（光学工程专业论文）非局域空间光孤子的数值研究.pdf

i 0 乏xl ， i 。 嗡 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：蟹酶日期：2 口扫年j 月；f 日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：像群 导师签名： 璐0 慕 日期：z o o 年r 月3 7e l 一 、i 摘要 摘要 我们知道光波的束宽在传输过程中会由于衍射而展宽，但在某些非线性介质 中传输时，光强会引起介质折射率的改变从而产生自聚焦效应。当自聚焦效应和 衍射效应相互平衡时，光波的束宽将不再改变也就不会发生衍射，这就是空间光 孤子。如果这种非线性介质是一种具有非局域响应函数的介质那么光束就会形成 非局域空间光孤子。非局域空间光孤子已在液晶、光折变材料、玻色爱因斯坦凝 聚态、硫化铅玻璃中观察到。非局域空间光孤子从数学上讲是一种非线性偏微分 波动方程的解，从物理上讲又是一种自然现象，它被人认识到只是近年的的事。 它的方程看起来并似乎不复杂原理也不那么深奥，却一直没能找到太好的方法去 求得数学上完美的解析解。本论文的主要目的在于讨论空间光孤子在非局域非线 性介质中传输的性质。这些特性有望在将来的全光控制或全光通信系统中扮演重 要的角色。 首先本文从m a x w e l l 方程出发导出了光束在强非局域非线性响应介质中所满 足的非线性薛定谔方程，并求得二维强非局域非线性介质中高斯光束的近似解析 解。分析了束宽幅度比以及束宽波动周期和入射功率的关系。利用分步傅里叶算 法求得了光束在非局域介质中传输的递推公式，数值上分析了空间光孤子的传输 特性，并比较了所求得的解析解和数值解的差别。最后利用数值计算模拟了双光 间的相互作用。 接着从非线性非局域薛定谔方程出发，得出了具有多峰结构的厄米特高斯孤 子解。之后在三维情况下利用数值计算研究了零阶椭圆型高斯孤子，高阶厄米特 高斯孤子的传输特点，分析了入射功率和阶数对孤子柬宽变化的影响，以及双光 束在不同功率或不同阶数情况下的传输特性。 最后讨论了光孤子在液晶里的情况。基于液晶的弹性连续体理论和h e l m h o l t z 方程，从数学上推导出向列型液晶的响应函数和非线性薛定谔方程。结合差分迭 代算法和分步傅里叶算法数值模拟了光孤子在液晶中的传输，并对结果进行了分 析。 关键词：空间孤子，非局域非线性介质，光束自陷，向列型液晶 _ - _ a b s t r a c t a b s t r a c t t h ew i d t ho fo p t i c a lb e a m su n d e r g ob r o a d e nf o rt h en a t u r a ld i f f r a c t i o nw h e nt h e y p r o p a g a t ei nl i n e a ri s o t r o p i cm e d i a b u ti n s o m en o n l i n e a rm a t e r i a l s ，t h ep o w e ro f o p t i c a lb e a m sc a l li n d u c et h ec h a n g eo fr e f r a c t i v ei n d e xa n da r o s et h es e l f - f o c u s i n g e f f e c t b yt h et i m e ，t h eb e a m sw i d t hd o e sn o ts p r e a da g a i nw h e nt h es e l f - f o c u s i n g e f f e c tb a l a n c e st h ed i f f r a c t i o n t h i si sc a l l e das p a t i a ls o l i t o n i ft h es p a t i a ls o l i t o np r o p a g a t ei nt h en o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i u m ，i tw o u l db e c a l l e dt h en o n l o c a ls p a t i a ls o l i t o n t h en o n l o c a ls o l i t o nh a db e e nf o u n ds u c h 硒i nt h e n e m a t i cl i q u i dc r y s t a l s ，e m i e o n d u e t o re l e c t r o n l e ，b o s e - e i n s t e i nc o n d l e n s a t i o n ，c 2 sa n d s oo n i t se q u a t i o ni ss e e mn o tc o m p l e xa n dt h et h e o r yi sn o ta b s t r u s e n e s si nt h ef i r s ts e e b u tw es t i l lc o n n o tf i n dae f f e c t i v em a t h e m a t i c st e c h n i q u ef o ri t sm a t h e m a t i ca n a l y t i c a l s o l u t i o n t h ef o c u so ft h i sw o r ki st od i s c u s st h ep r o p e r t yo fs o l i t a r yw a v ep r o p a g a t i n g i nt h en o n l o c a ln o n l i n e a rm a t e r i a l s ，w h i c hw o u l dp l a yi m p o r t a n tr o l ei nt h ea l l o p t i c a l c o n t r o la n da l l - o p t i c a lc o m m u n i c a t i o ni nt h ef u t u r e f i r s to fa l l ，an o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o ni so b t a i n e df r o mt h em a x w e l l e q u a t i o ni nt h ec o n d i t i o no ft h eo p t i c a lb e a m sp r o p a g a t i n gi n t h es t r o n g l yn o n l o c a l n o n l i n e a rm e d i a , a n daa p p r o x i m a t ea n a l y t i c a ls o l u t i o no fg a u s sb e a m si sf o u n di nt h e 2 ds t r o n g l yn o n l o c a ln e n l i n e a rm e d i a f r o mt h es o l u t i o nw ec a ns e ot h a tt h eo p t i c a l b e a m sw i d t hi sas i n ef u n c t i o n ，t h eb e a mw i d t ha n dt h ep e r i o do ft h eb e a mw i d t hr e l a t e t ot h ei n p u tp o w e r r e c u r r e n c ef o r m u l aw h i c hd e s c r i b e so p t i c a lb e a m sp r o p a g a t i n gi n t h en o n l o c a lm e d i ai so b t a i n e df r o mt h es p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o d t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o ni sc o m p a r e dw i 【t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o ni n t h i sp a r t ，a n dn u m e r i c a lm e t h o di s m a d eu s eo fs i m u l a t et h er e c i p r o c i t yo ft w oo p t i c a lb e a m s i nt h es e c o n dp l a c e ，m o r ea p i c e ss t r u c t u r eh gs o l u t i o ni so b t a i n e db a s e do nt h e 3 dn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n t h ep r o p e r t yo fe l l i p s eg a u s so p t i c a ls o l i t o n p r o p a g a t i n gi sd i s c u s s e di n t h en o n l o c a ln o n l i n e a rm a t e r i a l sa n dt h i sd i s s e r t a t i o na n a l y s e t h ei n f l u e n c eo ft h es e r i e so rt h ei n p u tp o w e ra b o u tt h eo p t i c a lb e a m sw i d t h ，a n dt h e b e a m si n t e r a c t i o ni nt h ec o n d i t i o no fd i f f e r e n ts e r i e so ri n p u to p t i c a lp o w e r t h ep r o p a g a t i o no fs p a t i a ls o l i t o ni si n v e s t i g a t e di nt h en e r n a t i cl i q u i dc r y s t a l s 1 1 a b a t r a c t b a s eo nt h et h e o r yo fl i q u i dc r y s t a l l i n ec o n t i n u o u se l a s t o m e r sa n dt h e o r yo fm i n i m i z i n g t h et o t a lf le ee n e r g y , w ef i n dt h er e s p o n s ef u n c t i o no fn c m a t i cl i q u i dc r y s t a l si nt h el a s e r i n p u ta n dm a k eu s eo fd i f f e r e n c ea l t e r n a t em e t h o da n ds p l i t - s t e pf o u r i e rm e t h o dt o n u m e r i c a ls i m u l a t ep r o p e r t yo fn e m a t i cl i q u i ds p a t i a ls o l i t o n a tl a s t ，t h i sp a r tc o m p a r e t h ep r o p a g a t i o no ft h eg e n e r a ls i n g l eo p t i c a lb e a mw i mt h es i n g l es o l i t o na n ds t u d yt h e i n t e r a c t i o no ft w os o l i t o ni nt h en e m a t i cl i q u i d i ti sf o u n dt h a tt h es o l i t o n sa l w a y s a t t r a c te a c ho t h e ra n dc o n n o tb ea f f e c t e db yt h e i rp h a s e k e y w o r d s ：o p t i c a ls p a t i a ls o l i t o n s ，n o n l o c a ln o n l i n e a rm e d i a , s e l f - t r a p p e d ，n c m a t i c l i q u i dc r y s t a l s i 目录 目录 第一章绪论l 1 1 引言1 1 2 非局域介质中的空间光孤子3 1 2 1 光孤子的概念3 1 2 2 相关研究进展7 1 3 本论文主要工作9 第二章强非局域非线性介质中的孤子解1 1 2 1 基本的方程推导1 l 2 2 非局域非线性波动方程的单孤子解1 4 2 3 数值计算1 7 2 3 1 算法设计1 7 2 3 2 数值计算真结果2 0 2 3 3 数值解和解析解的比较2 l 2 3 4 双光束的作用2 4 2 4 本章小结2 6 第三章高阶高斯光孤子2 7 3 1 基本原理2 7 3 2 理论模型2 8 3 3 数值计算3 2 3 3 1 椭圆高斯光束3 2 3 3 2 强度对h g 咖光束结构的影响3 3 3 3 3 阶数对厄米特高斯光束传输的影响3 7 3 3 4 厄米特高斯光束间的相互作用3 9 3 4 本章小结4 1 i v 目录 第四章液晶中孤子的传输性质4 2 4 1 引言4 2 4 2 物理模型和数学的建立4 2 4 2 1 液晶物理的理论4 2 4 2 2 液晶分子指向矢的方程4 4 4 2 3 液晶中非线性薛定谔方程方程的建立4 6 4 3 液晶的数值模拟4 8 4 3 1 算法原理4 8 4 3 2 求解和结果分析5 0 4 4 本章小结5 5 第五章总结与展望5 6 致谢5 7 参考文献5 8 在学期间的研究成果6 2 v 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 孤立子( s o l i t o n s ) 作为一种自然中独特的现象，第一次被人们注意到要追溯到 1 8 3 4 年，由英国的一位工程师j o h ns c o t tr u s s e l l 在运河边的偶然发现。后来在一 次科学会议上他这样描述道当时的发现n 1 ：“我正在观察一条狭窄河道中由两匹马 拉着前进的船，忽然船停了下来，河道内被船带动的波浪却并不停止，它们积聚 在船头周围激烈的扰动着，然后波浪呈现出一个轮廓分明的巨大孤立波峰，并以 很快的速度向前滚动着，急速地离开了船头。在行进它们的形状和速度没有明显 的改变。我骑在马上紧跟着观察，它以每小时8 或9 英里的速度滚滚向前，并保 持长约3 英尺高约1 到1 5 英尺的原始形状，渐渐地它的高度下降了，当我跟踪 了一两英里后它才最终消失在河道中。这就是我在1 8 3 4 年8 月第一次偶然遇见的 奇特景象。” 虽然r u s s e l l 对这种孤立波做了一些解释，但没有建立具有说服力的数学模型 所以并没有引起人们太多的关注，直到6 0 年后的1 8 9 5 年才由荷兰著名数学家 d k o r t e w e g 和gd e c r i e s 在浅水波运动方程的研究中从数学上给出了单向运动的 潜水波孤立子的方程，这就是著名的k d v 方程中昭1 。这种方程是一个非线性偏微 分方程，它具有稳定的脉冲孤立波解。 1 9 5 2 年，原子弹之父e n r i c of e r m i 领导的科学家小组在统计力学中的一个验 证能量均分定律的数值实验中意外地发现经过几万个周期的长时间实验后，几乎 全部能量又回到初始分布状态，即能量回到几个初始能量不为零的点上，而不是 人们预想的那样能量会随着时间的延长趋于均匀分布到所有的点上。这就是著名 的f p u 实验。后来t o d a 通过对晶体的非线性振动的模拟，在数学解答了f p u 实验 提出的问题，实际上f p u 的解正是一种孤立波的现象口】。 1 9 6 5 年p r i n c e t o n 大学的数学家m d k r u s k a l 和n z a b u s k y 通过等离子体中孤 立波碰撞的研究得到了孤立波在碰撞后波形保持不变，具有很好稳定性的结论h 1 。 m d k r u s k a l 和n z a b u s k y 的卓越工作引起了很多数学家和物理学家的对孤立波的 极大兴趣。此后在物理学的很多领域都发现了孤立予的影子，如流体中的涡旋、 电子科技大学硕+ 学位论文 晶体的位错、超导体中的磁通量、神经系统中信号的传输、等离子体的电磁波、 激光在介质中的自聚焦、宇宙中涡旋星系的密度波等。如今孤立子已成为非线性 数学领域的一个重要的分支。 孤立子在光学方面的系统研究最早始于1 9 7 3 年，当时在贝尔实验室进行光纤 传输理论研究的科学家h a s e g a w a ( 长谷川) 和t a p p e r t 为解决光纤通信中的色散问 题提出可通非线性自相位调制效应来平衡光纤通信中的线性色散效应嫡1 ，并给出了 相应的非线性波动方程( n s l ) 。这个方程的解正是孤立波即光孤子，这样的脉冲 可以在光纤中无色散地传播。1 9 8 0 年m o l l e n a u e r 等人首次在实验中验证了 h a s e g a w a 和t a p p e r t 的预言，观测到了这种频宽不变的光孤子旧1 。3 年后m o l l e n a u e r 等人又研制出孤子激光器。这些工作激发出人们在光孤子通信方面的研究热潮， 在此后十几年的时间里，科学家们逐步建立了比较完善的光孤子通信理论体系， 也在实验和系统设计中做了很多重要的工作，如日本的星( s t a r ) 计划、欧洲环网 中孤子传输高速通道开发计划( e s t h e r ) ，升级计划( u p g r a d e ) 以及欧盟a c t s 中的采用色散补偿和先进孤子技术施行多吉比特互联( m i d a s ) 计划口1 ，另外美国 的贝尔实验室和日本的盯实验室也完成了多个孤子现场试验。使得光孤子通信 技术已趋于成熟。 前面这种非线性自相位调制效应和色散效应平衡的光孤子统称为时域光孤子 ( t e m p o r a ls o l i t o n ) 。还有一种光孤子叫空间光孤子( s p a t i a ls o l i t o n ) ，这种光孤子是 非线性效应和衍射效应的平衡，相对于时域光孤子在光纤通信研究中的进展，空 预言 显示 的研 定的 原子 科学 拓宽 孤子 第一章绪论 1 2 非局域介质中的空间光孤子 1 2 1 光孤子的概念 光束在非线性介质中传输时满足非线性波动方程，如果这种方程的非线性项 恰好能够和方程中的扩展项达到平衡，那么方程就会产生一种不弥散的特定波动 解。这种解的形状在传输过程中保持不变，且能量也不会随着传输长度的而呈现 均匀分布，这就是光孤子。光孤子大体可以按照其物理机制分为两类，时间光孤 子和空间光孤子。 时间光孤子是光纤中光束的色散效应和非线性效应达到平衡时的解。我们知 道光纤中传输的光波并不是绝对意义上的单色光，总存在一个频率宽度。而不同 频率的光在光纤中会有不同的折射率和传输速度，所以光束在光纤中传输一定距 离后由于各自传输的速度不同而出现光束的在时域上的展宽，这就是群速度色散 ( g v d ) 效应。这种色散对光纤通信的危害很大尤其在长距离或运载大容量信息时 它会导致信号的 的光束产生相移 应会使不同频率 的传播速度变快 用并达到平衡， 这就是时间光孤 们已经求出解析 为振幅波数角频 其中孝= x - c g t ， 式可以看出这种 于它克服了色散 空间光孤子 尺度展宽的衍射 在传输过程中总 电子科技大学硕士学位论文 这种光束不按直线传输的现象统称为衍射效应。但在某些光学材料中存在另外一 种现象，这类介质中折射率会随着光强的变化而改变如克尔介质等。这些介质中 光强和折射率相互联系的具体物理机制虽然有许多种，如电极化、热效应等，但 最后的结果都是在介质中产生自聚焦透镜效应。比如入射的是一束基模高斯光束， 那么在光束中心位置处的光强肯定比光束边缘位置的光强大，所以在光强的影响 下介质的折射率分布是中心点折射率大而边缘的折射率小，这个现象很容易让人 联想到透镜。所以克尔性非线性介质中折射率，z = n o + s n 其中为介质背景折射 率，k e r r 介质中折射率变化量8 n = n 2 i 其中为k e r r 系数，为光强，那么最后的 结果就是光束会被汇聚，光波的横向尺寸会被压缩。这也正如一个凸透镜对光波 所起的效果一样。如果这种效应和前面使束宽扩展的衍射效应达到平衡，那么光 束便以不变的束宽在这种非线性材料中传播，这就形成了我们所说的空间光孤子。 具体过程可见图1 - 1 。其中卜1 ( a ) 是原理示意图，1 - 1 ( b ) 是实验现象。在1 - 1 ( b ) 中形成孤子的光束以不变的束宽进行传输，而没有形成孤子的光束则会发生明显 的衍射1 4 】。 ( b ) 子的原理图( b ) 一个l o u m 宽的空间光孤子 子和非局域空间光孤子，这是根据非 划分的。在局域非线性介质中，某一 非局域介质中某一点光强不单单会影 的介质折射率都会产生影响。后者主 关性。实际光束总有一定宽度，于是 就决定着这种非线性材料的对光强响 第一章绪论 八 - r ( r - i 嘞、 r ( x h ) 啪f 吲 ji 一 t oxr0ir ( c ) 刚州 ( d ) 弋n x o e - z ) 烈 、 l 叫) l 1 一 oix oir 图1 2 不同局域介质原理图( a ) 局域介质，( b ) 和( c ) 是一般非局域介质，( d ) 强非局域介质n 引 入射光束总是有一定的宽度，介质折射率的改变也有一个范围。当介质折射 率改变范围小于或等于入射光束的宽度时就是局域非线性介质，反之如果质折射 率改变范围大于入射光束的宽度那么这种介质是非局域非线性介质。图1 - 2 展示 了介质的不同局域程度。其中r 是介质折射率对光强的响应函数，它的宽度在一 定程度上表示着折射率改变的范围，i 是光强的函数。可见图1 - 2 ( a ) 是局域非线性 介质的情况，此时光束宽度远远大于响应函数的宽度，图1 - 2 ( d ) 是光束在强非局域 介质中的情况，这时响应函数的宽度大于光束宽度。图1 - 2 ( b ) 和( c ) 则是弱局域和 一般局域时的情况。 空间光孤子最大的特点是孤子间的相互作用，这种相互作用可具体表现为相 互吸引、排斥或是呈现周期性的相互交叉，在这些相互作用过程中孤子遵守能量 d f 一| | ：筐蚕鬻冒i o口m 图l - 3 是二维k e r r 孤子的相互作用。( a ) 为两孤子同相位平行输入：( b ) 为两孤子同相位倾斜 输入：( c ) 万相位差平行输入：( d ) 万2 相位差平行输入：( e ) 3 万2 相位差平行输入：( f ) 在饱和 非线性介质的情况4 1 。 电子科技大学硕士学位论文 图1 - 3 是二维克尔孤子在局域介质中的传输性质，两束相干光波在不同入射 条件下可表现为相互吸引、排斥和融合等现象。可见在局域介质中光束的初始相 位对光束的相互作用影响很大。它们之所以在局域介质中表现出排斥和吸引的特 点，完全是由于光强叠加后对介质折射率造成的影响，同相位时光强在中央部分 表现为相干叠加，中间部分折射率就会变大，于是两光束就会相互吸引。相反如 果是反相位的两光束共同传输的话中央部分的光强是相消的，那么中间的折射率 就会变小，两光束就会表现为相互排斥。所以如果是两束非相干光入射到局域时， 由于接触点光强只是普通的叠加而不会出现干涉相消的情况，两光束总表现为相 互吸引。 若两光束在非局域介质里传输时和在局域介质里传输的情况稍有不同。在非 局域介质中两相干光束无论初始相位是否相同都表现为相互吸引。这是由于虽然 反相的两相干光束的接触点上光强会出现干涉相消，但还没有发生接触时两光束 已经可以使彼此位置的折射率增大，从而在两束光还没接触时就会发生相互吸引， 只不过在中央接触点上是暗纹，如图1 - 4 所示。另外很明显的是非局域介质中光 束间相互作用的范围要远远大于局域介质的情况，局域介质中如果光束间距太大 则不会产生相互作用。不过也可以认为局域介质是非局域介质的一种特殊情况。 _ e 柚h 图l - 4 非局域介质中同相和反相孤子碰触时的强度等高图n 岫 总的来说介质折射率对光强的非局域响应现象在自然界中是普遍存在的，比 如向列型液晶分子指向之间的连续性，某一点分子指向由于光场作用而发生改变， 必然会使周围其它分子的指向也产生改变从而使折射率的变化不再局限于一点。 此外原子蒸汽中的原子扩散和热致非线性材料中的热量传递等问题都具有这种非 局域响应的特点。 6 第章绪论 1 2 2 相关研究进展 对非局域空间光孤子最早的实验观测可追溯到1 9 9 3 年，b r a u n 等在柱状结构 和薄层波导的液晶中观察到光束出现了一种不稳定的自聚焦现象n 。这后来被证 实是空问光孤子。两年后d w m c l a u g h l i n 等人在实验中也观察到这种光束的自聚 焦现象，如图1 5 所示，他们并在理论上做了一定的解释，他们的实验表明光束的 自聚焦和入射光的能量有关n 8 1 。 图l - 5 不同入射功率下的光束轨迹 非局域空间光孤子在理论上的更好的解释得归功于澳大利亚国立大学著名的 波导专家s n y d e l 和m i t c h e l l 重要的工作n 引，他们在1 9 9 7 年发表在s c i e n c e 杂志上 一篇名为“a c c e s s i n l es o l i t o n s ”的文章中给出了空间光孤子在非局域介质中所满足 的非线性薛定谔方程。并将其近似地简化为线性方程，得到空间光孤子的近似解。 沈元壤博士对这篇文章给予高度的评价并预言这篇文章会引起新一轮的光孤子研 究热潮引。之后的发展也确实如此，很多学者在这个领域做了很多有意义的探索。 k a r p i e r z 等人在1 9 9 8 年利用液晶盒观察到了光束的自陷现象。k r o l i k o w s k i 和 o b a n g 的小组在2 0 0 0 年考察了在类克尔材料中的一维亮孤子和暗孤的传输，并得 出了弱局域条件下的孤子精确解同时分析了孤子的性质和稳定性乜u 。 2 0 0 0 年，f d e r r i e n 等人啪1 在掺杂葸醌的液晶中观测到了由热效应产生的空间 光孤子并从理论上进行了解释。同年m p e c c i a n t i 领导的小组在外加电压的液晶盒 中比较了双光束分别在两种正交偏振态情况下的传输现象乜驯。他们的结果如图1 6 所示。当光束的偏振方向沿y 轴时会发生衍射，但沿x 轴偏振时形成孤子。 舶 量- g o 、 3 0 茎 o oo ，1 0 20 ，30 9 与o ，辱o 。7 9 8d 。9， qo 。 9 ，20 1 3 9 。一9 拿9 ，镇，0 - 8 口9l z f m m l z f 酬 ( a ) 双光束的偏振方向沿y 轴m ) 双光束的偏振方向沿x 轴 图1 _ 6 双光束取不同偏振方向的实验 7 电子科技大学硕士学位论文 k r o l i k o w s k i 和o b a n g 的小组在2 0 0 1 年研究了平面波在非局域非线性克尔介 质中的调制非稳性，得出了稳定性和响应函数的具体形式有密切的关系n 5 1 。这一 年j f h e n n i n o t 对掺杂液晶中的空间光孤子的相互作用做了详细的分析啦4 1 。同年 m a r c op e c c i a n t i 等人在实验中观察到到非相干空间光孤子的形成嘶1 ，他们还研究了 利用一束孤子形成的波导来诱导另一不具备孤子条件的不同方向的光束无衍射的 传输啪1 ，如1 7 图所示。 ( a ) 为光束衍射c o ) 孤子波导时光束形成孤子并沿z 轴传输 图1 7 孤子波导控制信号光转向 2 0 0 2 年k r o l i k o w s k i 对空间光孤子在任意非局域程度下的性质进行了研究。并 论证了介质的非局域性对孤子稳定性的影响心刀。同年m a r c op e c c i a n t i 等人在空间 光孤子的应用方面做了有益的尝试啪3 ，他们在实验上设计了光开关同或和异或全 光逻辑门等，如下图所示 辑七三国 气_ 嘲黑之 戛蜘_ _ 幽_ 幽 。鼍焉嬲弱嘲一 菇簟幽幽_ 。 o05i i l a m ! ( a ) 不同角度的同功率的光开关 。， ：忍嬲翦嘲： 冒5 0 幽7 豇兰0 墨罱； ( b ) 平行入射不同功率的光开关 冒簿；掴蒜 图1 - 8 全光控制 一一一一一一 钳。知蛐0钟蛳。拍撕o 一一一一一一 静i蛔如。如鲰o q q 协 第一章绪论 在实验中他们利用胁一肫激光器产生一束不具备孤子条件的小功率信号光，其中 信号光的波长为兄= 6 3 3 n m 功率为1 7 r o w ，a r + 激光器则产生可形成孤子的激励光 束其中激励光束的波长为兄= 51 4 n m 功率为4 2 m 矿，如图1 - 8 ( a ) 所示。小功率相同 光强的光束以不同的方向角入射时，由于光强不足以使液晶分子指向产生很大的 改变，因而光束不会相互吸引到一块。在图1 - 8 ( a ) 的第二幅图中，由于功率增大， 两光束便相互吸引到一起。图1 8 ( b ) 展示的是：当两柬不同光强的光束入射时，如 果功率较低则各自的轨迹将不会改变，但加大功率后由于非局域介质的非线性效 应，两束光将发生交叉换位。图1 - 8 ( c ) 和图1 - 8 ( d ) 是在此基础上设计的逻辑门，它 的原理是通过调节a 光和b 光强度的大小来控制s 光的输出位置，如1 - 8 ( e ) 所示 当a 光和b 光的输入为零时s 光轨迹不受任何影响这时s 端的输出视为l ，当a 光和b 光的任意输入不为零时，那么s 光的轨迹就会受到影响因而输出端的位置 也不再相同，这时输出端可视为零，这就实现了逻辑上的非门。图1 - 8 ( d ) 的a 光 和b 光输入位置分别在s 光的两端，a 光和b 光都是同功率入射，那么当a 光和 b 光同时为零和同时不为零的情况下，s 光都不会产生轨迹的改变，此时的出射端 可视为1 ，当a 光和b 光一个为零一个不为零时，那么s 光的轨迹就会偏转，输 出位置也会改变，于是这就形成了一个逻辑上的同或门。 2 0 0 4 年，a n d r e af r a t a l o c c h i 等人完成了近红外光在向列型液晶中的实验瑚3 ， 他们首次在向列型液晶中观测到近红外光的离散衍射和离散型的空间光孤子口幻。 2 0 0 5 年m p e c c i a n t i 等研究了强光入射下的向列型液晶中的空间光孤子的调制失稳 现象口副。2 0 0 6 年胡魏和郭旗在实验上利用电压控制液晶分子的非局域程度并以此 改变在液晶中传输的光孤子的相互作用1 ，他们发现当非局域程度减弱会出先局 域介质中的一些现象如和相位有关的吸引和排斥等。 1 3 本论文主要工作 本论文主要是分为四部分。 第一章简要的阐述了光孤子的分类和基本概念，以及非局域空间光孤子的定 义和物理原理，同时介绍了非局域空间光孤子研究的背景和进展，包括理论和简 要的实验内容，这一章仅仅为后续的内容进行一个简单的铺垫。 第二章前半部分从h e l m h o l t z 方程出发导出了光束在强非局域非线性响应介 质中所满足的非线性薛定谔方程，并利用对任意实对称型响应函数泰勒级数展开 的技巧，得到了强非局域非线性介质中光束传输时所满足的近似解析解。分析结果 9 电子科技大学硕士学位论文 表明：束宽解是一种三角函数的形式，并求得了束宽幅度比以及束宽波动周期和 入射功率的关系。第二章后半部分直接从前面得出的非局域波动方程出发，利用 研究光传输问题中常用的分步傅里叶算法求得了光束在非局域介质中传输时所服 从的递推公式，并以此为基础分析了二维非局域空间光孤子的相关性质如双光束 相互作用，初始功率对光束传输的影响等，并比较了双光束在强非局域介质和局 域介质传输时的异同。 第三章基于非线性非局域薛定谔方程，求出了具有多峰结构的厄米特高斯光 孤子解。之后利用数值算法在三维情况下研究了零阶椭圆型高斯孤子，高价厄米 特高斯孤子的传输特点，分析了入射功率和厄米特高斯光束的阶数对孤子束宽变 化的影响，以及双光束间在不同功率或不同阶数情况下的相互作用等特点。 第四章讨论了非局域空间光孤子在液晶中的传输特点。利用液晶的弹性连续 体理论和系统总自由能密度最小化原理推导出向列型液晶的折射率对光强的响应 函数方程，并从亥姆霍兹方程出发推导出向列型液晶中空间光孤子所满足的非线 性薛定谔方程。结合差分迭代法和分步傅里叶算法数值模拟了光孤子在液晶的传 输特性，给出了向列型液晶分子指向角和液晶折射率在单光束或双光束传输时的 分布等。 1 0 第二章强非局域邗线性介质中的孤子解 第二章强非局域非线性介质中的孤子解 本章将从m a x w e l l 方程组推导出高斯光束在强非局域非线性响应介质中所满 足的非线性薛定谔方程，并利用对任意实对称响应函数进行泰勒级数展开的技巧， 得到了强非局域非线性介质中光束传输的高斯光束的近似解析解。本章的后半部 分主要是利用分步傅里叶算法讨论了非局域介质中光束传输的一些特点。 2 1 基本的方程推导 光波的扰动是一种电磁扰动。所以光扰动服从满足m a x w e l l 方程组的时间变化 和空间变化。因此我们可以从麦克斯韦方程组出推导出光波所满足的一切波动方 程。m a x w e l l 方程组和材料性质方程的标准形式如下所示： v e = 0 v 一署 。， v 日= 0 v 日= q 民百a e 上述方程是m a x w e l l 方程组在均匀介质空间中的普遍表现形式，假设这种介质没 有自由电荷和传导电流。这里是介质的相对介电常数以是介质的相对磁导率， e ( r ，f ) 表示电场强度矢量，h ( r ，t ) 表示磁场强度矢量。由于光波是电磁波具有方 向性所以( 2 1 ) 服从矢量场运算法则，将v ( v e ) = v ( v r ) - v 2 占代入( 2 1 ) 二式得v ( 从风a ，h ) = g d - * o ( v x 0 ，h ) = e ：, 6 0 z r z 0 0 “e 从而推出以下方程组： v 协心警 协2 ) v 2 h - s , 舭硒等= 。 上式就是光波动方程的标准形式。这个方程组是一种普遍的方程，它虽然可以算 出光场的表达式，但由于是含时间t 的方程所以求解时有些繁琐。一般的做法是通 过变换将其转换为不含时间变量的方程，从而在某些情况下使运算大大简化。我 们知道在直角坐标系内做正弦变化的电磁场可以用带复数的形式表示为 电子科技大学硕士学位论文 e ( r ，f ) = e ( x ，y ，z ，f ) = r e ( 乜e 倒) e 为复振幅，故( 2 2 ) 第一式可以表示为 2 v 2 聪e ) 一岛从鳓嘉 r “己p 埘) = 0 其中色， r e ( e m p 埘) = 一彩2r e ( 乜p 埘) ，且频率项p 脚可以提出去约掉。对磁分量 也一样，所以可得到( 2 2 ) 的另外种形式即亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程： 飞。e m + 8 r s o p r p b e m = 0 飞1 h m + s r s 阻p r p h m = 0 这种形式不含时间因子，方程可以减少一个变量比原方程稍有些简化。用e 表示 民，日表示风，k 2 = q 岛所脶功2 则可得标准的h e l m h o l t z 方程组也称复数形式 的波动方程： v 2 层+ 七2 冒= o v 2 日+ k 2 h = 0 一般情况下这个方程组有和( 2 - 2 ) 一样的普遍性，但是它是用复数表示的形式且 在推导过程中是被当公因子约去的，所以在某些非线性介质中两不同频率的光 相互作用下能否得到同样形式的h e l m h o l t z 方程是个值得思考的题。 有限尺寸的光束在自由空间传输过程中其光束宽度会由于衍射效应而展宽， 如激光束的发散。但如果在某些非线性介质如克尔介质中传输时，光束的光强会 改变介质的折射率，从而产生自聚焦。当自聚集效应恰好和光束本身的衍射效应 达到平衡时汹1 ，则光束的束宽不再改变而形成“自陷啪1 ，这便形成了空间光孤 子。若介质是非局域非线性介质时形成的就是非局域空间光孤子。继s n y d c r 和 m i t c h e l 提出非局域空间光孤子后，c o n t i 等人从实验上证实了光在向列相液晶中可 形成s n y d c r 和m i t c h e l 所说的空间光孤子口7 鹪1 。近年的结果表明除液晶外硫化铅玻 璃也是一种强非局域非线性介质口钔，这两种强非局域非线性介质的发现虽为空间 孤子的研究提供了实验基础，但非局域空间光孤子的基础理论部分仍很不完善， 所以对光波动方程的深入分析是十分有益的。 在光在介质中传输均时满足h e l m h o l t z 方程v 2 e + k 2 e = 0 ，一般情况下 k 2 = 2 2 ，其中为介质折射率氏为波矢，但在克尔介质中折射率会随着光强的 变化而变化，此时介质折射率就等于背景折射率和光强引起的折射率改变量，l 之和，即厅= n o + 刀，这里血是和光强有关的函数，由于a n n o 所以 刀2 2 + 2 知，而h e l m h o l t z 方程也变为： v 2 e + 2 l 2 + 2 a n n o ) e = 0 ( 2 3 ) 光波的电场e 可以表示成一种振幅与相位的乘积形式e = 沙e x p ( 汜) ，将其带入 1 2 第二章强非局域非线性介质中的孤子解 ( 2 3 ) 式并略去微扰的两阶小量司得： 箬+ 2 腩警+ 9 矽+ 2 a n o k 0 2 v 盎o ( 2 _ 4 ) 出2岔 “ 这里v 2 = 昙+ 参+ 导= v 上2 + 虿g q 2 。一般在慢变振幅情况下i 害l l 警卜故方程 ( 2 4 ) 中第一项可以忽略，此时方程变为： 2 ko _ e + v 主少+ 2 a n 从o , = 0 ( 2 5 ) 这便是光束在非线性k e r r 介质中传播时的所满足的非线性薛定谔方程，众所周知在 k i n - o r 质中光强的改变会引起折射率的变化但非局域中的情况则更为复杂，折射率 改变量，l 不仅与某一点的光强有关还受空间上其它点的光强影响，于是可将，l 写 为血= f r ( ，一， ) l y ( ，z ) 1 2 d r 这里r ( x ) 是介质对光强的响应函数，砂( ，z ) 1 2 是光强。 代入( 2 - 5 ) 式得出光在非局域介质中传输所满足的波动方程： f 詈0 2 k v 矽+ f ，k of r ( r - ，i ) 附硝办 ( 2 _ 6 ) 这是个非线性薛定谔方程，普