（光学专业论文）超短脉冲光束及空间诱导色散性质研究.pdf

摘要 随着激光技术的快速发展，实验中已经可以得到接近光学振荡周期的超短激 光脉冲此类脉冲的时间和空间部分在传输过程中会相互耦合、相互影响，从而 带来一系列的新的传输效应，成为当今激光领域的一个研究热点 本文在理论上研究了超短激光脉冲光束的传输问题，并给出了数值模拟结 果本文共分五章：第一章为前言；第二、三、凹章介绍了作者在硕士研究生期 间做的部分工作；第五章为结束语具体内容安排如下： 第一章：简要回顾了超短激光脉冲光束进展及其性质 第二章：首先介绍了p o r r a s 提出的超短脉冲光束表达式和复解析信号理 论然后分析了超短无啁啾和啁啾脉冲光束常用的复振幅包络表达式和缓变包络 近似带来的空间奇异性结果表明，对于脉冲宽度较长( 相对于一个光学周期) 的超短无啁啾脉冲光束可以使用缓变包络近似和复振幅包络表达式但是对于啁 啾脉冲光束，啁啾导致的脉冲光谱展宽仍然会导致脉冲光束的空间奇异性，脉冲 啁啾比脉冲长度对脉冲空间奇异性出现的影响更大令啁啾系数为零，则我们的 结果可以演化为p o r r a s 等人关于无啁啾脉冲光束的结果 第三章：从超短高斯脉冲光束出发，用理论解析推导的方法，给出了一组新 的超短脉冲光束的解析解，即p u l s e de l e g a n th e r m i t e g a u s s a i nb e a m s ，此脉冲光 束解的每个频率分量都是e l e g a n th e r m i t e g a u s s a i n 光束，时问脉冲的形状是任意 的，具有相同的衍射距离参数，并且可以描述短于一个光学周期的超短脉冲文 中分析了p u l s e d e l e g a n th e r m i t e g a u s s a i nb e a m s 的轴上光强、光强的横向分布、 等衍射、脉冲极性反转、脉冲延迟等性质讨论了引入缓变包络近似后出现的时 空奇异性等 第四章：研究了自由空间中超短b e s s e l 、b e s s e l g a u s s 等脉冲光束的空问诱 导色散数值模拟的结果表明，只要相应的衍射距离大于空间诱导色散的距离， 空问诱导色散理论可以很好的描述脉冲的演化过程；利用空间诱导色散可以补偿 介质色散，从而可咀在色散介质中实现无衍射无色散的类时空孤子的传输 第五章：结束语 关键词：超短脉冲光束，缓变包络近似，时空耦合，空间奇异性，空_ f n j 诱导色散 a b s t r a c t t h er a p i da d v a n c e so fl a s e rt e c h n o l o g yi nt h ep a s tf e wd e c a d e sh a v em a d et h e p r o d u c t i o no fe x t r e m e l ys h o r tl a s e rp u l s e s ，c o n t a i m n go n l yaf e w , e v e no n l yo n eo r n e a r l yo n e ，c y c l e so fo p t i c a lo s c i l l a t i o n s ，w h i c h l e dt o m a n yn e wq u e s t i o n s i n u l t r a s h o r tp u l s e dl i g h tb e a m sp r o p a g a t i o n ，g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h e s p a t i a la n dt h e t e m p o r a lp a r t so f t h ew a v ea r en o ts e p a r a b l e ，a n dt h es p a t i a le v o l u t i o nc a na f f e c tt h e t e m p o r a lb e h a v i o r , a n dv i c ev e r s a ，e v e ni nf r e es p a c e t h e r e f o r et h es t u d yo ft h e u l t r a s h o r tp u l s e db e a m sh a sb e e naf o c u so f t h es c i e n t i f i cr e s e a r c h i nt h i st h e s i sw e s t u d yt h ep r o p a g a t i o no f t h eu l t r a s h o r tp u l s e db e a m s b y t h e o r e t i c a l m e t h o da n dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h et h e s i si s c o m p o s e do f5c h a p t e r s ，a m o n g w h i c ha r e ，c h a p t e r1i sas u r v e y , c h a p t e r2 ，3 ，4a r et h ei n t r o d u c t i o n so fo u ro w n w o r k ，a n dc h a p t e r5i sac o n c l u s i o n t h et h e s i si ss t r u c t u r e dp a r t i c u l a r l ya sf o l l o w s c h a p t e r1 ：t h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i e ds i g n i f i c a n c eo f t h eu l t r a s h o r tp u l s e db e a m a r ei n t r o d u c e d c h a p t e r2 ：t h eb a s i c se q u a t i o n sa n dt h ec o m p l e xa n a l y t i c a l s i g n a lt h e o r ya r e i n t r o d u c e d p o r r a sa n df ue ta lp r o p o s e dt h a ts l o w l y v a r y i n ge n v e l o p ea p p r o x i m a t i o n a n dt h ec o m p l e x a m p l i t u d ee n v e l o p ed o n tf i ta n y m o r ef o rt h eu l t r a s h o r tp u l s e db e a m s h o r t e rt h a no re v e nn e a rt oo n eo s c i l l a t i o n o p t i c a lp e r i o d ，b e c a u s et h e yl e a dt oa s p a t i a ls i n g u l a r i t y w es t u d yt h ep r o p a g a t i o no fu l t r a s h o r tc h i r p e dp u l s eb e a m si nf r e e s p a c e t h er e s u l t ss h o w t h a tt h ec h i r pi n f l u e n c e do nt h es p a t i a ls i n g u l a r i t ym o r et h a n t h ew i d t ho ft h ep u l s eb e a mi f a s s u m i n gt h ec h i r p e dp a r a m e t e ri se q u a lt oz e r o ，o u r r e s u l t sd e d u c et o 也a to f p o r r a s c h a p t e r3 ：w ef i n d af a m i l yo fs o l u t i o n so ft h e p a r a x i a lw a v ee q u a t i o nt h a t r e p r e s e n t s u l t r a s h o r t p u l s e dl i g h tb e a m sp r o p a g a t i o ni nf r e e s p a c e t h e s ep u l s e d b e a m sh a v ea na r b i t r a r yt e m p o r a lf o r ma n da n e a r l ye l e g a n th e r m i t e g a u s s i a nc r o s s s e c t i o n ，w h i c hp u l s e db e a m sw ec a l lt h eu l t r a l s h o r tp u l s e de l e g a n th e r m i t e g a u s s i a n b e a m s t h es o l u t i o nw i t hac e r t a i nf r e q u e n c yi sa ne l e g a n th e m i t e g a u s s i a nb e a m ， a n dt h e i rd i f f r a c t i v ed i s t a n c e sa r ea l s os a m e i nt h i s c h a p t e r , w eg i v es o m eb a s i c p r o p e r t i e sa b o u tt h ep u l s e d b e a m s c h a p t e r 4 ：t h es p a t i a l l yi n d u c e dg r o u p v e l o c i t yd i s p e r s i o n ( s i g v d ) o f t h ep u l s e d b e s s e l ，b e s s e l g a u s sb e a m sp r o p a g a t i n gi nf r e es p a c e i ss t u d i e d t h es i m u l a t i o n r e s u l t sh a v es h o w nt h a ts i g v do ft h e t e m p o r a lp a r t i so b s e r v e dw h e nt h e d i f f r a c t i o n - f r e ed i s t a n c ei sl o n g e rt h a nt h ed i s p e r s i o nl e n g t ho fs i g v d s i g v dc a r l b eu s e dt o c o m p e n s a t e t h e d i s p e r s i o n o fm e d i u m ，a n dad i f f r a c t i o n f r e ea n d q u a s i d i s p e r s i o n f r e ep u l s e db e a m ，s i m i l a r t oa s p a t i o t e m p o r a ls o l i t o n ，c a n b e p r o d u c e d i nad i s p e r s i o nm e d i u m c h a p t e r5 ：s u m m a r i z i n gt h ec o n t e n t so f t h et h e s i s k e y w o r d s ：u l t r a s h o np u l s e db e a m s ，s l o w l yv a r y i n ge n v e l o p e a p p r o x i m a t i o n ， s p a t i o t e m p o r a lc o u p l i n g ，s p a t i a ls i n g u l a r i t y , s p a t i a l l y i n d u c e d g r o u pv e l o c i t y d i s p e r s i o n 致谢 在即将完成我的硕士学业之际，我要衷心地感谢每一位关心和帮助过我的老师、 同学、朋友和亲人! 没有他们的关心和帮助，我是不可能如此顺利地完成学业。 衷心地感谢我的导师胡巍教授，感谢他二年来在学习和工作上对我悉心的教导 和在生活上给予的关怀和帮助。胡老师严谨求实的科学作风和精益求精的工作态度 使我深受感动：他渊博的学识和敏锐的思维给我留下了深刻的印象：他致力于科研 工作的精神和严谨的治学态度是我今后的学习榜样。正足胡老巍老师的谆谆教诲利 耐心地帮助促使我在科研道路上一步步前进! 感谢郭旗教授、郭弘教授、刘承宜教授在我攻读硕士期间在科研工作上给我的 指导和帮助。感谢我读本科期问王丽教授带我走入了激光领域的大门。 感谢贺浪萍老师和马楚华老师在工作上和生活上给予的无微不至的关怀和帮 助，佳我能安心的学习和工作。 感谢我的合作伙伴陆大全同学和郑一周同学。二年的朝夕相处，我们一起分享 学习和生活上的快乐，也一起克服困难，使我们之间建立起了真诚的合作利友谊。 感谢所有的师兄、师姐、师弟和师妹。我将非常怀念我们一起度过的快乐时光。 特别感谢抚养我成长的父母和处处给我鼓励和支持的哥哥。我的进步离不开他 们给我的无私的爱。 谁言寸草心，报得二春晖! 再次感谢所有关心、爱护我的老师、同学、朋友和 亲人! 本文受到国家自然科学摹金项日( n o 6 0 2 7 8 0 1 3 ) ，广东省自然科学基金团队 项目( n o 2 0 0 0 3 0 6 1 ) ，教育部霍英东教育基金会( n o 8 1 0 5 8 ) ，国家高技术研 究发展计划专项经费资助。 第一章：前言 第一章前言 激光是一个新兴的科学领域从第一台红宝石激光器的产生到现在也不过四 十多年，但其发展十分迅速随着激光技术的飞速发展，人们在激光领域取得了 巨大的成就激光技术已经在光通信、激光测量、光信息存储、国防、【_ _ = 业、农 业等各个领域发挥了不可替代的作用就激光脉冲来说，人们能够制造的脉冲宽 度越来越短目前已经可以制造出接近甚至不足一个光学振荡周期的激光脉 冲超短脉冲光束由于脉冲宽度极短，所以它的传输过程有许多新的特点近年 来，超短激光脉冲光束成为当今激光领域的一个研究热点 1 1 超短激光脉冲光束回顾 目前，人们已经可以得到只包含几个光学振荡周期甚至一个或不足一个光学 振荡周期的激光脉冲，从而引发了许多新的问题对于长周期脉冲传输，在标量 和傍轴近似下的衍射理论就可以很好的描述只有空间变量的光束的传输但 对于超短脉冲光束的传输，包含了时问和空间变量的激光传输理论不得不被考虑 【5 ”在理论上，已经有一系列方法和技术很好的讨论了超短脉冲的传输，比如 傍轴近似、标量近似、矢量分析、缓变包络近似( s l o w l yv a r y i n g e n v e l o d e a p p r o x i m a t i o n ，s v e a ) 以及复解析信号理论( c o m p l e xa n a l y t i c a ls i g n a lt h e o r y , c a s ) 等等 利用标量和傍轴近似得到的解析解中最明显和最重要的一个特性是，即使是 在自由空间中传输，激光脉冲光束在传输过程中由于时空耦合也会导致脉冲光束 的形状改变。”由于高斯函数的特殊性质，所以大多数研究也是基于高斯脉冲， 并且p o r r a s 等人发现了一系列的脉冲高斯光束解析解： e ( r ，2 ，f ) 音，卜面1 2 其中可以很容易地发现时空耦合关系陋1 8 ，3 2 1 此解是缓变包络近似后的结果对 于超短脉冲光束会有不符合物理意义的空间奇异性出现冈此，另外一种特殊的 方法被用于得到符合物理意义的超短脉冲光束解析解，这种方法就是复解析信号 理论【2 这两种方法各有自己的优点1 6 “】，同时也有各自的不足之处概括地来 第一章：前言 说，缓变包络近似方便实用，但不适用脉冲宽度极短的脉冲光束；复辑析信号理 论虽然可以适用于脉冲宽度任意短的脉冲光束，但其计算复杂自由空间中心频 率在太赫兹( t e r a h e t z ) 的半周期脉冲通过小孔和通过聚焦的传输问题已经被研 究 在通过小孔并传输2 0 倍的小孔尺寸的范罔内，尽管脉冲的形状发生了明 显的变化，但是时问脉冲的形状维持着单极的特性 对于超短脉冲的研究在理论上和实验上都得到或观察到了许多新的现象，例 如g o u y 相移导致脉冲对脉冲的时间不稳定性眇2 “，在任意起始时空脉冲光束形 状的远场行为的条件下证实的时间演化的普通模式l ”，”j ，以及线性均匀非色散和 色散研究的研究2 7 2 8 1 等都已被报道根据m a x w e l l 方程组，z i o k o w s k i 等人利用 理论和数值模拟的方法分析了单周期脉冲的变化规律眇”这些结果表明：f i l 聚焦光束的g o u y 相移移动导致了时间的形状改变和单周期激化反转；) 解析解 的实部和虚部之问是符合h i l b e r t 变换的，复解析信号理论也满足这个变换：f i j i l 这些傍轴近似解是开放腔的自然时空模式另外还有一些不同的方法和技巧，例 如著名的高斯光束的a b c d 矩阵【2 2 】一系列时空不能分离、横向为h e r m i t e g a u s s 或l a g u e r r e g a u s s 形状、脉宽只有单周期或几个周期的脉冲解析解也被提 出h u n s c h e 等人【2 ”利用数值模拟和实验研究了单周期太赫兹脉冲通过聚焦并解 释了聚焦单周期脉冲的畸变在g o u y 相移的影响下，脉冲形状从反对称到对称 的情况被改变，其中最主要的畸变是由于衍射的作用这个可以通过对时问范同 的衍射积分的数值模拟看出来【2 4 】 由于超短脉冲的复杂性，大部分研究工作是利用高斯函数的特殊性质假定脉 冲光束的横向分布是高斯形，但还有另一类常被用来构造脉冲光束的是b e s s e l 光束，即无衍射光束目前已有的报道有xw a v e 5 ”，脉冲b e s s e lx 波( d u l s e d b e s s e lx w a v e ，p b x w ) 盼”j ，脉冲b e s s e l g a u s s 光束( p u l s e db e s s e l g a u s sb e a m ) 1 ”】等等这些都是不同频率的b e s s e l 光束的叠加4 0 4 2 ，并部分继承了无衍射的 性质 1 2 本文的结构安排 本文的结构安排如下： 第二章：茸先介绍了p o r r a s 提出的超短脉冲光束表达式和复解析信号理 第一章：前言 论然后分析了超短无啁啾和啁啾光脉冲光束常用的复振幅包络表达式带来的空 问奇异性结果表明，对于脉冲宽度较长( 相对于一个光学周期) 的超短无啁啾 脉冲光束叫以使用缓变包络近似和复振幅包络表达式但是对于脉冲宽度较长 ( 相对于一个光学周期) 的超短啁瞅脉冲光束，啁啾导致的脉冲光谱展宽仍然会 导致脉冲光束的空间奇异性，脉冲啁啾比脉冲长度对脉冲空间奇异性出现的影响 更大给出了超短啁啾高斯脉冲光束在不同参数下的数值模拟，并利用复解析信 号理论消除了空间奇异性的出现令啁啾系数为零，则我们的结果可以演化为 p o r r a s 等人关于无啁啾脉冲光束的结果 第三章：从超短高斯脉冲光束出发，用理论解析推导的方法，给出了一组新 的超短脉冲光束的解析解，即p u l s e de l e g a n th e r m i t e g a u s s i a nb e a m s 此脉冲光 束解的每个频率分量都是e l e g a n th e r m i t e g a u s s i a n 光束，时问脉冲的形状是任意 的，具有相同的衍射距离参数，并且可以描述短于一个光学周期的超短脉冲光 束文中分析了p u l s e de l e g a n th e r r a i t e g a u s s i a nb e a m s 的轴上光强、光强的横向 分布、等衍射性质、脉冲极性反转、脉冲延迟等性质讨论了引入缓变包络近似 后出现的时空奇异性等 第四章：研究了自由空问中超短b e s s e l 、b e s s e l g a u s s 等脉冲光束的空间诱 导色散数值模拟的结果表明，只要相应的衍射距离大于空间诱导色散的距离， 空间诱导色散理论可以很好的描述脉冲的演化过程；利用空间诱导色散可以补偿 介质色散，从而可以在色散介质中实现无衍射无色散的类时空孤子的传输 第五章：结束语 第二章? 自由空间中超短晾；串光束酌传输 第二章自由空间中超短脉冲光束的传输 随着激光技术的迅速发展，人们已经可以产生单个周期或更短的激光脉冲， 这种超短脉冲光束在传输过程中其时间和空间变换具有许多新的特点，例如空问 和时间的耦合引起的时问微分效应、g u o y 相移引起的时间反转、极反转等等”。2 q ”。3 超短脉冲光束的传输有许多新特点，网而研究方法也有必要改进可以证明， 对于接近或小于一个周期的脉冲光束而言，过去通常采用的缓变包络近似 ( s l o w l y v a r y i n ge n v e l o p ea p p r o x i m a t i o n ，以下简记作s v e a ) 已经不再适用” ”“j ， 常用的复数表达式方式，即e 指数加复振幅包络的表示方式( c o m p l e xa m p l i t u d e e n v e l o p e ，以下简记作c a e ) 也不再适用此时，脉冲光束传输的研究必须廊用严 格的复解析信号理论口1 ( c o m p l e xa n a l y t i c a ls i g n a lt h e o r y ，以下简记作c a s ) 鼢- 法p o r r a s 和傅等人【1 6 , 3 4 提出了要用c a s 的方法来研究超短脉冲的传输问题其 实，这种方法的提出是早于s v e a 的方法提出来的但由于当时没有出现超短脉 冲，凶此，s v e a 得到的解在物理上并无矛盾，只是随着超短脉冲光束的出现，s v e a 的局限性才表现出来，其中最典型的就是脉冲光束的奇异性的出现所谓超短脉 冲空问奇异性就是指，但远离光束中心时，光强e 并不是按物理上的要求趋向于 零，而是变的无穷大，这显然是不符合实际物理意义的导致超短脉冲空问奇异 性的原凶就是使用了s v e a ，而解决的方法就是使用c a s 理论 本章介绍了单周期或更短的超短无啁啾脉冲光束和啁啾脉冲光束在真空中的 传输特性以及s v e a 理论的失效及其失效的原因这里我们所说的单周期是指的 脉冲的光学延迟( 习惯用半高全宽或者1 p 高度时的宽度来度量) 等于脉冲的光学 周期比如波长为8 0 0 n m 的红外激光的光学周期z 的计算为： 瓦= 鲁= i 8 0 石0 x 而1 0 - g m = 2 6 7 必。o2 i 2 薮而2 26 协 所以对于5 4 f s 的脉冲而言，只有不到两个周期，这种激光可以用锁模激光器得到 已有的文献结果表明，s v e a 理论导致了脉冲光束解的空问奇异性，在物理上使 得脉冲光束不再具有符合物理意义的光束行为，当脉冲不是超短时，该理论所导 致的空间奇异性可以忽略，在物理上光束具有符合物理意义的行为p o r r a s 和傅等 人3 4 1 对超短无啁啾脉冲光束进行了研究，结果表明，s v e a 理论是否适用的界 限是，如果超短无啁啾脉冲光束的脉冲宽度大于一个光学周期，则可以使用s v e a 窒兰墨生堕窒塑塑壑塑燮生堕丝堑 理论，由s v e a 理论带来的空间奇异性可以忽略：而对于脉冲宽度小于一个光学 周期的超短无啁啾脉冲光束则必须使用c a s 理论，s v e a 理论不再适用我们对 超短啁啾脉冲光束进行了研究，结果表明，对于脉冲宽度( 相对于一个光学周期) 较宽的超短啁啾脉冲光束，啁啾导致的脉冲光谱展宽仍然会导致脉冲光束空间奇 异性的出现脉冲啁啾比脉冲长度对脉冲光束空间奇异性的影响更大，对于脉冲 宽度为十几个甚至几十个光学周期的大啁啾脉冲光束，空问奇异性仍然可以出 现同时我们给出了判断s v e a 是否适用的判别公式，如果令公式中的啁啾系数c 等于零，则和p o r r a s 及傅等人的结果是相同的 2 1 超短脉冲光束的普遍表达式和基本分析 对于经典和半经典光学，m a x w e l l 方程组可以很好地描述一切光传输现象由 m a x w e l l 方程组得到的波动方程为： f v 2 一上c 2 兰3 t2 ) 1 e ( 吲) = 。， ( 2 _ 1 ) 其中，= z 2 + ，v 2 是横向l a p l a c e 算子，c 是脉冲光束在真空中传播的速度在 单周期或几个周期的超短脉冲光束传输的过程中，脉冲在一个脉冲宽度的时问r 内的纵向传输距离为c r ，其数量级与脉冲光束的波长勺相二。j ，即c 乃引入 移动坐标 c = z f = t z c 卜芳毒杀心即印 z ， 砖即喜) 1 眦班跏) i 融二“如怎甜，f _ 他。3 窒兰垄：旦堕茎塑塑塑i 垫燮墨丝丝 ( v - 2 i k ( 珊) 势( r ，噼。 ( 2 _ 4 ) 此式即是对不同频率的傍轴方程，所以由熟知的傍轴方程的高斯光束解，可以得 到光场在频率域中的一个脉冲高斯光束的解： 啦力= 去 者c 咖十卜南舯 亿s ， 其中g ( ) = z - - i z 。( ) ，( ) = 女( 珊) 堀2 为高斯光束r a y l e i g h 距离，w o 是光束 束宽，p ( ) 是频率域空问初始时( = = o ) 的轴上光强由上式可以看出这个积分无 一般解实验中得到的锁模激光光束满足z 。与频率无关，从而可以得到解析解： 其中 e ( r ，z ，f )一生p 口 、 7 ( 2 6 ) p ( f ) 5 去弘蚓捌) 胁 弦。， 2 c q c 2 c q 此即p o r r a s ”1 给出的超短脉冲高斯光束( u l t r a s h o r tp u l s e dg a u s s i a nb e a m 以下简 记作p g b ) 注意，在这里，如果我们仍然使用c a e 或s v e a 理论的复数表达式， 则( 2 - 5 ) 式会出现空问奇异性而解决空间奇异性出现的方法是使用c a s 理论的 复数表达式，即构造光场实函数p ( f ) 所对应的c a s 复表示形式p t ) 利用上面的方法，在傍轴近似条件下，能得到的光束的具体表达式很少，上 述高斯光束是其中一种，另外还可以得到的解析解h e r m i t e g a u s s 等特殊函数，这 些特殊函数都与高斯函数有关，称之为类高斯光束对于m ，n 阶的h e r m i t e g a u s s 光束而言，有， 即m 咖( 一q l 字以( 序m 厣 陋s ， 其中+ 表示复共轭运算如果对( 2 8 ) 式做逆f o u r i e r 变换，原则上就可以得到超 短h e r m i t e - g a u s s 脉冲光束这种类高斯光束要求z 。与时间频率珊无关，则参数 g ( ) 也与时问频率无关，这种情况就是最近几年引入的“同衍射”脉冲 6 箍二章? 自由空间中超短晾；串光束的传输 ( i s o d i f f r a c t i n g p u l s e ) ，即通过“同衍射光阑”( i s o d i f f m c t i n ga p e r t u r e ) 来提高脉冲 光束的方向性和效率，它使脉冲光束的所有频率成分都有相同的准直距离最近， 有人指出“同衍射”脉冲的产生是曲面镜谐振腔的时空模式h e y m a n 等人已经产 生了一系列的有着普遍特征的“同衍射”脉冲光束 现在我们来分析一下上面用到的傍轴近似条件的可行性，对方程( 2 - 3 ) 做逆 f o u r i e r 变换，可得， 即有 和 i 掣l 陪 i 掣| | 掣i ( 2 9 ) 所以方程( 2 - 9 ) 式成立要求c 乃白显然，冈为z 。五一c l ，所以傍轴近似条 件是可行的 2 2 复解析信号理论( c o m p l e xa n a l y t i c a ls i g n a lt h e o r y ，c a s ) 2 2 1 求解复解析信号( c a s ) 的步骤 假设表征光场的实函数为p ( f ) r ( 实数域) ，而它所对应的c a s 表达式为 p ( f ) z ( 复数域) ，则p ( f ) 可以按下面的三个步骤求得 第一步，求得p ( f ) 的f o u r i e r 变换p ( m ) ，即， p ( ) = 击 p ( r 广西 ( 2 _ 1 0 ) 第二步，求得p ( t ) 的f o u r i e r 变换p ( ) ，它与p ( ) 的关系是， j d ( ) = 2 p ( w ) e ( a , ) ( 2 1 1 ) 其中目( 珊) = 艺三：是h e a v i s i d e 阶梯函数这种关系保证了只有信号的正频 率信息被保留下来事实上，由于p ( 一) = p ( ) ，闪而所谓的负频率部分并 盟，刊刊 掣 掣掣 a y _ 箍二章? 自由空间中超短晾；串光束的传输 没有携带正频率分量信息之外的任何信息所以只要取正频率部分所构造的谱 函数尸( 珊) 就可咀完全表述p ( t ) 的谱性质 第三步，通过p ( 国) 的逆f o u r i e r 变换求得p ( t ) ，即： 厅 p ( r ) 2 去r p ( ) e x p ( 一f 删) 拍2 、昙f p ( ) e x p ( 一耐) d 珊( 2 - 1 2 ) 由以上的步骤求得的复变函数p ( t 1 是解析的并且是准单色光场复数表示的自 然推广，可以有效地避免准单色光场的缓变包络近似所引起的空间奇异性它最 早被提出时是为了在通信工程的研究中应用后来，b o r n 和w o l f 等1 2 】把它应用到 了光学领域，由于最近几年超短脉冲光束的出现，c a s 理论被广泛地应用到了超 短脉冲传输理论研究中以避免空间奇异性的出现”。2 3 2 ” 2 2 2 复解析信号( c a s ) 的主要性质 这里给出c a s 的一些主要性质和一些相关的重要关系式 1 p ( f ) 是一个解析和非奇异性的复变函数，并且有p ( f ) = r e p ( z ) = p ( ) 表2 1 常见h i i b e r t 变换函数组 ，( x ) f ( t ) c o s xs i n t s l n xc o s f s 1 n 工c o s t 一1 j 1 1 + 工。1 + t 2 j ( x ) _ j r f 篡箍1 协 p ( r ) = 一i p 警r 8 锥二章? 鲁由空间中超短晾；串光束的传输 其中j p 代表c a u c h y 积分主僮这个关系的严格证明比较复杂 表2 - 1 中给出一些常用函数的h i l b e r t 变换设( x ) 的h i l b e r t 变换为7 ( f ) ， 则h i l b e n 和相应的h i l b e r t 逆变换定义为： s ( x ) _ _ 1 万p 磐， 1 4 ) 7 ( f ) - ! pr 盟坛 石t t i i i 在计算过程中，会经常碰到d i r a c 巧函数的负频率与正频率部分，分别记 作正函数和覆函数这两个函数都必须用积分主值才能定义，并互为共轭，而且 它们之和构成d i r a c j 函数 该函数的性质在量子力学中曾被详细讨论过这里给出这些主要关系： 正= 去p = - 7 + i 万p 2 一2 石k、万fl 疋f e - , n d g o = ! 一i ip2zc2；l ( 2 - 1 5 ) + 山 l 、7 万fl 。7 覆( 1 ) = ( t ) 正( r ) + t ( f ) = j ( f ) 于是，c a s 与实函数p ( r ) 还满足以下关系 亡乎( r ) d t = 亡p ( z ) d t = p ( 刮2 出= ； 1 p ( 印) 1 2 抛 ( ：啪) = p 2 ( f ) 拈亡p 2 ( m ) d 山 以及， p ( f 涫( f ) 出= o ( 2 - 1 7 ) 这说明了c a s 的实部和虚部在光场总能量贡献上的等价性和正交性 2 2 3 复解析信号理论与准单色的包络理论的关系 通过2 2 1 节c a s 求解的步骤，我们可以求得单色光的c a s 表达式令 p ( f ) = ac o s ( 吼一f ) ，则易求得它所对应的c a s 解为p ( t ) = a oe x p f ( 岛- r o o t ) 准单色光是我们经常遇到的一类脉冲光，指的是以砜为中心频率，脉冲的 f o u r i e r 变换频谱被限制在一定的频率范围之内，即： 9 窒兰重：生堕塑翌塑型丝堂复鲨丝堑 一竽1 叫茎+ 了a 6 0 ( 2 - 1 8 ) 其中蝙 0 , a r o 0 ，且叫1 在此范围之外的频率分量可以忽略不计 对于准单色光，它的振幅和相位已经不再是常数，而是时间t 的函数，亦即 p ( f ) = 爿( f ) c 。s e o ( , 一甜( f ) 这就是脉冲的缓变包络近似的表达式容易看到， 对于一个p ( f ) ，可以有无穷多种爿( r ) 和o ( t ) 的选取方式但是如果我们要求与 p ( f ) 对应的c a s 解p ( r ) 具有与单色光类似的形式，即： p ( t ) ：a ( t ) e x p i ( o ( t ) 一f ) ( 2 _ 1 9 ) 则a ( z ) 和o ( t ) 的选取方式可以被唯一的确定下来可以证明， 爿( f ) = p 2 ( f ) + 鼻2 ( f ) 啦= i p ( f ) i ，且口( f ) = r o o t + z ( r ) ( 2 - 2 0 ) 其中z ( f ) = 爿信 p ( f ) 另一方面，对于实部为p ( f ) = p ( r ) = 爿( f ) c o s 占( f ) 一司的脉冲，根据实部与 虚部所满足的h i l b e r t 变换关系， 只( f ) _ 妻尸r 弛t - t 和关系式， 土pr 三蚍l = 一s i n ( ，) 丌t z 并注意到对于准单色光而言有关系式t o ( t ) ，这样可以求得光场的虚部为 只( f ) = 一( f ) s i n e o ( o 一蛾f ，于是c a sf 晖为p ( t ) = a ( t ) e x p i ( o o 一r ) 也就是说， 选取与单色光类似的形式是合理的相应地，缓变包络近似函数为： e ( 小= 一( f ) p “” ( 2 - 2 1 ) 它与表征光场的实函数p ( t 1 的f o u r i e r 变换之问满足以下关系： e ( f ) = 上f ( f 4 d g 其中= 一，f ) = p ( f + ) t 并且f ( ) 只在一叫2 一蔓叫2 范围内取 值很显然，上式中右边只包含了低频成分可以证明，彳( f ) 和o ( t ) 比c o s ( c o o t ) 和 s i n ( o v ) 的变换都慢的多事实上，对于一+ a t 2 _ 7 r 的时间区问内，一( f ) 和臼( f ) 窒兰墨生堕窒塑塑壑塑燮生堕垂墨堑 可以认为几乎是常数因此，光场可以被视为由爿( f ) 和口( f ) 慢变调制的时问t 的周 期函数，这种调制在小于 a c o 的时间内可被忽略作短时间平均 x 2 ( f ) ) = 2 x 2 ( t ) d t ，其中l 缸 l o 、作为可以忽略奇 异性的条件 为简化分析过程，取m = l 五为脉冲周期数，对时间用兀归一，对横向 i n j 变量用光束宽度w o 归一，对脉冲光束的传播方向用r a y l e i g h 距离z 。归一得， 叭州= 一到一等卜嘉肿e m “，。， q = z l i 下面来分析啁啾脉冲光束的空间奇异性首先考察在初始位置：= o 处，有： 毗蚧卜唧f - 竽( 小r 爿2b 一2 ) e _ ” s a ， 由( 2 3 4 ) 式可以看到在f = 0 处，啁啾c 对脉冲波形是没有影响的如果f 0 ， 则啁啾对空间奇异性的影响很大由( 2 3 4 ) 式可以得到出现奇异性的条件是 r 。 4 a c r + 4 万2 m 2 ( 2 - 3 5 ) 可见在c r 0 时可以削弱奇异性的出现图2 - 2 是当r 4 = 3 ，f ，= 一1 时不同 啁啾系数c 对光束横向空间分布的影响示意图从图中可以看到，随着啁啾系数 的增加，空间奇异性