（机械电子工程专业论文）循环对称结构的有限元分析.pdf

西北1 = 、世大学硕二e 论文 摘要 本文根据循环对称结构的特点，通过对循环对称结构的一个扇型子结构 进行计算，达到对整个循环对称结构进行强度与振动分析的目的。 首先，利用结构扇区节点之间的循环对称条件，对结构运动方程各个扇 区进行解耦。选取结构的一个模型扇区作为有限元计算模型，建立子结构的 质量矩阵和刚度矩阵。通过对一系列带有复约束的扇区的计算，获得完整结 构的振动特性。并在结构固有特性的基础上，利用离散傅立叶变换，把结构 动态载荷转换到傅立叶空间计算结构的动态响应。 同时，对结构进行静态分析时，根据受力状态，即结构受到周期性载荷 和任意载荷这两种状况，分别对其进行静态分析。当结构作用任意载荷时， 利用离散傅立叶变换把整个结构的分析转化为带有复约束条件的一系列子结 构的分析。 最后，根据以上理论，采用c + + 语言，综合运动面向对象技术和泛型技 术编写了计算循环对称结构静、动态特性的分析程序。通过算例验证，证明 了由循环对称算法计算得到的结果的有效性。 关键词：循环对称结构，离散傅立叶变换，复约束，强度与振动 耐北1 业夫学坝卜泛文 一 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，c o m p l e xc o n s t r a i n t st h e o r ya n dr o t a t i n gm o d e s u b s t r u c t u r ea r e u s e di nv i e wo ft h ec h a r a c t e ro f c y c l i c a l l ys y m m e t r i cs t r u c t u r e o n l yac y c l i c a l l y s e c t o ri ss e l e c t e da st h ec a l c u l a t i n gr e g i o ni n s t e a do ft h ew h o l e s t r u c t u r e ，t h r o u g h w h i c ht h es t a t i c ，d y n a m i ca n dt r a n s i e n tc h a r a c t e r e s t i c so ft h ew h o l es t r u c t u r ea r e o b t a i n e ds u c c e s s f u l l y b a s e do nt h e p r o p e r t yo fc y c l i c a l l ys y m m e t r i cs t r u c t u r e ，t h ee i g e n v a l u e e q u a c a t i o n o ft h ee n t i r es t r u c t u r ec a nb eu n c o u p l e dt a k i n g a d v a n t a n g eo ft h e d e f e c t i o no fe v e r ys u b s t r u c t u r ei sr e l a t e dt ot h e a d j a c e n t s u b s t r u c t u r e b y a c o m p l e xc o n s t r a n t t h u so n l y o n ec y c l i c a l l ys e c t o ri ss e c l e c t e da st h ef i n i t e e l e m e n tm o d u l e s ，t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co ft h ew h o l es t r u c t u r ec a nb e o b t a i n e dc o n v e n i e n t l yi nt e r m so ft h ed i f f e r e mc o m p l e xc o n s t r a i n t sc o n d i o n t i o n s t h e nc a l c u l a t i n gt h et r a n s i e n tr e s p o n s ea tt h ef u r i e rh a r m o n i cw a v es u b s p a c e i n s t e a do ft h er e a lm o d e s p a c e t h es t a t i cs t r e s sc h a r a c t e r i s t i co ft h es t r u c t e rc a l lb es o l v e db a s e d0 1 1t h e p r o p e r t yo fl o a d s w h e nt h el o a di sc i r c u m f e r e n t i a lp e r i o d i c i t y ，c o n s i d e r i n go n l y o n es e c t o r ；w h e nt h es t r u c t u r es u b j e c t e dt oa r b i t r a r yl o a d ，a tf i r s t ，u s i n gd f t t e c h n i q u e ，t h ec o m p l e t es t r u c t u r ei sa n a l y z e db yo n l yas e r i e so fs u b s t r u c t u r e s w i t ha p p r o p r i a t ec o m p l e xc o n s t r a i n t so nk sb o u n d r yw i t ht h ea d j a c e n ts e t o r s t h ep r o g r a mi nt h ed e s s e r t a t i o ni sd e v e l o p e db yc + + w h i c hb a s e do nt h e m o d u a l a n dm e t h o d sm e n t i o n e da b o v e g e n e r i c t e c h n o l o g y a n dt h e o b j e c t _ o r i e n t e dt e c h n o l o g y a r ea d o p t i n gd u r i n gt h ed e v e l o p i n gp r o c e d u r e t h e e x a m p l e si n d i c a t et h a tt h em e t h o d a n d p r o g r a m a r e c o r r e c t l ya n ds a t i s f a c t o r y k e yw o r d s ：c y c l i c a l l ys y m m e t r i c s t r u c t u r e ，d i s c r e e tf o u r i e rt r a n s f o r m s t r e n g t ha n d v i b r a t i o n ，c o m p l e x c o n s t r a i n t s 。 两北t 业人学顺卜沦殳 第一章绪论 1 1 选题意义 在航空、航天、航海、石油化f 、建筑等领域里有很多结构，包括齿轮、 汽轮机和水轮机的叶轮乃至太空中的雷达天线等，经常是由一些绕某一轴循 环有序周期性排列的特定的结构件组成，对于这类结构通常用循环对称 ( c y c l i cs y m m e t r i c ) 或称之为旋转对称( r o t a t i o n a ls y m m e t r y ) 方法进行结构 分析。在分析时，仅需要选取特定的施加以适当边界条件的结构件即可获得 整个组件结构的计算结果。循环对称可分二种对称类型，即简单循环对称和 复合循环对称。简单循环对称中，对称结构件没有平面镜像对称面且边界可 以有双向弯曲曲面：复合循环对称中，每个对称结构件具有。一个平面镜像对 称面，且对称结构件之间的边界是平面。循环对称分析通常可解决线性静力、 模态、屈曲及频率响应分析等问题。在通用的有限元软件中，计算循环对称 结构时一般是在计算时引入实代数约束，这样引起了计算的繁琐，且它们一 般只能进行模态分析。因此对循环对称结构进行一系列的有限元分析，就需 要进行专门的研究。 1 2 研究现状 7 0 年代末期，t h m o s “1 提出了一种研究循环对称结构动力特性的方法，他 首先根据循环对称结构的一个基本扇形段建立有限元子结构模型，通过对结 构施加复约束条件柬考虑结构其它部分对模型的影响，由此导出了复 h e r m i t 。矩阵的f “义特征值问题。该方法不仅极大的缩短了循环对称结构特 征值的计算时间和计算规模，而且使求出的结构复特征向量有了明确的物理 意义。此后，f r i f e r 在t h m o s 理论的基础上得出了循环对称结构动态响应的 计算方法，对于强迫振动的计算是把外力按f o u r i e r 级数展丌，通过汇总各 次谐波作用f 的响应求得总体结构的动态响应。8 0 年代中期以后r _ i a m a m u r t i 2 1 等对循环对称结构作了一系列的静、动力特性研究，提出了充分 利用外存的各种算法，进一步简化了循环对称结构固有振动特性的计算。 r a m a m u r 【i 还通过建立一个齿的子模型分析了直齿轮的静应力和动应力。不 一翌! ! ! 些查兰塑i ：堡竺 过以l 二工作大都局限于平面问题，尚未涉及到实际结构的空间问题。此 外，w i 1i e t m s 和l e u n g 等人利用动态子结构方法建立了一套分析重复和周期 性结构的算法，这些刈于分析循环对称结构的固有振动特，阽都有一定的参考 价值。 在因内，钟万勰”1 等利用群论建、i ：了。套分析对称结构的有效算法，胡 海岩| 4 l 等人提出了计算循环对称结构振动特性的广义模态综合法，张锦、王 文亮p 2 等将群论应用于循环对称壳体和简化的叶片轮盘结构的振动分析中。 汪时奇利用插值方法计算了循环对称结构的动力特性，徐兴等人对离心叶轮 做轴对称处理后进行了有限元分析，吴高峰等通过将循环对称结构分别采用 轴对称单元与般有限元离散，进而分别采用傅氏级数展开技术及部分对称 结构分析方法进行两个子结构的分析，捉出。一种实现轴对弥结构和循环对称 结构之间耦合振动分析的有限元分析方法。尹泽勇”3 等提出了等参体元类和 超参壳元类的循环对称条件及其引入方法，刘更“1 在此基础上提出了引入循 环对称条件的伪单元法，并成功的用于齿轮的离心应力的计算中。邱凯等。3 修改了实空剧求解广义特征值问题的子空间迭代法，并把其引入复数域，提 出了求解h e r m i t e 矩阵广义特征值问题的子空间迭代法。周传月“”将三维有 很元法、波传动理论和模态综合理论相结合，建立了叶片、轮盘系统耦合振 动计算的分析模型，这些方法为进一步建立循环对称结构研究动态设计的理 论和方法奠定了良好的基础。 国内外学者大都是在有限元离散后采用循环矩阵或群论的方法来降低 循环对称计算工作量。陈璞“”采用离散f o u r i e r 变换，直接在解析方程的层 次i 二将循环对称结构的问题转化为数个局部结构的问题，由此得出了汁算循 环对称结构的又一途径。当循环对称结构的受力也是回转对称时，m e c h n i ” 提出了在扇区连节点的每对节点上施加位移约束，就可以通过单个扇区的计 算而得到整个结构的应力状态。l a i “。1 用d f t 对轴对称结构在任意外力作用 下的情况进行了分析。唐固安提出了在任意载荷作用下分柝循环对称结卡句 的新方法，他首先利用离散f o u r i e r 变换，将整个循环对称结构等价转换为 一系列带有罚单元的单个扇型子结构来分析。 李林“”茸次把边界j i ( b e m ) 引入到循环对称结构的分析中，并对循环对 2 矾北i 业大学硼卜论殳 称结构进行了动态分析，且边界元法能得出比有限元法更精确的结果。近年 来小波分析( w a v el e t s ) 被广泛应用于图像编码、边缘检测、计算机视觉和求 解偏微分方程等领域，利用离散正交算子在正交域集中信息能量的特性，在 动力学建模时形成主模态矩阵有关的质量和刚度子矩阵迸行能量分布的 压缩处理，建立能量分布相对集中的结构动力学模型。李林将广义离散l 卜交 小波函数和边界元理沦相结合来建立了结构的动力学模型，这样进一步降低 了计算复杂度，舭目日f 仪局限_ f 列乎面问题的分析。选择4 i 同的小波基函数 和尺度函数末扩展边界元算法应该会成为解决大规模循环对称结构问题的 又一方向。 l 。3 研究内容 1 、3 1循环对称结构的特征值和动态响应的计算 根据循环对称结构的特点，利用结构在几何，载荷，位移及边界条件上 的循环对称性，根据t h o m a s 提出的循环对称结构动力学理论，将问题缩减为 对个典型子结构的分析。在单元的选择上，三维八节点等参协调元由于简 单而且求解计算量少，所以得到广泛应剧，但是这种单元在受到弯曲载荷作 用时，由于寄生剪切效应，会产生过刚现象。本文采用w i l s o n 在1 9 7 3 年提 出的三维八节点非协调等参元目的是提高模型在弯曲状态下的计算精度， 通过在单元内部增加九个与节点无关的内部自由度，然后利用静力凝聚而将 它们消去，单元的自由度不变，由于增加了内部自由度，大大改变了单元的 抗弯性能，对提高计算精度和计算效率都是很有意义的。 在一个扩充扇型子结构的基础上建立结构的刚度矩阵和质量矩阵，然后 对于不同的相位角，生成基本扇区子结构对应的复约束刚度矩阵k 和复约束 质量矩阵m ，得到计算结构的广义特征值川题为：k x = c o 2 f i x ，求解循环 对称结构的特征傻和特 ：f ：向量，根据复特征向 量的意义撂到整令结构的固有 振形。考虑到循环对称结构每一个扇型子结构只需要计算很少的几阶特征值， 所以采用了改进的r i t z 法求解广义特征值问题。r i t z 向量法在求解时不需 要反复迭代，只是对刚度矩阵进行，7 t 次求解即可，利用r i t z 向量法把广义 特征值问题转化为标准特征值问题，对于这样的标准特征值问题，采用 两北1 业人4 学f l l ；! l 蹬殳 h o u s e h o l d e r q r 反迭代法求解，最后利用复特征向量的物理意义，旋转得到 整个结构的振型向量。计算动态响应时，利用离散f o u r ie r 变换将整个结构 空间的动态计算载荷转化到相应相位角对应的f o u r i e r 谐波空间，这时利用 系统的固有振形将方程组转换成n 个不相耦合的复系数二阶微分方程，对这 些方程进行数值积分，然后汇总不l 刮相位角下的响应得到结构在实际物理空 间的动念响应。 1 3 2 循环对称结构的静态分析 l沿周向周期性变化的载荷计算 对于循环对称结构，如果载倚沿周向也呈周期性变化，则只需分析其中 一个施加以适当边界条件的子结构，并对其求解，就可以得到整个结构的解 答。所用的有限元方程为k a = p ，脚尸分别为分析子结构上的等效刚度矩 j 车邪等效载荷，这时问题相当于对相位角为零时的求解。上述方程实际上代 表了整个旋转周期结构的求解方程，因为利用此式的解答和结构的循环对称 性可以得到整个结构的解。 2 周向任意变化的载荷情况 首先得到扩充扇型子结构刚度矩阵，然后对任意载荷在周向作离散 f o u r i e r 变换，得到予结构在各个谐波下的等效载荷，构造各阶谐波载荷对 应的复约束刚度矩阵，求解各阶谐波载荷对应的f o u r i e r 位移，再利用离散 f o u r i e r 反变换，求得结构的实际位移。最后可以根据需要分析结构的应力。 根据循环对称结构的特点：边界节点在整个扇型子结构中只占很小比例， 因此对不同的相位角进行计算时，复约束刚度矩阵实际上只有一小部分发生 改变，所以首先对刚度矩阵的不变部分在实数域进行分解，当相位角改变时， 主要对改变部分进行分解和回代求解即可。 1 3 3 循环对称结构有限元程序设计 在程序的设讨中，采用c + + 语吉。c + + 的标准模板库应用泛型思想设计， 可以适应不同的数据类型，它e b 容器、算法、迭代器等几部分组成。容器中 有向量，链表等备料r 数据结构。综合运用面向对象技术和泛型技术，设计了 4 西北卜世九学坝l 沦芷 面向对象的循环对称结构静态和动态有限元分析程序的基本框架，提高了开 发效率，增加了程序的维护性和扩充性。 1 4 本章小结 本章主要介绍了循环对称结构的特点和循环对称结构基本理论的发展情 况，及循环对称结构的理论在实际中的应用，最后概述了本文的选题和研究 内容。 西北t 业大学坝卜论义 笫二章循环对称结构的基本理论 2 1等参元用于分析弹性力学问题的一般格式 一个完整的连续体结构，根据哈密尔顿原理( h a m i l t o n ) 建立结构的能量 泛函： l = t u 一睨一睨 ( 2 1 1 ) 式中，7 1 是物体的动能： 7 _ = 胱p 洲 3 a v ( 2 1 2 ) p 是质量密度， 占) 是速度列向量 u 是物体的应变比能： u = 胱 d 】 s d y ( 2 - l 3 ) 式中 卜结构应变列向量 d 结构弹性矩阵 睨是阻尼力势能： w 广。c 纠 参 d y ( 2 l t4 ) 式中c 是粘性阻尼系数 矿是外力势能，包括体积力势能和表面力势能： 睨= j j j 占儿，d v + j 占) 7 f 、嬲 ( 2 l - 5 ) f 和f 分别是体积力向量和表面力向量。 出哈密尔顿原理知，使拉格朗日泛函为极小值的位移才是真实位移，即 6 f 2 l d t = o ( 2 l 6 ) 建立一个单元的运动微分方程，等参元分析中 = 喊 ( 2 1 7 ) = 瓯 ( 2 1 _ 8 ) 式中 矿 单元节点位移列向量 形状函数矩阵 两北d 啦犬学坝 论殳 别形函数的导数矩阵 把以上各部分能量表达式代入式( 2 1 6 ) ，由于单i 节点位移 莎) 的变 分巧 万，) 是任意的，故得到单元运动方程： m 。】 瓯) + c 。 皖 + 丘。 d 。 = r 。j ( 2 1 9 ) 式中【m 。】_ 一单元质量矩阵 【足。 单元刚度矩阵 c 。 单元阻尼矩阵 尺。】时变的节点力向量 结构整体运动方程通过对单元的运动方程进行叠加而得到： 彳】 j ) + 【c 占) + 膏】 占 = r ( 2 1 i 0 ) 这个方程反映了： 1 、一定的初始条件下求出上式的解f 引，即求解结构的动力响应问题： 2 、方程的右端项为零时，方程的解反映了结构的固有振动特性，它包括 结构的固有频率和固有振型，当不考虑组尼时，方程变为 m 】 石 + k 占) = 0 ) ( 2 i 1 1 ) 3 、同时在分析静力问题时，由于眵铷p 均为零，则方程 k i 6 ) = 月) ( 2 1 1 2 ) 成为有限元静力平衡方程。 采用w i l s o n 提出的三维8 节点非协调等参元，它是在线性八节点单元的 基础上，在单元内部增加九个自由度而来的出于增加了内部自由度，大大 改善了单元的抗弯性能，从而可以采用较少的单元获得比较精确的结果。 两北i ：业大学坝卜论文 式中 单元坐标 系统 g 局部坐标 图2 1 二维八节点等参元的变换 维八节点非协调元的位移函数表示为： 8 “= “，+ ( 1 - 善! ) “9 + ( 1 一口2 ) “；。+ ( 1 一f 2 ) “。 g v = n ，v 。+ ( 1 一善2 ) v 。+ ( 1 一叮2 ) v i 。+ ( 1 一f 2 ) v 。 ( 2 1 1 3 ) f # 1 8 w n ，w 忙l + ( 1 一孝2 ) w 9 + ( 1 7 72 ) w i o + ( 1 一f2 ) w ，= ( 1 + f 亏，) ( 1 十叩吼) ( 1 + f 六) 孝，玎，f ，= 1 i = 1 , 2 ，一、8 计算单元矩阵h , j 。， k ：= l 咿d b d v 的。 m ! = 洳n d v a x却 a 眚a 亭 缸却 a 即a v 缸却 d 0 ( 2 l1 5 ) ( 2 1 1 6 ) 单元列0 度矩阵与质量矩阵是在等参坐标系中进行数值积分的基础匕得到 d 即 d 孝 d 髓一西瑟一却瑟一西 2 2循环对称结构有限元方程的解析解释 对于循环对称结构q ( 包括位移和力边界的位置) ，在柱坐标系 ( r 0 ，z ) 中，其几何与物理参数例如弹性膜量、泊松比等，满足： e p ，0 + 2 2 n ：) = e ( ，0 ，z ) ( 2 2 - 1 ) 记丸= 2 ，将q 分解成v 个相倒的扇区 q 。= 渺，庐+ 丸z ) l0 庐丸 n q ( k = 0 , i ，2 ，n 一1 ) ( 2 2 2 ) 对扇区内相同位置的位移、力等物理量做d f t 和 o f t ；n t 以加) 2 荟“( r 卅九- j ) e x p ( 肼丸) 2 ，川m 2 3 “p ，妒+ 慨，z ) = 萎n - i 以加) e x p ( - f 肼丸) ( 七= o l 2 ，州) ( 2 t 2 4 ) 将旋转周期结构的线弹性控制方程写成算子形式： 0 ) = 厂在q 域内 “，：，在a q 。边界上 ( 2 2 5 ) r ( “) = r在a q 。边界上 我们要求a 包和o q ，也是旋转对称的，对扇区内相同位罨的位移和力等物理 萋做d f t ，并分别记为v 和g ，则( 2 2 ，j ) 式可以转化为： ( v ，) = g ， 在三域内 v ，；o ，在a 兰。边界上 ( ，= 0 , 1 ，2 ，n 一1 ) ( 2 - 26 ) r ( v ，) = r ， 在a 互，边界上 兰是一个等价于g 的扇形区域，同时由于“( r ，妒，z ) 是关于妒的2 周 期函数，所以 v 。一，( ，z ) = 蜘艺“( r ，忙+ 10 0 ，z ) e x p o ( 一f ) 丸) = 心n - i “( r ，( 川概，：) e x p ( 卅慨) e x p ( i n k ( k o ) 西乾i 、拉人学颤卜论殳 ：窆“p ，( t + l 溉z ) e x p ( 刮女丸) ：；，( ，以z ) ( 2 ) 我们可以得到三的酋未边界8 ：o 和护= 丸之剃满足的条件 v ，( ，九，臼) = v ，( r ，0 ，曰) e x p ( i l o o ) ( 2 2 8 ) 这样原循环对称结构问题q 的解答就转化成了( + 个独立的扇形区 域三的解答，而每一个扇形子结构的区别仅在于它们的循环边界条件及对应 的相位角。 对j 二结构有限元求解具体的刚度矩阵和质量矩阵以及载荷将在后续章节 中介绍。 2 3循环对称结构的模态分类及描述 2 3 1 循环对称结构的模态分类 对于不同结构的研究表明，在轴对称结构中，许多振动模态都是以简并 砸交对的形式出现的，所谓简并正交对即指两个相互正交的振型，他们对应 着同一固有频率，并和该频率一同构成这一振动形态的完整描述。这是由于 结构是轴对称的，其几何和物理性质具有周期性，故而，当某一轴对称结构 在某一振动模态下的某一点具有变形的最大值时，则在不改变这一频率的前 提下，完全有可能在周向与该点相对应的另外一点出现相应的变形。循环对 称结构由于具有与轴对称结构相似的性质，因此也存在简并模态。 实际上循环对称结构的振动模态具有三种类型，假设循环对称结构具有 个子结构，每一个子结构具有i ，个自有度，并设第i 子结构的振型为“， 则完整结构的振型 u 为： 如 _ 妇。，“；、“：。，“。 ， ( 2 3 【) 三种模念可以分别表示为： 【) 循环对称振型 该类振型中，各个子结构与其相邻子结构的振型相同既满足 如， 7 = 。l y ，因此完整结构的振型。叮以表示为： 妙 = ，“。，“0 一，“。 ( 2 - 3 2 ) o 2 ) 循坏反对称振犁 该类振型中，各个子结构与其相邻y - 结构的振型振幅相同 满足缸， 7 = 一缸川卜因此完整结构的振型可以表示为： 妙 = u 。一“。，一， ， 或 秒 - _ d o , - - ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 j 3 ) 简并振型 不是上面两种振型的振型称为简并振型，即相邻子结构之间的振型存在 一定的相位关系。简并振型的具体描述见后。 如上所述，当完整结构以循环对称振型或循环反对称振型振动时，只需 知道其中一个结构的振型就可以得到整个结构的振动形态。 2 3 2 简并振型的复数描述 对于简并振型，即0 ，) 7 仁川p 和量，f 一缸一 7 ，将 抄 = k ，“l ，“：，“。 7 ( 2 3 5 ) 归一化处理，有缸y 如y = 1 ，由循环周期结构的周期性特点，将其旋转一个 子结构，其特征向量变为： 妙 = 每。“，“。 ( 2 3 6 ) 其固有频率与p 相同，但一般情况下不与u 正交，设妙 与妙。 的正交向量 分别为缈 和杪。 ，则缈) 平口杪 可以表示为妙 与妙 的转换 讣v 陋- s ir ，铡昝啷 。， ，。，是n j 阶的单位矩阵，且 且c 2 + s2 = 1 ( 2 3 8 ) 陋】。是 u 与妙 旋转，个子结构的旋转矩阵，对于第f 个子结构可写出 两北业大学“! | 1 论立 = 隧c 叽i , v 肥i ， 。， 因此当循环对称结构以简并振型振动时，只要知道任意一个子结构的振 动形态，就可以通过旋转变换得到同一振型f 其它子结构的振动形态，既可 以得到整个结构的振动形态。 2 3 3 复特征向量及其物理意义 1 振型的复特征向量描述 循环对称结构的简并振型的全部振动信息，可以由任一子结构的一组正 交归一的特征向量妙 与妙。 表示，循环对称振型和循环反对称振型只是其 中的特例，循环对称振型的相位差为零，循环反对称振型的相位差为疗，即 循环对称结构的所有振型都可以用一个复向量 z 描述，即： z - 妙 + f 妙 ( 2 3 1 0 ) 相应的，当结构旋转一个子结构时，其特征向量可以表示成 z - + 耖。j ( 2 3 1 1 ) ( z 和 z 。 之 日j 存在以下关系： z _ = 日 z ( 2 3 1 2 ) 所以任意一个子结构上的复特征向量都可以运用一个与之相邻的子结构 的特征向量来描述。 z j - e i u 扛川 ( 2 3 1 3 ) 2 复特征向量的物理意义 复特征向量具有以f 的物理意义，对于循环对称结构在某段时间内的位 移模态可以由 u e 给出，它的实部 u c o s 甜就是瞬时位移模态。事实上瞬 时位移模态也可以由 z e 的实部给出： z e = ( 妙 + u ) ( c o s o x + i s i n c o t ) ( 2 3 1 4 ) 即瞬时位移模态可以表示为 u c o s o * 一秒 s i n 甜 ( 2 3 1 5 ) 旺然它描述了结构振动的转动模态，相同的瞬时位移模态在连续的时1 7 i j 阳j 隔 蔓j 坚些查兰塑! ：堕兰 内反复出现，芹且每次围绕另外一个了结构转动，当f = o 时，位移模态为砂 ， 当f - “时，位移模态为 u c o s “一妙j s i n “( 2 3 ，1 6 j 此时即矿 。当，：时，模态转过一个了结构，结构的位移模态与f ：o 时 相同。 2 3 4 相位角且的取值 对于由n 个子结构组成的循环对称结构，当模态向量转过n 次后，复特 征向量保持不变，由公式( 2 3 1 3 ) 可知的“取值如下： 2 n ( m i ) “2 。 ( 2 3 l 7 ) 对于循环对称模态或循坏反对称模态，由于不存在正交模态，即 u = 0 ， 因此特征向量 z 为实数向量。对于循环对称模态，朋二1 ，：0 ；对于循环 反对称模态，m = + 】，2 = n - ；显然当为奇数时，结构不存在循环称模 态。对于简并模态，卢的n 个取值有正有负，负值对应逆时针转动的特征向 量，正值对应顺时针转动的特征向量。正负值对应的特征向量是共轭特征对。 因此，掰的取值为： 当为偶数时， m ：l ，2 ，_ n + 1 当为奇数时， 。：l ，2 ，型；! 相位角表示了循环对称结构中任意相邻子结构在对应点的相位差，所 以完整结构的任何模态都可以通过一个子结构的振动模态旋转对应的相位角 柬表示。 2 4 块循环矩阵的性质 循环对称结构的核心思想是利用块循环矩阵的性质下面对块循环矩阵 的性质进行介绍。 块循环矩阵的一般表达式为： 两北工业人学础士论殳 r = c ic 2 c c 1 c 2c c 式中 c 。 n 阶方阵 r 卜一n n 阶方阵 构造范德蒙( v a n d e r m o n d e ) 矩阵v ，v 是一个酉矩阵。 v = ii ik 4 ” e c 川 血。( ”一1 h “ ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 妒= 2 f - = 了，是月阶单位阵 块循环矩阵的基本性质如下： 【。 y 尺】【y 】= d i a g r ，】 限】= nf 廖”p ( r = 0 , 1 ，2 ，n 一1 ) ( 2 4 - 3 ) = 2 块循环矩阵的特征值方程可以表示为 d e t ( r 卜州功：艺d e t ( 嘛一五= 0 ( 2 4 4 ) 3 块循环矩阵【r 】的特征值为实数的充要条件是其为对称矩阵。 4 如果 r 】是实对称矩阵，则【瓦，】- 【尺n - r n - r 】。该性质表明，如果丑， g 是 见， 的特征值和特征向量，则丑， 可) 必是 峨一，一， 的特征僵和特征 l 趣量。因此只需求解特征值问题 m 卜丑【， _ 0r = 0 , 1 2 - ( 2 4 5 ) 两北【业人学硕t 论立 2 5 本章小结 本章主要对循环对称结构涉及到的基本知u 进行了介绍，首先介绍了有 限元法的基本理论及三维非协调等参元在具体有限元方程中的引用，复约束 特征向量的物理意义及块循环矩阵的性质，这些都是进行循环对称结构分析 的必备知识。 堕垄：! ! 坠堂塑! 堡兰 第三章循环对称结构的静态和动态分析 3 1 循环对称结构的静态分析 根据循环对称结构的结构特点，对其进行静态分析时，只要分析其中一 个施加以适当边界条件的子结构，就可以得到整个结构的解答，而不必进行 整个子结构的集成求解，f 面按载荷是否具有周期性分别进行讨论。 3 1 1 沿周向周期性变化的载荷的情况 对于二循环对称结构，如果载荷沿周向也呈周期性变化，只要分析其中的 一个子结构，就可以直接得到整个结构的解答。对图3 1 所示的典型子结构， b 鞋珧h 射 ， 其中d ，口。，分别表示子结构的内部节点，a a 边界节点和b b 边界节点的位 移列阵，；，以分别是对应的载荷列阵刚度矩阵也作相应的分块。 因为所有子结构完全相同，a a 边界和b b 边界上的节点分布也完全一样， 闵此当载荷也呈阁期性变化时，如果在两条边界上各自建立相似的局部坐标 系，则在相似的局部坐标系中边界节点位移a ：和口：应该相同，即 n ：= d ：( 3 1 2 ) 两北t 业夫学颂卜论文 口 = “： ( 3 1 3 ) 则利用b b 边界的局部坐标系和总体雀标系之问的转换关系可以得到 “h = s a ：= 5 口：= s a ( 3 1 4 ) 其中s 是坐标变换矩阵，在三维坐标系卜，相邻边界转换矩阵为： rc o s s i n 0 s = i “n 妒c 。s 矽o i= 2 ( 3 1 5 ) l 001j 西是相邻边界的夹角，将上述转换关系带入( 3 1 1 ) 式，并用s7 前乘第三式 两端，最后合并相同的节点自由度，得到子结构的求解方程可以表示成如下 形式 p ，嚣s + k 4 b 7 巧一+ s 7 k r kk 捌= 仇 慨，l彰，+ 。s 。 hjj 方程( 3 1 6 ) 式实际上代表了整个旋转周期结构的求解方程，因为利用 此式的解答和旋转周期性可以得到整个结构的全部解答。 在通常的子结构的网格划分中，首末边界0 = o 和目= o 之间是不直接相 豆耦合的，特别是子结构内网格划分和节点编号成分块形式( 如图3 2 所示) ， 且边界毋= 0 , n o = 赢以处于相似的局部坐标系，则最后得到的刚度矩阵具有 块状加边的特点。即如下式 a ib i b ?a 2b 2 b ：a ， 爿肛】 群。 f 。 鼻。 ( 3 1 7 ) 对于上面的矩阵具有块状加边的特点，可以对其编写一套特殊的解法 萁具体步骤将在( 4 4 ) 节介绍。 3 1 2 沿周向任意变化的载荷情况 x ；j - - ： f a a l 向任意变化的载荷情况，将载荷在周向作f o u r i e r 展开。每一个 hh iiiiiiiiiiiiii儿 历 跏压 两- 1 e 1 i 业人学坝l 蹬空 于结构上的载荷可以表示成 图32 旋转周期结构 鼻，( ，：，p ) ：r 。( ，五日) + 兰r ，( r ，。，伊- 川) z 一，“ k l 一i z 沁，：，秽) = z or ，：，曰) + z 庸，z ，圳”哪 ( j = 1 2 ，) ( 3 1 8 ) k i 一1 7 _ 吩 臼) = 瓦( ，曰) + 正( ，曰少”2 “ = 1 其中目是从各个子结构起始边作为参考面定义的周向坐标a 现在需要分析一 个在周向展开角为的2 的子结构a 载荷通过f o u r i e r 展开后，是，z ，目的 函数。对于一般的情况，展开后最多包含n 项a 引入复数表达形式来表达子结构上的载荷。将( 3 1 8 ) 改写成 尸，：, v - i f p j ( 川) “7 0 = l ，2 ，) ( 3 1 9 ) = 0 其中f 是载衙的各阶f o u r i e r 系数。 f - 仃 “。2 整个结构 二的载荷分布可以表示为： 西北t 业大学坝卜论文 p = p 只 一 p n ( 3 1 1 0 ) 其中只是载衙的各阶f o u r i e r 分量。 由d f t 和i d f t2 _ 1 、刮的关系，可以得到计算，的表达式 巧2 荟矿 - 1 1 1 和载荷相类似，旋转周期结构上每一点的位移在周向也作f o u r i e r 展开， 然后求解各阶f o u r i e r 载荷f 对应的f o u r i e r 位移x p 此时在边界 占= o 和曰= 2 处的位移具有以下的复约束关系“。1 口。：= 口8 p 一7 “7 ( 3 - l 1 2 ) 与周期性载荷相同的讨论，如果结构的总体坐标系和子结构的边界从 的局部坐标系相同，则利用边界b b 的局部坐标系和总体坐标系之间的转换关 系可以得到： d = j g 7 ( 3 l 1 3 ) 经过相同的分析，可以利用结构周向受周期性载荷相同的方法得到子结 构的求解方程如下_ ： a 1 b ? a d b e “? 殴l ( ，= o ，l ，2 ，n 1 ) 由( ：j 1 1 1 ) i e 年口( 3 1 1 4 ) 式女口t p 一= f k 。= k j 凶此只要对于部分，求解。，的取值如下 b 。 a 。 只。 鼻。 ( 3 1 1 4 ) ( 3 l 1 5 ) m陬i i l 【i 北、止大学坝卜论芷 当n = 奇数 f = o ，1 ，2 ，n 一1 2 当n = 偶数t = 0 , 1 ，2 ，n 2 当求得x ，解答以后各个子结构的位移可以利用 d f t 得到 d k = 十2 r e b ，e “。) + 卜1 ) “1 z 。 当是偶数 h ( 3 i 1 7 ) ( n 1 ) 2 ，、 + 2 r e b ，e “8 ) 当是奇数 ( k = l ，2 ，3 ，n ) 由于和凡。( 当为偶数) 只有实部，所以相应的d o 和j d m ( 当为偶数) 也只有实部，而且，= 0 就是前面讨论的载荷沿周向周期性变化的情况。 3 2循环对称结构复约束特征值的求解 绪构的动态响应可以看成是不同模态的线性叠加，因此要求解结构动态 响应时，首要的一步就是求解出结构的固有振型，特征值问题就成为计算结 构动态响应的基础。对于循环对称结构，根据其结构特征性首先把完整结构 的特征值问题转化为个独立的扇形予结构的复约束特征值问题，随着取 个不同的值，就可以得到完整结构的特征值和特征向量。而各个独立的扇 形子结构的特征值之间呈现相互交错现象，所以对于每一个独立的扇形子结 构我们只需了解少数较低的几阶特征值和相应的特征向量，而不必考虑其高 阶的特征值和特征向量，然后再组合各个独立扇型子结构的特征值和特征向 量，并根据不同的计算相位角把子结构的振型扩充到整个结构，就可以得到 整个结构的较低阶固有振型因为结构的高阶特征解对系统的实际影响比较 小。同时由于循环埘称结构相位角的变化，循j ；l = 对称结构会因其子结构数目 的增多而增加计算的次数，如果扇区数很大，则随着相位角的增加，计算出 来的频率也随着增加，因此可以只选择相位角较低的子结构进行分析。对同 一结构，其扇区数越多结构形状越复杂，此时每一个子结构的网格划分都 需要很密集，但是对其计算量还是主要集中在阳6 度矩阵的实数域分解j 二，而 以后的计算主要体现为回代求解，所以这时运用循环对称方法就会获益更多。 两北丁业人学坝l 论迁 3 2 1 循环对称结构运动方程的解耦 对于整个结构离散后无阻尼自由振动方程u r 以表示为： m x + 凡= 0 ( 3 2 1 ) 若设结构作简谐振动，则有 x = s i n ( c o t + 0 )( 3 2 2 ) 式中o 圆频率： 0 初始相位角； 矽与时剧无关的位移向量。 将上式带入式( 3 2 1 ) ，得 ( ( 髟卜0 92 w ) ) = o ( 3 2 3 ) 对每一个扇型子结构建立相同的局部坐标系，将刚度矩阵和质量矩阵按 每个子结构和其对相邻子结构的作用写成分块形式，例如k 可以写成如下形 式： k | | k 1 2 kj k 五 k l2 0 0k i k j，0 k 1 lk i2 世厶k 1 i ( 3 2 4 ) 其中k k ，：是n 阶矩阵，”是每个扇区内的自由度数目，且k ，是对称 正定的。该矩阵的特点是第i 行中的各块由第i l 行中的各块元素向右移动j 块列而得到。具有这种性质的矩阵称为块循环矩阵。 对结构的质量矩阵进行同样的分析可以得到与上述刚度矩阵结构形式 类似的系统质量矩阵，该矩阵也是块循环矩阵。若采用集中质量矩阵，因其 是对角矩阵，所以也是一种特殊的块循环矩阵。 循环对称法就是利用结构刚度矩阵和质量矩阵的块循环特性，把整体结 构的运动方程解藕到个独立的子结构内进行分析。 根据 d f t ，整个结构的位移向量可以表示为： ( 街= v 】f ( 3 2 5 ) 占) = 占。，占2 一，占。 7 西北卜l k 大学顾 + 论文 根据块循环对称矩阵的性质，r 一义特征方程( 2 4 4 ) 转化成n 个h e r m i t e 矩阵的广义特征方程 ( 足k g o ! m 。】) j ，= 0 ( ，= 0 , 1 ，2 n 一1 )( 3 2 6 ) 其中 k ，= k i l + kj 2 p ”9 + k j p “埘 ( 3 2 7 ) m ，= m f f + m f 2 e7 9 + m i 7 2 e 1 9 ( 3 2 8 ) 由式( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 可知， k ：= k 。一。m ：= m 一。一， ( 3 2 9 ) 的特征值及特征向量问有如下关系 0 30 = ：，戳。= 矽( 3 2 1 0 ) 这样一束，我们只需要对 f 小卜一， ( 为偶数) ( 32 1 1 ) 卜1 0 ，1 ，、，彤 ( 为奇数) u “ 求解特征方程就够了。再由复特征向量的性质( 2 2 1 1 ) ，就可以得到整个结 构的固有特性。 总之，循环对称结构的特征值问题可以转化为n 阶复特征向量问题 ( ，= 1 ，2 ，一1 ) 与n 阶实对称矩阵的特征值问题( ，= o ，) a 3 2 2 改进的r i t z 向量方法 应用与载荷无关的特征向量作为振型迭加法的基函数并不是最佳的，