（固体力学专业论文）电场内带电射流的轴向稳定性.pdf

摘要 静电纺丝是利用外部静电场对带电聚合物射流的加速、拉伸，从而制造出 纳米纤维的一种方法。目前，多种聚合物已经被成功的应用于电纺实验。但是， 相对于实验研究而言，对电纺的理论研究还很少，对电纺的机理还没有形成统 一的认识。本文基于最新的带电射流的电动力学模型，建立了电场中带电射流 的运动控制方程，并进一步对射流直线阶段的轴向稳定性进行了深入探讨。 曲张失稳，又称为轴对称失稳，它发生在射流喷出后的直线射流阶段，是 电纺固体纤维的粗细不均匀的主要原因。射流在电场中的运动，是一个外电场 和射流运动相互影响的过程。最近，h o h m a n 等人将净电荷引入射流模型，从而 将外电场，射流的拉伸流动和电荷的输运耦合在一起考虑，得到了带电射流在 外加电场中运动的控制方程。但是，h o b m a n 的控制方程在推导中过于粗糙，存 在不少缺陷。本文基于h o h m a n 的模型框架，给出了带电直线射流在外电场中运 动的控制方程的推导过程，指出了h o h m a n 等人的错误。 在控制方程的基础上，对射流进行线性小扰动稳定性分析，推导得到射流 稳定性方程。从该方程可以看出，射流的轴向稳定性受外加电场强度、射流电 传导率、射流表面电荷密度以及液体的粘性等因素的影响。本文具体分析了各 个参数对射流轴稳定性的单独作用效果。 最后，对射流稳定性的机理，进行了简要讨论。 关键词：电纺，带电射流，曲张失稳，射流稳定性 a b s t r a c t e l e c t r o s p i n n i n gu s e sa ne x ：t e ：f n a le l e c t r o s t a t i cf i e l dt oa c c e l e r a t ea n ds t r e t c hac h a r g e d p o l y m e rj e t , a n dm a yp r o d u c eu l t m f m e n a n o f i b e r s ”m a n yp o l y m e r sh a v eb e e n s u c c e s s f u l l ye l e c t r o s p u ni nt h el a b o r a t o r y t h et h e o r e t i c a lr e s e a r c ho fi t , h o w l e r , i s l i m i t e da n di m m a t o r e ，i nc o n t r a s tt oe x p e r i m e n t a lo n e t h i sp a p e re s t a b l i s h e st h e c o n t r o l l i n ge q u a t i o n sf o rm o v i n g j e t si ne l e c t r o n i cf i e l d , a n db a s e d0 1 1t h i s ，d i s c u s s e s t h e i rr a d i c a li n s t a b i l i t y t h er a d i c a li n s t a b i l i t yo f l c i lo c c r l l 限w h e nt h ej e ti s s u e sf t o mt h en o z z l ea n di s a c c e l e r a t e aa n ds t r e t c h e ds m o o t h l yb yt h ee l e c t r o s t a t i cf o r c e s i tm o s t l yc a u s e sf i b e r s w i t hu n e v e nr a d i u s t h em o v e m e n to ft h ec h a r g e aj e tc o n c 黜st h ei n t e r a c t i o no f e x t e r n a lf i e l da n dj e tm o v e m e n t r e c e n t l y , h o h m a np r o p o s e da j e tm o d e lw i t hf l e e c h a r g e s ，a n dh e n c e ，t h ee f f e c t s o fe x t e r m df i e l d ，j e tm o v e m e n t ，a n dc h a r g e c o n v e c t i o na r ec o u p l e dt o g e t h e r , t h ec o n t r o l l i n ge q u a t i o n sp r o p o s e db yh i m ， h o w e v e r , h a v es e v e r a lf a u l t s t h i sp a p e ru s e st h ef i a l n eo fh o h m a n sm o d e la n d d e d u c e st h ec o n t r o l l i n ge q u a t i o n sf o rc h a r g e dm o v i n g j e t si ne x t e r n a lf i e l d t oa n a l y z et h el i n e a ri u s t a b i f i t y , l i t t l ed i s t u r b a n c e s 黜a d d e dt ot h ev a r i a b l e si nt h e c o n t r o l l i n ge q u a t i o n s t h e nt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o ni se s t a b l i s h e d , f r o mw h i c hw e c a nf r e dt h a tt h er a d i c a li n s t a b i t yo f j e t si se f f c c t e db ym a n yp a r a m e t e r s ，i n c l u d i n g t h ee x t e r n a lf i e l d , t h ec o n d u c t i v i t yo fj e t s ，t h ed e n s i t yo fs u r f a c ec h a r g e sa n dt h e v i s c o s i t yo f t h ep o l y m e r , e t c t h i sp a p e rt h e ns t u d i e st h e t re f f e c t ss e p a r a t e l y t h el a s tp a r to ft h i sp a p e rd i s c u s s e st h em e c h a n i s mo ft h er a d i c a li n s t a b i l i t yo f e h a l g e d j e t s k e yw o r d s ：e l e c t r o s p i n n i n g , c h a s e d j e t s ，r a d i c a li n s t a b i l i t y , j e t ss t a b i l i t y 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位 论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开 发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的 法律责任由本人承担。 签名：弓苘插 酾年3 月f 0 日 第1 章引言 第一章引言 纳米纤维，即直径为纳米量级的纤维，在纳米技术中占有重要的地位。从 人造组织器官到纳米复合材料、纳米机械，均有广泛应用。静电纺丝( e l e c t r o s t a t i c s p i n n i n g ) ，或简称电纺( e l e c t r o s p i n n i n g ) 是目前制备纳米或微米量级的连续纤 维的最重要的方法。它由f o r r a h a l s 等【l 】于1 9 3 4 年首先提出专利申请，但是它用 于制备纳米纤维的重要意义，直到最近随着纳米技术的兴起才逐渐被人们认识。 目前，已有超过三十种人造或天然的聚合物被制成纳米纤维 2 1 。一些具有特殊性 能的聚合物，如生物聚合物，导电性聚合物，液晶聚合物，也不断被用于实验 室的电纺研究。相对而言，对电纺的理论研究还很少，对电纺的机理还没有形 成统一的认识。本章详细介绍电纺的过程，并回顾电纺的研究历史。 1 1 静电纺丝 静电纺丝的基本过程是 3 1 9 1 ：聚合物溶( 熔) 液在几千甚至几万伏的静电压 下产生喷射流，喷射流在外电场中被拉伸细化，经溶剂蒸发或熔体冷却而固化， 最终落在收集板上形成纤维毡或者其他形式的纤维结构物。一般将这一过程分 为三个阶段来分别研究：( 1 ) 喷丝口处液滴的形成及流体的喷射；( 2 ) 射流 在电场中的运动；( 3 ) 固化纤维的运动。 图1 1 电纺装置示意图 在第一阶段，如图1 1 示，毛细管连接高电压，与接地的接收装置之间形成 电场。液流通常由毛细管的喷丝头挤出，与普通的纺丝装置相似，不同的是液 第1 章引言 流与接在高电压上的金属正极或负极接触，液流因此也带电。电荷集中在液体 的表面。如果液流与金属阳极接触，由于斥力的作用，液流的表面应该分布正 电荷，其受到的电场力与电场方向相同，即由阳极( 毛细管) 指向阴极( 接受 屏) 。可见，溶液受到的表面张力与电场力的方向相反。当外电场较小时，如 图1 2 所示，电场力不足以使溶( 熔) 液中的带电部分从溶( 熔) 液中喷出，在 毛细管末端的液滴呈半球状。随着电场力的增大，液滴在电场力的作用下将被 拉成圆锥状，这就是泰勒锥。电场力超过某一临界值时，溶( 熔) 液中的带电 部分克服表面张力而喷出。 图1 2 喷丝口处的液滴受逐渐增大的电场力作用后的变形过程图 射流在t a y l o r 锥中喷出后，如图1 3 示，首先经历一段直线运动过程，直线 运动段的长度可能为几厘米，也可能多达几十厘米。射流在强电场中受静电场 力的拖曳并被加速，逐渐变细。当射流直径小到一定程度时，发生所谓的“弯 曲失稳”，射流的运动轨迹不再是直线，而是逐渐扩大的多级螺旋线，通常将其 形象的称为“甩鞭”( w h i p p i n g ) 。正是由于经历了这种运行距离的剧烈增长，射 流被进一步拉伸，其直径逐渐达到纳米量级。 第1 章引言 射流的不稳定性分析是理解静电纺丝机理的关键，理论分析和实验测定不 稳定性与各种参数的关系是近年来对电纺过程深入研究的重点。理论研究表明， 电纺过程有三种不稳定性【1 0 1 1 1 l ；( 1 ) 粘性失稳，又称为r a y l e i g h 不稳定性，主 要由流体的表面张力引起，也是一般射流都具有的不稳定性，是射流破碎成液 滴的主要原因；( 2 ) 曲张失稳( 图1 4 - a 示) ，又称为轴对称失稳，它发生在射 流喷出后的直线射流阶段，是造成电纺固体纤维粗细不均匀的主要原因：( 3 ) 弯曲失稳( 图1 4 - b 示) ，又称为“甩鞭失稳”c w h i p p i n gi n s t a b i l i t y ) ，它发生 在带电射流的甩动阶段。 图1 3 射流运行轨迹示意图 1 4 射流的两种不稳定性示意图 固化纤维的接收也是一个复杂的过程。聚合物射流在落在接收屏前处于三 维的高速甩鞭运动，而不是一般的直线运动。因此，目前用电纺得到的纳米纤 维大部分不具有特定的纺织结构。然而，按照一般的纤维纺织工业的理解，只 有得到单根连续的纤维或同轴向的纤维束，才能把纳米纤维推向更加广泛的应 用。一些研究者为了得到取向整齐的纤维或纤维束，发明各种形式的纤维接收 裂1 2 】。【1 4 1 ，例如高速旋转的圆柱形纺锤接收器，矩形框架接收器，具有尖利边缘 的轮状接收器等等。 - 3 第1 章引言 1 2 电纺与电雾化 电雾化是静电库仑力克服液体表面张力，导致液体破碎成细小雾滴的一种 技术。电纺与电雾化的原理基本相似，它们之间的主要差别在于：电雾化采用 的是低粘度的牛顿流体，而电纺采用的是较高粘度的非牛顿流体。因此，电纺 最后得到的是连续的丝条，而电雾化则形成带电的小雾滴。 利用电雾化技术可产生各种不同尺度( 1 微米l 厘米) 、单分散项的液滴。 电雾化技术在质谱仪 1 5 1 1 1 6 1 、纳米材料制割1 7 1 1 8 1 、农业、喷墨打印、燃油喷射和 药物输送等领域被广泛应用。 电纺试验中出现的带电射流的失稳和电雾化试验中出现的射流的失稳有些 类似。电雾化试验发现，带电射流存在几种不同的失稳模式。c l o u p e a u 和 p r u n e t f o c h 描述了这些失稳模式n 9 j 例。j a w o r e k 和k r u p a 把这些失稳模式总结 为【2 1 】： 1 滴珠模式( d r i p p i n gm o d e ) ：球形的液滴直接从泰勒锥顶部脱离； 2 纺锤模式( s p i n d l em o d e ) ：带电射流在电场内部被拉伸成丝状细流， 且细流未破碎成液滴； 3 振荡射流模式( o s c i l l a t i n gj e tm o d e ) ：许多液滴从和喷口相连接着的 弯曲射流上喷射出来； 4 进动模式( p r o c e s s i o nm o d e ) ：带电射流从喷口射出后高速的甩动， 且射流未破碎成液滴。 1 3 研究历史和现状 许多文献对电场中的射流进行了描述。上世纪7 0 年代，b a u m g a r t e n 用高速 摄像机和其他数据详细的描述了电纺的过程。r e n e k e r 及其同事分析了电纺的过 程和所得纤维的性质。b o r n a t 描述了电纺过程并在一个转动的金属轴上收集到纤 维。1 9 9 5 年，d o s h i 和r e n e k e r 详细描述了电纺的条件、纤维的形貌和集中电纺 纤维的潜在用途。他们认为，带电的液体在喷口处形成泰勒锥( t a y l o rc o n e ) ， 电场足够大时，液体射流从泰勒锥顶部喷出，在电场内被不断加速和细化。和 电雾化相关的许多文献研究了从泰勒锥顶部射出的带电射流的性质 2 2 j - 2 9 1 。m o r n 和l o s e e r t a l e 分析了带电射流形成的电流与外加电压之间的关系娜】。 第1 章引言 上世纪6 0 年代，泰勒( t a y l o r ) 在一系列的文献中描述了带电流体的基 本理论【3 l 】跚。泰勒认为，在研究大多数与运动流体相关的电现象时，假设流体 是绝缘体或导体都是不正确的。这是因为，处在电场内部的流体即使是绝缘体， 其表面也必然存在非零的极化电荷( 该表面极化电荷的密度可能很小) ，此时， 只要存在沿流体表面切向的非零外加电场，外加电场和表面极化电荷间的相互 作用就会在流体表面处产生非零的切向力，唯一可能平衡该切向力的就是由流 体的粘性产生的阻力，因此，流体必须不断运动。上述观点提出了著名的“漏 电介质模型”( l e a k yd i e l e c t r i cm o d e l ) ，采用该模型得到的理论结果和电场内对 中性浮动粒子进行拉伸得到的试验结果相符。s a v i l l e 对该模型进行了具体的分 析嗍。 对于射流的稳定性分析，目前尚未有可与试验结果进行定量比较的理论结 果【3 6 】。上世纪7 0 年代，s a v i l l e 对处在和射流表面相切的外加电场内部，传导率 为有限值的圆柱体射流进行了线性的稳定性分析，从理论上预测到射流的一些 特征，这些特征和试验发现的特征在性质上是吻合的。例如，他预测到，射流 同时存在轴对称的失稳和“甩鞭失稳”。但其理论分析的结果和试验结果在量上 存在较大差异。例如，当射流为水，水流半径与泰勒在1 9 6 9 年试验【3 3 】时采用的 射流半径相当时，s a v i l l e 预测，在小扰动的波长为1 2 7 l 2 个射流半径时水流 是最不稳定的【3 ”，这与试验发现的射流长波不稳定性直接矛盾。其理论分析结 果和试验结果之所以未能在量上相符，是因为他在分析时忽略了两个重要的因 素：一是射流表面存在电荷，二是射流半径是不断减小的【3 ”。h u e b n e r 和h n c h u 对具有固定表面电荷密度的射流进行了稳定性分析，在分析中假设射流的传导 率趋于无穷、外加电场沿射流表面的切向分量为零以及射流的半径为常数 3 s 1 3 9 1 ， 这些假设都和实际情况不符。m e s t e l 在对射流的稳定性分析中考虑了射流表面存 在的电荷，他在分析时假设射流的粘性为零或趋于无穷，也未能解决理论结果 与试验结果间的偏差问题1 4 0 1 4 。 h o h r m m 等将射流视为粘性流体，建立了新的带电射流模型，将射流的拉伸， 电荷的转移和外电场耦合在一起。分析了带电射流的轴对称失稳及甩鞭失稳， 他们得到理论结果也未能和试验结果进行定量的比较【1 0 】【l l 】。 d a r r e l l ，h r e n e k e r 等提出哑铃模型( d u m b b e l lm o d e l ) ，假设射流为相互连 接的带电小球，分析了电场内带电射流的运动轨迹 4 2 1 。 第1 章引言 1 4 本文的工作 很早研究者就发现在制备的纳米纤维中常常出现串珠，图1 5 示，造成纤维 粗细不均匀。最先的实验研究发现聚合物的浓度会影响串珠的形成。f o n g 【4 3 1 以 聚合物p e o 为例，做了实验，发现浓度较高的溶液产生的串珠数量较少，但是 串珠的半径较大。在电子显微镜下，可以看到当溶液的浓度从低到高变化时， 串珠的形状从球形变化到纺锤形。也有研究指出减少聚合物溶液的表面张力州， 增大射流表面的带电量【4 5 1 ，减小外电场可以防止串珠的产生。 要想揭示纤维产生粗细不均匀 的机理，还要依赖理论研究的成果。 早期的研究包括s p i v a k 和d z e n i s 等 人发展的一种直线射流简化模型，认 为外加电场是恒定的，即不考虑介质 运动对电场的影响。但是我们知道， 射流在电场中的运动，是一个外电场 和射流运动相互影响的过程。当射流 图1 5 电纺制备的粗细不均的纤维 表面的电荷密度较大时，该模型不适 用。最近，h o h m a n 等人将净电荷引 入射流模型，从而将外电场，射流的拉伸流动和电荷的输运耦合在一起考虑， 得到了带电射流在外加电场中运动的控制方程。但是，h o h m a n 的控制方程在推 导中过于粗糙，存在不少缺陷。 本文给出了带电直线射流在外电场中运动的控制方程的推导过程，指出了 h o h m a n 等人的错误。在此基础上，对控制方程中的部分变量增加小扰动，以进 行线性稳定分析。得到了射流的稳定性方程。并且分析了外加电场强度、射流 电传导率、射流表面电荷密度以及液体的粘性等因素对射流轴对称稳定性的影 响。 进行电纺和电雾化实验时，都遇到了电场中带电直线射流的稳定性问题。 在电纺中，提高带电射流的稳定性，可制备半径更均匀的纳米或微米纤维；进 行电雾化加工时，降低带电射流的稳定性，可使射流破碎得更充分，得到雾化 程度更高的雾滴。因此，本文的研究具有重要意义。 第二章射流中的相关电学量 第二章射流中的相关电学量 推导电场内带电直线射流的控制方程，涉及到电学的部分知识。本章简单 介绍本文涉及的电学概念和电学量。 2 1 基本概念和定理 导体。导体的主要特征是其具有可以自由移动的电子，也叫自由电子。把 导体置于静电场时，自由电子会在电场力的作用下开始运动，从而引起电荷的 重新分布。当达到静电平衡时，导体内部场强为零，自由电子只能分布在导体 的外表面。 电介质。电介质又称绝缘体，它的主要特征是，分子中电子和原子核结合 得相当紧密，电子处于束缚状态。把电介质引入静电场中，电子与原子核间只 能有微观的相对位移，或者它们间的联接线稍微改变方向，达到静电平衡时， 电介质内部的场强不为零。 电场强度露。电场中某处的电场强度定义为置于该点的单位正电荷所受的 电场作用力。如果在电场某处放置试验电荷吼，它受到的电场力为户，则该点 的电场强度为： 豆：生 ( 2 1 1 ) 鼋o ( 1 ) 点电荷电场的电场强度：点电荷产生电场。设在点电荷g 所产生的电场 中的某点处放置试验电荷g o ，则吼受到库仑力户= 乏：等手该点处的电场强 度等于： 豇4 艚q ，f ( 2 1 2 ) 4 艚。 。 ( 2 ) 高斯定理：电场内通过任一闭合曲面的豆通量等于这闭合曲面所包围的 第二章射流中的相关电学量 电量的代数和的三倍。其数学表达式是： 毋西缸吼 ( 2 1 3 ) 式中，s 是闭合曲面，吼是曲面内的第f 个净电荷，占是电场介质的介电常数。 ( 3 ) 电势：静电场势保守场，存在电势。电场中p 点的电势定义为将单位正 电荷从p 点沿任意路径移动到电势零点的过程中，电场力做的功。一般规定无 限远处电势为零。p 点的电势按下式计算： v ：弋宅覆 由 ( 4 ) 用电势表示电场强度：关系式是 豆= v 矿 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 电场中沿某方向r 的电场强度日等于电势在该方向上的方向导数再反号，即： e ，：一d v 讲 ( 5 ) 电场在介质界面处的连续条件： 界面两侧电场强度的面内分量相等，即： e l ，= e 2 f ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 式中，表示界面内的任意方向。 ( 6 ) 电场能( 体) 密度：单位体积中的电场能称为电场能( 体) 密度。在介 电常数为占的电介质中，如果某点的场强为e ，则该点的电场能密度为： 1 ，= 三2 理2 ( 2 1 8 ) 2 2 射流内外电场 假设射流为极细长的轴对称的粘性流体。射流不可压缩，射流密度为常数， 第二章射流中的相关电学量 射流的截面为圆形。 根据s a v i l l e 的“漏电模型”，我们认为射流的性质介于理想导体和理想电介 质之间。一方面，射流能够导电，射流内部的净电荷在极短的的时间内转移到 射流的表面，因此我们认为净电荷只分布在射流的表面，射流内部不带电。另 一方面，射流又类似电介质，在射流内部沿表面切向和法向有电场。 靠近射流表面的两侧有两个电场，分别是射流内部的的电场e 和外部空气中 的电场面。他们均可沿表面的切向和法向分解。本文中凡带上横线的物理量均定 义在外部空气介质中。下面我们来看内外电场的关系。 2 2 1 切向内外电场连续 射流表面是射流与外部空气两种介质之间的界面。设界面场强的法向分量 为e 。，切向分量为e 。这里的“切向”是指射流旋转对称表面的子午线的切向。 依连续性条件( 2 1 7 ) 知，在界面附近的两侧有： 局= 耳 ( 2 2 1 ) 2 2 2 法向内外电场的关系 假设贯穿射流表面作一个垂直于射流表面的小闭合圆柱面作为“高斯 面”。见图2 1 示。通过圆柱侧面的e 通量为零，故依高斯定理( 2 1 3 ) 式，有 关系： 图2 1 求解射流外侧的极化电荷强度示意 9 ( e 占+ 历占) a = i r a ( 2 2 2 ) 式中，占和；分别是射流和空 气的介电常数；a 是底面面积。化 简得到内外法向电场强度的关系： 第二章射流中的相关电学量 2 3 射流内的电流与电场 己：! 盈+ ! 占占 ( 2 2 3 ) 因为在单位时间内通过导体截面的电量称为电流( 强度) 。从垂直于电流方 向的单位截面上流过的电流强度称为电流密度。只要导体内存在电场，就有电 流。电流密度了与电场强度豆之间存在关系： 歹= 髓( 2 3 1 ) 此式称为微分形式的欧姆定律。式中，k 是电导率。导体的电导率大，电介质 的电导率小。 第三章轴对称带电射流的控制方程 第三章轴对称带电射流的控制方程 假设射流为极细长的轴对称粘性流体。射流不可压缩，射流的截面为圆形。 本章以射流的半径、电场、表面电荷密度和速度为未知量，得到一组封闭的控 制方程。并且用渐进展开法将该方程组一维化。 3 1 射流在电场中所受的电场力 射流作为一种漏电介质( l e a k yd i e l e c t r i c ) ，在电场中会被极化，同时射流 表面带净电荷，运动的射流在电场中要受到电场力的作用。反过来，介质的运 动和变形又会引起极化状态的改变，从而引起电场的改变。可见，电场中射流 运动是介质运动和电场相互作用的电流体现象。 、 、 y r rz 图3 1 射流微元体受力示意图 电介质的极化导致两种宏观结果。 其一是在表面或界面产生极化电荷，其 二是在体积内产生电偶极予。电场对体 内电偶极子的再作用形成体积力。电场 对表面极化电荷和净电荷的作用形成 表面面积力。 由于被极化后产生了电偶极子，所 以射流内部存在电场。电场能量的梯度 构成电场体积力。其体密度的表达式【5 0 】 g = v 三( 占一虿) e e ( 3 ， 式中，g 是电场体积力，e 是射流内电场，占和f 分别是射流流体和射流外空气 、 、 的介电常数。 对于轴对称问题，通常采用圆柱坐标，且所有变量与极角。9 无关。沿射流轴 线设置z 坐标，向下为正，如图3 1 示。则在圆柱坐标和轴对称条件下，电场体 积力的分量形式是 第三章轴对称带电射流的控制方程 g ，= 去p 万) a ，( 巨耳+ 芝最) ? ( 3 i 2 ) 1 q = 去p 一手) a ：( 耳耳+ 疋尼) 式中，耳= 耳( ，z ，f ) 和e = e ( ，乃t ) 分别是轴对称射流的内部电场强度e 的径 向和轴向两个分量。 再看电场表面力。设射流表面的单位外法线矢量用一表示，则作用在射流表 面的面积力矢量为 5 0 1 t = ( 栉面) 露一( 脬e e ) e ( 3 i 3 ) 式中，雷是紧靠射流表面的外部空气内的电场。本文中凡带上横线的物理 量均定义在外部空气介质中，如图3 2 示。表面力的法向分量是 露= t 。脬= 璃晟一占e e ( 3 i 4 ) 设射流表面的单位切向矢量用f 表示，则表面面积力的切向分量是 霉。= r f = ( 碱露一线置) ( 3 1 5 ) 据式( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 内外法向、切向电场的关系，式( 3 1 4 ) 可以化为 巧= 去( 占2 e , 2 + 0 2 + 2 僭e ) 一i is e 2 ( 3 1 6 ) 因为盯占e1 5 2 ，所以上式可 略去含e 的项，变为 野= 盯2 万 ( 3 i 7 ) 式( 3 i 5 ) , - - f 以化简为 霉= d 互 ( 3 1 8 ) 式中。为净电荷面密度。 又因为射流极细，表面锥度很 小，所以可以近似认为切向就是轴 图3 2 射流界面示意图 第三章轴对称带电射流的控制方程 向，法向就是径向。在射流内就是 e 。= e r 帮e | = e z 在射流表面外侧紧靠射流的区域也有 互= 耳和互= 豆 表面力的切向分量表达式( 3 1 8 ) 可以改写为 t ：= o e i 3 2 电场射流的n a v i e r - s t o k e s 方程 ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 1 ) 假设射流为不可压缩牛顿流体。射流满足全部流体力学方程，包括动量平 衡、质量守恒定律、牛顿流体本构关系以及射流表面的力学边界条件。在电学 方面，射流电介质的内部电场要满足g a u s s 定律。此外，因为射流表面是两种电 介质的界面。跨越表面，还要满足电场的界面连续条件。它们最终归结为一个 方程。推导如下。 流体的动量平衡方程是 d ， p 焉护f l 娟| ( 3 2 1 ) 式中，p 是流体的质量密度，f 是重力场对于流体所产生的每单位质量的体积 力分量，g ，是静电场对于流体电介质所产生的每单位体积的体积力分量，是 应力分量，v ，是流体速度分量。因为流体速度是指流经空间某点的流体质点速 度，所以是空间坐标五和时间t 的函数，即有v ，= 1 ，h ，f ) 。而为了表示流体质点 n 的加速度，必须固定流体质点对时间求导，故式( 3 2 1 ) 中采用物质导数芒。用 肼 物质坐标z 表征流体质点，则物质导数和普通导数的关系是 第三章轴对称带电射流的控制方程 鲁= 割。嘛，f ) 专+ 噜 限制所讨论的流体是不可压缩的。不可压缩条件是 h j = 0 不可压缩牛顿流体的应力应变率关系是 t 4 = 2 ”s 4 一p 6 4 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 式中，p 是静水压力，岛是应变率，是流体的粘性系数应变率和流速的关 系是 岛= 丢( ”_ ，) 将式( 3 2 5 ) 代入式( 3 2 4 ) 得到应力- 流速关系 ( 3 2 5 ) 勺= ( + v j j ) 一p 磊 ( 3 2 6 ) 式( 3 2 2 ) 和式( 3 2 6 ) 代入式( 3 2 1 ) ，得到用流速和压力表示的不可压牛顿流体动 量平衡方程 户( 鲁+ 鼍) = 孵一乃+ 乃+ g ( s 2 j ) 对于轴对称问题，只有两个角标对应关系：而= r 和毛= z - 。同时，轴向速度分 量为零，即有v 2 = = o ，另外两个分量是v 1 = v ，( r ，z ，f ) 和b - - - - v z ( ，z ，) 在圆柱坐标和轴对称条件下，拉氏算子【5 3 l 对流速的作用有表达式 式中， 诉( 吣軎) 讪嘱 拉簧七昙弓 ( 3 2 9 ) 第三章轴对称带电射流的控制方程 在n a v i e r - s t o k e s 方程中的重力场体积力只有沿z 轴的分量e = p g 。电场体 积力的表达式由式( 3 1 2 ) 给出。 把式( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 代入( 3 2 7 ) ，得到轴对称的动量平衡方程 p ( 或v ，+ 咋a ，v ，+ 匕a ：v ，) = - a + ( a 缔+ 吾a ，咋+ 箧咋一专v ， + g ，( 3 2 1 。a )p ( 或v ，+ 咋a ，v ，+ 匕a = v ，) = - a + 【a 缔+ 吉a ，咋+ 箧咋一专v ，j + g ，( 3 2 1 0 a ) 户( 4 匕+ 帕匕+ 幔匕) = - a ( 魄+ 屹+ 魂) + 昭+ q ( 3 2 1 0 b ) 在圆柱坐标和轴对称条件下，不可压缩条件( 3 2 3 ) 成为 1 v _ ，= b j = a ，l + 二0 + a ：匕= 0 ， 作为静电场，电场强度e 满足g a u s s 定律：v e = 居。其中， 强度e 所在地点的电荷体密度。在射流内部，因为没有电荷，所以 1 、e = e = 8 r e r + 三r e r + 8 z e z = q ( 3 2 1 1 ) 是电场 ( 3 2 1 2 ) 对于细长圆柱形射流，射流半径相对于长度很小，所以可以把屹，p 和轴 向电场e 按照幂级数写成如下分离变量形式 匕= 匕( r ，z ，f ) = ( z ，f ) + 九、( 毛f ) + ，2 v 2 ( z ，) + ( 3 2 1 3 a ) p f p ( r ，z ，f ) = p b ( 乃t ) + r p l ( z ，r ) + ，2 p j ( z f ) + 巨= e ( ，z ，f ) = 巨o ( z ，f ) + r z ，) + ，2 e 2z ，f ) + ( 3 2 1 3 b ) ( 3 2 1 3 c ) 至于径向流速v r 的展开式，可以通过把式( 3 2 1 3 a ) 代入不可压缩条件( 3 2 1 1 ) 而得到。这是因为有 a r v ，+ ! rv ，= 1 ，l 卯f ，a = 句：屹= 叫一九_ r 2 呓+ ( 3 2 1 4 ) 所以 咋( 郴，r ) = 一圭喇一；r 2 1 j f 一，1 呓 ( 3 2 1 5 ) u 第三章轴对称带电射流的控制方程 同秤，础钿同黾场乜阴展升甄( 3 2 1 3 c ) 代八g a u s s 尼埋【3 2 1 2 ) 也口j 趴得到佐l 可电 场e 的类似展开式 e ( ，z ，r ) = 一丢旭：。一吾，2 蜀一i 1 ，3 彰： ( 3 2 1 6 ) 本文中，以下符号混杂使用：( ) ，= 吃( ) = 掣。同样，以下符号也视方 便而任意使用：( j = b ( ) = 号。 把电场展开式( 3 2 1 3 c ) 和( 3 2 1 6 ) 代入电场体积力表达式( 3 1 2 ) 中，得电场体 积力的展开式 g ，= q 。+ ，g r ，+ = p 一享) 丘。e 。+ ，( 占一万) g 露+ 爵+ e 。e ：) + ( 3 2 1 7 a ) q = 瓯+ 蝇。+ = 见巴( s 一万) 砭 + ，见 p 一万) 如e 。 + ( 3 2 1 t o ) 把展开式( 3 2 1 3 b ) 、( 3 2 1 5 ) 和( 3 2 1 7 b ) 代入轴向动量平衡方程( 3 2 1 0 b ) ，得 到 d + 啊+ + ( 一圭喇一吾r 2 q + ) “+ 2 + ) + “+ 一+ ) ( + 叫+ ) = 一磊一耐+ 4 2 屹+ + 吾“+ 2 m + ) + 瞄+ 川+ 1 + 昭+ 见罡p 一云) 懿2 ( 3 2 1 8 ) 令式中，的同次幂的系数相等，可得以下两个方程 ，- 1 ：v = 0 f 3 2 1 9 ) ，o 如+ 一届州4 屹+ 昭也阻卅2 ( 3 2 2 0 ) 第三章轴对称带电射流的控制方程 还可以写出更高阶的等式，但我们只要求，o 级近似，所以只取前两阶就足够了。 可以看出，轴向平衡方程( 3 2 2 0 ) 中的电力项来自电场体积力的轴向分量。 由式( 3 2 1 9 ) 知v z 的展开式( 3 2 1 3 a ) q p 没有一次项，v r 的展开式( 3 2 1 5 ) q p 没有 二次项，即 屹= + ，2 v 2 + 一三嘣一* + 叫1 把展开式( 3 2 2 1 ) 代入径向动量平衡方程( 3 2 1 0 a ) ，得 p 一圭哺+ + ( 一丢九t + ) ( 一三，+ + ( ，o + ) ( 一三门岳+ ) i 干雾4 瓣寸( 扣悄瓣1 协) 2 2 )斗沁一黪中咖心巾) + 专( 扣i 卅“) r + ( 占一万) e o e 。+ 同样，令，的同次幂的系数相等，可以得到 ，o ：p l = p 一万) e o e 。 因为在式( 3 2 1 8 ) 中只取到，o 级展开方程，所以这里为保证同样精度，只需要从 式( 3 2 2 2 ) 中提取式( 3 2 2 3 ) 就够了。 可以看出，式( 3 2 2 3 ) 是径向平衡方程。它反映了流体压力和径向电场体积 力之间的平衡关系。 这样，我们就把一组动量平衡方程( 3 2 1 0 ) 简化成了一组具有r o 级近似的动 量平衡方程( 3 2 2 0 ) 和( 3 2 2 3 ) 。 然而，在方程组( 3 2 2 0 ) 矛1 1 ( 3 2 2 3 ) 中还含有高阶分量v 2 、a 和e 。，应该设 法消掉。使得其中只含0 阶分量、p o 和e 。消除的办法是从射流表面的力学 边界条件入手。 射流表面的力学边界条件是 第三章轴对称带电射流的控制方程 一，( 击+ 廿巧 j 删= 彳( 3 2 2 4 b ) 式中，是流体的表面张力系数，墨和也是射流表面的主曲率半径。主曲率半 径与半径胄之间有关系 i 1 彳1 r ( 1r 可一南1 r 2 2 5 ， 局马+ 。rf + “r 、 其中，射流半径 r = r ( z ，r )( 3 2 2 6 ) 是未知函数。群和彳是电场表面力的法向和切向两个分量。把表达式( 3 1 7 ) 和 ( 3 1 8 ) 代入式( 3 2 2 4 ) ，得到 吖( 击+ 廿西0 , 2 蚴，的 r i f t = o e zq 2 2 7 b ) 下面求上式左边的射流表面处的应力表达式。这只要把流速匕和咋的展开 式( 3 2 2 1 ) 代入应力一流速关系( 3 2 6 ) ，再令其中的r = r 即可。结果是 f ，= 一弘吒一p o r p 、 毛= 2 “一岛一确 乃= 置( 一丢，+ 2 ，t ) 又，射流表面的方向矢量是 露= 而1 雾( 。，州) 和f = 而1 1 r-需-_(f，1r ) 露= 产2 = = = = i ，一代。l a f = 一i ，i l + r 陀、。 7 、，l + 比、。7 ( 3 2 2 8 a ) ( 3 2 2 8 b ) ( 3 2 2 8 c ) ( 3 2 2 9 ) 第三章轴对称带电射流的控制方程 把式( 3 2 2 8 ) 和( 3 2 2 9 ) 代入沿法向的力学边界条件( 3 2 2 7 a ) ，左边成为 而1 ( 1 卅) 眨乏n ) m 。铷匕= 州一胁一觑+ ( 3 2 s 0 ) 左右相等，得到一个关系式 风= ，怯+ 击 _ 州一丢一i 1 ( g 一万) e 2 一觑 ( 3 2 ，- ) 其中，电力项来自电场表面力的法向分量。 同样，把式( 3 2 2 8 ) 和( 3 2 2 9 ) 代入沿切向的力学边界条件( 3 2 2 7 1 ) ，左边成 为 ( 1 叫z 郴卜删( 。叫= - 3 , r e o 一三肚嵋+ 础吃( 3 2 3 2 ， 把e 的展开式( 3 2 1 3 e ) 代入右边后等于a t 。+ 月盯e 。左右相等，得 2 j 啦= 3 p r v o + 去置嵋+ 盯e o + 仃r 艺l ( 3 2 3 3 ) 式中，电力项来自电场表面力的切向分量。式( 3 2 3 1 ) 和( 3 2 3 3 ) 虽然是根据边界 条件推导的，但在问题的全域内都成立。 在式( 3 2 3 1 ) 和( 3 2 3 3 ) 的推导中，假设射流半径很小，半径变化也小，故认 为含有量r 2 、r “和p o t 以及更高幂次的项是高阶小量，都略去了。 在3 个等式( 3 2 2 3 ) 、( 3 2 3 1 ) t 丢1 1 ( 3 2 3 3 ) 0 0 ，有3 个未知函数v 2 、a 和。 解之，则它们都可以用0 阶量表示。把“的表达式代入沿轴向的动量平衡方程 ( 3 2 1 8 ) ，就可以得到只含未知函数、p o 、e 。和r 的最终方程。 但这样得到的结果会很复杂。我们作以下简化。 我们从切向力学边界条件( 3 2 3 3 ) 的简化入手。在此式中，我们先认为射流 受到的电场力远远大于粘性力，即含仃项是大量，不论怎么简化，它总要保留， 力学量都很小，略去，只保留电学量。这样，式( 3 2 3 3 ) 就简化成 尼= 一e 二 ( 3 2 3 4 ) 代入式( 3 2 2 3 ) 后可以求出a ，再代入压力表达式( 3 2 3 1 ) ，得 第三章轴对称带电射流的控制方程 岛= ，怯+ 击 - “一嘉岛叫情+ i 厂瞒一万 把下标略去，并记为，疋。为e ，则上式可最终写成 ( 3 2 3 5 ) p = ，( 击+ 击 一一万o 2 c s 2 3 囝 再回到式( 3 2 3 3 ) ，现在采用第二个简化方案，即舍去电学小量r o e ：。由 此可以解出v 2 ，为 和j = 3 z r v o + 去r 嵋+ 仃e o ( 3 2 3 7 ) 把上式代入轴向动量平衡方程( 3 2 i s ) ，两端同除p ，可得含有压力p 作为 未知函数的动量平衡方程 聃= 一扣埘s y 掣州+ 等+ 烈妒班2 ) 2 邡， 上式中，为了简便，略去了下标，y = p i p 是流体的动力粘度。 还可以把式( 3 2 3 6 ) 代入式( 3 2 3 8 ) 以消去压力p ，得到不含压力p 作为未知 函数的动量平衡方程 a f v + 以考簧埘萨3 v 凇纠+ 等+ 万1a ；( 豺万1a ：( 扣班2 ) 3 3 本文结果与文献十结果的比较 ( 3 2 3 9 ) 文献1 0 得到的不含压力p 的带电射流的动量平衡方程与本文的结果一致。 但是，文献1 0 得到的压力表达式为 p = ，怯+ 廿丢t ( 扣州 。3 ， 第三章轴对称带电射流的控制方程 该式与式( 3 2 3 6 ) 相比t t -