（理论物理专业论文）电—声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响.pdf

摘要 许多研究已经发现，低温下量子点系统中存在强的电一声子耦合作 用，它对量子和多体性质有重要的影响。文章借助于正则变换方法，并 作绝热近似，非微扰地处理有外场作用下的电声子作用。在对哈密顿 量进行有效等价的基础上，采用非平衡格林函数方法处理外加偏压所导 致的非平衡输运，系统地研究了耦合在两电极间的量子点。其中着重考 虑局域电一声子相互作用在外场下对量子点输运的影响。通过对谱函数 和电流的计算并结合数值分析，发现谱函数和电流由于外场作用下的电 一声子相互作用的影响而呈周期性变化，且变化频率为外场变化频率的 两倍。 关键词：电声子相互作用；输运；非平衡格林函数；正则变换 中图分类号：0 4 8 8 e f f e c t so f e l e c t r o n p h o n o ni n t e r a c t i o nu n d e re x t e r n a lf i e l do nq u a n t u m t r a n s p o r tt h r o u g h as i n g l e m o l e c u l a rq u a n t u md o t s x uw e i p i n g ( t h e o r e t i c a l p h y s i c s ) p r o f e s s o rl a iy u n z h o n g a b s t r a c t i th a sb e e ns h o w nt h a te l e c t r o n 。p h o n o ni n t e r a c t i o n ( e p i ) i ss t r o n gi nt h e s y s t e m so fq u a n t u md o t s ( q d s ) a tl o wt e m p e r a t u r e i m p o r t a n te f f e c t so ft h e e l e c t r o n p h o n o ni n t e r a c t i o no nt h ep r o p e r t i e s o fq u a n t u mt r a n s p o r ta n d m a n y - b o a yh a v eb e e ns t u d i e d i nt h i st h e s i s ，w i t hs p e c i a lc o n c e r n sf o c u s e d o nt h ee f f e c t so nt h ee p ib yf i e l di nt h en o n e q u i l i b r i u mt r a n s p o r tt h r o u g ha s i n g l e m o l e c u l a rq u a n t u md o t ，n o n - e q u i l i b r i u mg r e e nf u n c t i o nt e c h n i q u ea n d c a n o n i c a lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o du n d e rt h ea d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o nf o rt h e l o c a le l e c t r o n p h o n o ns y s t e mh a v eb e e na p p l i e d w h e r e b yt h ee p ic a nb e t r e a t e dn o n p e r t u r b a t i v e l ya n d n o n e q u i l i b r i u me l e c t r o nt r a n s p o r tc a u s e db yt h e f i n i t eb i a sv o l t a g ea c r o s st h es y s t e mi st r e a t e dc o n v e n i e n t l y i ti sf o u n dt h a ti n t h ep r e s e n c eo ft h ee l e c t r o n - p h o n o ni n t e r a c t i o na n dt i m e - d e p e n d e n tf i e l d s ， t h ev a r i a t i o no ft h et i m e d e p e n d e dc u r r e n tb e c o m ep e r i o d i c i t yw i t ht w ot i m e s t h a nf r e q u e n c yo f t i m e d e p e n d e n te l e c t r i cf i e l d s t h ev a r i a t i o no ft h es p e c t r a l f u n c t i o nw i t ht i m ea n de n e r g yi sa l s os t u d i e d k e y w o r d s ：e l e c t r o n - p h o n o ni n t e r a c t i o n ；t r a n s p o r t ；n o n e q u i l i b r i u mg r e e n f u n c t i o n ；c a n o n i c a lt r a n s f o r m a t i o n i i 引言 引言 近些年来，纳米科学技术的发展使得细小体系的电子输运性质研究成为可能， 并在认识各种输运性质方面取得了很大的进步。自2 0 世纪8 0 年代以来，随着分子 束外延技术的进步及光学和电子束纳米微刻技术的日臻完善，人们已经能够制造具 有高电子迁移率的亚微米尺度的器件。在m k 的低温下，结构中电子的相干长度可达 到微米以上，超过了微结构的尺度。这种系统中电子的物理性质完全受量子力 学规律所支配。人们把尺寸相当于或小于相位相干长度，但比原子、分子大得多的 体系称之为介观体系( m e s o s c o p i cs y s t e m s ) 【”。又由于一方面介观系统所处的特 殊位置：可以作为理解宏观性质的一个中间途径。另方面介观系统本身所表现出 的一些特殊现象有助于对量子力学和统计力学的一些基本原理进行理论上的澄清和 实验上的检验。介观系统的研究已经逐步发展成为凝聚态物理学的一个新领域1 ，2 1 ， 特别是低维体系的研究更是引起了人们的极大兴趣。 现代科学技术的不断发展，作为展现低维介观体系量子效应的典型代表一量子 点结构【3 捌成为了近年来研究的热点。量子点结构一般指系统在空间的三个方向尺度 都小于或与费米面上电子的德布罗意波长可比。由于电子运动在所有的方向上都受 到限制，量子点结构中的量子效应最为明显。量子点中的电子能级被分立成一系列 离散能级( d i s c r e t ee n e r g yl e v e l ) ，同时相对体材料而言，量子点中的各种相互作 用强度也会大大增强。从能量和电荷的分立的角度来看，量子点与原子非常相似， 因此又被人们称为“人造原子”。通常量子点的尺度比电子的相干长度要短，因此电 子穿过量子点后往往还能保持部分的相干性。量子点的这些特点使得通过量子点的 电子输运表现出一些有别于宏观输运的量子特性嘶l 。例如：共振隧穿效应，库仑阻 塞效应7 1 ，k o n d o 效应 8 ，以及f a n o 效应例等基本量子现象。利用这些特性为设计和 制造量子原理性器件和纳米结构( 如单电子晶体管【1 0 】、电子旋转门器件 1 l 】、室温单电 子存储器2 1 和单电子泵i l l 等) 开辟了新的发展方向。另一方面，由于量子点参数易于 调节，人们可以用量子点来研究以前难以触及的实验领域。 自上世纪9 0 年代以来，对量子点结构中电子输运特性的实验和理论研究取得了 重大进展：其中包括考虑电一声予之间相互作用旧14 1 ，多体效应【1 5 】，相干性质 或非平衡性质。用到的理论工具有：动力学方法，几率方程方法【1 9 】，非平衡量 子理论【2 0 】，以及数值重整化群方法 2 1 等。但这些方法( 数值重整化群方法除外) 都 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 采取了不同的近似，因此对同一问题得到的结果会不一样。虽然数值重整化群方法 可以很好的预测系统的平衡性质，但它却不能处理由两边偏压引起的非平衡问题。 对于量子点结构的系统而言，一个很小的偏压往往会导致比较强的电场。研究非平 衡问题，k e l d y s h 非平衡格林函数方法【2 2 1 则是一种很好的处理非平衡问题的理论工 具。它一般是建立并求解一组自洽的非平衡格林函数的d y s o n 方程。 在本论文中，我们运用非平衡格林函数方法对量子点结构的电子输运性质进行 研究，主要侧重于电一声子相互作用在外场作用下对输运性质的影向。论文结构如 下：第一章，介绍了介观体系、量子点结构的特性和研究进展。并对本文所采用的 理论工具一格林函数理论进行较为详细的介绍。第二章，运用非平衡格林函数方法 适当的结合正则变换和动力学方程详细推导量子点结构模型的电子输运电流、谱函 数表达式。第三章，结合数值分析得出结论，指出电一声子相互作用在外场驱动下 对电子输运过程的影响。 第一章介观物理和格林函数理论 第一章介观物理和格林函数理论 1 1 介观物理简介 2 0 世纪8 0 年代以前，物理学系统的研究通常只有微观和宏观之分。微观系统的 尺度为原子数量级，即l o “厘米数量级，包含个数不多的粒子。宏观尺度的研究远 大于原子尺度，包含大量的微观粒子，约为阿伏伽德罗常数1 0 2 3 数量级。宏观系统和 微观系统的最重要区别在于它们所服从的物理规律不同。微观系统中宏观规律( 经 典力学规律) 不再适用。介观( m e s o s c o p i c ) 系统，是指介于传统的宏观和微观之 间，其确切的范围应视所研究的物性和系统的温度而定。一般我们指的介观系统是 尺寸相当于或小于相位相干长度，但比原子、分子大得多的体系。系统中的电子的 物理性质完全受量子力学规律所支配。目前，对于宏观系统和微观系统的研究已经 有较完整的理论来进行全面的研究。而对于介观系统的研究则远不如宏观体系和微 观体系。随着分子束外延技术的进步及光学和电子束纳米微刻技术的日臻完善，人 们已经能够制造具有高电子迁移率的亚微米尺度的器件。同时，纳米科学技术的发 展使得介观体系电子输运性质的研究成为可能，并且在认识各种输运性质方面也取 得了很大的进步。介观系统的研究逐步发展成为了凝聚态物理学的一个新领域。介 观系统由于一方面可以作为理解宏观性质的一个中间途径。另一方面介观系统本身 所表现出的一些特殊现象有助于对量子力学和统计力学的一些基本原理进行理论上 的澄清和实验上的检验。介观系统的研究越来越成为了科学工作者研究的热门课题。 特别是低维体系的研究更是引起了人们的极大兴趣。 1 2 量子点的研究及进展 随着半导体低维材料结构与输运效应的深入研究，人们已经可以实现准二维的 电子系统及超晶格结构以及一些准一维结构的器件，慢慢的人们认识到，既然电子 的运动可以一维受限和二维受限，那么能否使第三维受限? 1 9 8 2 年h s a k a k i 及合作 者y a r a k a w a 进一步提出了量子点的新思想。由于电子运动在所有方向都受到限制， 所以量子点结构中的量子效应最为明显，因此量子点结构是被人们研究的最多的一 种小量子体系。量子点结构有很多叫法，如人造原子( a r t i f i c i a la t o m ) 、量子箱 皇二重量塑要堡旦垄! ! 堑! 翌量王皇竺堡些堕塑墅堕 ( q u a n t u mb o x ) 、纳米颗粒( n a n o s c a l ep a r t i c l eo rg r a n u l e ) 、电子团簇( e l e c t r o n c l u s t e r ) 等。对量子点的严格定义则必须从量子力学出发。我们知道电子具有粒子 性与波动性，电子的物质波特性取决于其费米波长( f e r m iw a v e l e n g t h ) 又f = 2 kf 图1 1 量子阱、量子线及量子点与物质波波长作比较关系示意图 在一般块材中，电子的波长远小于块材的尺寸，因此量子受限效应不显著，如果将 某一维度的尺寸缩小到小于一个波长，此时电子只能在另外两个维度所构成的二维 空f 白j 自由运动，这样的系统我们称之为量子阱( q u a n t u mw e l l ) ：如果我们将另一个 维度的尺寸也缩小到小于一个波长，则电子只能在一维方向上运动，我们称之为量 子线( q u a n t u mw i r e ) ；当三个维度的尺寸都缩小到一个波长以下时，就成为量子点 了。最初的量子点都是在半导体材料上制成的，按照制备工艺的不同可以分为以下 四种类型 一 ( a ) 图1 2 四种量子点：( a ) 以化学溶胶法制作的c d s h g s c d s 复层量子点的h r t e m 的影像 1 ，化学溶胶法( c h e m i c a lc o l l o i d a lm e t h o d ) 【2 3 ：如图1 2 ( a ) 所示，以化学溶胶方 式合成，可制作复层量子点，过程简单，且可大量生产。 4 第一章介观物理和格林函数理论 2 ，自组织生长量子点【2 4 】：如图1 2 ( b ) 所示，当极薄层表面材料生长在不同材料制 成的衬底上时，由于晶格不匹配，它不能形成完整的表面层，而只能以孤岛的形 式存在，形成量子点列阵。利用这种方法可以得到大量无生长缺陷的量子点，在 量子点激光器的应用方向有很大的潜力。但是，其缺陷是尺寸均匀性及排列周期 性均很难调控。 3 ，刻蚀量子阱结构而形成的量子点【2 5 】：如图1 2 ( c ) 所示，通过电子束刻蚀二维量 子阱的方法可以产生量子点。由于电子束光刻存在分辨率极限，这种方法不能得 到更小的量子点。同时容易在刻蚀过程中引入各种缺陷。此外，通过刻蚀工艺制 成的基于双势垒结构的纵向量子点可以测量单个量子点的电输运性质，并可以把 量子点的电子数目控制在一个很小的范围内。但是这种工艺步骤复杂，点内的电 子数目和量子点和外界的耦合都不易调节。 ( b ) 图1 2 ( b ) 为生长在g a a s 衬底上的i n a s 自组织量子点的a f m 俯视图。面积1 z m 1 z m ( c ) 以g a a s 基材蚀刻窄圆柱式量子点的s e m 影像，水平线条约为o 5 微米( d ) 单 个横向量子点的s t m 俯视照片。刻蚀面积6 0 0 3 0 0 n m 2 4 ，基于异质结构界面二维电子气的量子点接触工艺制造量子点【2 6 】：如图1 2 ( d ) 所 示，在二维电子电子气上构造出一些金属电极，然后在这些电极上加上负偏压使 其下的电子气被耗尽，形成势垒层。这样通过调节这些电极的排列以及偏置电压， 就可以在二维电子气里隔离出单个或多个量子点，并能方便的控制这些量子点之 间以及它们与周围的二维电子气之间的耦合情况。这是目前实验室中用于输运研 究量子点的一个主流方法。它的优点在于可以方便的测量电输运性质，并可以通 过静电和磁场方便的调节各个参数。因此利用这种量子点制备工艺，实验家们得 咀方便的设计出各种量子点构形，实现许多的物理模型。但是不适应于大量生产。 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 由于量子点三维受限的原因，量子点中的电子能级将是分立的，即e = e “，此 完全离散化的量子能级导致零维能态密度为一系列的峰结构，每一峰对应于量子 能级 舭) - 赢萎烈e - e o * ) _ 零维量子点结构的离散态密度引起了许多的光学和输运现象。量子点的尺度比电子 的相干长度要短，因此电子穿过量子点后往往还能保持部分的相干性。量子点的这 些特点使得通过量子点的电子输运表现出一些有别于宏观输运的量子特性。例如： 共振隧穿效应，库仑阻塞效应，k o n d o 效应，以及f a n o 效应等基本量子现象。这些 现象和特性是设计和制造许多量子效应原理器件和纳米结构器件( 如单电子晶体管、 电子旋转门器件、室温单电子存储器和单电子泵等) 的物理基础。从能量和电荷分 立的角度来看，量子点与原子具有紧密的相似性，这又启发人们一方面借助于类比 的方法去探索量子点的电子排列规律和电子波函数的特征。另一方面，科学家可以 在量子点中进行在原子中所不能进行的实验，因为量子点具有很强的可调性。如图： 1 3 中( a ) 为一横向量子点的示意图。量子点与三个终端相连，粒子通过量子点在 两个终端发生交换，如图中的箭头所示。第三个终端作为门电极调节量子点的静电 能。图( b ) 为垂直量子点的示意图。更为重要的是，量子点中的电子有着极强的关 联，研究量子点中的输运有助于对电子强关联行为的理解。 恸茹怒吐 图13 ( a ) 横向量子点装置示意图( b ) 垂直量子点示意图。圆盘代表量子点，量子点 通过隧穿结与源( s o u r c e ) 和漏( d r a i n ) 相连，量子点的静电能可通过门电极的电压 来改变。( 引用文献 2 7 ) 6 第一章介观物理和格林函数理论 1 3 格林函数理论 自2 0 世纪9 0 年代以来，对量子点结构中电子输运特性的实验和理论研究取得 了重大发展：其中包括考虑电一声子之间相互作用，多体效应，相干性质或非平衡 性质。用到的理论工具包括：动力学方法，几率方程方法，非平衡量子理论，以及 数值重整化群方法。但这些方法( 数值重整化群方法除外) 都采取了不同的近似， 因此对同一问题得到的结果会不一样。虽然数值重整化群方法可以很好的预测系统 的平衡性质，但它却不能处理由两边偏压引起的非平衡问题。对于量子点结构的系 统而言，一个很小的偏压往往会导致比较强的电场。对于研究非平衡问题，k e l d y s h 非平衡格林函数方法则是一种很好的处理非平衡问题的理论工具。它一般是建立并 求解一组自洽的非平衡格林函数的d y s o i l 方程。下面我们介绍本文后面章节所采用 的理论工具一格林函数理论。 131 格林函数的基本描述 在某区域q 内，不含时的格林函数一般定义为 ( z h ) g ( r ，r 。，z ) = 8 ( r 一，。) ， ( 1 1 ) 其中z 为一个复变量，h 为一个不含时的线性厄米算符。日和g 在区域q 上的边界 满足相同的边界条件在固体物理中，一般取g = f 刁，这里的s 是实数，口为小的正 实数则推迟和超前格林函数为 g 。( r ，。；= l i m g ( r ，r + ；s f 玎) ( 1 2 ) ， 当印0 ，就可写出格林函数的等价定义式( 这里的g ( z ) 是一个算符) c ( z ) = ( z 日) ( 1 3 ) 从物理上看来，格林函数g ( r ，r ) 描述的是区域n 内在r 处的一个点源在t 处的系统 响应函数 我们常常引入一个辅助函数 a ( z ) = g ( z ) 一g 4 ( z ) = 2 i m g7 ( = ) ， ( 1 4 ) 这里的以( z ) 就是谱函数2 ”，谱函数在相互作用电子系统中有重要的应用，也是描述输 运特性的一个重要物理量从( 1 4 ) 式可以看出，推迟( 超前) 格林函数 附录 是计算 7 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 谱函数的关键。实际上，推迟格林函数以及它对应的超前格林函数可以描述许多描 述输运的物理量，如系统的介电常数，输运系数等。 1 32 格林函数理论的应用 格林函数理论是在五十年代到六十年代初期建立起来的。它的基本特点就是将 量子场论的费曼一戴逊技术移植于统计物理学中用来研究相互作用多粒子系统的性 质( 基态能量、元激发的性质、平衡态的热力学性质和系统对外界的响应等) 。非平 衡格林函数的概念首先由s c h w i n g e r 提出。k a d a n o f f , b a y m 和k e l d i s h 独立地把非平 衡格林函数发展成一种处理非平衡问题的有力工具。经过几十年的发展，非平衡格 林函数已被广泛地应用到物理的许多领域。我们以它在非平衡输运中的应用来说明 它的巨大功效。 考虑- - n 互作用电子系统通过两理想导体与端电极相连接。把系统哈密顿量h 分为三部分：h = 日+ h 。 。+ h ，其中= ( f ) 为电极哈密 ，i i e l r 顿量，吒，是电极中电子的产生和湮灭算符，h 。= h ( ，d 。) 为含电子相互 作用、电一声子相互作用和其它相互作用的导体哈密顿量，其中虻，d 。是导体电子的 产生和湮灭算符，只= ，。p ) 或+ 五t 为隧穿哈密顿量。则通过左边电极 的电流可以用左边电极上电子占有数的变化率来表示 山= 一e ( 力) = 一詈( 口，n 。d 其中m = c 玉c 鲫，( ) 代表求平均，由于h 。及h 。和n 。对易，则有 j l 。l a e 岛一v , ，。( 嘛吒) 一，。( ) ， 定义两个新的格林函数( 取a = 1 ) 加( f ，r 。) = i ( c 品( f 。) 以( f ) ) ， 吒，。( f ，f 。) = f ( 爵( f ) c 蛔( f ) ) 这两个格林函数满足：g j ；：研( r ，f ) = - e ，。( ，f ) l ，这样，电流就可表示为 第一章介观物理和格林函数理论 j j = 2 。e rel。：z。r：。，。ci。cr，r， c s ， 吒幻( r ) = 似，。( ) 瓯，( f ，6 ) 9 2 。( t ) + g j m ( t ， ) g 南( f l ，f _ ) ( 1 6 ) 五一2 。e r e l l ：z 严i d t l v # , l , m ( t ) v ：l , m ( t 1 ) 瓯砧，啪酝c ，+ 瓯心舶碥c ， z ， 厶= 2 。e i 【台z 穿。f，。cn，6。，t，g品ct，r，+g：，。，t，g南ct，r， 将电极单电子能级表示为两部分：( f ) = 0 + 。( f ) ，则电极中电子的含时格林函数 g 西( f ，r 7 ) = 矿( 喝) e x p 一f f 础。吼，( ) ， g 笛( f ) = 千f o ( + t t - t ) e x p 一f ：d t l 6 k 。( ) r ( s r ) 。= 2 万磊凤“s ) 。( 蹦) 一s e x p 咂啦。( 占，屯) ， 再根据寸p ( s ) ，将( 1 7 ) 式求和转化为积分式 以归一鲁i 。出靡i m 乃印r 叮，。阢，啪+ 胖( f n ( 1 8 ) 其中的推迟格林函数g ( ，t ) 可由d y s o n 方程口习求得 g r ( f ，f ) = gr ( f ，r 。) + d t ld t 2 97 ( f ，啪7 ( r 1 ，r 2 ) g7 ( f 2 ，t 。) ， ( f ，t ：) 为由耦合引起的推迟自能 二( t l , t 2 ) _ 。丢。纵f - ) 吼，f 2 协 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 ( 1 8 ) 式中小于格林函数g 0 ，) 由k e l d y s b 方程 2 2 】彳导 g ( 彬) = f d t j d t 2 g ( f ，t o e ( t l ，f ：) g 。( t 2 ) 其中由耦合引起的实时自能( f 。，f ：) 是 “，t ：) = ，。“) g 二( ，r 2 。也) k ，q e l i r 实验上测量的电流是对时间的平均电流。即 l i i 三, l l r , , 2a t j ( f ) 第二章用非平衡格林函数方法研究量子点的输运 第二章用非平衡格林函数方法研究量子点的输运 本章中我们将采用k e l d r r s h 非平衡格林函数结合运动方程方法来对给定模型进 行求解。这种方法的优势在于简单直观并能方便的处理非平衡、有限磁场等一系列 普遍系统。为了更好的应用非平衡格林函数方法研究量子点结构的输运性质，考虑 到量子点结构的能级间隔非常大( 通常在几百m e v 以上) 1 2 9 1 ，而低温下输运性质主 要由费米面附近的电子参与，通常量子点只需要考虑费米面的某个局域能级。单局 域能级所得的结果可以很方便的推广到那些费米面附近含有多个能量相近的局域的 体系，所以我们选择一个单能级量子点来进行研究。 2 ，1 物理模型 目前的实验中已经在共振隧穿区域、库仑阻塞区域、乃至k o n d o 区域里都观察 到了声子伴带【3 “。说明了低温下在一些存在强电声子耦合的量子点系统中，电一 声子相互作用确实会对其中的量子及多体性质有着重要的影响。所以我们要具体研 究这些电一声子效应。首先考虑系统为量子点模型，由于量子点的能级间隔通常很 大，可以忽略量子点的复杂的能级分布情况，而只考虑某个在电极费米面附近的孤 立能级。该能级上的局域电子可以通过隧穿耦合跃迁到两边的金属电极上，同时还 与量子点的某个局域振动模式线性地耦合在一起。如图所示 酗2 i 所不为模型不意图 简单起见，这里将忽略自旋和电子间的库仑力带来的影响。而只侧重电一声子 相互作用与隧穿耦合的复合效应( j o i n te f f e c t ) 。系统哈密顿量为 h = h t 。d + hx 七h d 斗h t 其中，第一项代表的是电极中没有相互作用的电子气 1 1 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 。锄+ ( 吼，。) 代表在左( l ) 或右( r ) 电极上产生( 湮灭) 一个动量为k ，能量为取的 电子。这里因为考虑的是金属电极，所以有矗= k 2 2 m ：一心。这里的m ：，。表示左右 两边电极上的电子的有效质量，而心，。指的是两边电极上的费米面( 即化学势) 相对 于分子孤立能级s 。的能量位置。通过v 6 。= ( 盹一。) e 和v = ( 盹+ 。一c o ) 2 e 我们可以定义两边电极上的电势差以及两边费米面的中点。这是两个实验上可调节 的量，相应的肌，。和e 。也都可以在实验中调节。第二项是声子项，这里考虑单个局 域的声子模式 h = ”o a + a w 0 是量子点局域振动模式的频率。矿( d ) 是声子的产生( 湮灭) 算符。第三项h 。代 表了量子点与局域声子之间在外场作用下的耦合，耦合系数为旯( f ) 。则 月d = 占d d + d + 五9 ) ( 口+ 4 + ) d + d d + ( d ) 代表局域电子的产生( 湮灭) 算符。最后一项是量子点与电极问的隧穿耦合项 f ，通过绝缘层量子隧穿到左( 右) 电极的隧穿矩阵元是 h 厂【_ c 岛d + 巧d + c 蛔 由于该系统中电子和局域声子之间是强的耦合作用，所以不用微扰法。本文采用 非平衡的格林函数方法来解决这一问题。首先对哈密顿量进行正则变换并同时作绝 热近似，引进一个正则变换 h = e h e ， 其中，j ：塑d + d ( d + 一日) w 0 则变换以后的哈密顿量为 h = h 。f + h p h h m = w n a a 。 1 2 苎三皇旦! ! ! 塑堕堡里塑查鲨型塞量王皇塑塑垩 一 再一q ，。c + 蛔吒，。+ ；“( f ) d + d 十( - - ( f ) c + 蛔d + ；- ( o d + c k , q ) 女口k q 很明显，正则变换后的哈密顿量的声子部分保持不变，电子部分的与声子耦合部分 消失了。很明显还可以看出来电一声子相互作用引入以后，使量子点的孤立能级产 生了一个红移， 己( r ) = 一g ( t ) w o ， 其中，9 0 ) ：( 塑) z 。同时，量子点一电极之间的隧穿耦合矩阵元也会被修正上一个 声子算符 记( f ) = b 工( ，) ， 这里的盖是引入的新的声子算符 x ( t ) = e x p - ( z ( t ) w o ) ( + 一d ) ， 它来源于对局域电子产生湮灭算符进行正则变换后引进来的：e 。d e 一= d x 。这也表 明了由于局域的电一声子相互作用会使得量子点和电极间的耦合被局域的声子云所 调制。 在作正则变换后的哈密顿量的电子部分可以看出来，虽然万。，中的电一声子作用 的线性项通过正则变换去掉了，但是由于的存在，电子和声子之间并没有完全解 耦。一般的对于量子点中电一声子相互作用项比量子点与电极之间的耦合要强的情 况，电子倾向于留在量子点中形成局域的极化予( l o c a lp o l a r o n ) 。对于这种系统， 对声子算符并作平均场近似【3 0 1 处理：即假使声子处于热平衡，将x 用它的期望值来 代替，这样隧穿矩阵元变为 v v ( f ) = v j 7e x p 一g ( f ) ( 曲十1 2 ) 】， 其中。是声子数，由温度r 下的玻色分布给出：n 肿= 1 e x p ( 了w 。) 一l 】，= 1 k b t 。 我们现在研究的是一个描述当电子隧穿时在中心区域包括声子的激发和吸收 的多体问题。为了简化该问题可以采用类似b d n 白和t r u g m a n 早期的工作 3 l 3 2 1 将单态 展开到极化子的本征态：单电子态和声子数态的直积。记作 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 i d , n ) 划等协 这样表示的含义是在d 电子所在的格点上同时伴随着胛个能量为w o 的声子。( 1 0 ) 是 真空态) 采用这样的表示就可以将多体问题变为单体问题。如电子部分的第二项可 以写作 万们= 乙( o l d ，4 ( d ，n 1 同样的道理记 慨一= c k q + 等i 。) 则，电子部分的其它两项也就写作 百们= 毛，。慨”) ( 幼，n i ， p ，口，h 万一( 砀( o l k 7 7 , n ) ( d ，”i + 翻f ) 旧n ) ( 切， i ) k , q ，” 为了更好的应用非平衡格林函数解决这个含时的隧穿的问题，按照文献【3 3 】将这些直 积形式用算符形式来表示 d ，刀) = d 二，i 铆，”) = c k 这样，可以写出用算符表示出的相应的有效哈密顿量形式 h 蛹 害中w l = s 女。+ 门w o ，w 2 0 ) = 占d ( r ) + r l w o = 占d 在这个有效哈密顿量中的算符都类似费米算符( p e c u d of e r m io p e r a t o r s ) ，在运算 过程中满足反对易关系 屯，d 二) = 皖。， c 切，t 。) = 乞。乞 2 2 谱函数和电流计算 这里我们将采用k e l d y s h 非平衡格林函数 2 2 1 结合运动方程方法来对上面给出的模型 进行求解。从左边第n 能级电极流入到量子点的中心区域的含时电流，。( r ) 可以根据 在这一能级上的电子占有数随时间的变化来计算。第n 能级上的电子数表示为 1 4 c + 廿矽。胛 一v+ 廿 d + 蛳 p0一 啪 + 廿 d 十m 矽p w 。 + 唧 c + 岫 cw 咖 慨 盟 第二章用非平衡格林函数方法研究量子点的输运 虬。= 。c 二c 。 “归一e ( 以) 一詈军( _ - 琳施硫缸j ( 21 ) 在这里先定义一些混和的推迟( 提前) 和大于( 小于) 格林函数 嘭撼，( f ，r ) = t i t ，( - + t 干- t 。) ( 蠢( r ) ，c 知，( r 1 ) ， 吒枷( r ，r ) = 昏知( f 。) 屯( f ) ) ， q 咖( f ，r ) = 一f ( 如( f ) ，( r 。) ) ，一g 咖r ( a ) ，g 2 也有类似的定义。 g 等= - y - i o ( + _ t t - f ) ， g ：。( f ，f 。) = i ， g ：。( f ，f ) = 一i 。这样，含时电流就可以写作 以。( 归昙莩( 疏) 吒以沪克瓯砖r ) ) ( 2 2 ) 下面的问题主要是求g i 。( f ，f ) 和瓯，。( f ，f ) 的表达式。以嘭 。( f ，r ) 为例来进行求 解。可以从一般的时序格林函数q m ( f ，) ( ，。( r ，r 。) = 一f ( t c 二，( r 。) ，以p ) ) ) 开始， 应用格林函数运动方程方法来进行求解。所谓的格林函数运动方程就是将格林函数 对时间求导，并求解所得到的运动方程组的一种方法。这里如果直接在模型给出的 哈密顿量基础上运用该方法，则会由于体系中具有电一声子相互作用以及电极间隧 穿耦合的影响，所得的运动方程中会产生出一些新的高阶格林函数，继续将这些格 林函数对时间求导，将得到一组运动方程组。但由于是组开放的方程组，则需要 采用一些近似将高阶方程截断才能使方程封闭。不同的截断方法将会得到不一样的 结果。这样就会给我们的计算带来许多的困难。文章中由于我们前面已经将哈密顿 量进行了合理的变形从而得到等效的哈密顿量，在这个等效哈密顿量基础上运用该 方法就会发现对格林函数求导后得到的是一组闭合的方程组。这样就能够比较容易 的求出其相关的格林函数。 暑q 舶，f ) 一w i g 础，f 。) 一i 翻q 期1 ) ， 其中的q 。( r ，。) 为量子点中心区域的时序格林函数 q 。，( v + ) = 一f ( t 娠( f 1 ) 叱( ，) ) 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 引入共振隧穿的自由格林函数盛，满足关系式( s h o r t h a n d n o t a t i o n ) e 。，- 1 = q 。；，所以将上面的运动方程右乘吨就可以得出 q ，。( r ，f ) = ；。( r ) j 幽e 。( f ，) g 。t ( r 。，r ) 根据解析延拓规则：如果格林函数有形如a = f b c 的表达式，则小于格林函数满足 关系式 4 o ，f 。) = j 幽 b ( r ， ) c ( ，f ) + b ( ，t t ) c 。( ，r 。) 应用该关系式即可得到下式 啜。，( f ，f ) = ；撕) 似【瓯( f ) 蘸( ) + 瓯( f ) g l ( t 枷， 同理 吒，。( r ，r 。) = 碥( f ) f d t ( r ，) 。( f 。幻+ 蘸( r ， ) q 。( f 。，f + ) 】 所以电流的表达式还可以写作 ) 2 吾咎驯2 “ g ) g 驰，f ) + g 靴- ) g 挑，。一g 二( ) g 靴r ) 一g 品( f ，f ，) g 二( f 。，r ) ) 根据，g7 一g 。= g 一g ，上式还可以写作 l ( 归丢耵驯2 “ g 狲，) g 孤f ) - g 忑( q ，) g 靴。) ( 2 3 ) 在宽带近似下，；。( r ) 是与能量无关的，有关系式 秽刊2 9 蔷也，。) = i f o 鹾d w ，。n ( w ) f ( f ，r ) ， 莩1 w ( 叫2 9 i ( “。) = 璧 1 一片( w ) f ( u ) ( 2 4 ) 其中，f ( f ，。) = e 。 其关联函数g ：岔可以由k e l d y s h 方程来求得的 批) = f d t j d t 2 g 孔 ) 黜， f ：) g 二( f ：，f 。) ( 2 5 ) 第二章用非平衡格林函数方法研究量子点的输运 推迟格林函数g 二( f ，f ) 由宽带近似下的标准戴森方程近似得 g t 。p ，) = 一f 曰( t - t ) e x p 一i j ：d t 2 f ( t ) 塑 e x p 鸲+ h w o ) ( f 一，。) 1 ( 2 6 ) 其中，r ( 丁) = r 。e x p - 2 9 ( n p h + 三) ，g ： ! 盟】：，柚：1 e 肌，一1 ，：1 女。r z w ：。( ) = 磊，( w ) j ( 一屯) 瓯。 目 f r ，( ) 石( w ) 配一岛) 瓯。 ( 2 7 ) ” 由万栏( 2 6 ) 和( 2 7 ) k e l d y s h 格林函数g 嚣( j ( r ，r ) 可以写作 g ：沌f 。) 2 璧e 卜i 珈，肌伽二一) ， 辅助函数a , w ，n ( w ，f ) 为 a t l 。( w ，r ) = j i d t oj w ( t - t ) t t r ( f ，f 】) ( 2 8 ) 联系上面的( 2 4 ) ( 2 5 ) 和( 2 3 ) 式，我们可以得到最后的表达式。又因为在左 边电极第n 能级上的电流可以分为两部分：j 譬( ) 代表流出部分，l ，岔( f ) 代表流入 部分。很明显可以看出，( 2 3 ) 式就是分别代表这两个相应的部分，经过一些计算 后，可以分别写出相应的表达式 搿2 缸荨j 螂( d 驯s i # n l ( w ，f ) j 2 ， ( 2 - 9 a ) ，黔一缸荨f 伽一伽) 】驯“叫2 - ( 2 9 b ) 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 第三章外场下电一声子相互作用对输运性质的影晌 上一章中我们主要采用非平衡格林函数方法计算电子在量子点中的非平衡输运 的谱函数和电流。从前面介绍的量子点特性我们可以知道电子的波函数和量子点的 振动模式被局限在很小的量子点体积内，通常量子点内的局域电一声子作用会比较 强。而且量子点本身就具有很多的本征振动模式，它们在电子输运过程比较容易被 激发并体现在系统的非平衡输运性质中。本章的重点就是在前一章计算研究的基础 上结合数值分析讨论输运过程中电一声子相互作用对输运过程的影响 3 1 量子点的含时输运特性口2 j 在1 3 节中已经给出了运用非平衡格林函数方法计算量子点输运电流表达式 以归一鲁i 。出。璧i m 乃- i e ( t t - t ) f l ( r ) 阢，+ 肚) g r ( t , t 1 ) 1 应用前面提出的方法将所有格林函数进行解析得到最后的电流表示为 啪) 一丢h 州( ，) + 庠肫) f 。幽心 ) i i l l e - ”c t , - , ) g w ，) 外 ( 3 1 ) n lo 玎 一o 、 l a l i 。( 蹦) = 出g ( f ，t 1 ) e x p ii e ( t 一) 一汗d t ：。( f ：) i ( 3 2 ) 很明显，爿( s ) 是推迟格林函数g 7 的傅立叶变换。 邯) 2 篆f l r 璧卯 ( 3 3 ) 电子在量子点中的输运电流实际上是从左( 右) 电极流入量子点中心区域的电流和 从中心区域流入左( 右) 电极的电流的总和 山，。( f ) = t ，；! ( f ) + 屹。( f ) 一e 。f ( r ) ( r ) ， 甩 i ef l i r 壤i m ( 酬 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 为了更好的分析含时输运特性，电极能级的变化s 幻( f ) = 磕+ 。( f ) 的电流变化特 性，考虑简谐调制情况下 ( s ，r ) = a oc o s ( w t ) ， ( 3 6 ) 1 8 丝三童堑堑! 皇= 苎三塑三堡旦堕塑墨竺堕盟堂堕 将( 3 6 ) 代入( 3 2 ) 则可以得出 幢归e x p j 垒出ws i n ( w 明+ 熹以( 华) 五r u 而三( 3 7 )一u ， p f 一 7 上，r ， 其中，。( x ) = ( 一1 ) j k ( x ) 是表示第k 阶贝塞耳函数。 从( 3 4 ) 和( 3 5 ) 的表达式可以看出对于某一时刻的电流主要取决于i a ( e ，f ) f 2 和 i m a ( 占，f ) 对时间的积分，下面我们就给出它们的图形并进行分析来帮助我们来理解 这个复杂的含时过程。 k ：生 一 图3 1 ：r = r “= f 2 ，= 1 0 ，r = o ，s 。= 5 ，a = 5 ，l = 1 0 ，r = 0 。时间以充r 为单位时间，能量单位为f 。调制频率w = 2 f h 从图3 1 可以很明显看出：这个含时振动整体是呈周期性变化的，变化周期为 r = 2 n w ，但详细的相对于时间的变化关系是较复杂的。而且从i a ( c ，f ) i ：图上还可 以直接看出在光子伴带出现的地方( 假定整个含时变化的原因都来自于光对电极的 作用) 占= 枷。同样，1 , 可上叫1 z 寸土u 口i = ! 讹ou 川曰7 睁7 水形取衣不- - 出。 图3 2 含时电流，o ) 在简谐调制下的图形( 参数同图3 1 相同) 。其中直流偏压由 电一声子相互作用在外场下对量子点输运性质的影响 心= 1 0 和。= 0 来决定。虚线表示驱动信号的含时变化示意图。k b t 2o 1 f 其中驱动电压用虚线标出( 驱动电压的大小不是实际值的大小) 。由于l a ( 6 ，f ) 1 2 和 i m a ( e ，f ) 分别对电流的流出和流入的复杂影响导致了电流的相对于时间的变化关 系。基本的物理机制是：在电流的次极大到最小值之间的变化是受到光子辅助共振 隧穿和电极化学势的调制。 3 1 2 电一