（固体力学专业论文）平面偶应力问题的辛求解方法.pdf

摘要 平面偶应力理论虽然早在上世纪初就出现了，但是其分析求解一直没有得到很好的 解决。现有的求解手段主要采用数值方法一如有限元法。而能给出其解析解的只限于 某些特殊的偶应力问题。辛方法作为一种崭新的理论求解体系已成功应用于板、梁等弹 性力学阀题的求解，与经典的弹性力学求解体系相比有着其独特的优越性。本文目的在 于把这种解析方法应用到平面偶应力问题的求解。 本文借助于r e i s s n e r 板与平面偶应力的模拟关系，在平面偶应力问题的类 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的基础上，以应力函数为原变量，部分应变为其对偶变量， 推导出力法形式的平面偶应力问题的h a m i l t o n 对偶方程组。于是把平面偶应力问题引入 到h a m i l t o n 体系，从而利用辛空间的分离变量和本征函数向量展开法获得其解。本文讨 论了两种典型边界条件对边自由和对边固支矩形域问题的解析求解。首先求解出由 于用应交代替位移作为基本变量而带来的对边自由矩形域问题的所有非齐次特解，这些 解均是有特殊物理意义的解。然后，推导出这两类边界条件各自的本征值超越方程，并 进一步给出其对应的非零本征值的本征解。从而依据叠加原理，获得这两种典型边界条 件问题的解。最后，本文求解了一半无穷矩形域单向拉伸问题，数值结果证明了微尺寸 下经典弹性力学的求解方法得出的结果不再适用，由于偶应力的影响，单向拉伸问题在 固定端角点处的奇异性消失。 本文将辛方法成功应用于矩形域平面偶应力闯题的求解，为这类问题提供了一条 崭新的解决途径。算例结果也很好地证明了辛方法的有效性和优越性。 关键词：平面偶应力，h a m i l t o n 求解体系，辛对偶空间，本征展开法 a b s t r a c t p l a n ec o u p l es t r e s sp r o b l e ma p p e a r e da tt h eb e g i n n i n go fl a s tc e n t u t y ，b mi th a sn o tb e e n w e l la n a l y t i c a l l ys o l v e db e f o r e t h e r ea r em a i n l ys o m en u m e r i c a lm e t h o d ss u c ha sf e m e r e a tp r e s e n t a n dt h e r ea r eo n l yf e w a n a l y t i cs o l u t i o n sf o rs o m es p e c i a lp r o b l e m s s y m p l e c t i e m e t h o dh a sb e e na p p l i e di ns o m e p l a t ea n db e a mb e n d i n gp r o b l e m ss u c c e s s “l v c o m p a r e d w i t hc l a s s i c a lm e t h o d ，i th a ss o m e u n i q u ea d v a n t a g e s 删sp a p e ra l l n st oa p p l y t h i sa n a l y t i c m e t h o di np l a n ec o u p l es t r e s sp r o b l e m b a s e do nt h ep r o h e l l i n g e r - r e i s s n e rv a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo f p l a n ec o u p l es t r e s sp r o b l e m 。 t h ed u a lp d e sa r ep r o p o s e d c o i r e s p o n d i n g t ot h ef o r o em e t h o de x t e n s i o n t h ed u a l i t ys o l u t i o n m e t h o d o l o g yi st h u se x t e n d e dt op l a n ec o u p l es t r e s sp r o b l e m a n dt h e nt h em e t h o do f s e p a r a t i o no f v a r i a b l e sa n de i g e n f u n e t i o ne x p a n s i o ni nt h es y m p l e c t i cs p a c ei su s e dt of i n dt h e a n a l y t i c a ls o l u t i o n s al o n gs t r i pd o m a i np l a t ew i t hb o t hl a t e r a le d g e sf r e e f r e e da to n ee n d a n du n d e r s i m p l et e n s i o na tt h ef a re n d i ss o l v e da n a l y t i c a l l y t h es o l u t i o ni sc o m p o s e do f t h e i n h o m o g e n e o u sb o u n d a r y c o n d i t i o ns o l u t i o n s ( w h i c ha r ei n d u c e df r o mt h a tt h es t r e s s f u n c t i o n sa r es e l e c t e da sp r i m a r yu n k n o w n s ) a n dt h es u p e r p o s i t i o no fe i g e n s o l u t i o n so f h o m o g e n e o u sl a t e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s 1 1 1 em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e si su s e df o r t h ed u a lp d e s f r o mw h i c ht h e e i g e n - r o o tt r a n s c e n d e n t a le q u a t i o n i ss o l v e da n dt h e c o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o rf u n c t i o n sa r eo b t a i n e d t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa tt h ef i x e de n d a r ed e r i v e dv i a 。t h ev a r i a t i o n a lm e t h o d t h es u p e r p o s i t i o no ft h e s ee i g e n s o l u t i o n sg i v e st h e s t r e s sd i s t r i b u t i o na tt h ef i x e de n d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a td u et ot h ee f f e c to fc o u p l e s t r e s s t h es t r e s s 击s t r i b u t i o ni sn ol o n g e ri n f i n i t ya sg i v e nb yt h ec l a s s i c a lt h e o r yo fe l a s t i c i t y a tt h ec o m e ro f f i x e de n d r e s u l t si m p r o v et h a ti nm i c r os c a l et h ec o u p l es t r e s se 自f e c ts h o u l dn o tb en e g l e c t ，a n d s y m p l e c t i cm e t h o di se f f e c t i v ea n da d v a n t a g e o u st oh a n d l ew i t hp l a n ec o u p l es t r e s sp r o b l e m i nr e c t a n g l ef i e l d k e y w o r d s ：p l a n ec o u p l es t r e s s ，d u a l i t ys o l u t i o ns y s t e m ，s y m p l e c f i cg e o m e t r y , e i g e n - s o l u t i o n e x p a n s i o n m e t h o d i i 平面偶应力问题的辛隶解方法 1 绪论 1 1 引言 弹性力学作为工程力学的一门基础学科，影响到工程力学的各个方面，而且也是数 学物理方法的主要内容。然而弹性力学问题的求解一直是其发展的一个“瓶颈”。以铁木 辛柯的弹性力学为代表的著作，其求解方法占了很大篇幅，而其求解方法是尽量消 元以使未知量尽可能减少，其结果是方程的阶次却提高了。因此数学物理方法中最有效 和最基本的分离变量法和本征函数展开法就难于实施，半逆法求解就成为其特点。 1 2 课题的理论意义和应用价值 根据结构力学与最优控制理论的模拟关系，将由原变量和其对偶变量组成的辛空间 引入到弹性力学，从而使分离变量及辛本征函数展开的直接解析方法得以实施，形成了 弹性力学问题的求解辛体系。辛求解体系是通过理性的推导逐步进行下去的，它改变了 以前弹性力学求解中大量运用半逆法的传统，给出了一个理性的求解方法。这样就有可 能求得许多以前半逆法所不能解决的问题。而过去由于端部条件方面的困难，只能用圣 维南原理覆盖的部分现在也可以予以求解。 辛求解体系与偏微分方程的传统求解思路正好相反。相比于传统求解方法的努力消 元，尽可能减少未知变量的数目，而不惜方程阶次的升高，辛体系下则是引入对偶变量， 使阶次降低，低阶微分方程有利于数值求解，而对偶变量数目的增加也不会带来大的影 响。辛体系与数值方法相结合，将能更好的体现出辛体系的优点，充分发挥计算机的优 势，去解决工程问题。 偶应力理论早在1 8 8 7 、1 8 9 4 就出现过【”，但是长时间未得到重视。在2 0 世纪6 0 年 代r a t o u p i n 2 3 1 、r d m i n d l i n 4 等人就偶应力问题发表过几篇文章，但其后很长时间又 趋于平淡。近些年来，由于其在描述材料尺寸效应方面的优势，偶应力理论引起了越来 越多的重视，其理论及数值方法的研究已成为固体力学研究新的热点之一。 新近的实验表明，当非均匀塑性变形特征长度在微米量级时，材料具有很强的尺度 效应。例如f l e c k 5 】等在细铜丝的扭转实验中观察到，当铜丝的直径为1 2 微米时，无量 纲的扭转硬度增加至1 7 0 微米直径时的3 倍；s t o l k e n 和e v a n s 6 1 在薄梁弯曲实验中也观 察到当梁的厚度从1 0 0 微米减至1 2 5 微米时，无量纲的弯曲硬度也显著增加。这些现象 平面偶应力问题的辛求解方法 用传统的力学理论无法解释。此外，裂纹尖端应力场的分析也一直是一个难题。 应变梯度理论就是一种能够解释上述尺度效应的有效方法之一，对于应变梯度理论 的发展现状及进展我们将在下面给出。 因为传统的弹性理论的模型不含有任何尺度，不能预测出尺度效应，所以传统的弹 性理论在微尺度下不再适用。偶应力理论在描述材料尺寸效应方面有着自己的优势。 固体材料在微米和亚微米尺度下将表现出和宏观尺度不同的力学性能。另一方面， 微电子技术的迅猛发展，同时也对科学技术的深入发展提出了迫切的要求。微型产品的 尺寸已经小到微米及亚微米量级，产品质量是一个非常期待解决的问题。 对于偶应力问题，人们对它的研究多是着眼于如何寻找新的单元，利用数值方法进 行计算。r d m i n d l i n n 给出过中间带原孔的简单拉伸板等某些特殊偶应力问题的解析解。 此时，如果能求出偶应力的解析解无疑有着重要的理论和现实意义。 1 3 国内外研究概况及发展趋势 如前所述，偶应力理论早在1 8 8 7 、1 8 9 4 就出现过【lj ，但是长时间未得到重视。在 2 0 世纪6 0 年代r a t o u p i n p 3 】、r d m i n m i l l 【4 】等人就偶应力问题做过一些工作，但其后 很长时间这方面的研究又趋于平淡。近些年来，由于其在描述材料尺寸效应方面的优势， 偶应力理论引起了越来越多的重视，其理论及数值方法的研究已成为固体力学研究新的 热点问题之一。 2 0 世纪初c o s s e r a t 兄弟提出微极非线性弹性理论引起人们的注意【7 j 。c o s s e r a t 理论 ( 一般偶应力理论) 于1 9 0 9 年提出，在此理论中，考虑了每一个材料粒子作为一个完美 的刚性颗粒，在变形时，不仅有位移产生还伴随着转动。每一个物质元有6 个自由度， 导致了应变和应力张量的非对称性。由于此理论已经为非线性理论，且当时并非用来分 析弹性理论框架下的一些问题，而是考虑了一些非理想的流体，并试图分析了一些电子 动力学问题。在他们的理论中，c o s s e r a t 兄弟并没有引进本构关系。所以一直没有引起 人们的关注。在2 0 世纪6 0 年代，由于研究连续介质理论的基本原则，而引起一些学者 的兴趣。他们将原先的c o s s e r a t 兄弟的偶应力理论加以拓广，引入了微极弹性理论的术 语，仅利用位移矢量来描述连续介质理论。 t o u p i n 8 , 9 讨论了在连续介质中引入高阶梯度的基本原理，他假定应变能密度函数不 仅依赖于应交而且依赖于转动梯度，得n t 线弹性偶应力理论。m i n d l i n i l 叫认为连续介 质中每一个物质点，从微观角度上可以看作是一个胞元。这个胞元不仅跟随连续介质做 宏观运动和变形，而且自身会有微观位移和微观变形。因此，应变能密度函数不仅依赖 平面偶应力问题的辛求解方法 于应变张量而且依赖于变形张量及微观变形梯度。弹性偶应力理论是应变梯度理论的一 种退化形式i l n 。 现在国内外对应变梯度塑性理论的研究比较多f 7 】。现在逐渐发展起来的两种应变梯 度塑性理论分别为c s ( c o u p l es t r e s s ) 应变梯度塑性理论、s g ( s t r e t c h a n dr o t a t i o ng r a d i e n t ) 应变梯度塑性理论【1 1 】。1 9 9 3 年f l e c k 和h u t c h i n s o n 从几何必需位错角度出发，发展了一 种只考虑转动应变梯度影响的应变梯度理论；在分析裂纹尖端场或微米压痕时提出了一 种完整的应变梯度理论，既考虑了转动梯度又考虑了拉伸梯度。1 9 9 9 年n i x 和g a o 发展 了一种简单的位错模型，后来g a o 和h u a n g 发展了一种基于位错机制的应变梯度塑性理 论( m s g ) 。中科院力学所的陈少华、王自强也建立了一种完整的应变梯度理论。清华 大学的黄克智等对应变梯度理论也有系统的研究。这些理论也得到一些渐近解应用到断 裂力学中，更多的则是采用有限单元法计算【”。 许多学者发现对于应变梯度理论的有限元计算，单元的选择是比较复杂的，尤其是 其对具体本构关系的敏感性。x i a 和h u t c h i n s o n 曾经针对平面应变裂纹问题，讨论了应 变梯度塑性有限元实现的困难。为了在计算中捕捉应变梯度效应，已针对f l e c k 和 h u t c h i n s o n 的应变梯度理论发展了很多单元，并且利用这些单元研究了裂纹尖端场问题， 微米压痕问题。这些单元可分三类【7 】： 第一类单元是c 单元。这种单元最早是在研究板单元的时候，由s p e c h t 与 z i e n k e i w i c z 和t a y l o r 提出的，x i a 和h u t c h i n s o n 与b e g l e y 和h u t c h i n s o n 把这种单元应 用于应变梯度理论中。在这种单元中，节点变量是位移和它们的导数，仅仅在节点处c l 连续，每个单元有三个节点。 第二类单元是混合单元。这种单元由x i a 和h u t c h i n s o n 与s h u 和f l e c k 在研究c s 塑性理论时提出的，并且它的应用范围拓展到s g 塑性理论中。在这种单元中，节点变 量是位移和它们的导数，单元内的位移和位移的导数由节点变量插值得到。 第三类是9 节点或者1 6 节点等参单元。这种单元仅仅适用于高阶应力曳力自由的 情况。因为在裂纹面和远处都没有高阶应力曳力，所以在裂纹问题中可以应用这种单元。 利用这种单元，w e i 和h u t c h i n s o n 研究了应变梯度塑性理论的裂纹问题。h u a n g 和x u e 等同样利用了9 节点单元分析了m s g 理论下的微米压痕问题。 基于位错理论，材料的塑性强化是几何必需位错和统计位错共同作用的结果。尽管 材料中的应变梯度效应是几何必需位错引起的，存在微结构的弹性材料同样会表现出应 变梯度效应。h w a n g 等人( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) t 1 2 川给出了塑性和弹塑性材料i ，型裂纹的全 域解，其中存在一个材料尺度参数。 此外，对于弹性偶应力理论，y a n g ，e ，c h o n g ，a c m ，l a m ，d c c ，t o n g ，p 1 l 州建立了 平面偶应力问题的辛求解方法 一种各向同性线弹性偶应力模型，给出了一弹性粱弯曲的解。肖其林及其合作者f 1 5 1 、郑 长良副教授【l 创等人也发展了一些新的有限单元来求解偶应力问题。 除了数值方法之外，或许受经典弹性力学求解体系的限制，至今仍没有人对偶应力 问题在解析解方面做出深入、系统的求解与分析。 利用弹性力学求解辛体系的优点，借助于平面偶应力理论与r e i s s n e r 板的模拟理论， 得出其他现有方法不能求解的偶应力问题的解析解。特色在于利用的辛体系的求解方法 被誉为具有中国原创性的方法，提出一般偶应力问题的解析解法也是第一次。 在弹性力学求解辛体系领域，1 9 9 9 年钟万勰和姚伟岸 1 7 1 建立了平面弹性与板弯曲的 相似性理论，给出了板弯曲经典理论的另一套基本方程与求解方法，然后进入哈密顿体 系用直接法研究了板弯曲问题。应用分离变量和本征函数展开法给出了条形板的分析解， 突破了半逆解法的局限。姚伟岸和隋永枫【1 8 】从r e i s s n e r 板弯曲问题的h - r 变分原理出发， 导出r e i s s n e r 板弯曲的哈密顿对偶方程组。将问题导入哈密顿体系，详细求解出哈密顿 算子矩阵零本征值的所有本征解及其约当型本征解，并给出了具体的物理意义。2 0 0 2 年 钟万勰、姚伟岸和郑长良【1 9 】在平面弹性与k i r c h h o f f 板弯曲相似性理论的基础上，通过 对r e i s s n e r 板弯曲和平面偶应力理论基本控制方程和边界条件的对比，系统全面的阐明 了两者的模拟关系，为两类问题的解析与数值求解打开互相借用的桥梁。 1 4 本文的主要工作 钟万勰、姚伟岸等人已将辛方法成功应用于板、梁等弹性问题的求解即| 2 “，而且已 给出r e i s s n e r 板弯曲和平面偶应力理论模拟关系。本文就是在这些前期工作的基础上， 尝试把弹性力学求解的辛方法运用到平面偶应力理论中。主要工作包括以下几点： 1 由r e i s s n e r 板弯曲和平面偶应力理论基本控制方程和边界条件的对比关系，仿照 r e i s s n e r 板弯曲问题的h r 变分原理写出平面偶应力问题的类h - r 变分原理。平面偶应 力理论和以前平面弹性理论相比，剪应力f 。f 。，我们可以把它分解成对称如和反对 称两部分f 。来处理。对称部分产生剪应变，非对称部分产生一局部刚体旋转：，由应 力偶州平衡。 2 选取应力函数p 、吼、妒，为原变量和应变r 。、( - r 。2 ) 、为其对偶变量。 由h r 变分原理推导出平面偶应力问题的h a m i l t o n 对偶方程组。再运用分离变量法形成 问题的辛本征解。 3 分：0 和0 求解本征方程。= 0 时，求解出具有不同物理意义的本征解， 分别对应简单拉伸等受力情况。0 时，我们先求出对称或反对称解的系数，然后代 平面偶应力问题的辛求解方法 入到相应的边界条件可以推导出本征值超越方程，从而我们可以求出本征值和其对应的 本征解。进一步我们可以利用本征函数向量展开法得到原问题的解。 4 本文后面给出一个例题：一端固支的半无穷矩形域，末端受单位均布力拉伸，求 解其固支端的正应力分布。将求解结果跟经典弹性理论求解结果作比较，发现用弹性偶 应力理论求得的结果当物体尺寸与材料尺度接近时，固支端的应力集中现象弱化甚至消 除。 平面妈应力问题的辛求解方法 2 辛体系的一些基本知识瞳们 2 1 辛空间 一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的晗密顿体系，它们的共同数学基础是辛 空间。辛空间与研究长度等度量性质的欧几里得空间不同，它是研究面积的，或者说是 研究做功的。 定义1 设y 是实数域r 上的一个疗维线性空间，y 为其对应的甩维线性空间，定义： 矽= v x v , 亿， 则称线性空间为由矿和v 组成的实数域r 上的2 万维相空间。 定义2 设矽是实数域r 上的2 h 维相空间，对中的任意两个向量a ，p 依一定法则对 应着一个实数，这个数称为辛内积，记作( 口，卢) ，并且辛内积( 口，卢) 计算满足下列四个 条件： ( 1 ) ( 口，) = - p ，口) ( 2 ) ( t 口，) = | 和，p ) ，七为任意实数 ( 3 ) 扛十一卢) = 扛) + ( ) ，是矽中的任意向量 ( 4 ) 若向量口对中的任一向量声均有( 口，) = 0 ，则口= 0 称定义有这样辛内积的相空间为辛空间。 由上面第一式可知，任一向量与其自身的辛内积一定是零，即对任意向量口有 ，口) = 0 ( 2 2 ) 定义3 若向量口，的辛内积( 吼) = 0 ，则说口，夕辛正交：否则说口，辛共轭a 由定 义2 知，任一非零向量一定存在与其辛共轭的非零向量。事实上，若口0 ，则口与肛 一定是辛共轭的。 若向量组b 。d ：q 届卢：羼) ( ，蔓一) 的向量满足： 平面偶应力问题的辛求解方法 ( f ，= 1 ，2 ，r )( 2 3 ) 则称向量组慨口2 口，属屈屏j 是共轭辛正交向量组；若上式中的 k 。* 1 ( f = 1 ，2 ，) ，则称向量组杠。口：口，麒展，) 是标准共轭辛正交向量组。 定理1 共轭辛正交向量组是线性无关向量组。 定理22 n 维辛空间中任一个共轭辛正交向量组都能扩充成一组共轭辛正交基。 定理3 设w 是2 玎维辛空间，( ) 为一组标准共轭辛正交基，则w 中任意一个向量，在 基扛，) 下的坐标g 1x 。x + l工2 。) 1 为： x ，= ( ，口。+ 。) ，x 。“= - b ，口f ) i = 1 ，2 ，- 玎 ( 2 4 ) 定义4 如2 n x 2 n 矩阵s 满足： s 7 j s = ， ( 2 5 ) 则称j 是辛矩阵，其中，是单位辛矩阵。 辛矩阵有如下性质： ( 1 ) 辛矩阵的逆矩阵还是辛矩阵； ( 2 ) 辛矩阵的转置矩阵还是辛矩阵； ( 3 ) 辛矩阵的行列式值等于l 或一1 ； ( 4 ) 辛矩阵的乘积还是辛矩阵。 定义5 如果2 n 2 n 矩阵日对任意2 n 维向量x ，y 满足： x ，h r y ) = ( ，e h ) ( 2 6 ) 则称矩阵日为哈密顿矩阵。 定理4 如是哈密顿矩阵日的本征值，重数为m ，则一也一定是其本征值，重数也 为m ：如哈密顿矩阵日存在零本征值，则其重数一定为偶数。 今后称土的两个本征值为哈密顿矩阵互为辛共轭本征值。我们通常将哈密顿矩阵 的非零本征值分成两组： ) z ，脚i 0 或脚2 0 1 掣t o l( 2 7 ) ( 卢)。“= 一。j 、。 在位) 组中还可以按t 。的绝对值的大小来编排，越小越在前。需要说明的是上式没有包 含零本征值，它是特殊的辛本征值，即其互为辛共轭的本征值是其本身。 定理5 设日是哈密顿矩阵，y p ，“”，y m ) 和y j o ) ，1 ，时分别是本征值以，一对 、，_：川“川 印b 睁 卢0 以产 文恪 、“ = 口 0 q 平面偶应力问题的辛求解方法 应的基本本征向量及约当型本征向量，则当h + l j i 0 时本征向量间有如下辛正交关系： ( “，妒j f ) ) = 妒j n ，时= 0 g = o ，1 ，棚；t = o ，1 ，n )( 2 8 ) 上面的定理说明了非辛共轭的本征值对应的基本本征向量及其约当型本征向量间存 在辛正交性质。下面我们讨论互为辛共轭本征值对应的本征向量间的关系。为简化，我 们假设每个本征值只有一个约当链。 定理6 设口0 为哈密顿矩阵日的一对互为辛共轭本征值，重数为m ，则一定存在一 组共轭辛正交向量组扣妒o ) 妒枷一妒( m 。) o 妒( o ) ，即： ( “) ) = 7 兽：歹：二器 ( 2 9 ) 其中p ( o ) 矿( 1 ) 加一) ) 和如( 0 妒o ) 一( “) 分别是卢，一一对应酌基本本征向量及约当 型本征向量。 上面我们讨论了共轭非零本征值的本征向量之间的共轭辛正交关系。由定理4 知道， 如哈密顿矩阵日存在零本征值，则一定是偶重根。零本征值通常存在约当型，由它们组 成的解在具体问题中是有特殊物理意义的，这些将在后面结合实际问题加以介绍。 零本征值因为其特殊性= - p = 0 ，其基本本征向量及其约当型本征向量自身可以 组成一组共轭辛正交向量组，为讨论其共轭辛正交性，首先引入如下引理： 引理设哈密顿矩阵日存在零本征值，而缸0 1 妒o ) ( 2 ”一1 ) 是零本征值对应的任一组基 本本征向量及约当型本征向量，则对任意1 p 2 m 一1 ，0 g 茎2 m 一2 有： ( y o ) ，y ( g ) = 一f ( p 一”，妒“) ( 2 1 0 ) 并且当p + g 为偶数时有 f 矿( w ，吵( 口) ) 0( 2 1 1 ) 定理7 如哈密顿矩阵日存在零本征值，其重数为2 朋，则一定存在一组零本征值对应 的基本本征向量及其约当型本征向量p o 矿o ) y ( 2 “) ，它们有如下的共轭辛正交关 系： ( 以) = p a 。鲫管麓2 2 m - m 时) ) ( 2 1 2 ) 定理4 - - 7 表明2 玎维辛空间定存在一组由哈密顿矩阵日的基本本征向量和约当型 本征向量组成的共轭辛正交基；然后再通过归一化，可以形成一组标准共轭辛正交基， 由它们的列向量组成的矩阵当然是辛矩阵。 平面偶应力问题的辛求解方法 关于哈密顿本征值问题的特点定理4 已经有了介绍。由于哈密顿矩阵不是对称阵， 因此可能出现重本征值，而且可以有约当型的本征向量。如。) 是重本征值的基本本 征向量，根据式线性空间的理论知其各阶约当型本征向量叛。) ，掣( ：) ，甲( 。) 应分别 由下列方程求得： p p ( o = ) + 毁o 】 日妒( 2 ) = 甄2 ) + p ( 1 ) 日妒2 声妒( ) + 妒( 女一1 ) 对基本本征向量毁。) 来言，它对应的h a m i l t o n 对偶方程组的解为 ( 2 1 3 ) ( o ) = e “譬，( o ) ( 2 1 4 ) 可是约当型本征向量不能按式( 2 1 4 ) 直接构成齐次h a m i l t o n 对偶方程的解，但由它们可 以组成原方程的解： = e 一陬。) + x ) 】 v t ：，= e ” r c ：，+ x 甲。，+ i 1z 2 甲。， 矽h ) + + f 2 1 5 ) 这里需要强调指出的是本征值= 0 是一个特殊情况，它不包括在( 2 7 ) 中，所以说式( 2 7 ) 的划分是不够严格的。在弹性静力学中，零本征值是常见的，而且通常存在约当型，其 对偶的本征向量与其约当型的解混在一起，这在理论上带来了某种不便。其处理是应该 将零本征值的本征解子空间先行求出，并将哈密顿阵降维降到不含有零本征值，使之适 应( 2 7 ) 的划分。 2 2 哈密顿原理与哈密顿正则方程 “大自然总是走最容易和最可能的途径”，这是著名的费马原理。在经典力学中最小 作用量原理归结为哈密顿原理，通常用有限自由度，l 维的广义位移g 。o = 1 ，2 ，n ) 或用向 量口来描述。用口。表示其对时间的微商，则动力系统的拉格朗e l 函数( 动能一势能) 为： 上瓴雪) 或q 1 ，g ：，鼋。；口。，寸：，口。) ( 2 1 6 ) 哈密顿原理可表述为：一个保守系统自初始点q 。，f o ) 运动到终止点白。，t 。) ，其真实的运 9 平面儡应力问压的辛求解方法 动轨道眨使作用量么成为驻值。 4 = c 工白雪) d f ，跗= 0 ( 2 1 7 ) 事实上展开变分式( 2 1 7 ) ，并作分部积分有： 跗= 蜷一鲁 新靴= 。 仁嘞 由于硒可以任意变分，因此就导出了拉格朗臼方程： 旦d t k o q j = 詈 、 7 因此说哈密顿原理式( 2 1 7 ) 对应于拉格朗日方程( 2 1 9 ) ，它是二阶常微分方程组。我们看 到，以上的表述只有位移这一类变量，所以它是单类变量的变分原理。 在经典分析力学中早己发展了哈密顿正则方程体系，它是通过勒让德变换，把拉格 朗日函数l 中的类独立变量圣( 广义速度) 变换为p ( 广义动量，即对偶变量) ： p ：罢 ( 2 2 0 ) 由式( 2 2 0 ) 我们可以解出口，使圣是p 、叮的函数，即： 尊= 圣( p ，譬)( 2 2 0 按照勒让德变换的规则，应引入交换函数，即哈密顿函数( 动能+ 势能) ： 日c “口) = p 1 圣一三白雷( p ，口) ) ( 2 ，2 2 ) 于是根据勒让德变换有： 罢：一百o h ，尊：婴 ( 2 2 3 ) 向阳1勿 、 另一方面，由式( 2 1 9 ) 知： 6 砚= - a dr c 引6 ) d t = p ( 2 2 4 )j， 故得： 圣：掣，p ：一掣 ( 2 2 5 ) g = ：一，p = 一i l 厶二) j c p叼 平面偶应力问题的辛求解方法 式( 2 2 5 ) 就是哈密顿正刚方程，其中采用了二类变量：广义位移窖与广义动量p 。与哈密 顿方程( 2 ，2 5 ) 相对应的变分原理是 6 e b 7 口一日( g ，尹) 】d f = o ( 2 2 6 ) 其中g 与p 应当看成为互不相关独立变分的变量。只要展开变分式( 2 2 5 ) ，就可以立即得 到式( 2 2 5 ) 。 从单类变量的变分原理式( 2 1 7 ) 变换到二类变量的变分原理式( 2 2 6 ) 的过程具有典型 性，它是通过勒让德变换实现的。 平面偶应力问最的辛求解方法 3 具有应力偶的平面弹性理论及与r e is s n e r 板的模拟关系 3 1 具有应力偶的平面弹性理论。3 3 1 1 引言 经典应力理论与含应力偶的应力理论之间基本的区别在于对于表面单元的两面所假 设的材料相互作用的性质不同。在经典理论中，假设在表面一面的材料对表面另一面的 材料的作用与力是等价的。在应力偶理论中，假设相互作用与一力和一力偶( 应力偶) 等价。进一步改进还允许假设体力偶的性质。应力偶取为单位面积的力矩，而体力偶取 为单位体积的力矩。 应力偶理论与经典应力理论相比具有更少的限制性。此外，有应力偶的弹性力学理 论应用到经典解产生局部无界应力或无界变形的问题表面时，该结果( 例如奇异性) 被 改变、被弱化或者可能被消除。 对于平面应变，应变一位移关系可以得到如下形式： 抛a v l 2 否占，2 万 2 面+ 瓦，。2 2 0 应力一应变关系可写成如下形式： 毛= 半k y 乜+ 盯，) 】占一2 1 【( 0 一y 以+ 盯，j j 旷半b ，一v p ；+ q ) 】 ( 3 2 ) 占，= 。r i f y v p z + 盯，月 u z ， y 。：2 0 辜v _ _ a r 。 。净掣 3 1 。2 平衡方程 对于相对g ，y ) 平面并且无体力和体力偶的平面问题，能够支撑应力偶的介质的应 力平衡方程为( 正应力方向如图3 1 所示) ： 平面儡应力问题的辛求解方法 蜘。：警+ 等+ = 。 ( 3 s ) 因此，对非常数应力偶( a m 。知0 ，锄，勿0 ) ，剪应力不必相等( 即r ，) 。 反过来，如果( ，r ，) 相等或为零，则应力偶( m 。，m ，) 不比为零a 方程( 3 3 ) 为 略去体力和力偶的平面问题的c o s s c r a t 平衡方程( c o s s e r a t ，1 9 0 9 ) 。 3 1 3 应力偶理论中的变形 图3 1 正应力图 f i g u r e3 1p o s i t i v es t r e s s e s 现在我们处理平面应变情况。相对g ，y ) 平面的平面应变，位移分量0 v ) 只是g ，) ，) 的 函数并且w = 0 。因此，对各向同性弹性介质，正应变b ，s ，) 由方程( 3 2 ) 的前两式与正 应力b ，仃，) 联系，- ，q ) 由方程( 3 1 ) 的前两式与0 ，v ) 联系。此外，剪应变y 。由方程( 3 1 ) 的第四式与( “，v ) 联系。然而，因为通常f 。r ，方程的( 3 2 ) 第三式不再成立。因此， 1 3 = | 1 坠砂堡砂 + 十 堕缸 笠苏 o o | | = 只 0 平面羁应力问题的事求解方法 仿效m i n d l i n ( 1 9 6 3 ) ，我们将，分熊成为对称部分和菲对称部分_ ： 。= 委k + ) 由下图，对称部分珞产生剪应交 f 圭( f 掣一彳声) = 石1 ”半( ，)2 石h 。丁b 竹” _ ) ， 彰。 f ? ”一 f s y t 飞- a ( ，一 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 图3 2 剪应力的对称和反对称部分 f i g u r e 3 2t h e s y m m e w y a n da s y m m e t r y p a r to f s h e m s t r e s s 其中g = , e 2 0 + y ) 】为剪切模量。类似的，非对称部分_ 产生一局部刚体旋转( 如上图) 1f 加融1 呸2 i 临一面j 此外，非对称部分由应力偶平衡。 1 4 ( 3 6 ) 母 一 ，上x 芦停 平面儡应力问题的辛求解方法 研究应力偶对单元陋，妙) 的影响，图3 3 ，我们注意到m 。m 。产生与旋转国：相关的 曲率芷。k 。并由方程： 疋娑o x 缸= 船警渺= 砂 ( 3 7 ) 卵 或者 r 。= 警= 鲁 ( 3 8 ) r 。2 i 2 畜 ( 3 省 表示其关系。 类似于剪应变与f 。的对称部分b 的关系，我们假设曲率( k ，彭，) ( 变形) 与应力偶( m 。，m ，) ( 力) 成正比： 11 茁。2 右m 。b2 右m ” ( 3 9 ) 其中b 为曲率或弯曲模量而因子4 是为以后的计算方便而取的。我们注意到由于应力偶 具有单位面积力矩的量纲或单位长度力的量纲而曲率为长度的倒数，所以模量b 具有力 的量纲。 r 。= 1 盯。 蔓 m 立 ( a q 缸玲 平面偶应力问题的辛求解方法 3 1 4 协调方程 图3 3 应力偶对单元的影响 f i g u r e3 3t h e e f f e c to f t h ec o u p l es 缸t s s 方程( 3 1 ) ，( 3 6 ) 和( 3 8 ) 由用两个位移分量表达的五个变形量( ，富y ，k ，茁p ) 组成，从方程( 3 1 ) 中消去位移分量，我们得到通常的应变协调方程 丛+ 生：盟 ( 3 1 0 ) o y 2 苏2 踟 、 类似地，从方程( 3 8 ) 中消去旋转缈：得出： 坠：坠 ( 3 1 1 ) 勿 苏 现在由方程( 3 1 ) 和方程( 3 6 ) ，我们发现： 知。1 0 2 v a 2 “1 1a 溉 言2 i i 萨一丽j 2 i i 一百 8 0 j ：1ra 2 va 2 “1 a s yl = 一l 1 2 一一 砂2 l 苏砂砂2j 良 2 砂 因此由方程( 3 8 ) 得出： l ( 3 1 2 a ) ( 3 1 2 b ) 平面偶应力问题的辛求解方法 1 铆q 8 s l k 2 互蔷一蓄 d v 1 a y q b 2 吉一j 蓄 ( 3 1 3 ) 看起来我们已得到4 个协调关系【方程( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 。然而，我们观察到方程( 3 1 3 ) 隐含方程( 3 1 1 ) 。因此我们有协调关系： 堕堡：0 2 y 。, 勿2 。叙2 姗y 坠：坠 砂 玉 一1 a a s 。 k 2 i 蓄一亏 b = 等一i i 百o y y ( 3 1 4 ) b 2 言一i 百 u h ， 其中只有三个关系是独立的，因为第二个方程被其余三个隐含。 最后，我们注意到，4 个协调关系可用方程( 3 5 ) ，( 3 9 ) f f l l ( 3 2 ) 的前两式按照应力分量 ( 仃，盯，勺，f ，) 和应力偶( 矾。，m f ) 写出，我们得到： 等+ 誓卅p ，坞) = 茜g ，) 其中 锄，锄。 砂 苏 拼。玎昙k q ) 叫2 刍b ；一v ；坞) 】 m ，划2 昙p ，一y p ：螺粕专( r ，) ( 3 1 5 ) 平面得应力问惩的辛求解方法 v 2 = 罢c o t ：+ 芸o r ( 3 s ) _ ，：；堑坐：旦 ( 3 1 7 ) e“ 其中，2 为材料常数b 、g 的比值。由方程( 3 1 5 ) 的后两式，我们注意到当，2 0 时，大 的梯度可能导致大的应力偶( 胁。，掰。) 值，如果，= 0 ，则材料对曲率的效应( 纠g = 0 ) 无相应的抗力。因为方程( 3 1 5 ) 第二式被其它三个方程隐含，所以四个协调方程中只有三 个是独立的。 3 1 5 具有应力偶的平面问题的应力函数 方程( 3 3 ) 可按类似于用a i r y 应力函数解方程( 3 1 8 ) 的方式来解( c a l s o n ，1 9 6 6 ) 。 墼+ 冬+ z - o ，冬+ 孕+ r ：o ( 3 1 8 ) o x 咖 嗽 砂 按照全微分的理论，方程( 3 3 ) 的第一式是存在g ，y ) 的一个函数妒使得有 q 2 苗一言 的充分必要条件，而方程( 3 3 ) 的第二式以类似方式得出： a 占a 口 盯户石h p 一百 其中口= e ( x ，y ) 。此外方程( 3 1 5 ) 的第二式允许一个函数y = 5 c ，g ，_ y ) 以致 5 素掰一5 苗 a 矿a y 将方程( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 、( 3 2 1 ) 代入方程( 3 3 ) 的最后一式得出： 杀( 警+ 庐) + 专愕一口) - 0稼l 缸，砂l 砂j 这又是存在函数日= h ( x ，) ，) 的充分必要条件，使得： ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 平面儡应力问题的辛求解方法 或者 警巾警， 妒= 等一警， 塑一p ：一型 劫 苏 口：塑+ 业 缸 砂 f 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 因此方程( 3 2 4 ) 代入方程( 3 1 9 ) 、( 3 , 2 0 ) 得出用y 、日表示的盯，盯，f 。，f ，的表达式。 这样我们得到公式： a 2 ha 2 wa 2 日a 2 i 咿矿一1 0 x o y 加y2 - g r + 1 0 x o y a 2 ha 2 i 圹a 2 ha 2 t 矿 铲一丽一铲h 一一丽+ 蔷 矾。= 娑，脚，= 譬 ( 3 ，2 5 ) 矾。2 素脚f2 亩 u 其中所有的应力和应力偶分量都按两个应力函数y 、日表达。对妒= 0 ，m 。= i n ，= 0 ， 方程( 3 2 5 ) 简化为古典加r y 应力函数关系【具有矿= 0 的方程( 3 2 6 ) 】： 铲矿0 2 f + ，= 万0 2 f 彬铲一苗 ( 3 2 6 ) 函数f 为a i r y 应力函数。 日和v 的微分方程。保留的协调方程【方程( 3 1 5 ) 】定义了函数日，y 因此，将方程