（控制理论与控制工程专业论文）广义时滞系统的状态反馈h∞控制.pdf

摘要 摘要 广义系统是一类形式更一般化，并有着广泛应用背景的动力系统。自2 0 世 纪7 0 年代以来，广义系统理论的研究已经取得了长足的进展，许多正常系统的 结论被相继地推广到广义系统中。时滞是客观世界及工程实际中普遍存在的现 象，关于时滞系统的研究，近年来也已有非常大的发展。广义系统中包含了大量 带有时滞的广义系统，它是比正常时滞系统更加广泛的一类系统。在某些条件下， 正常时滞系统可以视为广义时滞系统的一个特例；而且，有些问题只能用广义时 滞系统加以描述，所以对它的研究具有重要的意义。本文主要利用线性矩阵不等 式方法研究了广义时滞系统的状态反馈h 。控制问题。 首先，研究了状态存在时滞的广义时滞系统的无记忆状态反馈h 。控制器问 题。给出了系统容许且满足h 性能指标的一个充分条件，通过求解相应的线性 矩阵不等式可以得到满足设计要求的状态反馈控制器。最后给出的仿真例子说明 了结果的可行性。 其次，研究了状态和输入均存在时滞的广义时滞系统的无记忆状态反馈h 。 控制器问题。给出了系统容许且满足h 。性能指标的一个充分条件，基于线性矩 阵不等式方法，通过构造l y a p u n o v 泛函，给出了一种鲁棒h 。状态反馈控制器的 设计，仅通过求解相应的线性矩阵不等式就可得到使闭环系统容许且具有h 性 能的状态反馈控制器。用数值算例验证了所给方法的有效性。 最后，研究了状态存在时滞的广义时滞系统的有记忆状态反馈h 。控制器问 题。基于线性矩阵不等式方法，通过构造l y a p u n o v 泛函，给出了一种鲁棒h 状态反馈控制器的设计，通过求解相应的线性矩阵不等式可以得到满足设计要求 的状态反馈控制器。最后给出了仿真实例。 关键词：广义时滞系统；状态反馈；线性矩阵不等式 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n g u l a rs y s t e mi sak i n do fd y n a m i cs y s t e mo fm o r eg e n e r a lf o r ma n da b r o a d a p p l i e db a c k g r o u n d i th a sb e e nd e v e l o p e ds u f f i c i e n t l yf r o m19 7 0 s ，a n dm a n yr e s u l t s i nm a n yp r a c t i c a la n de n g i n e e r i n gf i e l d s ，t h er e s e a r c ho fd e l a ys y s t e mh a sa t t r a c t e d m u c hi n t e r e s ti nr e c e n ty e a r s s i n g u l a rs y s t e m sc o n t a i nm a n ys i n g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a yw h i c ha r et h em o r eg e n e r a ls y s t e m st h a nn o r m a ls y s t e m s s o m e t i m e s n o r m a ls y s t e m sa r et h ep a r t i c u l a rc a s eo ft h e ma n ds o m ep r o b l e m so n l yc a nb e d e s c r i b e db ys i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s ，s ot h er e s e a r c ho nt h e mi so ft h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a li m p o r t a n c e i nt h i sp a p e r , t h eh 。c o n t r o lp r o b l e m so ft h es t a t ef e e d b a c ko f t h es i n g u l a rt i m e - d e l a ys y s t e m sa r es t u d i e dr e s p e c t i v e l y , b ym e a n so fl m im e t h o d f i r s t ，t h em e m o r y - l e s sh 。s a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ro ft h es i n g u l a rt i m e d e l a y s y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y si sr e s e a r c h e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tc a nm a k es y s t e m a d m i s s i b l ea n ds a t i s f i e sh p e r f o r m a n c ei n d e xi so b t a i n e d ，t h eh ms t a t e f e e d b a c k c o n t r o l l e r , w h i c hs a t i s f i e st h er e q u i r e m e n to ft h ed e s i g n ，i so b t a i n e db ys o l v i n gt h e c o r r e s p o n d i n gl m i l a s t l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ep r o b a b i l i t y o ft h ep r o p o s e dm e t h o d n e x t ，t h em e m o r y - l e s sh 。s a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e ro ft h es i n g u l a rt i m e - d e l a y s y s t e m sw i t hs t a t ea n di n p u td e l a y si sr e s e a r c h e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tc a n m a k e s y s t e ma d m i s s i b l ea n ds a t i s f i e sh 。op e r f o r m a n c ei n d e x i so b t a i n e d b a s e do nl m ia n d p r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o n s ，t h e h s t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e r t h a tc a nm a k e c l o s e d l o o ps y s t e ma d m i s s i b l ea n ds a t i s f i e sh 。p e r f o r m a n c ei n d e xc a n b eo b t a i n e db y s o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gl m i a tl a s t ，an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t e t h ev a l i d i t yo ft h i sa p p r o a c h f i n a l l y , t h em e m o r yh 。s a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ro ft h es i n g u l a rt i m e d e l a y s y s t e m sw i t hs t a t ed e l a y si sr e s e a r c h e d t h eh 。s t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e r , w h i c h s a t i s f i e st h er e q u i r e m e n to ft h ed e s i g n ，i so b t a i n e db ys o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gl m i l a s t l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t e t h ep r o b a b i l i t yo ft h ep r o p o s e d 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 m e t h o d k e y w o r d s ：s i n g u l a rt i m e - d e l a ys y s t e m s ；s t a t e f e e d b a c k ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人c 签孙虐匆 凇年g 月才e l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( v ( 请在以上相应括号内打“”) 日期：加8 年箩月爿自 日期：o o ? 年f 月硝l e j 第一章绪论 第一章绪论 1 1 广义系统的结构特征、产生背景及发展概况 近代科学技术与高新技术的发展，大型工程技术的需要，提出了非传统数学 模型描述的广义系统。7 0 年代初期，英国著名控制理论专家h h r o s e n b r o c k 在 讨论复杂的电网络系统中首先提出研究广义动态系统的问题，并于1 9 7 4 年在英 国出版的( ( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r 0 1 ) ) 上发表论文“s t r u c t u r a lp r o p e r t i e so f l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s 【1 1 ，首次提出了广义系统的概念，并对线性广义系统 的解耦零点及系统受限等价性做了研究。随后，美国学者d g l u e n b e r g e r 和a r b e l 分别在美国的i e e et r a n s a c t i o n so na u t o m a t i cc o n t r o l 和在英国出版的 ( ( a u t o m a t i c a ) ) 等刊物上发表文章，对线性广义系统解的存在性和唯一性等问题 展开研究【2 - 3 1 。从此，拉开了对广义系统研究的帷幕。 随着现代控制理论及方法在工程系统中的深入和向其它学科诸如航空、航 天、通讯、电力、生态、人口、能源、机器人、经济和社会管理等系统的渗透， 人们在许多领域发现了广义系统的实例。实际上，早在四十年代，经济学家就已 经将经济系统用广义微分方程或差分方程描述。同样在四十年代，数学家、计算 机科学家和经济学家冯纽曼给出的冯纽曼模型也属于此类系统。1 9 7 7 年 l u e n b e r g e r 和a r b e l 发现著名的动态投入产出模型是由微分( 差分) 方程描述的 慢变动态层子系统及代数方程描述的快变静态层子系统组成的广义复合系统，它 是一个典型的广义系纠4 1 。除了常用的列昂惕夫( l e o n t i e f ) 和冯纽曼模型是广义系 统外，还有许多宏观以及微观经济与管理系统以描述方程来表达，它们也属于广 义系统。再例如，石油化工中的催化裂化过程、人口、电路、人工神经网络、计 量经济学、电子网络、航空航天技术等领域中也发现了广义系统的实例。最优控 制问题，特别是有代数方程约束条件的复杂大系统都是广义系统。另外，不少实 际系统( 如受限机器人，核反应堆，非因果系统) 只能用广义系统描述而不能用 正常系统描述，并且这些模型还往往具有维数比较高、结构复杂、不确定性、时 变性、时滞性和分散性等特征，使得对于广义系统的研究具有极大的的挑战性。 随着现代科学技术和生产技术的发展，人们对控制系统的性能要求越来越 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 高，基于数学模型的传统控制理论面临着新的挑战，遇到难以克服的困难。由于 数学模型的近似性、非线性对系统的效应、测量的不准确性、控制系统本身的参 数变化等，人们在设计控制系统时，只能在近似和简化的基础上进行。但系统是 否具有良好的动态性能并对模型、初值、测量噪声等不确定因素具有稳健性? 人 们很难确定。鲁棒控制理论是处理以上各种不确定性能问题的有力工具。 在广义系统中，参数的扰动可能破坏系统的正则性及系统的结构，而且，在 某些情形下，广义系统的正则性及脉冲模对系统参数的变化极其敏感，也就是说， 即使标称广义系统是正则且无脉冲模，但当系统参数哪怕有微小的摄动，也会使 系统的正则性遭到破坏并使系统出现脉冲模，从而使系统失稳。 r o s e n b r o c k 和p u 曲指出，用广义系统来描述交联大系统的动态方程将是方 便的。这也可以从另一方面看到，广义系统是正常系统的更一般形式。与j 下常系 统相比，广义系统具有更大的保持系统物理特性的能力。例如，虽然在一定的条 件下，一些半状态变量可以通过变换而得到消除，从而将所考虑的系统用一般的 正常系统形式来描述，但变换的结果将丧失系统矩阵的所谓稀疏性；而且l e w i s 指出，从物理学的观点来看，在某些情形下，代数方程的存在很有用。特别地， 在一些耦合系统中，某些物理量之间确实存在着由代数方程所刻划的约束。因此 广义系统是描述与刻划实际系统的有力工具，对广义系统的深入研究具有重大的 理论意义。 广义系统通常以微分方程或差分方程的形式对系统的模型进行数学描述。其 一般形式为 ( 丁( 允) z ( ，) ，“，) ，甜( ，) ，t ) = 0 ( 1 1 a ) g ( x ( f ) ，“( f ) ，y ( f ) ，t ) = o ( 1 1 b ) 其中，石( f ) ，“( f ) ，y ( t ) 分别是系统的状态、输入及输出；t ( 2 ) x ( t ) 表示x ( f ) 的微分 或差分；f 是丁( 允) x ( f ) ，x ( f ) ，u ( t ) 及t 的矩阵函数；g 是x ( f ) ，“( f ) ，y ( t ) 及t 的矩阵函 数。 系统( 1 1 ) 的一种特殊形式为 e ( f ) 【丁( 名) x ( f ) 】- ，( x ( f ) ，“( f ) ，t ) ( 1 2 a ) y ( f ) = k ( x ( f ) ，“( f ) ，t ) ( 1 2 b ) 2 第一章绪论 这里，e ( t ) 是n 阶时变矩阵；j ，k 是x ( f ) ，u ( t ) 及t 的矩阵函数。当e ( t ) 非奇 异时( 对所有的t r ) ，系统( 1 2 ) 即通常所说的线性系统( 也称为j 下常系统) 【5 j ， 当e ( f ) 奇异时，则称系统( 1 2 ) 为广义系统。广义系统在文献中又称为奇异系统 ( s i n g u l a rs y s t e m s ) 、描述系统( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) 、隐式系统( i m p l i c i ts y s t e m s ) 、 广义状态空间系统( g e n e r a l i z e ds t a t e s p a c es y s t e m s ) 、半状态系统( s e m i - s t a t e s y s t e m s ) 及微分代数系统( d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i cs y s t e m s ) 等。 广义系统与正常系统的区别主要体现在以下八个方面： ( 1 ) 广义系统( 1 2 ) 的解通常由三部分组成：对应于有穷极点的指数解，对应于 无穷极点的脉冲解和静态解，以及输入函数的导数项；而正常系统只有指数解。 在离散情况下，广义系统( 1 2 ) 的解不仅需要t 时刻以前的信息，还需要t 时刻以后 的信息，即离散广义系统不再具有传统的因果性。 ( 2 ) 正常系统的动态阶为n ( 等于系统的维数) ；而广义系统的动态阶为，一阶 ( 一般小于系统的维数，等于r a n k ( e ) ) 。 ( 3 ) 正常系统的传递函数矩阵为真有理分式矩阵；而广义系统的传递函数矩 阵通常由真有理分式矩阵和指数大于l 的多项式矩阵两部分组成。 ( 4 ) 正常系统一般满足初值问题解的存在唯一性；而广义系统初值问题解的 存在唯一性称为初值问题解的可处理性及初始函数的相容性。广义系统对解的初 值问题，会出现有解存在、无解或有无穷多解的情形；即使有解存在，其解也常 常出现跳跃和脉冲，故通常要求广义系统是正则的。 ( 5 ) 广义系统具有层次性，一层为系统对象的动态特性( 由微分( 差分) 方程描 述，或称为系统的慢变部分) ，另一层为系统对象的静态特性( 由代数方程描述， 或称为快变部分) ；而正常系统没有静态特性。 ( 6 ) 广义系统有两类极点：一类是有穷极点，共g ( = d e g ( d e t ( j e 一彳) ) ) 个；另 一类是无穷极点，共( n q ) 个，这些无穷极点又可分为动态无穷极点和静态无穷 极点；而正常系统只有n 个有穷极点。 ( 7 ) 在系统结构参数扰动下，正常系统可以有系统的结构稳定性；而广义系 统通常不再具有结构稳定性。 ( 8 ) 正常系统可以有满足l y a p u n o v 意义下的稳定性、镇定性；而广义系统不 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 一定满足一般意义下的l y a p u n o v 稳定性与镇定性。 广义系统的这些特点反映了广义系统比正常系统具有更加丰富的内涵，其所 能描述的系统范围比正常系统广阔得多。因此广义系统在结构上变得复杂而新 颖，在研究上也变得困难而又富有挑战性，引起了国内外许多学者的极大兴趣， 并取得了丰富的研究成果【艄】。 迄今为止有三种典型方法用来研究广义系统，即：状态空间法，几何方法和 多项式矩阵法。状态空间法( 或称时域方法) 是对基于状态空间描述的广义系统 主要采用矩阵运算和矩阵变换的计算方法，直接对时域系统进行结构性质等的研 究以及设计控制器【6 1 。几何方法是由w o n h a m 针对线性系统提出的，由l e w i s 7 1 将其扩展到解决广义系统的反馈控制问题。几何方法的优点是对系统结构有着独 到的刻划，例如广义系统的能控性结构、能控性子空间以及不变子空间的刻划等； 而且，几何方法简洁明了，避免了状态空间方法中大量繁杂的矩阵推导运算，且 所产生的结果都可化为矩阵运算；所以，具有很重要的理论意义。其缺点是对系 统鲁棒性问题的分析无能为力。多项式矩阵法是基于传递函数的某种分解，应用 于广义系统的分析和观测器的设计中【9 1 。 在广义系统发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢。较突出的 成果是d g l u e n b e r g e r 关于非线性广义系统的研究【1 0 1 。进入2 0 世纪8 0 年代，广 义系统理论进入了一个新的发展阶段。d c o b b 提出了广义系统的能控性、能观 性及对偶原理【6 1 ；l d a i 将其推广到离散广义系统；c y a n g 等提出了广义系统的 最小实现问题；l r f a h m y 设计了观测器；l r f l e t c h e r 等研究了广义系统的干扰 解耦及特征结构配置；d j b e n d e r 研究了连续及离散广义系统的线性二次型最优 调节器问题；j l i n 和x l i n 分别讨论了时变和时不变广义系统的最优控制问题； 以及h 。控制、分散控制等问题也已经得到解决，并建立了一套完整的理论。对 于线性时变广义系统的研究在过去十年也已取得了相当的成就。 1 9 8 9 年l d a i 出版了广义系统理论的第一本专著。系统地介绍了广义系统的 基础理论，比较全面地集中了广义控制系统诸多论文的精华，从而标志着广义系 统的基础理论已经形成，广义系统理论研究进入了一个新的发展阶段。7 0 年代 至今，关于广义系统的研究已发表了数百篇论文，共出版了9 部专著。s l c a m p b e l l 的专著“s i n g u l a rs y s t e m s o fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ” 【l l 】和 4 第一章绪论 u - e b o y a r i n c h e v 的“s o l u t i o no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fd e g e n e r a t e s y s t e m ” 1 2 】非常系统地总结了广义系统方面的许多论文的主要成果，已经成为广 义系统的经典论著。1 9 9 7 年，张庆灵教授出版了广义大系统方面的一本专著。 最近，张庆灵和杨冬梅等在总结国内外广义系统的研究现状基础上，结合自身近 年来的研究成果出版了另两本广义系统专掣1 3 j 4 1 ，系统介绍了广义系统及不确定 广义系统分析与综合的理论和方法。这些著作的出版极大地促进了广义系统理论 的研究和发展。 从广义系统的提出到现在已经过了十余年，其研究从基础向纵深发展。涉及 了从线性到非线性、从连续到离散、从确定性到不确定性、从无时滞到具有时滞、 从h 2 到h 。控制等各个方面。1 9 8 6 年，著名广义系统专家王朝珠研究员指出： 对一般的线性时变广义系统明显解的表达式，国内外尚未解决；而非线性广义系 统，只在特殊情况下证明了解的存在唯一性。时至今日，线性时变广义系统明显 解的表达式国内外仍未解决，因此，一般而言，广义系统研究仍处于起步阶段。 仍有大量的理论问题和实际问题急待解决，所以广义系统的研究前景是非常广阔 的。 1 2 广义时滞系统的结构特征、产生背景及发展概况 时滞是客观世界及工程实际中普遍存在的现象。时滞的存在会严重降低系统 的性能，在某些情况下，还可能导致系统不稳定。所以在过去的几十年中，关于 时滞系统的稳定性的研究引起了国内外学者的广泛关注，并涌现了许多优秀成 果。这些结果可分为两类：时滞无关型结论及时滞相关型结论。一般地说，时滞 相关型结论较之时滞无关型结论具有较小的保守性，特别是在滞后较小的情形。 广义时滞系统，也称为时滞微分一代数方程，隐式时滞系统，或奇异时滞系 统，它本质上是由时滞微分方程和代数约束构成的系统，经常出现在宇宙飞船姿 态控制，大型电网控制，大型化工系统及无线传输线路等各种工程系统中。 由于广义时滞系统既是广义系统又含有时滞，故对这类系统的分析与综合比 正常状态空间时滞系统要复杂和困难的多。我们既不能仅从时滞系统的观点进行 考虑，也不能仅从广义系统的观点进行考虑，而应该从两类系统相结合的角度进 行研究和分析。目前，关于广义时滞系统的研究的结果并不多。 5 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 1 7 5 0 年e u l e r 提出一个古典的几何学问题：是否存在一种曲线，它经过平移、 旋转运动以后能与其渐缩线重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论这个问题，导出了已知 的、历史上第一个泛函微分方程【1 5 】。此后一个世纪中，许多著名的数学家，如 b e r n o u l i ，l a p l a c e ，p o i s s o n 以及b a b b e g e 等都提出过类似的方程。鉴于这些类型 方程的复杂性，一直未能对它们进行有效地研究，而作为数学的一种历史悬案搁 置下来了，但人们对泛函微分方程已逐渐有所认识。特别是七十年代以后，随着 对诸如管理系统、生态系统、电力系统、工业工程系统等实际系统的建模、设 计、分析和应用的深入发展，人们越来越重视时滞现象，并进行了系统的研究， 取得了实质的、全面的进展，八十年代以后有了一些有趣的初步结果1 6 垅】。 泛函微分方程又称为病态方程、时滞方程、后效方程、差分微分方程、具有 偏差变元的微分方程掣1 5 】。其中时滞是指信号传输的延迟，是客观世界及工程实 际中普遍存在的一种物理现象，共同的特点是时滞系统的运动规律不仅与系统当 前的运动状态相关，同时还与过去的运动状态有关。时滞本质上是无限维的，因 而研究具有时滞的系统较为困难，对它的研究也受到广大学者的关注。 时滞系统具有广泛的实际背景。本世纪以来，自然科学与社会科学的许多学 科中提出了大量时滞动力学系统问题，如核物理学、电路信号系统、生物系统、 化工循环系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统。社会科学方面主 要是各种经济现象时滞的描述，如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济 周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等。各种工程系统中的时滞现象更为 普遍，如流体的传输系统、轧钢系统、机械传动系统等，特别是自动控制系统。 关于时滞系统和广义系统的研究，近年来已有非常大的发展。但是这两方面 的研究尚有许多问题需要进步讨论、研究。在许多实际系统中，要对其准确地 描述，从而对其更精确地设计、分析和应用，就必须同时考虑时滞的影响和奇异 现象。广义系统中包含了大量带有时滞的广义系统，特别是有代数约束条件的时 滞( 大) 系统及时滞控制( 大) 系统都是带时滞的广义系统。科学技术的迅速发 展，又提出了对带有时滞的广义系统进行研究。广义时滞系统是比正常时滞系统 更加广泛的一类系统，在某种条件下，正常时滞系统可以视为广义时滞系统的一 个特例。而且，有些问题只能用广义时滞系统加以描述，例如，复杂电路网络模 型。因此，研究广义时滞系统，将为科学技术、工程实际提出新的理论方法与解 6 第一章绪论 决问题的途径，具有重要的理论意义和使用价值。 1 9 8 0 年，s l c a m p b e l l 在其著作“s i n g u l a rs y s t e m so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 中第三章f l l 】，对具有时滞的线性定常广义系统a c c ( t ) + b x ( t ) = c x ( t f ) + 厂( f ) ( 其 中，石( f ) r “，a ，b ，c 均为刀，l 常数矩阵，彳为奇异矩阵。) 在初始值t = t o ，初始 函数气= ( f ) ，( f ) c ( 【一f ，o 】，r ”) ，假设( f ) ，厂( f ) 无穷次可微，且各阶导数满足 一个复杂的关系式时，给出了解的存在唯一性以及通解的表达式。但此后在长达 1 5 年的时间内，在国内外，没有见到关于广义时滞系统研究的其它报道。自1 9 9 3 年以来，国内外学者陆续开展了关于广义时滞系统的研究工作，给出了一系列非 常有意义的结果。谢湘生、刘永清等开展了广义时滞系统的稳定性分析和镇定控 制的研究【2 3 】；谢湘生和刘洪伟给出了广义时滞系统反馈镇定控制器设计的线性矩 阵不等式方法【2 4 】；而李远清、刘永清等系统地开展了对广义时滞系统的基本理论 的研列2 5 1 ，即解的存在性、唯一性、整体性等，包括将s l c a m p b e l l 关于解的 存在唯一性条件中，初始函数及强迫函数的无穷次可微条件降至只要求连续、以 及广义泛函微分方程的研究等，并以著作形式给出总结；温香彩、李永清、李远 清等对广义时滞系统的变结构控制、测度型带有脉冲的广义时滞系统的稳定性及 广义时滞变结构控制系统解的存在唯一性等进行了研究2 5 。2 6 1 。蒋威借助广义逆阵 建立了线性广义时滞系统的基本理论，进而讨论了解的稳定性、周期解的存在性 和系统的可控性等问题1 27 1 ，得到较为系统的结果。 以色列学者e m i l i af r i d m a n 研究了具有多时滞和分布时滞的广义时滞系统的 稳定性问题，通过构造适当的广义l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，得到了基于l m i 的系统稳定的充分条件；国内学者s h e n y u a nx u 、比利时学者p v d o o r e n 、r s t e f a n 及香港学者j l a m 通过研究系统的广义二次稳定和广义二次能稳定研究了具有 参数不确定性的广义时滞系统的鲁棒稳定性和鲁棒镇定问题【2 8 1 ，并得到了基于 l m i 的控制器的设计方法；张先明、吴敏和何勇研究了线性广义时滞系统的时滞 相关稳定性问题【2 9 1 ，在对应的无时滞广义系统正则、无脉冲的条件下，将原系统 转化为一个带约束条件的中立型系统，利用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，获 得了基于l m i 的时滞相关稳定充分条件；加拿大学者e k b o u k a s 和z k l i u 也 研究了线性广义时滞系统的时滞相关稳定性问题。在文献 2 9 的假设条件下，将 7 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 系统分解成等价的快、慢子系统，得到了基于l m i 的时滞相关稳定和镇定的充 分条件。 广义时滞系统与广义系统相比，有更为复杂的特性。广义时滞系统，除了具 备时滞系统解不能反向延展、解轨道可以相交、解具有变异性、解空间为无穷维 等性质外，它还具有不含时滞的广义系统的一些复杂特征及独特的本质特性与复 杂性。例如，一般的二维线性定常时滞系统，由于系数的不同选取，可以是：时 滞型、超前型、混合型、中立型、不定型等多种系统，而广义时滞系统定义在解 空间都是无穷维的两个复合流形上，因此，广义时滞系统的定性定量特征都很难 把握；不再像普通的带有时滞的系统那样可以区分为时滞型、超前型、混合型、 中立型等。因此，本论文研究的广义时滞系统是指带有时滞的广义系统。 广义时滞系统，也称为广义微分差分方程，或广义泛函微分方程。它产生于 电机、经济中的投入产出f 4 】、计量经济【3 0 1 、环境污染2 3 1 、宇宙飞船等多种模型中。 广义时滞系统是普遍存在的，很有必要对其进行深入讨论。 如果广义系统在f 时刻状态的变化率戈( f ) 依赖于f 和t 以前一段时间【f f ，t 】 上的状态，则广义时滞系统可表示为 e ( f ) 戈( f ) = f ( t c x t ) ( 1 3 a ) 其中，e ( f ) 是，z 阶时变矩阵； 表示由【t - v ，t 】上的状态确定的【一f ，o 】上的函数 五( 0 ) = x ( t + t g ) ，一f 秒s o 厂是f 和函数的函数，即泛函。这时系统在气时刻的初始状态表示为 x ( f ) = 矽( f ) ，t 【t o f ，t o 】 ( 1 3 b ) 也可记为 = 其中，矽表示【一f ，o 】上的函数矽( 臼) = 矽( 气+ 9 ) ，0 【一r ，0 】。 如果系统在t 时刻状态的变化率戈( f ) 依赖于t 和t 以前k 个时刻，吒，r k 的 状态，则广义时滞系统可表示为 e ( t ) c ( t ) = 厂( f ，x ( f ) ，x ( t - r 。) ，x ( f 一靠) ) 第一章绪论 这里，厂是一般的多元函数。这时系统在气时刻的初始状态表示为 x ( f ) = ( f ) ，te 【t o f ，t o 】 其中，f 是，砭，q 中的最大数。 广义时滞控制系统是具有输入和输出的时滞系统，具有如下形式 e ( f ) 戈( f ) = ( f ，石o ) ，x o 一一) ，z ( f 一吃) ，x ( t 一吒) ，“( f ) ，“( f 一扛) ，u ( t - h 2 ) ，u ( t - h t ) ) y ( f ) = g ( x o ) ，x ( t - r 。) ，x ( f t ) ，x ( t - r k ) ，“( f ) ，u ( t - h ，) ，u ( t - l h ) ，u ( t - h , ) ) 其中，x ( f ) ，“( f ) ，y ( t ) 分别是系统的状态，输入及输出；当e ( t ) 非奇异时( 对所有 0 0t r ) ，系统( 1 3 ) 即通常所说的时滞线性系统( 也称为时滞正常系统) 【2 8 1 ，当 e ( f ) 奇异时，则称系统( 1 2 ) 为广义时滞系纠2 3 1 。 特别地，线性时不变连续广义时滞系统通常表示为 警) = 彳x ( f ) + 鸣x ( f d ) + b “( f ( 1 4 ) y ( f ) = c x ( t ) 式中，x ( t ) r ”，u ( t ) r m , y ( t ) r a 分别是系统的状态向量、控制向量及输出向量； e r 删”，彳，以尺n x b ，b r ”。r t i ，c r 删均为实常值矩阵；d 0 是一常数； r a n k ( e ) = ， 刀 相应地，线性时不变离散广义时滞系统表示为 凰( 七十1 ) = a x ( 露) + 以x ( 尼一f ) + 曰“( f ) ( 1 5 ) y ( t ) = c x ( t ) 整数f ( 1 ) 表示时滞。 广义时滞系统一般不能分解为慢变动态层子系统及快变静态层子系统，而无 时滞的广义系统却总可以进行这样的分解；例如对于以下广义时滞系统 戈( f ) = x ( f ) + 少( f ) + 缈( f d ) + z ( f ) 0 = _ 2 工o ) + 少( f ) + 缈( f d ) + 五( f ) 若a 0 ，要求出所有的状态变量，就必须求解如下两个动态方程 量( f ) = 3 x ( t ) + f ( t ) - f 2 ( t ) ，y ( t ) + a y ( t - d ) = 2 x ( t ) 一五( ，) 9 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 这意味着广义时滞系统不一定能分解成一个动态层子系统和一个静态层子系 统。此例说明广义时滞系统还可以分解为有微分差分方程描述的慢变动态层子系 统和代数差分方程描述的快变动态层子系统，这与由动态层子系统和静态层子系 统组成的不具有时滞的广义系统又有很大的区别，即广义时滞系统的结构更为复 杂。 对不含时滞的广义系统的初值问题，为使其解存在，初始条件必须是相容的。 以线性定常的广义系统为例，在正则的条件下，若所给的初始条件不相容，则在 系统的指数为1 的情况下，不相容初始条件会导致初始时刻解的一个“跳跃”。 而对线性定常广义时滞系统，不相容初始条件导致的跳跃就不再像正常的线性定 常系统那样，只限制于初始时刻。经时滞因素的作用，跳跃间断点将分布到整个 时间半轴，以致这样的初始条件所确定的解成为“振荡”解，振幅与原来初始跳 跃的强度有关，而频率则取决于时滞的大小，时滞越小，频率越高。这样略去时 滞就无法准确地了解系统解的性态，也说明了广义时滞系统的复杂性。对这类系 统的基本理论、稳定性、控制理论和应用等方面的研究，由于其难度较大，到目 前为止研究成果尚不多见。但对广义时滞系统的研究，将具有十分重要的理论价 值和实际意义。 1 3 广义系统及广义时滞系统的实际应用背景 广义时滞系统具有广泛的实际背景。下面主要介绍几个比较典型的广义时滞 系统的例子来说明它的应用背景。 例1 1 神经网络系统【3 2 1 相c 小班喜坛筹t , - 五i 舻i e l 1 南= q ( 蕾) i 包( 西) 一坛兴兀乃力似i i 七= l ) ，i 。= 吒( 屯) 吮( 吒) 一壹k = l 。d s ( 气( k ) ) 太v 毒1 w l乃州” o = 吒( 屯) i 吮( 吒) 一。，。、乃州”l l o 、j ，e 厶 j 其中，薯，气为第f 个神经元的状态，i = l ，2 ，刀；q 为对应的神经细胞相关生存 期标度；勿( ) 为对应接受力和时延，也可包括细胞的自我反馈；s ( ) 为神经元的 输入；为网络的连接权； i i1 2 ，l ) 为 1 ，2 ，m + n ) 的个无序子集。此 l o 第一章绪论 例是典型的广义大系统。 例1 2 1 2 7 1 某企业有两种产品，在时刻t 库存量分别为五( f ) ，x z ( t ) ，并设 ”。( f ) ，u ：( f ) 为这两种产品的生产率，黾( f ) ，s 2 ( t ) 为两种产品的销售率。则有 j c ( t ) = - s ( t ) + “( f )( 1 6 ) 其中， x ( f ) = 五r ( f ) ，x 2 r ( f ) ，“( f ) = “。7 ( f ) , u 2 r ( f ) 7 ，s ( f ) = s 。r ( f ) ，s ：r ( f ) 7 一般来说，销售率s ( f ) 与产品在时刻f 及f 一1 时刻的库存量x ( f ) ，x ( t - 1 ) ：i 联，而 且与t 时刻库存率j ( f ) 有关，设 j ( f ) = e i j ( t ) - a x ( t ) - b x ( t - 1 ) 代入( 1 6 ) 得 ( 厶+ 巨) 贾( f ) = a x ( t ) + b x ( t - 1 ) + u ( t ) 其中，厶为二阶单位矩阵。如果i 厶+ 骂i = o ，则该系统即为广义时滞系统。 例1 3 经济系统中熟知的l e o n t i e f 动态投入产出模型表示为4 】 z ( 尼) = 彳工( 后) + 曰( x ( 后+ 1 ) 一z ( 七) ) + 缈( 后) + d ( 后) 其中，a r “”为消耗系数矩阵，b r 删”为投资系数矩阵，x ( k ) r ”为k 时刻的 产量，d ( k ) + c o ( k ) 为k 时刻的最终产品量，其中d ( k ) 为确定性的，被称为计划中 的最终消费，缈( 尼) 为市场波动对消费的影响。 在多部门的经济系统中，当各部门之间不存在投资时，矩阵雪中对应的行为 零，从而b 是奇异的，这是一个离散广义系统。但是如果产品的消耗周期与生产 周期并不一致，则模型应为 x ( 尼) = 彳工( 尼一，) + b ( x ( 尼+ 1 ) 一x ( 尼) ) + 缈( 尼) + d ( 尼) 这是一个离散广义时滞系统，林德金等3 1 1 曾用此模型讨论经济增长的快车道定 理。 例1 4 在环境污染问题中，设污染物为有毒化学物质或放射性同位素。物种 在区域d 中的总数为x j ( t ) ，物种个体内的毒素浓度为恐( f ) ，环境中介质的毒素 广义时滞系统的状态反馈h 。控制 浓度为x 3 ( t ) ，若五( f ) 的妊娠期为_ ，毒素在个体内停留吃时间以后排出体外( 对 排出部分而言) ，环境内毒素进入个体的平均时间为l ，若1 ，( f ) 表示毒素排入环 境的速率，则污染问题的数学模型为【2 3 】 y q ( t ) = m ( f ) 一q o ) 五( f q ) 毫( f ) = 如( f 一乃) 一a x e ( t ) 岛( f ) = 一k 恐( t - r 3 ) x , ( t ) + g 。x 2 ( t - r 2 ) - 红( f ) + 1 ，( f ) 其中，c ，k ，墨，a ，g 。，h 都是正常数。但是，( f ) 明显地依赖于物种个体内毒素的浓 度以及环境中介质毒素的浓度，而不应该是常数，故 。v ( t ) = f ( x 2 ( t ) ，x 3 ( t ) ) 这样，完整的数学模型应为 毫( f ) = r x l ( t ) - c x , ( t ) x l ( t - - t 1 ) 岛( f ) = 如( f 一吒) 一( f ) 5 c 3 ( t ) = 一k 屯( t - r 3 ) x l ( t ) + g , x 2 ( t - r 2 ) - 忱( f ) + 1 ，( f ) v ( f ) = f ( x 2 ( t ) ，x 3 ( t ) ) 这是一个含有多个时滞的连续广义系统。 例1 。5 宇宙飞船航行姿态满足方程例 ha)=px缈+f 夕= m ( y ) r o 其中，日是“惯量 矩阵，缈代表在宇宙飞船坐标系中宇宙飞船的随时间变化 的角速度向量；p 为全部角动量；r 为控制输入；厂= ( 矽，秒，少) 7 为描述姿态的 欧拉角。若日为奇异的，则为广义系统。若f 为基于飞船姿态的地面控制，由于 距离遥远，信号传递的时滞，因而该系统又是一个广义时滞系统。 例1 6 采用晶闸管整流装置的电动机速度控制系统，如果考虑晶闸管控制电 路的滞后，则系统的数学模型可以表示为 1 2 第一章绪论 “。( f ) = k ( ( o - u s ( t ) ) 姒扣( r 掣蚂 u 3 ( f ) = 墨“2 ( t - r ) 乙d c o _ m ( t ) + ( f ) ：e ”。( f ) 一k 丝 t l t t o ( t ) = l o o m (