（控制理论与控制工程专业论文）非线性与多变量系统结构及参数相关辨识的研究.pdf

国防科学技术大学研究生院博士学位论文 摘要 本文主要研究线性系统脉冲响应函数的最优辨识，非线性系统w i e n e r 模型 和h a m m e r s t e i n 模型的辨识，线性差分模型的全结构与参数的辨识，以及随机 多输入输出( m i m 0 1 系统的结构与参数不变量的辨识问题 本文第一章追溯了系统辨识的发展历史与原因，以及本文研究的提出 第二章首先研究了线性s i s o 系统脉冲响应函数的最优辨识问题，给出了 在辨识误差的c r a m e r - r a o 下界引入相关分析法，研究了脉冲响应函数的高精 度辨识方法重点讨论了在a 最优输入设计( a o i d ) 情况下，辨识的统计特 性同时，给出了a 0 i d 辨识信号的具体实现为后续各章的研究打下了基础 第三章选用了三位式伪随机序列作为输入充分利用这种激励信号的各种 特性，辨识出非线性系统w i e n e r 模型的线性子系统脉冲响应函数对非线性增 益环节，就奇数和偶数项多项式系数分别进行了估计同时，研究了线性和非 线性子系统辨识的统计特性，给出了各部分参数估计的置信区间 在本文的第四章中，研究了非线性系统h a m m e r s t e i n 模型的辨识，采用多 尺度的伪随机信号作为激励信号，得出了非线性子系统的多项式系数的估计值， 以及线性系统的脉冲响应函数估计值 第五章提出了能够确定线性差分模型的纯时滞、大纯时滞的准则；推导出 能够同时辨识a r m a x 模型各部分的阶数及参数的超定的依阶次递推的基本算 法特别地，分析了由于原始样本的有限而存在的偏差，提出了偏差补偿递推 算法，进一步提高了参数估计的精度和定阶检测能力同时，分离出观测噪声 的自相关函数的一致估计值，为噪声模型的估计奠定了基础 在对多输入多输出( m i m o ) 系统m a r k o v 参数矩阵估计的研究成果的基础 上，本文的第六章推导出辨识线性随机多变量系统k r o n e c k e r 结构不变量和参 数不变量的全结构辨识的超定递推算法 第七章对f i r 模型分析了在伪随机m 序列及逆重复m 序列输入激励和有色 噪声干扰下辨识的精度问题，得到了有色噪声干扰下f i r 辨识精度的显式公式， 给出了辨识精度的下界和上界讨论了初始测量误差影响与消除方法 第八章提出了产生伪随机整数串和伪随机序列的一种新方法一全循环小数 序列( f 一序列) 方法研究了这类序列的伪随机整数串概率性质、游程性质和自 相关函数等性质得到了具有最佳自相关函数的正余弦型伪随机序列 第j 页 a b s t r a c t t h i st h e s i si sa i m e dt oi n v e s t i g a t et h ei d e n t i f i c a t i o n o f s i n g l ei n p u ts i n g l eo u t p u t ( s i s o ) l i n e a rs y s t e m s ，w i e n e rm o d e la n dh a m m e r s t e i nm o d e lo fn o n l i n e a rs y s t e m s a sw e l la s m u l t i i n p u tm u l t i - o u t p u t ( m k m 0 1l i n e a rs y s t e m s t h ei m p u l s er e s p o n s e f u n c t i o n so rm a t r i c e so ft h e s es y s t e m sa r ee s t i m a t e du s i n gc o r r e l a t i o ni d e n t i f i c a t i o n m e t h o da n ds p e c i a l s t i m u l a t i n gs i g n a l s t h e f u l ls t r u c t u r ea n dp a r a m e t e r so ft h e d i f f e f e n c em o d e l so fd y n a m i cs y s t e m sa n dt h es t r u c t u r a li n v a r i a n t sa n dp a r a m e t e r i n v a r i a n t so fm i m o ! i n e a r s y s t e m sa r ei d e n t i f i e db ym u l t i s t a g em e t h o da n dr e c u r s i v e a l g o r i t h m i nt h ef i r s t c h a p t e ro ft h i st h e s i s ，t h ed e v e l o p m e n to fs y s t e mi d e n t i f i c a t i o ni s r e v i e w e d ，t h er e s e a r c ht o p i c so f t h et h e s i sa r er a i s e d i n c h a p t e r2 ，t h eo p t i m a l i d e n t i f i c a t i o n p r o b l e m o ft h e i m p u l s er e s p o n s e f u n c t i o n so fs i s ol i n e a rs y s t e m si si n v e s t i g a t e d a ne x p l i c i te x p r e s s i o no f t h eo p t i m a l i n p u td e s i g n ( o d ) i sp r e s e n t e d i ht h ec o n d i t i o no fc r a m e r - r a ol o w e re s t i m a t i o ne r r o r b o u n d n e x t ，t h ec o r r e l a t i o na n a l y s i sm e t h o di si n t r o d u c e dt oi d e n t i f yt h ei m p u l s e r e s p o n s ef u n c t i o n sw i t hh i g hp r e c i s i o na n dc o n c i s ec o m p u t a t i o n i nt h ec o n d i t i o no f a o p t i m a li n p u td e s i g n ( a o i d ) ，t h es t a t i s t i c s o ft h ee s t i m a t e s a 陀i n v e s t i g a t e d m o r e o v e r , t h ea o i ds i g n a l s a r er e a l i z e d b ym e a l l so fd i f f e r e n c es e t st h e o r yo f c o m b i n a t r i c s t h e s er e s u l t s l a y af o u n d a t i o no fe s t i m a t i o np r o b l e mi nt h e s e q u e l c h a p t e r s i nc h a p t e r3 t h et h r e el e v e lp s e u d o r a n d o ms e q u e n c e sa 癌s e l e c t e da st h ei n p u t s i g n a lf o ri d e n t i f i c a t i o no fw i e n e rm o d e l o fn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m s t h ei m p u l s e r e s p o n s ef u n c t i o n so f t h el i n e a rs u b s y s t e ma r es u g g e s t e di na ne x p l i c i tw a y f o rt h e n o n l i n e a rs u b s y s t e mo f t h es y s t e m t h eo d dt e r ma n dt h ee v e nt e r mc o e m c i e n t so f t h e p o l y n o m i a la r ee s t i m a t e ds e p a r a t e l y t h es t a t i s t i cp r o p e r t i e so f t h ee s t i m a t e so fl i n e a r a n dn o n l i n e a rp a r t sa r ei n v e s t i g a t e da n dt h et o l e r a n c eb o u n d so ft h e s ee s t i m a t e sa r _ e s u g g e s t e d i nc h a p t e r4 t h ei d e n t i f i c a t i o no fh a m m e r s t e i nm o d e lo fn o n l i n e a rs y s t e m si s s t u d i e d t h ep s e u d o - r a n d o m s i g n a l sw i t hm u l t i p l ea m p l i t u d e sa r ec h o s e n t os t i m u l a t e t h ef i o n l i n e a rs y s t e m t h ep o l y n o m i a lc o e f f i c i e n t so ft h en o n l i n e a rs u b s y s t e ma r e e s t i m a t e da n dt h ei m p u l s er e s p o n s e 。f u n c t i o n so f t h el i n e a rs u b - s y s t e ma r eo b t a i n e d h ic h a p t e r5 ，t h ec r i t e r i af o rd e t e r m i n a t i o no f t h ep u r et i m ed e l a ya n dl a r g et i m e d e l a yo ft h ed i f f e r e n c em o d e lo fs i s os y s t e ma r es u g g e s t e d a no v e r - d e t e r m i n e d o r d e r r e c u r s i v ea ) g o r i t h mi sd e r i v e df o re s t i m a t i n gt h eo r d e r sa n dp a r a m e t e r so fa r a n d m a p a r t so f a r m a xm o d e l s t h i sb a s i ca l g o r i f l u nh a su t i l i z e da l lt h ee s t i m a t e d 第“页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 i m p u l s er e s p o n s ef u n c t i o n s t h u sh i g h e rp r e c i s i o n i s a c h i e v e d e s p e c i a l l y , t h e d e v i a t i o n so w i n gt ot h el i m i t e ds a m p l e sa r ep i c k e du pf r o mt h es e c o n d a r yd a t am a t r i x a n dv e c t o lb a s e do nt h eb a s i ca l g o r i t h m ，ab i a s c o m p e n s a t i o nv e r s i o no f t h er e c u r s i v e a l g o r i t h m i sw o r k e do u tw h i c hi so fh i g h e r p a r a m e t e re s t i m a t i o np r e c i s i o na n d s t r o n g e ro r d e rd e t e c t i o na b i l i t yu n d e rv e r yh i g hn o i s et os i g n a lr a t i o n f u r t h e r m o r e ， t h ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n so ft h eo b s e r v a t i o nn o i s ei na r m ：a xm o d e la r e s e p a r a t e ds o t h a tt h en o i s em o d e ic r nb eb u i l t t h ew h o l ei d e n t i f i c a t i o np r o c e s si s d i v i d e di n t ot e ns t e p s b a s e do nt h er e s u l t so fi d e n t i f y i n gt h em a r k o vp a r a m e t e rm a t r i c e so fm i m 0 l i n e a r s y s t e m s ，c h a p t e r 6 p r e s e n t s a l lo v e r d e t e r m i n e dr e c u r s i v e a l g o r i t h m o f e s t i m a t i n gt h ek z o n e c k e rs t r u c t u r a li n v a r i a n t sa n dp a r a m e t e ri n v a r i a n t so fs t o c h a s t i c m u l t i v a r i a b l el i n e a rs y s t e m s c h a p t e r7 i sa i m e dt oa n a l y z et h ei d e n t i f i c a t i c np r e c i s i o no f t h ef i n i t ei m p u l s e r e s p o n s e ( f i r ) f i m c t i o n m o d e l su n d e rt h ep s e u d o r a n d o m m - s e q u e n c e s a n di n v e r t e d r e p e a t e dm s e q u e n c e s s t i m u l a t i o na n dc o l o r e d - n o i s ed i s t u r b a n c e s t h e e x p l i c i t f o r l n u l a so ft h ec o r r e l a t i o ni d e n t i f i c a f i o np r e c i s i o na r ed e r i v e d t h ei o w e ra n dt h e u p p e r b o u n d so f t h ef i r 5 d e n t i f i c a t i o n p r e c i s i o n a r cg i v e n ，m o m o v e gt h ei n f l u e n c eo f i n i t i a lm e a s u r e m e n te r r o ri sd i s c u s s e da n ds o m ee l i m i n a t i o nm e t h o d sa r es u g g e s t e d c h a p t e r8d e v e l o p sa n o v e lm e t h o df o rg e n e r a t i n gp s e u d o r a n d o mi n t e g e rs w i n g s a n ds e q u e n c e s ，w h i c hi st e r m e da sf o i lr e c u r r e n td e c i m a ls e q u e n c e s ( f s e q u e n c e s ) m e t h o d t h ep s e u d o r a n d o mi n t e g e rs t r i n g s p r o b a b i l i t yp r o p e r t y , r u n l e n g t hp r o p e r t y , a n dt h ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o np r o p e r t ya r ei n v e s t i g a t e d f u r t h e r m o r e ，t h es i n ea n d c o s i n et y p ep s e u d o r a n d o m s e q u e n c e s ；w h i c h a r eo f o p t i m a la u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n s ， a r co b t a i n e d 第i i i 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 第一章绪论 1 1 系统辨识的发展 马克思说过：- - f q 科学只有当它应用到了数学时，才算是真正发展了要 应用数学的工具对系统或过程进行定量的分析、综合与设计，就必须建立起数 学模型 建模的方法有两种一是分析法建模，即利用系统或过程中所遵守的定理、 定律或规律，如物理定理、化学定理、能量守恒、质量守恒、物质不变等原则、 电磁场的麦克斯韦尔方程、电路中的基尔霍夫定律等，推导出系统的数学模型：这 样所建立的数学模型称为机理模型其优点是模型中的各参数物理意义明朗但 是随着各门科学的迅速发展，对数学模型的要求也不断增加在此过程中，遇 到了许多用机理分析解决不了的问题，如系统或过程本身的机理不清楚，或者 只能知道系统的结构，而具体的参数值未知等等 建模的另一条途径就是系统辨识的方法，即：通过试验或运行数据，确定 出一个在某种意义上代表系统或过程特性的数学模型n “ 美国控制界的著名学者z a d e h ( 1 9 6 2 ) 曾给辨识( i d e n t i f i c a t i o n ) 下过这样的 定义：“辨识是在输入和输出的基础上，从一组系统中确定出一个与所测系统 等价的系统”这个定义较好地描述了系统辩识的内涵但从严格意义来讲，与 实际系统完全等价的系统是找不到的，因此，e y k h o f f ( 1 9 7 4 ) 这样定义同：“辨 识问题可以归结为用一个模型来表示的客观系统( 或将要构造的系统) 本质特 征的一种演算，并用这个模型把客观系统的理解表示成为实用的形式”这个定 义表明了系统辨识的哲学意义l j u n l ( 1 9 7 8 ) 给辨识下的定义则要直观得多m “辨识就是按照一个准则，在一组模型类中，选择一个与数据拟合得最好的模 型” 系统辨识最早是作为控制理论的一门分支发展起来的，目前已成为非常活 跃的学科国际自动控制联合会0 f a c ) 于1 9 6 7 年开始，每3 年召开1 次辨识 与系统参数估计的专题学术会议这个专题会议的规模不断扩大，目前已成为 国际自控联( i f a c ) 最有影响的系列会议之一为什么系统辨识能引起国际控 制界如此浓厚的研究兴趣呢? 这与控制理论本身的发展是密切相关的 在现代控制理论问世之前，大多数的控制对象都是采用传递函数来描述的 单输入单输出定常系统古典控制理论之所以获得巨大成功并保持着顽强的 第1 页 一一 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 生命力，其原因之一就在于能够运用十分有效的实验方法测定系统的传递函 数甲此，在一定意义上讲，系统辨识在经典控制中已广泛地应用 本世纪6 0 年代，随着航空、航天技术以及工业过程控制技术的迅速发展， 以状态空间方法，k a l m a n 滤波理论，b e l l m a n 动态规划方法和p a n t r y a 西n 极大 值原理为骨干内容的现代控制理论相应地发展起来与经典控制理论强调控制 系统的稳定性相对照，现代控制理论更进一步地将控制系统的设计建立在某种 最优化指标上，如航天飞行器的最少燃料控制或最短时间控制等等应该说现 代控制理论的出现是适应当时工程技术的要求的但是，现代控制理论并没有 象人们所期望的那样广泛地应用在一些工程领域如化工过程、热工过程的控 制中，经典控制理论仍占据十分重要的地位这是为什么呢? 造成这一现象的 最重要的原因就在于最优控制理论建立在受控系统的数学模型是绝对精确知道 的前提下，有时甚至还要求过程噪声的统计特性和数学模型是己知的，这种假 设往往与实际相脱节中国有旬谚语叫做“皮之不存，毛将焉附”，其意思是比 喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在为了寻找这一基础，控制理论工 作者们把兴趣从最优控制方案的设计( 这种设计在线性定常系统中已经十分完 善了) 转到了系统辨识的研究上来 系统辨识与时间序列分析属于姐妹学科从时间上看，时间序列分析起步 略早一些在本世纪初，+ 许多数理学家开始注意到气象、天文现象的时序特性， 从而将用静态模型参数估计的概率论和数理统计( 主要是回归方法) 移到了离 散时间序列的参数估计上来从研究内容上看，时间序列分析相当于估计具有 自噪声输入的控制系统输入信号是不可测量的，。使用的信息只有系统或过程 的输出观测值较之时序分析，系统辨识的内容则更为广泛些从狭义的意义 讲，主要目的是针对与控制系统或过程本身有关的参数，利用的信息除了输出 信号外，还有测量的输入控制信号，要求辨识的结果尽可能不受观测噪声或过 程噪声的影响从更广泛的角度来看，可以说系统辨识包含了时间序列分析以 及实验设计的全部内容数理统计学家的大量深入的理论工作，为系统辨识奠 定了扎实的理论基础 计算机技术的不断发展和普及，为系统辨识的广泛应用提供了技术上的保 证，这也正是系统辨识发展的基础之一可以说，系统辨识的研究者几乎不用 担心提出的算法在计算上的可操作性问题计算机具有强大的硬件支持、丰富 的软件资源和高速的运算能力，可以在人不干预的情况下，在线实时地完成系 统的辨识，为控制策略的设计直接提供出数学模型 7 0 年代中期发展起来的自适应控制理论对系统辨识研究提出了挑战自适 应控制的目的是使控制器能适应被控对象参数缓慢变化或对象特性难以确知的 第2 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论，文 情况，主要有自校正控制( s t c ) 、模型参考自适应控制( m r a c ) 和直接自适应控 制，它们都是根据输入输出数据，在线地调整控制器其中，s t c 是一边辨识 对象的参数，一边利用这些参数调整控制器的参数来控制参数的收敛性分析 成为了s t c 研究的主题，是至今一直研究的课题m r a c 是在系统中引入参考 模型，比较实际对象与动态响应的差别来调整控制器而直接自适应控制则试 图在没有对象的数学模型的前提下，直接地进行控制二十多年的发展历史表 明，直接自适应控制这条路的并没有走通，直到人工神经网络研究的再度兴起 才稍有起色。自适应控制并没有将数学模型抛弃，而是大大地刺激了系统辨识 理论的深入发展 目前，控制系统的辨识、状态估计和最优控制构成了现代控制理论的三个 互相渗透、互相依赖的分支状态估计与最优控制理论的实际应用离不开被控 对象的数学模型的建立，同时又为系统辨识理论提供了新的要求与方法 系统辨识也象控制论本身一样，吸引了许多其它科学领域的学者们的注意， 正成为一种方法论的学科这是由于各种学科研究定量化所致系统辨识的研 究目的除了进行动态系统的控制与设计以外，还包括系统分析、系统仿真、预 测与决策、故障诊断以及验证机理模型等方面，已广泛应用到生物、医学工程、 经济、社会、人口、生态环境、水文等各个领域 至9 0 年代，系统辨识的理论还在进一步的发展在一般干扰噪声下的随机 多变量控制系统的辨识问题至今还没有得到很好的解决而非线性动态系统的 辨识己成为当前国际系统辨识界学者们的研究主题 1 2 系统辨识的现有方法比较m 8 1 系统辨识的内容包括：明确目标，建立目标函数，实验设计，确定模型类 与模型结构，参数估计，以及模型验证等其中，参数估计的研究是系统辨识 最主要的部分近4 0 年的研究提供丁丰富的方法，7 0 年代称之为“一口袋技 巧”，至8 0 年代这些方法系统化通过计算机的仿真和具体应用，各种方法的 优缺点也逐渐明朗 在众多的方法中，最小二乘法( l s ) 是最基本的一种，它的提出和应用可追 溯到1 7 9 5 年，k g a u s s 根据望远镜观测到的数据，对描述天体运动的6 个参数 值作出了估计此后，这种方法被广泛应用，成为许多方法的思想基础这种 方法易于理解和掌握，估计结果具有很好豹统计特性但是，当应用到动态系 统辨识时，问题就出现了如果模型噪声不是白噪声，这种方法得到的参数估 计不再是无偏一致的 第3 页 国防备学技术大学研究生院博士学位论文 为了解决这个问题，从7 0 年代开始提出了许多改进的最4 、二乘类方法主 要有：厂义最小二乘( g l s ) ，辅助变量法( ) ，增广最小二乘法( e l s ) ，偏差补 偿算法和相关分析一最小二乘两步法、多步法等 g l s 法采用动态滤波器对数据进行白化处理，在迭代过程中不断地调整滤 波器模型，使得参数估计成为致无偏估计当噪信比较小时，g l s 法具有较 高的辨识精度但噪信比较高时，s o d e r s t r o m i ”证明，目标函数可能具有多个局 部最小点，参数估计往往也是有偏的，g l s 法在计算上比l s 法复杂得多 i v 方法( 亦称工具变量法) ，其基本思想是在辨识过程中构造一种新的变 量，它与过程中的有用信号密切相关而与过程噪声是不相关的由此构造出数 据矩阵，可得到参数的一致无偏估计，且计算量与l s 法一样简单，收敛速度 快，能适应较广范围的噪声特性根据s o d e r s t r o m - 和s t o i c a l ! o ) 的研究，这种方 法的精度要较有效估计的精度低 e l s 法是把方程中的噪声项参数增列到待估参数向量中这样可将方程误 差进行白化处理，利用l s 法得到增广参数向量的一致无偏估计，但噪声模型 参数往往不能估计得很准。 相关分析一最小二乘两步法最早是由i s e r m a n n 和b a u d ”于1 9 7 4 年提出 的两步法首先采用相关分析法，计算出输入输出的互相关函数或脉冲响应函 数；接着，采用l s 法，利用第一步得到的非参数模型估计值作为数据基础， 进一步估计出系统的参数模型作为第一步的相关分析具有很强的抗干扰能力， 对有色噪声也能得到无偏估计，只要输入与噪声不相关即可在系统辨识的文 献中，这是一种普遍推崇的方法但对这种方法的理论研究恰恰是缺乏的本 文将作进一步深入的研究 除了上述最小二乘类估计算法以外，还有极大似然估计、随机逼近法和预 报误差法等方法其中极大似然法( m e ) 是建立极大似然函数，求得其取极大 值时的参数估计它可以在方程误差是有色噪声的情况下获得参数的一致估计， 具有许多良好的统计特性，估计精度比l s 法的高，但需要事先知道干扰噪声 的概率密度函数，可通过松弛型算法获得预报误差法不需要噪声概率分布， 可构造松弛算法进行迭代运行 综上所述，我们认为相关分析一最4 、二乘两步法是一种良好的辨识算法， 值得我们作进一步的研究和应用 1 3 本文的研究内容与安排 本文主要研究单变量线性系统以及非线性系统w i e n e r 模型和h a m m e r s t e i n 第4 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 模型的线性子系统的脉冲响应函数的辨识，差分模型的全结构与参数的辨识， 以及线性随机多变量系统的结构不变量与全部参数不变量的辨识 第二章首先研究线性s i s o 系统脉冲响应函数的最优辨识，给出了在辨识 误差达到c r a m e r - r a o 下界情况下最优输入设计( o i d ) 的显示表达式，以此作 为比较基础接着，引入相关分析法，研究了脉冲响应函数辨识的高精度和简 洁方法重点讨论在a 一最优输入设计( a - o n 9 ) 情况下，辨识的无偏性、均方 收敛性、强一致收敛性以及渐近正态性同时，采用组合数学的差集理论，给 出a o i d 辨识信号的具体实现为后续各章的研究打下基础 第三章选用三位式伪随机序列作为输入充分利用这种激励信号的各种特 性，辨识非线性系统w i e n e r 模型的线性子系统脉冲响应函数对非线性增益环 节，就奇数和偶数项多项式系数分别进行估计同时，研究线性和非线性子系 统辨识的统计特性，给出各部分参数估计的置信区间 在本文的第四章中，研究非线性系统h a m m e r s t e i n 模型的辨识，采用多尺 度的伪随机信号作为激励信号，得出非线性子系统煦多项式系数的估计值，以 及线性系统的脉冲响应函数估计值 本文第五章提出能够确定s i s o 系统差分模型的纯时滞、大纯时滞的准则： 推导出能够同时辨识a r m a x 模型a r 的阶数和参数、m a 部分的阶数和参数 的超定的依阶次递推的基本算法；这种超定算法利用全部已获得的脉冲响应函 数的估计值，因而具有较高的估计精度分析在二次数据矩阵和向量中由于原 始样本的有限而存在的偏差，提出基于基本算法的偏差补偿递推算法，进一步 的提高参数估计的精度和定阶准则在极高噪信比下的检测能力在辨识a r m a x 模型控制部分全结构与参数的同时，分离出观测噪声的自相关函数的一致估计 值，从而为噪声模型的估计奠定了基础，得到a r 型观测噪声模型的估计 在对多输入输出( m n 幢0 ) 系统m a r k o v 参数矩阵估计的研究成果的基础 上本文的第六章推导出辨识线性随机多变量系统k r o n e c k e r 结构不变量和参 数不变量的全结构辨识的超定递推算法 为比较最优输入信号的辨识效果，本论文特地增加了第七章，专门分析伪 随机m 序列和逆重复m 序列激励下f i r 模型的辫识精度，得出了一般有色噪声 干扰下辨识精度的显式表达式，也是目前文献中所没有的结果 第八章提出产生伪随机整数串的一种新方法一全循环小数序列( f 一序列) 方 法研究了这类序列的伪随机整数串概率性质、游程性质和自相关函数等性质得 到了具有最佳自相关函数的正余弦型伪随机序列这是基础性的研究结果，在 系统辨识等领域将具有广泛的应用性 第5 页 里堕科学技术大学研究生院博士学位论文 第二章线性s i s o 系统脉冲响应函数辨识 2 1 引言 动态系统辨识的实验设计得到了辨识界学者的关注，见综述m e h r a m 2 1 ，袁 震东等胡德文和万百五【”，以及专著g o o d w i n & p a y n d 5 i ，z a r r o d 脚，和 l j u n 窖”许多研究涉及了最优输入设计( 简称o i d ) ，其目的是在对系统的输 入或输出、状态的某种约束条件下，对输入信号进行一定的设计，使得系统参 数的辨识精度最高，即达到某种意义下的最优如m c h r a e u i ，z a r r o p l j ，k r o l i k o w s k i & e y l 出。行刚，g e v c r s & l j u n g 等进行的输入约束下的o i d 研究；在输出约束 下的o l d 研究有g e v e r s & l j 腿g ”i n g ，q u r e s h i & c h e a h ! “1 ，u o s a k i ，t a n a k a & s 姆y a m a t 在本章中，我们将研究在输入功率一定的情况下，单输入单输出 ( s i s 线性离散系统脉冲响应函数，亦称m a r k o v 参数的辨识问题 ” 值得指出的是在o l d 中最主要的问题是设计出的输入信号与待辩识的系 统参数以及噪声模型是有关的本文的重要贡献是完全解决了这一问题与本 文最相关的文献如下l e v i n | ”i 是公认的最晕研究最优输入的学者他研究了 白噪声干扰下线性离散系统的最优输入设计问题h v i n 【1 3 1 证明，在能量或幅 度的约束下，最小化参数估计协方差矩阵的迹或行列式的输入是具有脉冲型自 相关函数所序列w e m s t e d t 和h o f f m e y e r - - z l o t n i t d 采用d 一最优区组设计 f 即p l a c k e t t - - b u t m a n 序列1 估计动态多变量系统的m a r k o v 参数矩阵根据 他们的研究，在白色噪声干扰下，d 一最优输入信号要比采用同样长度和约束 的得到的辨识精度高5 0 ，但需要预先知道系统的增益 l j u n g 和y u a n 1 5 - 1 9 1 ( 袁震东) 对线性离散系统的传递函数的辨识问题进行了 系统的研究，得出了一系列重要结果：他们把传递函数模型作为黑箱来处理， 得到传递函数估计的协方差矩阵的简洁公式由此得出传递函数辨识的频域最 优输入信号所应满足的显式表达式其o l d 的最重要之处在于输入设计的表 达式不依赖于未知的传递函数模型但在有色噪声情况下，输入设计要预先知 道噪声的功率谱，这要比预先知道噪声的模型好得多，可以在零输入下通过谱 估计技术预先得到 u o s a i d h a t a n a k a l 2 0 1 也根据k u l l b a c k 信息矩阵，研究了用于模型结构辨 识的频域最优输入设计在l j u n g 和y u a n 1 川工作g j 基础_ k ，功水嵫1 ( 朱豫 才) 进一步研究了m i m o 系统采用预报误差法时传递函数黑箱辨识的渐近性质 本文的目的是研究不依赖待辨识的系统模型和干扰噪声的输入信号设计， 第6 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 使得所辨识的精度尽可能地高不仅如此，所得到的脉冲响应函数将进一步作 为辨识线性离散系统a r m a 模型的参数以及结构的基础 2 2 问题的描述与有效算法 考虑离散线性s i s o 系统： y ( ，) = g ( z ) u ( o + b ( f )( 2 1 ) 其中y ( f ) 和“( f ) 分别为系统的输出和输入；g ( 力是控制系统的传递函数；z “是 时延算子，即有z l u ( t ) = u ( t f ) ：( e f t ) ) 是系统的观测噪声 如果传递函数g ( z ) 是平稳的，即所有极点都在单位圆内，则可描述为 g ( z ) = z g ( i ) z ( 2 2 ) f i l 其中g ( f ) ，f _ l ，2 ，n ，称为m a r k o v 参数( 即脉冲响应函数) n 是系统的调整时 间，当i ，l 时，g ( i ) 将趋近于零 假设噪声 p ( f ) 为零均值的各态历经的平稳随机过程： e ( f ) = 日( z ) s ( ，) ( 2 3 ) 其中h ( z ) 是平稳可逆的，即零极点都在单位圆内， s ( d 是零均值的白噪声， e 占( f ) = o ，e e ( t ) r ( t f ) = 盯2 a ( r )( 2 4 ) 而占( ) 是k r o n e c k e r8 - 函数记噪声 e ( f ) ) 的自相关函数为： r ( f ) = e e ( t ) e ( t f ) )( 2 5 ) 在一般情况下，参数估计的协方差矩阵总是满足c r a m e r - r a o 不等式，即有， c o y ( o ) m 1 ( 口) ( 2 6 ) 其中m ( 口) 是参数向量口的f i s h e r 信息矩阵所谓算法是有效的，即上面的等式 成立 现在，记参数向量为： 0 7 = 心7 ，p 7 ，盯2 )( 2 7 ) 瑾7 = ( g ( 1 ) ，g ( 2 ) ，- 一，g ( n ) )( 2 8 ) 这里口是由皿z ) 的参数所组成的向量根据g o o d w i n 和p a y n e 柳可得 第7 页 邶，2 专粪警孑喝梏喜警第卜专万0 0 2 虿0 0 - 2 b ， 其中： 3 石( t ) l o a 2h “( z ) o g ( z ) 3 0 u ( t ) r 21o 、 a 面( t ) o o = h 。( z ) o h ( z ) o o c o ( t )( 2 1 1 ) 口o ) = 。1 ( ：) 【，( f ) 一g ( 2 ) “o ) 】| v ( q 盯2 ) f 2 1 2 ) 利用公式( 2 9 h 2 1 2 ) 可以进一步证明，当参数向量p 按( 2 7 ) y ( 1 3 ( 2 8 ) 式排列 时，有： 引理2 1 系统( 2 1 ) 一( 2 4 ) 的f i s h e r 信息矩阵为 m ( c t ) 0 0 1 m 矽) ；1 0 m ( f 1 ) 0 i( 2 1 3 ) 【0 0 n l ( 2 a 4 ) j 其中， v ( t ) = h 1 ( z ) u ( t )( 2 1 4 1 in lv 2 ( 卜1 ) l t l l m ( a ) ：去陉v o - 2 ) v ( - 1 ) 、。 盯2 f 川 v ( 卜n ) v ( t - 1 )v ( t n ) v ( t 一! v ( t 一1 ) v ( 卜 ) v ( t 一2 ) v ( t 一月、 n v 2 ( 卜，z ) ，= 】 ( 2 1 5 ) 蚴嘉如_ ( ：) 訾眺- ) 号笋：q ： 一 本弓l 理的证明见附录1 由( 2 6 ) 式的等式和( 2 1 3 ) 式结合分块矩阵求逆得知 在有效算法下，控制部分参数估计与噪声部分参数估计的误差是互不相关的 2 _ 3 最优输入设计 下面讨论有效算法下的最优输入设计( o i d ) 问题所谓o i d ，即在一定 约束下，寻找使系统辨识精度的某一性能指标达到最高的输入信号根据引理 2 1 的分析和c r a m e r - r a o 等式可知，在有效算法及开环运行的情况下，无论控 制输入如何选取，都不可能影响噪声部分参数的估计精度因此，有效算法下 的o l d 只需针对控制部分的参数( m a r k o v 参数) 辨识进行 第8 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 根据系统辨识的o i d 的常用准则，取 j = l o g d e t c o y &( 2 1 7 ) 或，j = t r ( w c o v ) ( 2 1 8 ) 极小化作为输入设计的判据，分别称为d 最优和a 一最优判据，设计出的输 入分别称为d 一最优输入和a 一最优输入( 2 1 8 ) 式中矿为加权矩阵，0 ， 一般地可取，= ，。，即n 维单位矩阵 在实验中，加入被测系统的信号愈强，辨识的精度愈高同时，系统响应 可能随之增大，甚至超过系统的极限或模型所能成立的_ 假设区域因此，o i d 必然在一定约束条件下进行，就直接地衡量参数辨识的精度来讲，输入功率或 幅值约束最为合适，即采用约束 “( f ) a ，v t( 2 1 9 ) 或者， 吉“2 ( f ) = o o ( 2 2 0 ) v ，t 1 g o o d w i n 和p a y n e l 5 1 曾研究了白噪声干扰下的o i d 问题关于般噪声下 的o i d 问题，在上述两种约束条件下的求解是非常复杂的如果已知噪声的模 型h ( z ) ，我们可先将对输入 “( f ) ) 的约束转化为对 v ( f ) 的约束， 专蚤”2 ( h ) 只，v i ( 2 2 1 ) 这时，有如下结论： 定理2 1 系统( 2 1 ) ，( 2 4 ) 在有效算法及( 2 2 1 ) 约束