（概率论与数理统计专业论文）使用选举模型模拟中国股市高频数据统计特征.pdf

中文摘要 摘要：本文把粒子系统中的选举模型应用到股票市场中，使用选举模型构造了新 的模型来模拟股票市场中的证券收益率序列全文共分两部分： 第一部分：证券市场上高频数据的统计分析截至2 0 0 6 年1 1 月1 7 日我国股 市的市场容量已达6 5 1 万亿，占我国g d p 的比重超过4 6 中国股市在我国国民 经济中的影响力越来越大，中国股市已经越来越受到实践界和理论界的关注。为 此我们对中国股市中的高频数据进行统计分析，希望得到这些数据的一些统计规 律性在分析过程中我们使用了统计学中的“正态概率纸”以及统计物理学中常用 的“双对数坐标图”、“幂指数分布检验”、“z i p f 图像”等方法借助于m a t l a b 6 5 、 s p s s l 2 0 、e v i e w s 5 0 等计算机软件，通过程序语言的控制，我们得出了中国股市 证券收益率序列的“高峰厚尾”、“有偏性”等统计特征，我们也验证了中国股市 证券收益率序列，交易量序列的“幂指数分布规则”，同时在文中我们还对比了 中国股市和美国、香港等成熟股市的特征并分析了国内外股市的相关性 第二部分：利用选举模型构造股票的收益过程通过上一部分的工作，我们 得知了中国股市证券收益率序列的一些统计特征，这些特征使得传统的股票收益 过程服从正态分布的假设不再严格成立为此我们寻找新的拟合股票收益过程的 模型包括选举模型在内的粒子系统的研究起源于2 0 世纪6 0 年代。最初主要应 用于统计物理中，现在也广泛应用于其他领域选举模型主要是用来处理系统中 的人收到不同信息时如何做出反应以及反应后的结果我们尝试用选举模型来处 理股市中的信息对股票价格的影响主要是通过考察信息对股票收益率的影响来 预测股票的价格 通过计算机模拟，我们发现选举模型的一些统计特征与中国股市证券收益率 序列的统计特征非常相似，而且使用选举模型来拟合证券收益序列，效果比正态 分布更好 关键词：选举模型；收益率；厚尾现象；幂指数分布规则；正态检验；高频数据 分析；相关性分析 分类号：0 2 1 1 9 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r , w ea p p l yt h ev o t e rm o d e l w h i c hc o m ef r o mt h e i n t e r a c t i n gp a r t i c l es y s t e mt ot h es t o c km a r k e t w ec o n s t r u c ta n e wm o d e lt os i m u l a t e t h er e t u mp r o c e s so f s t o c k s t h ep a p e rc o n t a i n st w op a r t s ： i np a r to n e ，w ea n a l y z et h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so f t h eh i g h - f r e q u e n c yd a t ai ns t o c k m a r k e lu pt on o v e m b e r1 7 t2 0 0 6 , t h ec a p a b i l i t yo f c h i n e s es t o c km a r k e tr e a c h e s6 5 1 t r i l l i o n i t sp r o p o r t i o ni nc h i n e s eg r o s sd o m e s t i cp r o d u c ti sm o t h a n4 6 t h ef o r c e o f c h i n e s es t o c km a r l c e t t oc h i n e s ee c o n o m i ci sb e t t e ra n db e t t e r ，i tg e t st h ea t t e n t i o no f t h ep e o p l es t u d yt h e o r ya n dp r a c t i c e s ow ea n a l y z et h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so f t h e h i g h f r e q u e n c yd a t ai i ls t o c km a r k e t , w eh o p et of i n ds o m es t a t i s t i c a lr u l eo f t h e s e d a t a w eu 5 et h en o m i n a ld i s t r i b u t i o np a p e ro f s t a t i s t i c sa n dt h em e t h o d so f s t a t i s t i c a lp h y s i c s ， s u c ha st h el o g - l o gp l o t 、t h ep o w e rl a wd i s t r i b u t i o nt e s ta n dz i p f p l o t u s i n gt h em a t l a b 6 5 、s p s s l 2 0a n de v i e w s 5 0 ，w eg e tt h ef a t - t a i lp h e n o m e n aa n dp a r t i a lc h a r a c t e ro f t h er e t u r np r o c e s so f c h i n e s es t o c km a r k e t w ea l s oa n a l y z et h ec o r r e l a t i o na m o n gt h e s t o c km a r k e t so f c h i n a 、a m e r i c aa n dh o n g k o n g i np e r tt w o ，w ec o n s t r u c tt h er e t u r np r o c e s su s i n gv o t e rm o d e l f r o mt h ec o n c l u s i o n o f p a r to n e , w ek n o w t h a tt h et r a d i t i o n a ln o r m a ld i s t r i b u t i o nh y p o t h e s i si sn o tr i g h t t h e p a r t i c l es y s t e mi n c l u d i n gv o t e rm o d e l c o m e s o f1 9 6 0 s i t sm a i n l yu s e dt od e a l i n gw i t h h o was y s t e mr e a c tf o r t h ei n f o r m a t i o na n dt h er e s u l ta r e rr e a c t i o n w et r yt oa p p l yt h e v o t e rm o d e lt od e a l i n gw i t ht h ei n f e c t i o no f i n f o r m a t i o nt os t o c kp r i c e w em a i n l yt a l k a b o u th o wt of o r e c a s tt h es t o c kp r i c et h r o u g ht h er e a c t i o no f t h ei n f o r m a t i o nt ot h e r e t u r np r o c e s s w ef i n dt h a tt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t yo fv o t e rm o d e li sv e r yl i k et h a to ft h er e = t u r n p r o c e s so f c h i n e s e s t o c km a r k e tf r o mc o m p u t e rs i m u l a t i o n , a n dt h er e s u l to f s i m u l a t i o n b yv o t e rm o d e li sm u c hb e t t e rt h a nn o r m a ld i s t r i b u t i o n k e y w o r d s ：v o t e rm o d e l ；r e t a r n p r o c e s s ；f a t - t a i lp h e n o m e n o ；p o w e r - l a w d i s t r i b u t i o n ；n o r m a lt e s t ；h i g h - f r e q u e n c yd a t a ；c o r r e l a t i o na n a l y s e c l a s s n o ：0 2 1 1 9 致谢 首先感谢我的导师王军副教授，本论文是在王老师的精心指导和关怀一f 完成的无论是在研究生期间课程学习过程中，还是在论文选题、研究、定稿的 过程中，王老师自始至终给与了我大力的支持和无私的关怀两年多的研究生生 活中，王老师渊博的知识，严谨的治学态度和认真负责的工作精神使我受益匪浅， 并将受惠终生而跟随王老师的学习与课题研究也为我在将来工作中的发展打下 了良好的基础和开端，在此向王老师表示深深的感谢 感谢我的父母对我多年的培养和教育在我遇到任何困难时，他们总是积 极鼓励我、支持我，给与我精神上的支持和物质上的帮助，使我能够全身心的投 入到课题的研究中去感谢在我的生活中给予我帮助的老师、同学 两年多的研究生生活使我学到了很多的知识，修正了我的观念和目标，感 谢所有在学习研究中传道解惑的老师，在生活上关心帮助过我的同学 感谢我同门的师姐师弟师妹们。与他们的共同学习生活使我收获颇多 感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见及建议 1 引言 金融数学 i h 是最近发展起来的新兴边缘学科，是数学与金融学的交叉。 主要运用现代数学理论和方法( 如：随机分析，随机最优控制、组合分析、非 线性分析，多元统计分析、数学规划、现代计算方法等) 对金融( 除银行功能之 外，还包括投资、债券，基金、股票、期货、期权等金融工具和市场) 的理论 和实践进行数量的分析研究金融数学已成为发展最快的应用数学分支之一。 金融数学( m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ) 这一学科名词2 0 世纪8 0 年代末才出现 它是马科维茨( m a r k o w i t z ，1 9 9 0 年获诺贝尔经济学奖) 的证券组合选择理论 和斯科尔斯一默顿( m s c h o l e s - r m e r t o n ，1 9 9 7 年获诺贝尔经济学奖) 的期权定 价理论这二次华尔街革命的直接产物。其核心问题是不确定环境下的最优投资 策略的选择理论、定价理论以及市场理论，套利、最优与均衡是其中的三个主 要概念 为促进经济的迅速发展，世界各国金融创新运动日益加快，众多新的金融 产品和衍生工具( 如期货、权证、掉期等) 不断涌现，新的金融服务也层出不穷 因此金融市场的运行规律、资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风险 分析与管理、以及相关的投资决策分析显得空前重要，这也正是金融数学研究 和解决的核心问题实践说明金融理论和金融数学的发展，极大地促进了世 界各国的经济和社会发展相反，金融投机可以象原子弹一样摧毁一个国家 或地区的经济因此，金融数学的研究在国内外越来越成为热门话题 金融系统由于自身具有多因素、非线性、不确定性而成为复杂系统，这便 为金融数学提出了较高的要求尤其是金融市场的特性：波动性，突发事件， 市场不完全、信息不对称等，已成为金融数学当前面临的重要课题金融市场 上的波动现象一般可归结为随机的问题，例如我们常常假设股票价格的波动 服从某随机过程，象几何布朗运动，然后进行随机分析但是金融市场多数 情况下并不满足稳定的假设，时常出现异常的波动1 9 5 3 年，k e n d a l l 对股 票价格和收益的随机性进行了系统研究，在其论文经济时间序列分析中提 出股票价格遵循一种随机游走( r a n d o m 耽1 k ) 规律；1 9 6 3 年m a n d e l b o r t 发 现了金融收益率序列的“高尖峰和厚尾”的现象：1 9 6 4 年c o o t n e r 主编的文 集股票市场价格的随机性使得“价格变化的分布形状具有肥胖的尾部”这 一观点为人们普遍接受；1 9 9 5 年m a n t e g n a 和s t a n l e y 在研究s & p s 0 0 指数时 提出用截尾的稳定分布( t r u n c a t e dl e v y ) 作为证券收益的分布。也有学者用 具有有限高阶矩的宽尾分布来拟合收益率的宽尾现象，如学生t 分布 ( s t u d e n t td i s t r i b u t i o n ) 或双威布尔分布( d o u b l ew e i b u l l d i s t r i b u t i o n ) 包括选举模型在内的无穷质点马氏过程的研究起源于2 0 世纪6 0 年代。主要用 来处理系统中的人收到不同信息时如何做出反应以及反应后的结果我们尝试用 选举模型来处理股市中的信息对股票价格的影响主要是通过考察信息对股票收 益率的影响来预测股票的价格 金融数学模型都是在很多假设的条件下才能成立，这些假设有些与客观现实 有一定差距甚至抵触，因而解决这类问题就不理想，范围也十分狭窄，需要在数 学上改进和发展世界各国金融背景和管理模式各异。需要大量建立符合自己国 情的金融模型和分析方法，例如c a p m 适合欧式期权不适合美式期权即使假设比 较合理，由于金融环境和社会需求不断发生变化以及创新运动的发展，为金融理 论和金融数学提出了越来越多的问题，要求我们不断进行探索 由于实际问题的复杂性和独立性，实证研究已经成为金融数学发展的主要方 向所谓实证研究主要是强调了数据的重要性，即从金融市场现实中取得数据， 分析数据并建立数学模型，然后揭示数据背后隐含的规律，最后返回数据和现实 中检验结论的正确性。如果离开实际数据的支持和检验，单纯从概念到概念( 即文 科研究人员习惯的定性分析) ，或者单纯从模型到模型( 即理科研究人员习惯的逻 辑推理) ，都很难深刻地、客观地揭示金融市场的发展规律 在上述背景下，本文第一部分对中国股市中的高频数据进行了统计分析希望 从中得到一些统计规律性；第二部分对选举模型进行计算机模拟。并把结果与传 统的假设正态分布进行比较。希望我们根据选举模型所构造的金融数学模型 能更好的逼近实际数据 2 2 证券市场上高频数据的统计分析 2 1绪论 2 1 1选题背景 近年来，在西方国家对金融市场高频数据的分析已成为实业界和学术界的热 点和难点问题国内在对高频数据的统计特征方面的研究还很少 中国股市从1 9 8 4 年1 1 月1 4 日第一只股票公开发行起步，至今已二十多个 年头对我国股市具有里程碑意义的上海证券交易所也仅是在1 9 9 1 年1 2 月1 9 日 才正式揭牌成立与发达国家的股票市场而言，我国股市的历史的确十分短暂但 是。我国股市经过近些年的高速发展，尤其经过1 9 9 0 年1 2 月实施涨跌停板制度至 今这一阶段的高速发展，截至2 0 0 6 年1 1 月1 7 日我国股市的市场容量已达6 5 l 万 亿 4 1 ，占我国g d p 的比重超过4 6 而且我国股市也从一个相对独立的市场正在 逐渐地与全球股市相连接和相互影响，并且正在逐步地完善和发展，中国股票市场 在全球股票市场中的比重和地位在不断的增强， 因此，研究中国股票市场现在的发展程度和状况。研究它与美国等国际成熟 的股票市场相比有什么样的特点以及与这些国际股市的联系是否密切等都是证券 相关人员所关切的问题股票市场价格及收益率的变化特征是考察和分析股票市 场运行机制、风险特征和结构特点的重要层面。也是运用现代资本市场理论对股票 市场进行实证研究的基础由于股票指数是作为反映股票市场上所有股票价格变 化趋势的测度指标，所以研究它的统计规律性具有重要的分析价值和现实意义 我们运用正态性检验、相关性分析等统计方法以及z i i p f 图像、双对数坐标图 等统计物理学家常用的分析工具来对中外的证券指数进行统计分析在本部分， 我们使用自1 9 9 6 年1 2 月1 6 日至2 0 0 5 年1 2 月1 6 日期间的每个交易日的收盘数 据和从2 0 0 1 年2 月3 日9 ：3 0 到2 0 0 6 年4 月1 7 日1 5 ：o o 的五分钟数据来进行 统计分析。这些大量的实际数据在一定程度上反映了我国股票市场的波动规律 我们希望用真实的数据和统计物理中常用的统计方法，从一个层面来研究和解释 中国股票市场所具有的某些特点和特征 2 1 2价格过程和收益过程 在证券投资学中，证券的价格和收益是对证券进行定价、分析的基础价格体 现了市场的波动，而收益则反映了投资者投资的价值和回报反映到金融数学中， 价格过程与收益过程也就显得非常重要参考文献f 5 】【6 】给出了价格过程与收益过 程的定义 定义1 ：1 以s ( f ) ，( ，= o , 1 ，2 ，) 表示f 时刻的股票价格过程( 或者股票指数) ， 用r ( t ) 和r ( f ) 分别表示t 时刻的平均收益率和对数收益率： r ( f ) = 占( f )j ( f ) m 礼s ( t + l ，- i n ( t ) = i n 等= i n 篙产= i n tc + 等 烈ls f ，剐f l 相对于证券价格j ( ，) ，一个交易日的价格改变量a m ) 相比而言是一个很小的 量可以假设时( f ) s ( f ) 所以，i n ( 1 + 笪s i t与竺s i 等t 为等价无穷小量即： ii 删刈+ 等s i t “等一， ，剐，j 在本文中，我们把平均收益率，( f ) 作为研究对象来进行研究 上面我们说的是单个证券或者证券指数的价格和收益率对于投资组合。 设s ( ，) = ( ( f ) ，岛( f ) ，( f ) ) ，n 0 0 ，其中s ，( t x i = 1 ，2 ， ，) 表示第i 种股票在 时刻t 的价格记 “f ) ：f = 0 , 1 ，d ) 表示一个价格过程若取n = 1 ，则s ( t ) = s a t ) ， 既可表示某一只股票的价格过程。也可用它来表示股市的指数过程 对于投资组合的收益率，设一个由种证券组成的投资组合尸各资产在组 合中的比例分别是葺x 2 ，h 则投资组合的收益率即为各证券收益率的加权平 均值： r = 毛 设价格函数s ( t ) 的初始值为瓯d ) ，在曼献f 5 】中，由收益率的定义还可以推出 价格( 或指数) 过程与收益过程的关系如下： a 即) zs ( t - 1 ) r ( t ) t = 1 ，2 t( 1 1 ) s ( ，) = s ( o r i ( 1 a ，( 甜) ) t = l ，2 ，t ( 1 2 ) 及 s ( ，) = s ( o ) + s ( u - 1 ) “r ( u ) t = l 。弘r ( 1 3 ) 在下面各个模型的构造中，我们将首先建立收益过程，并通过二者的关系得 到价格或指数过程 2 1 3 风险与收益的测度 4 在投资学中。在做出投资决策前，投资者必须考虑一个问题这项投资的 风险有多大? 收益如何? 为了回答这个问题，人们通常会罗列出投资收益的各种 情况，并指明每种情况发生的概率以及收益率的大小这样我们就可以求出收益 的预期值( 期望收益) 用符号e ( ，) 表示： e ( r ) = 烈j ) ，( d 这样我们就可以用方差来衡量这项股票的风险大小： v a t ( r ) = - 8 2 = 烈s ) 【r ( d e ( ，) 】2 为了使衡量风险指标的单位与预期收益率相同，我们可以对方差进行平方根 运算，这样就得到另一个衡量风险的指标标准差( s t a n d a r dd e c i a t i o n ) 5 d ( r ) z 万= m 铲( ，) 这样我们就分别得到了投资的期望收益率和标准差，前者是预期的收益。后 者是预期收益的风险理论已经证明，只要未来收益服从正态分布，使用方差可以 很好的测度风险如果我们可以已知未来收益率的分布，使用上面所说的方差来 测度风险是很方便的但在实际中，由于投资者可得到的相关信息有限，或者获取 这些信息的成本过高，获得投资的收益率分布往往是不可能的在这种情况下一 种比较可行的方法是根据历史数据来测算其方差尤其是在股票市场上，上市公 司股票的历史数据容易获得，使的预期收益率和风险的计量变得十分简单其预 期收益率和方差的计算公式为： e ( ，) = 亡艺r ( o 纷刍窆- i t 。( d 一鼬) ) 2 = 击喜- e ( r ) ) 2 其中，一是历史收益率的个数，r ( o 是第j 期的收益率上述公式视每个历史收 益率的再现机会是相等的，概率都是二这种根据历史数据计算风险的方法在证 券投资中得到了广泛应用，具有一定的科学性但是这并不意味着它是完全正确 的，在一些情况下，方差的大小并不能准确地指明证券的风险大小，至少对无风险 资产而言是这样的因此，投资者不应对这种简单的风险测量方法结果盲目信任， 而应加上自己的判断力 2 2中外证券指数的统计分析 2 2 1收益率的厚尾现象 在本章中。我们采用正态性检验新标准【7 h 1 1 l 中的图方法来对上证指数和深证 成指的收益率进行分析和研究图方法就是采用正态概率纸来对样本进行直观的 正态性检验正态概率纸纵轴的刻度是非线性的( 不均匀的) 它是按照标准正态分 布的分布函数曲线下方所围成的面积而刻画的，也就是说纵轴上标有。p ”处的刻 度为标准正态分布的p 分位数西- 1 ( ，横轴上的刻度是均匀的，表示随机变量 x 的取值在本章中，横坐标表达的是日收益率，的取值如果随机变量z 是来 自正态分布的总体，则它在正态概率图中的图像将近似为一条直线 正态概率纸的构造原理： 设总体f 的分布函数为f ( 功，需要检验 j l ：f ( x ) ( ，盯2 ) ，一 a o ，( t t ，l 、 或h o ：参一( ，盯2 ) 一 o 其中s 喀玎( 气f ) ) 为符号函数：s i g n ( 气，) ) = 0，) = 0 卜1 t i , ) o 和。 o ) p ( n o ) 2 ，这说明我们不能再用l e v y 过程( 或g a u s s 过程) 来逼近或拟合证券收益率序列( 见m a n d e l b r o t , 1 9 9 7 ) 根据上证指数和深 证成指2 0 0 1 年到2 0 0 6 年五分钟数据( 收益率数据) 以及道琼斯指数1 9 7 0 年到2 0 0 6 年日数据，我们绘制出概率分布统计图一图4 1 田4 i ( c ) 北塞奎运太堂亟堂位垃塞延羞壶扬土韪麴熬坦殴统盐盆捱 图4 i 双对数坐标系下上证指数、深证成指和道琼斯指数收益率序列的累积分布图 图4 1 中的三个图为证券指数收益率的累积分布图，我们把累积分布的横坐标 收益率，和纵坐标p ( r x ) 都取了对数，然后我们对累积分布尾部的斜率进行了 拟合图4 1 ( a ) 是上证指数的累积分布图，正尾( 即正收益率的尾部) = 2 4 1 5 0 ， 其置信区间为【2 4 1 0 4 ，2 4 1 9 5 ：负尾巴= 3 0 4 5 7 ，其置信区间为【3 0 4 3 2 ，3 0 4 8 2 图4 1 ( b ) 是深证成指的累积分布图，正尾毒= 2 4 1 3 0 ，其置信区间为【2 4 0 9 3 。 2 4 1 6 7 1 ；负尾兽= 2 9 7 9 7 ，其置信区间为【2 9 7 1 0 ，2 9 7 6 8 图4 1 ( c ) 是道琼斯指数 的累积分布图，正尾丢= 3 0 0 5 4 ，其置信区间为【2 9 9 6 7 , 3 0 1 4 1 ；负尾 巴= 3 1 8 0 8 ，其置信区间为1 3 1 7 2 2 ，3 1 8 9 4 从图4 1 的比较可知，上证指数与深证成指的正负收益率其分布差别较大，而 道琼斯指数的正负收益率累积分布从图像上可以看出是基本重合的从收益率累 积分布尾部的斜率可知，上证指数与深证成指的正负收益率分布尾部斜率的差别 比较明显，而且都表现出了负收益率累积分布尾部斜率偏大的特征，道琼斯指数 的正负两个斜率基本相等虽然中国证券市场收益率累积分布与道琼斯指数收益 率分布有一定的不同，但从整体而言，上证指数与深证成指收益率分布基本上还 是服从立方幂函数分布，这也是本章所最关心的研究内容 2 4 3上指、深指及道指交易量半立方幂函数分布的检验与比较 在本节中，我们研究上证指数、深证成指交易量分布的尾部统计特征g a b a i x 等人( 2 0 0 3 ) 研究了法国证券市场交易量的分布情况，他们认为交易量服从半立方 幂函数分布。即 11 p ( y x ) 一言，其中昴z 号， 矿表示交易量根据上证指数和深证成指2 0 0 1 年到2 0 0 6 年五分钟数据( 交易 量数据) 以及道琼斯指数1 9 7 0 年到2 0 0 6 年日数据，我们绘制出概率分布统计图一 图4 2 瞧4 2 ( - ) 陌i i j，矗 x ) 都取对数，然后对累积分布尾部的斜率进行了拟 合图4 2 ( a ) 是上证指数交易量的累积分布图，其尾部斜率为昴= 1 9 4 9 0 ，置信区 间为【1 9 4 5 0 , 1 9 5 3 0 图4 2 ( ”是深证成指交易量的累积分布图，其尾部斜率为 昴= 1 9 8 3 0 ，置信区间为【1 9 7 9 9 1 9 8 6 2 图4 2 ( c ) 是道琼斯指数交易量的累积分 布图，其尾部斜率为昴= 2 0 3 9 6 ，其置信区间为【2 0 3 3 2 ，2 0 4 6 0 从图4 2 的比较可知，三个证券指数交易量累积分布的尾部斜率非常接近都 接近半立方幂函数分布，这也说明中国证券指数交易量的统计性质与成熟股市交 易量的统计性质非常接近 2 4 4 结论 通过对中外三个证券指数收益率和交易量序列的统计分析，验证了中国证券 指数收益率序列的“有偏性”、“高峰厚尾”等现象而且也研究了中国的两个 证券指数分布尾部的p o w e r - l a w 性质，验证t g a b a i x 等人( 2 0 0 3 ) 在n a t u r e 上最 新提出的金融收益率( 以及交易量) 序列幂函数分布的统计特征从我们的研究 可以看到，在收益率的幂函数分布性质检验时，中国的两个证券指数其尾部斜率 一 l l 差别较大，正收益率的尾部斜率明显过小，这或许是由于中国的金融政策所导致 的结果，例如，在证券市场低迷时，决策部门多次出台救市措施等等 3 利用选举模型模拟股票的收益过程 3 i绪论 3 1 1选题背景 1 9 5 3 年，k e n d a l i 对股票价格和收益的随机性进行了系统研究，在其 论文经济时间序列分析中提出股票价格遵循一种随机游走( r a n d o mw a l k ) 规律；1 9 6 4 年c o o t n e r 主编的文集股票市场价格的随机性使得“价格变 化的分布形状具有肥胖的尾部”这一观点为人们普遍接受；1 9 9 5 年m a n t e g n a 和s t a n l e y 在研究s & p 5 0 0 指数时提出用截尾的稳定分布( t r u n c a t e dl e v y ) 作为证券收益的分布也有学者用具有有限高阶矩的宽尾分布来拟合收益率 的宽尾现象，如学生t 分布( s t u d e n t - td i s t r i b u t i o n ) 或双威布尔分布 ( d o u b l ew e i b u l ld i s t r i b u t i o n ) 包括选举模型在内的无穷质点马氏过程的研究起源于2 0 世纪6 0 年代，最 初主要应用于统计物理中，现在也广泛应用于其他领域选举模型主要是用 来处理系统中的人收到不同信息时如何做出反应以及反应后的结果 在上述背景下，我们尝试用选举模型来处理股市中的信息对股票价格的 影响主要是通过考察信息对股票收益率的影响来预测股票的价格 金融数学和金融物理学是当今科研的一个热点。我们的工作是其中的一 个部分而且把粒子系统中的模型应用到金融中。这是一个全新的课题有关 金融产品收益率的分布在国外早有研究，而且也得出了许多对投资很有影响 的结论因为我国的金融市场尤其是股票市场起步晚。又很不成熟有关我 国股市收益率分布的研究较少，我们的课题有望填补这一块的空白 3 1 2 选举模型基本概念 在选举模型中i ”l - i “，假设中的点被支持或反对某种观点的人所占据 以毒记其中支持这种观点的那些人，而且假设支持这种观点的人比较保守，他们 轻易不会改变自己的观点正如w i l l i a m s 和b i c r k n e s 说的那样，用毒表示被病毒所 感染的细胞( 用+ 域一1 表示) 而用磊表示那些健康的细胞( 用。表示) 定义选举模 型的规则嗍为： ( 1 ) 如果x 茧，那么z 以邻居中健康细胞数目的速率来变为毒中的元素； ( 2 ) 如果x e ，那么x 以邻居中感染细胞数目a 倍的速率来变为毒中的元素； ( 3 ) 我们假设选举模型中的初始状态不是固定的。而是从密度为护的测度空间 出发，即尸( + l 岳) = 疗( 中的点以p 的概率被支持某种观点的人占据) ： 按照选举模型上述定义。直观上可以得到它的一个图示法的描述：记 ( 巧x , y ) h l y z 。) 为速率为i 的p o i s s o n 过程，对于中任意的点x 和y ，如果 x 和y 是相邻的( i x - 叫= i ) ，接下来判断x 和y 的观点，如果x 的观点为+ l 而) ，的 观点为0 就以一定的速率4 ( 某一给定速率) 从y 到x 画一个箭头，如果x 的观点为0 而1 ，的观点为+ l 就以知的速率从y 到石画一个箭头 6 占 6 j d 占 6 毛而而 1 虱5 1 选举模型图示 耳 定义在t 时刻的状态 = y ：对于垤a ，如果有从o ，o ) 到( 弘f ) 的路径) 在图示中，把箭头反向，并把时间改为j = t j ，则可以得到一个新的过程 铲= 缸：对于v y e 晟如果有从o ，6 ) n ( x ，) 的路径) 在原来过程的图示中把箭头反向，而时间不变则可以得到过程 掣= 扛：对于砂e e 如果有从( 弘o ) 到，) 白勺路径 ， 这个过程称为原过程的对偶过程 为了计算机模拟的方便，上面这个直观的描述可以严格得定义为i s ：给定 两个时间过程，其中一个： 巧”，行1 ) y 一) 为速率为l 的p o i s s o n 过程，另一 个 毋“，玎l j ，e 一) 为速率为a l ( 假设五 1 ) 的p o i s s o n 过程，在时间 我们从y 到x 画一个箭头并在x 处记一个万，在时间以”我们只是从y 到x 画一个 箭头从上面的定义我们可知，j 卜和卜都把健康的细胞变为受感染的细胞( 或 者把反对某种观点的人变为支持这种的人。即0 状态变为+ l 状态) ，但是只有艿仁 把感染的细胞变为受健康的细胞( 或者把支持某种观点的人变为反对这种的人。即 + l 状态变为0 状态) 在选举模型中。我们主要考虑三个参数口、a 和d 对模型性质的影响根据文 献【3 3 】，存在五的一个临界值以，五= i n f a ：p ( i 睁o ) o 对所有的o = 1 ，在上、下 临界时模型的性质有很大不同当a = 丸= l 时，选举模型变为一种简单的情形；模 型中占据z 4 格点的人思想都很“简单”。仅考虑邻居中持不同观点的人数来决定 韭基窑墟友堂绣堂位i 幺奎捆旦选整攥型擒擅避墓殴蝗益玺七程 自己下一时刻的观点是否改变，人们对于某种观点没有什么感情的倾向或喜好 当a 五= l 时，模型中持+ i 观点的人更容易影响持0 观点的人当a = c - 丑时的情形一 样，那么在讨论参数五时我们完全可以只考虑名是= l 时的情形由于空间的维 数d 对模型的性质会产生一定的影响，所以在论文中对不同的维数d 进行讨论和 比较同时讨论了初始密度日对模型极限状态的影响程度 在选举模型中，我们主要考虑速率强度五、初始密度日以及维数d 三个参数对 模型性质的影响 对速率强度a 的讨论，有 列等| o ) _ j 竿加l ( 3 1 1 ) 删纠 o ) = r ”1 ( 3 1 1 ) 。 【0 a l