（控制理论与控制工程专业论文）电磁逆散射正则化算法的研究.pdf

摘要 电磁逆散射是利用未知物体的电磁散射信号重建物体形状和结构的一类问 题，广泛存在于生物医学工程、无损检测、地球物理、模式识别等诸多应用领域。 由于该未知物体的特性参数与散射信号之间呈非线性关系，人们在这类问题求解 中，通常采用迭代方法，并涉及不适定逆散射方程的求解 由于逆散射方程的求解存在于每次迭代过程中，该方程的解可影响到迭代的 收敛。本文就二维介质逆散射问题，针对逆散射方程的不适定性，首先基于奇异 系统分析了其产生的原因，进而从模式的角度给出了物理解释，然后讨论了逆散 射方程的正则化技术。文中比较了几种典型的正则化方法，分析了其不同的特性， 并对正则化参数的选择方法进行了探讨，指出了不同的参数选择方法的特点。通 过几个典型算例比较了t t k h o n o v 正则化方法、截断奇异值分解以及截断完全最 小二乘方法对解的逼近程度。 ， 针对正则化方法参数选择的困难，提出了一种结合小参数t d d i o n o v 方法和 共轭梯度法的混合正则化方法。先由小参数的t t k h o n o v 方法对原方程作欠正则 化处理，然后再采用具有正则化能力的共轭梯度法求解。该方法的计算量主要是 共轭梯度法的有限步迭代，计算量较小。所提混合正则化方法，既保证了反演效 果，又减少了反演的计算量。 关键词：电磁逆散射b o r n 迭代正则化共轭梯度法 a b s t j 认c t 耵圮e l e c t r o m a g n e d ci n v e r s es c a t t e r i n gi st h ep r o b l e mc o n c e r n i n gr e c o n s l x u e t i o n o ft h eg e o m e t r ys h a p ea n dt h ei n t e r n a lm a t e r i a lp r o p e n i e so fu n k n o w no b j e c t sb y a n a l y z i n gt h e i rs c a t t e r i n gs i g n a l s i tw i d e l y a r i s e si nt h eb i o m e d i c a le n g i n e e r i n g , n o n d e s t r u c t i v e d e t e c t i o n , g e o p h y s i c s a n dp a t t e r nr e c o g n i t i o ne t c b e c a u s et h e n o n l i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eu n k n o w l lp r o p e r t yp a r a m e t e r sa n dt h es c a t t e r i n g s i g n a l s ，i t e r a t i v em e t h o d sa r cu s u a l l yu s e dt os o l v et h i sk i n do fp r o b l e m sw i t ht h e s o l u t i o no ft l a ei l l - p o s e di n v e r s es c a t t e r i n ge q u a t i o n s ， b e c a u s et h ei n v e r s es c a t t e r i n ge q u a t i o n ss h o u l db es o l v e di ne v e r ys t e po ft h e i t e r a t i v ep r o c e d u r e ，t h es o l u d o n so ft h ee q u a t i o n sm a yi n f l u e n c ec o l l v e l g c n c eo ft h e i t e a a t i o n s ht h i sp a p e r , t h ea n a l y s i si sf i r s t l yg i v e nb a s e d0 1 1 1t h es i n g u l a rs y s t e mf o r t h ei l l - p o s e d n e s so ft w od i m e n s i o n a li n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m s t h e nap h y s i c a l e x p l a n a t i o n i s p r o v i d e d w i t ht h ef i e l dd i s t r i b u t i o nm o d e s f u r t h e r m o r e $ o n l c r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sa l ed i s c u s s e dw i t ht h ec o m p a r i s o n so ft h ep r o p e r t i e s t h e p a l r a m c t e rs e l e c t i o nt e c h n i q u e sa r cd i s c u s s e dw i t ht h ee m p h a s i so ft h ed i f f e r e n c e s s o m ee x a m p l e sa l eg i v e nf o rs o l u t i o na c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c ec o m p a r i s o n sa m o n g t h et f l d l o n o v , m m c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n , l r t t n c a l et o t a il e a s ts q u a r e s r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s ah y b r i dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e db a s e d0 1 1t h ec o m b i n a t i o no f t i l d a o n o vr e g u l a r i z a t i o uw i t has m a l lp a r a m e t e ra n dt h ec o n j u g a t eg r a _ d i e mm e t h o d ( c g m ) ，f o rt h ee a s i e rp a r a m e t e rs e l e c t i o l l i nt h em e a l o d , t h eo r i 垂n 丑le q u a t i o ni s u n d e r - r e g u l a r i z e dw i t ht h et t k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nw i t has m a l lp a r a m e t e r t h e nt h e o b t a i n e de q u a t i o ni ss o l v e db ym e a n so fc g m w i t hl e s sa r i t l u n e t i co p e r a t i o n so f1 1 s m a l ln u m b e ro fi t e r a t i o n s t h ep r o p o s e dm e t h o dp o s s e s s e st h ep r o p e r t i e s o f c o m p u t a t i o ns a v i n gf o rs a t i s f a c t o r yr e c o l l s l a u c t i o nr e s u l t k e yw o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n g ，b o r ni t e r a f i v em e t h o d ，r e g u l a r i z a t i o n , c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特j b o d r t 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名日期：胁色fc 7 月眵臼 关于论文使用授权的说明 本学位沦文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名牲翩虢逝堕 日期：多年7 月厂，日 第一章绪论 1 1 应用与学术背景 第一章绪论 电磁逆散射( 又称电磁反演或电磁成像) 是利用目标区外接收到的散射场数 据进行分析处理，从而得到重建未知物体的物理特性，而不需要接触和破坏散射 体本身即可得到人们感兴趣的有关信息，具有很大的实用价值而得到广泛研究 0 - 3 。目前电磁逆散射及其相关领域的研究成果己在地震学、生物医学工程、无 损检测、地球物理、模式识别等领域得到较广泛应用，并产生了很大的经济效益。 对逆散射问题的关注与研究开始于第二次世界大战期间，尤其当时雷达与声 纳的成功应用促使科学家们更进一步地考虑除了简单地确定散射体的位置以外， 能否确定更多的信息。但是由于逆问题数学理论的缺乏以及有限的计算能力，致 使该问题无法得到进一步的研究。2 0 实际6 0 年代初，线性病态问题的t i k h o n o v 正则化方法的提出【4 】，则为一般线性逆问题构建了基本的数学基础。2 0 世纪8 0 年代初期，逆散射问题的数学基础及其求解的数值方法开始发展起来。在随后的 二十多年里，多个应用领域产生的需求 5 - 7 ，促进了逆散射研究的发展。 电磁逆散射成像是当今电磁学中应用性很强的前沿性研究课题，它是利用微 波技术、电子技术和数字图像处理技术等的综合技术探测手段。和c t 、超声其 他方法一样，电磁逆散射成像同样也作为一种无损检测技术，电磁逆散射成像算 法也是通过测量“投影”信息，逆推会反演表征几何特征或物理特征的目标函数 的一种方法。电磁逆散射成像的主要任务是求解电磁波照射被测媒质时的逆散射 问题，通过被测量媒质外部的散射场数据，重建被测媒质内部的复介电常数图像。 被测的散射场携带大量关于散射体的信息，利用散射目标的先验知识，经过适当 的数学处理后可以提取出散射体本身所具有的某些特性，如散射体的形状、介电 常数分布等。 但电磁逆散射成像与超声、x 射线等传统的检测检测技术有所不同的是，电 磁逆散射成像并不是依据材料的密度而是电磁特性。在微波频段，各种材料的电 磁变化比其他物理性质更为敏感。x 射线之类的方法主要是依靠射线穿透被检测 物体，主要与该物体的密度有关，而电磁逆散射成像总主要反演的是被探测物体 的介电常数。超声成像一般难以穿透复合材料、塑料之类的材料，而且检测时需 要耦合剂嗍，而电磁逆散射成像正好在介质材料检测方面具有优势，检测过程不 仅非损伤，而且不需接触物体，不需要耦合剂，电磁逆散射成像在介质检测是另 具优势的方法。 江南大学硕士学位论文 在类x 似射线或，射线成像情况下，由于它们的波长远小于物体的尺寸，基 本上遵循直线传播定律，主要是衰减成像，逆散射方程呈线性，求解较方便。而 电磁逆散射主要是指波长和散射体尺寸可比拟的情况( 谐振区) 。在此情况下电 磁波的衍射和多散射效应比较明显，逆散射呈现严重的不适定和强烈的非线性， 而使得电磁逆散射问题求解困难。在测量的过程中，由于测量只能在有限的范围 内进行，这样会造成所得到的数据不完整；在测量的过程中又不可避免地受到随 机噪声的影响，会使测量数据偏离真实散射场的分布，这在建立微波成像重建算 法时的需要克服的一个因素。 一般电磁逆散射问题可用一个或一组入射电磁波照射被测物体( 散射体) 产 生散射，通过测量物体外部的散射场或其远场模式，重建物体的几何特性或物理 特性，如物体的位置、形状大小、介电常数和电导率分布等。尽管物理意义不同， 但电磁波逆散射和其他类型的波如超声波、弹性波的逆散射的数学模型类似 8 - 9 1 。 逆散射问题涉及的领域非常广泛，包括：数学物理、大气科学、地球物理探测、 量子力学、遥感遥测、水下声波探测、无损测量和医学成像等领域。各领域中逆 散射问题的抽象则构成了典型的逆散射逆问题。参照其他相关领域的发展和电磁 逆散射的实际情况结合，推动电磁逆散射成像的发展，也很有必要。 1 2 电磁逆散射成像的发展 近3 0 年来，关于逆散射的研究在国内外都非常活跃，提出了许多介质和金 属目标特性重建的近似和数值方法。求解非线性逆散射问题的方法归结起来可以 分为三类：线性反演方法，光学衍射成像方法，玻恩近似( b o r na p p r o x i m a t i o n ) 并利用正则化技术的线性反演方法b o - n ；第二类就是将非线性逆散射问题转化成 一优化方法，然后利用共轭梯度( c g ) 迭代法或牛顿迭代法( n e w t o n t y p e i t e r a t i v e m e t h o d ) 等优化方法求解【l “珂，或者采用线性化+ 迭代的方法，如b o r n 迭代方 法以及变形b o r n 迭代方法。线性反演方法的收敛速度快并且不需要求解散射场 的梯度，因此其计算效率较高，但由于其没有考虑散射目标的多次散射，故只能 反演电小尺寸或对比度低的目标，其中比较著名的有b o r n 和r y t o v 近似，当介 质的介电常数相对于背景的反差不太大时，采用b o r n 或r y t o v 近似是合理的， 可以使目标特性反演的公式大大简化。但在高反差的情况下，b o r n 或r ”o v 近 似已不再合理。w a n g 和c h e w 1 4 - 1 5 运用b o r n 迭代和变形b o r n 迭代方法使非线 性方程线性化，通过多次迭代求解逆问题，后者的收敛速度比前者快。w a n g 和 z h a n g f 临1 7 】提出了采用非相关照射以增加关于目标的信息，并通过简单的矩阵运 算得到较好的重建结果，而避开了不适定逆散射方程的求解。b a r k e s h i 和 l a u t z e n h e i s e r t 堋采用梯度搜索法求解非线性耦合积分方程，迭代反演目标。而非 线性逆散射方法考虑了散射目标内多次散射，他可以反演较高对比度的散射目 第一章绪论 标，但由于需要求解场的梯度，同时迭代次数较多，所以非线性逆散射方法往往 非常费时。2 0 0 4 年，崔铁军等人的论文总结了电磁逆散射成像的超分辨率现象 【搠，为电磁逆散射往更高精度的反演提供了一定的理论基础。目前在电磁逆散射 成像中比较常用的迭代方法是b o r n 迭代方法和变形b o r n 迭代方法。 电磁逆散射成像中的一个困难是逆散射方程的不适定性，包括解的存在性、 唯一性和稳定性。由于测量数据只能在散射体外部的有限范围内进行测量，造成 所得数据不完备；测量过程中不可避免受到随机噪声的影响，使得散射数据偏离 真实的散射场分布。此外，由电磁等效原理可知，不同的散射体( 6 2 置，形状， 介电参数分布) 在特定的点上可能激励出相同的散射场。这些都给求解带来了很 大的困难，需要附加一定先验信息。 1 3 电磁逆散射问题的组成 电磁逆散射问题主要有三个主要的环节组成，合适的正问题模型及正散射计 算；逆散射成像算法以及逆散射不适定问题的正则化。 1 3 1 正问题模型及正散射的计算 在电磁散射中，解析方法只能得到经典解，应用范围有限。伴随着计算机技 术的发展，带来了电磁散射的数值解法的兴起。数值法就是指直接将待求解的数 学方程进行离散化处理，将无限维的连续问题化为有限维的离散问题，将解析方 程的求解问题转化为代数方程的计算问题的一类方法 2 0 l 。典型的数值解法有基于 微分方程的有限差分方法，基于积分方程的矩量法和和基于变分方法的有限元方 法。矩量法发展较早，因为其从积分方程离散得到的是满矩阵，在常规求解时计 算量和存储量都较大。近年有不少减少计算量与存储量的新算法问世，为基于积 分方法的电磁逆散射问题提供了更好的工具。 1 3 2 逆散射成像的常见方法 常见的反演方法包括线性反演方法、优化方法以及线性化加上迭代的方法。 第一类线性反演方法，发展较早。包括衍射层析成像、b o r n 近似成像等； 仅考虑了单次散射，而且假定介质参量的起伏较小，忽略了多次散射以及电磁感 应的影响，目标特性反演的公式可以大大简化，成像的速度较快。但是在介质参 量起伏较大的高对比度条件下线性方法的假设不再合理，不能有效的反演介质的 特性。 另外一类是优化方法，包括遗传算法、模拟退火算法等。在线性方法不能有 效的反演高对比度问题的情况下，把逆散射问题转化为优化问题，使用梯度搜索 江南大学硕士学位论文 法、遗传算法以及禁忌搜索算法等优化方法对逆散射问题进行了分析。这类算法 把需要重构的介质特性作为优化变量，在一定条件下成像效果较好。但当问题复 杂、规模较大时收敛较慢，可能也只能得到局部最优解。 第三类是线性化加上迭代的方法，以b o r n 迭代和变形b o r n 迭代方法最为典 型。一般先用b o r n 近似，假设入射场为未知介质内的全场，将非线性方程线性 化，再使用迭代方法求解。b o r n 迭代算法的思想是在已知测量散射场的情况下 根据散射数据场的两个方程反复迭代，逐次逼近物体内部的全场和介质的特征函 数。而变形b o r n 迭代是在迭代过程中根据介质特征函数的改变来重新更正格林 函数，从而使解得介质特征函数更贴近实际问题的解，求解速度更快。这两种方 法不仅适用于介质起伏较小的情况，也适用于高对比度的情况，但需要迭代收敛 作为前提。d b i m 的收敛速度比b i m 快，但是d b i m 比b i m 不稳定，抗噪声能 力也较差。 与线性方法以及优化方法相比，b i m 及d b i m 方法适用的范围更广，成像 效果也更好。在不同情况下的应用，它们或多或少存在一些的缺陷，需要做进一 步研究，做出改进并提出一些新的算法，来提高该迭代算法的收敛速度以及稳定 性。 1 3 3 不适定逆散射方程的正则化处理 逆散射问题总是不适定的，与之相对应的是其离散方程的病态。概括说，逆 问题的病态主要是由于正算子的“过滤”作用造成的，不同的解经正算子映射后， 其差别就被滤掉了。另外在实际情况中，数据只能通过离散的、有限次的观测并。， 且被噪声污染后得到，这就使得因为病态而导致解的偏差变得更大。逆问题病态 的一个直接后果就是很多常规数值方法用来求解逆问题时，往往会因数据的误差 而产生偏差很大的无效解。为了解决离散方程的病态，改善解的稳定性，必须通 过在物理上增加先验信息( 添加信息、对待求解作某些假定或限制等) ，并结合 一定的数学物理方法，利用先验信息进行求解，以得到更好的近似解，使一些因 正算子的过滤作用、离散化的观测和噪声扰动而掩盖的信息得到恢复2 ”。针对不 同的正则滤波器，正则化方法可以分为三类不同的正则化策略，包括谱截断、 t f l c h o n o v 正则化方法和迭代正则化方法。 谱截断正则化方法包括截断奇异值分解( t s v d ) 和截断完全最d , - - 乘( t t l s ) ， 在其i e n 化求解过程中，首先对逆散射方程进行奇异值分解，然后选择相应的正 则化截断参别2 2 - z 4 1 。t t l s 与t s v d 不同是t t l s 方法，不仅考虑了数据项的误差， 还考虑了系数矩阵的误差，适用范围较t s v d 方法要广泛一些。在这两种方法中， 均采用奇异值分解，计算量较大，所以t s v d 方法主要用在理论分析方面，在实 第一章绪论 际应用总则一般仅适用于中小规模的问题。 t 址h o n o v 正则化方法也被称为阻尼最小二乘，是传统的正则化方法的奠基方 法，主要是在方程的余量和和解的范数之间取得一个平衡，增加一个惩罚项【2 5 】， 那么阻尼因子就成为了t d 【h o n o v 正则化方法方法的正则化参数。该方法研究较 多，在实际中也得到广泛的应用。对于该方法本身来说，其存在的问题就是对解 的光滑作用，当求解一个实际解为不连续的的问题时往往给出一个略微光滑的 解，代价为丢失一些细节【硐。 在上述两种方法中，正则化参数选择是需要解决的一个伴随性的问题。基于 各种约束条件的参数选择方法较多，而且均适用与上述两类正则化方法，具有代 表性的是基于l i o r o z o v 偏差原理的方法，广义交叉验证方法( g c v ) ，l 一曲线方 法等2 7 】。这些方法并不普适于所有正则化情况，也需要根据实际情况反复试验， 选择适合该问题的参数选择方法或者选用多准则来选取参数闭，以防止某一参数 选择方法失效而导致解的无效。 迭代正则化方法主要包括l a n d w e b e r 迭代法、c g l s 方法和l s q r 方法。 c g l s 方法是将共轭梯度法应用于原问题的法方程；而l s q r 方法是将l a l i c z o s 双对角化过程应用于法方程【2 5 】。这两几种方法的正则化效果取决于迭代次数，换 言之，也就是取决于合适的迭代终止条件。迭代太少或过多，都会导致严重偏离 真实解。 1 4 本文的内容安排及主要贡献 本文针对二维介质逆散射问题，比较了不同的正问题模型，并从奇异系统和 模式分布的角度分析该问题不适定的原因，进而给出了物理解释。针对不同的分 布介质模型的电磁逆散射成像问题采了b o r n 迭代方法求解，其中的逆散射方程 的不适定性分别采用了t d c h o n o v 正则化方法，截断奇异值分解正则化方法，截 断完全最小二乘正则化方法三种不同的正则化方法求解，并提出了一种综合 t 址h o n o v 正则化方法和共轭梯度法的优点的混合正则化方法，同时比较了各种方 法的优劣，对其正则化参数的选择进行了探讨。 本论文内容共分5 章，第一章中介绍了电磁逆散射的背景情况以及发展现 状，介绍了逆散射问题的各个组成环节的实际情况。 第二章首先介绍了介质散射的体积分方程，给出了二维介质散射的体积分方 程，介绍了积分方程离散求解的矩量法。利用该方法，采用点选配和脉冲基将二 维介质散射的体积分方程离散为代数方程，计算了几个典型的检验算例，检验了 方法以及计算程序的正确性。第二部分介绍了逆散射成像的典型方法，b o r n 迭 江南大学硕士学位论文 代方法和变形b o r n 迭代方法。 第三章主要讨论了解逆散射方程的不适定分析及其正则化方法。首先基于奇 异系统从数学上分析了方程不适定的原因，进而从模式的角度给出了物理解释， 然后着重讨论了不适定性逆散射方程正则化问题。文中比较了几种典型的正则化 方法，分析了其不同的特性。另对正则化参数的选择方法进行了探讨，分析了不 同的参数选择方法的优劣。最后通过几个典型算例比较t i k h o n o v 正则化方法， t s v d ，t i l s 在迭代过程中的收敛性和对解的逼近程度。 第四章中针对t i k h o n o v 正则化方法和共轭梯度法在解决不适定问题中存在 的困难，提出了一种综合t i k h o n o v 正则化方法和共轭梯度法优点的混合正则化 方法。并对数据项含有不同水平噪声的介质分布模型进行了反演，表明该方法具 有良好的正则化效果，并且具有较高的计算效率。 第五章中为总结与展望，总结了本文的贡献与思想，并给出了后续研究的可 能方向。 第二章电磁逆散射的基本理论模型与成像方法 第二章电磁逆散射的基本理论模型与成像方法 2 1 介质散射的体积分方程 设散射体由非磁性且各向同性的非均匀导电媒质组成，分布于有限区域 y c r 3 内，y 外则为均匀介质，记整个空间r 3 中各媒质参数分布如下 介电常数 听，= 甓l 髫 ， 电导率 一够群 磁导率 。 一 ( 尹) = 凡( 2 3 ) 让一给定时谐电磁波雷( 尹) 入射该散射体( 时谐因子p 舯) ，由于电磁感应和极化 作用，将在全空间激发散射场豇( 尹) 。散射场叠加在入射场上即是总场雹( 尹) 。即 雹i ( f ) + 雹( 尹) = 雹( f ) ( 2 4 ) 复介电常数量( 尹) 定义为 那么定义j ( 尹) 为 每仃) ：( f ) 一塑 n s r 【，j = e 【，) 一1 介质体散射的体积分方程【捌为 雹( 尹) = 豆伊) + 瑶f 雹( ，) ( f ) g 酽，f ) d i ： + f v 甲雹( ，) ( 叫g ( 尹，f ) d v 其中g ( i ，尸) 为标量格林函数 ，一坞p 一叫 觑只即2 匆刁 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 江南大学硕士学位论文 那么散射场雷( f ) 则为 豇酽) - 瑶；! 竺s 一, f f ) g f f , 尸) d v ( 2 9 ) + f v v 雹( 尸) s ，f f ) g f f ，) d y ”“ 在本文后面的讨论中，主要是针对二维问题，若设散射体为沿轴线方向均匀分布 的无限长柱体，又设入射场各场量也沿轴线方向均匀分布且电场的极化方向与轴 向平行，则总场和散射场的极化方向都与轴向平行。贝l j ( 2 7 ) 和( 2 9 ) 分别退化为 雹( 尹) = 雷( 尹) + 瑶l g 伊，尸) 显( 尸) f f ) d s ( 2 1 0 ) 雹。i f ) = 碍g 伊，尸) 雹( ，) ( 尹) 凼 ( 2 1 1 ) 这样三维问题便简化为二维问题。注意到这时v 便退化成散射柱体的横截面区 域，而g ( f ，尸) 则为二维情况下的格林函数 g 旷，) 一j dh 。( 2 ( k i f f 1 ) ( 2 1 2 ) 其中日j 2 为第二类零阶h a n k e l 函数。 2 2 介质散射模型的近似处理 在介质散射的体积分方程中，若介质对比度i f ) 的起伏较小，从而使得散 射场的起伏远小于入射场的情况下，我们忽略掉散射场的影响，则总场可由入射 场近似，( 2 4 ) 则变成 一 g f f ) * 雷( f )( 2 1 3 ) 称为一阶b o r n 近似。在此近似条件下，i f ) 与散射场具有近似线性关系，即 e 3 ( f ) 岩e 胁( 尹) = 上g ( 尹，尸) e ( 尸) 驴) d y ( 2 1 4 ) 在介质起伏较小的情况， b o r n 近似解基本可以反映了介质的分布。但在介质起 伏较大时，b o r n 近似不再适用。但是b o r n 近似是b o r n 迭代的基础，通常会 选择b o r n 近似解作为b o r n 迭代和变形b o r n 的初始解。 2 3 积分方程的离散方法一矩量法 矩量法使一种将连续方程离散化成代数方程组的方法，它既适用于求解微分 方程，又适用于求解积分方程。由于已经存在有效的数值计算方法求解微分方程， 故矩量法大都用来求解积分方程。矩量法就成为了解决基于积分方程的电磁散射 问题的经典方法，具有计算精度高，适应性广泛的特点。矩量法的实质是将连续 第二章电磁逆散射的基本理论模型与成像方法 的积分方程离散化，即将积分方程的待求量离散为个未知量的线性方程组。 下面简略的说明矩量法的原理 3 0 - 3 1 】 如果非齐次方程 工( ，) = g( 2 1 5 ) 式中l 是线性算子，为未知函数，占是已知函数。令，在l 的定义域中展开为 z ，五，正的线性组合：如 ，= 吒工 ( 2 1 6 ) 式中是为待定系数。正被称为基函数。对于精确解，式( 2 1 6 ) 通常是无穷项之 和，而 ( n = 1 2 ) 形成一个基函数的完备集。对于近似解，则式( 2 1 6 ) 是 有限项之和。将式( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 5 ) ，再应用算子工的线性便可以得到： l ( ) = g ( 2 1 7 ) 进一步，若对该问题已经规定了一个适当的内积( ，g ) ，那么在工的值域内定义 一个函数q ，q ，鸭的集合，并用前m 个每个j r 式( 2 1 7 ) 1 拘内积，则得： ( 。矾) = ( g ) ( 2 1 8 ) 式中m = 1 , 2 ，3 。此方程组可以写成如下的矩阵形式 l a 6 9( 2 1 9 ) 式中 l = ( q 断) ( q ，欲) ( 吃，颈) ( 唆玩) a= g = 湖 如果矩阵l 是非奇异性的，其逆矩阵l - 1 存在，则a 便由下式给出 9 - f 2 2 0 ) 佗2 1 ) q ； pl 江南大学硕士学位论文 a = l - gf 2 2 3 ) ，的解由式( 2 1 6 ) 得出，为了简明地表示此结果，规定函数的矩阵为 f 【z ，五，正】，则原问题( 2 1 5 ) 的解可以写成下述形式： f = 五1 a = z l - 1 9 ( 2 2 4 ) 此解的近似程度，要取决于所选择和q 。 在矩量法中，基函数的选择问题是一个关键，通常情况下，基函数可以分为 全域基和分域基两大类，权函数的选择全域权、分域权，它们之间可以组合成不 同的方法【3 ”。 全域基是指基函数在算子的定义域内都有定义，它只需要少量几个展开函数 的线性组合便能较好的逼近未知函数，而且收敛较快。但往往难以选择，即使找 到了合适的基函数，由于算子本身很复杂，再加上求内积运算时会使积分变得更 复杂，显著增加了计算量，而限制了全域基的使用。分域基是指基函数工只在， 定义域的各个分域( 小区域或区间) 上才存在，于是，展开式( 2 1 6 ) 的每个口只在 我们所关心的区域中的各个分域上才影响，的近似，这种方法通常可以简化计 算。比较来说，分域基的数值稳定性高。而整域基的收敛性较好【3 ”。 而在逆问题的讨论中，若采用整域基，各个基函数在全域上存在，它们之间 相互耦合将会给逆散射求解的带来很大的困难，故本文中应选择各个基函数之间 影响较少的方法，即选择分域基，本文选择点选配和脉冲基来离散积分方程，从 而简化那些复杂而困难的计算。通常情况下，一般采用等间距的点匹配。 2 4 积分方程的离散 在2 1 节中式( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 式分别描述了三维和二维情况下的散射问题的模 型。对于正问题，是已知复介电常数分布毒和入射场雷，求散射场豆。从式( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 中可以看出，为了求出散射场，需要知道散射体y 内的总场雷。为了求 出v 内的总场，可将式( 2 7 ) 中的源点和场点都限于y 内，即令f v 。下面我们 针对本文情况讨论二维情况下的积分方程的离散与散射问题的求解。首先采用矩 量法在求解散射体区域内离散方程。对于二维介质散射问题模型具体描述为下述 问题。 考虑m 个不同方向的t m 波照射一任意形状截面的介质柱，介质柱所在的 截面区域为d ，介质柱的轴向为z 轴，目标的相对介电常数为( f ) ，入射波为 宦= 邋= 知 ( 1 ”n 徊扪，其中2 是z 轴方向的单位矢量，为入射角，七0 为自 第二章电磁逆散射的基本理论模型与成像方法 由空间的波数，即= 2 a 2 ，a 为自由空间波长。对于每一个入射波照射，在 以1 0 a 为半径的圆周上等间距的分布了m 个接收器。设时谐因子为f 皿，空间任 意一点( 包括散射体内和散射体外) 的总场为p 2 j ； 曰伊) + 瑶f f g 酽，) s ( ，) 曰( 尸) 凼= 豆“i f ) ( 2 2 5 ) 曰伊) = 一碍f f g ( f ，尸) s ( 尸属旷) 甜f = l 2 。朋 ( 2 2 6 ) 式中 g ( f ，) = 一三日j 2 j 声一，j ) ( 2 2 7 ) 为自由空间格林函数，碍= 脚岛，垆一尸i = ( j r ) 2 + ( ) ，一) ，) 2 ，尹，尸分别为 场点和源点的位置矢量，即尹= ( 而y ) ，日( ) 表示零阶第二类h a n k e l 函数，( 2 2 5 ) 式中在自由空间s f f ) 定义为 s f f ) = p ，i f ) - 1( 2 2 8 ) 酽) 是目标的相对介电常数。应用2 。2 节所述的矩量法离散上述积分方程，选 用脉冲基和点匹配方法将目标区域划分成个元素，每个小单元中的介电常数 和总场近似认为均匀，可以将积分方程( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 离散成如下矩阵方程， e 。+ g 4 d ，e k e ( 2 2 9 ) e = g d 。s( 2 3 0 ) 其中，一表示介质体内部的n 维总场向量；e 表示介质体内部的n 维入射场向 量；e 。表示围绕介质体m 个接收器接受到的m 维散射场向量，s 为各个离散点 上的介电常数，即所求解的未知函数；d ，和d 。表示以s 和一为主对角线元素的 n x n 对角矩阵；g 。和g 为n x n 和mx n 维系数矩阵，其中g 的元素为零阶 第二类h a n k e l 函数在离散化小区域上的积分，在g 4 中包含了自作用场，即本地 源的场，而工寸。时，n o ：( 毒) # g - - 三l n 委，因此在工：o 处n o ：( 对有l n j 型的可积 奇点，如果我们将矩形单元近似为园，则在该圆上的积分可用下述统一的解析表 达式【3 3 j 表示为 嚷= ( 孵4 ) 硪2 ( p ) 出毋= ( 麻4 ) fr 础2 ( t 。r ) r d r d o ：f 7 【万n 日：”( k 、o 。a ，) ( 2 j - 2 j 2 、，p = g p ，q ：1 2 ， 2 3 d i j ，t k o a j l ( k o 口) 磁”( k o p q ) 2 ，q ”1 一” 江南大学硕士学位论文 其中4 为与子域c e l l 等面积的圆的半径砟。为第与第p 个与q 之间的距离。 在g 的离散中，由于散射场测量点位于散射体所在区域以外，积分不存在 奇异性。g 可表示为 吒= 一( 膈4 ) f 胁2 叱限一，i ) 蚴 耳 ( 2 3 2 ) = 一j ，r k o a , ( k o a ) 瑶( k o p , 。) 2 f = 1 ，2 ，。埘，n = k 2 , 其中( ) 为一阶b e s s e l 函数，岛为第n 个单元与第f 接收点之间的距离。 对于电磁散射正问题，根据已知的入射场e 由( 2 2 9 ) 解出总电场e ，方程 ( 2 2 9 ) 是一个适定方程，可以采用一般的线性代数方法求解。然后再将e 带入方 程( 2 3 0 ) ，可以求出散射场e 。 上述g 。和g 的计算过程中，为简化计算，采用了近似方法，得到一个较 简单的解析表达式，精度受到一定程度的影响。在实际应用中，则应采用数值积 分来提高计算精度。 2 5 典型正问题的求解 正散射模型是逆问题的基础以及迭代过程中的一个环节，正散射问题处理的 正确与否，严重影响到逆散射成像的结果。为检验上述公式的正确性以及程序编 制的正确性，选择几个典型的介质分布来计算其r c s ，并与文献结果做了比较。 首先，我们f l j ( 2 3 2 ) 可得 。 f ( 五y ) = 一j ( 万七2 ) ( 毛一1 ) e 甜。( 勋) 硪2 ( t 岛) ( 2 3 3 ) 和e 分别为第雄个离散单元的介电常数和总场，a 为离散单元等面积元的等效 半径。以为介质内离散源点到测量点之间的距离。 以2 o 一) 2 + ( y 一咒) 2 ( 2 3 4 ) 二维条件下，物体是无限长柱体，散射截面变为散射宽度。散射宽度定义为： 删，= 牌z 碱斟1 3 a ”l 。i 当岛一时，可取 岛= 岛一c o s 0 一靠s i n #( 2 3 6 ) ( 岛，) 为极坐标下的介质外测量点坐标。对于第二类h a n k e l 函数，当r 很大时， l - l ；( r ) = e 寸乏7 万孑( 2 3 7 ) 第二章电磁逆散射的基本理论模型与成像方法 将( 2 3 6 ) ，( 2 3 7 ) 带入( 2 3 3 ) ，可得 ( p o ，- j ) = - j ( 万k 2 ) e - 慨以而艺乜一1 ) e 叫( 勋) 扩。“蝴 ( 2 3 8 ) 那么介质散射体的散射宽度为 哪= 。l i r a2 庀p o e 1 2 = 酐7 2 k 陌“ 峨啦吐( 妇矿删1 2 上述散射模型的正确与否，我们选择了j a c kh r i c h m o n d 的几个典型算例做 了比较。 散射体是一个无限长平面薄板，宽2 5 2 ，厚0 0 5 2 ，离散步长为0 0 5 a 。介 电常数的分布分为均匀和渐变两种具体见图中所述。 m i d , 入射渡 y 一一 玎，则成为为一个超定的线性方程，可以采用 最| , - - 乘法求解 m i n l l a x - b l l ： ( 3 3 ) 若矩阵a 的奇异值分解为 a = u y v “= ，o v ， ( 3 4 ) 其中q 为奇异值，且o j 0 22 0 3 吒可以按递减的顺序排列， = d i a g ( c r l ，0 2 ，吒) ，v 为右奇异向量，且有v = ( v l ，v 2 ，v 。) c ， v “v = i 。，q 为左奇异向量，u = ( l ，u ：，。) c “4 ，其中左特征向量，仅取 了对应非零奇异值的n 个向量，故u ”u = i 。，则原问题的最小二乘解可表示为 k = 窆j - i 号导， ( 3 s ) - p e rc h r i s t i a nh a n s e n 认为满足下面两个条件 4 2 1 ： 矩阵a 奇异值逐渐趋于零； 矩阵a 的最大奇异值与最小奇异值之间的比值过大。 则称为离散不适定问题。条件2 说明矩阵a 的条件数过大，是坏条件的，它的解 对扰动非常敏感，条件1 说明不存在一个良态的且秩确定的问题去逼近原问题。 问题的不适定并不意味着其不可解，而是指传统的线性代数方法，比如高斯 消去法等无法直接求解该问题。要解决不适定问题，必须通过在物理上增加先验 信息，并结合一定的数学手段，这个数学手段就是正则化方法。通过正则化方法， 先验信息被附加到逆过程中，使一些因为正算子的过滤作用、离散化的观测和噪 声污染而掩盖的信息得到恢复。 在( 3 1 ) 中当数据项中为真值和噪声的和时，有 b = b ，+ e( 3 6 ) b 为实际观测值，b ，为真实值，e 为噪声，则方程的最小二乘解可以写成 第三章不适定问题的正则化处理方法 k = 喜伴+ 半卜 ， 于是，若矩阵a 的奇异值仉随下标的增加，相对于最大奇异值变得非常小， 则数据项b 的微小扰动导致解向量某个组成分量变化很大，这是不适定性从矩阵 性质方面的解释。从物理方面解释则为，存在某种或某些激励分布模式( 文中则 为特定介电常数分布) ，其所产生的总体响应幅度很小，以致满足约束方程需要 其幅度足够大于是当用于约束的响应存在一定误差时，会因这些激励模式的存 在而会使得到的解严重偏离。于是可通过约束激励( 解) 的总体幅度( 范数) 获 得偏离较小的解，这就是正则化方法的物理解释。 3 3 离散p i c a r d 条件 p c h a l l $ e n 将p i c a r d 条件推广到离散不适定问题2 5 】。并给出了如下定义： 离散h e a r d 条件：在平均意义下，方程组a 工= b 的傅立叶系数似，6 ) 趋于零 的速度比矩阵a 的奇异值仉趋于零的速度快的话，则称该方程组满足离散p i c a r d 条件。 在实际情况中，可以通过该准则检验模型和数据，若模型满足或者部分满足 离散p i c a r d 条件，则我们可以通过正则化方法来求解；若模型不满足该条件，那 么这个模型则完全失效，任何正则化方法都没有办法处理，需要从模型方面去查 找问题i 吲。 3 4 不适定问题的正则化处理 在寻找一个适定方程来逼近原问题，使这个适定方程的解逼近原问题的真实 解时，尽管有可能存在多种可以添加的附加信息，但目前的主要一类方法是将解 的2 一范数或者一个近似的半范数最小作为附加条件加入原问题中。还可以将解 的初始估计毛作为约束条件加入到原问题中。这样相当于原问题的中加入下面的 约束。 q ( x ) = 愀j 一刮l ： ( 3 8 ) 其中，矩阵b 为单位矩阵i 。或是( n p ) 阶导数算子离散近似形式的，这时b 是 一个p x n 带状满秩矩阵。 一旦约束方式q ( x ) 确定，我们可以放弃线性方程组a x 与b 相等的要求， 取而代之的是寻求一个能在最小约束q ( x ) 和解的最小余量范数0 a x b l