（政治经济学专业论文）一阶高次ARCH模型.pdf

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n go f a n df o r e c a s t i n gi nf i n a n c i a lt i m es e r i e se x t e n s i v e l y ，d u et o i t s s p e c i f i c a t i o no fc o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yw h i c hc a nd e p i c tt h e c l u s t e ra n df a tt a i l o rp h e n o m e n ao ft h ed i s t r i b u t i o no ft h et i m i n g f i n a n c i a ls e r i e s b u t ，a l lt h em o d e lp r e s u m es p e c i a ld i s t r i b u t i o n ，t h u s t h e yc a n td e s c r i b et h ef i n a n c i a lt i m i n gs e r i e so fi t sc l u s t e ra n df a t t a i ls u f f i c i e n t l y i tc a nb ep r o v e dt h a tt h e r es t i l lh a v ef a tt a i l o r i nt h er e s i d u a lo ft h ea r c hm o d e l t h ea r c hm o d e ls p e c i f i e st h a tt h e h e t e r o s c e d a s t i c i t yo ft h et i m i n gf i n a n c i a ls e r i e si sal i n e a rf u n c t i o n o ft h el a g g e ds q u a r e dr e s i d u a l i nt h i sp a p e rw ep r e s e r v et h ec o n s u m p t i o n o f c o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yb u tt h i n kt h a tt h ec o n d i t i o n a l h e t e r o s c e d a s t i c i t yo ft h et i m i n gf i n a n c i a ls e r i e si st h eq u a d r u p l et i m e s f u n c t i o no ft h el a g g e dr e s i d u a l w ec a l l e dt h i sm o d e lt h eh i g ht i m e s m o d e l t h ep a r a m e t e rc a nb ee s t i m a t e db yt h em e t h o do fm a x i m u ml i k e l i h o o d ， a n dt h e yw o u l db ec o n s i s t e n tt ot h et r u ev a l u e t h ee s t i m a t i n gp r o c e d u r e i ss i m i l a rt ot h a to fa r c hm o d e l i nt h ee n do ft h i sp a p e rt h es & pi n d e x e s o fs t o k e sh a v eb e e ne s t i m a t e db yo n eo r d e ra r c hm o d e la n do n eo r d e r h i g ht i m e sa r c hm o d e ld i s c u s s e da b o v e o u r c o n c l u s i o ni st oa d da q u a d r u p l et i m e sl a g g e dr e s i d u a lt ot h ev a r i a n c ef u n c t i o no ft h ea r c h m o d e lc a nd e c r e a s et h ek u r t o s i so ft h er e s i d u a la n di m p r o v ei t sa b i l i t y o fs i m u l a t i o na n dt h a tt h en u m b e ro fd a t au s e di no n eo r d e rh i g ht i m e s a r c hm o d e li sn o tl e s st h a nt h a ti no n eo r d e ra r c hm o d e l k e yw o r d s ：a r c hm o d e l ，h i g ht i m e s a r c hm o d e l ，m a x i m u ml i k e l i h o o d ， c o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ，f a tt a i l o r 3 山东大学硕士学位论文 一、文献综述 金融资产价格的变动很久以来便为研究者关注，不过早期对金融数据的研 究主要集中于对一阶距( 期望值) 的建模和预测，而忽视了高阶距可能存在的 相关性和异方差性。2 0 世纪6 0 年代资本资产定价模型( c a p m ) 的出现将资产 的收益与风险直接联系起来，这促进了有关金融时间序列方差模型的发展。 f a m a ( 1 9 6 5 ) 首先总结了金融资产波动的特性，以后对西方市场的大量研究进一 步揭示了波动的诸多共同特征，主要特征包括以下几个方面：( 1 ) 波幅随时间 变化。金融时间序列的方差不是固定的常数，而是随时间改变而改变的。( 2 ) 金融时间序列分布的厚尾性，相对于正态分布，收益率的分布表现出峰商尾厚 的特点，即产生大的收益率( 或正或负) 的概率较大。这至少在一定程度上体 现了收益率具有时变方差的特性，因为即使是均值相同的几个正态分布，如果 其方差不同，其混合分布也是厚尾的( 3 ) 金融时间序列的波幅呈现正的序列 自相关性或说波幅的类聚性，即“大的波幅伴随着大的波幅，小的波幅伴随着 小的波幅”。( 4 ) 金融时间序列波动的非对称性。即负的冲击比正的冲击更容 易增加波动，b l a c k ( 1 9 7 6 ) 对此给出的一种说法是：负的冲击不仅增加了波动风 险，而且减少了相对于债务的股东权益比率，增加了公司的杠杆率，从而提高 了持有股票的风险。因此导致股价的进一步下降；而正的冲击增加了波动风险 同时减少了公司的杠杆率。因此这种非对称性又称为“杠杆效应”。( j ) 不同 资产或者不同市场之间常具与共同的波动行为。这可能是因为他们受共同的因 素影响，也可能是因为其他市场都受某个核心市场的主导。 风险评价是金融市场活动的核心，投资者相对其风险来评价资产的期望收 益。银行和其他金融机构希望保证他们的资产价值不低于某个最低水平，以免 是银行陷入破产的境地。如果不能度量资产汇报的变异性，就不可能做出这样 的评价。资产收益的统计模型假定随机误差的期望方差不随时间而变化，这种 模型只能解释从今天到明天变异的一部分大部分变异仍留在随机误差项中， 或者换句话说，留在模型的预测误差中显然这种假定远不能刻画资产回报率 的巨大变异性罗伯特恩格尔提出了改进这种评价的方法 恩格尔( 1 9 8 2 ) a r c h 模型( 自回归条件异方差模型) 的特征在于它设定随 机扰动项的方差系统的取决于前面所得到的随机误差，所以大的误差会后继以 山东大学磺士学位论文 大的误差以此来体现波幅的变异性以及类聚性，该模型很好的体现了以上提 及的前三点特征。如果假定收益率受一些外生变量或滞后内生变量等前定变量 x 的影响。则模型可以设定为： y 。l 矿。_ i n ( 薯声， ) 摹 ( i ，q 一2 ，一，口) ( 1 ) t = y l x , p 口芝0 。 其中q 是序列无关的随机变量，曩是金融时间序列的给定过去信息时的条 件方差第一个方程表示金融时间序列服从以s , p 为条件均值，以瑰条件方差 的正态分布。第二个方程称条件方差方程，用以揭示条件异方差的生成过程 ( 口，为常数参数向量) 。y 。代表t l 期的信息集，假定条件残差服从独立的 标准正态分布正的毛( 例如股价上升) 代表好消息的冲击，负的( 例如股 价下跌) 代表坏消息即负的冲击，的绝对值越大，冲击的力度就越大。由于 一次冲击对波动的影响力度随时间延长而衰减，预期口随i 的增大而减小， 且假设p 期以前的冲击对当期波动没有影响。模型中的参数可通过最大似然法 估计。 在实际应用中，为估计参数值，必须设定模型的结构。一种简单的结构是 方差的线性结构，即波动的条件方差是滞后方差的线性函数 = + 口i 蠢i + 口2 蠢2 + + 蠢， ( 2 ) 当滞后阶数p 等于l 时，就得到关于参数是线性的一阶单变量a r c h 模型， y 。l 矿。_ i - n ( 卢， i ) s t = y i x t p = a e + q 矗 ( 3 ) a o 、口i o 这是一种比较简单的a r c h 模型这时，只的条件方差为， i 。) = = + q 矗 山东大学硕士学位论文 无条件方差为 ， e 包) = 急 干扰项的四次方的条件期望值为 e i 】【c ，_ ) = 3 口；+ 3 口；6 。4 + 6 a 。口。蠢， 无条件期望值为 剌= ( 3 a 口i ) 2 0 2y 人剖 第一个括号中的表达式为干扰项无条件方差的三倍，由于强不等于零，第 二个括号中的数严格大于1 ，这意味着只的四阶矩大于标准正态分布的四阶矩。 由一阶a r c h 模型产生的数据存在比标准正态分布更后的尾部，这正是由于 a r c h 模型的条件方差受滞后干扰项的影响，对金融时问序列的类聚性迸行拟合 的结果。a r c h 模型的这些特点，使得他们无论在理论上，还是在实证工作中， 都非常的诱人 在最初的a r c h 模型中，均假定条件残差服从正态分布，这也是以后文献中 应用最广的一个假定。尽管在这种假定下，可以证明( 参见h a m i l t o n ，1 9 9 4 ) 残差的无条件分布具有较高的峰度( 大于正态分布的峰度3 ) ，但这并不足以模 拟金融收益率的峰高厚尾的特点，最为明显的证据是标准化残差( 残差除以条 件标准差) 序列仍具厚尾性如果设定条件残差本身服从厚尾分布的假定，以 此来产生一个更加厚尾的无条件残差分布可能更对此缺陷加以修正。 8 0 l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 曾假定a r c h 模型的条件残差服从t 分布另一类在实践 中较为常用的是广义误差分布假定( n e l s o n ，1 9 9 1 ) 这些分布在极限情况下 收敛为正态分布，一般而言相对于正态分布则均有更厚的尾部。恩格尔与他的 合作者后来又提出了一种半参数估计技术，该方法设定条件分布为均值是0 、 方差是1 的非参数密度函数( e n g l e g c g o n z a l e z r i v e r a ，1 9 9 1 ) “经验证明， 真实的条件分布有偏时，该方法的确能提高估计的效率，然而对于模拟厚尾情 况，同t 分布和广义误差分布一样，它仍然是不充分的事实上，迄今为止， 资产收益分布的厚尾特点仍然是金融计量学中远没有完全解决的问题。”( 李绍 6 山东大学硕士学位论文 荣赵留彦2 0 0 3 ) 金融市场中波动影响的持续期限一般相当长，这使得a r c h 模型得滞后阶数 一般相当长，p 不得不取较大的值，而待估参数过多既增加了估计的成本又影 响了估计的效率，因此恩格尔的学生b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 将其推广为广义自回 归条件异方差( g a r c h ( p ，q ) ) 模型，此时方差模型可设定为如下形式： p4 = 国+ 口l 矗+ 岛i ， 1 1 h 在模型中，把滞后方差作为方差的新的解释变量，这极大的减少了需要估计的 参数的个数。 一般而言，尚不存在为多数人所普遍接受的g a r c h 模型滞后阶数的选择准 则，不过以往的研究一般认为p 和q 都取为i 便足以描述金融市场的波动状况。 g a r c h 模型以优美的形式抓住了金融时间序列的类聚性和厚尾性的特征。 。大量的实证结果发现，g e r c h 类模型最重要的应用是在金融部门，因为金融 部门的活动旨在对不同类型的风险进行处理和定价因为，价格设定模型代表 了证券价格与其变动性之间的关系：特定金融自差的期望受益于市场组合之间 的协方差，其全家各取决于其背后资产收益率的方差，等等。”( 费剑平，2 0 0 4 ) 以上g a r c h 设定形式在考察金融市场的波动方面是相当成功的，但是，这类模 型的简单的结构也是他们存在一些不足之处。 首先，为保证条件方差为正值，需要限制诸参数的取值范围，通常要求诸 参数取正值这是a r c h 类模型的一个不足之处，实证研究的结果也经常违反 这一要求这些非负性限制会给g a r c h 类模型的参数估计带来困难，有时候， 为了保证条件方差取正值，还不得不对参数的取值范围做出更严格的限制。 其次它不足以表现它的其他一些重要的特征，尤为重要的是波动的“杠 杆效应”正的信息( i n n o v a t i o n s ) 和负的信息对资产价格变动的影响是 不对称的根据成熟市场的经验结果，这种“杠杆效应”主要体现在股市中， 在汇率和利率方面并不明显。许多研究者发现，股票的收益率与股票波动的变 化负相关，也就是说，对于坏消息，股票的收益率波动较大，而对于好消息， 股票的收益率波动较小然而，g a r c h 类模型假定，只有未预期到的超额收益 率的波动量的滞后值，而不是波动符号决定 特征如果干扰项的分布是对 山东大学硕士学位论文 称的，那么，e 方差的下一期变化与其当期变化的方向无关在模型( 3 ) 中， 是滞后的f 的函数，因此，啊与岛的符号无关，也就是说，只有滞后干扰项 的大小影响方差。这就意味着一个 是岛的非对称函数的模型在实证分析中将 会更有用。指数g a r c h ( n e l s o n ，1 9 9 1 ) 和g j r - g a r c h ( g l o s t e n 等，1 9 9 3 ) 是 刻画这种波动的非对成性应用较广的模型，二者是在标准g a r c h 模型的思想基 础上加入一个非对称项，以此来表明好消息和坏消息可能对方差产生不同的 影响力度。这种g a r c h 形式除了能够考察杠杆效应外，优势还在于不必如式( 1 ) 那样对参数施加非负的限制条件，而限制条件有时太强，常常影响到对波动性 的估计 a r c h 模型的第三个缺陷在于，虽然它象上面( 4 ) 式已经证明的那样，具 有厚尾性的特点，但是对金融时间序列厚尾性的表述并不充分。这表现在用 a r c h 模型做的实证分析仍然具有厚尾性上所以会这样，可能是由于a r c h 模 型的设定，由于干扰项条件异方差的特定生成方式，以及干扰项服从正态分布 的假设，使得由模型产生的预测值的厚尾性具有特定的产生方式。而不同的金 融时间序列的厚尾性一般由不同的机制产生，因而具有不同的特点。以a r c h 模型僵化的生成机制产生的厚尾性去模拟现实生活中各种生动活泼的厚尾性， 自然会有各种不尽人意之处。a r c h 模型对金融时间序列描述的不充分性也就在 情理之中了 需要特别说明的是，尽管a r c h 族类模型在有关波动的实证应用中相当成 功，其本身却缺乏坚实的经济学或金融学理论基础，因此要在这类模型中选择 最为合适的一个模型，来模拟资产市场波动，很大程度上便只能依赖于经验的 考察结果，即比较各个模型对波动的样本内( i n - s a m p l e ) 拟合能力以及样本 外( o u t o f - s a m p l e ) 的预测能力不同的市场间可能并不存在个共同的最 优模型。 以上a r c h 类模型均基于思格尔( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型的基本思想：模型的 条件方差受制于过去的条件方差。但是，这些模型均把条件方差的生成机制看 作是固定的。如由正态随机过程或f 分布等随机过程生成，而且像a r c h 模型和 g a r c h 模型等还假定了干扰项的条件异方差仅受滞后干扰项的平方的影响。这 山东大学硕士学位论文 就产生了在上文中叙述的那一些弊病，特别是对金融时间序列厚尾性的描述还 是不能令人满意，“资产收益分布的厚尾特点仍然是金融计量学中远没有完全 解决的问题。”( 李绍荣赵留彦2 0 0 3 ) 。 本论文旨在引入一个新的条件异方差的生成机制，以对金融时间序列分布 的厚尾性特点进行更好的模拟这就是在( 3 ) 式中的解释变量中，加入一阶 滞后项的四次方作者的想法是，既然恩格尔( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型的基本思 想是模型的条件方差受制于过去的条件方差，而式( 3 ) 代表的模型却缺乏坚 实的经济学或金融学理论基础，既有的经济学或金融学理论还没有给出金融时 间序列的条件方差是滞后方差的线性函数的理论支持，那么假设条件方差是滞 后方差的多项式就更合理。方差的平方又与描述随机序列分布的厚尾性的概念 一峰度有关，改进后的模型应该能更好的描述金融时间序列的厚尾性。下面 的内容主要证明了，在恩格尔( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型中，把条件方差改成滞后 方差的多项式，原来估计a r c h 模型参数的方法以及参数估计量的性质并不改 变并且用一个例子对改进前后的模型对时间序列厚尾性的模拟进行了比较。 以下论证的方法以及论文的结构均参照了恩格尔( 1 9 8 2 ) 的论文。 9 山东大学硕士学位论文 二、高次a r c h 模型 为了在一个模型中更好的考虑金融时间序列的异方差性和厚尾性，在a r c h 模型中引入金融时间序列的峰度，衡量其波动的厚尾性。由于a r c h 模型中假 设干扰项占。服从正态分布，而正态分布的偏度为0 、峰度为3 ，他们不能根据 具体的时间序列的分布状况而改变，所以a r c h 模型不能很好的刻画金融时间 序列分布的厚尾性特征如果假设影响的条件方差的因素还有其峰度，从而 考虑了时间序列分布的厚尾性对条件方差的影响，由于金融时间序列的峰度是 由其四阶距经过修正得到的，这样，不妨假设：金融时间序列的条件方差受滞 后的残差的平方及其四次方的影响。我们期望经过这样修正的模型能够更好的 反映金融时间序列的分布的厚尾特征，在实证分析中，修正的模型对金融时间 序列回归的残差更近似于服从正态分布。为了研究的方便，我们假设一个一阶 滞后模型： y 。l 妒。i n ( ， ) 红= 口o + 口i 吐i + 口2 - ( 5 ) 、嘶、口2 0 我们把这个模型叫做一阶高次a r c h 模型，一阶指的是条件方差只受一阶滞 后方差的影响，高次指的是条件方差是滞后方差的二次函数。 这样设定的理由如下： 1 、既没有理论上的依据，也没有实证上的证据，表明干扰项服从正态 分布。以往的分析多是为了研究的方便，假定干扰项e 服从正态分布，或者回归 的残差服从正态分布但是正如f a m a ( 1 9 6 5 ) 的研究所表明的，金融时间序列的 分布具有偏态性和尖峰性，因此假定干扰项t 服从正态分布并不令人满意， e n g l e ( 1 9 8 2 ) 假设了干扰项服从具有条件异方差的正态分布，即的方差受以 往随机变量的影响，在考虑了此影响后，干扰项服从正态分布这样，虽然 还是服从正态分布，但是在不同的时刻，它有条件异方差。在此我们设定干扰项 的方差受以前随机变量的方差和峰度的影响，剔除了滞后的方差以及峰态的影 山东大学硕士学位论文 响后，假设干扰项服从标准正态分布在此基础上对金融时间序列进行模拟，以 便模拟的更好 2 、即使仅考虑滞后的残差对条件方差的影响，也没有理由认为条件方差 仅受以往残差的平方项的影响更一般地可以认为条件方差是以往干扰项的函数 形式 = 厂( 矗) 而一阶线性a r c h 模型 j j l = + q 矗 仅是上述一般函数形式的一阶展开式，即其线性近似。而式( 5 ) 则是上述一 般函数形式的泰勒二阶展开式，是其二次近似，因此可以期望式( 5 ) 对条件 方差的描述更准确。也更有理由认为其残差服从正态分布。 3 、e ( 丘) = 0 ，是因为金融时间序列的趋势值已由x 确定，e ( 2 ) = h 。则是 由于a r c h 模型的条件异方差性，无论在理论上还是在实践上，还没有人指出 金融时间序列的峰态是不是其条件异方差的解释变量之一，我们在此可以认为 滞后干扰项的峰态是条件异方差的解释变量之一并用矗表示一阶滞后残差 的峰态 4 、如在文献评论中所说的，a r c h 模型对金融时间序列的描述并不充分， 这表现在用a r c h 模型对金融时间序列的数据进行回归后，残差仍具有厚尾性 我们用u 表示其残差，如果对u 继续用a r c h 模型进行回归，则u 的条件方差是 残差2 的四次函数， 山东大学硕士学位论文 三、极大似然函数 本部分，将讨论条件方差中所含未知参数的估计问题，正如后面将要证明 的，a r c h 模型均值中的参数和方差中的参数可以分开估计，所以在本部分中， 假设时间序列的期望值为零，从而可以不考虑期望值中参数的估计问题。 如果a r c h 模型( 1 ) 中的均值为0 ，则模型取如下形式： y t l 矿。i n ( o ，啊) = j l ( 岛i ，岛2 ，。，口) 口0 如果一阶高次a r c h 模型( 5 ) 中的均值为0 ，则模型取如下形式： 只i i n ( o ， ) = 口o + 口l 蠢l + 口2 t i ( 6 ) 、q 、嘭0 尽管由等式( 6 ) 定义的过程就每个观测值来说服从正态分布，但是向量 y = c y 。，y 2 ，y 。) 并不服从联合正态分布其联合分布为所有条件分布的乘积， 因此，其对数似然函数是根据式( 6 ) 计算的条件正态分布的对数似然函数值 之和。用，表示y 的对数似然函数的平均值，表示第t 个观测值的对数似然函 数值，t 表示样本容量。则 ，：导圭 l - l 卜i l l n 一圭譬 在上式中，省略了一些常数 取对数似然函数的最大值，以求未知参数一阶条件为 盟：上堕障一1 1 a 口 2 a 口l 啊j 海赛矩阵是 黑s a c r a = 一击等等( 鲁 + 滢一t 刍陆鼍) 2 砰a 口a 口i jl j a 口i2 a 口j ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) 山东大学硕士学位论文 给定前一时刻的信息毒，上式中第二项的条件期望值是0 ，且第一项的最 后一个因子恰好是i 。把所有观测值的海赛矩阵的平均值的负的期望值称为信 息集，由下式表示： q = 喜去e 怯釜纠 0 0 ， 这可由下式一致估计 q = 手喜陆差磬) 以上对极大似然函数的讨论并未涉及到随机变量方差的具体形式，而只要 求随机变量服从正态分布，所以对一阶a r c h 模型和一阶高次a r c h 模型都成立 如果h 函数是关于参数线性的对滞后方差的函数，那么，信息矩阵和一阶 条件向量具有特别简单的形式， 当h 是由( 2 ) 式表示的滞后的方差的p 阶线性函数的时候， 记 五= ( 1 ，正，正a = k ，q ，) ， 当h 是由下面( 1 2 ) 式 啊= 口o + 口l 蠢i + 口2 i ( 1 2 ) 表示的滞后方差的一阶高次函数的时候， 记 毛= ( 1 ，蠢。，矗l 口= ( 嘞，q ，口：) ， 则( 2 ) 式和( 1 2 ) 式可以写为 = 刁口 ( 1 3 ) 一阶条件向量及信息矩阵的估计式变为 岳= 击五滢一 ， q = ；砉( 豪 山东大学硕士学位论文 四、a r c h 回归模型的参数估计 上节中讨论的随机过程具有零均值然而其均值也可能是非零的，如果假 设均值是外生变量或滞后内生变量的线性组合，就得到一个更一般的a r c h 模 型和高次a r c h 模型，如果其干扰项的方差是滞后干扰项方差的线性组合，p 阶滞后的a r c h 模型的形式为( 1 ) ，对于一阶滞后的情形，a r c h 的模型设定形 式为( 3 ) ，高次a r c h 模型的形式可表示如下： 儿i 。i n ( t ，魄) | = 口o + 口l 矗+ 口2 蠢i ，q ，嘭0 s 。= y t x t 8 两种模型的对数似然函数可表示如下： ， if 鸟一i 毒 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 此处置既可包括外生变量，又可包括内生的滞后变量，对数似然函数中则 省略了常数项。对以未知常数为选择变量的对数似然函数求极大值。 下面讨论极大值的求法。 根据模型( 1 ) 和模型( 1 5 ) 的设定，t 是咒的期望均值，从而和是 不相关的，所以，声的o l s 估计量是真值的一致估计量。如果中的变量都是 外生的，那末估计量的标准差也是有效的如果t 中的变量含有滞后应变量， 那么传统的计算估计量的标准差方法将是无效的，这是因为干扰项的方差t 与 滞后应变量t 的平方相关。这可用怀特对含有滞后应变量异方差的处理办法处 理。 如果置中的变量不含有滞后应变量，并且随机变量的方差是稳定的，那么 高斯一马尔科夫假设成立，从而o l s 估计量将是最优线性无偏估计量。并且方 1 4 n ，r厶，丑2 ，一 一 = -f， 山东大学硕士学位论文 差的估计也将是无偏和一致的然而在大样本中，极大似然估计量比普通最小 二乘估计量更有效，因为普通最d , - - 乘估计量达不到克拉克一美下界，而极大 二乘估计量则可以渐近达到 极大似然估计量可以通过求解对数似然函数的一阶条件而得到，下面同时 讨论一阶a r c h 模型和一阶高次a r c h 模型的极大似然估计量的求法，因为两种 模型的参数的求法有很大的相似之处，同时也是为了方便比较他们的不同之 处，用例子说明他们的计算以及应用时也要用到这些计算公式 对数似然函数( 1 6 ) 关于的导数是 嚣= 譬+ _ 1 矽o h , f l # 岛一妒 鱼 2 j j 矽ij j ij ( 1 7 ) 上式右边第一项与异方差仅与外生变量有关时的阶条件相同，第二项的 出现则是由于异方差 中含有滞后的残差，正如模型( i ) 和模型( 1 5 ) 设定 的那样，残差与夕有关。 对于p 阶a r c h 模型，将线性方差函数( 2 ) 代入导数嚣，并对所有的观测值 求和， 得 旦a p 斯r - 怛( h , 一毒( 等一惨嘲 将第一个求和公式展开，在展开后的第二项中对q t ，分步求和，并提取 公因式q 项，得以下近似公式， 嚣= 亍1 舻t 卜喜瞩魄) ， ；昙毛_ i 其中， s 。：町- 一杰口，砭魄一 + ) l - i ( 1 9 ) 山东大学硕士学位论文 对于一阶a r c h 模型， 参= 手莩工：时一碥k - 一) 】 c z 。， i t x _ x 。l s 。 其中， s 。- - h t 一口。何三k 。一 “) ( 2 1 ) 对于一阶高次a r c h 模型，将线性方差函数( 1 2 ) 代入嚣，并对所有的观 测值求和， 得 品= 手如k 1 一塌砩一k + z i ) 】 ；手如 ( 2 2 ) 其中， s 。= 酊一g ，+ 2 a ：砰圮k 。一啊。) ( 2 3 ) 下面求一阶a r c h 模型和一阶高次a r c h 模型利用极大似然函数求参数的二 阶条件，对数似然函数的二阶导数是， 盟：一盘一上盟盟f 互1 8 印p h t2 培a 8a p l h 1 ) 一争嚣+ 融浩陆渤 对上式取条件期望值，注意到魄仅是过去信息的函数，e 如) = o ， e 僻) = 啊，则上式的后两项变为零，第二项的最后一个因子是i 而且，在求 导数和求期望值的过程中，并没有要求解释变量中不含滞后应变量，因此，无 论置是否包含滞后应变量，这一结论都成立信息矩阵就是上述条件期望值的 相反数的均值可由下式给出。 山东大学硕士学位论文 卟吾军d 惴 = i e ( x 啊：x , 0 2 h ；塑a p 纠a p ) ( 2 4 ) 对于p 阶a r c h 模型，将( 1 2 ) 式代入( 2 4 ) 式可得其信息矩阵的一致估 计矩阵， 驴；降+ 2 莩司斧6 2 “， 将第一个求和公式展开，并在展开后的第二项中对如一，分步求和，然后 提取公因式葺，得以下近似公式， ， q 印= ；军 矿+ 2 孑喜巧嚼 ；2 f 其中， 当p = 1 时，得到一阶高次a r c h 模型的信息矩阵的一致估计矩阵 q 朋= ；军如n 2 粥22 - 2 ) 其中， t 喜如f j t ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ，；2 = 。+ 2 口1 2 2 啊- “2 ( 2 8 ) 对于一阶高次a r c h 模型，将( 1 2 ) 式代入( 2 4 ) 式可得其信息矩阵的一 致估计矩阵， q 朋= 亍1 厶一一r r 珥_ i + 2 2 矗b + 2 蠢了t 。而。】 ( 2 9 ) 将求和公式展开，并在展开后的第二项中，对，分步求和，然后再提 嚼2 ， 口 ，川 f 2+ 玎 = f 山东大学硕上学位论文 取公因式薯，得以下近似公式， q 朋：i 1 厶葺r k 一+ 2 圮# b + 2 口2 2 ，】 ；吾2 ( 3 0 ) 其中， 22 1 , , - 1 + 2 礴彳b + 2 i r ( 3 1 ) ( 1 1 ) 式和( 2 4 ) 式组成了用极大似然发求a r c h 模型和高次a r c h 模型的 参数式，分块信息矩阵的主对角线上的元素块。 将( 1 7 ) 式对口求导数可得分块信息矩阵非主对角线上的元素块。 q 妒= ；军协凳剖 ， e n g l e ( 1 9 8 2 ) 证明了，当a r c h 模型是对称且正则的时，其信息矩阵是分 块对角矩阵。即( 2 0 ) 式中的元素都是零。正则性是指干扰项的方差是一个正 数，且方差对参数的导数与对某一观测值的导数的乘积的期望值存在有限。而 对称性是指，如果第i 个滞后观测值的干扰项改变符号，那么第t 个观测值的 误差的条件方差不变，它对其他观测值误差项的导数不变，仅对第i 个观测值 误差项的导数改变符号。下面是e n g l e ( 1 9 8 2 ) 给出的a r c h 模型对称性和正则 性的数学表达式，我们将利用此公式证明一阶高次a r c h 模型( 5 ) 满足对称性 和正则性条件。 设舌是来自样本空间的p l 阶随机向量，可以写为皇= 仁+ ，磊，) 。对 任意的t ，令等为一个第m 个元素与毒的第m 个元素相反，其他的元素均相同 的随机向量，此处1 历s p 定义：由( 1 ) 式定义的a r c h 模型如果满足以下三个条件，则称为对称的。 ( a ) 慨) = 瞎) ( b ) 鐾盟：鐾 对样本空间中的任意m ，i 和磊都成立， d 口d 口 山东大学硕士学位论文 ( 。) 罢掣：一要鲫， 对样本空间中的任意m 和磊都成立， 8 。8 h j 一j 。一j 正则性的定义：n h ( 1 ) 式定义的a r c h 模型如果满足以下两个条件，则称 模型为正则的。 ( a ) 存在艿 0 ，使得对样本空间的任意丢，都有m i n h ( 毒) 芝艿成立。 对所徽舯 | 剖幽h 卜在 第一个条件要求a r c h 随即过程的条件方差取正值。第二个条件的检验稍 为困难，一般情况下，如果随机过程是存在有限方差的平稳过程，第二个条件 就成立。 对于随机过程( 5 ) 来说，h ( 。) 口 0 ，因此，正则性条件( a ) 成立。 下面证明条件( b ) 成立。 l 剐阿弘( i 生噜型| l 生嗜删m 2 当f - o 时，上式为e ( 2 喁乞一i + 4 蠢。l 、壬，。) 当扛l 时，上式为e ( 2 q 不+ 4 a 2 c ： ! _ 。l 甲。) ， 当f = 2 时，上式为e ( 2 q 砬。+ 4 吃采，i 甲m ) 在信息集、壬，f 2 已知的情况下，乓一l 服从条件正态分布，因此，上述三式都存在 有限值 这样我们就证明了，由式( 5 ) 表示的一阶高次a r c h 过程是对称性的和正 则性的。 e n g l e ( 1 9 8 2 ) 证明：如果一个a r c h 回归模型既是对称的又是正则的，那么 其信息矩阵是分块对角矩阵，这时，在大样本中，对a 和的估计可以分开进 行而不损失效率而且，其中任何一组参数都可以基于另一组参数的一致估计 量得到有效估计以下的迭代估计过程是：首先应用普通最小二乘法估计， 1 9 山东大学硕士学位论文 并得到估计的残差。甩这些残差计算口的有效估计量，然后，根据口的有效估 计量计算的有效估计。将这一过程继续迭代下去，直到得到口和的估计值 不再发生大的变化。口的值必须满足一些条件，以使干扰项的条件方差大于0 ， 当p = l 时，由式( 5 ) 知，只要a o 0 ，q o ，0 ，就可保征干扰项的条件方 差不小于0 ，当然，这只是一个充分条件，实证分析中，即使不满足以上条件， 干扰项的条件方差也可能为正 e n g l e ( 1 9 8 2 ) 指出，满足对称性和正则性的模型的参数估计可由以下迭代 公式求得，假设毋是由参数组成的向量，第i 步迭代得到的参数估计向量记为 ，可由以下公式得到第i + 1 步的参数估计量”1 ， 矿叫+ 蚶亭军嚣 ( 3 3 ) 其中，q 。和等分别在第f 步参数估计值庐1 处记值。上述迭代公式有两 个优点，一是仅需要计算似然函数的一次导数，二是保留了参数估计量的一致 性和渐近有效性的统计性质。 将式( 1 3 ) 、( 1 4 ) 代入式( 3 3 ) ，可得到一阶高次a r c h 回归模型估计参数 的迭代公式， 口”1 = 口+ p 2 ) _ 1 三= 厂 ( 3 4 ) 其中， 乏= ( 1 ，蠢。6 4 。m z = 留，群) z = 一叫y 叫 c 厂0 ：，) 在上述诸式中，是第f 步迭代的残差，鲜是第f 步迭代中估计的条件方差， 是第i 步迭代后对未知参数向量的估计向量，第i + 1 步估计的参数向量口， 则是第f 步的估计向量，加上一个修正项仁? ) 。z 丁，由普通最小二乘法的算 山东大学硕士学位论文 法司知，它恰好是f 对z 回归的o l s 估计量因此，每一步都可以建立在一 个普通最小二乘法的估计量上因为假设了利用a r c h 模型对金融时间序列进 行回归的残差服从正态分布，则 p t i mf o f o t 叫；m ；喜晤一 2 = 加享备rp 训e 2 、2 却t i r a - - ；喜) , ( i - - 小i ， = ；3 t 一2 手r + = 2 由式( 3 4 ) 迭代的参数的方差一协方差矩阵可由估计式( 3 4 ) 的信息矩阵 的二倍2 ( z ) - i 一致估计 给定口的估计值，的估计值可由下面迭代公式得到改进， 1 + 1 - - - - p 。+ b r l 等 ( 3 6 ) 定义向量葛和向量z 分别为 三f 。 ( 3 7 ) 2 e , s , r f 记岛为第i 次迭代的残差岛的估计值，将( 1 8 ) 式和( 2 5 ) 式代入( 3 6 ) 式，可得 夕”。= 卢。+ 仁窜r i 字 ( 3 8 ) p 是第i 步迭代后对未知参数向量的估计向量，第i + 1 步估计的参数向量 州，则是第j 步的估计向量加上一个修正项g 罕) 1 譬字，由普通最小二乘法 的算法可知，它恰好是z 对舅回归的o l s 估计量。上述迭代公式还是可以用普 通最小二乘法估计参数向量的修正值，用极大似然函数法估计的参数向量的方 差和协方差矩阵睾【- q 伊】，可由( 譬r 一致估计 恩格尔( 1 9 8 2 ) 指出，最大似然估计量a ，夕渐近服从正态分布， 山东大学硕士学位论文 f 一口) 旦斗 r ( o ，q ：) f 一) _ 2 哼( o ，q 品) 山东大学硕士学位论文 五、一阶a r c h 回归模型和一阶高j j z a r c h 回归模型参数估计的四 步法 给定一组金融时间序列数据，如果用一阶a r c h 回归模型和一阶高次a r c h 回归模型来拟合，可用以下四阶段普通最小二乘法来估计( f o l s ) ，这种方法 根据迭代公式( 3 4 ) 和( 3 8 ) ，取其前两步迭代得到( 威廉h 。格林著，王明舰 等译经济计量分析1 9 9 8 ) 令样本包含只和，r = 0 ，r 用以下四步估计参数。 1 、用普通最小二乘法和所有可用的观测值估计以下回归方程 只= 屈+ 户；而+ + j ：+ 岛 ( 3 9 ) 得到参数口和残差占的估计值6 和e 。其中，诸x 可以是外生变量，也可以是 内生滞后应变量，但是其值应该是前定的。 2 、对t = l ，t 的t 个观测值，将上一步中得到残差的估计量的平方对其滞 后值作最小二乘回归，得到参数口的初步估计值a 。 估计一阶a r c h 模型的参数口时，做回归 0 = 口o + 口l 吐i + i t ( 4 0 ) 估计一阶高次a r c h 模型的参数口时，做以下回归 彳= g o + 口l 吐i + 口2 芒l + y ( 4 1 ) 3 、对，= l ，t ，计算估计的残差的条件方差，= g o + q t i ( 对一阶a r c h 回归模型) 或厂= g o + q 矗+ 口2 e h 4 ( 对一阶高次a r c h 回归模型) ，然后用最小二 乘法做以下回归， 对一阶a r c h 回归模型， 4 , 一1 = 磊z + , d 4 - 。肛) + y ( 4 2 ) 对一阶高次a r c h 回归模型， 4 z 一1 = d o f f , + 4 k 。i z + d z ，z ) + i t ( 4 3 ) 得到修正向量以， 山东大学硕士学位论文 然后计算渐近有效估计= 口+ 以，在渐近协方差矩阵为2 ( z z y l ，其中z 为 回归( 4 3 ) 中的回归量矩阵。 4 、运用& 。重新计算z ，然后对于观测值，= l ，7 一1 ，计算， 对一阶a r c h 回归模型， # z _ + 2 口1 2 2 ，l + i - - 2 ( 4 4 ) 和 s 。= z 一一口z 2 k 一z “) ( 4 5 ) 对一阶高次a r c h 回归模型， = z + 2 z ：f b + 2 a ：砰) 2 ( 4 6 ) 和 ， 、 s 。= z 一仁。+ 2 a ：2 】，。- 2 k 一z 州) ( 4 7 ) 计算估