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四川大学硕士学位论文 分形维数的数学基础及对上海股票市场 混沌、分形特性的实证分析 专业：应用数学 研究生：李方文指导教师：李竹渝 摘要：分形与混沌作为非线性科学中两个重要组成部分，从上世纪七十年代起 在经济、金融研究中得到广泛应用，就目前我国在这个领域的研究现状看，其 应用研究主要集中在系统的混沌识别，混沌吸引子是否存在，时间序列曲线分 形结构的分析，混沌系统短期预测与控制等问题上。由于分形维数提供了一种 比较分形的客观依据，并能根据其定义与实际数据通过实验手段近似求得。以 至这些应用研究均涉及分形维数的计算与估计。严格、抽象的分形维数定义在 理论上虽不可或缺，但要用来计算实际问题中的分形维数时，却一筹莫展。于 是在实际研究中，针对不同的应用领域及其对象特点提出了各种方便、实用的 分形维数概念，以及相应的计算与估计方法。因此，有必要对分形维数计算的 数学基础与方法展开讨论，明确各类常用分形维数的数学基础，相互联系及各 自特点。利用先进的计算机软件、计算机技术等现代化手段，积极开展分形维 数计算的数值实验，从中探究出更多的计算分形维数的有效、快速、方便、实 用的估算方法，在实际应用与理论探讨中促进混沌、分形、非线性方法在经济、 金融研究中的有效应用。 t 这篇论文首先就混沌、分形在经济、金融领域的应用及我国学者在这方面 的工作与特点作了简要分析，讨论了混沌、分形的含义，指出了分形维数及其 估算在实际应用中的重要性。在论文的第二，第三章，就混沌、分形应用中， 涉及到的分形维数计算的数学基础与方法展开了详细讨论，就各类分形维数的 数学定义，相互联系及各自特点作了比较详细的分析。给出了就时间序列数据 开展混沌、分形研究中，广泛使用的关联维数、赫斯特指数的理论与估算方法。 论文的第四章应用关联维数、赫斯特指数的理论与估算方法研究上海股票市场 的结构特性，对上海股票市场的混沌、分形特性进行了实证分析。在样本数据 的逸取、估算方法、计算机编程实现、理论的应用上有自己的特色，认为上海 股票市场是一个具分形结构，在系统的相空问存在混沌吸引子的非线性系统。 关键词：混沌，分形，分形维数，混沌吸引子，关联维，赫斯特指数，分数布 朗运动，相空间重构，重标极差分析。 四川大学硕士学位论文 m a t h e m a t i c a lb a s i so ft h ef r a c t a l d i m e n s i o na n d e m p i r i c a l a n a l y s i so f t h ec h a o sa n df r a c t a lt os h a n g h a is t o c km a r k e t m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t e s t u d e n t ：l b f a n g w e ns u p e r v i s o r ：l iz h u y u a b s t r a c tt h e t h e o r yo f c h a o sa n df r a c t a lh a v ea r ew i d e l y a p p l i e do ne c o n o m i c sa n d f i n a n c ef i e l ds i n c et h e7 0 sl a s tc e n t u r y t a l k i n ga b o u to u rc o u n t r y ss t u d i e so nt h i s w a y , a sw h o l e ，t h e s es t u d i e sa sf o l l o w e dh a v eb e e nd o i n g ，r e c o g n i z i n go fs y s t e m c h a o s ，l o o k i n gf o rc h a o sa t t r a c t o r s ，r e s e a r c h i n gf r a c t a ls t r u c t u r et ot i m es e r i e sc u r v e p r e d i c t i o na n dc o n t r o lt oc h a o ss y s t e me t c a ut h o s es t u d i e sn e e dd e a lw i t ht h e e s t i m a t i o no ft h ef r a c t a l - d i m e n s i o n t h e r ea r em a n yd e f i n i t i o n sa n de s t i m a t i o n m e t h o d so ft h ef r a c t a l d i m e n s i o ni np r a c t i c a la p p l i e d t h e r e f o r e i ti sn e c e s s a r yt o d i s c u s st h em a t h e m a t i c a lb a s i sa n dc a l c u l a t i o nm e t h o d so ft h ef r a c t a l d i m e n s i o na n d r e c o g n i z i n gt h ed e f i n i t i o na n d m u t u a lc o r r e l a t i o no f m a n y u s e f u lf r a e t a l d i m e n s i o n t h e c h a p t e ro n eo f t h i sp a p e rw ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no fc h a o sa n df r a c t a i i ne c o n o m i c sa n df i n a n c e ，g i v eo u tt h ek n o w l e d g eo ft h ec o r r e l a t i o nt oc h a o sa n d f r a c t a l a n dp o i n to u tt h a tt h ee s t i m a t i o no f t h ef r a c t a l d i m e n s i o ni sv e r yi m p o r t a n ti n r e s e a r c h i nc h a p t e rt w oa n d c h a p t e rt h r e e w ed i s c u s si ns o m e d e t a i lt h em a t h e m a t i c s t h e o r ya n de s t i m a t em e t h o d so ft h ef r a c t a l d i m e n s i o n i n c l u d i n gt h em a t h e m a t i c a l d e f i n i t i o na n da p p l i e dc h a r a c t e r so fa l m o s ta l lt h ef r a c t a l d i m e n s i o n s p e c i a l l y , w e g i v eo u te s t i m a t i o nm a n n e r so f c o r r e l a t i o n - d i m e n s i o na n dh t t r s te x p o n e n tt h a ta r e w i d e l yu s e dw h i l ec a l c u l a t i n gt h ef r a c t a l d i m e n s i o no f at i m es e r i e s a tl a s t t h r o u g h e s t i m a t i n gt h ec o r r e l a t i o n - d i m a n s i o na n dh u r s te x p o n e n tt os h a n g h a is t o c ki n d e x w eg i v es o m ee m p i r i c a la n a l y s i sa b o u tt h ec h a r a c t e r so fc h a o sa n df r a c t a lo n s h a n g h a is t o c km a r k e tb yu s i n gs a sa n dm a t l a b c o m p u t a t i o nr e s u l t so nr e a l d a t af r o ms h a n g h a is t o c km a r k e to b v i o u s l ys h o wt h a tt h ef r a c t a l d i m e n s i o no n s h a n g h a i s t o c km a r k e ti s a p p r o x i m a t e l y 1 5 a n df u r t h e r m o r e s h a n g h a is t o c k m a r k e te x i s t sc h a o sa t t r a c t o r k e yw o r d s ：c h a o s ，f r a c t a l ，f r a c t a l d i m e n s i o n ，c h a o s - a t t r a c t o r , c o r r e l a t i o n d i m e n s i o n ， h u r s t - e x p o n e n t , f r a c t i o n a l b r o w n - m o v e ，p h a s e - s p a c er e c o n s t r u c t i o n ， r e s c a l e dr a n g ea n a l y s i s 2 四川大学硕士学位论文 第一章引言 l _ 1 混沌、分形、非线性方法在经济和金融研究中的广泛应用 当前，无论自然科学还是社会、经济科学都面临许多深刻的变化。学科之 间的相互渗透，正在推动着交叉和综合性科学的产生。迅猛发展着的非线性科 学就是这种交叉和综合的产物。在非线性科学中，涉及到对确定性与随机性， 有序和无序，简单性和复杂性，整体与局部等范畴和概念在认识上的深化，对 科学理论与实际应用产生着重大影响。在现实世界中，许多系统呈现出让传统 理论难以释怀的怪异表现，这其中一个重要原因是系统本身结构是非线性的， 而我们的传统理论却擅长对它们进行线性处理，这种情况在经济、社科领域表 现得也很突出。比如，在过去的几十年中，金融经济学一直为一个线性范式所主 宰。也就是相对于每一个作用都有个与之成比例的反作用的观点。然而市场 很少会如此次序井然。经常是在你最意想不到的时候，对于一个作用出现了指 数性的过分反作用，这就是非线性的本质“。如资本市场的有效性假说，从一 出现伊始，就引起尖锐的争论。非理性繁荣一书的作者，美国耶鲁大学著名 教授罗伯特- 希勒在最近的演讲中认为：“金融理论是深刻的，但是某些理论被过 分强调了，并且我想说的是这些理论与我们所看到的现象存在着不一致的地方， 因为它过分强调理论方面，就有它偏颇的方面。首先就是“有效市场理论”，这种 理论认为股票的价格是基本面信息的反映，例如收益和红利等信息这个理论已 经存在了许多年，但实际上它并不像我们想像的那么正确，第二个颇有争议的理 论就是关于市场随机性的理论，它是说在金融市场上你很难确定买卖的时机，不 知道什么时候该买，什么时候该卖。”有效市场假说( e m h ) 及其随机游走模型并 没有很好的刻划市场特征，也没有得到实证的很好支持。市场实际总是出现了 许多与之相悖的现象，于是许多学者转而求助于新的科学理论与方法，尝试用 分形、混沌、非线性科学等方法对资本市场特性进行研究“。“。分形与混沌理 论作为非线性科学中两个重要组成部分，从上世纪七十年代起在经济、金融研 究中得到广泛应用“1 。我国应用分形、混沌理论研究证券市场中的股价波动问题 是1 9 9 1 年才开始的。如文献”研究了伦敦外汇市场英镑对美元的汇率变动，给 出了汇价吸引子的证据；文献”1 研究了s & p 5 0 0 指数存在混沌吸引子的证据；文 献”1 从理论上探讨了通过计算混沌吸引子分形维和r s 分析研究股票价格变动 规律的可能性。 就目前我国在这个领域的研究现状“。叫”1 看，总体上，其应用研究主要集中 在系统的混沌识别，混沌吸引子是否存在，时间序列曲线分形结构的分析，混 沌系统短期预测与控制等问题上。由于分形维数提供了一种比较分形的客观依 四川大学硕士学位论文 据，弗能根据特定的维数定义与实际数据通过实验手段近似求得。所以这些应 用研究均涉及分形维数的计算与估计。严格、抽象的维数定义在理论上虽不可 或缺，但要用来计算实际问题中的分形维数时，却一筹莫展。于是在实际研究中， 针对不同的应用领域与对象特点提出了各种方便、实用的维数概念，以及相应 的计算与估计方法。因此，有必要对分形维数计算的数学基础与方法展开讨论、 总结，明确各类常用分形维数的数学基础，相互联系及各自特点。利用先进的 计算机软件、计算机技术等现代化手段，积极开展分形维数计算的数值实验， 从中探究出更多的计算分形维数的有效、快速、方便、实用的估算方法，在实 际应用与理论探讨中促进混沌、分形、非线性方法在经济、金融研究中的广泛 应用。 1 2 混沌、分形与分形维数 关于混沌的概念，确切的定义很难给出，一般认为混沌就是指在确定性系 统中出现的种貌似无规则的、类似随机的现象。对于确定性的非线性系统出 现的具有内在随机性的解，称为混沌解。这种解在短期内可以预测，而在长期 内却不可预测，因此同确定性解和随机性解均不同( 随机性解在短期内也是不 可以预测的) 。混沌不是简单的无序，而是没有明显的周期和对称，但确是具有 丰富的内部层次的有序结构，是非线性系统中的种新的存在形式。已有的存 在形式是平衡态周期解和拟周期解。从数学上讲，对于确定的初始值，由动力 系统就可以推知该系统的长期行为，甚至追溯其过去性态。但大量实例表明， 很多系统对初始值的依赖十分敏感，即所谓的“蝴蝶效应”，这正是系统内在的 固有的随机性引起的，它只可能发生在非线性系统中。 上世纪六十年代，美国学者洛仑兹( e 1 0 r e n z ) 在气象研究中发现了“蝴 蝶效应”系统对初始条件的敏感性依赖，即在一个非线性系统中，任一微 小因素的变动，都可能导致无法估量的后果。后来，人们把在某些确定性非线 性系统中，不需要附加任何随机因素，由于其内部本身存在的非线性相互作用 产生的类似随机现象称为“混沌”、“动力学随机性”“内在随机性”等等。由于 在不同的学科领域，混沌的含义和研究方法有所不同，迄今为止，还没有一个 公认的普遍适用的数学定义。人们用奇异吸引子，李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 指数 以及对初值的敏感性等来研究与定义混沌。 自然界有许多类似于海岸线的曲线，它们的共同特征是极不规则，极不光 滑。当我们接近这些研究对象时，就会在不同的接近层次上，即越来越小的范 围上发现同等程度的不规则性，同等程度的复杂性。由于这样一些曲线捉摸不 定，历史上被视为“病态曲线”。数学界长期回避对它们的研究。上世纪六十年 代，法国数学家芒德勃罗在研究“英国的海岸线有多长? ”的问题时，发现“英 国海岸线的长度是不确定的! 其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所用的尺 四川大学硕士学位论文 度。”传统的几何图形是相当规则、光滑的，但这仅仅是对自然界的简化和近似， 在自然界中几乎不存在外表真正光滑连续的物体。芒德勃罗给具有这种复杂性 质的图形命名为分形( f r a c t a l ) ，意味不规则的、支离破碎的、分数的等。 分形的种类非常多，可以在数学上用迭代的方法来产生，也可以用随机的 因素来产生分形( 如布朗运动) ，但要严格地对分形下定义，却不容易。一般来 说，分形具有以下性质： ( 1 ) 具有精细的结构，即有任意小的比例的细节； ( 2 ) 非常的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的语言来描述； ( 3 ) 有某种自相似的形式，可以是近似的或是统计的； ( 4 ) 分形维数一般大于它的拓扑维数； ( 5 ) 可以用非常简单的方法来定义其产生的过程，可以由迭代产生。 分形与混沌有着密切的联系，混沌主要讨论非线性动力学系统的不稳定的 发散过程，但系统状态在相空间中总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成 过程十分相像，如果说混沌主要是研究过程的行为特征，分形则是更注重于吸 引子本身的研究。分形与混沌的一致性并非偶然，实质上，混沌吸引子就是分 形集。 实际上不论分形的起源或构造方法如何，所有的分形都具有一个重要特征， 即可以通过一个特征数分形维数去测量其不平滑、不规则、复杂或混沌程 度。即分形维数值越大，该分形的不平滑、不规则、复杂或混沌程度越大。分 形维数提供了一种比较分形的客观依据，并能根据维数定义与实际数据通过实 验手段近似求得。分形维数度量了分形物体在空间团在一起的程度，但它的具 体数值并不能确定一个分形的性状，对有同一分形维数值的分形而言，可以有 完全不同的形状特征，完全不同的生成方法。 洛仑兹( e 1 0 r e n z ) 在其著作混沌的本质中讲到：“七十年代后期，人 们迅速遇到一些新的奇怪吸引子，这些吸引子有分形维的几何结构，而不是缺 少周期性或具有对初值的敏感依赖性，这是一些专家发现的最引人注目的特征。 至少在目前分形维数正在成为混沌理论的主要研究对象。” 第二章分形维数计算的数学基础 2 1 豪斯道夫维数与计盒维数 历史上，分数维数的概念最早是由数学家豪斯道夫提出的，要理解严格意 义下分形维数的定义，必须首先认识豪斯道夫测度、豪斯道夫维数。豪斯道夫 测度是分形理论及其应用中最基本的一种测度，它是勒贝格测度在维数不一定 是整数时的推广。豪斯道夫维数是建立在豪斯道夫测度基础之上的，在各种分 形维中，它是最基本的种。 6 四川大学硕士学位论文 定义2 1 ：设f c r “是个非空的集合，占是一个非负实数， u ) 是r ”中的一 个可数的或有限的集合；如果f c u v ，并且对于每个i ，0 0 ，定义 h ；( f ) 2 i n f i z l u ， 5 ： u ，) 是f 的6 一覆盖) ( 2 1 ) 显然，对于给定的f 和s ，日；( f ) 是占的一个减函数，即当占减少时，( 2 1 ) 式中能覆盖，的集类是减少的，所以；( ，) 随着增加，并且当占寸0 时，；( f ) 趋于一个极限，这个极限的值可能是0 和o 。，也可能是一个非0 的实数。记 h 5 ( f ) 2 般瞒( f ) ( 2 2 ) 称h ( f ) 是f 的s 维豪斯道夫测度。 长度、面积、体积的比例性质是众所周知。当比例放大五时，曲线的长度 放大a 倍，平面区域的面积放大五2 倍，3 维物体的体积放大倍。可以预料到， s 维豪斯道夫测度将放大倍。这个比例性质是分形理论的基础。 比例性质：若f cr ”，五 0 则 h 1 ( 2 f ) = h5 ( f ) ( 2 3 ) 这里，2 f = 础：x f ) ，即f 按比例放大丑倍。 证明： 若 u ，) 是f 的一个占一覆盖，则 2 u ， 为胪的一个a j 一覆盖。所以 h 厶( 舻) 恤u ， 5 = l u ，r 因为对任何占一覆盖 【，) 都成立，所以 h 乞( ) 五5 蟛( f ) 令占_ 0 ，即得h5 ( 2 f ) 2 h 1 ( f ) 。用代替 ，用肛代替f 则得一个 需要的反向不等式。证毕。 定义2 2 ：设f c r ”是一个非空的集合，s 是一个非负实数，h ( f ) 是f 的s 维 豪斯道夫测度。f 的豪斯道夫维数 d i m 。f 定义为 f d i m h f 2 i n f s ：h 5 ( ，) = o = s u p s ：h 3 ( ，) = o 。) ( 2 4 ) 四川大学硕士学位论文 可以这样来理解豪斯道夫维数，对于个给定的集合f ，如果把h ( ，) 看 成的个函数的话，则f 的豪斯道夫维数 d i m 。f 是使得日( f ) 从0 0 跳到0 的 一个临界点。当是有限数时，h 5 ( f ) 可能等于0 或者m ，也可能满足关系式0 ( h 。( f ) 。 豪斯道夫维数是分形理论中一种最基本的分形维数，但是在实际应用中， 计算一个分形集合的豪斯道夫维数是复杂、困难的。因此，寻找一种既能表示 分形的复杂性又便于计算或直观估计的分形维数是十分必要的。前面给出的豪 斯道夫维数定义，是基于尺度的测量的思想。寻着这样的思路，可设讨论的分 形集合是度量空间的紧集。作这样的假设并不失去一般性，因为在实际问题中 所遇到的具有分形性质的几何对象大多可以用欧氏度量空间中的紧集作为 数学模型。 设( x ，d ) 是一个度量空间，s 是一个非负实数；让b ( x ，s ) 表示一个中心在x ， 半径是占的闭球。设a 是中的一个非空紧集，对于每个正数占，令n ( a ，占) 表 示覆盖爿的最小闭球的个数，闭球的半径是占，即 m n ( a ，占) = m ：ac u n ( x ，占) ) 仁1 其中x ，x ，一，x ，是x 中的不同的点。 一般地，n ( a ，s ) 是比较容易求出的，事实上，对于a 中的每个点，作以x 为 中心，以占为半径的开球，所有这些开球的集合构成爿的一个开覆盖，由于集 合a 的紧集性质，根据著名的有限覆盖定理，必定存在a 的一个有限子覆盖， 它含有有限个开球。则这些开球的闭包就是一个现成的覆盖集合a 的闭球族。 分形维数的一个直观思想就是：如果成立 n ( a ，占) z c e 。，c 是一个常数 则称爿有分形维数d 。即 d i n n ( a , s ) - i n c i n 占 因此，给出下述定义 定义2 3 ：设a 是一个紧集， 则称d 是集合a 的分形维数， 占是非负实数，若存在 d ：l i m i n n ( a , 6 )( 2 5 ) x - - 0 1 n s 记为d = d ( a 1 。 如果对( 2 5 ) 式中比较直观的n ( a ，占) 作一般推广，可得到具有广泛应用 四川大学硕士学位论文 价值的计盒维数。 定义2 4 ：设f 是月”上任意非空的有界子集 f 的集的最少个数，则称 d i m 。f ：l i m i n n d ( f ) 。! 坐一i n 占 为f 的下计盒维数。称 j v 。( f ) 是直径最大为占，可以覆盖 ( 2 6 ) 丽。f ：丽i n n a ( f )( 2 7 ) d _ + o i n d 为f 的上计盒维数。如果上下计盒维数值相等，称这共同的值为f 的计盒维数 记为 d i m 。f ：l i m i n n 6 ( f )( 2 8 ) 2 2 实用的各类分形维数定义，相互联系及各自特点 尽管定义2 4 较定义2 2 有了明显的直观性和可操作性、当在不同领域的 应用时，还是显得抽象，可计算性差。确实要找到一种对所有情况都简单、合 适的分形维定义是困难的。需要根据不同领域及对象特点，给出相应的更细、 更方便、更容易计算的分形维数定义。在实际应用中已发展出了十多种这样的 分形维数定义，如相似维、容量维、盒子维( m i n k o w s k i 维) 、信息维、关联维、 广义分形维等等。下面讨论这些实用型分形维数的数学定义，并比较其相互联 系和应用中的特点。 ( 1 j 相似维数d 。 分形客体具有自相似性，所以引入相似维是很自然的，如果欧氏空间中的 图形a 可以分成n ( n 1 ) 个相等的且与a 相似的部分，则称一为自相似集。 设集合一是d 维的，根据比例性质2 1 有：如果将一个图形的线度放大五倍， 其图形将放大到l 即三= ，则d = _ i n 了t 。显然在l 与引毙事先计量时，由该式 可计算a 的维数d ，寻着这一思路，可给出相似维的定义： 哦2 等 ( 2 9 ) 这里，表示图形a 相对于局部的数目，五表示整体与局部的相似比。 9 四川大学硕士学位论文 例如，设有一边长为a 的正方形，用一正方形的网络将其等分成个小正 方形，每个小正方形与原正方形相似，每个小正方形的边长为日2 ，相似比 丑= ，即边长为2 ，的正方形放大为边长为a 的正方形，图形放大倍， 即三= ，于是按定义( 2 9 ) 算出边长为a 的正方形的维数 d ：堕：j 唑：2 l n 21 n 相似维数定义是用整体的数目上和整体与局部的相似比a 来定义的维数， 该定义在实际使用中主要用来计算那些比较规则的经典分形的维数。如，康托 分形集、柯克曲线、谢尔宾斯基垫片等的分形维数。 ( 2 ) 容量维数b 容量维数又称柯尔莫哥诺夫容量维，考虑一个三维的单位体积，用半径为s 的小球填充到其内部，直到放不下为止。所能放下的小球数目n ( e ) 显然与s 有 关。事实上s 很小时，应有( ) 2 i 7 丽1 孑，由此得到 一i n n ( g ) l n ( 4 3 ) z 3 i n si n s 当s 斗0 时，结果正好是维数3 ，所以我们给出称为容量维数的定义 d ：l i r a l n n ( 6 )( 2 i 0 ) 。e - - - 0 i n 占 这里s 为非负实数，n ( g ) 表示填满分形的最少“小球”数目。 容量维数实际上是定义2 4 当覆盖f 的集合要求为“球心在f 上，半径为占 的相互不交的小球”时的定义。由于该定义不涉及相似性问题。因此容量维可 用于对无规则分形或随机分形的测量。 ( 3 ) 盒子维数d h ( 又称m i n k o w s k i 维) 在容量维的定义中把小球改为小立方体，则可给出盒子维的定义。将一个 边长为1 的单位立方体的边作2 ”等分，则该立方体内可以放入的边长为( 1 2 1 “的 小立方体( 盒子) 的数目为( ”) = 2 “个。若每个小盒子中放入一个半径为占的 小球，则有占= ( 1 2 ) ”。当s 呻0 时，刀斗o o 。将( 2 1 0 ) 式中的( 占) 换成( 胛) ， 则得出盒子维的定义 o 四川太学硕士学位论文 d h = l i m ! 掣 ( 2 1 1 ) i n 2 这里n ( n ) 表示可放入分形的最少“小立方体( 盒子) ”的数目。 如将上面提到的( 盯) = 2 “代入，则协= 3 。盒子维是在各领域中应用最为广泛的 一种维数。主要是因为它容易由计算机编程求得。 ( 4 ) 信息维数d 仔细分析会发现容量维的定义存在一定缺陷，它只考虑了半径为占的小球 的个数，而没有涉及每个球内部的差异( 分形落入其中的点的多少) ，这将导致 一些分形的差异显示不出来。为此，设分形点落入第f 个球内的概率为p ，则用 半径为的球进行测量所得到的s h a n n o n 信息量为 n ( f )( 外 ，= 一只l n p , ，0 茎p 1 ，只= 1 。 = l _ 1 用代替式( 2 。1 0 ) 中的 d n n ( e ) ，可得出如下的信息维数定义 ( f ) p l n p , l i m j = l 一 ( 2 1 2 ) * - - + 0 i n s 当落入小球内的点的概率相同时，p = i n ( g ) ，这时， l 1 ，= 一p l n p , = i n n ( 6 ) ， ，= l d 2d ，所以说信息维是容量维的一种推广。但由于概率的引入，在实际应用 中存在困难，所以并不常用。 ( 5 ) 关联维数d 2 设有一列观测到的时间数据序列x ，x ：，x ，z j ，。可用这些数据支起一个 n 维相空间，有多种构造方法，比如，我们可以将x ，x ：，x ，x 。作为n 维相空间 的一个n r x 。，然后将原始数据列右移一个数据，把j ：，屯，x 。，x n + 作为n 维 相空间的第二个向量，依此办法继续进行下去，便可构造出i 1 维相空间的大批 向量x ，五，z 。这些向量两两间的距离记为一，( f ，= 1 , 2 ，n ) 。任意给定 一个实数占，定义 四川大学硕士学位论文 c c s ) 2 嘉莩n 莩n 臼。一略) 其中o ( x ) 为h e a v i s id e 函数，满足： 口c 占一毛，= f ：2 因此，c ( s ) 是距离d 。小于占的向量数目占向量总数的比例，可以把占看成 是n 维空间中的小球，而d ，是该空间中的一个几何对象上的两个点间的距离， 则c ( e ) 即为落入小球中的点的概率的平方，再对所有小球求和的结果( 即相当 于式( 2 1 2 ) 中的分子部分) 。因此可定义： d ，= 1 i m l n c ( 6 1 )( 2 1 3 ) g - + o i n d ：称为关联维数。c ( 占) 称为关于两个点的关联函数。如果两个点落在了同- - q , 球中，则认为这两个点是相互关联的，对c ( g ) 有l 的贡献，无关联的两点对c ( s 1 无贡献。 注：广义分形维数d , i ：h e n t s c h e l 等人提出了广义分形维数的概念，起其定义 为 。q = l i m 一q l ( n 6 1 占) ( 2 14 ) g ( ，+ 。) 这里，f 表示分形中的点落入第，个小球内的概率，o p 1 ，窆f ；1 i = 1 , 2 州3 ，v 陋) 。于是 l i m q m ( 6 1 ) = 蟓击警眩，s ， 定理：d ，包含了前面定义的容量维皿、信息维d 、关联维d ：。 证明：当叮= 0 时 驴髓嚣 甲 。m n 上h i l 忙 中式 四川大学硕士学位论文 所以，掣只能等于包含有分形点的小球的数目( s ) ，于是 u 加击l n 喜耻1 n p , q ：i n n ， 即 耻嫩祟= d c ； 当q = 1 时，i n 掣= 0 ，这样( 2 1 5 ) 式中分子分母都出现了零，令 。叫m 上业钏m 竖竺 “ r - ，o q 一1 i n s s o r q d i n e 利用洛必达法则，将上式分子、分母同时对q 求微分，有 p l n p ,p l n p , q 2 脚烹万2 磐气_ i 一= l 上式与( 2 1 2 ) 式完全一样，因此当q = 1 时d 。包含了前面定义的信息维d 当q = 2 时，把空间分成册个小盒子，每个盒子的大小是s 。假定有n 个质点 x ，x ：，x 。含有x ，点的盒子b ( b 是盒子的序号) 中落入的质点数n 。( f ) 为 ( 沪0 ( e d f ) 这里占( 上) 为t l e a v i s i d e 函数，则距置点距离小于s 的点对数目的比例c ，( 占) 为 c 拈) = 掣吲f ) 对c ，( 占) 求平均，可得所有点对中距离小于占的点对数目占总点对数目的比例 c ( e ) c ( s ) 2 万1 军c 胎) 2 专车啤( f ) 】 上式的求和，是先固定f ，计算只( f ) ，然后令i = 1 ，2 ，n 再求和。我们也 可以采用另一种等价的求和办法。先固定盒子b ，计算只( 点落入第b 个小球内 的概率) 和盒子中的点数m ，只虬就是b 盒子对整个求和的贡献，再令b = l ， 四川大学硕士学位论文 2 ，m 对所有盒子求和，这样上式变为 c ( 占) 。专( 。：专莩善b ( 力2 专莩 只2 莩砰 只要我们对盒子重新编号，上式可写成 c ( s ) = 只2 由式( 2 1 3 ) 关联维数 肾瓣警：姆警 这与q = 2 时的( 2 1 5 ) 式完全一样，证毕。 由此可见容量维d c 、信息维d ，、关联维d ：都是广义分形维见的特例。 第三章时序数据常用分形维数的估计算法 3 1r s 分析与赫斯特( h u r s t ) 指数 在对经济、金融时序数据的分析研究中，常把某些变量的的采样数据看作 布朗运动的轨迹，即该变量在统计理论中服从随机游走，是一个具有独立平稳 增量，并且具有有限方差的随机过程。然而如果该变量随时间变化的增量过程 不独立的话，则可能会导致一个有偏的随机游走( 增量服从正态分布，但彼此 不相互独立的随机过程) 。也叫分数布朗运动，其运动轨迹极不平滑，变化剧烈， 是分形曲线。 水文专家赫斯特在2 0 世纪4 0 年代全面研究了有偏随机游走。赫斯特曾度 量了水位是如何围绕其平均水平涨落，结果发现水位涨落的极差依赖于度量的 时间长度，如果时间序列是随机的，那么极差应该随时间的平方根增加。为了 使该度量在时间上标准化，赫斯特用观察值的标准差去除极差建立一个无量纲 的比率，提出了一个重要的系数：h u r s t 指数h 。这种分析方法称为重标极差分 析法( r e s c a l e dr a n g ea n a l y s i s ，r s 分析法) 。在上世纪6 0 年代和7 0 年代， 分形几何的创始人芒德勃罗( m a n d e l b r o t ) ，对有偏随机游走再次做了全面研究， 芒德勃罗把它称作分数布朗运动，认为h 的到数就是分形维数。 利用赫斯特给出的r s 分析方法，可以估算出h u r s t 指数，从而方便的得 到分数布朗运动的分形维数。h u r s t 指数h 对所有时间序列曲线都有者广泛的应 4 四川大学硕士学位论文 用，因为它对被研究的时间序列系统做的假设很少，分布的方差可以是无限大 的，并且在估计h 时没有对序列分布形状作任何假定。因此我们可以将h u r s t 对自然现象随机序列的研究方法与手段，推广到经济、金融市场中时间序列数 据的研究上，估计时间序列曲线的h u r s t 指数h ，求出时序数据曲线的分形维数 d 。d 值反映了变量随时间变化的激烈程度及其运动轨迹的不平滑程度有助 于认识时序数据曲线的变化特性，为进步开展定量建模分析，预测变量的未 来趋势提供帮助。 如何估计h u r s t 指数呢? 首先要定义个与水库水位的涨落类似的v 个期 间的累积离差序列x 。： x 叫= ( 巳一m ) ，= 1 , 2 ，3 ，n 。 u = l 这里，p ，表示年“的流入量，m 。表示个期问e 。的平均值。 其次，定义出时间间隔为的极差r ： r = m a x ( x ，n ) 一r a i n ! 置) 式中，m a x ( x “) 表示置，。的最大值，m i n ( x ，v ) 表示x 。的最小值。 为了比较不同类型的时间序列，h u r s t 用原来观测值的标准差s 去除极差r 。 这个“重标极差”应该随时间增加。h u r s t 建立了以下关系： r s = ( a n ) “ 式中，r s 表示重标极差，表示观察次数，a 表示常数，表示h u r s t 指数。 据统计学原理，如果序列是一个随机游走过程，日的值应该为0 5 ，即累积离 差的极差应该随时间间隔n 的平方根增加，当h 不等于0 5 时，时间序列观测 就不是独立的每一观测都带有在它之前所发生的所有事件的“记忆”。这种记 忆是长期的，理论上它是永远延续的。在更宽泛的尺度上，一个表现出h u r s t 统计特性的系统是一长串相互联系的事件的结果。今天发生的事情影响未来， 当前的状态与地位是过去所处状态与地位的结果。 为此h u r s t 将事件的前后影响，即时间序列观测值的相关性用如下公式刻 画： c = 2c 2 h - 1 ) 一1 式中：c 表示相关性度量，h 表示h u r s t 指数。 h u r s t 指数有三个不同的类型：h = 0 5 、0 h 0 5 与0 5 h 1 0 0 。 当h 等于0 5 时，这类时间序列是随机的、事件是随机的和前后不相关的 现在不会影响未来。这时c 的值等于0 。 四川大学硕士学位论文 当0 h 0 5 时，这类时间序列是是反持久性的，存在“均值复归”现象， 如果一个系统在前一个时期存在个向上的趋势，则它在后一个时期很可 能有一个下降的趋势。反过来，如果它过去是向下的，则它未来很可能向 上，是负相关的。这种反持久性行为的强度依赖于h 离零的远近，离零愈 近，c 就愈接近一0 5 。或负相关性，这种时间序列具有比随机序列更强的突 变性或易变性，因为它是由频繁出现的逆转构成的。 当0 5 h 1 0 0 时，这类时间序列是持久性的或趋势增强的，如果序列在 前一个时期是向上( 下) 走的，那么它在后一个时期很可能继续该趋势。 是正相关的。趋势增强的强度或持久性随h 接近于l 或c 百分之百的相关 而增加。h 愈接近0 5 ，其噪声也愈大，趋势也就愈不确定。持久性序列是 分数布朗运动或有偏随机游走，偏倚的强度看h 比0 5 大多少。 持久性时间序列，即0 5 h 1 0 0 的序列，是更有意思的一类，它们可以 用分数布朗运动来描述。在分数布朗运动中，跨时间尺度的事件之间有着相关 性，t t u r s t 指数描述了两个相邻事件发生的可能性。如果h = o 7 ，那么基本上可 以说，要是上一个移动是正的，下一个移动也是正的概率更高。这不是一种真 正的概率，它仅仅是“偏倚”的个度量。 3 2 相空间重构及关联维数 混沌现象的发现开创了科学模型化的一个新典范，一方面混沌现象固有的 确定性表明许多随机现象实际上是可以预测的；另方面混沌现象所固有的对 初值的敏感依赖性又意味着预测能力受到新的根本性限制。混沌现象是短期可 预测，而长期不能预测。从时间序列角度研究混沌始于p a c k a r d 等( 1 9 8 0 ) 提 出的重构相空间理论。对于决定系统长期演化的任一变量的时间演化，均包含 了系统所有变量长期演化的信息。因此我们可以通过决定系统长期演化的任一 变量的时间序列来研究系统的混沌行为。而吸引子的不变量关联维数( 系 统复杂度的估计) 、k o l m o g o r o v 熵( 动力系统的混沌水平) 、l y a p u n o v 指数( 系 统的特征指数) 等在表征系统的混沌性质方面一直其起着重要的作用。对于一 个非线性系统，长时间在相空间演化，最终表现为：轨道或者趋于一个点，或 者趋于一条闭合曲线( 极限环) ，或者轨道在相空间被吸引到一个区域，即出现 混沌吸引子。 混沌吸引子作为混沌系统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着 混沌系统最终会落入某一特定的轨迹之中，这个特定的轨迹就是混沌吸引子的 相图a 系统中任分量的演化都是由与之相互联系、相互作用的其它分量的发 6 四川大学硕士学位论文 展演化所决定的。因此，系统的特性或者说相关分量的信息必定隐藏在任一分 量的发展状态中。只要通过特定的、有效的方法，我们就可以从其中任一分量 的时间序列数据中提取和恢复系统本来的特性。目前在这个方向的研究中广泛 使用的手段，是由p a c k a r d 等”提出的由原始系统中某分量的延迟坐标来重构 相空间。t a k e n s 证明了”“可以找到个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数 m 2 d + l ，d 是动力系统维数，则在这个嵌入空间里可以把原有的规律的轨迹( 吸 引子) 恢复出来。亦即在重构的r 空间中的轨线上原动力系统保持微分同胚“。 定义3 1 设( ，p ) ，( j v l ，p 1 ) 是两个度量空间，如果存在映射伊：n 斗n ，满足( i ) 伊 满射：( 2 ) p ( x ，少) = p i ( 驴( x ) ，驴( y ) ) ，( 坼，y n ) t 则称( ，p ) 与( n l ，一) 是等距同构的。 定义3 2 如果( 。，p 1 ) 与另一度量空间( 2 ，p 2 ) 的子空间( n o ，p 2 ) 是等距同构的，则 称( n ，p ) 可以嵌入( 2 ，p 2 ) 。 t a k e n s 定理m 是d 维流形，p ：m 斗m ，妒是一个光滑的微分同胚，y ：mj r ， y 有二阶连续导数 ， ( 妒，y ) ： m 斗r2 “， 其中 ( 妒，y ) = ( y ( x ) ，y ( p ( x ) ) ，y ( 妒2 ( x ) ) ，y ( 妒2 。( x ) ) ) ，则( 妒，y ) 是 ，到 r 2 “1 的一个嵌入。 证明详见文献【2 6 1 。 计算出吸引子的关联维数，可以识别系统相空间中的吸引子是否是具有自 相似结构的分形维几何体，系统是否具混沌特性。另一方面，相空间的分形维 与时间序列的分形维不同，时间序列的分形维在1 和2 之间，因为我们针对的 是一个变量。而相空间包括系统中的所有变量，它的维数依赖所研究的系统的 复杂性，它的分形维数能够给出系统的重要信息，即高于分形维数的下一个整 数是我们给系统开展动力学建模所需的动态变量的最小数目“。 如前面所论，有多种分形维数的定义及其计算方法，但就时间数据序列反 映的动态系统的混沌分析中，目前普遍采用格拉斯贝格尔( g r a s s b e r g e r ) 和普罗 卡恰( p r o c a c c i a ) 1 9 8 3 年提出的计算关联积分的方法“7 3 来计算分形维，即实现 ( 2 1 3 ) 式定义的关联维数d ，= l i m 兰型估算。方法如下： 首先用时间序列重构成相空间，设有一列观测到的时间数据序列 - ，x ：，x ，x 。，a