（岩土工程专业论文）无单元伽辽金法在平面热应力分析中的应用.pdf

郑州i 大学硕_ ：学位论文 摘要 无单元方法是最近几年发展起来的一种新的数值计算方法。该方法采用移动最 小二乘法所得到的光滑函数近似逼近场函数及计算形函数，保留了有限元的一些特 点，摆脱了单元划分限制，简化了前处理工作，适用于岩土工程的数值模拟，对求 解复杂边界问题极具灵活性，特别在工程应用中容易实现智能化和自适应算法，从 而使得该方法得到了广泛应用。本文基于无单元伽辽金法的基本理论，将无单元伽 辽金法应用于求解平面稳态热传导和平面热应力问题，主要研究工作包括以下几个 方面： ( 1 ) 在阅读大量文献的基础上，系统地综述了无网格方法的发展现状及各种无 网格方法的优缺点，并对移动最小二乘法的物理意义、a 矩阵的可逆性、权函数的 选取、支持域半径的确定以及插值函数的性质等关键性问题都进行了详细的分析。 ( 2 ) 基于移动最小二乘法的基本原理，给出了用无单元伽辽金法求解平面稳态 热传导问题以及平面热应力问题的基本理论，建立了相应的数值分析方法，并对刚 度矩阵和初始应力矩阵的集成等问题给出了具体算法。 ( 3 ) 在无单元伽辽金法求解平面热应力问题的理论分析基础上，编制了无单元 伽辽金法求解平面稳态热传导问题和平面热应力问题的计算程序，并对一些典型算 例进行了数值计算。探讨了节点密度和影响域半径对计算精度的影响，同时对于层 状结构体系中不同的导热系数对结构温度场的影响，以及不同的温度收缩系数对结 构温度应力的影响等问题进行了分析。 本文的研究成果为进一步研究复杂边界条件下的平面热应力问题及三维热应力 问题提供了基础。 关键词：移动最小二乘法：无单元伽辽金法：罚函数法；稳态热传导；热应力 郑州1 人学硕十学位论文 a b s t r a c t e l e m e n tf r e em e t h o d1 san e wn u m e r i c a lm e t h o dd e v e l o p e dr e c e n t l y i ne f m t h e s m o o t hf u n c t i o nc a nb eo b t a i n e db ym o v i n gl e a s ts q u a r e sm e t h o d ( m l s ) w h i c hi su s e d t oa p p r o a c ha p p r o x i m a t e l y , a n dt h es h a p ef u n c t i o nc a d _ b ec o n s t r u c t e d i ti so ft h ec h a r t e r s o ff e m b u ti tg e t sr i do fr e s t r i c t sd u r i n gm e s h i n ga n ds i m p l i f y i n gp r e c e d i n gd i s p o s a li t i sa d a p t i v et on u m e r i c a ls i m u l a t i o n i ti sv e r yf l e x i b l ee s p e c i a l l yf o rt h ec o m p l e x b o u n d a r yp r o b l e m s ，a n di ti sv e r ye a s yt or e a l i z ec o m p u t e ra n da d a p t i v ec a l c u l a t i o n t h u s ， t h em e t h o dh a sb e e nu s e dw i d e l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，o nt h eb a s i so ft h et h e o r i e so f e f g m ，i ti sa p p l i e dt os o l v ep l a n es t a b l es t a t eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m sa n dp l a n e t h e r m a ls t r e s sp r o b l e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so f t h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) o nt h eb a s i so fr e a d i n gal o to fl i t e r a t u r e s ，t h ed e v e l o p i n ga c t u a l i t y , a d v a n t a g e s a n dd i s a d v a n t a g e so fe f g m t h ep h y s i c a lm e a n i n go fm l s ，r e v e r s i b i l i t yo fm a t r i xa ， s e l e c t i o no fw e i g h tf u n c t i o n ，m a k i n gt h er a d i u so fs u p p o r td o m a i nc e r t a i na n dt h ec h a g e r o fi n t e r p o l a t i o nf u n c t i o na r ei n v e s t i g a t e di nd e t a i l ( 2 ) d u r i n gt h ec o u r s eo fs o l v i n gt h ep l a n es t a b l es t a t eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m sa n d p l a n et h e r m a ls t r e s sp r o b l e m s ，t h et h e o r i e sa r eo b t a i n e db ye l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ont h eb a s i so fm o v i n gl e a s ts q u a r e sa n dn u m e r i c a la n a l y t i c a lm e t h o d sa r ef o u n d e do ni t a tt h es a m et i m e ，t h ew a yt ok e yp r o b l e m s ，s u c ha st h ei n t e g r a t i o no fs t i f f n e s sm a t r i x ，i s b r o u g h tf o r w a r d e t c ， ( 3 ) o nt h eb a s i so ft h et h e o r i e so fe f g m ，t h ec o r r e s p o n d i n gc o m p u t e rp r o g r a m sa r e d e v e l o p e da n dl a r g en u m b e r so fn u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n a n dt y p i c a le x a m p l e sa r e c a l c u l a t e d t h ei n f l u e n c e st h a tt h en o d ed e n s i t ya n dr a d i u so fs u p p o r td o m a i nh a v eb o u g h t o nt ot h et h e r m a ls t r e s sp r o b l e m sa r ed i s c u s s e d m e a n w h i l e ，i nt h em u l t i l a y e r , t h e i n f l u e n c e st h a td i f f e r e n tt h e r m a lc o n d u c t i v i t yh a sb o u g h to nt os t r u c t u r a lt e m p e r a t u r ef i e l d a n dd i f f e r e n tt e m p e r a t u r ec o n t r a c t i o nc o e f f i c i e n th a sb o u g h to nt os t r u c t u r a lt e m p e r a t u r e s t r e s sa r ed i s c u s s e d a l la b o v ec o n c l u s i o n sm a yb eu s e dt oi n v e s t i g a t et h et w o - d i m e n s i o nt h e r m a ls t r e s s w i t hc o m p l i c a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h et h r e e - d i m e n s i o nt h e r m a ls t r e s sp r o b l e m s f u r t h e r m o r e k e yw o r d s ：m o v i n gl e a s ts q u a r e sl n e t h o d ；e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ；p e n a l t y f u n c t i o n ；c o n s t a n th e a tc o n d u c t i o n ；t h e r m a ls t r e s s i i 郑i , 1 人学硕士学位论文 1 1 论文的目的和意义 第一章绪论 热应力问题是一种非常重要的工程实际问题，它引起人们的广泛关注。在土木 工程中，钢筋混凝土构筑物由于受到环境温度变化的影响，表面和内部会产生变形， 若遇约束，会引起温度应力，当应力达到一定值时，结构内部产生微观裂缝，甚至 发展为裂缝；大体积混凝土地基和大坝结构由于水泥浇注期内水化热的作用，冷却 收缩时温度应力若超过材料抗拉强度，也会呈现裂缝；隧道结构中，隧道衬砌混凝 土的干缩，热胀冷缩，加之外岩阻碍了衬砌自由胀缩，内部也会产生温度应力，易 出现环向裂缝。路面由于气候多变，在路面荷载和不均匀温度场共同作用下，也有 可能开裂受损：桥梁在日照作用下也会产生变形和应力，因此设计时要考虑日照影 响。由此可见，进行热应力分析具有重要意义，其结果可以直接为工程设计提供依 据。 许多热应力问题都可以归结为在给定的边界条件下，求解一组偏微分方程组。 在理论上，这种边值问题有唯一的确定的解，但一般难以求得解析解。这是由于边 界的几何形状或问题本身的一些特性很复杂。克服这些困难的补救办法是对问题作 较多的简化假设，使问题能够求解，但是这样做的结果往往导致精度太差，有时甚 至得到错误的解答。对该类问题，工程力学中一般采用有限元法、有限差分法和边 界元法进行近似计算。 有限元法不仅适应复杂的几何形状和边界条件，而且很容易通过对不同的单元 规定不同的性质，成功地用于多种介质和非均匀连续介质地问题。这是其它数值方 法最难于处理的问题。有限元法还允许把求出各种问题的程序纳入到一个程序系统 以形成通用程序包，现在功能齐全的大型通用程序包已经商品化，在科学研究和工 程应用中起到了愈来愈大的作用。尽管有限元法所取得的成就与日剧增，但是有限 元法的某些不足是有限元法固有的，是无法克服的。例如：有限元法不大适合求解 无限边界场域边值问题，而只能求解有界问题。用有限元法难于处理的另一类问题 是域内具有应力奇异的问题。另外，用位移型有限元法求解出的应力精度低于位移 的精度以及对于不可压缩物体存在体积闭锁现象等。 边界元法是在有限元之后发展起来的一种别具特色的新的数值计算方法。边界 元法具有有限元法所没有的优点。由于边界元法离散处理仅涉及边界，整个域内不 再出现待求参数，因此，其待求参数的数目可以比有限元法( 需同时将全域和边界离 散) 所用的少很多，使方程规模缩小，故边界元法可以用较少数量的未知数分析有限 元法同样的问题，边界元法的这个特性使得它在三维问题中特别具有吸引力，因为 郑州人学硕士学位论丈 在三维问题中，求解区域的外表面对体积的比值是很小的。然而边界元法也有其自 身难以克服的缺点。用边界元法求解边值问题需要找到控制微分方程的一个基本解 或控制微分方程在无限空间上的格林函数，这对于某些问题是十分困难的。 有限元、边界元等方法是求解边值问题强有力的数值方法，这类方法都是以 单元为基础的，因此存在一个共同的缺点是，每次计算前都要剖分网格，数据准备 工作量大，尤其是对三维问题。当这类方法用于自适应计算或模拟裂纹扩展时，一 般要不断更新网格( r e m e s h i n g ) 。虽然目前已有一些网格生成器，但人们还是觉得准 备数据占有机时多，不方便”。3 j 。因此一种不划网格的数值方法，即无网格法 ( m e s h l e s sm e t h o do rg r i d l e s sm e t h o d ) 应运而生。 1 2 无网格法的研究进展 无网格法就是采用对所考虑问题域内随机分布点的变量的值( 或名义节点值) 的 局部插值函数作为试函数，来满足数值求解的局部性要求，无网格方法具有灵活， 容易实施数值计算，求解精度高，在离散模型中不需要划分单元( 在边界上) 和网格 ( 在域内) ，在未知变量急剧变化的地方，只需增加节点，对求解复杂边界问题极具 灵活性，特别在工程应用中容易实现智能和自适应算法等优点，所以这些年来，这 种方法已被广为推广和应用。 追溯起来，无网格数值方法的研究已有2 0 多年的历史。1 9 7 7 年，l u c y “1 提出了 一种新的数值方法一一光滑粒子水动力学方法( s m o o t h e d p a r t i c l e h y d r o d y n a m i c s ：s p h ) 。s p h 是一种纯拉格朗日方法，不需网格，在天体物理领域里 得到成功应用。近几年，s w e g l e ”3 ，d y k a ”1 等人提出了s p h 方法不稳定的起因及稳定 化方案，j o n s o n 和b e i s s e l “1 等人提出了一些改善应变计算得方法，l i u 0 1 等人提出 了对核函数的修正方案。 另外一条构造无网格方法的途径是采用移动最小二乘法( m o v i n g l e a s t s q u a r e sm e t h o d ，简记为m l s ) 进行近似，m l s 最早由l a n c a s t e rp 等“提出，用于 构造插值函数来拟合曲线和曲面，n a y r o l e s 等5 3 在研究有限元法的过程中，提出使 用一种被称为“弥散单元”( d i f f u s ee l e m e n t ) 的新的单元类型。事实上，他们是将 移动最小二乘法近似用于g a l e r k i n 方法中，并将之称为弥散单元法( d i f f u s e e l e m e n tm e t h o d s ，简称d e m ) 。在这种方法中位移函数的形成和区域积分的实现都可 以脱离单元的概念，b e l y t s c h k o 等( 1 9 9 4 ) 对此做了进一步改进，这些改进包括“2 3 ”1 ： ( 1 ) 对形函数导数考虑得更全面：( 2 ) 采用高阶高斯积分完成区域积分；( 3 ) 引入 l a g r a n g e 乘子施加本质边界条件。这些改进使得d e m 求解精度更高，更具发展前途 。b e l y t s c h k o 等称改进后的d e m 为无单元伽辽金法( e f g m ) ，也有的学者将之简称 为无单元法。 无单元伽辽金法就是无网格法的一种。无单元伽辽金法与有限元法极为相似， 郑州大学硕士学位论文 都是基于伽辽金公式，采用局部插值函数作为试函数来求得近似解，他们之削关键 的不同之处在于插值方法、积分方式及本质边界条件的施加方法。( 1 ) 插值函数构 造方法的改变，即由“插值型”构造方法转变为“逼近型”构造方法。在协调型有 限元方法中，插值点个数与插值函数未知系数总保持相同，因此构造方法必然是插 值( i n t e r p o l a t i o n ) 型的方法；而在无单元伽辽金方法中，由于插值点个数大于或 等于插值函数未知系数个数，一次需在某种逼近准则下求最佳的近似函数，因此其 插值函数的构造是逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 型的。而正是由于无单元方法采用了这种 逼近型的插值函数构造方法，使得插值点的位置与个数不再受到限制，才使得其摆 脱了单元的束缚，形成无单元的特性。( 2 ) 单元概念在其内涵与功能上的改变。在 有限元中，单元即是插值子域又是积分子域。由于受到插值函数构造的约束，有限 元中单元的形状必然要受到严格限制；在无单元g a l e r k i n 方法中，插值子域与积分 子域完全分离，二者之间似乎没有任何联系。插值子域是在插值时临时建立的，而 积分子域只要求其全体的集合是整个求解域的一个不重叠剖分即可，因此也就无需 进行单元的划分了。 但是无单元伽辽金法不是真正的无网格法，因为积分时仍需背景网格。所幸的 是这种网格与节点无关，可以非常粗糙地划分，鉴于无单元伽辽金法的众多优点， 近年来它吸引了大量研究人员的注意，做了大量深入的研究： 1 9 9 8 年，周维垣等“。”1 对其在平面弹性连续体问题中的应用做了探讨。他在前 人工作的基础上，做了些改进：( 1 ) 对高斯权函数、样条函数作了研究，提出了一种 新的权函数：( 2 ) 采用罚函数法引入边界条件，对面约束、点约束以及各种面力的处 理都提出了解决方案；( 3 ) 对积分方法、支持域、高斯点等一些关键问题进行了探讨， 并用更丰富的工程实例说明了无单元伽辽金法( e f g m ) 的应用。 周小平、周瑞忠等“”对无单元法的插值函数进行了专门的论述，提出使用动态 单元法( d y n a m i c e l e m e n tm e t h o d ) 来理解无单元法，并着重讨论了移动最d , _ - - 乘函 数中的矩阵4 ( 石) 的相关问题，给出了无单元法比有限元法具有更高的精度、更高次 连续性的直观解释。 庞作会等0 6 1 讨论如何用无单元伽辽金法求解集中力问题，同时在前人工作。”1 的基础上，提出了无单元伽辽金法的一种点积分形式，并给出了相关算例。但是， 点积分实现e f g m 时，积分点多少合适，没有给出理论上的证明，从算例来看，点积 分的总积分点数与高斯积分的总积分点数大致相当即可。 由于无单元伽辽金法的近似函数不通过节点变量，即仍( z i ) 以，无单元伽辽 金法的一个难点是本质边界条件的引入。在目前的发展状况下，通常使用的方法有： ( 1 ) l a g r a n g e 乘子法。“1 。这种方法是通过l a g r a n g e 乘子引入本质边界条件，因此 不要求近似函数满足本质边界条件，l a g r a n g e 乘子法最大的缺点是它引入新的未知 量，并且使离散方程的系数矩阵不再具有正定、带状的特点，但是，l a g r a n g e 乘子 郑州大学硕士学位论文 法是引入本质边界条件最精确的方法，因此对于规模较小的问题，这种方法是非常 逶臻魏。( 2 ) 掺歪戆变分缀理方法9 “。这秘方法廷提l a g r a n g e 寨子用秘应鳃穆璇量 代替，这样就可以避免幽乘子未知量产生的不良影响，逐可以保持方程的带状恃性， 从蘑求聪工 乍量比l a g r a n g e 豢子法要羰小许多。( 3 ) 爨函数法1 ”2 ”。这秘方法 其有实施简单，不引入新的未知量等优点。但怒，本质边界条件只能近似地得刹满 足，罚数掰越丈，本质条件的满足就越好。实隧计算中罚数a 不可能取得无穷大， 黼只能取为较大的有限值；( 4 ) 与有限元祸合法。“。将有限元法和无单元伽辽金法耦 含起来使用的方法具有很大的优点“8 。”。通过与有艰元法的耦合，我们可以将本质 边界条件区域用有限元法近似，这样就可以方便地旖加本质边界条件了。 k r y l 等0 2 1 对无单元伽辽金法在薄板弯越问题中地应用做了探讨，张傍星等 对 箕在钢筋混泥筏板中筑应用作了研究，张建辉等”“又对其在筏板基础中地应用作 了研究，所有算例均表明无单元伽辽金法在解决要求插德函数c 1 连续地板弯曲问题 避合理可行的，其优越怒明显的。 n a g a s h i m a 和o u a t o u a t i 等。”对无单元伽辽金法作了些改谶，然届将其推广应 藤予结构的模态分析，褥至l 了缀好匏结架。这表明无苇元证辽金法在动力学分耩中 的应用也是合理可行的，值得深入研究。 陈建、吴耩悫等。3 1 对无擎元稀辽金法在功麓梯度穆辩( f g m ) 精装行为方嚣豹应用 进行了一定的尝试。算例计算结果表明，该方法具有较商的计算精度，其分析f g m 莘芎辩颧裂嚣为瓣骞效佳、灵活馥显不受瓣辩特瞧参鼗夔艇稼连续交讫貔影响，爵豉 方便、准确地得到弹性横量梯度变化对应力强戚因子地影响规律。而通常有限元法 农分辑该类运蘸时，往往霉要大整节熹露单元，矬理困难，难鞭褥至l 滚慧夔结聚。 可以预计，无单元伽辽龛法在f g m 之类的非均匀材料的力学行为分析方面是非常合 邋豹，逐越班褥麓更为广泛豹瘦建。 刘欣、朱德憋等。”针对平面弹性问题发展和推导了种显式后验误麓指示公式， 对平瑟裂纹实例避季亍了h 型，p 型，h p 型三转不强类型瓣天孵掺塞适应分辑。 庞作会、朱岳明等。8 探求采用无单元伽辽金法求解接触问题。该方法憝将k a t o n a 癸嚣单元引入无单元缃辽佥法。在无单元傲辽金法中引入界面棼元，总的原则与有 限元( f e m ) 中引入界面单元一样，具体过程有些不同。即，根据点对状态修改憨刚 及荷载矩蓐对，点对支持域内其它节点上的数据也要修改。造成这些不问的原熙在 于无单元伽辽金法是通谶移动最小二乘法构造出位移函数。这麓无单元伽辽金法在 求解非线性问题成用中的尝试，但是无单元伽辽金法在求解材料非线性、几何非线 住阏题的应用都尚未觅报道。 a t l u r i ”等人提出了另外一种无网格法无网格局部p e t r o vg a l e r k i n 方 法。这种凭嘲格滚在积分拜雩也不磷需要鹜景网稽，是一萃辛粪正静无阏格方法。k t l u r i 等人首先将这种方法应用于求解调和算子的拉蕾拉斯方程和泊松方程。龙述尧又将 4 郧州大学硕士学位论文 这种无网格法推广应用于求解弹性力学平面问题。这种方法采用移动最小二乘近似 螽鼗 睾为试函数；并虽袋麓移动最，j 、二蘩近戳函数款全涵数 皇蠹攘权残篷法戆攘投 黼数；同时这种方法只包含中心在所考虑点处的规则局部区域及其边界上的积分， 掰褥系绞矩终是一令带坎褥藐矩阵。募铡结果嚣臻：该方法买鸯绞敛抉，精凄麓等 优点。 堡是，无嬲缮舄部p e t r o v g a t e r k i n 方法的积分是农包含中心在掰考虑点她半 径为的圆域q 。及其边界上进行的，这种圆域q ，就相当于无单元镅辽金法中的背 簸嬲掺，嚣显影蹶求磐终栗豹局都域半径靠的选取又没窍具钵的公式可以遵 毳。从 理论上讲，只有所有子域并集覆箍了整体域q ，即u q 。o n ，求解的结果才能满足 熬诲域及英逮雾上豹乎袋方程稻边爨条传。这捞，诗箕麓显然致无单元镪辽金滚要 大，计算效率比涎单元伽辽金法疆低。 枣魏哥激看擞，无单元聚辽金法与燹掰掺局部p e t r o v g a l e r k i n 方法都是与窍 限元法相似的数值方法。无网格局部边界积分方程方法。9 ”1 则题从边界元的基础上 发曩超寒豹。z h u 秘z h a n g 等黄先痔琵圈格鼹部边雾积分方程方法应蠲于求麟位 势非线性问题，龙述尧等o ”又将该方法推广应用于求解弹性力学平面问题，s l a d e k 秘a t l u r i 等。o 避步用该方法求烬各自巽性材料的弹性力学平黼阀题。这瓣方法采 用局部边界积分方程来表示所考虑电的位置函数值，并包含该点的支持域内其它点 的值。在局部边努积分方程中，用于近似函数的试函数的连续性要求可以大大晦低， 在构造系统刚度矩阵时，通常不需要形酌数的导数：当采用非插值垄的移动最小二 乘函数用作试函数时，本质边界条件也w 以直接施加进去，这比无单元伽辽金法及 笼网格局部p e t r o v g a l e r k i n 方法都有优势。而且，这种方法积分时也不再需甏背 景网格，同样时种真正的无网格法。 僵是，无霹格局部边界积分方程方法也有冀豳有的缺点。在籍无丽格弱帮边赛 积分方稷方法求解由微分算子所控制的边值问题时，除了需要所求问题微分算予在 茏蔽空游中懿基本解羚，还需要掰求阕麓徽努冀子在球壤土黯三维阏嚣) 或蟊竣主 ( 对二维问题) 的“友解”( c o m p a n i o ns o l u t i o n ) 。但是有些问题的友解不容易求得， 遮藏绘纛瓣接竭帮选赛获分方稳方法戆应箨豢交了是疆拣。无疆格局部透赛积分方 稷方法的积分是在包含中心在所考虑点处半径为矗的圆周弛。上( 有些问题包含域 积分) ，邋耱霾域q ，藏鞠当予无攀元锤辽金法懿蜚景霜掇， 蠹最影确求瓣结采鹣爨 部域半径k 的选取同样没有具体的公式可遵循。另一个令人感到棘手的是奇异性问 熬。虽然a t l u r i 帮s t a d e k 等”。薅鸯黪洼瑟瑟进行了讨论，德麓褥懿计算公式不 够简便。 藏箨，参照燹擎元镪辽金法豹理论形裁了一辨棱称为“滚形元法”鹣凝静数蓬 方法。”“ ，这也是种无阐格方法，有些研究人员正在致力于研究。关于采用无单 元法开展热应力翔题磷究方嚣熬缀道较少，本文尝试开黢该方嚣静疆究王圣# 。 邶州l 大学顼j 学位论文 1 3 论文研究的主要内容 根据国内外学者在无单元伽辽金法方面的研究成果，本文就是将无单元伽辽金 法e f g m ) 接广应煺予求蜒乎嚣热应力同题，主豢磅究工乎箬有： ( 1 ) 在阅读大量文献的基础上，系统地综述了无网格方法的发展聪状及各种无 阙格方法熬优缺点，劳对移动最，j 、二乘法懿物理意义、a 矩簿戆可逆性、权丞数起 选取、支持域半径的确定以及插值函数的性质等关键性问题都进行了详细的分析。 ( 2 ) 基予移璐最夸二乘法瓣基本蘸遴，绘滋了焉无鼙元稳辽金法求解平蟊穗态 热传导问题以及平面热威力问题的基本理论，建立了相应的数值分析方法，并对刚 度矩阵和仞始赢力矩阵的集成镣闻题给出了其体算法。 ( 3 ) 在无单元弛辽众法求麟乎面热应力阻题豹理论分摄基硝上，编制了无零元 伽辽金法求解平面稳态热传导问题和平面热应力问题的计算程序，并对一些典型算 翻透行了数篷谤舅。探讨了节点密度秘澎穗壤主| 曼经对诗簿精凄豹影瞧，懑时对予簇 状结构体系中不同的导热系数对结构温度场的影响，以及不同的温度收缩系数对结 榴溢凌疵力的影镌等霹燧进行了分橱。 郑州人学硕士学位论文 第二章平面热应力分析的基本理论 在热弹性力学中，热传导方程和热弹性运动是相互耦合的。热传导方程中耦合 项的存在，表明了弹性体上的温度分布不仅取决于热量的传输、内热量的存在，同 时也与弹性体上各点的应变率有关。如果在给定边界条件和初始条件后，耦合地求 解热传导方程和热弹性运动方程，则对温度的变化与热应力和热变形之间的关系将 会有一个全面的了解。 但是，由于数学求解方面的困难和工程应用问题要求的精度不一致，许多热弹 性力学问题中略去了耦合项。从而将热弹性力学问题分为两个问题来求解。对于平 面热弹性问题，第一个问题是给定热力学边界条件和初始条件后求解平面热传导方 程，得到物体上的温度场r ( x ，y ，t ) 。这个问题称为热传导问题；第二个问题是在给 出温度场r ( x ，y ，f ) 的基础上，给定弹性力学的边界条件和初始条件后求解热弹性运 动方程，得到热位移场d i ( x ，y ，t ) ，i = 1 , 2 。然后再由温度场r ( x ，y ，r ) 和热位移场 “；( ty ，f ) ，根据应力、应变和温度关系的本构方程，求出热应力场。这个问题称为 热弹性问题。显然，略去耦合项之后，在第一个问题( 热传导问题) 中物体被视为 刚体。在第二个问题中物体被视为热弹性材料构成的固体。 在热应力的计算中，首先要求出一个温度场，由此计算热应变，再把机械力负 荷产生的正应变和剪应变叠加上去，求得应力场1 。鉴于此，本章首先介绍平面稳态 热传导边值问题，然后介绍弹性平面体的热应力边值问题。 2 1 平面稳态热传导边值问题 平面热传导问题分为平面瞬态热传导问题以及平面稳态热传导问题。温度与时 间有关的热传导问题称为瞬态热传导问题，反之，称为稳态热传导问题。平面热传 导方程可通过热流量平衡原理得到。考虑边界表面为r ，区域为q 的导热体，其平 面瞬态热传导问题的热传导方程。”为 - 卯f f = 去謦+ 窘+ ( 2 ，) 2 瓦嘧+ 可+ “_ 式中，研。c 】为物体的瞬态温度，t = t ( x ，y ，t ) ； f m 为过程进行的时间； k w ( m 。c ) 】为材料的导热系数，作常数处理； 科堙州3 】为材料的密度，作常数处理； c p j ( k g - 。c ) 】为材料定压比热，作常数处理； 郊州人学硕士学位论文 g 、 w i m3 】为材料的内热源强度，作常数处理： x m 】和y m 】为直角坐标。 对于平面稳态热传导问题，则( 2 1 ) 式成为 堡+ 空+ 一q v ：0 ( 2 2 ) 西 o y 。 k 式中，研。c 为物体的稳态温度，t = r ( x ，y ) ： 一般热传导问题，如果不考虑热辐射和相变，可以提出如下三类边界条件。 ( a ) 第一类边界条件( 又称温度边界条件) 在研究区域的边界r l 上已知温度分布，这种条件称为第一类边界条件或温度边 界条件。“，一般可表示为， 正= 瓦 ( 2 3 a ) 或 z = f ( x ，y ，t ) ( 2 3 b ) l 为已知边界温度( 常数) ： f ( x ，y ，f ) 为已知壁面温度函数( 随时间位置而变) 。 ( b ) 第二类边界条件 第二类边界条件是指物体边界上的热流密度q w m 2 为已知。 由于q 的方向就是边界面外法线i 7 的方向，用公式表示为， 一智 ( 2 4 a ) ”l o 或 一罢卜g ( 训，r ) ( 2 4 b ) u 仃l r 式中，q ： w m 2 为已知热流密度( 常数) ： g ( x ，y ，t ) 为已知热流密度函数。 应该注意，( 2 4 ) 式中热流密度q 的方向是边界面外法线n 的方向，亦即热流量 为从物体向外流出。 ( c ) 第三类边界条件 第三类边界条件是指与物体相接触的流体介质的温度丁，和换热系数口为已知。 用公式表示为， 一刭o 刮r 一弓) l ， ( 25 )n l r “ 口与，可以是常数，也可以是某种随时间和位移而变化的函数。如果口和0 不是常 郑州大学硕士学位论文 数，则在数值计算中经常分段取其平均值作为常数。 蓬褥注意懿楚，( 2 5 ) 式表示热流爨物体自强淡出。当熬渡是努暴滚入魏体黠， ( 2 5 ) 式仍然正确。 对于内部无热源款乎嚣稳态澧疫场，热传导方程( 2 + 2 ) 和边器条 譬( 2 3 ) ，( 2 。4 ) ， ( 2 5 ) 起构成了平面稳态热传导边德问题。设其温度函数为t ( x ，y ) ，则基本方程 力 窘多= 。 刁。= r 一噜b q 一影割r “叶) k 基予以上的研究，孟挠步研究有2 层不同均质各向同性材料组成的= 维层状体 系的稳态溢度场游题。并强设莱一截丽静承平方向为并牵鑫，垂藏淘下方向为，辍正 向，建立平面直角坐标系。如图2 。l 。结构第1 ，2 层的导热歪数分别为 和五：，厚 袭分剐为g 。帮g ：，溢发函数分掰为瓦= 互( 并，岁) 积互= t d x ，y ) ，涮在结构内部 曩( 力，正( x ，y ) 满足热传导方程， 式孛，魂= g i ，h 2 = g l 十9 2 悟 1 1 萝2 乏 l 百丁 r g i 正 正 y ( 2 。7 ) 图2 1 层状体系结构截面示意图 层状体系温度场中，边界条件除了满足传热学中的游三类边养条件外，设上下 层接触良好，则在层间接触上温度函数瓦、t ：以及热流吼、q ：烂连续的，即在屡间 边界上溢度函数夏和r ：满足传热学中的第四类遍赛条件， 9 啊 矗 一 一 y y o 壤 q 镰 | i i i 塑妒塑驴 卜 郑卅【大学硕士学位论文 i 正= 疋 磅吐等 q 8 当上层与下层之间脱空时，则在层间界面上可能产生热阻，这时热流依然连续， 而温度则因热阻存在而有一差值，这一差值与热阻和热流量大小有关，此时层间界 面条件为， 隧o r , i ；。a ( t 正 圳 弦。， i 傍吐等 2 2 平面热弹性边值问题 平面热弹性问题的基本方程有平衡方程、 程为， l r t y + g = 0 式中， l = 几何方程和物理方程。其中，平衡方 旦。旦 叙 砂 。旦旦 跏a x ( 2 1 0 ) o = 盯。岛卜g = 【g ，g ，卜 几何关系( 几何方程) 为， = s 。6 y ，。 1 = l u ( 2 1 1 ) 本构关系( 物理方程) 为， 盯= d ( 一o ) ， ( 2 1 2 ) 其中d 为3 3 的材料矩阵。 从式( 2 1 0 ) 和式( 2 1 1 ) 可以看出，平面热弹性问题中的平衡方程和几何方 程与平面弹性问题相同。同时，从式( 2 1 2 ) 可以看出，物理方程中多了一项d r , 。， 它是因温度变化而产生的温度应力6 。 当物体各部分温度发生变化时，物体将由于热变形而产生线应变a ( r 一瓦) ，其 中d 为材料的线膨胀系数，r 是弹性体内任一点现时的温度值，五是参考温度值。 如果物体各部分的变形不受任何约束时，则物体内部将产生变形而不引起应力。但 是，物体由于约束或各部分温度变化不均匀，热变形不能自由进行时，则在物体中 产生应力。物体由于温度变化而引起的应力称为“热应力”或“温度应力”。当弹性 琊州大学硕士学位论文 体的温度场已经求得时，就可以进一步求出弹性体各部分的热应力。 物体由于热膨胀只产生线应变，剪应变为零。这种由于热变形产生的应变可以 看作是物体的初应变。计算热应力时只需算出热变形引起的初应变。，求得相应的 初应变引起的等效节点载荷p ，。( 简称温度载荷) ，然后按通常求解应力一样解得由 于热变形引起的节点位移c t ，然后可以由仳求得热应力6 。，也可以将热变形引起的 等效节点载荷p 。与其它载荷项合在一起，求得包括热应力在内的综合应力。计算应 力时应包括初应变项， 仃= d ( 一c o ) 其中，。是温度变化引起的温度应变，它将作为初应变出现在应力应变关系中，对 于二维问题，有， e 。= 口一瓦) k ，qo r 其中，口，口，分别为x ，y 方向的热膨胀系数。r 为平面稳态热传导边值问题( 2 6 ) 的解 在热弹性问题中，载荷向量中包括由温度应变引起的温度载荷，即， p = p ，+ p r + 已o 其中，p ，p r 是体积载荷和面载荷引起的载荷项，e 。是温度应变引起的载荷项， 有限元分析中，有， = b 7 d e 。擒 从以上各式可见，结构热应力问题和无热载荷的应力分析问题相比，除增加一 项以初应变形式出现的温度载荷项巳。外，其它完全相同。 常见的平面热弹性问题的边界条件有三类 ( a ) 第一类边界条件( 位移边界条件) 。在边界r 1 上若已知位移分布，这类边界 条件称为第一类边界条件，一般它可表示为， u l = u ( x ，y ) ( 2 1 3 ) 其中， 1 1 = uv 】7 为边界r 上的己知位移矢量。 ( b ) 第二类边界条件( 应力边界条件) 。在边界r 2 上若已知分布面力q 。，这类 边界条件称为第二类边界条件或应力边界条件，一般它可表示为， nj 。= q b ( 工，y ) ( 2 1 4 ) 式中， 郑州大学硕士学位论文 q 6 = 【q ，q 。】7 ( c ) 第三粪逑界条件( 弹谴支承透嚣条件) 。翔采弹瞧俸在边赛l 上与另一弹牲 体接触，在r 3 上就会受到接触体所作用的弹性反力。若已知在l 上接触体的位移为 u 。，并且假设反力与f 3 处两侧的位移之差成眈锯，那么将( 2 。1 4 ) 式中鲍q 。嗣反 力替换w 得， n fr = 一k 。【u l l u 。( x ，_ y ) 】 ( 2 1 5 ) 式孛， u 。= “。v 。】2 ， k 。稼为接触钵熬弹性嚣发系数楚阵，冀表达式为， k ：卜1k 2 k 七刊 式( 2 1 5 ) 称为第三类边界条件或弹性支承边界条件，对于正交各向异性材料， k 。= 降乏 瑗鬏没寿一弹洼律，箕热澎涨系数不蓬涅度泼变，其材料的力学参数也不受漫 度变化影响，并且弹性体内部的应力变化也不影响它的热学材料参数，那么在小变 影馕拯下，平筑方程( 2 ，t o ) ，几倪方程( 2 ，1 1 ) ，物理方稷( 2 1 2 ) 粒边曩i 条 牛( 2 。1 3 ) ， ( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 一起构成平面热弹性边值问题。”， l r 仃+ g 一0 、 = l u d = d ( 一。) ， ， 一= ( 2 1 6 ) u l = u ， 、+ n l l = q ， n r 32 一k 。( u f l u 。) 式孛，g ( x ，力为热皇或攀，薹( 。为接魅搭瓣弹蛙刘凄系数楚薄，矬。蔻f 3 上接皴髂戆 位移，q 。为边界r 2 上的分布面力，u 为边界r l 上的已知位移分布，。为温度应变。 d 为平鬣闻题的榜耨矩阵， 一f 1 一v 0 d ：乓| 一v t 0 | 1 叫f0 00 - 石) 2f 对于平面应力闯越否= e 和；= p ；对予平瑟成交闯越吾= 嚣鼯一p 2 ) 帮 矿= v ( 1 一r ) 。e 和y 分别为材料弹性模建和泊松比。 2 郑矧大学颈 学位论文 第三章移动最小二乘法的基本原理 光网格方法的插值函数一般有三种：( 1 ) 核函数近似方法：( 2 ) 移动最小二乘 法( 撼l s ) ：( 3 ) 攀垃分鳄法。爨 l 誊，各耪无 c l 掇法最溅抒采鼹靛是移动最，、二乘法 ( m l s ) 。移动最小二乘法最早用于构造插值函数来拟台曲线和曲面，用随机分布的节 点上来鳃变量姆值来表示试函数，且试殛数与骞限元法的捶馕函数一样，具有局部 性质。本章首先以标量函数h 为例说明移动最小二乘：i 驻似法的基本原理，然后对移 动最小二乘法的物理意义、a ( x ) 的可逆性、投缀数的选取、支持域半径的确定以及 插值函数的性质等关键性问题进行讨论。 3 。1 移动最小二豢法的基本理论 考滤点x 既邻域( 予域) q ：，它位予全域q 巍，力7 透 爨表攀函数挝在子域筑懿 分布，在有限个随机分布的节点x i ( 扛1 , 2 ，”) 上，函数“的近似式“6 ( x ) ，v xs q 。， 霹戳定义秀， “( x ) = p i ( x ) a 磨) = p ( x ) a ( x ) ( 3 1 ) 扛l 式中，p ( x ) = b 。( x ) p 。( x ) n ( x ) 】r 是m 次完备多项式罄，位( x ) 是包含系数 西，( x ) ( j = l 舸2 捌) 静淘量，这婆系数蘧平瑟坐标x = by 】7 熬瓣数。奁一般祷凝下， 平面问题的基豳数可取为以下肜式： 线性基： p ( x ) = 馥x ，】， m ：3( 3 2 a ) 乎方基：p ( x ) ：【l 苫yx 2 矽y 2 】，糙= 6 ( 3 。2 b ) 三次基：p ( x ) = b 茹y 冀z 拶y 2 x 3 z z y 拶2y 3 】7 ，搿= 1 0 ( 3 2 c ) 定义加权离散岛模为， ，( x ) = 窆q ( x ) k r ( x i ) a ( x ) 一番，r = p n ( x ) 一d r w 【p a ( x ) 一矗】 i = 1 ( 3 。3 ) 戏中，q ( x ) 是节点f 的权函数，对于在q ( x ) 的支持域内的所有x ，有皑( x ) 0 ，x i 表 示节点i 蕊坐标，弹是子域q ：痰农嚣数继( x ) 0 静节点数，焉簸阵p 霞w 分澍为， 郑州人学硕士学位论文 p = p 7 ( x ) p7 ( x 2 ) p 。( x ，) p ( x 2 ) p 2 ( x 】) p 2 ( x 2 ) p l ( x 。) p 2 ( x 。) p 。( x 。) p 。( v 2 ) ? - x ) 1 d = 印。i ：卉。r 在这里应该特别注意：在( 3 3 ) 式和( 3 6 ) 式中的i ，( f = l ，2 ， 通常它不是未知试函数“6 ( x ) 的节点值( 见图3 1 ) 。 当，( x ) 取极小值时，由霎婴：o 得到， c 虹( x ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ，n ) 是名义节点值， ( 3 7 ) a ( 石) = p 7 w p = b ( x ) p = a x ) p ( x f ) p 7 ( x f ) ( 3 8 ) i b ( x ) = p r w = b ( x ) p ( x 。) ，q ( x ) p ( x ：) ，c o ( x ) p (