（固体力学专业论文）基于偶应力理论的有限单元法.pdf

山东大学硕士掌位论文 摘要 一些测量小尺度材料的实验，如f l e c k c l 等人的细铜丝扭转试验，s t o l k e n 和 e v a n s 嘲的薄梁弯曲试验都证明当非均匀塑性变形的特征长度为微米量级时，金属 材料呈现出很强的尺度效应。传统弹塑性理论的本沟关系不包含任何特征长度， 不能解释材料的尺度效应，而应变梯度理论引进了表示长度量纲的参数，因此能 够有效解释材料的尺度效应偶应力理论就是应变梯度理论之一，考虑偶应力的 问题至今只有少数经典问题有了解析解，所以建立合适的数值方法就成为将偶应 力理论应用于工程的有效途径。约束转动的偶应力理论中，有宏观转角与微观转 角相等的约束条件，对于这个约束的引入，大都是采用罚函数法，但是罚函数法 本身存在着罚函数不易确定等缺点，本文以拉格朗日乘子引入偶应力的约束条件 来克服罚函数法的这些缺点，通过实例验证了此方法的可行性及有效性。 本文主要研究内容有： 对偶应力理论的力学行为进行了系统的描述。 针对偶应力理论对一般单元c 1 连续性的特殊要求，进一步对非协调单元与杂 交元进行了研究。为了改善二维线性单元的性质，提高其精度，w i l s o n 提出在单元 的位移插值函数中附加内部无结点的位移项，该种单元称为非协调元。杂交元是 假定单元内部平衡的应力和相邻单元间协调的边界位移杂交元法是由多变量变 分法推导，但是最后求解时，只是以结点位移为未知数的有限元法。在构造这两 种单元考虑偶应力的修正泛函时采用拉格朗日乘子引入宏观转角与微观转角相等 ( 国= ) 的约束条件。 分别以四结点非协调元和杂交元分析了带中心小孔的无限大平板在单轴拉伸 及纯剪状态下的应力集中情况，验证拉格朗日乘子法的可行性、正确性及有效性 拉格朗日乘子法使方程组中除未知量外不含任何须调整的系数，算例证明了本文 研究的方法具有效率高、稳定性好等优点。 在基体中加入二相材料进行增韧的方法现在己得到了广泛的应用，但是对其 增韧的机理现在尚处于探讨之中，本文用偶应力理论对增韧的机理进行了一定程 h i 山来大掌硕士掌位论文 度的探讨。 最后，对基于应变梯度理论的有限元法的应用及发展作了展望。 关键词尺寸效应；应变梯度理论；偶应力理论；拉格朗日乘子；非协调元；杂交 元 i v 山东大掌硕士掌位论文 a b s r r a c t i th a sb e e np r o v e db ys o m l ee x p e r i m e n t sf o c u s e do nm i c r om a t e r i a l s , w h i c h 黜 d o n eb yf l e c k , s t o l k e n , e v a n sa n do t h e r s , t h a tm e t a lm a yb ea f f e c t e db ys i z ew h e ni t s c h a r a c t e rl e n g t hi si nt h el e v e lo fm i c r o n t h e r ei sn oa n yc h a r a c t e r i s t i cl e n g t hi nt h e 缸a d i t i o n a le l a s t i ca n dp l a s t i ct h e o r i e s w h i c hc a nn o te x p l a i nt h es i z ee f f e e to f m a t e r i a l s t h e r ea 北p a r a m e t e r st h a tr n c a nt h el e n g t hd i m e n s i o n si nt h es t r a i ng r a d i e n tt h e o r y , w l a i e hc 姐e x p l a i nt h es i z ee f f e e to fm a t e r i a l s c o u p l es 仃e 鲻t h e o r yi so n eo ft h es t r a i n g r a d i e n tt h e o r i e s , t h e r ea r eo n l yaf e wq u e s t i o n s0 1 3 c o u p l es t r e s st h a th a v ea n a l y t i c a l s o l u d o n s , s oi tb e t ? a ) r l l et h ee f f e c t i v ew a y t os o l v et h eq u e s t i o n so i lc o u p l es l r e s s 衄g e t t h ea r i t h m e t i c a ls o l u t i o n s t h e r ei sac o n s t r a i n tc o n d i t i o ni nc o u p l es t r e s st h e o r yt h a t m a c r or o t a t i o n sm u s tb ee q u a lt 0t h em i c r or o t a t i o n i nt h ef i n i t ee l e m e n tc a l c u l a t i o no n c o u p l es t r e s st h a ti sd o n er e c e n t l y , t h ec o n s l a a j n tc o n d i t i o ni si n t r o d u c e db yap e n a l t y f u n c t i o nt e c h n i q u e t h ep e n a l t yf u a e t i o nt e c h n i q u eh a ss o m ed i s a d v a n t a g e s , s u c h1 1 5t h e p e n a l t yf u n e t i o l ai sd i f f i c u l tt oi d e n t i f y i no r d e rt oo v e f c o m et h e s ed i f f i c u l t i e so ft h e p e n a l t yf u n c t i o nt e c h n i q u e , t h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o ni s i n l i o d u e e db yl a g r a n g e m u l t i p l i e rm e t h o d , w h i c hi t sf e a s i b i l i t ya n de f f i c i e n c ya r ep r o v e db ye x a m p l e ss o l v e di n t h i sm e t h o d j 1 1 壕m a i nr e s e a r e l ac o n t e n ti ss t a t e d 勰f o l l b w s ： 。 。t h em e c h a n i c sc h a r a c t e ro f c o u p l es t l f e s f lt h e o r yi sd e s c r i b e ds y s t e m a t i e a u y a st h ec o u p l es t r e s st h e o r yh a ss p e c i a ld e m a n do fc 1c o n t i n u i t y , i n c o m p a t i b l e e l e m e n ta n dh y b r i de l e m e n ta r ei n t r o d u c e dt om e e ti t i no r d e rt oi m p r o v et h e t 、v o d e g r e ee l e m e n t sa n de n h a n c ei t sp r e c i s i o n , w i l s o nc a l n eu pw i t ht h ee l e m e n tt h a t d i s p l a c e m e n t sw i t h o u ti n s i d en o d e sa 坞a d d e dt ot h e d i s p l a c e m e n ti n s e r tf u n c t i o n so f e l e m e n t s ，w h i c hw a sc a l l e di n c o m p a t i b l ef i n i t ee l e m e n t h y b r i de l e m e n ti st h ee l e m e n t t h a tt h es t r e s si sb a l a n c e di n s i d et h ee l e m e n ta n dt h eb o r d e rd i s p l a c e m e n t si sc o m p a t i b l e b e t w e e n 刎a e e n te l e m e n t s a l t h o u g hh y b r i dc l e m e n tm e t h o di sd e r i v e dt h r o u g h m u l t i v a r i a t ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e , w h e nt h es o l u t i o ni sd o n et h en o d ed i s p l a c e m e n t sa l e t h ev a r i a t i o n so n l y t h el a g r a l l g em u l t i p l i e ri si n t r o d u c e dt oa m e n dt h ef u n c t i o n a lo f t h e s et w oe l e m e n t sm e n t i o n e da b o v e , w l a i e ht h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o nt h a tm a c r o r o t a t i o n sm u s tb ee q u a lt ot h em i c r or o t a t i o n si sa d d e dt ot h ef u n c t i o n a l m p r o b l e m so ft h ec i r c u l a rh o l ei naf i e l do fu n i f o r mt e n s i o no ri naf i e l do f v 山东大掌硕士掌位论文 t e n s i o ni nt w op e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n sa 坞s o l v e di n t h i sm d h o d w h i c hp r o v e st h e f e a s i b i l i t ya n de f f i c i e n c yo ft h i sm e t h o d t h e r ei sn oa n yc h a n g e a b l ec o e f f i c i e n ti n l a g r a n g em e t h o d , w h i c ha d v a n t a g e so ft h i sm e t h o d h a v eb e e np r o v e db yt h ee x a m p l e s c a l c u l a t e d ， 硼垃w a yt h a tt h em a t r i c e sa d d e dw i t hs e c o n dp h a s em a yb et o u g h e n e dh a sb e e n w e l lk n o w nn o w , w h i c ht h em e c h a n i s mi sb e i n gs t u d i e db ym a n yp e r s o n s 1 r i 圯 t o u g h e n i n gm e c h a n i s mi ss t u d i e dw i t hc o u p l es t r e s st h e o r yt oa c e r t a i ne x t e n ti nt h i s p a p e r l a s t l y , t h ed e v e l o p m e n t o f f i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e do ns t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s i sf o r e c a s t e d k e y w o r d $ s i z ee f f e c t ；s w a i ng r a d i e n tt h e o r y ；c o u p l es t r e s st h e o r y ；l a g r a n g em u l t i p l i e r ； i n c o m p a t i b l ee l e m e n t ；h y b r i dd e m e n t v i 山东大掌硕士掌位论文 口一宏观转角 一微观转角 a _ 罚函数 a 一拉格朗日乘子 一正应力分量 f 一剪应力分量 一偶应力分量 f ，一剪应力正对称分量 l 一剪应力反对称分量 g 一正应交 ，一切应变 七一弯曲应变 e 一弹性模量 g 剪切模量 占一弯曲模量 y 一泊松比 ，一材料内禀长度 于一面力 面一一面力偶 7 一体力 f 一体力偶 q 一结点位移向量 p 一结点微转动向量 n 一泛函 ，一j a c o b i 矩阵 符号说明 v h 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：烛日期：坦! ：! ：望 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：垄睦遮导师签名：盟日期：丝! ：夕 d j 东大掌硕士掌位论文 第一章绪论 1 1 应变梯度理论发展的背景、现状及偶应力理论的发展 1 1 1 应变梯度发展的背景 连续介质力学广泛应用于许多工程领域，如宇航、车辆、土木、机械、石油化 工与核工程，这些领域的一个共同特点是其部件或变形所涉及的代表性长度比较 大，通常大于若干毫米。近年来，连续介质力学开始在其他工程科目中获得新的 应用。例如，在材料科学中，连续介质力学曾在先进新材料的发展上起了重要作 用。对于微电子工业，它帮助实现合理的基础上微电子器件的微型化，在微米水 平下的设计与制造问题，例如薄膜( 其厚度为l ，明量级或更小) ；微传感器，微 致动器，及微电子机械系统( m e m s ，整个系统的尺寸小于1 0 a n ) ；微电子封装 与微电子装置( 其器件小于l o , t a n ) 。这些新的应用具有的共同特点是部件或变形 所涉及的特征长度尺寸很小，大部都在o 1 l o , w n ，即所谓的细观尺度。 为了把连续介质力学成功地应用于细观尺度，必须能精确地测量细观尺度 下材料的性质，它可能与块状材料的性质有很大差异。因此，已发展了一些小尺 度试验来测量小尺度材料的性质。所有这些试验都表明：当非均匀塑性变形的特 征长度为微米量级时，金属材料呈现出很强的尺寸效应。 f l e c k 等【1 1 在细铜丝拉伸及扭转试验中观察到，微米量级的不同直径的细铜丝在 拉伸试验中材料没有出现明显的尺寸效应，但在扭转试验中，当细铜丝的直径从 1 7 0 z m 减少到1 2 1 a n 时，无量纲化的扭矩增加至原来的3 倍。s t o l k e n 和e v a n s 2 在 薄梁弯曲实验中观察到当梁的厚度从1 0 0 z m 减少到1 2 5 p m 时，无量纲化的弯曲 硬度也显著增加。在微米量级的尺度下，微米及亚微米压痕实验与颗粒增强金属 基复合材料中也观察到尺度效应，压痕压入深度小于5 0 , w n 时，压痕硬度表现出非 常强烈的尺寸效应，对于金属材料，所测得材料硬度值随着压入深度的减小可达 到传统硬度值的2 倍到3 倍左右p 1 ；对于以碳化硅颗粒加强的铝硅基复合材料， l l o y d 【s 】观察到当保持颗粒体积比为1 5 的条件下，将颗粒直径从1 6 , w n 减为 7 5 a n 后复合材料的强度显著增加。 山东大学硕士学位论文 1 1 2 应变梯度理论的发展及现状 由于经典弹塑性理论的本构关系不包含任何特征长度尺度，所以它不可能预 测材料力学性能在微米尺度下的尺寸依赖性应变梯度理论是一种能够解释尺度 效应的有效方法，近年来，引进表示长度量纲的参数已经提出了几种应变梯度理 论，a i f a n t i s 等把应变梯度表示为等效应变的一次和二次拉普拉斯算子，但在他 们的理论中没有定义应变梯度的功共轭量。1 9 9 3 年，f l e c k 和h u t c h i n s o n 从几何必 需位错及统计储存位错角度出发，发展了一种只考虑转动梯度影响的应变梯度理 论一一应变梯度塑性理论【2 4 】。随后h e c k 和h u t c h i n s o n 又提出了一套完整的应变 梯度理论- - - - s g ( s t r e t c ha n dr o t a t i o ng r a d i e n t ) 应变梯度理论闭，既考虑了转动应 变梯度，又考虑了拉伸应变梯度，可以用来分析裂纹尖端场或微米压痕问题。s h u 和f l e c k 询在h e c k 和h u t c h i n s o n 理论框架上提出了一种适用于晶体的应变梯度公 式，并用来分析了强度及变形都与尺寸有关的单晶材料及金属基复合材料的微观 应变场。n i x 和g a o 发展了一种简单的位错模型，用来估计圆锥压头下的几何必需 位错密度 2 7 1 ；1 9 9 9 年，g a o 和h u a n g 等在n i x 和g a o 的启示下，发展了一种基于 位错机制的应交梯度塑性理论，简称m s g ( m e c h a n i s m b a s e ds t l 面ng r a d i e n t ) 理论 3 8 - 2 9 。m s g 应变梯度理论通过一个多尺度，分层次的框架，实现了宏观塑性理论 和位错理论的联系。然而上述几种理论都引入了高阶应力，本构关系及边界条件 都相当复杂。a c h a r y a 和b a s s a n i 3 0 讨论了一种率无关框架，在这个框架下，应力 增量和应变增量通过塑性硬化模量相关，而这个塑性硬化模量不仅依赖于塑性应 变，而且依赖于塑性应变梯度，c h e n 和w a n g 3 l 】在j 2 形变理论增量形式的基础上， 给出了一种具体的硬化关系，应交梯度仅作为内变量来影响材料的切向硬化模量。 随后c h c n 和w a n g 在一般偶应力理论框架下提出了一种新的转动梯度理论【3 2 】，结 合考虑拉伸应变梯度的增量硬化关系，形成了一套完整的应变梯度理论d 3 】同样 为了避免引进高阶应力的复杂性，h u a n g 等在2 0 0 1 年提出了一种n 订理论网 1 1 3 偶应力理论的发展 偶应力理论就是近来发展起来的应变梯度理论之一，很多学者致力于建立考 虑微结构影响的连续介质模型，并取得了丰硕的成果。v o i g t 最早于1 8 8 7 年就指出 了极化分子中偶应力的存在性。但第一个系统建立考虑偶应力影响的连续介质模 山东大掌硕士掌位论文 型的是c o s s e r a t 兄弟，二十世纪初，c o s s c r a t 兄弟【1 0 】提出微极非线性弹性理论，该 理论被称为c o s s e r a t 理论，也称为一般偶应力理论。该理论中考虑每一个材料粒 子作为一个完美的刚性颗粒，变形时不仅有位移产生，还伴随着转动，每一个物 质元有6 个自由度，导致了应变和应力张量的非对称性此理论为非线性理论， 当时并非用来分析弹性理论框架下的一些问题，而是考虑了一些非理想的流体， 并试图分析了一些电子动力学问题，但它没有引进本构关系，所以一直没有引起 人们的关注。到了2 0 世纪6 0 年代，一些学者将原先的c o s s c r a t 理论加以拓广， 仅利用位移矢量来描述连续介质理论f 1 1 l 。到2 0 世纪6 0 年代，这一理论又获得了 更大的认识和研究，t r u e s d e u 和t o u p i n n 】从理性力学方法发展了称之为偶应力理 论的基本方程。t o u p i n 讨论了在连续介质中引入高阶梯度的基本原理，假定应变 能密度函数不仅依赖于应变而且依赖于转动梯度，得到线弹性偶应力理论【l l l 。与 此同时，m i n d l i n 1 4 l 也给出了线性化的偶应力理论，并用该理论解释和预测了一些现 象。m i n d l m 认为连续介质中每一个物质点从微观角度可以看作一个胞元，这个胞 元不仅跟随连续介质作宏观运动和变形，而且自身还有微观位移和微观变形由 于该理论受材料点的转动与周围介质的转动相等这一条件的约束，t o u p i n 1 5 】称之为 约束转动的c o s s e r a t 理论。又称之为简化的偶应力理论。1 9 6 8 年，g r e e n ，m c i n n i s 和n a g h d i 提出了一种塑性微极理论1 1 2 1 ；另外n a g h d i 和s r i n i v a s a 发展了c o s s e r a t 理论并分析了含有位错演化的问题。所有这些理论都是基于简化的偶应力理论基 础上，也就是物质转动矢量与位移矢量相互联系，即；国：( 娑一! 竺) ，2 。 。融砂。 在t o u p i n - m i n d l i n 偶应力理论中，由于引入转动梯度，在本构模型中自然出现 了一个具有长度量纲的新的材料常数，这个材料常数与材料的微结构有关，这就 开拓了研究考虑微结构影响介质力学的新局面。 m i n d l i n l 5 5 1 采用二阶应变梯度理论研究了晶体表面，发现在二阶梯度理论下， 内聚力、表面张力和表面能都是自然出现的。由于偶应力理论预测了材料的许多 不同与经典弹性理论的新奇特性，吸引了众多学者涉及这一领域，k o i t c r 5 3 1 对偶应 力理论作了分析，并建议了几个可以验证偶应力理论的试验。g u n t h e r 又从位错观点 对偶应力作了物理解释。吼瞰i b e 玛和m u k i i l 6 l 以及a t k i s o n 和l e p p i n g t o n t l 7 】研究了 弹性介质裂尖场的偶应力效应，获得了一些不同与经典断裂力学的结果。 山束大掌硕士掌位论文 在应变梯度理论发展的同时，e r i n g e n 等发展了微极理论，后来系统地发展成 为微介质场理论1 8 1 9 1 和非局部场理论嗍。在e r i n g e n 和s u h u b i 2 1 捌的非线性微介质 弹性理论中，考虑了微元体同周围宏观介质的相对转动，并弓入了一个微惯性守 恒定律，结果导致了一种确定的偶应力理论。由于这种理论的非线性性质，求解 非常困难，e r h l g e n 嘲对该理论作了简化，把该理论线性化并重新命名为微极弹性 理论( m i c r o p o l a re l a s t i c i t y ) 。该理论比t o u p i n - m i n d l i n 简化的偶应力理论( 或约束 转动的偶应力理论) 更为一般，当约束其微观转角等于宏观体元的转角时，即可 蜕化为t o u p i n - m i n d l i n 简化的偶应力理论。 1 2 考虑偶应力问题的有限单元法 有限元法( f e m ) 是适应计算机的的使用而发展起来的一种有效的数值计算 方法。这种方法起源于2 0 世纪5 0 年代航空工程中飞机结构的矩阵分析。矩阵结 构分析是结构力学的一种分析方法。结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作 是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学特性可以比作 建筑物中的砖瓦，装配在一起就能提供整体结构的力学特性。 有限元研究中，以单元结点位移为未知数的，单元称为位移元。位移元又可 分为协调位移元与非协调位移元位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的 位移必须协调这种单元称为协调元，反之则称为非协调元。 协调元与非协调元都是以位移为基本场变量的单变量有限元，如果有限元的 基本变量除了位移外，还包含应力、应变或其他相互独立的未知函数，则称这类 有限元为多变量有限元。1 9 6 4 年创始的杂交元就是一种非常流行的多变量元，杂 交元相当的刚度矩阵的建立是根据余能原理，而且该单元是假定单元内部应力平 衡和相邻单元间边界位移协调。 有限元方法作为一种非常有效的数值方法，己为工程界所普遍接受和广泛使 用。经过几十年的发展，有限元方法从建模、求解到程序实现，都取得了重大进 展。尤其是随着计算机软硬件技术的发展和有限元分析软件的逐渐改进，该方法 的分析功能和分析效率日益提高。在结构工程中，有限元法更是一种必不可少的 分析工具。目前，在工程结构和机械系统及其他各类工程的数字建模、分析、设 计和仿真等各方面都发挥着非常重要的作用。 4 - 山东大掌硕士掌位论文 ! 目_ e = e ! ! ! ! 自日= ! ! 目! ! ! 目_ _ e 目，目_ | 自# s ! ! ! - | ! ! ! ! 目_ _ e e = = = ! e _ _ _ e e ! = ! = e e _ ! ! ! ! ! j e ! e 日_ e | = e ! 詈i 相比传统的弹塑性理论，考虑偶应力的弹性体具有更多的材料常数，而且偶应 力理论的有限元列式必须满足c 1 连续性，这样就要求必须寻求较为特殊的有限元 方法( 相对于通常使用的位移元来说) 。经典连续统力学中提出的各种变分原理以 及有限元方法在偶应力问题中的应用还不多。w o o d 1 l d 【3 5 i 以余能原理为基础，将 应力函数结合变分原理提出了一种混合元，利用拉格朗日乘子强迫满足应力边界 约束条件，其推导复杂，且网格划分时边界元、交接点都要经过特殊的处理，不 便应用；文 3 6 1 采用罚函数强制宏观转角与微观转角相同提出了一种有限单元，由 于罚函数约束过强，计算精度很差，为此只好人为地仅对将组成一个四边形的两 个三角形单元中的一个实施惩罚，这样不仅理论上显得牵强而且应用中很不方便， 其结果的好坏还依赖于罚函数的取值。文【3 7 】将板壳有限元中颇有成效的离散 k i r c h h o f f 技巧应用于偶应力问题，提出了离散偶应力单元，列式简单，但是精度 上还不够精确。文【9 】利用平面偶应力理论和g d s s n e r m i n d l i n 板弯曲理论之间的比 拟关系得出这两个理论系统的有限元的同一性，而r m 板有限元并不存在c 1 连续 性困难，因此得出了将r m 板单元转化为平面偶应力单元的一般方法为了解决 c 1 连续性的困难，文 5 4 ，6 0 1 将偶应力引入非协调元和杂交元来解决这个问题，取 得了不错的结果，但是在引入偶应力理论中宏观转角与微观转角相等( 妒= 国) 的 约束时，用的是施加罚函数a 的方法，但罚函数法本身存在着一些缺点 1 3 本文研究目的及主要内容 1 3 1 本文研究目的 对于约束转动的偶应力理论，m i n d l i n 在文 1 4 ，6 3 1 等文中已给出了理论公式， 但是到目前为止，只有少数问题给出了考虑偶应力理论的解析解，所以，数值计 算方法就成为利用偶应力理论解决尺度效应问题的有效手段。文【5 4 ，6 0 ，6 8 将约 束转动的偶应力理论进行了数值计算的研究，取得了很好的结果，但是，这些研 究在施加约束国= 妒是采用罚函数a 进行引入，而罚函数法存在着很多本身无法克 服的困难h 7 】，首先在于罚函数矩阵k a 上的强加奇异性，同时又要求原单元刚度矩 阵k 是非奇异的；其次是a 的选择，理论上a 越大，约束条件满足得越好，但实 际上，a 大到一定程度时，方程就开始呈现出病态，这就导致了a 的不确定性，影 响该理论在工程中的使用性，这些都在本文第三章中有详细论述。为了克服罚函数 山东大学硕士掌位论文 的这些缺点，扩大偶应力理论的使用性，本文从修正泛函的约束变分入手，用拉 格朗日乘子z 代替罚函数a 引入宏观转角与微观转角相等的约束( 国= 矿) ，拉格 朗日乘子法以增加欧拉方程组中未知量的数目为代价解决了罚函数法的缺点，而 对于由拉格朗日乘子增加的未知数的求解在计算机广泛应用的今天，已不是任何 困难，所以由拉格朗日乘子施加约束的偶应力理论更能方便地应用到工程实际中 1 3 2 本文研究的主要内容： ( 1 ) 对偶应力理论的力学行为进行了系统的描述。 由于出现了偶应力分量以，声，及弯曲应变分量屯，因此形成新的应力及 应变矩阵。 ( 2 ) 相对于传统的有限元法，考虑偶应力后结点位移增加了结点转角这一项， 在有限元法中构造修正泛函时使用拉格朗日乘子引入宏观转角与微观转角相等 ( o j = f j ) 的约束条件，分别以四结点非协调单元和杂交单元来构造满足偶应力理 论要求的有限单元法。 ( 3 ) 应用考虑偶应力的由拉格朗日乘子约束的有限单元法，验证经典算例， 从而验证此方法的可行性、正确性及有效性 ( 4 ) 用偶应力理论对增韧的机理进行一定程度的探讨。 山东大掌硕士掌位论文 第二章偶应力理论 偶应力理论中，微元体内每一点上除了位移自由度外，还存在独立的转动自由 度，因而连续体内的转动由宏观转动和微观转动组成。除了经典连续统力学中的 应力分量外，偶应力分量鸬( i = x , y ) 也出现在该理论中( 如图2 1 ) 。因此当确 保微元体转动平衡时，应力张量可以是不对称的。约束转动的偶应力理论要求其 微观转角等于宏观体元的转角。本章对偶应力理论的平衡方程、应变位移关系、 本构关系等进行了系统地说明。 2 1 控制方程 2 1 1 平衡方程 考虑偶应力后，平面微元体的应力分量在经典弹性理论的基础上增加了偶应 力以和以，如图2 1 示。 图2 i 直角坐标系中的正应力、切应力及偶应力 山东大掌硕士掌位论文 i i i i + 鼍屯 氐 图2 2 直角坐标系中的正应力、切应力及偶应力 ( 考虑应力分量沿长度方向的微小变化) 由图2 2 中力平衡e = 口，弓= o 及力矩平衡忆= d 心点) ，可得到( 未考虑体力和体力偶) ： 亿+ a 盘。 x8 ，训。+ 咄+ 等影训疋= 。 ( 取0 为微元体形 ( 2 1 1 a ) ( q + 等g 训疋+ + 誓疋吲。= 。 ， 叫” 从而得到平衡方程( 考虑到微元体的尺寸比较小，暖和0 为微小量，可忽略 式( 2 2 1 c ) 中高阶小量) ： 孕+ 拿：0 ( 2 1 2 a ) 锄a i ， 0 2 竣 竹 以 q 争暗讹吩 训 挚 似 妇 冬+ 誓：0 ( 2 1 2 b ) c 睇 砂 警+ 誓+ 勺一= 。 。 c ) 饿卵 g h _ k - - 式可看出，其中的( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 b ) 与不考虑偶应力的连续统力学中 的平衡微分方程相同，考虑了偶应力后，得出了( 2 1 2 c ) 式，而且剪应力和 不再恒等一般将剪应力写成对称分量l 和反对称分量l 两部分： f l = ( f 0 + r 芦) 2 ( 2 1 3 a ) = ( 勺一f f ) 2 ( 2 1 3 b ) 式( 2 1 3 ) 也可用下式表示： = + 吃 。 ( 2 1 4 a ) k = 一毛( 2 1 4 b ) 趁一垣二 幽2 3 劈_ 匾力对称分鱼和反对称分量产生的剪应变及微转动 由式( 2 i 2 ) 和( 2 1 3 ) 可以看出当不考虑偶应力时，l = = ， 经典弹性理论。 将式( 2 1 4 ) 代入( 2 1 2 ) 得到： 亟+ 亟一亟：o o x o y 泖 生+ 篮+ 堡：o 苏苏加 吃= 0 ，即为 ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 ” 山束大掌硕士掌位论文 l l e _ _ _ 自! _ 目目e e e _ _ | 目j _ i _ e - _ - e 自! ! 目i e = i ! _ 目e j 目l _ - 目l ! l ! _ l _ 日t 墼+ 警也= 。 +(215cox ) 口v 整理得到应力平衡方程： 冬+ 晏+ 尝+ 磐：o ( 2 1 6 a ) 知勿2 缸勿2 勿。 、 冬+ 晏一磐一堕：o ( 2 1 删 却缸2 缸。2 0 x o y 2 1 2 考虑偶应力的应变位移关系 正应变和切应变与位移之间的关系： 。 ：娑 ( 2 1 7 a ) 2 否 u q ：娶 ( 2 1 7 b ) 勺2 面 u 岛= 罢+ 罢 ( 2 1 7 c ) 岛2 丽+ 面 u 只考虑剪应力的对称分量时，0 对微元体发生的作用与经典弹性理论中的 剪应力发生的作用相同，都使微元体产生相应的剪切变形如；剪应力反对称分量 在x 轴方向主应力面上为吃，) ，轴方向主应力面上的为_ ，微元体在毛作用 下不再产生剪切变形，而是使自身发生了微转动国。这一点正好体现了偶应力理 论的本质性问题，即材料变形时偶应力理论考虑了微粒自身的微转动。同时也 可以认为剪切变形只与剪应力对称分量j 有关，反对称分量乇使微粒发生了微转 动，如图2 3 所示 切应变与f ，的关系为； 岛= 专f l = 半( 勺+ ) ( 2 1 8 ) 岛2 否f l2 百【勺+ ) 【z 1 动 其中g 为剪切模量 g = 互丽e ( 2 1 9 ) 山东大掌硕士掌位论文 e 为弹性模量，v 为泊松比。 由于剪应力反对称分量l 的存在使微元体发生微转动妒，新定义了两个弯曲 应变分量( 曲率) ： t = 罢妒等 0 ) 矗卵 约束转动的偶应力理论中假定微转动和宏观转动国相等： 锄= 毫一争，2 ( 2 1 1 1 ) 掰卯 t = 啦= e 一丽0 2 u ) 2 ( 2 1 1 2 a ) = = 岛一争彪 叫瑚 2 1 3 本构关系 平面应力问题，对于各向同性弹性材料，应力、应变有这样的关系： 气= 面1 帆- v o y ) ( 2 1 1 3 a ) 勺= i 1 ( c r y 一峨) ( 2 1 1 3 b ) 由式( 2 1 7 ) 消掉位移得到应变量( 毛，勺，岛) 的相容方程： 等+ 誓= 备 钔 勿2 。缸2 一缸咖 毕”j 同理由式( 2 1 1 0 ) 可得到： 姿=鲁(21150y ) 靠 7 e a 式c 2 i 刀和式陀1 1 2 、有： 山东大掌硕士掌位论文 k x - - - - 0 ) ，= j 1 【_ 0 2 v 一舄，= 兰誓一等 叫s 曲 毛= 习i 一矿0 2 u + 为毒毛誓 叫s d 偶压力和衄翠阴天系力o k x 面1 pl(2117a) k y2 去p y ( 2 1 1 7 b ) 其中b 称为弯曲模量，b 取为嘲： b = 1 2 g = 1 2 赤 ( 2 1 1 8 ) l 即为前面提到的材料的内禀长度。 e h 式( 2 1 5 ) 、( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 7 ) 得到的应力( 包括偶应力) 应变关系，代入相 容方程( 2 i 1 4 ) ( 2 1 1 6 ) 得： 击等忆一，+ 击吾帆嵋，= 茜 叫蜘 以= 刀2 e 一击斋( q v q ) 】 ( 2 1 1 9 b ) 以= 刃2 卜鲁+ 雨i 丢( q v 吒) 】 ( 2 1 1 9 c ) 平面偶压力弹性理论的本构万程覆不为： 盯= d l 占 = d 2 k 其中； 盯= h ，o y ，f j r e = k 一奠 ( 2 1 2 0 a ) ( 2 1 2 0 b ) ( 2 1 2 1 a ) ( 2 1 2 1 b ) 山东大学硕士学位论文 = k ，a yj ( 2 1 2 1 c ) k = k x ，屯j ( 2 1 2 1 d ) q ；赤小冽 州叱o 2 q = 去p ，小地：a ， 州啦： s 协 用彬表示与剪应力勺和有关的应变能函数： 形= 孚+ 警 ( 2 1 2 4 ) 勺和为微极应变张量【3 8 删： 仂， 2 夏一妒 ( 2 1 - 2 5 a ) = 熹+ 庐( 2 1 2 5 b ) 2 面+ 庐 由式( 2 1 3 ) 、( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 1 ) 可得： 形= 华+ 吃( 缈一)( 2 1 2 6 ) 偶应力理论中假设了a , - - 妒，所以可以看出，剪应力反对称分量吃被消掉，从而未在 山东大掌硕士掌位论文 由式( 2 1 5 c ) - q - 得到： 从而解出剪应力反对称分量吒。 = 絮+ ，2 乃 2 1 4 力的边界条件 考虑偶应力的弹性体在平面问题边界s 的单位面积上作用的面力和为面力偶为 互、霉和砑，由平衡条件得： 元：s i n 口f 。+ c o s g 吒( 2 a 2 8 a ) 互：c o s 口+ s i n a q ( 2 1 2 8 b ) 面：，c o s 口+ f l ys i n 口一c 。s 口s i n a d s 2 + r zs i n o t g o s 口d s 2 ( 2 1 2 8 e ) 一 i 。 图2 4 边界条件 将( 2 1 4 ) 代入上式，并略去高阶向量得： t = s i n a l s i n 口l - i - e o s a 吒 t y 2 c o s a f | + e o s a f 4 + s i n a or m = c o s a p l + s i n a 弘 ( 2 1 2 9 a ) ( 2 1 2 9 b ) ( 2 1 2 9 e ) 山东大掌硕士掌位论文 2 1 5 几何边界条件 考虑偶应力理论的平面问题几何边界条件可取为： u = 阱母 矿= 妒 在s u 上( 2 1 3 0 a ) 在墨上( 2 1 3 0 b ) 其中玩矿为在瓯上的已知位移，歹为在墨上的已知微转动。鼠和墨构成弹性体的 所有边界。 2 2 关于内禀长度i 材料内察长度，( 长度量纲) 是依赖于材料的微结构的特征常数。文【1 】细铜丝 扭转实验中，通过试验拟合估计铜的内禀长度z = 4 t i n ，文献 4 l 】薄梁弯曲实验中， 试验估计镍的内禀长度f = 6 o n 。当所讨论的物理现象的特征尺度三远远大于材料 的内禀长度z 时，比如二者相差至少一个数量级时，应变梯度项的贡献比应变项要 小的多，应变梯度效应就可以忽略不计，应变梯度理论退化为经典塑性理论。当 所讨论的物理现象的特征尺度三( 如裂纹长度、小孔半径、波长等) 与材料内禀长 度在同一数量级时，应交梯度效应就会很大，必须考虑应变梯度项。 在文献【4 2 】中给出了公式； r1 2 ，：m ：口：l 旦i6 ( 2 2 1 ) l j 其中m 为一表示多晶体拉伸流动应力与剪切流动应力之比的系数4 圳，可取 肘= 3 0 6 ：口是数量级为l 的经验常数；g 是剪切模量；矗为b u r g e r s 向量；为 参考应力，对于韧性材料，单轴应力应变关系可以写成幂次关系：盯= ， 为塑性功硬化指数( 0 n 一 即由拉格朗日乘子约束的四结点杂交元满足单刚满秩的必要条件。 更严格的保秩条件，可以通过对单元的特征值进行检验而得到保证。 设甜为不含刚体运动的单元形变位移( 微转动) ，相应的位移( 微转动) 集合 u = 函 为阻止单元刚体运动，设单元位移( 微转动) 参数q 中至少有个单元 结点位移( 微转动) 必须被约束，记余下的单元位移( 微转动) 参数为q 。 设u k1 ，卯= 鼋 其中： 山东大掌硕士掌位论文 = 叮= k 也v 2 坞】 令： 吲：f ：偿馏涮卜 该保秩条件又可表示为g ，g 是正定的删 12 ( 5 3 3 a ) ( 5 3 3 b ) 图5 1 如图5 1 ，把参考系x , y 放置在单元中