高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社5.ppt

7.无穷小的比较及应用,x,x2,sinx当x0时都为无穷小，,两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度的不同。,定义：,高阶的无穷小；,低阶的无穷小；,同阶无穷小；,等价无穷小。,x0时,x与sinx是等价无穷小:sinxx,一些重要的等价无穷小：,x0时，,有关等价无穷小的定理,定理1：,证：,证毕,定理2.(等价无穷小代换定理）,同理，有,问题：,当然，,定理：,证：,例：,例题讨论,求下列函数的极限：,=e,?,=e,解一：,原式=,=1.,解二：,=1.,课外作业,习题17(A),2，4，6（双）,习题17(B),1（双），5，6,8.函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,增量概念：,设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，则u2-u1叫做变量u的增量。记作u。,即u=u2-u1,注意：增量u可正可负。,设y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，,定义,如果当自变量x的增量x=x-x0趋于零时，,对应的函数的增量y=f(x0+x)-f(x0),也趋于零，那么就称y=f(x)在x0点连续。,点x0称为y=f(x)连续点。,即若,则y=f(x)在x0点连续。,等价定义1,如果y=f(x)满足,(1)在点x0的某个邻域内有定义，,则y=f(x)在x0点连续。,等价定义2（“”分析定义）,f(x)在x0的某个邻域内有定义，,则称f(x)在点x0处连续。,称f(x)在点x0处左连续；,称f(x)在点x0处右连续。,重要结论：,易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续的。,如f(x)在(a,b)内每一点都连续，则称f(x)为(a,b)内的连续函数，或f(x)在(a,b)内连续。,如f(x)在(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左连续，则称f(x)为a,b上的连续函数，或f(x)在a,b上连续。,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。,x,y,0,例1：,在x=0处，,均为连续函数；,=,证：,讨论在x=1处的左右连续性。,例2：,解：,=f(1),f(x)在x=1处不连续，而只在x=1处左连续。,。,使函数不连续的点称为间断点。,二、函数的间断点,设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，,(1)f(x)在点x0没有定义；,(2)f(x)在点x0有定义,但,(3)f(x)在点x0有定义,且,则称f(x)在x0处不连续。,在此前提下,如f(x)有下列三种情形之一：,而点x0称为f(x)的不连续点或间断点。,例1：,间断点：x=0,=1,若令f(0)=1,则,x=0为f(x)的连续点。,例2：,所以x=0为间断点,若令f(0)=1,则,x=0为f(x)的连续点。,上述两例中的间断点称为可去间断点。,例3.,y在x=1处无定义，,间断点：x=1,但左、右极限存在，,则称间断点x=1为跳跃间断点。,。,。,1,例4：,f(x)在x=0处无定义，,间断点：x=0,考察极限,则称间断点x=0为无穷间断点。,x,y,0,例5.,间断点：x=0,不存在，,且在x=0附近来回振荡，,则称间断点x=0为振荡间断点。,由以上的讨论，可将间断点分为两类：,1.,若f(x0+0),f(x0-0)都存在，,则称x0为第一类间断点；,2.,不是第一类间断点的称为第二类间断点。,如：可去、跳跃间断点。,如：无穷、振荡间断点。,例题讨论,求下列函数的间断点，并判别类型：,1.,解：,间断点：x=0,=0，,x=0为第二类无穷间断点。,2.,解：,间断点：x=0,=0，,=1，,x=0为第一类跳跃间断点。,3.,解：,k0),x=0为第一类可去间断点；,为第二类无穷间断点。,为间断点。,4.,解：,为间断点。,x=0为第二类无穷间断点。,=0，,=1，,x=1为第一类跳跃间断点。,5.,解：