空间描述的广义系统采用频率域的系统描述和频率域计算方 法进行研究。频域方法具有物理直观性强、便于设计调节等优点。 状态空间法( 或称时域方法) ，是对状态空间描述的广义系统主要采用矩阵运算 和矩阵变换的计算方法，直接对时域系统进行研究，是广义系统理论中最常用的方 法。状态空间法所刻画问题的方式简洁直观，所得结果清晰明了，且可设计相应的 软件而适宜在计算机上进行运算，因而该方法应用最广，已深入到广义系统的分析 与综合的方方面面，深受广大的控制理论工作者的偏爱。黎卡提方法和目前流行的 线性矩阵不等式方法，由于具有能揭示系统的内部结构且易于计算机辅助设计等优 点而成为时域状态空间的两个基本方法。 1 第一章绪论 广义系统的研究取得了极大的发展，并逐步形成一个内容丰富的理论体系，成 为现代控制理论的一个重要组成部分。在广义系统的基本理论日趋成熟的今天，对 一些复杂的广义大系统，如时变性、不确定性、时滞性和分散性等的研究显得尤为 重要。另外易于工程实现的广义系统的设计，即能够提供一个利用现有的软件所实 现的计算机仿真实验也是很重要的。此外编制通用的广义系统控制软件，对于广义 系统理论的发展将起着积极的推动作用。 发掘广义系统的实际应用背景，将广义系统理论用于解决工程实际问题，从而 实现广义系统的应用，才能真正体现广义系统的价值。总之，作为一门新兴的研究 领域，广义系统理论仍处于不断完善、不断发展之中，以其广泛的工程背景，相信 无论从理论本身，还是工程实际中的应用，都将会在学术界的关注下取得更大的成 果。 1 5 本文的研究内容及章节安排 本文首先对带有状态滞后和执行器饱和的非线性系统进行分析，利用r a z u m i k h i n 稳 定性理论，结合一些不等式给出了系统的状态反馈保性能控制器，该控制器可使系 统渐近稳定，并使得性能指标上界最小。其次，针对具有执行器饱和的不确定时滞 广义系统，假定系统中的不确定参数满足范数有界条件，导出了保性能控制器存在 的条件，其中控制器的参数可由m a t l a bl m i 的可行解给出，并求得使性能指标最 优的控制器及性能上界的最优值。 全文具体安排如下： 第一章简要叙述了与本文有关的背景状况，包括保性能控制的研究历史与意 义，执行器饱和系统的研究背景和主要方法，时滞系统和广义系统的简要介绍。 第二章简要介绍了线性矩阵不等式基础和m a t l a bl m i 工具箱，并列出了系统 的不确定参数模型和一些常用的不等式。 第三章研究了一类带有状态滞后和执行器饱和的非线性系统的保性能控制问 题。对连续系统和离散系统分别给出了系统状态反馈保性能控制器。采用低增益方 法和线性矩阵不等式处理方法，导出了保性能控制律存在的条件，并给出了满足控 制约束的保性能控制律设计方法。 第四章研究了一类具有执行器饱和的不确定时滞广义系统，运用l m i 方法，给 出了一种最优保性能控制器的设计方法。最后求得控制律及性能上界的最小值。 第五章结束语部分对全文的工作进行了总结，并指出了有待进一步研究的问 题。 8 第二章基础知识 2 1 稳定性理论基础 第二章基础知识 稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对实际工程中的动态系统 来讲，稳定性是最基本的要求。本节主要介绍稳定性理论中最具重要性和普遍性 的l y a p u n o v 方法。l y a p u n o v 方法同时适用于线性系统和非线性系统，时变系统和时 不变系统，连续时问系统和离散时间系统。l y a p u n o v 方法分为本质上不同的两种方 法：l y a p u n o v 第一法和l y a p u n o v 第二法。 l y a p u n o v 第一法也称为间接法属于小范围稳定性分析方法。其基本思路为，将 非线性自治系统运动方程在足够小领域内进行泰勒展开导出一次近似线性化系统， 再根据线性化系统特征值在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性。 l y a p u n o v 第二法也称为直接法，属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方 法。第二法基于引入具有广义能量属性的l y a p u n o v i 丞l 数分析l y a p u n o v i g l 数导数的定 号性，建立判断系统稳定性的相应结论。 2 1 1 l y a p u n o v 意义下的稳定性 考虑如下的系统： 贾( f ) = f ( x ，t ) ( 2 1 ) 其d p x ( t ) r n 为系统的状态向量，f ( x ，f ) 为线性或非线性、定常或时变的n 维函数， 假定方程( 2 1 ) 的解为x ( t ；x o ，t o ) ，式巾如，t o 分别为初始状态向量和初始时刻，那么初 始条件翔必满, y e x ( t 0 ；x o ，t o ) = x o 。 对系统的初始状态下的平衡状态，如果存在任意常数p 0 ，当 l 和一托| l 0 。 则称y ) 是正定的。如果上述条件( 3 ) 中不等式的符号反向，则称y ( 工) 是负定的。 l y a p u n o v 渐近稳定性理论可归纳成如下的说法：对于系缴= f ( x ，f ) ，其 中工为n 维状态向量，如果存在正定标量函数v ( x ) ，那么满足v ( x ) = c 的状态处于n 维 状态空间中至少位于原点领域内的封闭超曲面内，其中c 是一个正常数。如果随 着恻i _ 0 ，有v ( x ) 一，那么上述曲面可以扩展到整个状态空间。如果c 1 0 ，都存在一个标量= ( 6 ) ，使得对任意的9 8 ( 0 ，) 和t 0 ，2 5 的微( f ，9 ) 都满瓢8 ( 0 ，6 ) 。 ( 2 ) 对于任意的7 1 0 ，都存在一个标量丁( 7 7 ) 和一个与t l 无关的数v o ，使得妒 8 ( 0 ，v o ) ，即对任意的f r ( 叼) ，都有i | x t l i c 0 时，函 数p ( j ) ，v ( j ) ，w ( s ) 是正定的，p ( s ) s 。如果存在一个连续函数v ：r n j r ，和一 1 0 第二章基础知识 个正数p ，使得对所有的而h v ( p ) ：= 妒，d ：y ( 妒( d ) ) p ，v o 【- d ，o 】) ，都有下 面两个结论成立： ( 1 ) 肛( i k ( f ) i | ) v 0 ) ) v ( i 防( f ) | | ) ； ( 2 ) 若y ( x 0 + 9 ) ) - w ( 1 l x ( t ) 1 1 ) ，那么对任意的0 【- d ，o 】，有矿0 ( f ) ) - w ( 1 l x ( t ) 1 1 ) ： 那么，系统( 2 5 ) 的解是渐近稳定的。 2 2 线性矩阵不等式基础 在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题使用r i c c a t i 方程或不等式方法来解 决的，而r i c c a t i 方程或不等式的求解带有一定的保守性，而线性矩阵不等式方法给 出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进 行求解，大大降低了问题可解的保守性。同时这种图约束条件的任意一个可行解都 是满足设计要求的控制器。近十年来，线性矩阵不等式被广泛用来解决系统与控制 中的一些问题，应用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题，已成为这些领域中的 一大研究热点。 本节介绍线性矩阵不等式的一些基础知识，首先给出线性矩阵不等式的定义。 定义2 2 1 下面的矩阵不等式称为线性矩阵不等式 ax ) ：= a o + x l a l + + 抑以 0 ( 2 6 ) 其中x = 0 1 ，一，x n ) r n 是未知的标量( 决策变量或优化变量) 的向量； a o ，a l 一，a n 为给定的对称矩阵，“ 0 ”表示“负定”，眦0 ) 的最大特征值 为负，以及对于任意的非负向量u r n 有不等式u t a ( x ) u 0 成立。 若下式成立 a ( x ) ：= a o + x l a l + + 鲫出 ，0 ( 2 7 ) 则成为非严格矩阵不等式。 显然，对多个线性矩阵不等式( l m i ) 可用一个l m i 表示，即 等价于 a 1 ) 0 ，a 2x ) 0 ，a ) 0 ， a l ( x ) a 2 ( x ) a n ) 0 第二章基础知识 所有满足线性矩阵不等式( 2 6 ) 的x 的全体构成一个凸集，且o x l