（应用数学专业论文）几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析.pdf

摘要 随机泛函微分方程可被视为确定性泛函微分方程及随机微分方程的综合与推 广，由于用该方程描述的系统兼顾了环境噪声及延迟因素的影响，往往能更真实地 模拟实际问题，因此被广泛应用于化学、物理、生态学、医学、金融、神经网络及 控制论等各领域的系统建模中由于很难获得非线性随机泛函微分方程解析解的 显式表达式，构造合适的数值算法对相应的解过程进行数值模拟就成了既具理论 意义又有应用价值的课题本文旨在对几类随机泛函微分方程的解析解性质及数 值方法的收敛性、稳定性等作初步探讨 全文由七章构成 第一章简要综述了随机泛函微分方程理论分析及数值分析的研究现状，扼要 介绍了本文的主要工作 第二章介绍了概率论、随机过程以及随机微分方程等方面的一些基本知识 第三章构造了数值求解非线性中立型随机延迟微分方程的一类漂移隐式一步 格式，研究了这类方法的均方收敛性，得到了相容性和收敛性的关系 第四章构造了数值求解线性随机延迟微分方程的分步向后e u l e r 方法，研究了 该数值方法的均方收敛性、m s 稳定性和g m s - 稳定性我们证明了在适当条件 下，该数值方法是；阶均方收敛的，得到了该数值方法m s 一稳定及g m s 稳定的充 分条件数值试验也验证了所获得的分析结果 第五章考虑如下非线性中立型随机比例方程 l d x ( t ) 一d ( z ( 舛) ) 】- f ( t ，z ( ) ，x ( q t ) ) d t + g ( t ，z ( ) ，x ( q t ) ) d w ( t ) ，t 【0 ，t 】， 【z ( o ) ：m 首先，我们证明了在l i p s c h i t z 条件及线性增长条件下该方程存在唯一强解其次， 我们研究了数值求解上述方程的半隐式e u l e r 方法的均方收敛性，证明了这类方法 的均方收敛阶为丢，并给出了相应的数值试验 第六章研究非线性中立型随机比例方程在无穷区间f 0 ，o 。) 上解析解的性质得 到了解析解p 阶矩l y a l m n o v 指数以及样本l y a p u n o v 指数的上界估计 第七章研究非线性随机比例方程带线性插值的半隐式e u l e r 方法的收敛性，证 明了带线性插值的半隐式e u l e r 方法的均方收敛阶为丢，给出了数值试验 关键词：随机泛函微分方程，单步方法，半隐式e u l e r 方法，分步向后e u l e r 方 法? 均方收敛性 a b s t r a c t s t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s f d e s ) c a nb ev i e w e da sg e n e r a l i z a - t i o n so fb o t hd e t e r m i n i s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( f d e s ) a n ds t o c h a s t i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s d e s ) s i n c et h ee n v i r o n m e n t a ln o i s e sa n dt h er e t a r d e df a c t o ra r e c o n s i d e r e d ，s f d e sc a da l w a y ss i m u l a t e dt h ep r o b l e m si np r a c t i c a lt r u t h f u l l y t h e yh a v e b e e nw i d e l ya p p l i e dt om o d e lt h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e m si nm a n yf i e l d ss u c ha sc h e m i s t r y , p h y s i c s ，e c o l o g y , m e d i c i n e ，f i n a n c e ，n e u r a ln e t w o r k sa n dc o n t r o ls c i e n c e i ti sd i f f i c u l t t oo b t a i nt h ee x p l i c i ts o l u t i o n so fg e n e r a ln o n l i n e a rs f d e s t h e r e f o r e ，i n v ( 搿t i g a t i n g a p p r o p r i a t en u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h es i m u l a t i o nt ot h es o l u t i o n si sv e r yi m p o r t a n ti n t h e o r ya n di na p p l i c a t i o n t h i sp a p e ra i m sa tt h ea n a l y t i c a la n dn u m e r i c a ls t u d yo f s o m ec l a s s e so fs f d e s t h i sp a p e ri sc o m p o s e do fs e v e np a r t s i nc h a p t e rl ，ac o m p r e h e n s i v es u r v e yo fi n o d e r n ( t e v e l 0 1 ) m e n t so fa n a l y t i c a lp r o p - e r t i e so fs f d e sa n dt h e i rn u m e r i c a lm e t h o d si sg i v e n f u r t h e r m o r e ，t h em a i nw o r ko f t h i sp a p e ri sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，s o m ee l e m e n t a r yc o n c e p t so fp r o b a b i l i t yt h e o r y , s t o c h a s t i cp r o c e s s e s a n ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ei n t r o d u c e da n ds o m ep r i m a r yr e s u l t sw h i c hw i l l b eu s e di nt h i sp a p e ra r el i s t e d i nc h a p t e r3 ，ac l a s so fd r i f t i m p l i c i to n e - s t e ps c h e m e sf o rn u m e r i c a l l ys o l v i n g n o n l i n e a rn e u t r a ls t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e d t h em e a ns q u a r e c o n v e r g e n c eo ft h ed r i f t i m p l i c i to n e - s t e ps c h e m e si ss t u d i e d t i l er e l a t i o n s h i pb e t w e e n c o n s i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c ei so b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，t h es p l i t s t e pb a c k w a r de u l e r ( s s b e ) m e t h o df o rn u m e r i c a l l ys o l v i n g l i n e a rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n si sc o n s tr u c t e d t h em e a n s q u a r ec o n v e r - g e n c ea n dm s s t a b i l i t ya n dg m s s t a b i l i t yo ft h es s b em e t h o da x ei n v e s t i g a t e d i ti s s h o w nt h a tt h es s b em e t h o di sc o n v e r g e n tw i t ho r d e r i nt h em e a ns q u a r es e n s eu n d e r a p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st oe n s u r et h a tt h es s b e m e t h o di sm s s t a b l eo rg m s s t a b l ea r eg i v e n f i n a l l y ，s e v e r a ln u m e r i c a le x p e r i m e n t s a r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u 1 t si nt h i s ( ：h a i ) t e r i nc h a p t e r5 w ec o n s i d e rn o n l i n e a rn e u t r a ls t o c h a s t i cp a n t o g r a p he q u a t i o n sg i v e n a sf o l l o w s ： ， l d x ( t ) 一d ( z ( ) 】= f ( t ，z ( t ) ，x ( q t ) ) d t + g ( t ，z ( t ) ，x ( q t ) ) d w ( t ) ，t 【o ，t i ， ix ( o ) = x o f i r s t l y , i ti ss h o w nt h a tt h el i p s c h i t zc o n d i t i o na n d t h el i n e a rg r o w t hc o n d i t i o ng u a r a n t e e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n s e c o n d l y , t h es e m i - i m p l i c i te u l e rm e t h o d s a r ec o n v e r g e n tw i t ho r d e r i nt h em e a ns q u a r es e n s ei sp r o v e d f i n a l l y ，an u m e r i c a l e x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a lo r d e ro fc o n v e r g e n c e ， i nc h a i ) t e r6 ，t h ea n a l y t i c a lp r o p e r t i e so fn o n l i n e a rn e u t r a ls t o c h a s t i cp a n t o g r a i ) h e q u a t i o n so nt h ei n f i n i t ei n t e r v a l 【0 ，。) a r es t u d i e d e s t i m a t e sf o rt h eu pb o u n do ft h e p - t hm o m e n tl y a p u n o ve x p o n e n ta n dt h es a m p l el y a p u n o ve x p o n e n to ft h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r7 7 t h ec o n v e r g e n c eo fs e m i i m p l i c i te u l e rm e t h o d sw i t hl i n e a ri n t e r p o - l a t i o nf o rn o n l i n e a rs t o c h a s t i cp a n t o g r a p he q u a t i o n si si n v e s t i g a t e d i ti sp r o v e dt h a t t h e s em e t h o d sa r ec o n v e r g e n tw i t ho r d e r1i nt h em e a ns q u a r es e n s e a tl a s t ，an u m e r - i c a le x a m p l et oi l l u s t r a t et h i sa n a l y t i c a lr e s u l ti sp r e s e n t e d k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，o n e - s t e pm e t h o d s ：s e m i - i m t ) l i ( ：i te u l e rm e t h o d s s p l i t s t e pb a c k w a r de u l e rm e t h o d ，m e a ns q u a r ec o n v e r g e n c e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了论文中特另w j d r i 以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证 书而使用过的材料与我共同工作的同志对本研究所作的贡 献均已在论文中作了明确的说明 日期：竺! 年j 三月j 一日 学位论文版权使用说明书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送 交学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存 学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文 收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众 提供信息服务 作者签名：盔造塞k 导师签名：世! 丝荔i e i , - 期：趟年卫月羔日 中南大学博士学位论文 第一章绪论 本章扼要介绍了随机泛函微分方程的研究背景；简要综述了随机泛函微分方 程理论分析及数值分析的研究进展；最后介绍了本文的一些主要工作。 1 1 研究背景 随机泛函微分方程一般形式为 d 幻= f ( t , x t ) ( k + g ( t , x t ) d 叭 t t o , ( 1 1 ) lx ( t ) = 妒( ) ，t o 一7 t t o ， 其中，砘= z ( t + 护) ：一丁0 o 为系统的有限长度的历史状态由于随机泛函微 分方程兼顾了随机因素及历史信息对所考察系统的当前状态的影响，往往能更真 实地模拟实际问题，因而越来越受到人们的重视近几十年来，随机泛函微分方程 已被广泛应用于化学、物理、生态学、医学、金融、神经网络及控制等各研究领域 的系统建模中随机常微分方程 出 ) _ f ( t x q ”出+ 9 ( t , x ”删 ) ，畛t o , ( 1 2 ) ix ( t o ) = 及随机延迟微分方程 妇 ) _ 八厶烈d o 吖”小+ g ( t , x ) ，烈o 7 。”删 ) 修t o , ( 1 3 ) iz ( ) = 妒( ) ，t o 一7 - t t o 都是随机泛函微分方程( 1 1 ) 的特殊形式对于随机泛函微分方程( 包括随机常微 分方程和随机延迟微分方程) 在实际中的广泛应用，我们仅以如下几个例子加以粗 略地说明 例1 1 12 0 0 6 年，d a r g a t z ，g e o r g e s c u h e l dp 吖建立了流感传染的由多个亚区组 成的网络随机s i r 模型： 鲁= 一n s 蕊一莓m 知岛+ 莓协 鲰+ 而1 o 碌 2 ( t ) + 去厅森黜) 一而1 赢， 孥= q s f 五一一莓m 南j t + 懈七一两厮管( t ) + 而雁多( 芒)(14)k j 11 + 去廖黯) _ 去厅蒜： 玺= 励i 一击历老挈( t ) 几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析 其中i = 1 n 专1 ( ) = ( f ；1 ( ) ，专 佗( ) ) ，2 ( ) ，专4 ( t ) ，5 ( ) 为独立的向量值白噪 声驱动，分别表示亚区内内部疾病传播，康复，由亚区向外以及由外向亚区内传播 的波动吼，j i 和n 分别表示第i 个亚区的易感人群，病患人群及具有免疫力人群的 人数占初始时刻该亚区内总人数眦的比率0 f 是易感人群转为病患的比率，p _ 1 表 示疾病具有传染性的平均期限，y = ( 佝) 表示亚区间的关联矩阵他们详细地介绍 了模型的建立，关联矩阵及初始状态的确定和e u l e r - m a r u y a m a 方法数值求解时的 详细算法，并利用德国2 0 0 5 年的流感统计数据作了模拟和预报结论显示网络随 机s i r 模型f ，j 彳) 很好地拟合了流感的实际情况 例1 1 21 9 s 4 年，w o l i n 和l a w l o r 以d 纠研究了如下的由两个物种构成的确定性生 态模型( l o t k a v o l t e r r a 模型，： 圣1 ( 。) = z 1 ( 。) 【6 1 一。1 l z l ( ) + 。1 2 2 2 ( ) 】， ( 1 5 ) ix 2 ( t ) = x 2 ( t ) b 2 一a 2 1 x l ( t ) + a 2 2 x 2 ( t ) ， 央寺，a 1 2 和a 2 1 为正絮数此外，b o u c h e r ! i 毒1 及h e j 和g o p a l s a m y1 4 6 1 等也磺莞i 这 类模型为避免方程f ，j 印的解在有限时间内出现爆炸，需强加条件a 1 2 a 2 1 0 ， 当1 i n ， lo i j 0 ： 当i j 2 中南大学博士学位论文 则方程的解在任何有限时间内不会出现爆炸这一事实告诉我们，引入一个很小 的随机噪声就有可能使原本在有限时间内会出现爆炸的确定性l o t k a v o l t e r r a 模型 系统免于出现爆炸这无疑说明了随机微分方程在生态学中所具有的重要意义此 外，m a o ，s a b a n i s 和r e n s h a wi s 可讨论了方程以矽解的渐近行为，给出了解的矩估 计及轨道估计 由于幼虫成熟期限或者妊娠期限的影响，在生态模型中考虑延迟因素也是十 分必要的2 0 0 5 年，m a o ，y u a n 和z o u s g 研究了描述n 个物种的带延迟的随机l o t k a v o l t e r r a 模型? d z ( 。) = d i a g ( x l ( 。) ，z n ( 。) ) 【( a ( z ( ) 一牙) + b ( z ( 一7 ) 一牙) ) d 。 ( 1 9 ) + 仃( z ( ) 一牙) ( 1 w ( ) 】， 其中，a ，b 为n 阶矩阵，b 为n 阶向量，孟满足方程b + ( a + b ) 牙= 0 表示一种平衡状 态 例1 1 32 0 0 1 年，s w i s h c h u kk a z m e r c h u k 俐提出了下列的由随机延迟微分方程 构成的股票债券市场模型问题? d s ( ) = ( a s ( ) + p s ( 。一丁) ) d + a s ( 一p ) d w ( ) ，( 1 1 0 ) id b ( t ) = ( b b ( t ) + v b ( t f 1 ) ) d t ， 其中，s ( t ) ，b ( t ) 分别为股票价格以及债券价格，w ( t ) 为一维w i e n e r 过程此外， 2 d 必年，s t o i c a 在矽刀提出了如下的股票价格模型 id y ( t ) = b ( t ) f ( y ( t a ) ) y ( t ) d t + a ( t ) g ( y ( t b ) ) y ( t ) d w ( t ) ly ( ) = ( ) ，一r t 0 ， 其中y ( t ) 为股票在t 时刻的价格 若一个随时间演进的过程除与历史状态有关外还与历史状态的导数有关，这 样的过程我们可以用中立型泛函微分方程来描述r u b a n i k 在振动理论研究中建立 了中立型延迟微分方程模型( 参见【9 2 1 ) d r i v e l 【3 2 】在研究电动力学领域的碰撞问 题时提出了如下的中立型方程 圣( ) = ( z ( ) ，z ( 6 ( ) ) ) + 尼( z ( ) ? z ( 6 ( ) ) ) 圣( 6 ( ) )( 1 1 1 ) 其中5 ( t ) t 比方程( 1 1 1 ) 更一般的是如下的中立型泛函微分方程 寿z ( f ) 一d ( 训= f ( x t , ) ( 1 1 2 ) 3 几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析 实际问题中，随机因素的影响是无法避免的( 往往是由于简化模型的需要而被人为 地忽略掉) 在方程( 1 1 2 ) 中再考虑到随机因素的影响便得到一般的中立型随机泛 函微分方程 d x ( t ) 一d ( x t ) 】= y ( x t ，t ) d t + g ( x t ，t ) d w ( t ) 此外，基于化学工程系统以及气动力学理论：k o l m a n o v s k i i 等人在文献 6 1 ，6 2 】中也 介绍了一类中立型随机泛函微分方程 比例方程是类特殊的延迟微分方程：其延迟量丁( ) = 一q t 满足1 i m ( t q t ) = o 。，即它是无界的这类方程经常出现在诸如数论、动力系统、量子力学和电动力 学等领域的系统建模中( 参见 3 1 ，3 5 ，8 9 】) 例如o c k e n d o n 和t a y l o r 在文献【8 9 】中用 如下线性比例方程 z 他) = a x ( t ) + b x ( q t ) ，x ( o ) = x 0 ，0 2 使方程真解 以及数值解的p 阶矩有界的条件下，研究了e u l e r 一型方法的均方收敛性 2 0 0 2 年，t o c i n o 和a r d a n u y 1 0 1 】研究了弱意义下随机常微分方程( 1 2 ) 的数值 8 中南大学博士学位论文 求解问题，构造了二阶和三阶弱收敛的显式r u n g e - k u t t a 方法 2 0 0 3 年，b o k o r 【1 2 】给出了数值求解随机常微分方程的一步逼近格式，研究了 这类方法的均方收敛性和随机稳定性。 2 0 0 3 年，h i g h a m ，m a o 和s t u a r t 【5 2 1 研究了随机常微分方程数值解的指数均方 稳定性 2 0 0 4 年，b o k o r 【1 3 】研究了随机常微分方程数值方法的各种稳定性 2 0 0 5 年，r o d k i n a 和s c h u r z 【9 1 】研究了如下双线性非自治齐次随机常微分方程 d x ( t ) = a ( t ) x ( t ) d t + a ( t ) x ( t ) d w ( t ) 解析解和非随机的变步长随机良方法的几乎处处稳定性 2 0 0 8 年，王志勇在其博士论文f 1 0 4 】中针对i t 6 型随机微分方程构造了r u n g 争 k u t t a 方法，得到了新的阶条件，并由此构造了两类二级和三级的显式方法研究 了这些方法的均方稳定性 对随机常微分方程的数值求解问题的研究已较为完善而对随机延迟微分方 程和随机泛函微分方程的数值求解问题的研究，由于起步较晚以及一些实质性的 困难，使得这方面的研究成果不多 2 0 0 0 年，k i i c h l e r 和p l a t e n 【6 5 】通过将随机延迟微分方程分段表为随机常微分 方程的方法，构造了随机延迟微分方程l 阶强显式t a y l o r 逼近格式以及1 阶强隐 式t a y l o r 逼近格式 2 0 0 0 年，b u c k w a r 1 6 】针对标量非线性随机延迟自治方程 d x ( t ) = ，( x ( t ) ，x ( t t ) ) d t + 9 ( x ( ) ，x ( t 下) ) d v 矿( t ) ，t 【0 ，卅( 1 2 5 ) 给出了如下的显式单步方法 + l = k + ( ，x n m + 1 ) ? 几= 0 ，一1 ，( 1 2 6 ) 建立了均值相容及均方相容与均方收敛的关系，并得到了e u l e r - m a r u y a m a 方法的 均方收敛阶为同年，b a k e r 和! b u t ：k w a r 羞e 6 】中针对方程( 1 2 5 ) 建立另一类显式 单步方法 ) + l = j + 咖( ，x n x n m ，如) ， 礼= 0 ，n 一1 ， ( 1 2 7 ) 其中， i 圹f t n t + h f t f 2 ( 1 i i j l 8 1 ( 1 1 4 j t - 1 ( s f _ 1 ) 啡f ) 这里j l 0 ，1 ) ，d w o ( t ) = d t 文献【6 中的结论是文献【1 6 】中相似结论的推广 9 几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析 2 0 0 3 年，m a o 和s a b a n i s 在f 8 2 】中研究了在局部l i p s c h i t z 条件下，随机延迟微分 方程e u l e r m a r u y a m a 方法的均方收敛性 2 0 0 3 年，m a o 【7 9 】考虑了在局部l i p s c i t z 条件下，随机泛函微分方程e u l e r 方法 的均方收敛性 2 0 0 4 年，h u ，m o h a m m e d 和y a n 【5 5 】建立了随机延迟微分方程一阶均方收敛 的m i l s t e i n 格式 2 0 0 4 年，c a o ，l i u 和f a n 2 6 研究了线性随机延迟微分方程e u l e r - m a r u y a m a 方 法的m s 一稳定性和g m s 一稳定性同年，他们在文【7 1 】中研究了线性随机延迟微分 方程半隐式e u l e r 方法的m s 稳定性和g m s 一稳定性 2 0 0 4 年，b u c k w a r 和w i n k l e r 【2 0 】构造了数值求解多延迟的非线性随机延迟微 分方程的多步m a r u y a m a 方法，研究了方法的收敛性和稳定性 2 0 0 4 年，b u c k w a r 1 7 】讨论了如下的带分布式记忆项的随机泛函微分方程 竹z x ( t ) = x ( o ) + 后f ( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) d s + 后a ( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) d w ( s ) ，t 0 ，t i ： j = l x ( s ) = ( s ) ，s j ：= 【一7 ，o 】，下0 o - m a r u y a m a 方法的相容性，其中 ，o，t y ( t ) = k ( t ，s ，x ( t + s ) ) d s = k ( t ，s t ，x ( s ) ) d s j tj t f 她证明了o - m a r u y a m a 方法是丢一阶均方相容的 2 0 0 5 年，b a k e r 和b u c k w a r 在文献【8 】中利用h a l a n a y 型不等式研究了随机延迟 微分方程e u l e r - m a r u y a m a 方法的线性稳定性，得到了数值解p 阶矩指数稳定与对 应差分方程零解稳定之间的关系 2 0 0 5 年，曹婉容和刘明珠1 2 7 】通过对带特定驱动过程的e u l e r m a r u y a i n a 方法应 用到线性试验方程上得到的差分方程进行讨论，给出了e u l e r - m a r u y a m a 方法t 稳 定的条件此外，他们在文献【2 8 】中讨论了线性随机延迟微分方程半隐式m i l s t e i n 方 法的均方稳定性 2 0 0 6 年，w a n g 和z h a n g 在【1 0 5 】中研究了线性随机延迟微分方程m i l s t e i n 方法 的稳定性，得到了m i l s t e i n 方法m s 一稳定的条件此外，王志勇在其博士论文1 0 4 1 中 还研究了非线性随机延迟微分方程m i l s t e i n 方法的m s 一稳定性 2 0 0 6 年，b u c k w a r 等人在文献 1 9 】中讨论了随机延迟微分方程的弱e u l e r 格式 2 0 0 6 年，b u c k w a r 1 8 研究了随机泛函微分方程漂移隐式一步格式的均方收敛 - | 生 1 0 中南大学博士学位论文 2 0 0 7 年，m a of 8 0 1 研究了随机延迟微分方程e u l e r - m a r u y a m a 方法的指数稳定 性 2 0 0 7 年，王文强在其博士论文【1 0 3 】中讨论了非线性随机延迟微分方程带线性 插值的e u l e r - m a r u y a m a 方法的收敛性，证明了带线性插值的e u l e r - m a r u y a m a 方法 是丢一均方收敛的此外，他还得到了非线性随机延迟微分方程带线性插值的e u l e r - m a r u y a m a 方法和半隐式e u l e r 方法m s 一稳定和g m s 稳定的条件进一步，他还研 究了f o k k e r - p l a n c k 方程的m i l s t e i n 方法的m s 一稳定性 随机比例方程数值求解方法研究才刚刚起步，目前可供参考的文献并不多 b a k e 和b u c k w a r 在文献 7 】利用连续0 一方法建立了随机比例方程解的强逼近， 证明了连续0 方法在均方意义下以阶丢收敛到真解 2 0 0 7 年，f a n l i u 和c a o 【3 4 1 研究了半隐式e u l e r 方法的收敛性此外，范振成 在其博士论文f 3 3 】中利用r a z u m i k h i n 技巧研究了数值解的p 阶矩指数稳定性 1 4 本文主要工作 中立型随机泛函微分方程的数值求解研究才刚刚开始，中立型随机比例方程 解析解的理论研究和数值分析尚未见之于文献然而，许多实际问题又往往需要用 中立型随机泛函微分方程来建模( 参见 6 1 ，6 2 】等) 所以，研究中立型随机泛函微 分方程解析解性质及构造合适的数值算法对相应的解过程进行数值模拟具有重要 的理论意义和广泛的应用前景本文试图对几类中立型随机泛函微分方程的解析 解性质和数值方法的收敛性、稳定性作初步探讨本文的主要框架如下： 在第二章中我们介绍概率论、随机过程以及随机微分方程等方面的一些基 本概念及理论，为本文后面章节的讨论做准备 在第三章中我们构造了数值求解非线性中立型随机延迟微分方程的一类漂 移隐式一步格式，研究了这类方法均方收敛性，得到了相容性和收敛性的关系 在第四章中我们构造了数值求解线性随机延迟微分方程的分步向后e u l e r 方 法研究了该方法的均方收敛性、m s 一稳定性和g m s 一稳定性首先，我们证明了在 适当条件下该数值方法是；一阶均方收敛的其次，我们得到了该数值方法m s 一稳 定及g m s 一稳定的充分条件数值试验也验证了所获得的分析结果 在第五章中我们考虑如下非线性中立型随机比例方程 1 d 芒 t 【0 ，列， 幻 g ， z ”w “m 吖 gf “ n l | l州面 舛t扛g d + 叭 一 z ， = ，、i， ft o 叫 州 ，_ii-，、iiil_， 几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析 首先，我们证明了在l i p s c h i t z 条件及线性增长条件下该方程存在唯一强解其次， 我们研究了数值求解上述方程的半隐式e u l e r 方法的均方收敛性，得到了这类方法 是丢阶均方收敛的，并给出了相应的数值试验 在第六章中，我们研究了非线性中立型随机比例方程在无穷区间f 0 ，) 上的 解析解性质，给出了解析解p 阶矩l y a p u n o v 指数以及样本l y a p u n o v 指数的上界估 计 在第七章中，我们研究了非线性随机比例方程带线性插值的半隐式e u l e r 方法 的均方收敛性，证明了该方法的均方收敛阶为吾最后，数值试验验证了这一分析 结果 1 2 中南大学博士学位论文 第二章基本知识 本章介绍有关概率论，随机过程以及随机微分方程等的一些基本知识，为本文 后面章节的讨论做准备本章主要定义及结论在一般的介绍概率论，随机过程以及 随机微分方程的专著及书籍上都可查到 2 1 概率论的若干基本知识 概率是用来度量随机事件发生可能性大小的量2 0 世纪3 0 年代k o l m o g o l o v 建 立了完整的概率论公理化体系从此，基于测度论的现代概率论开始飞速发展，到 今天已是成果丰硕，应用广泛下面给出一些在下文中要涉及到有关概率论的基本 概念 定义2 1 1 设q 是样本空间，q 中的子集族厂具有下列性质： ( i ) q 笋； ( 鼋毫) 若a 笋，她a c 于； ( i i i ) 若 a t ) t 1 厂，则u 鐾1a i 厂 我们称这样的集合族，为盯域或者盯代数称二元结构( q ，厂) 为可测空间，厂中 的元素称为，一可测集若c 是q 中的子集族，则必存在包含c 的最小仃一域，称之 为由c 生成的矿一域，记之为盯( c ) 若n = 彬且c 是掣中所有开集构成的子集族， 则1 3 d = o ( c ) 称为b o r e l - o r 一域，召d 中元素称为b o r e l 集 定义2 1 2 若一个函数p ：厂_ f 0 ，) 满足下列条件： ( t ) p ( o 、) = o ； 以砂a n 厂互不相交时p ( u a n ) = p ( a n ) j ( i i i ) 尸( q ) = 1 则称p 为可测空间( q ，一上的一个概率测度，且称三元结构( q ，厂，p ) 为概率空间 进一步? 若p ( a ) = 0 ，bca 令b 厂，则称( q ，厂，p ) 为完备概率空间 定义2 1 3 若( q ? 厂) 为一可测空间映射x ：q r 满足 u ：x ( u ) c ) 厂， 对所有c r ， 则称x 为一随机变量也可称x 是厂一可测的若可测空间为( 彬，) ，则x 为召d 一 可测的或者b o r e l 可测的 1 3 几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析 定义2 1 4 若x 为概率空间( q ，厂，p ) 上一随机变量，则称 f x ( x ) = p ( x z ) ，( z r d ) 为随机变量x 的分布函数若x 为连续函数，f x ( x ) 绝对连续，则存在非负b o r e l w 测函数f x ( z ) 使得 取( z ) = z 厶( 圳y 这样的函数厶x ) 称为随机变量x 的概率密度函数，简称为密度函数 e x = f x ( u ) d p ( u ) v ( x 1 = e ( x e x ) 2 随机变量x 的p 一阶矩定义为 e x p = x p ( u ) d p ( u ) ， 如果如i x ) i p d p ( w ) 1 ，；1 + 百1 = 1 ，x l p ，y l g ( 2 ) q 不等式 e i 凰l p q e i x