（应用数学专业论文）几类本性正规算子的（uk）轨道闭包.pdf

青岛科技大学研究生学位论文 几类本性正规算子的眵+ 形) 轨道闭包 摘要 设h 为复可分无穷维h i l b e r t 空间，劈( 纾) 表示作用在日上的所有有界线性 算子的集合，算子t e 留( h ) 的( + 彤) 轨道定义为( 髟+ 彤) 仃) ； x t x 1 ：x 留( 何) 是具有酉算子加紧算子形式的可逆算予】，算子丁的( 髟+ 劈) 轨道闭包记作 ( 髟+ 劈) i t ) 由于( + 彤) 仃) 不一定是闭的，因而刻画( 髟+ 彤) 仃) 的闭包就有着重要的意 义1 9 9 9 年，m a r c o u x 在( + 劈) 一轨道的综述一文中提出开问题：是否存在 其它的算子类的( 髟+ 彤) 轨道闭包可以被刻画? 针对该问题，比较已经刻画过的 算子的( + 彤) 轨道闭包，本文建立了三类本性正规算子模型，并且分别刻画了 类单叶算子及上述算子模型的( 髟+ 劈) 轨道闭包 全文共分三章 第一章，介绍算子的( + 彤) 轨道的选题背景，简述其已有的结果和进展 第二章，利用函数演算的技巧，刻画了类单叶算子的( + 形) 轨道闭包，从 而得到：在单叶算子与类单叶算子的谱相同，且为单连通解析c a u c h y 域闭包的 条件下，单叶算子与类单叶算子具有相同的( 髟+ 彤) 轨道闭包 第三章，设w ，y 勿( 日) 是本性正规单的单侧加权移位算子，通过增加 f r e d h o l m 指标和扩大本性谱的方法，建立本性工f 规算子o ：。w ，( o ：。矽) o ( ：。v ) 和( 0 2 。) o ( ：。v ) ，在一定条件下刻画了这三类本性正规算子的( + 彤) 轨道 闭包 关键词：本性正规算子( 髟+ 彤) 轨道类单叶算子单侧加权移位算子 儿类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包 l i 青岛科技大学研究生学位论文 t h ec l o s u r e so f ( + 形) o r b i t so f c l a s s e so fe s s e n t i a l l yn o r m a lo p e r a t o r s a j e l s t r a c t l e thb eac o m p l e xs e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ea n d 留( h ) b et h es e to fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sa c t i n go nh f o ro p e r a t o rr 劈饵) ，t h e 膨+ 髟) o r b i to fti sd e f i n e da s 矽+ 彤) 仃) = x t x 。：石留饵) i si n v e r t i b l eo f t h ef o r mo fu n i t a r yo p e r a t o rp l u sc o m p a c to p e r a t o r ，a n dt h ec l o s u r eo f ( 髟+ 彤) - o r b i to fti sw r i t t e na s + 彤) 仃) s i n c et h ec l o s u r eo f ( + 彤) 仃) d o e sn o tn e e dt ob ec l o s e d ，c h a r a c t e r i z i n gt h e c l o s u r eo f ( 髟+ 彤) 仃) i sv e r yi n t e r e s t i n g i n1 9 9 9 ，m a r c o u xr a i s e da l lo p e nq u e s t i o n i nh i sp a p e r “as u r v e yo f ( + 彤) - o r b i t ”i ft h e r ea r ea n yo t h e rc l a s s e so fo p e r a t o r s f o rw h i c h 膨+ 形) ( 丁) m i g h tb ec a l c u l a t e d a i m i n ga tt h i sq u e s t i o na n dc o m p a r i n g w i t hk n o w nr e s u l t sa b o u tt h ec l o s u r eo f ( + 髟) 一o r b i t ，w ed e s c r i b et h ec l o s u r eo f ( 髟+ 彤) 一o r b i to fu n i v a l e n t - l i k eo p e r a t o r , a n dw e c o n s t r u c tt h r e ec l a s s e so fe s s e n t i a l l y n o r m a lm o d e l sa n dc h a r a c t e r i z et h e i rc l o s u r e so f ( 髟+ 彤) - o r b i t s t h i st h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h er e l a t i v er e s e a r c hb a c k g r o u n do n ( e + 彤) o r b i to fo p e r a t o r , a n dg i v es o m ek n o w nr e s u l t sa b o u t ( 髟+ 彤) o r b i ta n dt h ep r o g r e s s o ft h ep r e s e n tw o r k i n c h a p t e r2 ，b yu s i n gt h et e c h n i q u eo ff u n c t i o n a lc a l c u l u s ，w ec h a r a c t e r i z et h e c l o s u r eo f ( 髟+ 劈) - o r b i to fu n i v a l e n t - l i k eo p e r a t o r , a n do b t a i nt h er e s u l tt h a tu n d e r t h ec o n d i t i o n si nw h i c ht h es p e c t r u mo fu n i v a l e n to p e r a t o ri st h es a m ea st h a to f u n i v a l e n t l i k eo p e r a t o ra n dt h es p e c t r u mi st h ec l o s u r eo fs i m p l yc o n n e o e da n a l y t i c a l c a u c h yd o m a i n ，t h ec l o s u r eo f ( 髟+ 彤) 一o r b i to fu n i v a l e n to p e r a t o ri st h es a m ea s t h a to fu n i v a l e n t l i k eo p e r a t o r i nc h a p t e r3 ，l e tw ，y 留( 日) b et h ee s s e n t i a l l yn o r m a li n j e o i v eu n i l a t e r a l w e i g h t e ds h i f to p e r a t o r s b yi n c r e a s i n gt h ef r e d h o l mi n d e xa n de n l a r g i n gt h ee s s e n t i a l i i i 儿类本性正规算子的( 影+ 彤) 轨道闭包 s p e c t r u m ，w ec o n s t r u c tt h r e ec l a s s e so fe s s e n t i a l l yn o r m a lo p e r a t o r s ，t h a ti so w ， ( o 互1 缈) o ( 0 2 1 y ) a n d ( 。w ，j - 1 mv ) t h e n ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，w ec h a - r a c t e r i z et h ec l o s u r e so f ( + 彤) - o r b i t so ft h e s ec l a s s e so fe s s e n t i a l l yn o r m a l o p e r a t o r s k e y w o r d s ：e s s e n t i a l l yn o r m a lo p e r a t o r ，( + 劈) - o r b i t ，u n i v a l e n t - l i k eo p e r a t o r , u n i l a t e r a lw e i g h t e ds h i f to p e r a t o r i v 青岛科技大学研究生学位论文 一 符号说明 1 爿 2 留( 日) 3 g a b 4 n u l ( t ) 5 i n d ( t ) 6 m i ni n d ( t ) 7 8 d ( 丁) 9 d p ( 丁) 1 0 o a t ) 1 1 仃) 1 2 0 0 ( r ) 1 3 p f 仃) 1 4 皇h “ 1 5 u o ( q ，1 ) 1 6 u l o ( f f ，1 ) 17 口 复可分的无穷维h i l b e r t 空间 h 上所有有界线性算子的集合 r o s e n b l u m 算子 算子丁的核空间的维数 f l e d h o l m 算子r 的f r e d h o l m 指标 f r e d h o l m 算子丁的最小f r e d h o l m 指标 算子r 的范数 算子r 的谱 算子丁的点谱 算子丁的本性谱 算子z 的w e y l 谱 算子丁的本性特征值 算子丁的f r e d h o l m 域 ( + 彤) 等价 所有单叶算子的集合 所有类单叶算子的集合 引理或定理的证明结束符 v l l 青岛科技大学研究生学位论文 1 绪论 h i l b e r t 空间算子存在许多等价关系，诸如酉等价、相似f 1 j 以及( 髟+ 彤) 等价f 2 】 等等h a d w i n 【3 】刻画了h i l b e r t 空间上有界线性算子的酉轨道闭包a p o s t o l ，f i a 1 k o w ，h e r r e r o 和v o i c u l e s c u 4 1 描述了h i l b e r t 空间算子的相似轨道闭包1 9 8 6 年， h e r r e r o 2 】首次引入了介于酉等价和相似之间的( 髟+ 劈) 等价的概念，同时提出刻 画h i l b e r t 空间算子的( 髟+ 彤) 轨道闭包的开问题随后，国内外许多的数学家、 学者以及数学工作者做了大量的工作，描述了许多不同的算子类的f + 劈) 轨道 闭包，但是至今刻画一般算子的( 髟+ 髟) 轨道闭包仍然是一个开问题1 9 9 9 年， m a r c o u x 5 l 在关于+ 彤) 轨道综述性的论文中提出开问题：是否存在其它的算子 类的( 髟+ 彤) 轨道闭包可以被刻画? 针对m a r c o u x 的这个问题，比较已经刻画过 的算子的( + 髟) 轨道闭包，本文分别刻画了本性正规的类单叶算子以及利用本 性正规的单的单侧加权移位算子构造的算子模型的( + 彤) 轨道闭包 1 1 算子的眵+ 彤) 轨道的研究背景及进展 设是复可分无穷维h i l b e r t 空间，留( h ) 表示日上所有有界线性算子的集 合算子a ，t 历饵) 称为相似的( a t ) ，如果存在可逆算子x 留( h ) 使得 a = x t x 算子r 的相似轨道定义为 夕口) = x t x 以：x 留( h ) 是可逆的】- 算子a ，t 留旧) 称为酉等价的( a 皇t ) ，如果存在酉算子u 留( 日) 使得a = 叮u 算子丁的酉轨道定义为 ( 丁) ； u t u ：ue b ( h ) 为酉算子】 对于有限维空间，两个咒，l 阶矩阵a ，b 相似当且仅当它们有相同的j o r d a n 标准型对于无穷维空间上的算子，由于没有j o r d a n 块的完全替代物，人们通过 适当地加强或减弱相似性来刻画一般算子的相似性 6 1 当日是有限维空间时，矩阵r 的酉轨道髟( z ) 是闭的，但是相似轨道夕口) 不 一定是闭的h e r r e r o t 7 1 描述了，l 挖阶矩阵丁的相似轨道s a ( t ) 的闭包夕仃) 当日 是无穷维空问时，髟仃) 和夕( r ) 都不一定是闭的，因此刻画算子丁的酉轨道口) 几类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包 的闭包仃) 和相似轨道夕( z ) 的闭包夕( r ) 是一个非常值得讨论的课题 1 9 7 7 年，h a d w i nt 3 1 利用v o i c u l e s c u 的非交换w e y l y o nn e u m a n n 定理【8 垓0 画 了算子t 留( h ) 的酉轨道闭包髟仃) 1 9 8 4 年，a p o s t o l ，f i a l k o w ，h e r r e r o 和 v o i c u l e s c u 利用谱图像刻画了算子的相似轨道闭包夕( r ) ，并给出了相似轨道定 理1 4 1 这些结果是上个世纪七八十年代算子理论的重要成果之一 1 9 8 6 年，在对拟对角算子的讨论中，h e r r e r o 2 1 引入了算子的( + 彤) 等价和 ( + 髟) 轨道的概念算子a ，r 留( h ) 称为( + 彤) 等价( a 皇mt ) ，如果存 在可逆算子尺留( h ) ，r 具有酉算子加紧算子形式，使得a r t r 显然 ( 髟+ 劈) 等价是历( h ) 上的等价关系算子丁的( + 彤) 轨道定义为 ( + 彤) ( 丁) = 但t r ：r 留( 日) 是具有酉算子加紧算子形式的可逆算子 由算子z 的酉轨道、( + 髟) 轨道以及相似轨道的定义可知，( + 彤) 轨道介于 酉轨道和相似轨道之间，即 仃) ( 髟+ 彤) 仃) 乡9 仃) 注意到一般算子的( 钐+ 彤) 轨道在整个算子代数中不一定是闭的，从而讨论 算子的( + 髟) 轨道闭包在理论上是一个有意义的课题，而且算子的扰动方法以 及技巧在量子理论和统计物理中有着重要的应用 9 1 从二十世纪八十年代至今，针对这个课题，许多数学家、学者和数学工作者 做了大量的研究和探索，刻画出了许多不同的算子类的( + 彤) 轨道闭包 设t 留( h ) ，如果r 丁一玎是紧算子，则称z 是本性正规的1 9 9 0 年， m u s a l l a m 1 0 】得到了紧算子及一些本性正规算子的( 髟+ 彤) 轨道闭包的结果1 9 9 2 年，m a r c o u x l l l 】刻画了类移位算子的( 髟+ 彤) 轨道闭包1 9 9 3 年，g u i n a n d 和 m a r c o u x 1 2 , 1 3 1 刻画了正规算子和一类加权移位算子的( 髟+ 劈) 轨道闭包1 9 9 6 年 纪友清，蒋春澜和王宗尧【1 4 l 得到了一类本性正规算子的( 髟+ 彤) 轨道闭包的刻 画特别，1 9 9 8 年，m a r c o u x 的博士生d o s t a l t l 5 1 在其博士论文中定义了广义h a r d y 空间上的乘法算子，并以此乘法算子构造了一系列的本性正规算子的模型，刻画 了这些算子模型的( + 髟) 轨道闭包 2 0 0 4 年，纪友清和李觉先i l a 刻画了某类本性j 下规算子的( + 彤) 轨道闭包， 同年刘义强、薛以锋和翟发辉1 1 7 , 1 8 分别对d o s t a l t l 5 1 提出的开问题给以部分的回 答，刻画了一类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包2 0 0 5 年，张敏和纪友清【1 9 ，2 0 1 定义了基于h a r d y 空间上的本性j 下规t o e p l i t z 算子性质的单叶算子和类单叶算子 的概念，刻画了单叶算子的( + 彤) 轨道闭包，并且提出下面的问题( 2 0 ，p 1 9 ) ： 2 青岛科技大学研究生学位论文 问题1 1 1如果a 是单叶算子，口是相应的类单叶算子，那么a 是不是在 ( + 彤) ( 口) 里呢? 注意到m a r c o u x 5 1 提出的希望刻画其它算子类的( + 劈) 轨道闭包的问题， 本文不仅回答了上述问题1 1 1 ，而且以文献 1 3 中g u i n a n d 和m a r c o u x 刻画的 本性正规的单的单侧加权移位算子为基本元素构造出三类本性正规算子，同时讨 论了这些算子在一定条件下的( 髟+ 彤) 轨道闭包 1 2 预备知识 本节简要介绍本文定理证明中用到的基本概念及符号同时为了更好的说明 本文的结果，将部分已有结果呻御1 做为预备知识列出 若丁劈( h ) ，设o ( r ) ，a p ( t ) ，呸仃) ，仃) ，, , o f f ) 和所( 丁) 分别表示r 的谱、点谱、本性谱、w e y l 谱、本性特征值和f r e d h o l m 域设n u l t = d i m k e r t 如 果r 是f r e d h o l m 算子，则丁的f r e d h o l m 指标及其最小f r e d h o l m 指标分别定义为 i n d t = n u l t n u l t ， m i ni n d t = m i n n u l t ，n u l t ) 如果a ，b 留( 日) ，r o s e n b l u m 算子定义为 f a b ：历( h ) 一留饵) ：仁) = 似一x b 关于算子的f r e d h o l m 性质以及r o s e n b l u m 算子的有关性质详见文献 7 定义1 2 1f 驯设z 劈( h ) 是本性正规算子，如果存在连通的开集qc p f ( r ) n a ( r ) ，使z 满足如下条件，则丁称为单叶算子： ( 1 ) a ( r 1 = q ； ( 2 ) n u l ( t a ) = 1 ，v a q ； ( 3 ) k e r ( t a ) = 【0 ，v a q ； ( 4 ) 存在九q ，使得n 二。r a n f f - & ) “- - 0 ，且丁i r a n ( r 一如) 喜r 定义1 2 2 【2 0 l 设丁历( h ) 是本性正规算子，如果存在单连通的开集q c 所仃) n d ( 丁) ，使z 满足如下条件，则丁称为类单叶算子： ( 1 ) 口仃) = q ； ( 2 ) n u l ( t a 1 + a 1 ，v a q ； ( 3 ) k e r ( t a ) = 0 ) ，v a q ； 3 几类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包 ( 4 ) 存在九q ，使得t i r 。( r 一知) 皇t 所有单叶算子及类单叶算子的集合分别记作u o ( q ，1 ) 和u l o ( f 2 ，1 ) 关于单 叶算子与类单叶算子的区别及性质详见文献 1 9 和 2 0 定义1 2 3 。2 1 1 算子形留( h ) 称为具有权序列 q 矗。的单侧加权移位算子， 若存在日的正交基碱) - ：。使得眠= t oe + 1 ，以z 1 关于加权移位算子的性质详见。文献 2 1 定理1 2 4 【冽设丁是单叶算子，则万厕于) = 即历( h ) ：a 是本性正规 的，且满足 ( 1 ) 仃) = q ； ( 2 ) t r ( a ) = a q ； ( 3 ) i n d ( a a ) = 一1 ，v a q 。 定理1 2 5 【”1 设形是本性正规单侧加权移位算子，口= l i m i n f a ，】，卢= l i m s u p w 若a 0 ，设是单的则( + 髟) ( ) = 口留( 日) ：t 满足 ( 1 ) 丁是本性正规算子； ( 2 ) 吼( 丁) = 扛c ：c tsi z ls ) ； ( 3 ) a ( r ) = z e c ：i z ls 卢； ( 4 ) i n d ( t a ) = - 1 ，v ze c ，l z i 0 ， 0 ，0 a = l i m i n f w 。 ，= l i m s u p c o ， n n 0 a l = l i m i n f 饥) ，展= l i m s u p v 。) ( 2 1 ，推论1 ) 本章通过增加f r e d h o l m 指 标和扩大本性谱的方法，构造了本性正规算子模型。墨。w ，( 2 。w ，一、一m 矿) 和 ( o ：，w ，一、一m m v ) ，在一定条件下刻画了它们的( + 劈) 轨道闭包，所得结果见 第三章的定理3 1 1 、定理3 1 2 和定理3 1 3 本文讨论的算子模型不同于以往的其它模型，将有助于进一步刻画一般本性 正规算子的( + 彤) 轨道闭包 5 青岛科技大学研究生学何论文 2 1 引言 2 类单叶算子的( 髟+ 髟) 轨道闭包 针对绪论中的问题1 1 1 ，本章利用函数演算的技巧刻画了类单叶算子的 ( + 形) 轨道闭包，并对该问题给出肯定的回答设u o ( q ，1 ) ，u l o ( q ，1 ) 分别 表示所有单叶算子和类单叶算子的集合，d = z c ：h 0 ，则存在紧算子k ，满 足0 k l i ， 则依强算子拓扑收敛到，注意到k 是紧的，从而存在自然数，使得 k o - p , k o 异j l f 3 ， 盯仃+ 异k 异) cp 似) ) ，3 ( 谱的上半连续性) 设墨= 曰曰一筑，贝j ju r u 。+ 墨。r + 蜀k 曰由t i = ( v e f 矗。) o ( v 传也。) 上可知， 儿类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包 丁+ 只k 写具有矩阵表示 u r u + 叫”k v e l i l 1 ， 这里e 。和c ；。是有限秩算子，t7 = 丁| ( v 。“( r 一“- 由文献 2 4 中的问题5 7 可知 ( e ，) c a ( u r u + k ) 。 因为 ( ：r ( u r u + k ) cp 俾) ) 舶， 再对算子e ，做扰动，从而存在紧算子砭，满足i j 0 3 ，以及可逆算子x 0 使得 ( 互。+ ) ( 掣) - d , ， 这里q = d i a g ( a 。，九， ) ，当i j 时， a j ，且a q ，i = 1 ，2 ，z 因此存 在紧算子砭，满足0 k 0 o ，t ) n 0 ，0 乜= l i r a i n f w ，一l i m s u p w ，0 q = l i m i n f v n ，展；l i m s u p v ( 2 1 ，推论1 ) n月 本章的主要结果是： 定理3 。1 。1 设t ；刍w ，缈) n z c i z l = ) = ，群= 弘历( 日) ：4 是本性正规的，且满足 ( 1 ) a ( a ) = z c ：i z l 卢) ； ( 2 ) 呸似) = 仁e c ：口si z is 卢】； ( 3 ) i n d ( a 一2 ) = 一，l ，v z ( x ( a ) 吼g 4 ) ) 贝u ( + j 歹) ( 7 ) = 群 定理3 1 2 设0 q a 口 p ，t ；( 0 ：1 ) ( o 澍my ) ，眇+ ) n z e c ： = 卢卜：妒，咋) n p c ：l z l = 屈) ；驴，= 彳历俾) ：a 是本性正规的，且 满足 ( 1 ) 仃o ) = z e c ：l z ls 卢) ； ( 2 ) 吼( 彳) = z e c ：a 。s z i a u z e c ：asl z l 墨卢 ； ( 3 ) i n d ( a z ) 一一，l ，v z c ，屈 h a ， i n d ( a z ) ；- ( n + 规) ，v z c ，h 口1 1 5 几类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包 贝0 ( 髟+ j 罗) ( 歹) = 定理3 1 3 设0 口， 反 口 夕，t = ( 0 i 。缈) o ( o ：，v ) ，仃p 缈) n z e c ： h = ) - = ，) c z e c ：h s a 。】，蹈；翻力( h ) ：彳是本性正规的，且满 足 ( 1 ) o ( a ) = z e c ：hs ； ( 2 ) 吼( 4 ) = z c ：a 。墨l z ls ；3 0 z e c ：口s1 z is 卢) ； ( 3 ) i n d ( a - z ) ；一万，v z e c ，届 i z i 口， i n d ( a z ) = m n ，v z c ，i z l 0 ，e 是对角元 凡，九，九 互异的对角矩阵， 1 凡l 。，存在紧算子k ，满 2 ：ki ，c + ki r s 证明设c ：。= 【 ，2 ，无】，注意到r a n ( r s 一 j ) = k e r ( r s + - a j ) i ，则存在 g ；k e r ( r s 一 ，) ，使得恢l i 0 ，兄是对角元 九，九，九) 互异的对角矩阵， k 0 ，存在紧算子k ， c + k i mo ：1 r s i_i_-_iij 心 q i i i i k 足 ， 6 心 满 。 青岛科技大学研究生学位论文 证明对 2r 。s 应用引理3 2 1 可知，存在紧算子k ，满足1 1 k 1 1 0 ，存在有限秩算子f 和紧算子k ，满足1 1 k 0 f ， 篁p 毒。 证明由b d f 定理【7 1 可知，存在紧算子k 和酉算子u ，使得 u u ：；r s r s + k 设乜矗。是h 的规范正交基，使得= 巳+ 1 ，v n 乏o ，墨n 是从h 到v 乜 ：o 上的 正交射影，只= 兄。兄则依强算子拓扑只呻，o ，f k k 只一k l l 呻0 ，万一， 所以存在自然数z ，使得k = 只弓一，且满足f | k0 6 ， a r ( u 。n u 墨) cp ( ) ) 啪( 谱的上半连续性) 注意到u n 研+ k 关于 ( v q 。e ( ho ( v 岛 ：。”) 的矩阵表示，则存在酉算子u ：，使得 fa 0 4 ，1 u ：( u 。( 厂k 渺；= l 如r s 0l ， 【0 0 r s j 这里4 作用于有限维空间，且 ( a ) o ( u 。n u ：+ k ) u 盯( 心) ， 1 7 几类本性止规算子的( + 形) 轨道闭包 仃( 4 ) c ( 盯( ) ) 啪u a ( r s ) 对4 应用s c h u r 引理，再次扰动，则存在紧算子砭，满足l l k 川 互异的对角矩阵，l 丸i 厂 从而存在紧算子，满足 j k f 占6 ，以及具有酉算子加紧算子形式的可逆 算子x ：，使得 f 丘04 ；1 x ：似研+ k 炽+ k ) 巧1 = j4 ，r s 0j 【0 0 r s j 对慝：1 应用引理3 2 1 ，存在紧算子墨，满删毛o ( 6 i i 圳吲1 ) ，以 及具有酉算子加紧算子形式的可逆算子置，使得 淝：姒删+ 州峋f 嘲f 一瞄善1 ( 3 1 ) 这里磊是有限秩算子 根据文献 2 6 中的引理2 1 可知，存在紧算子墨，满足j j 心 f 2 ，使得 n + ，4 皇。“o ：1 n 对应用( 3 1 ) 可知，存在紧算子墨，满足f f 蚝| f 0 ，存在自然数万。和紧算子k ，满足i i k 0 ， + k 量。+ 。 。毫1 9 。：肜，】， 这里邑。是有限秩算子，w 与引理3 2 4 中的相同，且w 是本性正规算子， 吒缈7 ) ；g ( 缈) 证明因为 a ( n ) = 吼( ) = 吼( 卢5 c w ) ， i n d ( n 九) = i n d ( f l s o 缈一a ) = 0 ，vx e p f ( ) 根据b d f 定理川可知，存在酉算子u 和紧算子，使得 u l n u , ；s o + 蚝 设乜 二。和 矗。是h 的规范正交基，使得- - e + 1 ，瞩= + 1 ，v nz 1 设 兄和罡。是分别从h 到v k 7 - 。，从日到v z 接，上的正交射影，只= 兄最。则 依强算子拓扑只呻i i ，0 只k 只一k0 呻o ，以- 0 0 所以存在自然数且 k = 只。k 0 气一k ， 满足l l 墨l f 6 ， 口( u 。n u i + k 1 ) c p ( ) ) 州( 谱的上半连续性) 因为h h 可以被分解成 ( v 馋推。o ( 日ov 心谁) ) o ( v 】- ：= 10 ( 日ov l 2 。) ) ， 从而依据该分解u ，a v , + k 具有矩阵表示 台去雌吲嵋 1 9 儿类本性正规算子的( + 彤) 轨道闭包 这里s ：鲁p s ，s 。是一个，l 。，l 。矩阵，并且第i 行第i + 1 列的元素是声，i = l 2 ，以一1 ，其它位置上的元素是0 s ：是一个咒。矩阵，并且第咒。行第1 列的 元素是卢，其它位置上的元素是0 比。是一个x n 。矩阵，并且第i 行第i 一1 列的 元素是q _ 1 i ；2 ，3 ，其它位置上的元素是0 比，是一个o o x n 。矩阵，并且 第1 行第列的元素是。，其它位置上的元素是0 w 是作用在h o v z 坨。上 的单的单侧加权移位算子，且与引理3 2 4 中的相同易知是本性正规算子， 且q ) = 以) 设 。k 只。2l k ， 则除k 。，k i ，k 3 。和如，外，其他均为0 因此存在酉算子u 2 ，使得 u ：( u 1 n u , 憾渺：； 这里目。，且：，日，易，2 2 和b 4 ：是有限秩算子，色，= s ：，= 形7 设 叫2 斟 风作用于有限维空间上如果a d ( ) ，则存在非零向量 厂2 ，使得 ( 一z x ) ( l ，2 ) = 0 如果厂2to ，则a ( 盯( ) ) 。，。如果厂2 0 ，a 硭仃( 乩) ，则a ( 口( ) ) 。，。，所以 仃( b o ) cp ( ) ) 啪uo ( b 。) 注意到 盯( 只。) = a ( w ) ；似：川sl i m s u p w 】a ( w ) ， 则 仃( 岛) c ( 口( ) ) ，。u o ( w ) = ( d ( ) ) ，6u o ( # s ) 对应用s c h u r 引理，则存在紧算子，满足0 砭0 6 ，以及可逆的有限 秩算子石，使得 z j ( b o + k ：) ( z 扩1 = 局， 只是对角元“，九，九 互异的对角矩阵，h i 所以存在紧算子k ：，满足 0 k i i 6 ，以及具有酉算子加紧算子形式的可逆算子墨，使得 2 0 0 o 0 吼 o 如o o o o 青岛科技大学研究生学位论文 怍c 1 2 o l x 。缈2 ( u 1 n u l + k ) 。+ k ) x ，一= = f 0 b ，0i ， ic 3 。0 b 4 4i 这里q ：和c 3 。是有限秩算子 对 0 暑； 应用引理3 2 2 可知，存在紧算子如，满足o k i i ( 6 l l 墨i l l i x l - 1 以及具有酉算子加紧算子形式的可逆算子x ：，使得 一一1 。瞄甜 这里e ；。是有限秩算子由文献 2 6 中的引理2 4 可知，存在紧算子墨，满足 慨i | e ( 6 x x i x ：ii x , 。1x 2 - 1 l i ) ， 使得 x 2 ( + j ，3 ) 工2 1 + 玉，4 鲁。诎 泣l n 由上面的证明可知，存在紧算子蚝，满足 f 0 ，存在自然数z ，i i o 和紧算子k ，满足i l k 0 f ， + k 量。 。三菩，y ， ， 这里c 是对角元 ，九，凡) 互异的对角矩阵，口， l a i 屈，i = 1 ，2 ，l ，v 7 具 有矩阵表示 矿： ooo 。+ 1 00 0 + 2 0 且矿是本性正规算子，吼7 ) = q ) 2 1 几类本性上e 规算子的( 髟+ 形) 轨道闭包 证明类似引理3 2 5 的证明可知，存在自然数z ，n 。和紧算子k ，满足 i | k0 f 3 ，以及具有酉算子加紧算子形式的可逆算子x 1 ，使得 f 巧c 1 ：01 x 。( + 墨) x 。= l 0 o z 。q s 0 i ， ic 3 1 0 ：1 y ，j 这里c l ：和c 3 ，是有限秩算子，爿。只o f ，疋= d i a g ( a ，九， ) ，口， l l 磊， i = l2 ，z ，彤一d i a g ( 心，2 ，心) ，i 鸬i 口1 ，i - - - 1 , 2 ，k 因为v 有矩阵表示 y7 ； 0o0 。+ l 00 0 1 3 n 。+ 2 0 v 是本性正规算子，吼) ；吒) 所以 x 1 ( + k ) x i a e 0 0 琰 o0 c 4 。c 4 ： c 1 ， c 2 3 o ：1 a 1 s 0 0 0 o 0 ：，v 7 这里c 1 3 ，c 2 。，c 4 。和c 。：是有限秩算子 因为 盯( 艺) n 仃( z ，a 。s ) = 妒， 由文献 1 2 中的推论2 6 可知，存在具有酉算子加紧算子形式的可逆算子x ：，使 得 x 2 x l ( + k ) x i - i x 2 = 乞0 0 f ； 00 c 4 lc 4 2 o c 2 ， o ：1 口l s c 4 3 o 0 0 o ：1 v 这里q ；是有限秩算子 注意到c 是对角算子，由假设) c z s c ：h s q 和引理3 2 4 可知 咋( 巧) n 口p ( o ：。7 ) ) = 妒， 由文献 2 2 中的引理2 可知， k e r r 吼。( 矿，) 巧2 0 ) ， 即 青岛科技大学研究生学位论文 k e r v r 。( 观。矿) 5 0 ) 根据文献 6 中的引理1 1 0 可知，存在紧算子，满足 i i 8 ( 3 | | x ，x ：川l 奸1 洲x j l l f ) ， 以及紧算子z ，使得 ( o ：。v7 ) z z e = c 。+ k ： 因而存在紧算子，炳4 4 - 足0 疋0 ；l i 以及具有酉算子加紧算子形式的可逆算子 x 3 ，使得x 3 ( x 2 彳1 ( + 墨) x i - i x 2 1 + k 2 ) x i l = e = c 00 0 f d f c 2 3 00 o 三1 a 1 s 0 c 4 2c 4 3 0 0 0 三1 v 7 对【吾。三c q 2 3 s 。】应用引理3 2 2 可知，存在紧算子毛，满足 0 k ，l l ( 3i x 。x ：l x ，ii x ；1 f x i l x ；10 ) ， 以及具有酉算子加紧算子形式的可逆算子x 。，使得 聃婀1 哪降1 af 剖0 一 这里c 是有限秩算子则引理结论成立口 引理3 2 7 设0 a 。 展 a o ，存在紧算子k ，满足i i k 0 f ， 4 ( 囊1 卢s ) + k 皇。“l o 2 证明设t = 4 0 ( 殴，s ) ，则o ( r ) = 仃0 ) ，t 9 0 叮) = ，c r ( t ) = q 研) ， i n d ( t a ) = 0 ，v a 圣吼似) 对算子r 应用文献 7 中的定理3 4 8 可知，存在紧 算子k ，满足f l k0 n 1 ：+ 设乜矗。和【正 二。是日的规范正交基，使得1 e n = a n e n ，n ：六= 吃六，v n2 1 设暑。和。是分别从日到v k 囊。，从矗到v l 兄1 上的正交射影，只一兄。罡。 则依强算子拓扑只- - * io i ，0 只k ；只一k ；- - 0 ，n 呻o o 所以存在自然数f 且 砭= 日另一，满足i i 心f i 4 ， 仃( u 盯+ k ) 斫+ k 2 ) cp 仃+ k 1 ) ) 小 = a c ：d & t 2 ，a ( r + k ) 】s f 4 ) 注意到u 。仃+ k 。) u 卜k ：关于 ( v 心，) o ( i 0v 1 q ：。) o ( v 五，) o ( h0v 五。，) 的矩阵表示，则存在酉算子u ：，使得 u ：缈。口+ k ) w + k ) u ；= f o n lo 2 ， 这里f 作用于( v e 1 。) o