（机械电子工程专业论文）基于视觉的柔性机械臂位置控制的仿真和实验研究.pdf

摘要 ( 案性机械臂已成为新一代机器人和航空航天器的典型结构，对其建模和控 制已成为机器人学、自动化、航空航天等诸多领域的重要研究课题，国内外的 研究耆提出了多种建模方法和控制方法。柔性机械臂一般被描述为一个系统动 力学特性与控制特性相互耦合的非线性系统，选择不同建模方法所建立的数学 模型是设计控制器的依据。控制方法的研究也是多种多样，从简单的p i d 控制、 加速度反馈控制、力反馈控制到复杂的自适应控制、鲁棒控制、智能控制等， 在仿真和实验两个方面都取得了很多成果。产 本论文在用k a n e 方法建立的柔性机械臂动力学模型的基础上，结合实际控 制系统，考虑到柔性机械臂机电耦合的特性，建立了基于视觉的柔性机械臂位 置控制系统的数学模型。在m a t l a b 下设计了p i d 控制器、鲁棒控制器和l q 最 优控制器并进行了仿真研究。根据实验的要求，构建了基于视觉的柔性机械臂 位置控制系统，分别开发了图象处理程序和控制程序。( 在实验中将视觉伺服应 用到柔性机械臂的控制中，由c c d 摄像头连续采集图象，对估计的目标区域图 象进行处理和分析，计算得到柔性机械臂末端的位置误差作为控制器的输入， 分别实现了p i d 控制器和鲁棒控制器，并对仿真结果和实验结果以及不同的控 制方法做了比较研究。 通过仿真结果和实验结果比较分析可知，尽管仿真结果和实验结果存在着 偏差，但研究结果表明所建立的柔性机械臂控制系统数学模型是正确的，所采 用的控制方法是有效的。) 广 、， 关键词： 柔性机械臂，基于视觉，p i d 控制? 鲁棒控制；图象处理和分栀 a b s t r a c t f l e x i b l ea r mh a sb e c o m et h ek e ys t r u c t u r eo ft h en e wg e n e r a t i o no f r o b o t sa n d s p a c e c r a f i s m o d e l i n ga n dc o n t r o lo f f l e x i b l ea r mh a v eb e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n t r e s e a r c ha r e a so fr o b o t i c s ，a u t o m a t i c sa n da e r o n a u t i c s r e s e a r c h e r so fm a n yc o u n t r i e s h a v e p u t f o r w a r da g r e a td e a l o fm e t h o d sf o rm o d e l i n ga n dc o n t r 0 1 g e n e r a l l y s p e a k i n g ，f l e x i b l ea r mi s d e s c r i b e da san o n l i n e a rs y s t e mc o u p l i n gw i t hd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i ca n dc o n t r o lc h a r a c t e r i s t i c t h e r e f o r e ，c o n t r o l l e rd e s i g nd e p e n d so nt h e w a y o fe s t a b l i s h i n gt h em a t h e m a t i cm o d e l s t u d yo f c o n t r o la l g o r i t h mr a n g e sf r o m s i m p l eo n e ss u c ha sp i dc o n t r o l ，a c c e l e r a t i o nf e e d b a c kc o n t r o la n df o r c ef e e d b a c k c o n t r o lt oc o m p l i c a t e do n e ss u c ha sa d a p t i v ec o n t r o l ，r o b u s tc o n t r o la n di n t e l l i g e n t c o n t r o l ，e t c r e c e n ts t u d i e sa c h i e v e dal o tf r o ms i m u l a t i o nt oe x p e r i m e n t b a s e do nt h ed y n a m i cm o d e lo ff l e x i b l ea r md e r i v e df r o mk a n e se q u a t i o n s ，t h e m a t h e m a t i cm o d e lo fv i s i o n b a s e dc o n t r o ls y s t e mf o raf l e x i b l ea r mi se s t a b l i s h e d ， w h i c hc o m b i n e dt h er e a lc o n t r o l s y s t e m w i t ht h ee l e c t r i c m e c h a n i c c o u p l i n g c h a r a c t e r i s t i c u s i n gd e s i g nt o o l so fm a t l a b ，p i dc o n t r o l l e r , r o b u s tc o n t r o l l e ra n dl q o p t i m a l c o n t r o l l e ra r e d e s i g n e d a n ds i m u l a t e d a c c o r d i n gt ot h e r e q u i r e m e n to f e x p e r i m e n t s ，r e a lc o n t r o ls y s t e mf o rv i s i o n b a s e dc o n t r o l l e df l e x i b l ea r mi s s e tu p ， i n c l u d i n gp r o g r a m sd e v e l o p e d f o r i m a g ep r o c e s sa n dc o n t r o lr e s p e c t i v e l y v i s u a l s e r v oi si m p l e m e n t e do nt h ec o n t r o lo ff l e x i b l ea r m e x p e r i m e n t a l l y i m a g e si n c l u d i n g o b j e c t s a r e a c q u i r e dc o n t i n o u s l yb yc c dc a m e r a ，t h e n s m a l l r e g i o n o fi m a g e e s t i m a t e df o re x i s t i n go b j e c ti s p r o c e s s e da n da n a l y z e d i no r d e rt o c a c u l a t et h et i p p o s i t i o n e r r o ro ff l e x i b l ea r ma st h ei n p u to fc o n t r o l l e r p i dc o n t r o l l e ra n dr o b u s t c o n t r o l l e ra r ei m p l e m e n t e do nd i f f e r e n tf l e x i b l ea r m s t h er e s u l t so fs i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n ta r ec o m p a r e d ，a sw e l la sd i f f e r e n tc o n t r o la l g o r i t h m s c o n c l u s i o nc a nb ed r a w nf r o mt h e c o m p a r a t i v es t u d y o fs i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t i ns p i t e o ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e ns i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t ，s t u d y s h o w st h a tt h em a t h e m a t i cm o d e lo fv i s i o n b a s e dc o n t r o ls y s t e mf o raf l e x i b l ea r mi s c o r r e c ta n dc o n t r o la l g o r i t h m sa d o p t e di ne x p e r i m e n t si sa l s oe f f e c t i v e k e y w o r d s ：f l e x i b l ea r m ，v i s i o n b a s e d ，p i dc o n t r o l l e r , r o b u s tc o n t r o l l e r , i m a g e p r o c e s sa n d a n a l y s i s 五洼! 堂题淦g 。笙三塞鱼丝 1 1引言 第一章绪论 近年柬，随着机器人技术的发展，应用高速、高精度、高负载自重比的机 器人结构越来越受到工业和航空航天领域的关注。一方面，由于运动过程中关 节和连杆的柔性效应的增加，连杆结构发生变形而使任务执行的精度降低；另 一方面，机器人的构件也倾向于采用更轻更柔的材料，所以机器人机械臂结构 的柔性特征必须予以考虑，实现柔性机械臂的高精度有效控制成为实现具有柔 性结构机器人的工业应用的前提。这一方面的科研工作引起了包括机器人、自 动化、计算机等多个学科在内的一大批国内外科研工作者的密切关注，已发展 成为一个十分活跃的研究领域。 智能机器人的研究需朝着使机器人具有人的某些特性，使机器人具有适应 不同环境工作的能力，能够自主进行判断决策的方向发展。智能机器人对于环 境的识别判断，需要借助于机器人的视觉，这是与外界环境进行有效交互的必 要条件。视觉伺服的理论给这方面的应用提供了解决方法，借助机器人的视觉 传感器来驱动机器人，满足了不同的应用要求。 本论文的研究工作就是将视觉伺服应用到柔性机械臂的控制中，在建立的 柔性机械臂的数学模型基础上，运用不同的控制方法进行柔性机械臂控制的仿 真和实验研究。 1 2 柔性机械臂控制方法的研究 柔性机械臂的控制最早由b o o k 在1 9 7 4 年提出，但直到八十年代中期才得 到较大的发展。进入九十年代，柔性机械臂的控制几乎涉及了控制理论的所有 分支，出现了各种各样的控制方法，现将其中几种主要的控制方法加以介绍： 1 ) 刚性化处理 完全忽略结构的弹性变形对结构刚体运动的影响。例如为了避免过大的弹 性变形破坏柔性机械臂的稳定性和术端定位精度，n a s a 的遥控太空手运动的最 大角速度为0 5 d e g s 。 2 ) 前馈补偿法 五洼! ：坐亟i ：论奎 篓三童鳖垒 将机械臂柔性变形形成的机械振动看成是对刚性运动的确定性干扰，而采 用前馈补偿的办法来抵消这种干扰。德国的b e r n d g e b l e r 研究了具有弹性杆和弹 性关节的工业机器人的前馈控制。张铁民利用增加零点来消除系统的主导极点 和系统不稳定的方法，研究并设计了具有时间延时的前馈控制器，和p i d 控制 器比较起来，可以更加明显的消除系统的残余振动。 3 ) 被动阻尼控制 为降低柔性体相对弹性变形的影响，选用各种耗能或储能材料设计臂的结 构以控制振动。或者，在柔性梁上采用阻尼减振器、阻尼材料、复合型阻尼金 属板、阻尼合金或用粘弹性大阻尼材料形成附加阻尼结构的，均属于被动阻尼 控制。近年来，粘弹性大阻尼材料用于柔性机械臂的振动控制已引起高度重视。 4 ) p i d 控制 p i d 控制器作为最受欢迎和最广泛应用的控制器，由于其简单、有效、实用， 被普遍地用于刚性机械臂控制。常通过调整控制器增益构成自校正p i d 控制器 或与其它控制方法结合构成复合控制系统以改善p i d 控制器性能。o z e nf i g e n 捉f ；了一种控制柔性机械臂端点位置轨迹跟踪的新的控制策略。这个控制规则 就是利用非常容易获得的量，比如关节角度，角速度，每个杆的端点变形和端 点的速度。控制率在传统的p d 控制器和非线性控制器问遵循开关规则，和传统 的p d 控制比较，有很大的优点。t a l e b ih a ，k h o r a s a n ik 利用p d 控制器对柔 性臂的控制进行了研究。1 7 1 1 7 】 5 ) 力反馈控制 柔性机械臂振动的力反馈控制实际上是基于逆动力学分析的控制方法，即 根据逆动力学分析，通过臂末端的给定运动求得施加于驱动端的力矩，并通过 运动或力检测对驱动力矩进行反馈补偿。l u c i b e l l op 和x i a ，j a c kz h i j i e 等等都是 采t 【手j 计算力矩法，对柔性臂进行了轨迹跟踪控制o k i n om a s a r u 和g o d e n t a t s u h i l o 提出了一种多自由度柔性系统的位置控制方法，是一种新颖的控制策略，为了 抑制振动，采用力矩反馈，同时控制器还控制包括弹性变形引起的位移控制来 增加反应速度。u s 1 6 ) 1 1 适应控制 l i nl i h c h a n g 和y e hs y l i n 采用组合自适应控制，将系统划分成关节子系 统和柔性子系统，利用参数线性化的方法设计自适应控制规则来辨识柔性机械 五洼! ：兰硇论錾 蔓三塞堑堡 臂的不确定性参数。k i md h ，l e ek y o i 对具有非线性和参数不确定性的柔性 机械臂进行了跟踪控制器的设计。控制器的设计是依据l y a p u n o v 方法的鲁棒和 自适应控制设计的。通过状态转换将系统分成两个子系统，用自适应控制和鲁 棒控制分别对两个子系统进行控制。b a im ，z h o ud h 采用了自适应增大状态 反馈控制控制器的设计是依据稳态l q r 技术。所设计的控制器具有很强的鲁棒 特性。众所周知，多连杆柔性机械臂从关节处的驱动器到端点的动态特性是非 最4 , n 位系统。因此，许多自适应控制技术不能应用到柔性机械臂上。考虑到 可以在连杆上施加外部的激励，在柔性连杆的适当位置布置压电传感器和压电 致动器，可以使系统成为最小相位系统，这样就可以利用皂适应控制方法。刘 妹琴、陈际达研究了基于神经网络的机器人柔性臂自适应控制。 7 1 变结构控制 变结构控制系统是一种不连续的反馈控制系统，其中滑模控制是最普遍的 变结构控制。其特点：在切换面上，具有所谓的滑动方式，在滑动方式中系统 对参数变化和扰动保持不敏感。同时，它的轨迹位于切换面上，滑动现象并不 依赖于系统参数，具有稳定的性质。变结构控制器的设计，不需要机械臂精确 的动念模型，模型参数的边界就足以构造一个控制器。i n g o l e a r ， b a n d y o p a d h y a yb 对变结构滑模控制进行了深入的研究。他指出变结构滑模控制 足一种特殊的控制技术，在系统参数发生变化和外部扰动的情形下，它能使控 制系统具有很强的鲁棒性。由于具有鲁棒特性，变结构滑模控制设计容易，容 易解耦，所以在柔性机械臂的控制中应用很广。樊晓平、刘才山、李善姬、李 元春等学者也对变结构滑模控制进行了深入的研究。| 2 7 j 8 ) 鲁棒控制 1 9 8 1 年z a m e s 首次用明确的数学语言描述了基于经典设计理论的优化设计 问题，提出用传递函数阵的h m 范数来记述优化指针。1 9 8 4 年加拿大学者f r a n c i s 和z a m e s 用古典的函数插值理论，提出了这种设计h 。n f 问题的最初解法；而英 国学者g l o v e r 则将h 耐没计问题归纳为函数逼近问题，并用h a n k e l 操作数理论 给出了这个问题的解析解：g l o v e r 的解法又被d o y l e 在状态空间上进行了整理并 系统地归纳为h i n f 控制问题。至此，h i n f 控制理论体系已经初步形成。s o n g g ， c a il 将柔性机械臂系统分成两个子系统：刚性子系统和柔性子系统，把柔性子 系统的输出假定为刚性子系统的输入，设计了鲁棒控制器。b o s s e r td a v i d 和l v u y l o i 研究了降阶的综合鲁棒位置力控制器，并且和没有降阶的位置力控制器 做了比较。y a z d a n p m l a h m j 和k h o r a s a n ik 设计了一个非线性h i n f 控制器对柔性 垂婆奎堂堡圭婆塞 ： = = = = = 墼三垒= = 垡= = 望 机械臂进行控制。1 2 】 9 】1 1 5 11 18 l 9 1 模糊与神经网络控制 这是一种语言控制器，可反映人在进行控制活动时的思维特点。其主要特 点之一是控制系统设计并不需要通常意义上的被控对象的数学模型，而是需要 操作者或专家的经验知识、操作数据等。t a l e b ih a 和k h o r a s a n ik 利用神经网 络控制技术对柔性机械臂进行控制。提出了四种不同的神经网络控制方案，前 两种是基于改进型的反馈误差学习方法来学习系统的动力学特性。这两种方案 都只需要系统的线性模型来定义系统的新的输出，并且只是利用传统的p d 控制 器。而且这两种方案都是和第三和第四方案相联系的，第三方案是在控制弹性 变形时基于轴的位置来进行设计的；而第四方案则包含两种神经网络，第一个 主要负责近似系统的输以保证系统是最小相位系统，第二个神经网络重要是完 成逆动力学控制。l e ej x 和v u k o v i c hg 利用模糊控制方法对没有进行数学建模 的柔性机械臂进行控制，提出了模糊逻辑控制器的设计方法。樊晓平等讨论了 受限柔性机器人自适应模糊逻辑控制器设计问题，提出了对控制器参数进行调 整的遗传学习算法。1 5 1 1 1 7 1 1 0 ) 复合控制 以上描述了用于各种情形的柔性机械臂的控制技术，各有所长。在实际的 柔性机械臂的控制中，经常利用前述的各种控制方法组成的复合控制，这种复 合控制经常会收到更加明显的控制效果。n i l s s o nb e m t 和n y g a r d sj o n a s l 研究了 在端部带有摄像头的柔性机械臂控制问题，这是一种视觉伺服控制系统，主要 是对机械爪进行定位控制。有内环和外环，内环主要是对偏差和外部扰动进行 快速衰减控制，而外环主要是对连杆的位置进行刚性运动控制保持运动的稳定 性。s h a r f i 为解决柔性机械臂的振动抑制的问题，在长的柔性机械臂( l r m ) 的末 端加上一个短的刚性机械臂( s r m ) ，利用对柔性臂反作用力的控制来实现振动抑 制，将反作用力作为一个控制变量，这是一种主动衰减。l i nz ，c 和p a t e lr v 综 合笛卡儿关节控制，提出了一种主要是针对具有冗余自由度的柔性机械臂的控 制策略，由笛卡儿轨迹跟踪控制器、连杆跟踪控制器和电机跟踪控制器组成。 需要补充说明的是，现存的控制策略基本上都是针对关节控制和不具有冗余度 的柔性机械臂而言的。【6 j 1 1 4 1 墨鋈奎童堡圭堡垒= = ：= = = = = 叁至兰坠= = 鸶= 垒 1 3 视觉伺服 s a n d e r s o n 和w e i s s 于1 9 8 0 年提出视觉伺服系统的分类，所有的视觉伺服系 统都可以按以下两个问题分类。1 ) 视觉系统是给机器人的关节控制器提供定点 输入，还是视觉控制器直接计算关节一级的输入。2 ) 误差信号是定义在工作空 间坐标系，还是定义为从图像提取出来某种形式的特征。 根据对以上两个问题的不同回答，视觉伺服系统可分为四大类。如果控制 系统结构使用视觉系统提供定点输入给关节控制器，使得关节反馈回路内部稳 定机械臂，称之为d y n a m i c l o o k - a n d - m o v e s y s t e m 反之，d i r e c t v i s u a ls e r v os y s t e m 完全消除了关节控制器，替代以直接计算关节输入的视觉伺服控制器，只用视 觉伺服控制器构成的反馈回路稳定机械臂。出于以下的一些原因，几乎所有实 现的系统都采用了d y n a m i c l o o k - a n d - m o v es y s t e m 。首先，视觉系统相对较低的采 样频率使得直接控制具有复杂非线性动力学特性的机械臂末端执行件变成了一 个极其困难的控制问题，而关节控制器构成的内部反馈回路具有相对较高的采 样频率和较为理想的动力学特性。其次，许多机器人都有接受速度指令和步进 位移指令的接口，大多数机器人的关节驱动器是交流伺服电机和步进电机，这 样就简化了视觉伺服系统的建立，也使得这种方法更为适用。再次，d y n a m i c l o o k a n d - m o v es y s t e m 将机构动力学奇异点与视觉控制器分开，允许将机器人视 为理想的笛卡儿坐标系下的运动装置，系统设计就更加简化了。 以上是对于第一个问题的回答，第二个问题的回答将视觉伺服系统分为了 p o s i t i o n b a s e dc o n t r o l 和i m a g e b a s e dc o n t r o l 。前者从图像中提取出目标的特 征，结合目标的几何模型和已知的摄像头的模型，估算出目标相对于摄像头的 位姿，反馈信号是估算出的目标相对于摄像头逐渐减少的位姿误差。后者中控 制器的输出直接在提取的图像特征的基础上进行计算，这种方法减少了计算延 迟，无需再由图像特征计算位姿误差，也消除了由于传感器模型和摄像头标定 引起的误差。但是此时控制对象模型的非线性和耦合加剧，加大了设计控制器 的难度。 还需要考虑的一个问题是，摄像头在机械臂工作空问安装的位置。视觉伺 服的一个典型应用是使机械臂末端执行件相对于目标按要求的位姿定位，通常 将摄像头安装在末端执行件上，末端执行件相对于目标的位姿只能问接地由目 标和术端执行件的已知运动关系确定，相对位姿误差不能由直接观测，将这种 只能观测目标物体的视觉伺服系统称作e n d p o i n to p e n l o o p ( e o l ) 。如果摄像头 能够同时观测到末端执行件和目标物体，末端执行件相对于目标的位姿可以直 云洼厶堂亟论盔= = = = = = = = = = = = = = = = = = 望三室兰= 些 接得到，则称作e n d p o i n tc l o s e ，l o o p ( e c l ) 。从理论的角度看，e c l 系统优于e o l 系统，但是由于e c l 系统必须同时跟踪目标物体和末端执行件，摄像头视场范 围的约束和跟踪问题的解决方法都是e c l 系统实现的障碍。 对以上这些问题的综合考虑，将决定如何建立一个实验中可用的视觉伺服 系统，在第四章将对实验中建立的视觉伺服系统作详细描述。1 5 1 8 1 j 3 】 1 4 本论文的主要研究内容 第一章绪论，对柔性机械臂控制方法和视觉伺服系统的基本问题作简要的 评述，计划本论文的工作。 第二章建立了柔性机械臂数学模型和被控对象数学模型，利用k a n e 方程建 立柔性机械臂的数学模型，推导末端带有质量的柔性机械臂的数学模型，在此 基础上建立包含交流伺服电机驱动部分的整个被控系统的模型。 第三章用m a t l a b t m 对基于视觉的柔性机械臂位置控制系统进行仿真研究， 分析了系统的稳定性，设计了多种控制器并进行了比较。 第四章根据实验的要求，构建了基于视觉的柔性机械臂位置控制系统，分 别开发了图象处理程序和控制程序。 第五章在基于视觉的柔性机械臂位置控制系统上，做了大量实验研究，并 与仿真做了比较研究，验证了控制系统数学模型的有效性。 第六章是论文的总结。 丢洼堂鳜：i 金童墼；童耋丝! ；堡壁墼兰堡型垫鲨堡垂堑墼堂垫型 第二章柔性机械臂数学模型和被控系统数学模型 为了仿真柔性机械臂的动力学特性和设计适合的控制器，必须首先建立柔 性机械臂的数学模型。这一章首先利用k a n e 方法建立了柔性机械臂的非线性模 型，其次考虑到在实验中c c d 摄像头要固定在臂的未端，又建立了末端带有质 量的柔性机械臂模型，然后对非线性模型进行了线性化处理。应用m a t l a b 中的 系统辨识工具对交流伺服电机的速度环进行了参数辨识，最后综合考虑电机的 速度环模型和柔性机械臂线性化模型的耦合，建立了整个被控对象的数学模型。 2 1 柔性机械臂的数学模型 柔性机械臂动力学模型的建模方法主要基于两类基本方法向量力学法 和分析力学法。应用较广泛同时也是比较成熟的是n e w t o n e u l e r 公式、l a g r a n g e 方程、变分原理、虚位移原理和k a n e 方程。而柔性体变形的描述，是柔性机械 臂建模的基础，选择一定的方式描述柔性体的变形与系统动力学方程的求解关 系密切，常用的描述方法是有限元法、有限段法、模态综合法和集中质量法。 以下基于e u l e r b e m e u l i 梁的假设和利用k a n e 方程建立了柔性机械臂的数学模 犁。 2 1 1 利用k a n e 方程建立的非线性模型 如图2 1 所示为单自由度的具有均匀质量分布的柔性机械臂，长度为三，截 面积为a ，密度为p ，弯曲刚度为吖。臂的一端固定在电机轴上，另一端自由。 考虑到控制对机械臂数学模型的要求，可把柔性机械臂的运动分解为随动系的 牵连运动，即大范围的刚体运动，和对动系的相对运动，即弹性变形两部分运 动的叠加。采用这种运动描述方式有利于动力学方程的离散化和线性化，适用 于柔性机械臂的实时控制。根据这种运动描述方式，可建立一个与大地固联的 惯性坐标系o x y z ，其z 轴和机械臂的转动中心重合，和一个随柔性机械臂作 大范围刚体运动的动坐标系d x 。y 。z ，其z 轴和z 轴重合，x 轴始终与发生 变形的柔性机械臂在支承点处相切。柔性机械臂在肖轴和y 轴所确定的运动平 面内旋转，驱动力矩作用于卡头上。 在建立柔性机械臂的动力学方程前，为简化讨论的问题，作以下一些假设： 梁性臂是均匀的矩形截面梁；在变形过程中柔性臂的截面仍保持为平面；仅讨 论在水平面内回转的柔性机械臂，转速远低于其一阶固有频率：柔性臂的弹性 垂婆奎堂墅圭垒壅 塑三童：茎堡篁迪壁型墼型塞型垫堇墼墨垒爸燮 变形满足小变形条件。 ， x x 图21 单自由度的柔性机械臂 有了以上的假设，就可以开始建立柔性机械臂的动力学模型了。设p 是臂 上的任意一点，当臂发生如图2 1 所示的变形后，点p 运动到了点p + 的位置。 设p 在动坐标系o x 。y + z 下的坐标为( z + ，y ) ，则点p 在o 一y z 下的变形 可表示为： t、 r ，= fx 一，吼g ，b ，i + w g ，f 弘： ( 2 1 ) 其中 w ( x ，) = o ，g b ，o ) ( 2 2 ) 即一艨z a - 等d j ( 2 3 ) q 。( = 1 , 2 ) 是描述柔性机械臂各阶振动的模态坐标，o ，g ) 是一系列的正交 模态函数，爿。是与广义坐标的二阶项有关的模态形函数。 根据k a n e 方程，施加于柔性机械臂上的广义主动力和广义惯性力之和应等 于零，则有 f + 巧= 0 ( 2 4 ) f 和f + 分别表示广义惯性力和广义主动力。，代表由k a n e 方程定义的广义 速度的每个分量。柔性机械臂的广义速度定义如下 厂 y = i 目，g l ，9 2 i ( 2 5 ) 区洼! 堂蛔! i 女垫；童茎丝! l 垫璧墼堂堡型垫垫墼奎堑墼耋堡坠 如果只考虑柔性机械臂的一阶振动，并且忽略关节阻尼和广义坐标的二阶 及以上的项，柔性机械臂由有限元素的集合e 组成，k a n e 方程可以写为 作用在柔性机械臂上的广义主动力包括重力，弹性力和驱动力。既然重力 的影响可以忽略不计，广义主动力可以表示为 其中是驱动力，是弹性回复力，k 。是刚度矩阵的元素 ( 2 7 ) 巧= 一r 肼等等出= o , i = 叫j 亿s ， 广义惯性力为 乏三搿急搿+ x b 2 ) hqb b b 。， i 呓= 一肌5 d 9 ( ，+ ：) 。 其中m 是柔性机械臂上元素e 的质量，日是点p 在惯性坐标系下的加速 度。根据式( 2 7 ) 和式( 2 9 ) 可以推导出只考虑一阶振动的柔性机械臂动力学模型的 ( 以十 p 爿f ) 移+ ( p 彳r x 中出) 口= r ( r ) 叫百_ ：晰一州扣如咖z ：。q 1 其中以是电机和折算到电机轴上的卡头的转动惯量之和，巾。是一阶模态函 数，是柔性机械臂的一阶振动频率，都可以通过基于e u l e r - b e m e u l i 梁的振动 理论计算出来，式( 2 1 f ) 至式( 2 1 3 ) 是计算公式。 =。，c。sh丑rc。s旯x一兰co堑s：ii糕cos(sinh五，xsin丑，x)(211) i以l + ll 其中d 是正则化因子。一阶振动频率 9 回q o o = 一一 磁 r 上r 上 + ，、【 g 嘲 = i i ，、l 蒌婆查堂堡圭堡垒 笙三童茎丝! i 墼壁墼堂堡型望垫鳖墨堑墼堂堡坠 剥厝 亿 丑，可由频率方程 c o s ) ，l c o s h 2 ，上= 一1 ( f = 1 , 2 ) ( 2 1 3 ) 解得a l = 1 8 7 5 1 。 由于微分方程式( 2 1 0 ) 包含非线性项，所以不能用状态空间的形式表示。不 过可以借助于状态空间的矩阵形式对式( 2 10 ) 重新描述为式( 2 1 4 ) ，选取状态变量 x 。，x ：，_ ，x 。) _ = p ，扫，g ，口。y ，同时令a = 以+ 脚r ，b 。= 倒f x 巾，d x ；f p a x h d x 膏= a i ( x ) x + 口7( 2 1 4 ) 【y = c x a n l ( x ) 是状态变量 9 ，毋，q ，矾) 7 的函数，曰和c 是定常矩阵 a i g ) = 掣0 , - 屯d 一 一唑学o , - _ 一堡瞳垒：；二哒】， 日一 c = 旺0 中。0 】 o ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 一2 一9，彳五。一川。沪 垂婆奎堂堡圭垒塞 笙三童：= 茎丝些些塑至堑堇堡墼坠垫垄垒塑垦堑垄笪些 2 1 2 末端带有质量的柔性机械臂模型 末端带有质量的柔性机械臂的动力学模型与前一小节推导的模型有所不 同。考虑机械臂的末端固定有质量为m ，的摄像头，改变了式( 2 1 0 ) 的一些系数， 得到如下的微分方程 i ，鼠+ c j f i 。a 舀l j 十 ：甜? + 。：- 。一。矽： 耋 = 7 ： c z s ， 其中各个系数分别为盯= 以+ f + m ，f ，b 一= 脚f x $ ，出+ m ，三巾， 口、：f 崩“出，c = m ，m ；，选取状态变量缸i , x 2 , x 3 , x 4 7 = p ，矽，q ，口。 7 ，同 样可以借助于状态空间的矩阵形式对式( 2 1 8 ) 重新描述为式( 2 1 9 ) j x = 爿。，b 肛+ b r( 2 1 9 ) 【y = c x 爿。，g ) 是状态变量p ，分，q ，口。f 的函数，b 和c 是定常矩阵 a ( x ) - - b = x ， 必a ( 岳1 掣b 托+ c ) 一? “3 一静a0 墨 一竺区虹，：! 二! 超】。 + c ) 一6 7 “3 f 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) c = 旺0o ，0 】 ( 22 2 ) 机械臂的末端带有质量导致e u l e r b e m e u l i 梁的边界条件发生变化，所以式 ( 2 13 ) 描述的频率方程变为 l 望州书南 旯，l 面m p = 丽面1 面+ c o s 再h a , l 面c o s 瓦a , l 云而( i = l 厶) ( 2 2 3 ) “倒三c o s h 五。三s i n 五，上一s i n h 五，c o s ，上 、7 、 解得旯。l = 1 3 6 8 8 。 2 i3 用于控制器设计的柔性机械臂线性化模型 出于控制器的设计需要，柔性机械臂的非线性模型必须线性化。从式( 2 1 8 ) 可以看出，微分方程中的非线性项是? + 仁。一l c 矽2 b ，如果电机轴转动的 角速度远小于一阶振动频率，即扫 - 32101 r e a la x i s 图3 2 k p = 1 2 时的系统根轨迹 利用m a t l a b t m 的r l t o o l s 可以直接在根轨迹图上移动闭环极点的位置，得 到时域响应和频域响应来分析系统的稳定性。假使k ，再增大一点，髟。= 1 3 ， 显然闭环系统就不稳定了，如图3 3 所示的阶跃响应，振荡曲线发散。从根轨迹 分析得到非并置式控制系统的稳定域是k ，【o ，1 2 ) 。 14 12 1 一 i08 萎 罡06 垩 卜_ 0 4 0 2 0 ； a 肛 - 八删礤艇 蹦 r 一、，旷一 024681 0 t i m e ( s ) 图3 3 k 。= 1 3 时不稳定的闭环系统阶跃响应 1 8 垂鎏奎堂堡圭垒塞 篓三童茎丝垫堡壁堡箕堡掣笪笪塞些窒 如果闭环系统的反馈信号是 口，扫 ，实际的传感器就是置于交流伺服电机 轴另一端的光电编码器，即驱动与反馈都在电机轴上，这样配置的柔性机械臂 控制系统叫做并置式( c o l l o c a t e d ) 控制系统，系统输出是0 。并置式控制系统完 全不考虑柔性机械臂的各阶振动模态，柔性机械臂运动被视为刚体运动，状态 变量只选取反映刚体运动的分量 目，毋 。，略掉了反映弹性变形的分量f q ，或 。， 所以并置式系统只控制带有柔性机械臂负载的电机轴的位置，没有控制柔性机 械臂的末端位置和抑制柔性机械臂的振动。在图2 5 中，此时的被控对象不包括 积分环节以后的部分，是一个六阶系统，在消去一对位于负实轴上的零极点 一o 3 3 4 后，用零极点增益形式表示的并置式系统被控对象的模型为 嘶) = 石器篙面 b ，) 同样运用根轨迹分析工具r l t o o l 求得并置式系统的稳定域为k 。f 0 ，2 5 1 ， 当k 。= 2 5 时，闭环系统的极点为f + 7 7 8 5 i ，一1 2 0 7 7 7 6 4 i ，一1 7 9 6 1 ，系统处于临 界稳定状态。 比较非并置式和并置式控制系统，可以看出，并置式系统的稳定域要比非 并置式系统宽。关于稳定性的分析，也可以从频域分析得出相同的结论，非并 置式控制系统的幅值裕量g 。，= 1 5 8 d b ，相位裕量匕= 8 4 8 。，相应的频率为 。= 7 7 5 r a d s ，吐0 = 2 3 2 r a d s ；并置式控制系统的幅值裕量瓯= 2 7 9 3 d b ， 相位裕量圪= 7 9 4 。，相应的频率为0 9 。= 7 7 8 r a d s ，= 4 1 7 r a d s 。两者的 相位裕量相差不多，幅值裕量则差异很大，后者比前者大2 6 3 5 d b 。 3 2 控制器设计与仿真 对于一般的反馈控制系统而言，在进行控制器的设计之前，首先应提出控 制系统的设计要求，设计出来的控制器应使得闭环系统具有稳定性和良好的动 态特性。系统的稳定性可由根轨迹图，n y q u i s t 图和代数判据来确定，前一节主 要用根轨迹对非并置式控制系统和并置式控制系统的稳定性作了分析，而系统 的动态特性在时域内一般用阶跃响应下的上升时阈，调节时间和超调量来描述。 我们的要求是柔性机械臂能够准确定位，同时要有效抑制柔性机械臂运动 垂婆套堂堡圭婆塞 篓三童垂丝垫垫壁篁重量型笪望塞墼塞 过程中的振动。因此，在设计柔性机械臂的控制器之前，不妨提出以下的控制 器设计要求：闭环系统稳定且无稳态误差，上升时间，= i - 3 s ，调整时间l ，= 2 - 6 s ， 超调量万f 1 不超过1 0 - 2 0 。 3 2 1p i d 控制器 由于p i d 控制器应用广泛，能够比较容易地调节参数，所以首先选择设计 p i d 控制器，整个系统模型如图3 4 所示。 柔性机械臂的目标位置和控制器的输出分别用单位m 和v o l t 表示，p i d 控 制器的形式为： “，= k p e + k 1i e d t + k d a ( 3 2 ) k ，k ，k 。分别是位置环的比例增益、积分增益和微分增益， e 是误差， 表示为e = y 。一y 。，其中y 。是期望的柔性机械臂的末端位置，y 。是测量的末端 位置。 p i d 参数对闭环系统特性有着不同的影响，理解各个参数的特性有助于手工 调整p i d 参数的过程。一般而言，比例增益k 。增大，上升时间f ，减小，稳态误 差减小但不会完全消除；积分增益k ，的加入，可以消除稳态误差，但k ，过大， 有可能使系统的动态特性变坏；微分增益世。可以改善系统的动态特性，减小超 调量占，并提高系统的稳定性。表3 1 说明了p i d 参数对闭环系统的影响。 闭环系统上升时间，超调量6调整时间，。稳态误差 k p 减小增加影响很小减小 k i 减小增加增大消除 k d 影响很小减小减小影响很小 表3 1p l d 参数对闭环系统的影响 根据稳定性分析的结果，先在稳定域内选择比例增益值k 。，s i m u l i n k 仿真 结果表明不存在稳态误差，这是由于被控系统的模型中已经有一个积分环节， 可以消除系统的稳态误差。一般而言，p i d 控制器的积分增益用来消除系统的稳 念误差的，除此之外，它的作用和比例增益相同，提高系统的快速性，但过强 的积分作用也会导致系统的不稳定。如果加入积分增益，仿真的结果表明，闭 上1 ：系统的超调量和调整时间都有明显的增加。所以不考虑p i d 控制器的积分增 益，设k ，= 0 。微分增益世。的加入，实际上是在负实轴上引入了一个零点，对 于闭环系统的动态特性有明显的影响。但仿真的结果表明，对于并置式系统， 幽3 4p i d 控制的闭环系统 2 nn口nm3ma 丁3口03口eiu 垂鎏垄堂堡圭堡垒 篓三童茎丝垫垫壁堡重墼型墼鱼墅堕 微分增益的加入可以显著改善闭环系统的瞬态响应：而对于非并置式系统，微 分增益对闭环系统瞬态响应的影响不大。 对于非并置式系统，从根轨迹分析可知，比例增益k ，介于o 4 - 06 之间， 闭环系统离虚轴最近的一对共轭极点和负实轴上的极点分布如图3 5 ( a ) ( c ) 所 示，这时有较好的瞬态响应。分别选择k ，= 0 4 ，o 5 ，0 6 ，闭环系统的阶跃响应 如图3 5 0 ) 所示，上升时间，介于1 2 2 5 s 之间，调整时间f 。在4 3 5 s 左右，超调 量占小于3 ，没有稳态误差。随着k ，的增加，系统的上升时间f ，减少，但调 整时间f 。变化不大，这是由于f 。的大小主要取决于离虚轴最近的极点距离虚轴的 远近，越远则调整时间越小。比较图3 5 ( a ) ( c ) 可以对此作一定性说明，坼从 0 4 到0 6 ，共轭极点逐渐靠近虚轴，而负实轴上的极点逐渐远离虚轴，两者对 于调整时间都有影响，在k ，= 0 4 0 6 这个范围内，f 。的变化l l i l d , 就是两者的影 n l - j 十h 互抵消的结果；但是k ，超出这一范围后，离虚轴最近的共轭极点对f 。的影 响显然要大于负实轴极点的影响，当k ， 0 6 时，f 。明显增加，如k ，= 0 7 时， t 。= 6 2 8 s ；k p = o 8 时，r j = 8 3 2 s 。 接着讨论一下微分增益k 。对非并置式系统瞬态响应的影响。假设已经选择 好比例增益“，改变微分增益k 。，通过仿真发现，微分增益的引入是可以抑 制瞬态响应过程中的振动，但增加了上升时间，反而使得调整时i n 增加，对 闭环系统的动态性能无明显改善，所以p i d 控制器的参数就选取k 。= 0 4 0 6 ， k ，= 0 ，k ，= 0 。对于提出的设计要求，这样的p i d 控制器是可以接受的，仿 真的结果为我们在实验中选择p i d 参数提供了依据。 1 d 5 0 5 1 0 一= 一 、 一 t i l