（一般力学与力学基础专业论文）时滞对参数激励系统周期解的影响.pdf

申请同济大学硕士学位论文 摘要 参数激励的非线性动力系统，由于其广泛的工程背景以及系统蕴含丰富和复 杂动力学行为的特点，已成为国内外学者关注的课题之一。近年来随着时滞动力 系统研究的不断深入，时滞参数激励系统的研究已经逐渐成为学术界关注的前沿 课题。本文以结构物承受周期激励地震波和结构物的弹性地基具有时滞为背景， 研究时滞对于结构物振动响应的影响规律。 本文的主要内容有： ( 1 )对国内外在参数激励系统以及时滞动力系统近期的研究成果进行总 结，并综述了时滞参数激励系统的研究现状。 ( 2 ) 运用d a l e m b e r t 原理建立了系统的非线性时滞动力学控制方程，并对 其进行无量纲化。 ( 3 ) 采用中心流形理论和平均法研究系统的主参数共振周期解及其稳定性 情况，研究结果表明时滞使结构物遭破坏的危险性增大。 ( 4 ) 利用数值模拟具有负线性刚度的参数激励系统所包含的混沌，在此基 础上观察时滞对于系统混沌的影响规律。 ( 5 ) 概括总结了本文的主要工作，指出本研究过程没有解决的问题，并提 出了与本课题相关的今后的研究内容。 关键词：参数激励，非线性动力系统，时滞动力系统，主参数共振，混沌。 申请同济大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed y n a m i c a ls y s t e m sw i t hp a r a m e t r i ce x c i t a t i o n sa r eat y p i c a ln o n l i n e a rs y s t e m b e c a u s eo ft h ee x t e n s i v ee n g i n e e r i n gb a c k g r o u n da n dt h ec o m p l i c a t em o t i o n ，i th a s g r a d u a l l yb e c o m eo n eo fr e s e a r c ho b j e c t si nt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h en o n l i n e a r s y s t e mi nr e c e n ty e a r s w i t ht h er e c e ma d v a n c e si nt h es t u d yo fn o n l i n e a rd y n a m i c s y s t e mi n v o n i n gt i m ed e l a y s ，t h ed e l a y e dp a r a m e t r i ce x c i t a t i o nd y n a m i c a ls y s t e m b e c o m eo n eo ft h em o s tc h a l l e n g e dp r o b l e m s b a s e do ns t r u c t u r es u b j e c t e dt op e r i o d i c e a r t h q u a k ee x c i t a t i o na n de l a s t i cs u p p o r tw i t ht i m ed e l a y , e f f e c t so ft i m ed e l a yo n v i b r a t i o nr e s p o n s eo ft h es t r u c t u r ea r ei n v e s t i g a t e di nt h ep r e s e n tp a p e r t h em a i nw o r ki ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) r e c e n tr e s e a r c ho nt h ep a r a m e t r i ce x c i t a t i o ns y s t e ma n dd e l a y e dd y n a m i c a l s y s t e m b o t hi nd o m e s t i ca n da b r o a d ，a l ec o n c l u d e d a n dt h er e s e a r c h s i t u a t i o no f n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sw i t hp a r a m e t r i c e x c i t a t i o na n dt i m e d e l a ya r e s u m m a r i z e d ( 2 ) t h en o n l i n e a rd y n a m i c a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a ya l ec o n s t r u c t e db yt h e d a l e m b e r tp r i n c i p l ea n dt h en o n - d i m e n s i o np r o c e s si sa l s oa p p l i e d ( 3 ) t h ep r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c es o l u t i o na n di t ss t a b i l i t yi s o b t a i n e di n t e r m so ft h ec e n t e rm a n i f o l dm e t h o da n da v e r a g i n gt e c h n i q u e t h er e s u l t ss h o wt h a t t h et i m ed e l a ym a ye n l a r g et h ea m p l i t u d eo ft h er e s p o n s e ，w h i c hi m p l i e st h es t r u c t u r e i se a s i e rt ob ed a m a g e dw i t ht h ed e l a yi n c r e a s i n g ( 4 ) n u m e r i c a lm e t h o di su s e dt oo b s e r v et h ec h a o sp h e n o m e n ai nt h en o n l i n e a r d e l a y e ds y s t e mw i t hn e g a t i v es t i f f n e s s a n dp a r a m e t r i ce x c i t a t i o n ，a n dt h e nt h e i n f l u e n c eo ft i m ed e l a yi sa l s os t u d i e di nt h i ss y s t e m ( 5 ) c o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e ri sg i v e n s o m ep r o b l e m sa r er e m a i n e dt ot h e r e a d e r i no t h e r 、v o r d s ，s o m ed i r e c t i o n sw h i c ha r er e l a t e dt ot h i sp a p e ri ss h o w n k e y w o r d ：p a r a m e t r i ce x c i t a t i o n ；n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ；d y n a m i c a ls y s t e mw i t ht i m e d e l a y ；p r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c e ；c h a o s 1 i 声明 本人郑重声明：本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，撰写 成硕士学位论文“时滞对参数激励系统周期解的影响”。除论文中已经注明引用的 内容外，对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公开发表 的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 签名获妒簪 加冲年岁月加曰 申请同济大学硕士学位论文 第二章绪论 本章首先对工程中存在的参数激励系统作了一个较为全面的概括，并对参 数激励系统的历史及其发展状况作了一个简单的回顾，指出了参数激励系统的 工程意义及其工程背景，进而说明本文研究的实际意义。其次，综述了时滞动 力系统研究的最新进展，尤其是对于时滞参数激励系统的研究方法、研究的内 容及其研究状况作了一个简单的综述。最后，说明了本文的结构及各章节内容 的安排，并由此给出文章研究的中心思路及具体研究方法。 1 1 参数激励系统的工程背景及其研究状况 在工程实际问题中，有许多问题的数学模型和运动方程可以用含有参数激 励的非线性动力系统来描述，例如带有裂纹的大型转子的振动问题，船舶在横 浪或纵向波作用下的横摇运动、操纵稳定性和倾覆机理问题，柔性梁在轴向荷 载作用下的振动问题，矩形、正方形和圆形薄板在面内荷载作用下或者面内载 荷与横向载荷联合作用下的非线性动力学问题的振动问题，内燃机中曲轴系统 的扭振振动、气门机构的振动和离心摆式减震器的振动问题，管中流体诱发的 振动问题，一维晶化束的非线性动力学问题，绳系卫星的振动与控制问题，滚 子链传动中的非线性动力学问题，机械柔性结构系统的屈曲问题，参数激励下 摆的振动问题，弹性绳索的振动问题等等。实际上，工程中的许许多多的问题 都是可以用参数激励系统来表示的【i d z l 。 参数激励系统是由外界的激励产生的，但是激励并不是以外激的形式作用 在系统上的，而是通过系统内参数的周期性改变间接地实现，所以，参数激励 系统作为一种不同于外激系统的特殊系统，其运动方程是由一个时变的微分方 程所描述，这与一般的外激系统有着本质的区别【1 , 2 】。由于参数的时变性，参数 振动系统为非自治系统。系统在参数激励下产生的响应有时可能很微弱，但也 可能出现剧烈的共振现象，这取决于参数激励系统的稳定性。对于参数激励系 统，当外激励的频率为系统固有频率的两倍时会激起振幅很大的响应，且其稳 定性差；而一般的受迫系统除外激励频率和系统的任意阶固有频率相重合外， 小的激励力不会激起大的响应。因此，对于参数激励系统，研究的重点是系统 发生主参数共振时的振动情况。 18 31 年f a r a d y 最早发现参数振动现象，他观测到充液容器作铅锤振动时， 液体的自由表面波动周期为容器振动周期的2 倍。1 8 5 9 年m e l d e 将弦张紧于固 定端和音叉之间，当音叉振动频率接近于弦横向振动频率的2 倍时，可观察到 弦的剧烈振动。1 8 6 8 年m a t h i e u 在研究椭圆薄板振动的时候，得到了一个非常 著名的参数振动方程m a t h i e u 方程，到目前为止，非线性马修方程仍然是研 究的一个热点问题。在1 8 8 6 年，h i l l 在研究月球近地点运动的时候，得到了一 个比m a t h i e u 方程更为普遍的时变参数激励方程，这就是有名的h i l l 方程。此 后，对于参数激励系统，有很多著名的学者都对其作过研究，包括s t r u r ，r a m a n ， i q y l o v & b o g o l i u b o v ，t i m o s h e n k o ，b r i l l o u i n ，n a y f e h 等力学大家，产生了大量 的研究成果【1 2 ，3 1 。 自f a r a d a y 第一次观察到参数共振现象以来，已经有1 7 0 多年的历史了。在 申请同济大学硕士学位论文 过去的这1 7 0 多年的时间中，人们往力学、物理和工程等许多领域发现了大量 含有参数激励的振动问题，并儿作了广泛的研究。n a y f e h 和m o o k t 3 j 存号著晕而 对含有参数激励的振动问题的发展历史作了很好的综述，i b r a h i m 和b a r r 4 分五 个专题综述了参数的振动问题，张伟和陈予恕1 5 j 总结了近二十年研究的进展和 取得的成果，综述了含有参数激励的非线性动力系统的响应、分价和混沌问题 的研究现状和方法。 最近，华中科技大学教授f - - 1 锡武1 0 1 等研究了一类不对称转于系统的参数强 迫振动，首先利用h a m i l t o n 原瑚导系统的运动微分方程，得剑j ，一个刚度系 数周期性变化的参数激励和强迫激励振动方程，然后用多尺度法f ： f 究了1 1 2 业 谐共振主共振，得到系统的平均方程，分叉响应方程及定常解，讨论了刚度不 对称性，质量偏心以及外阻尼对频惭响应的影响。研究结果表j ，刚度不对称， 质量偏心都能够增大系统不稳定区，而外阻尼使共振振幅减小。赵跃宁等【7 】研 究了非惯性参考系中弹性薄板的大范围运动与大变形运动相可：祧合时的非共振 分岔，基于h a l m i l t o n 变分原理及v o n k a r m a n 理论建立了动力系统的运动控制 方程，利用多尺度得到了参数激励与强迫激励联合作用下非惯傩参考系中弹性 薄板非共振时的分叉响应方程及其在运动和几何尺寸两个分叉参数影响下的空 间分岔集，讨论了该动力系统的稳定性，并给出了非共振分岔响j 邂曲线，研究 结果表明，系统具有丰富的动力学形态，分岔模式包括了静态分衍、h o p f 分翁 及高阶平衡点分俞。随后，蒋| i i 呵忠等p 啊f 究了此系统的1 2 亚谐j 匕振分盆，同样 地利用多尺度方法得到分岔响应方程及其分岔集给出了五种分龠响膨曲线。 张伟和雹；攀忠【9 j 明多尺度法研究了参数激励与强迫激励联合作用卜非线性振动 系统在1 2 _ 亚谐丰参数共振时的分俞问题，从平均方程得到了分俞响应方程， 得到了八种不同的分岔响应曲线，发现系统有丰富的分岔模式，包括余维一分 岔和余爿i - - - 分岔，静态分岔和动态分衍。张伟和霍拳忠【lo j 利用规范7 髟和普适开 折罔! 论研究了上述参数激励与强迫激励联合作用的非线性振子的尖点型奇点的 分叉，通过对余维二退化非零奇点作线性变换，把对非零解的耕9 小) l 变换成刘零 解的研究，从而卜均方程中将现一啦t 办项，使得规范形和普适丌折1 ； | ；4 、= 具仃z 2 对称性，研究解决了非零解士丫r 两个零特征值时解的稳定性问题，彭解华i l i j 川 k b m 法研究参量激励的v a nd e rp o l d u 筒n g 非线性振动系统和：除哑辨共振外 的一切共振和非共振情况下的分岔扛i j 题，利用k b m 法导出r 振r 的分俞响应 方程，并研究了系统周期解的稳定住。唐友刚等人【1 2 】考虑船舶参数激励和横f 勺 强迫激励，建立丫一个参一镁l 朕合激励的横摇运动方程，崩多八度法求出方程 。的_ 二阶近似解，氧i 合实例计钟：甜到j 运动响应的历程、相i 镧及小参数激励的 幅一频响应曲线并由此确定j 运= c ；j j 火稳、运动幅值跳跃及船冉n 倾越的参数l 蔓 域，分析表明参一强激励比纯参数激励型，i 危险性，在丰参数j 0 振i ) ( 内，较小 的参数激励和强迫激励仍可能j j i 起船内n 人l 嘲横摇，甚至倾覆。伙镒* 平张伟l i j j 月j 改进的变形参数法研究了激励i 眦优1 足微小时m a t h i e u 疗程的川j n j 解及过波 曲线。 王德石等人【1 4 】将多尺度l s 办法用于研究参数激励振动系统的令膈分俞 确定了该系统在主参数共振情况下的分岔集合，得到了某些余维：退化分岔点 附近产l i 混沌运动的条件，通过引川多尺度，用l s 法分析了该类系统所对应 的一、f 均系统的动态分叉，通过对j 卜均力。程的分析，揭示了m a t h i e u 振动系统的 全局分义特性，获得了局部分龠所术给的同宿、异宿分岔结粜， i j f 究进一步 揭示了弱犯线性参数激励振动系统所会出现的周期、调幅振动和慢忙线性系统 才易出现的混沌振动。洪灵等人u s j 遁川广义胞映射图论( g c m d ) h 法研究j ，非 申请同济大学硕士学位论文 线性强迫m a t h i e u 方程的激变、瞬念混沌、以及随系统参数变化的伞局分岔特 性，研究结果表明参数激励常微分系统混沌吸引子的边界激变赴于 昆沌吸引 子与其吸引域边界上的不稳定川期轨道发生碰撞而产生的，研究还发现边界激 变产生的瞬态混沌，在p o i n c a r e 截i f - f 上直观地表明了瞬态混沌的儿何伞间结构 以及瞬态混沌的空问结构随才f 系统参数逐渐远离激变临界值的衰变，j i ：给出了 对自循州；胞集进行局部细化的方法。徐鉴u6 j 给出求解一类弱非线性系统周期解 的广义g r e e n 函数法，利用这一方法求得非线性h i l l 振动系统在m 共振和共振 两种情2 l ! 下的周划响应，研究了主参数共振情况下具有广义v a nd e rp o l 和五次 d u f f i n g 恢复力的：啦线性参数激励系统的分岔行为，应用具有z 2 埘称的奇异性 理论，建立模参数与各物理参数之问的关系，对系统的分岔行为力j 拓扑等价的 意义下进行普适性分类，分析各个参数对周期分岔解的影响，并利用半解析半 数值的方法研究了v a nd e rp o l 二d u f t i n g - m a t h i e u 系统的全局分岔和混沌。 z o u n e s 等入【l h 利用l i e 变换摄动方法以及椭圆函数研究了具彳三次强非线 性的m a t h i e u 方程的亚谐共振，得到对应2 m ：1 亚谐共振情况下的近似解析形式， 通过作用角( a c t i o n - a n g l e ) 空问l ：作得的p o i n c a r e 截面能够很好的= & 示j ，系统的 特性，包括平衡点的位置及其共振区域，数值结果表明，文章的结果能够很好 的预测非线性m a t h i e u 方程的弧谐共振解形式，但当系统中出现混 l t ! t r 于，这种 方法已经失效，不能给出更好的解释，文中还指出，m e l n i k o v 方法将是预测混 沌的有效方法。n g 等人l l s o f 罗c y 具有广义三次项非线性m a t h i e u 疗雕的2 ：1 共振，其中非线r e 项是一个弱。作线性系统，发现一阶近似平均所和挣0 的结果，f = 不能很好的解释系统在数值模拟所出现的周期2 运动，并由此利j | j 系统二阶近 似平均方程研究了慢变方程所对应的周期解分岔问题，利用a l v i - o 软什进行分 岔分析，并求出i l o p f 分岔的近似值及系统在无穷远处所对应的蒯煳解形式，研 究结果很好的解释j ，在一阶方羊l 芒中所不能解释的丰富动力学特性。 b e l h a q 等人 1 9 j 研究了具彳二次利三次非线性的参数激励及姒迎激励j 芝同作 用的系统，此时参数激励与强迫激励不具有相同的频率，构建了种利用j j 义 平均化及多尺度十h 结合的方法研究系统的概周期运动，利用m e l n i k o v 办法预测 简化蒯划系统所j 托：扛的混沌，通过- 1 ；l 入三次调谐参数激励控制系统l 产：t - ( f j i t 4 沌，研究结果表l j 当控制参数激励超过一定值之后，系统的复杂动j 学行为将 被抑制，系统出现稳定的周划运动，j i ：j 其振动与简化周期系统达至0 l , - q 步。 g u e n n o u n 等人【z u j 研究了一类弱阻尼舭线性概刷期m a t h i e u 系统的侪参数丰j 振 问题( 1 ：2 ，1 ：2 共振) ，通过应川：一：次连续的多尺度法将概川剐振，转化为 简化的闩治系统，研究了系统现的概删期解，结果与数值模拟i 他好的吻合。 y u s r y 2 1 叼f 究了具有广义三次- m 线性的m a t h i e u 系统，利用多j t 殷法 i j f 究系统的 二阶近似解，根撕可解性条件行 到4 l , i l t i j 形时的标准l a n d a u 方样，汁沦系统1 1 共振，三分亚谐及共振等五种情况下周期解稳定的充要条件，研究结粜表明删 期m a t h i e u 激励系数的大小对j ：删划解的稳定具有双重( d u a lr o l e ) 作川。 m a c a r r i 【2 2 l 利川渐进摄动法研究了具有有限个参数激励二i 仁线性振r 的瞬态 和稳态响应，分三种情况研究厂参数激励对于系统的影响以及推导f l “死岛” 时满足的条件，研究结果表i w 参数激励仪对系统振动频率产牛影1 1 句，l j 并不会 使得系统的振动消失。i b r a h i m 平e 1 s a y a d 2 3 1 9 究了具有冲击的参教舣拦振子模 型，利用多尺度法分别研究】7 _ j 柯弱一作线性和强非线性时系统参数) 乓振及内共 振的响j 通特征，研究结果表l u j l 4 而j 眈计j 二初f j t ( 极其敏感不同的匆j f l 【- ，j 以导致系 统产牛刷j 羽、概心期甚至混沌运动，研究的结果还表明，初始条件、内部调；指 参数、i i l - t ) d 大小以及激励的人小都魁促使系统，比乍概周期运动的砸婴1 人i 索。 申请同济大学硕士学位论文 w o j c i c k i 2 4 】的研究结果表i j ，参数调谐减震器比普通的动j 、j 。炙) 乓器具有更好 的减震效果，对于一个单自由度的参数激励夕h 激系统，其减震振i | j f i 与般减震 器相比缩小比例达到1 0 。张义华等人【z 副设计了一种高精度的质 l i = 传感器，利 用双变量展开方法( m e t h o do ft w ov a r i a b l ee x p a n s i o n ) 研究系统的参数尺振，分析 了阻尼及三次非线性对于m a t h i e u 系统稳定性的影响，试验验i i i ! j 此化感器的 有效作月i j 。 综上所述，对于参数激励系统的研究已经成为当前的一个热点问题，目前 研究的主要方向是对于参数激励- 夕 激励联合作用下，非线性系统的动力学的研 究分析，研究热点已经由对弓；3 - 1 1 - 线性m a t h i e u 方程转移到了对强一小线性m a t h i e u 方程之上，而且系统的模型越发具有代表性，包括更为普遍的：次：忙线性及三 次非线性。而且，对于参数激励系统复杂性的研究也成为研究的热点，包括概 周期以及非线性特有的混沌现象。参数激励系统的应用研究也将成为未来研究 的热点课题。 1 2 时滞系统的研究现状 目前，时滞问题的研究已经成为围内外研究的热点问题。在1 9 7 0 1 9 9 8 年 间，有关时滞的文章在s c i 的搜索中只占不到0 1 ，而在1 9 9 9 2 0 0 2 这四年中， 这个比例已经上升到了l 。n d 时，阚内有关时滞的文章也有火i 啉度的提高， 1 9 9 7 2 0 0 1 年这五年当中，已经在各类刊物上发表相关文章1 5 0 余篇。f h 是，相 比较困外时滞研究的广泛性而苫，隔内的研究还丰要是集中在数学界和控制界 中，大部分研究成果仅仅讨论时滞系统解的振动性以及控制的鲁棒稳_ 三性问题 而有关时滞系统的动力学行为力而的研究并不多见，例如时滞系统的分俞特性 以及时滞系统出现的复杂动力学行为等等。 1 2 1 时滞动力系统的研究现：队 顾名思义，时滞系统就赴指存在时f n j 滞后的系统。在f _ l 然和享i ：会现缘中， 许诩：多多的系统l 内变化发展趋势小仪0 系统现在的状态有关，i f l j 1 1 逊依赖于系 统一些过去的状态，也就是说，系统i i _ f 彳i 可避免会出现时滞这个i r 监的特性。 例如：s a r s 传染过程中具有大约两个- i | l ”l 潜伏期：捕食者被捕食斤模l i l l l ：考虑 利，群繁衍需要一定的妊娠时问：长距离通讯信息传递过程中的代播时问：经济 学中考虑投资者的价格预期依赖于过去的价格；控：刚中反馈系统行 - 1 - 1 t , j - 问的滞 后等等。实际上，州滞系统已经成为许多领域的重要研究对缘，仃卜命、牛态、 环境、机械、物娜、化学、神经网络、控制【2 。m 6 j 等领域中，人们时时滞系统作 了大量的研究，墩得了许多重嘤成果。酬海岩和王在华【2 6 】从动j 曹加度综述r 时滞动力系统的研究进展。时? n f t 1 1 - 系统的解空问是无穷维的，一阶的睢线性自治 吲_ 。仲l l l - 系统也会产卜分岔和混沌耸复杂现缘，而对于常微分方稳狮0 i ，。阶系统 和二阶e i 治系统都不可能产巾溉沌。时滞系统的理论分析往往越个限常困难 的过程，系统呈现出丰富的动力学行为，一个简单的低维时滞系统令能够产 牛高维混沌，这个现象已经引起了仃犬学者的注意。目前，有火寸滞的研究还 处于开扁的阶段，对于时滞系统的研究既是件很有科学意义的l i t i ：s l i - 作，也 是一件富有挑战的前沿课题。 申请同济大学硕士学位论文 生态学中有关种群的模型是一个非常有代表性的时滞模型，对应的单种群 问题可以用l o g i s t i c 方程表示，双种群问题可以用l o k t a - v o l t e r r a 方稚表示。 b e r e z o w s k i 2 7 , 2 s j 研究了一维时滞l o g i s t i c 方栏出现的概阁期和混沌脱缘。k r i s e 和c h o u d h u r y 2 9 j 研究时滞l o k t a v o l t e r r a 系统的亚临界军l l 超临界分衍，心多尺度 法分析丁一系统的稳定性问题，数值楔拟j ，系统在岔点附近的周期轨道性质。r u i 等【3 0 j 把这些结果推广到了n 剩i l 洋的讹食被捕食者时滞模型，得到。j 一些关于稳 定性的很好结果，并考虑了系统的分俞现象。 s a k e r t 3 l 】考虑制髓造血释放成熟细胞至血液中所需的时间，f f l j - l ：l 留1 t , , l 滞引入 m a c k e y g l a s s 方程，研究了具有时滞造j f f l 模型的振动和全局吸引- i l l ，r u d e 等【3 2 】 分析了时滞瘤增长模型的h o p f 分岔，研究了小时滞系统的局部线胜稳定性的充 分条件，并用数值方法模拟了火时滞系统的分岔情况。w a n g 和m a 【”f 究了时 滞传染病模型全局稳定性的充分条件。x i u 等人【3 4 研究了时滞对于发酵过程的 影响，研究结果表明时滞所引起的二1 1 i 司步波动是促使反应系统振荡的- j ：耍原因， 并用数值模拟的方法研究了系统时滞所引起的h o p f 分岔。 对于时滞微分方程的发展过程，可以参考文献【3 5 】，郑祖庥教授- i f f - e l 地叙述 了泛函微分方程的发展历史及其在实际t i ，的应用，与此同时，喇内外也出版- j ， 许多有关时滞系统的基本理论及 i j f 究方法，具体的模型及方法l i r 参看文献 3 6 - - - 4 0 】。 综上所述，仁物时滞系统的研究集i t 在数学界，主要是研究| f 、f 滞系统产乍 振动的一些充分条件，并由此研究系统町能发乍的分岔条件，而对于时滞系统 的动力学行为的研究还比较少，而棚应地，在力学界中对于时滞功力系统的分 岔、混沌研究已经成为当前的热点问邀。 1 2 2 力学和：i ：程中时滞系统的研究现状 目前，对于时滞系统动力学行为的研究，还是平行于常微分办程| ，f 勺研究方 法来讨论的。研究首先用特钲值的办法分析线性系统的特征方私! ，通过埘超越 特征方程的研究判断系统稳定性：研究分岔t 占况一般采取的方法址先j ij i i 心流 形化简系统，然后用规范化办法简化作线性项，得到一个不含i 于滞n 勺简单怍 线性动力系统方稚，最后用般的办法研究这个等价的动力系统：们时- t ：系统 混沌的捕i 述，功率潜、p o i n c a r c 撼t f l i 、1 y a p u n o v 指数、分数维办法仍址刻划 的有力一r 具【2 6 1 。 时滞广泛存各：于工程实阳i l f l ，n a g y 等人【4 l 】分析机床切i i i 0 过袱【 - 】j 具的颤 振，考虑l ! i l 转效；, 正( r e g e n e r a t i v ee f f e c t ) l ；) 。t f l j t - 米的州滞影i 响，利崩i l i 心流彤l - 胖：悔 这个解审问为无穷维的时滞微分方氍化简到两维的中心流形上，研究结果表明 系统发，- 门是超临界h o p f 分衍。g i l s i n n 4 2 】研究1 时滞所带来的训削喊振问题， 利f jr i i 心流形和规范型定理建p 了该系统的h o p f 分岔定旦e ，通过f l o q u e t 指数 研究h o p f 分岔的稳定性条1 ；，i ：，i ：求 h 周期解形式，在文中，作抒发展了 r u n g e k u t t a 数值计算方法，引入了种被称为r u n g e k u t t a f c h l b c r g 的变步 长积分疗法。讨论h o p f 分岔存在的缪数区域。f o f a n a 4 3 】考虑切削过氍t l ，的随机 下扰作川，用平均法和l y a p u n o v 指数给出平衡点的解析农达式，确定丁参数i f 而j z f f 滞的稳定和不稳定区域。 j i 4 4 l 形f 究了磁性回转支撑系统的时滞反馈问题，通过均衡微分反馈控制器 ( p r o p o r t i o n a ld e r i v a t i v ec o n t r o l l e r ) 对系统进行控制，根据力学平衡缱、，：馍型的时 申请同济大学硕士学位论文 滞动力学方程，分析时滞对于线性稳定性的影响，确立了系统存相o l o p f 分岔的 边界，利用中心流形定理和规范型方法研究系统的分岔，给出系统发坐鞍结点 分岔和h o p f 分岔的参数值，研究发现系统存在余维二的分岔，g j ) l j 平均法分析 了系统的屯共振情形，理论是捌实验都表明时滞不仅影i 啊了稳态响应的定性行 为，而i 有可能使系统稳态解失稳，时滞的增加导致了响应幅值的增人。在另 一篇文章中，j i l 4 5 j 研究了均衡微分反馈控制器( p r o p o r t i o n a li n t e g r a t i v ea n d d e r i v a t i v ec o n t r o l l e r ) 的时滞问题，通过对线性系统地分析得到了系统发生h o p f 分岔的参数值，用数值方法研究了时滞引起系统的余维一和余维：分翁，研究 还发现，系统存在余维三h o p f 分岔，最近，l e e 等人【峒利用具有经流作月 j 的时 滞反馈控制器( at i m e d e l a yc o n t r o lw i t hs w i t c h i n ga c t i o n ) 控制重型歼凿机，研 究指出t d c s a 控制器具有很好的控制效果。 d a s 等人1 47 】曾经仅仅利刚多尺度法分析了时滞系统分岔点阳近的动力学性 质，通过与数值解的比较，发现结果能够精确的吻合。m a c c a r i d 8 1 研究了一个具 有时滞状态反馈的v a i ld e rp o l 振子的动力响应，利用渐进掇动办法研究了周期 解的稳定性，研究发现通过调了系统的时滞和状态反馈增益，能够抑制概周期 的产生并降低运动的振幅。徐鉴等人 4 9 1 研究了具有三次非线性时滞项的v a nd e r p o l 型时滞系统随时滞量和增z 最参数的余维一h o p f 分岔，说明了线性化特征方 程随两参数变化时根的分布及h o p f 分岔的存在性，通过构造中心流行并用范式 方法确定出h o p f 分岔方向及周期解的稳定性，研究表明时滞是影响系统分岔的 主要因素。徐鉴等人刚研究时滞位移反馈对于一个具有外激力的v a l ld e r p 0 1 d u f f i n g 振子的影响，研究了线性系统失稳的边界将时滞非线性摔制方程 化为泛函微分方程，给出了由h o p f 分岔产牛的周期解的解析形式，通过分析周 期解的稳定性得到周期解的失稳区域，使用数值分析观察到时滞在该k 域可以 导致系统出现倍刷期运动、锁榴运动、概周期运动和混沌运动以及两条通向混 沌的道路：倍周期分岔和环面破裂，研究结果表明，通过调节i t 、俐 这个“歼关” 可以很好的控制泓沌系统。y u 等人【5 l j 研究了时滞速度反馈对丁一个具彳r 自激的 影响，研究了系统发生倍h o p f ( d o u b l eh o p f ) 分贫的条件，利用r u n g e k u t t a 法 数值模拟分别讨论了具有外激和无外激两种情形，发现系统展现j ，丰z f 的动力 学行为，通过调节系统各个参数，刷期运动、概周期运动以及混沌邢相l 继出现， 研究结果表明系统对于时滞参数殳为敏感。 r e d d y 等人【5 2 的研究发现，由二j ：存f - i f i j 行7 1 f 1 1 - 的作j = ；| ，在一个l - l i f 榴f i - , 的极限 环振子中出现了“死岛”现缘，l ：! h 系统不产生振动。随后，r e d d y 等人p j j 考虑 了一个具自耦合的双振子模型，研究在h o p f 分衍处时滞对于系统整合动力学 ( c o l l e c t i v ed y n a m i c s ) 的影响，通过解析和数值的方法研究时滞系统的分岔图。 发现在死岛、锁年f 以及非连续l x 域( i n c o h e r e n tr e g i o n ) 的稳定边界小脱非常明 显的变化，研究结果表明，l l j 使在历振f 的频率完全不同的情况卜，系统也可 能j l ：现死岛现象，并将这一研允成果摆0 。剑了为振于的模型、，l l | ，。以另一篇 文章t ，t l ，r e d d y 等人【5 4 j 研究线性时滞反馈及一e 线性时滞反馈对系统i - l o p f 分岔的 动力学7 j ：为的影响，数值及解析的锣f 究结果表明时滞反馈s t u a r t l a n d a u 系统中 现相移( p h a s es l i p ) 、频率抑；t 3 i j ( f r e q u e n c ys u p p r e s s i o n ) 、多吸，；lr j l 仔以及混沌 等一系列存高阶科合振子中才能出现的复杂现象，通过时滞反馈构建系统对于 时滞及反馈增益参数的分岔图，研究发现具有二次非线性时滞反馈的系统中将 现诸如混合态( b i r h y t h m i c i t y ) 、相逆( p h a s er e v e r s a l s ) 、径1 5 i ；5 ( r a d i a lt r a p p i n g ) 、棚 跃( p h a s ej u m p s ) 以及振幅空问的螺旋斑斟( s p i r a l i n gp a t t e r n si nt h ea m p l i t u d es p a c e ) 等现象。 6 申请同济大学硕士学位论文 w i r k u s 和r a n d i s 副研究了个具自弱耦合的时滞v a nd c rp o i 振j 乞系统，通过 平均化的方法把系统转化为三维的悭变方程，通过分析慢变方程米考虑时滞引 起系统的分岔，研究结果表明当c o s r 趋近于0 的时候，系统的干n 内( i n p h a s e ) 和 相夕 - ( o u t - o f - p h a s e ) 模态均是稳定的。 对于具有多时滞的动力系统，目前研究的成果并不多见。l i a o 等人【5 6 】研究 了具有分布时滞的v a nd e rp o l 系统，利删r o u t h h u r w i t z 定理研究丫系统的线性 稳定性，通过构造中心流形并利用规范形理论，得到了时滞参数的h o p f 分岔= i = f ： 确定了分岔周期解的方向。在另外一篇文章中，l i a o 等人口7 1 研究r 乒l 钉舣时滞 系统的余维二分佾，利用n y q u i s t 准则分析桐应的线性化超越特征厅待! 研究零解 的局部稳定性，然后固定一个时滞量分析系统存在着对另一个时滞参数的h o p f 分俞，利用规范型和中心流形定理分析分岔周期解的稳定性和分禽方向，发现 系统存在余维二h o p f 分岔并确立了分岔区域，数值结采表明等时滞最的系统对 应产生多个周期解j 存。f o f a n a d s 年l ls h a y e r 等人【5 9 】利川t 1 i 心流形定理分别研究 了切削过程和耦合神经元系统的多时滞问题。 综j 二所述，时滞动力系统具有t 分丰富的动力学行为，其复杂性已经引起 国内外学者的广泛关注。 1 2 3 时滞参数激励系统的研究进展 然而，对于含有时滞的参数激励系统的研究，目前的工作还仗仪是处在 个歼启的阶段。j u s t 唧】的研究结果表明，时滞f l o q u e t 问题与自治时滞系统有着 本质的区别。i n s p e r g e r 和s t e p a n 6 1 j 1 开究了有阻尼线性时滞m a t h i e u 厅张的稳定 性问题，利用f l o q u e t 理论结合h i l l 允穷行列式方法研究方程的稳定性边界，通 过半离敞力法得 l 二次h o p f 分翁火去稳定性的边界曲线。 早在l9 8 7 年，p l a u t 和h s i e h e 6 2 j 就研究了个具有时滞的参数激励系统，通 过数值模拟，发现系统具有很复杂的动力i 响应，其中存在周期、妣沌i | l ；全发敞 的动川柚应。随后1 6 3 j 通过应- t j 多尺度疗法分析r 仪在阻尼项中打纯时滞i 1 勺弱：怍 线性系统，分别 f 论了在主0 振、q i i 皆共振和超谐其振等多种f j 譬况i - ，u 】滞对 了二稳态运动频一幅i i i i 线的影响。r a g h o t h a m a 和n a r a y a n a n t 6 4 j 利用i 行波增：l = 平衡法 ( i h b ) 分析具有二次和三次非线t q - i i j 滞参数系统的动力响应，利j t jf l o q u e t 理沦 研究系统周期解的稳定性，通过jl 有弧长参数连续( a r c 1 e n g t hp a r a m e t r i c c o n t i n u a t i o n ) 的路径追踪( p a t h f o l l o w i n g ) 算法结合稳定性分析得剑该系统的分 甜图，通过对系统相平面、p o i n c a r ei i j 2 而及l y a p u n o v 指数值的分f i 农1 9 j 倍周期 分岔足系统通向混沌的丰要道路，研哆芒还发现系统存在鞍结分翁l | 斛v j t 吸引盈 有分形n 勺特点，迎过与无时滞系统的比较发现，时滞五j 以使得系统 ：比较小的 参数激励情况下，k ，卜分岔。 m a c c a r i t 6 s j 研究了一个具有时滞状态反馈的v a nd e rp o l 参数激励振r 的动力 响应，利用渐近搬动( a s y m p t o t i cp e r t u r b a t i o n ) 方法得到系统关丁振幅用l 频率的两 组慢变方料，研究结果表明选择适的时仲i i i 科i 状态反馈增益量能够消除系统中 的概周期运动，并能够抑制丰参数匕振f j 振动范闱。j i 和l e u n g 6 6 1 考虑j 一个参 数激励d u l l i n g 系统的时滞反馈问题，通过多尺度法研究系统的：1 i 参数，j 振， 分析稳态解的稳定性，发现系统半衡点存在鞍结分龠以及业临界义形分俞，这 容易引起系统响应的跳跃以及迟滞等现象，研究结果表明选择适、t 1 的线性时滞 反馈能够延缓又形分岔的发q 并能够稳定亚临界分岔的动力响心，最终消除 申请同济大学硕士学位论文 鞍结分甜发每的州。能。 参数激励系统中引入时滞之后使问题的难度大大增加，从一l ：述为数不多的 文献当中可以发现，时滞参数激励系统具有丰富的动力学行为，l 系统内部蕴 含复杂的动力学现象，分岔形j = l = 多种多样，混沌也是时滞参数激励易发的现象， 但到目前为止，还没有一种普遍的跚论能够把时滞参数激励系统的研歹芒作一个 很好的概括。幸运的是，这方瓶的研究已经引起了广大学者的关江：，年| | 信不久 的将来会有一个比较深入的研究。 综上所述，对于时滞系统的研究体现在方方面面，包括对时滞系统的稳定 性，动力学行为，分岔以及混沌的符个层次的研究。目前，中心流形以及摄动 方法还足研究的主要方法，数值方法也足一种比较直观的研究时滞系统的方法。 时滞系统包括丰富的动力学行为，i ；研究比较困难，尤其是对= 】：多州滞问题以 及参数激励时滞系统的研究。 1 3 本文的研究目标及主婴研究内容 t 从以上综述可以看出，虽然对于参数激励系统的研究已经有棚当长一段时 间了，但是时滞作用在参数激励系统中所产生的复杂现象研究却足近几年才开 始