（固体力学专业论文）索梁耦合系统的非线性动力学分析.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 索一梁耦合结构在工程中有着广泛的应用，本文以该结构作为研究对象，共分 为五个章节：第一章前言部分，陈述了索一梁耦合系统在工程方面的应用，简要列 举了绳索与梁各自的研究历史和成果，在控制其有害振动方面所采取的措施，以 及索一梁耦合系统的研究现状；第二章主要介绍了两端固定悬索在支座等高与不等 高情况下构型函数和自重作用下轴向力的求解，以及考虑面外运动与面内运动耦 合时的振动形态，计算了初始张力、垂跨比以及倾角对索固有频率的影响；第三 章建立了斜拉索和悬臂梁铰接体系的简化模型，推导出运动微分方程；第四章对 简化模型进行系统共振稳定性分析，并利用r u n g e - k u t t a 法对所建立的模型进行数 值计算，并根据得到的时程曲线分析拉索倾角、垂跨比以及结构阻尼等各项因素 对系统共振响应的影响；第五章给出结论和展望。 索梁结构由于其受力形式简单得到广泛的应用，具有一定的代表性。索由于 其自身的轻质、柔软性和小阻尼，以及初始拉伸和弯曲，容易在外界干扰下产生 复杂的运动形态，当其固有频率与连接梁的固有频率接近或成一定的比例时，容 易引起系统的共振，在工程中造成各种危害和损失，引起了学者们的广泛关注。本 文以斜拉索与悬臂梁作为简化模型，通过考虑索的拉伸应变，来研究索梁耦合系 统的非线性振动特性。由于拉索处于张紧状态，垂跨比远小于0 1 ，其在重力作用 下的构型函数可以近似看作二次抛物线函数，根据拉索一端与悬臂梁自由端的铰 接引入自然边界条件，利用h a m i l t o n 原理推导出索梁组合体系的面内耦合振动微 分方程。为简化并分析耦合系统的非线性振动特性，根据i r v i n e 提出的理论忽略 斜拉索沿其轴向的惯性力和阻尼力，对拉索的偏微分方程进行一维约化，在简化 后的索梁结构运动微分方程组中使用g a l e r k i n 法处理，得到和振动函数有关的常 微分方程，并引入失调参数，利用多尺度法求解，发现索与梁的频率比值在1 ：1 、 2 ：1 和1 ：2 时系统会出现内共振。笔者对不同频率比值下耦合系统的定常解进行稳 定性分析，结果表明在梁索频率比为2 ：l 的情况下方程组有非零定常解，振动形式 类似于在绳索端部施加参数激励引发的振动。利用r 皿g e - k u t t a 法对建立的运动微 分方程进行数值计算，得到梁索频率比为2 ：1 时不同角度下，绳索与悬臂梁的位移 i i i 山东大掌硕士掌位论文 响应时程曲线，分析了索梁结构在特定频率比时耦合振动的特点和影响因素。 关键词：非线性振动索梁耦合g a l e r k i n 法多尺度法参数激励 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t c a b l e - s u p p o s e ds y s t e m sa r ea p p l i e do nc i v i le n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa n d m e c h a n i c a ls y s t e m se x t e n s i v e l y ，i nw h i c hc a b l e - s t a y e db e a mh a sb e e na d o p t e d a st h eo b j e c tt os t u d yi nt h ed i s s e r t a t i o n f i v ec h a p t e r sa r ei n c l u d e d ：t h ef i r s t c h a p t e rp r e s e n t sac o m p r e h e n s i v es t a t e m e n to fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o no ft h e c a b l e - s t a y e ds y s t e m s m e a n w h i l e ，n o to n l yd o e si t l i s tt h el o n gh i s t o r ya n d a c a d e m i ca c h i e v e m e n t sm a d eo nt h er e s e a r c ho fi i n e a ra n dn o n - l i n e a r d y n a m i c so fc a b l e sa n db e a m sr e s p e c t i v e l y ，a sw e l la st h em e a s u r e st a k e nt o c o n t r o lt h eu n d e s i r e dv i b r a t i o n s ，i ta l s og i v e sas u m m a r ya b o u tt h ec u r r e n t i n v e s t i g a t i o no fd y n a m i ci n t e r a c t i o nb e t w e e nc a b l ea n db e a m 1 1 1 es e c o n d c h a p t e ri n t r o d u c e si nb r i e ft h ed e r i v a t i o no fc a b l e sp r o f i l ef u n c t i o na n da x i a l t e n s i o nw i t hr e s p e c tt ot h es t a t i ce q u i l i b r i u mc o n f i g u r a t i o no fs u s p e n d e dc a b l e w i t ht w os u p p o r t se i t h e ra tt h es a m el e v e lo rn o t ，b a s e do nt h ec o n t i n u u m h y p o t h e s i s m o r e o v e r ，i tm a k e sa c o n c i s ei n t r o d u c t i o na b o u tt h en o n - l i n e a r d y n a m i cf e a t u r e so fi n - p l a n ev i b r a t i o nc o u p l e dw i t ht h eo u t - o f _ p l a n ev i b r a t i o no f as i n g l ec a b l e i nt h i sc h a p t e r ，t h es e n s i t i v i t yo fc a b l e s e i g e n f f e q u e n c yt o v a r i a t i o no ft h eh o r i z o n t a lc o m p o n e n to fi n i t i a lt e n s i o na n dt h er a t i oo fs a gt o l e n g t ha td i f f e r e n ta n g l e si sd i s c u s s e d t h et h i r dc h a p t e rp r o p o s e das i m p l i f i e d m o d e lt oa n a l y z et h en o n l i n e a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fa c a b l e - s t a y e db e a m ， a c c o r d i n gt ow h i c ht h eg o v e m i n ge q u a t i o n sa r ed e r i v e d t h ef o u r t hc h a p t e r f o c u s e so nt h ea n a l y s i so fo c c u r r e n c eo fi n t e r n a lr e s o n a n c ea n ds t a b i l i t yi no r d e r t od i s c u s st h en o n - l i n e a rc o u p l i n go s c i l l a t i o no ft h es i m p l i f i e dm o d e l f i n a l l y ，i n t h e 能hc h a p t e rt h ec o n c l u s i o ni so b t a i n e da n dp r o s p e c t si nt h i sf i e l da r e p r e s e n t e d c a b l e - s t a y e db e a mi sr e p r e s e n t a t i v eo ft h o s es t a y e ds t r u c t u r e s ，w h i c hh a s b e e nf o u n dw i d ee n g i n e e r i n ga p p l i c a u o nt h r o u g h o u tt h ew o r l do w i n gt oi t s s i m p l ef o r c e st r a n s m i t t i n g u n d e re x t e r n a le x c i t a t i o n ，c a b l e sa r es u s c e p t i b l et o v 山东大掌硕士掌位论文 s i g n i f i c a n t v i b r a t i o n si nas e r i e s o fc o m p l i c a t e df o r m s ，d u et oi t si n h e r e n t c h a r a c t e d s t i c e ，s u c ha sf l e x i b i l i t y ，s t r u c t u r a ll i g h t n e s sa n dl o wd a m p ，a sw e l la s i t si n i t i a ls t r e t c h i n ga n dc u r v a t u r e i n t e r n a lr e s o n a n c eo fc a b l e - s t a y e ds y s t e m si n t h e p a r t i c u l a rf r e q u e n c yr a t i oo ft h ei n d i v i d u a lc a b l e t oc o n n e c t e d b e a m ， s o m e t i m e se v e nc a u s e sd a m a g et ot h ew h o l es t r u c t u r e s ，w h i c hh a sa t t r a c t e d t h ew o r l d w i d ea t t e n t i o no fe x p e r t s t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h et h e o r e t i c a i i n v e s t i g a t i o n so nt h en o n - l i n e a rb e h a v i o ro fs u c hc o u p l i n gs y s t e mb ym e a n so fa s i m p l i f i e dm o d e lc o n s i s t i n go fa ni n c l i n e ds a gc a b l ew i t ho n et i pt i e dt oa b e m o u i l - e u l e rc a n t i l e v e rb e a m ，w h e r et h es t r a i nc a u s e db ys t r e t c h i n gh a sb e e n t a k e ni n t oa c c o u n t s i n c et h ec a b l ei ss t r e t c h e dt i g h tw i t has m a l lr a t i oo fs a gt o s p a nf a rl e s st h a n0 0 1 。t h es t a t i cc o n f i g u r a t i o nc a nb ec o n s i d e r e da p p r o x i m a t e l y a st h eq u a d r a t i cp a r a b o l a t a k i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nc a b l ea n db e a ma tt h e t i e dt i pa st h en a t u r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h en o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd e s c r i b i n gi n - p l a n em o t i o no fs t a y e ds y s t e ma r ed e r i v e dt h r o u g h a p p l i c a t i o no ft h ec l a s s i c a le x t e n d e dh a m i l t o n sp r i n c i p l e f o rt h es a k eo f s i m p l i f i c a t i o n ，t h eg o v e m i n ge q u a t i o n so fc a b l ea r er e d u c e dt oo n ed e g r e eo f f r e e d o m b yi g n o r i n g c a b l e s l o n g i t u d i n a l i n e r t i af o r c ea n dv i s c o u sf o r c e a c c o r d i n gt oi r v i n e sd i s c u s s i o n ，w h i c hm a k e st h en o n - l i n e a ra n a l y s i so ft h e m u t u a li n f l u e n c eo fc o u p l i n gs y s t e mi nt w od e g r e eo ff r e e d o ma v a i l a b l e t h e g a l e r k i n sm e t h o di s a d o p t e dt oo b t a i no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h e c o u p l i n gm o t i o ni ns t a y e ds y s t e m ，w h e r eas i g n i f i c a n tn o n - d i m e n s i o n a ld e t u n i n g p a r a m e t e ra n dt h em u l t i - s c a l em e t h o da r eb r o u g h ti nt od r a wt h ec o n c l u s i o nt h a t i n t e m a lr e s o n a n c eo c c u r si nt h ee i g e n f r e q u e n c yr a t i oo f1 ：1 2 ：1a n d1 ：2 t h e s t a b i l i t ya n a l y s i so fs t a t i o n a r ys o l u t i o no fc o u p l i n ge q u a t i o n si nt h ef o r e g o i n g t h r e er a t i o sr e s p e c t i v e l ys h o w st h a tt h eu n t r i v i a ls t a b l es o l u t i o no fe q u a t i o n s e x i s t si nt h er a t i oo f2 ：1 t h i sp h e n o m e n o ni ss i m i l a rt ot h ev i b r a t i o no fas i n g l e c a b l es u b j e c t e dt ot h ep a r a m e t r i cb o u n d a r ye x c i t a t i o nw i t ht h ef r e q u e n c yc o n t e n t c l o s et ot w ot i m e st h en a t u r a lf r e q u e n c yo fc a b l e b ym e a n so fr u n g e - k u t t a s m e t h o d ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fc o u p l i n gs y s t e ma r eo b t a i n e d i nt h e 山东大胄幽页士掌位论文 e i g e n f r a q u e n c yr a t i oo f2 ：1 t h r o u g ht h ea n a l y s i so fr e l a t i v er e s p o n s ec u r v e so f b e a ma n dc a b l ei nd i f f e r e n ta n g l e s ，t h ed o m i n a t i v ef a c t o r sa r ec o n c l u d e dw h i c h h a v es i g n i f i c a n ti n f l u e n c e so nt h ec o u p l i n gv i b r a t i o no ft h ec a b l e - s t a y e db e a m k e yw o r d s ：n o n l i n e a rv i b r a t i o n ，c o u p l i n go fc a b l e - s t a y e db e a m ，g a l e r k i n s m e t h o d ，m u l t i - s c a l em e t h o d ，p a r a m e t r i ce x c i t a t i o n v 山东大掌硕士掌位论文 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承 担。 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 签导师签名：趁弛日 期：绝! ： 山东大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章前言 在实际工程中，有很多系统都可以简化为索一梁耦合系统，例如桥梁工程中的 斜拉索桥，用于通信传输的光纤耦合器，抛锚的船舶，航空航天科学中的绳系卫 星，缆索起重机，高压架空输电线与塔架等等。 由于绳索的结构阻尼小、柔度大，在外激力作用下，长索容易发生振动，从 而产生例如索的疲劳破坏、锚固点处的次应力作用以及外保护层的脱落等等，高频 小幅度的振动还可能引起整个系统的共振。下面给出几个方面的实例。 现代斜拉桥起源于欧洲，十年后传到美国。它填补了当时短跨和中跨之间的空 白，并以其造型美观，且在中跨范围内施工简单等特点得到了蓬勃的发展。当今。 主跨超过3 0 0 m 的斜拉桥已成为常规设计，单索的长度也随着斜拉桥跨度的增大 而增加。斜拉索桥的重要性越来越明显，仅在近二十年内变得如此成功，以至在 正统的桥梁体系中它已占有很重要的地位。近代的斜拉索桥中呈现一个空间体系， 这个体系由加劲梁、横向与纵向联结系、正交异性桥面以及支撑部分如受压的塔 柱与受拉的斜拉索等组成。这样的一个空间结构的重要特征是横向构造全部与主 要的纵向结构共同作用。这意味着结构的惯性具有很大的增加，这样就有可能降 低梁高并节约钢材。斜拉桥结构由塔、索和梁组成，结构体系丰富多彩。按照塔 的数量，可分为单塔和双塔；按照索面数可分为单索面和双索面；按照索的形状 可分为放射形( 见图1 i - i ) 、扇形、竖琴形( 见图1 1 2 ) 。在密索体系的前提下， 按塔、粱和墩的相互连接方式，可分为塔墩固结、塔梁固结、塔梁墩固结和漂浮 体系。由于斜拉索较长为追求更加经济，工程设计人员和旖工人员都在不断地采用 新材料和新的斜拉索体系。而这些因素有时会导致拉索振动。很明显索振与拉索 的空气动力特性、拉索及斜拉桥上部结构的动力特性有关。由此引起的拉索振动 而导致设备破坏、交通被中断的事例频频发生。1 9 8 8 年。比利时的b e n - a h i n 桥和 w a n d r e 桥在风荷载作用下，其中九根索发生了振幅1 m 以上的大幅振动 1 ，荷兰 的e r a s m u s 桥在开通不到两个月就由于索的大幅振动和桥面的明显振动而被迫关 闭 2 ，而我国的南浦大桥在1 9 9 4 年、1 9 9 5 年先后三次由于拉索的振动导致了减 2 山东大学硕士掌位论文 振器的脱落。引起索振动主要有以下5 种因素 3 ：1 ) 在风荷载作用下发生的索的 空气弹性失稳振动：2 ) 在风荷载作用下，锚固塔的振动引起索的振动：3 ) 大跨度结 构在风荷载和移动荷载共同作用下产生的索的振动：4 ) 索上有裹冰和结晶时，在风 荷载作用下产生的索的振动：5 ) 在雨中，索和风荷载相互作用产生的索的振动。 图1 卜1 英国阿尔伯特大桥 图1 i - 2 日本明石海峡大桥 在航空航天方面，柔性附件动力学问题已成为人造卫星和宇宙飞船动力学分 析中必不可少的重要环节。对离地面约一百千米的高空进行环境探测时使用的绳 山东大掌硕士掌位论文 系卫星在微重力环境中的基本运动形式为横向振动、纵向振动、跳绳运动等。绳 系卫星通过系绳在空间展开、状态维持与回收时会发生复杂的动力学行为。1 9 9 2 年8 月和1 9 9 6 年2 月，意大利和美国分别对t s s l ，t s s - i 瞄行了两次在轨试验飞行。 其中t s s l 的释放机构出现堵塞，系绳释放了约2 6 8 米；t s s i r 的系绳在释放n 1 9 7 千米时发生断裂 4 。卫星天线、太阳能帆板的伸展长度与其自身相比可以大到几 倍甚至几十倍，弹性变形的影响不可忽略。例如，1 9 5 8 年美国第l 颗人造地球卫星 探险者1 号发射升空后，由于其鞭状天线伸展度大、柔度大，其振动引起了卫星能 量耗散，造成卫星自旋运动不稳，导致了空间飞行任务的失败，究其原因是在原 始设计时没有计及天线柔性的影响。在进行空间飞行器中柔性附件动力学建模时， 由于问题的复杂性，促使人们时常在某个阶段进行线性化，但这种线性化常常带 来缺陷。近几十年来，国内外许多学者对此进行了大量的研究，建立了许多有效 的建模方法，但并未彻底解决空间飞行器动力学中的刚柔耦合问题。 世界上几乎所有的高压架空送电线路都受到微风振动的影响和威胁，微风振 动问题一直是各国送电线路工作者着重研究的课题之一。在地球北部纬度比较高 的国家，比如加拿大，输电线被团冰包裹时会导致电线在不大的风速下发生大幅、 低频振动( 弛振) ，易造成电线与瓷瓶之间产生磨损而发生疲劳断裂现象。由于人 烟稀少给检修带来诸多不便，所以在寒冷地区需要控制冰裹导线的低频振动。在 6 0 年代，我国曾组织有关部门对全国部分地区架空输电线路的风振危害情况进行 调查，调查包括数百回线路及大跨越线路运行情况，其中钢芯铝绞线导线9 5 6 8 ， 钢绞线避雷线8 9 6 8 m ，结果发现比较普遍存在着断股现象高压输电线路导线是一 种柔性较大的结构，在一定的风力作用下，会发生稳定的风致横向微幅振动，易 使导线在塔架的悬挂点附近发生疲劳破坏，造成巨大损失。从3 0 年代起，国内外 开展了风作用下导线振动破坏的研究，但迄今为止，绝大多数研究在考虑导线时， 均将塔架的振动忽略，认为导线固定地悬挂在塔架上但越来越多的现场测试结果 和破坏资料显示，在特定风况和环境条件下，某些线路其塔线间会发生强烈的风 致耦合振动。这时塔架的振动往往会加剧导线的振动，反之亦然，产生导线、悬 挂金具、甚至塔架的破坏。尤其对大距离线路，这种影响更显着。四川联合大学 的刘群等人曾就高压架空输电线路钢结构塔架与导线风致耦合振动现象进行了现 场测试，测试线路为云南省漫湾一昆明5 0 0k v 高压输电线路。测试中发现导线的 3 4 山东大掌硕士掌位论文 i i i 实测风致频率与塔架的第一阶频率较吻合。悬挂导线的塔架并非理想刚体，在风 作用下，塔架会产生平面内、外的振动。而平面内的振动，则直接与导线的风致 横向振动相耦合，使导线产生更复杂的振动形态，并使风致导线振动频率发生峰 值转移。 图1 1 3 索作为柔性体本身的非线性运动行为非常复杂，与线弹性体不同。以往在工 程中将其视为二力杆单元进行线性化的简化计算，而与拉索相连的结构往往视为 刚性体或刚性支座，不考虑其位移和变形，这种粗略的简化使得计算结果与工程 实际表现有很大差别，由于自身材料、温度条件和其它外在因素的影响，常常发 生人们预料之外的问题甚至事故，以上已经给出了许多工程实例柔索与弹性体 耦合系统的动力学特性较为复杂，不能仅仅用简单的线性单元进行模拟计算，为 了最大程度上的避免结构破坏，减少维修成本，保证人员安全，研究索一梁耦合系 统的非线性动力学行为有着重要的工程意义。 1 2 研究历史及现状 迄今为止，国内外学者绳索和梁的独立系统的动力学问题进行了很多研究， 山东大掌硕士掌位论文 并且取得了大量有价值的研究成果。 弹性梁的动力学相对于索的动力学而言研究的历史更早、内容更广泛、更深 入根据牛顿定律可以得到弹性梁的振动微分方程，进行近似计算求数值解时， 可以使用质量集中法或有限元位移法来对梁进行离散化，对前几阶模态都有较好 的近似。一般来说既包括它的线性理论、非线性理论，也有各种激励( 参数激励、 强迫振动或者联合作用) ，各个维数、各阶模态下的时间响应、共振与内共振、分 叉模型及其混沌等。在此不再赘述。 早在1 8 世纪上半叶，t a y l o r ，d a l e m b e r t ，e u l e r 和b e r n o u l l i 就对绷紧 弦的振动进行了研究，并提出了弦的基本振动理论。1 7 3 2 年b e r n o u l l i 研究了均 匀悬索在重力作用下的横向运动，5 0 年后e u l e r 研究了同样的问题。他们都给出 了具有无穷序列形式的索固有频率表达式。对于无限维系统，其线性化系统的固 有频率应该有无穷多个，结果是合理的。对索振动问题作出早期贡献的是 p o i s s o n ，他在1 8 2 0 年给出了索在一般力作用下的偏微分振动方程，对前人获得 的悬索和绷紧弦的振动解作了改进。1 8 5 1 年，r o h r s 与s t o k e s 合作得到了小垂 跨比、均匀无伸长悬索面内对称振动的近似解。1 9 4 0 年，美国t a c o m a 悬索桥发 生坍塌，引发了对地面索桥拉索的振动研究。1 9 4 1 年和1 9 7 3 年，k a m a l l 和r a r m i e 分别给出了三跨索在非伸长条件下面内对称和反对陈振型。1 9 5 0 年，b l e i c h 等考 虑索的弹性作用对悬索桥进行了较全面的研究1 9 5 3 年，s a x o n 和c a h n 详细研 究了均匀无伸张索的面内振动，但对较大垂跨比的索，该结果也有较好的近似， 他们还将近似解和实验结果进行了比较。i r v i n e 和c a u g h e y 5 研究了计及弹性伸 展、垂跨比约为l ：8 的地面水平悬索的面内和面外线性自由振动，给出了与面内 外对称和反对称振型对应的第一阶固有频率，并通过实验验证了理论结果。结果 表明，悬索的静态构形为悬链线，当垂跨比较小时，悬链线可以用抛物线近似代 替。l u o n g o 6 、7 等应用多尺度法研究了具有几何非线性的水平悬索的非线性单 频振动。r e g a 8 等研究了垂跨比在1 ：2 0 i ：8 范围内的悬索面内对称和反对称振 动，计算了非线性幅频响应。这两个模型揭示了柔索的内在非线性现象，例如内 共振条件下的非线性振动、索的多模态相互作用，以及利用阻尼器对拉索进行振 动控制时出现的非线性振动现象。1 9 8 7 年，t a k a h a s h i 和k o n i s h i 9 研究了斜拉 索的面内外三维非线性振动，发现索既可以表现为软特性也可以表现出硬特性， 5 6 山东大掌硕士掌位论文 这一几何非线性取决于垂跨比。2 0 世纪9 0 年代以来，人们开始关注索的非线性 动力学问题。c h u g 3 研究了随机激励下悬索的非线性动力学。胡海岩和金栋平 1 0 研究了横向流体激励下行进柔索的非线性运动特征，不同行进速度下的索的 回转运动特征以及在相平面上索的全局相流z h a n g 和t a n g 对索的参数及非线性 振动问题进行了更深入的全局非线性动力学分析。t j a v 黜考虑到水下柔索的弯 曲特征，借助p o i n c a r e 映射方法研究了索的动态响应。在实验研究方面，早期 i r v i n e 和c a u g h e y 5 主要观察了水平悬索的对称和反对称振动。p 舭o g l o u 等 进行了水下索的非线性响应试验研究。r e g a 和a l a g g i o 等通过实验研究了具有8 个集中质量的悬索在两端受面内横向激励时的非线性动力学行为，得到了诸如非 线性模态相互作用、内共振、局部分叉等丰富的非线性动力学行为k o h 和i i o n g 对悬索的大位移运动进行了实验考核，b a r b i e r i 1 2 等人测量了输电线的响应， 基于实测数据进行了系统的阻尼辨识。b e r l i o 和z l a m a r q u e 对斜拉索的非线性振 动进行了理论和实验研究。t s u t o 等人对斜拉索桥的拉索进行了风激振动的 吹风试验，研究了风速对于拉索振动模式的影响，结果表明，随着风速增加斜拉 索出现了从低阶到高阶模态的振动。 对索进行线性理论分析，忽略了索的纵向振动对垂直于面内的横向振动的影 响，可以得出其面内运动与面外运动完全解耦的结论，而索的实际运动形态要复 杂得多。l u o n g o 、r e g a 、t 蛐a s h i 8 专门研究了三维问题弹性索的几何非线性 问题，发现面外运动对面内运动的影响就像面内运动受到参数激励。通常，绳索 系统面内横向振动与面外横向振动频率很接近，在大幅振动时面内外的振动相互 耦合。在适合的非线性耦合条件下会出现丰富的内共振现象，而许多绳索系统的 实际工程情况难以避免内共振条件。此外，对于含控制的绳索系统，其动力学方 程一般表现为强耦合参数振动。实际工程中索的面内与面外运动也称为气圈运动 或沙圈运动，见图1 2 - i 。例如，在纺织工业中，通常要将几股较细的纺线捻成 较粗的股线，在捻作过程中环锭细纱机将纺线通过耳环送入到一个下端旋转的锭 子上。在大气等因素的作用下，纺线会随旋转的锭子在空间形成气圈，进线速度 会影响气圈形状，进而影响耳环与纺线间的摩擦力，以至在捻作过程中可能造成 防线断头过多。类似的，柔索在旋转时形成的气圈也存在运动稳定性问题。在大 跨度悬索桥中，主跨拉索会受到锚固端和风雨等激励作用，进而可能引发主桥的 山东大掌硕士学位论文 二次振动，对主跨拉索安装各种减振器或使用支索可以减小拉索的振动。 图1 2 一l 由于柔索容易在外界干扰下产生复杂的运动形态，在工程中造成了各种危害 和损失，2 0 世纪8 0 年代末，人们对如何控制索的振动展开了大量的研究工作并 采取了一些控制措施。通常，被动阻尼控制器被安置在沿索的横向方向、位于索 的支撑附近的位置，见图1 2 2 。这类阻尼器的阻尼材料有油、粘弹性材料( 比 如橡胶) 、磁流变液( 豫) 等。对于长索结构系统，这类被动阻尼减振器可能提供 不了足够的阻尼，以致于达不到预期的减振效果 1 1 。目前，一种控制绳索振动 的方法是使用主动或半主动的横向或纵向边界支撑运动来抑制悬索的振动。在横 向边界控制中，面外振动的控制策略由控制系统的稳定性直接提供，但需要基于 位置、速度和角度来构造旄于支撑的配置控制结构。在纵向边界控制中，由于纵 向小幅运动与横向运动具有非线性耦合，因此通过支撑在纵向的小幅振动来控制 索的横向振动比横向边界控制更具有优势。主动控制有模态控制和波控制两种。 由于波控制需要在索的横向施加控制力，因而可能会在施力点局部使索产生弯曲 应力而导致疲劳破坏。为了避免局部应力，人们更多采用模态控制的方法。1 9 8 4 年，c h e n 通过数值研究发现，索的纵向运动导致时变的横向刚度，以致于横向振 动产生阻尼效应，即动刚度控制。f u j i n o 使用动刚度控制方法让悬索一端受到纵 向运动来控制索的横向面内一个模态的自由振动，形成单模态控制。由于研究的 是几乎绷紧的索，因此忽略了索的垂度影响和纵向惯性作用，并假设线弹性以及 7 8 山东大掌硕士掌位论文 动张力沿索横向均匀分布。通常，所受到的外部作用多是风荷载等非简谐的随机 激励，因此很容易激起索的多模态响应。b a i e u 等基于分布连续模型的l y a p u n o v 理论进行了能够稳定索的全部模态的被动和主动边界位置反馈控制研究，提出了 基于观测点位置、速度和角度的配置控制结构。基于该横向支撑的边界控制可以 避免f u j i n o 等人提出的涡旋不稳定现象。 囊 图1 2 2 拉索端部的被动阻尼控制器 在索动力学的研究中，经历了从静力学到动力学，从线性理论到非线性理论， 从被动控制到主动控制，从考虑直线索到考虑垂度效应的几个过程。就非线性而 言，主要研究了两个方面的因素：1 ) 索的大变形；2 ) 索的垂度效应。就动力学而 言，研究了：1 ) 动力响应；2 ) 外共振模态；3 ) 内共振模态；4 ) 索的几何参数、物 理参数对动力响应的影响；5 ) 各种复杂荷载作用下( 风、雨等) 索的振动及其控 制。 对于索一梁耦合系统的非线性动力学性质方面的研究，c h e n g 和z u 1 2 把光 纤耦合器简化成一个具有四个节点的弦一粱耦合系统，建立了线性和非线性两种动 力学方程，对每一种动力学方程进行数值仿真并比较了仿真结果，r i e d e l 和t a n 研究了两端耦合的运动弦线和e u l e r - b e r n o u l l i 梁的自由振动响应。关于斜拉索 桥的简化模型的非线性研究也很多，斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和桁架桥 的结构分析相比较，几何非线性的影响尤为突出，影响因素也多，特别是特大跨 径的斜拉桥，由于斜拉索较长，自重产生的垂度较大。整个结构的几何变形也大， 大变形问题很突出，加上弯矩与轴向力的相互作用等因素的影响，使得大跨径斜 拉桥的几何非线性分析显得较为复杂。其几何非线性主要源于 i o ，1 1 ：1 ) 由于 桥板、拉索以及塔架的尺寸增大，作用的荷载相应加大，变形也随之加大，因此 要考虑拉索与桥板小挠度的大变形问题；2 ) 新型材料的应用、温度效应等不可忽 山东大掌硕士掌位论文 略的物理因素也使得斜拉桥振动的非线性因素必须考虑；3 ) 桥板、塔架与拉索的 耦合作用，这些是斜拉桥中的弯压构件，弯曲变形与压缩变形之间的耦合所产生 的作用也是引起非线性的重要因素；4 ) 随着斜拉桥跨径的增大，拉索的长度随之 增加导致其重量的影响增大，产生的垂度不可以直接忽略，从而使斜拉索的伸长 量与斜拉索内拉力不成正比关系。 索一梁结构是工程中普遍采用的一种结构，它的受力形式简单、材料的力学 性能得以充分利用。目前对于索梁结构的研究主要使用有限元法。以高压输电线 为例，大连理工大学的李宏男教授 9 等人曾利用多质点模型来模拟输电线路与塔 架的动力特性，将输电塔架问互为具有多个集中质量的串联多自由度体系，电线 简化为多个集中质量，各集中质量之间由刚性杆连接。通过计算该复合体系的弹 性一重力耦联振动，给出不同跨度条件下，纵向振动时导线对塔架的动力影响， 多质点模型见图1 2 - 3 。武汉大学的梁枢果教授等人在他的研究基础上考虑了节 点纵向位移二阶小量的影响，对输电塔线体系的动力特性和频域风振响应作了研 究，使模型能同时适用于地震和风振响应的计算。 图1 2 3 除用有限元法进行研究分析以外，2 0 世纪末亢战、钟万勰提出了一个索梁系 统参数共振的模型，将系统简化为一个二自由度的非线性振动模型。对斜拉索参 数振动的研究方法，按照激励形式的不同，可分为两大类：第一类是理想激励系 统，即激励的幅值和频率不受响应的影响，在振动过程中，按照指定的方法变化， 这种激励也成为理想能源，认为悬臂梁的质量远大于索的质量，忽略拉索的振动 9 1 0 山东大掌硕士掌位论文 对桥面的影响；第二类是非理想激励系统，即激励的幅值和频率在响应过程中不 断变化，认为梁的振动与索的振动是相互耦合的，建立索一梁耦合振动系统，比 第一类方法多一个自由度。丸p i n t o d ac o s t a 用第类方法研究了桥面的竖向振 动引起索的的参数振动问题，j l l i f e n 也用第一类方法研究了在轴向激励下 斜拉索的大幅振动，m i c h e lv i r l o g e u x 用第一类方法将索梁耦合振动分解为沿 轴向的参数振动和垂直于所轴向的强迫振动。 1 3 本科题选题的依据 ， ( 1 ) 现代桥梁工程的发展和跨径的增大，使得结构越来越柔、越来越复杂， 结构分析中，梁效应、索的伸长、结构的水平位移变得不可忽略。对各种复杂结 构建立的平衡微分方程及其求解也越来越困难。目前，国内在设计大跨度斜拉桥 时，常采用大于i 的经验系数对内力包络图进行放大的近似方法来考虑几何非线 性的影响；对大跨索结构( 如高压输电缆) 的动力学的分析常采用简化后的多个 集中质量、各质量之间刚性连接的方法进行数学演绎及分析计算；工程界渴望出 现更精彩、更方便的理论和方法。 ( 2 ) 过去的研究中对索一梁耦合系统的动力学分析中，由于两种不同力学特 性的构件同时组合分析有一定难度，常将索一梁结构单独分析，从而无法真正体 现索一梁之间的耦合因素及相互关系。目前，大跨度结构索一梁之间的影响日显 重要，且已出现索一梁间的耦合振动，单一考虑索结构或梁结构己无法从理论上 解释上述现象，有必要从理论上来分析索一梁耦合的动力学问题，以便为索一梁 结构的动力学控制提供理论依据。 ( 3 ) 上世纪7 0 年代以来，国外相继推出了a d 矾a 、a n s y s 、m a r c 、 n a s t r a n 、n o n - - s a p 等结构分析综合程序，它们可用于桥梁结构的部分非线 性计算和局部应力分析，由于理论上的不完善，程序中缺少许多必备的功能，这 些程序却无法完整地进行这方面的设计计算和分析。 1 4 本课题研究的内容 本文研究了在惯性参考系中弹性斜拉索与悬臂梁耦合结构的非线性动力学 山东大掌硕士掌位论文 问题，其主要目的是为了探讨索一梁耦合系统( 或结构) 非线性动力学模型与理 论，同时进一步考虑各种参数对索一梁耦合系统非线性动力学的影响，并提出对 工程有实际意义的结论。从而为以后的类似研究和具有索一梁耦合系统背景的工 程设计提供理论分析基础。 、 本文在仅考虑几何非线性的情况下建立了惯性参考系中索一梁耦合系统的 非线性模型。并在此基础，利用h a m i l t o n 原理建立了索一梁耦合系统的非线性动 力学方程，利用g a l e f l 【i n 方法将索一梁耦合系统的非线性运动偏微分方程离散为 一组常微分方程，然后利用多尺度法分析研究索一梁耦合动力学系统的非线性振 动、共振及解的稳定性，并使用r 哑g e k u 饱法对数学模型进行数值计算，讨论 不同角度耦合系统的共振响应曲线，以及初始张力、垂跨比等对共振响应的影响。 下面介绍各章的研究内容： 第一章陈述了本研究的背景、历史及现状，本科题的选题依据和研究的主要 内容；第二章中，主要研究了惯性参考系中索的非线性动力学行为，建立了弹性 斜拉索的三维动力学模型及其运动方程，重新推证了大跨度情形下绳索沿轴向三 维动态应变的近似表达式。第三章，建立了索一梁耦合系统的数学模型，并利用 h a m i l t 原理建立了索一梁耦合系统的运动偏微分方程，并