（应用数学专业论文）几类生态学模型的定性分析.pdf

几类生态学模型的定性分析 研究生：李波 东南大学数学系，南京，2 1 0 0 1 8 关键词：生态学模型，反应扩散，正平衡解，上下解方法，存在性，分支，捕食模型， 正解 摘要：许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理，力学， 生物数学等学科的基本方程本身就是偏微分方程偏微分方程已经成为当代数学中的一个 重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的 桥梁，利用偏微分方程研究生态学模型已经成为一个很重要的方向 本文讨论几类带有扩散和交错扩散的捕食模型：齐次n e u m a n n 边值问题的t u r i n g 模 式；齐次d i r i c h l e t 边值问题的正解的存在性与不存在性 第一章是前言部分，简单介绍与本文相关的生物背景与研究概况 第二章，讨论一类三种群捕食模型首先，在齐次n e u m a n n 边界条件下建立了正平衡 解的先验估计，并且利用拓扑度方法得到了非常数正解的存在性其次，利用延拓定理讨 论了当系数是周期连续函数时相应的常微分方程组的正周期解的存在性 在第三章中，我们利用上下解方法和分支理论讨论一类三种群捕食模型在齐次d i r i c h l e t 边界条件下的正解的存在性 论文的第四章讨论了一类三种群捕食模型的强耦合形式利用上下解方法证明了：当 交错扩散系数的绝对值很小，并且系数满足某些条件时其正解存在然后讨论了正解的不 存在性同时利用分支理论讨论了当两个交错扩散系数同时为负数时正解的存在性 第五章研究了带有交错扩散和阶段结构的捕食模型的非常数正解的存在性，证明了交 错扩散会导致t u r i n g 模式 q u a l i t a t i v ea n a l y s i sf o rs o m ee c o l o g i c a lm o d e l s c a n d i d a t ef o rp h d ：l ib o d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y ，n a n j i n g ，2 1 0 0 1 8 k e y w o r d s ：e c o l o g i c a lm o d e l s ，r e a c t i o n d i f f u s i o n ，p o s i t i v es t e a d ys t a t e s ，u p p e r - l o w e rs o l u - t i o nm e t h o d ，e x i s t e n c e ，b i f u r c a t i o n ，p r e d a t o r - p r e ym o d e l ，p o s i t i v es o l u t i o n s a b s t r a c t m o d e l su s e di nm a n yr e s e a r c hf i e l d sc a r lb ed e s c r i b e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，e c o l o g ya n do t h e rs u b j e c t s ，t h eb a s i ce q u a t i o n sa r ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n o wp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tc o m p o n e n to f c o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c sa n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yb r a n c h e so fp u r em a t h e m a t i c s ， n a t u r a ls c i e n c e sa n de n 酉n e e r i n g u s i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oi n v e s t i g a t eb i o l o g i c a l m o d e lh a sb e c o m eav e r yi m p o r t a n tr e s e a r c ha r e a s o m ep r e d a t o r - p r e ym o d e l sw i t hd i f f u s i o na n dc r o s s - d i f f u s i o l na x eo b s e r v e di nt h i sp a p e r ：t u r - i n gp a t t e r no rd i f f u s i o n d r i v e ni n s t a b i l i t yw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h e e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sw i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e r1 ，t h eb i o l o g i c a lb a c k g r o u n da n dh i s t o r ya b o u tt h er e l a t e dw o r ka r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，at h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd i f f u s i o ni ss t u d i e d f i r s t ，ap r i o r i e s t i m a t eo fp o s i t i v es t e a d ys t a t e sw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni se s t a b l i s h e d t h ee x i s t e n c eo fn o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d ys t a t e si so b t m n e db yu s i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e e t h e o r y t h e ne x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sc o n s i d e r e dw h e nt h ec o e f f i c i e n t sa r ep e r i o d i cc o n t i n u o u sf u n c t i o nb yu s i n gc o n t i n u e t h e o r e mo fm a w h i n i nc h a p t e r3 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no fat h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t h h o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o ni sc o n s i d e r e db yt h eu p p e r - l o w e rs o l u t i o nm e t h o da n d b i f u r c a t i o nt h e o r y i nc h a p t e r4 s t r o n gc o u p l i n gv e r s i o no fat h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e li si n v e s t i g a t e d u s i n gt h eu p p e r l o w e rs o l u t i o nm e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n si so b t a i n e dw h e nt h e a b s o l u t ev a l u e so fc r o s s - d i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sa r es m a l le n o u g ha n dt h ec o e f f i c i e n t ss a t i s f ys o m e c o n d i t i o n s a tt h es a m et i m e ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n si sg a i n e dw h e nt h et w oc r o s s - d i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sa r en e g a t i v ec o n s t a n t sw i t hb i f u r c a t i o nt h e o r y i nc h a p t e r5 ，as t r u c t u r e d s t a g ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hc r o s s - d i f f u s i o ni sc o n s i d e r e d t h e e x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n si so b t a i n e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h ec r o s s - d i f f u s i o n c a nc r e a t et u r i n gp a t t e r n u 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 研究生签名：盔这日期：盟i ：丝 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 研究生签名：垄遮导师签名：描丛 第一章前言 许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理，力学，生物种群 动力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程偏微分方程已经成为当代数学的一个重要 组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁 利用偏微分方程研究生态学模型已经成为一个很重要的方向本文讨论几类带有扩散和交 错扩散的捕食模型：齐次n e u m a n n 边值问题的t u r i n g 模式；齐次d i r i c h l e t 边值问题的正 解的存在性与不存在性 1 1相关生态学微分方程模型的背景和发展概况 设食饵种群的密度为z ，捕食者种群的密度为y ，捕食者不存在时，食饵按指数方式增 长，捕食者在无食饵时，按指数方式减少如果这两个种群生活在同一空间，由于捕食作 用，食饵的增长率随着捕食者的增多而下降，而捕食者的增长率随着食饵的增多而上升 于是经典的l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型可以写成 ，驴哪! - 云) 一 【纨：一，3 y + m c z 可， 或者 驴郴( 一言) 一凹秒 玑= r 2 剪( 1 一差) + m 凹y 食系统有出入，旦i t f l ：产生了许多修正模型例如，l e s l i e 和g o w e r ( 1 9 6 0 ) 考虑到食饵种群 内部密度制约因素，而使卫呈l o g i s t i c 增长，也考虑到z 对y 增长的影响当y 大而z 小 时，比值兰大，这使捕食种群增长减缓；反之z 大而小时，比值兰小，从而得到模型 ，面d 2 7 = ( r t - b t x - c l y ) 1 面d y = r 2 - - c 2 h o l l i n g 在实验研究的基础上，对不同类型的捕食者提出了三种不同的响应函数 h o l l i n g - i 型响应函数为 妒c z ，= 孑z 0 0 ， 0 ， ，t0 ( 1 2 2 ) 作者首先研究了系统( 1 2 2 ) 唯一正常数解的稳定性；然后研究了相应的反应扩散方程 组在齐次n e u m m a n 边界条件下，这个唯一正常数解的稳定性；最后讨论了强耦合的椭圆 方程组 啦一d 1 札= a u u 2 一$ u u u 叫， 旷( d 2 羔) = 鼬叫 w t d 3 a w = b y m w 祟：祟：娑：o ，一= 一= 一= 1 1 a pa 王，a 1 w ( x ，0 ) 0 ，v ( x ，0 ) 0 ， 由于引入了交错扩散项而产生t u r i n g 模式 关于阶段结构的捕食模型近年来受到了很大的关注，这方面的研究还可以参见 8 ，9 9 ， 9 1 】 32 ， ， ， 0 o 0 o ， 汕 刈 刈 t t t ， 、 哦 哦 q 孤 皿 z z z z z 第一章前言 1 - 3 本文的主要工作 在本文中，我们总假设q 是r 中的有界光滑区域，是a q 上的单位外法向 第二章讨论三种群捕食模型 _ d 1 让= u ( 1 一u ) 一品，z 呱 _ d 2 舢2 镌呐一罴，一 ( 1 3 1 ) 一d 3 a 叫：罢一6 2 训，z q ， r 7 + m w 宴：宴：挲：o ，z m 瓦2 瓦2 瓦3 u ，北l 5 首先研究了问题( 1 3 1 ) 的正解的存在性，令a = 6 l + 0 2 ( m 2 6 2 ) 】( m 2 m ) ，得到了如下结 论： 定理2 2 5 假设参数a ，m ，a i ，b t ，仇i ( i = 1 ，2 ) 和c f 2 ，d 3 是固定的正常数，且满足m 2 5 2 ，m l a ( a + 1 ) ，a 3 3 d 2 + a 2 2 d 3 0 ，如果对所有的而d 2 ，d 3 d 3 ，边值问题( 2 2 7 ) 没有 满足l 。+ l o 。= 1 的非常数正解( ，叼) ，并且对某个n 2 ，由( 2 2 1 6 ) 式确定的极限 豇( ，+ 1 ) 且u n = 墨2d i m e ( # i ) 是奇数则存在正常数d ：，使得当d l 芝d ：时，( 1 3 1 ) 至少存在一个非常数正解 定理2 2 6 假设a ，m ? a i ? b t ，m t ( i = 1 ，2 ) 和d 1 ，啦，d 3 是固定的正常数，且满足i n 2 b 2 ，m l a ( a + 1 ) ，口；j 0 ，如果对所有的而噶，以d 3 ，椭圆问题( 2 2 7 ) 没有满足i o 。+ i o 。= 1 的非常数正解( ，7 ) ，对某个n 2 ，o 撑d l ( ，+ 1 ) 并且盯n = 譬2 d i m e ( 胁) 是奇数则存在正常数明咙，使得当d 2 璎时，( 1 3 1 ) 至少存在一个非常数正解 定理2 2 7 假设参数a ，m ，a t ，b i ，m t ( f = 1 ，2 ) ，d l ，磁，d a 是固定的正常数，满足m 2 6 2 ，o 1 ，2 a 西 m 1 o ，口( 2 o ，d 佟 0 ，对某个j ，七2 ，使得o i ? d 3 ( 如，心+ 1 ) ，o 弹d 3 ( 鲰，弘k + 1 ) 并 且盯= ；：2 d i m e ( u i ) + 叁2 d i m e ( 比i ) ：= 吁+ o k 是奇数，则存在正常数d + 必，使得当 d 2 d + 时，( 1 3 1 ) 至少存在一个非常数正解 然后讨论了问题( 1 3 1 ) 的正解的不存在性，得到如下结论t 定理2 2 3 如果m 4 a b 2 ，则问题( 1 3 1 ) 没有非常数正解 定理2 2 4 假设# 2 d ： 1 ，“2 蝣 m 2 6 2 ，则存在正常数优= 奶( a ，啦? 呓) ，使得当 d l d ：，d 2 噬d 3 呓时，问题( 1 3 1 ) 没有非常数正解 6 东南大学博士学位论文 其次讨论了当系数是以u 为周期的周期连续正函数时相应的常微分方程组 d x d t d y d t d z d t 叫。，卅啦一端) ， = 可( t ) r n l ( t ) x ( t ) 万一一丽a 确2 ( t ) z ( t ) 刊( 揣划t ，) ， 的以u 为周期的正周期解的存在性令，2 言z ，( ) 出，m2 。m 【咐a x 】，( ) ， 利用延拓定理得到了结论： 定理2 3 1 假设下列条件成立： ( i ) m 够； 川 a ( 。m 歹a m + m a x 隆m 等 ) ； ( i i i ，弘( 生学卜， 则系统( 1 3 2 ) 至少有一个正的u 一周期解 第三章讨论带有d i r i c h l e t 边界条件的捕食模型 ( 1 3 2 ) 也= 缸( 口一u 一而c l v 一u + m 生2 w 、 ，x e1 1 , 山= u ( 6 蒜) ， ， 3 渤 一伽= 叫c - w + 石；弓普面) ，x ei t , u ( z ) = 0 ，v ( x ) = 0 ，w ( z ) = 0 ， z a q 首先利用上下解方法得到( 1 3 3 ) 的正解的存在性： 定理3 2 2 如果 n 一r 2 入- ( c 啦蒜渤) ( 山一志) a 1 , 那么( 1 3 3 ) 至少有一个正解，其中咖。，u 的定义分别由( 3 2 4 ) 和( 3 2 6 ) 给出 然后用分支理论得到： 定理3 3 1 假设口一旦 入l ，c a i 则( b + ，0 ，o b ，o c ) 是( 1 3 3 ) 的分支点，并且在 ( b ，0 ，o b ，0 。) 的邻域内存在( 1 3 3 ) 的正解，其中b 。 a 1 ，使得口一旦= a i ( c l 馆) 0 6 ，o c 的 定义由引理3 2 3 给出( 下面类似的记号均由引理3 2 3 给出，不再具体说明) 定理3 3 2 假设b 入1 ，c a 1 那么( o + ，0 ，o b ，o e ) 是( 1 3 3 ) 的分支点，而且在( q + ，0 ，o b ，o c ) 的邻域内存在( 1 3 3 ) 的正解，其中口+ = 旦+ a 1 ( e l o b ) 第一章前言 定理3 3 3 假设口 a l ，c + r 2 a 1 ，竺a l 而且r l r i 5 ：0 0 表示 ( 让1 ，伽1 ) 是问题( 3 3 1 ) 的唯一正解那么 ( 云，u l ，0 ，w 1 ) 是( 1 3 3 ) 的分支点，而且在( 5 ，u l , 0 ，鲫1 ) 的邻域内存在( 1 3 3 ) 的正解更进一 步地，当0 s 1 时，从点( 6 ，u l ，0 ，w 1 ) 分支出来的正解( 6 ( s ) ，u ( s ) ，u ( s ) ，叫( s ) ) 有下面的形 式： f 札( s ) = t t l + s 岛- 4 - 0 ( 8 2 ) ， lu ( s ) = s r l o - 4 - o ( s 2 ) ， i 叫( s ) = w l + s 8 0 + o ( s 2 ) ， i6 ( s ) = 云+ b l s + o ( s 2 ) ， 其中 丘犯，( 嘶卜再裟斋) 兆 ，( o ) 是( 3 3 2 ) 当f = 芝黑，( ：0 时的唯一解而且，如果c 1 1 ，0 入- ，r 2 。且c c ：，那么( c ? u z ：睨，。) 是( 1 3 3 ) 的个分支点，并且在( c + ，1 2 ，v 2 ，0 ) 的邻域内( 1 3 3 ) 存在正解，其中矿= 入1 一r 2 ， 并且当0 0 和画 0 ，使得当 | d l di 0 ，则当d l 0 ，d 2 0 时，( 1 3 4 ) 没有正解 ( 1 ) a 1 a 2 + b 2 1 a l + b 1 2 a l a ； ( 2 ) a 1 a l ； ( 3 ) ( 1 一詈) a ，m a x a 2 + 6 z - 口- ，n 】_ ； ( 4 ) a a l ( m 2 + q a l b l 2 ) ( b 2 1 + 1 ) ，a l a 2 ，1 b 2 1 ，a 2 + a l b l 2 a + a l b 2 1 a i ； c 5 ，( 1 一詈) 入a ，( 一詈一鲁) 入m 2 ，( 一鲁) 入。3 + 5 3 。( m 2 - 4 - c z a l b l 2 ， 定理4 3 3 如果下面条件之一成立，则当d 1 = 一a 0 时，( 1 3 4 ) 没有正 解 ( 1 ) 入1 a l ； ( 2 ) a 2 一a l b 2 3 ( m 3 + a l b 3 2 a + 2 a l b 3 2 v - a + a 如p + 口l 口卢+ 2 a l i v e ) ； ( 3 ) a 2 b 2 3 ( m 3 + a l b 3 2 q + 2 a l b 3 2 v 石+ 尬卢+ a l a l 9 + 2 口1 p 石) ，b 2 1 q 6 1 2 ，a 12a l + a 2 定理4 4 4 如果下面条件之一成立，那么当d l = 一口 0 ， z q ! t 0 ， z q t 0 ， ( 1 3 5 ) z a q ，t 0 ， z q 首先证明了当d 4 = 0 时，( 1 3 5 ) 没有非常数正解，这说明自扩散不能导致非常数正解的 产生，而当d 4 0 时，证明了： 定理5 5 1 假设口，b ，c ，d ，e ，m ，d 1 ，d 2 ，d 3 和d 是固定的正常数，a c , 一b 兰，e 面= c 2 ( ( a 。c + d + d e l - ) 。b ) 2 - ，并且当d l d l ，唣d 2 ，0 暖d 时，椭圆问题( 5 4 1 6 ) 没有非常数正 解如果对某个n 2 ，豇( ，p , n + 1 ) ，且“i - - - - 2d i m e ( p 峰) 是奇数，其中犀是( 5 3 4 ) 给出 的极限那么由命题5 3 1 可知，存在正常数d j ，使得当d 4 磁时，( 5 3 5 ) 成立，并且 p l ( d 4 ) 0 = p 1 o ， 一d u 2 ：竺丝丝一一 一三旦丝堡，t 0 ， d t 2 u l - 卜c l u 2 一b l u 2 一一1 1 2 u 2 _ - c 2 u 3 t ， 孥：黑一6 2 t 3 ， 0 t 1 _ 2 - 一一d 2 t 3 ， d t u 2 十c 2 乱3 其中u 1 ，u 2 ，u 3 分别是食物，捕食者和高级捕食者的分布密度，吼，m t ，q 和b i ( i = 1 ，2 ) 是正 常数，分别表示最大的捕食者增长率，转化率。半饱和常数，捕食者的死亡率，是食物 的内在增长率，k 是承载能力 带有非单调比率依赖响应函数的三种群捕食模型的常微分方程可以写成： 警刊1 叫一而a l u v ， d v m 1 札口， 口2 v w 一= 一d 1 u 一一， d t1 + a u 2 1 秒+ m w 竺：罢一6 ：彬， 一= 一一，) o t d t口+ m w 一 其中参数m t ? a i ，b i ( i = l ，2 ) ，a ，m 均为正常数，t t ，u 和w 分别是食物，捕食者和高级捕食者 的密度，其生物意义可见文献【1 1 ，1 2 ，6 7 ，6 s 1 0 1 12 、 孤 z z z 3 12 ， ， ， ， 0 0 0 第二章 一类三种群捕食模型 1 1 若记u = ( 乱j ，) 丁， g ( u ) = 则方程组( 2 1 3 ) 可以写成： 2 2 齐次n e u m a r m 边值问题 ) = ( 熹 面d u = g ( u ) ( 2 2 1 ) 记a = b l + 0 2 ( m 2 6 2 ) 】( m 2 m ) 关于问题( 2 2 1 ) 的正常数解有以下三种情况： ( i ) 如果m l = 2 a 石，口 1 并且m 2 5 2 ，那么( 2 2 1 ) 有唯一的正常数解( 硒，v 一0 ，面0 ) ： u o2 = 丢( 一譬) = 面2 ( m 2i - b 2 ) ，讧、 l 卜i j ( i i ) 如果m 2 5 2 并且r 2 1 a ( a + 1 ) ，那么( 2 2 1 ) 有唯一的正常数解( 豇1 ，矛1 ，面1 ) ： 乱12 m l 2 a o，矛1 = 石1 ( 1 一酬1 + 。留) ，西1 = 1 m 2 矿- - b 2 雷1 ( i i i ) 如果m 2 6 2 ，a 1 并且2 a v f 石 m l 0 ， 硼一d 3 a w = c 3 ( u ) ， z q ，c 0 ， ( 2 2 2 ) 祟：宴：百0 w ：0 ， z m 0 ，i2 彳2i 一2 ， ztc ，35 ，b ， o vd po v u ( z ，0 ) = t 幻( z ) ， ( z ，0 ) = u o ( z ) ，t u ( z ，0 ) = t u o ( z ) ， z q ， 正常数d 1 ，d 2 和d 3 分别是u ，v 和w 的扩散系数初始值函数u ( x j o ) ， ( z ，o ) ，铷( z ，0 ) 是连 续非负函数与方程组( 2 2 2 ) 对应的平衡态问题是 一d 1 u = u ( 1 一u ) 一而a l u v 万，x eq ， _ d 2 幽2 最 俨器一q ( 2 2 3 ) 一d 3 a 伽= 婴一6 2 叫， z q ， r 叫 u + i n w 宴：宴；下o w ：o ， z a q 瓦。瓦5 瓦2 u ， z 们。 2 2 1 先验估计 为了书写简单，用人表示参数m i ，a i ，b i ( i = 1 ，2 ) ，a ，m 的集合当( i i ) 或者( i i i ) 的条 件成立时，一定有 t 1 2 b 2 ，t 1 a ( a + 1 ) ( 2 2 4 ) 在本节的讨论中总假定条件( 2 2 4 ) 成立 下面给出问题( 2 2 3 ) 的正解的先验估计为此，首先引入两个引理 引理2 2 1 ( h a r n a c k 不等式) ( 【5 5 】) 设z c 2 ( i t ) i 1c 1 ( f i ) 是a z ( z ) + c ( z ) z ( z ) = 0 的 带有齐次n e u m a n n 边界条件的正解，其中c c ( f i ) ，则存在正常数c ( 1 l c l l 。) ，使得 m a x z c m i n z 引理2 2 2 ( 最大值原理) ( 5 8 】) 假设g c ( nxr 1 ) 且b c ( 而) ：j = l ，2 ， ( i ) 如果z c 2 ( q ) nc 1 ( f i ) 满足 n o z ( z ) + ( z ) 锄+ g ( 耶( z ) ) 0 z q ；嘉i 舳 0 ，使得铲u sc 2 m n i nu c 2 ( 1 + n ) 。1 ：= q 设叫( z 1 ) ：掣叫，则由最大值原理知了王等装一5 2 0 ，于是得到 n i z lj 十m w x lj 吣) 等州等q 同理可证( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 中的其它估计式 关于问题( 2 2 3 ) 的正解的下界，有下面的定理 定理2 2 2 设画( i = 1 ，2 ，3 ) 和d 是固定的正常数假设对任意的正常数而画， 而五d ，边值问题 z q z q ，( 2 2 7 ) z a q 没有满足l + i o 。= 1 的非常数正解( f ，叩) ，则存在正常数旦= ( 五，d 一2 ，d 一3 ，d ，a ) ，使得 当( d 1 ，d 2 ，d 3 ) 五，o 。) 画，o 。) x 恳，d ) 时，问题( 2 2 3 ) 的正解( u ，口，w ) 满足 m i n u ，m ) n 秽，r a i n 叫2 至 nnn 一叩 叩一m 里+ ， 一) 一 幻 h 一 罴 是篇， 亭 卵 = = l l 叼一 垂 叩 a a = - 如 _ 如 f 一 1 4东南大学博士学位论文 证明假设结论不成立，则存在序列 ( d 1 。，d 2 。，d 3 。) ) 黯l 满足( d l n ，d 2 。，d 3 n ) 匝，o o ) 【画，o o ) 【五：d ) ，和问题( 2 2 3 ) 相应于d i = 画。( = 1 ，2 ，3 ) 的正解( ，w n ) ，使得当n _ 。 时， m i l l 嚷n ，嚷n i b 2 i n w n ) _ o 显然定理2 2 1 中的估计对所有的( ，) ，n = 1 ，2 ，都成立由椭圆型方程的正则 性理论及d l n 五，d 2 n d 一2 ，d 一3 d 3 。d 可知，存在 ( ，) ) 怒l 的子序列，仍记为 ( ， t o 。) ) 黯l ，和非负函数u ，”，1 1 ) c 2 ( 壳) ，使得当n o o 时，( ，移n ，叫n ) 一( t l ，u ，t l j ) 不 妨假设当n 一时，也。_ 五 d ，o 。】( i = 1 ，2 ) ，d 3 n _ 五 五，d 】易见， u ， ，叫) 满足 ( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) ，而且 m q i n u = 0 ，或者m n i n t j = o ，或者挚1 - 硼= onn z 因为( u n j u 。，叫n ) 满足 一d i n u 竹= ( 1 一) 一而a l ? u n u n 蕃， z q ， 一2 篙- 6 1 一而a 2 v n w n q ( 2 2 刚 一d 3 n a w n - - 罢畿一6 2 ， 蚝q ， 。 娑：掣：挲：0 ， z m 万i2 再孑2j 万2 ， ztu 3 b 对( 2 2 8 ) 的三个方程分别在q 上积分，得 上( - 一一丁a + l v n 嵋d z = 。， z q ， fv n ( t n l u n i b l 一v n + 坠m w n k = 。，x e1 2 , ( 2 2 9 ) 上( 考耘一幻) 虻。， z 叽 f 面分二种情况讨论 ( i ) u 三0 由( 2 2 9 ) 的第一式知，存在点列 z 。) 黯1c 而，使得 1 一( z n ) 一再a l 雨t ) n ( x n ) = o 不妨假设z 。一z o q 由上式得 1 一u ( z 。) 一1 + 盟a u 2 ( x o ) = o 因为仳三0 ，所以v ( x o ) = x a 1 在( 2 2 9 ) 的第二式中令n _ o o ，得 上口( 再a 2 w 、i d z = 。 第二章一类三种群捕食模型 因此钉三0 ，与v ( z o ) = 1 a l 矛盾 ( i i ) u 三0 ，u 0 如果五= o o ，那么u 满足 一扎= 0 ，z q ；乱u = 0 ，z a q 从而让三c 1 o ( 这里c l 是常数) 在( 2 2 9 ) 的第一式中令n 一。，得厶c l ( 1 c 1 ) = 0 于是 u 兰c 1 三1 如果五 0 在( 2 2 9 ) 的第一式中令n _ 。，则 有如u ( 1 一札) = 0 再由0 o 如果而兰o ，则当n _ 时，瓦m 干2 v 瓦n 一6 2 再由h a r n a c k 不等式知， 而 0 由( 2 2 1 3 ) 又得而三( m 2 - 一b 2 ) c 。：p 利用( 2 2 1 2 ) 式，有，nd 再m 五l - b l 一而a 2 z = 。， 由此得m l = a ( a + 1 ) ，这与m l a ( a