（地质工程专业论文）边坡稳定性极限平衡与有限单元分析方法的有关问题讨论.pdf

摘要 边坡稳定性分析是岩土工程的一个热点。边坡稳定性分析方法可分为极限平衡 法、有限元法和极限分析法。由于边坡稳定性分析是一个高次超静定问题，极限平衡 法假定边坡岩土体为刚体，并引入了一系列力的大小及方向的假定。有限元法把边坡 岩土体看做变形体，对边坡进行应力变形分析，计算出坡体的应力分布。极限分析法 假定边坡岩土体为刚体，滑动面上为塑性体，进行分析。本文只针对极限平衡法和有 限元法进行分析讨论，主要进行了以下研究工作： 1 将有限元网格划分为竖向的，与垂直条分法中的竖条相对应。把有限元法计 算结果中的应力转化为条间力，便于与极限平衡法中的条间力进行对比分析。将有限 元法计算结果和几种常用的极限平衡法进行比较，包括条间力、底滑面法向应力、条 间力的作用点的比较。 2 提出了一种通过在有限元法的计算结果中构建插值函数搜索边坡最危险滑裂面 的方法，通过e x c e l 实现应用有限元法计算结果中的各单元最危险滑裂面的方向搜索边 坡最危险滑裂面。分别构建有限元分析结果中各单元的氓、吼、r x r 、a 的插值函数，调 用插值函数计算出底滑面各点的法向应力仉剪切力f 、底滑面倾角仅。根据抗剪力与剪 切力的比值求解稳定系数。 3 通过构建有限元法计算结果中的民、巩、的插值函数，将有限元法计算结果 应用到任意滑裂面情况。总结出极限平衡法只是应用各点应力求解稳定系数中旷加的 一种特例。极限平衡法是一种与实际情况差别较大的方法，有限元法是与实际情况比较 接近的方法。之所以有限元法未被推广应用，可能是不便被工程师采用或不成熟，本文 通过简单的e x c e l 就可以应用有限元法计算结果搜索边坡滑裂面求解稳定系数，使得有 限元法在实际应用中变得非常简单，便于实际应用。 关键词：边坡，极限平衡法，有限元，滑裂面，插值函数 a b s t r a c t s l o p es t a b i l i t ya n a l y s i si sap o p u l a rg e o t e c h n i c a lt o p i ca n di tc a nb ed i v i d e di n t ot h r e e p a r t s ，l i m i te q u i l i b r i u mm e t h o d ，f i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dl i m i t a n a l y s i sm e t h o d r e s p e c t i v e l y a st h es l o p es t a b i l i t ya n a l y s i si sah i g ho r d e rs t a t i c a l l yi n d e t e r m i n a t e p r o b l e m ，l i m i te q u i l i b r i u mm e t h o da s s u m et h es l o p eo fr o c ka n ds o i lm a s sa sr i g i db o d y a n di m p o r tas e r i e so fs u p p o s i t i o n sa b o u tv a l u ea n dd i r e c t i o no ff o r c e f i n i t ee l e m e n t m e t h o dr e g a r dt h es l o p eo fr o c ka n ds o i lm a s sa sp l a s m o d i u m ，t h r o u g ha n a l y s i n go ns t r e s s d i s t o r t i o no ft h es l o p e ，s t r e s sd i s t r i b u t i o no ft h es l o p em a s sc a nb ec a l c u l a t e d l i m i t a n a l y s i sm e t h o dc a r r i e st h r o u g ha n a l y s i sw i t ha s s u m p t i o no ft h es l o p eo fr o c ka n ds o i l m a s sa sr i g i db o d ya n ds l i d i n gs u r f a c ea sp l a s t i cb o d y b o t ho fl i m i te q u i l i b r i u mm e t h o d a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o da b o v ea r eo n l yd i s c u s s e di nt h i sp a p e r ，t h em a i nr e s e a r c hw o r k c a r r i e do u ta r el i s t e db e l o w 1 t h ef i n i t ee l e m e n tm e s ha r ec a r v e dt ob ev e r t i c a lo n e s ，c o r r e s p o n d i n gt ot h e v e r t i c a lb a r si ns l i c e dm e t h o d t h es t r e s so ff i n i t ee l e m e n tr e s u l t si st r a n s f o r m e dt ob et h e f o r c eb e t w e e nt h es o i ls l i c e si no r d e rt oc o n t r a s tw i t ht h eo n ei nl i m i te q u i l i b r i u mm e t h o d t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dr e s u l t sa n do t h e rl i m i t e q u i l i b r i u mm e t h o d sr e s u l t sa r e c o m p a r e d ，i n c l u d i n gt h ef o r c eb e t w e e nt h es o i ls l i c e s ，t h en o r m a ls t r e s so ft h es l i d i n g s u r f a c ea n dt h ep o i n to ft h ef o r c eb e t w e e nt h es o i ls l i c e s 2 t h i sp a p e rp r o p o s e san e wm e t h o dt oc o n s t r u c ta ni n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nt os e a r c h t h em o s td a n g e r o u ss l i ps u r f a c eo fas l o p ei nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dr e s u l t sa n du s e e x c e lt os e a r c hf o rt h e s l o p es l i d i n gs u r f a c eu s i n gt h em o s td a n g e r o u ss l i ps u r f a c e d i r e c t i o no f e a c hu n i to ft h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sr e s u l t s t h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n so f 氓，吩，唧，仅o ft h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sr e s u l t sa r er e s p e c t i v e l yc o n s t r u c t e d t h en o r m a l s t r e s so ，t h es h e a rs t r e s sfa n dt h es l i d i n gs u r f a c ea n g l eao nt h es l i d i n gs u r f a c ea r e c a l c u l a t e db yc a l l i n gt h ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s t a b i l i t yf a c t o rc a nb es o l v e db yu s i n gt h e r a t i oo fr e s i s ts h e a rf o r c et os h e a rf o r c e 3 w i t ht h ec o n s t r u c t e di n t e r p o l a t i o nf u n c t i o no f 吸，吩，z 砂，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d r e s u l t sa r ea p p l i e dt oa n yc a s eo f s l i ps u r f a c e t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h a tl i m i te q u i l i b r i u m m e t h o di sas p e c i a lc a s ei nw h i c h 毋2 y ho ft h es t a b i l i t yf a c t o rc a l lb es o l v e db ya p p l y i n gt h e 1 1 1 s t r e s so fe a c hp o i n t l i m i te q u i l i b r i u mm e t h o di sa l li m p r e c i s em e t h o da n dt h u sf i n i t ee l e m e n t m e t h o di so nt h ec o n t r a r y t h er e a s o nw h yt h er e l a t i v e l ya c c u r a t em e t h o di sn o tw i d e l yu s e d m a yb ed u et oi t si n c o n v e n i e n c et oe n g i n e e r so ri m m a t u r e n e s s t h i sp a p e ri m p o s e ss i m p l e e x c e ls p r e a d s h e e tt os e a r c hs l i ps u r f a c ea n dc a c u l a t et h es t a b i l i t yf a c t o ru s i n gt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o dr e s u l t s t h i sf i n i t ee l e m e n tm e t h o da p p r o a c hi sv e r ys i m p l ei np r a c t i c ea n d c a nb et a k e ni n t op r a c t i c a la p p l i c a t i o nc o m f o r t a b l y k e yw o r d s ：s l o p e ，l i m i te q u i l i b r i u mm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n t ，s l i d i n gs u r f a c e ，i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s l v 本论文受国家自然科学基金项目( 4 0 7 7 2 1 8 1 ) “黄土路堑边坡稳定性的可靠度研 究 和国家自然科学基金项目( 4 0 9 7 2 1 8 2 ) “灌溉诱发的黄土滑坡一泥流形成机理及 预测判据研究”资助。 长安大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 选题的目的和意义 目前，边坡稳定性分析方法可分为基于理论力学刚体平衡假设的极限平衡法、根据 有限元法计算出的坡内应力数值求解稳定系数、有限元强度折减法、极限分析法、滑移 线场法。实际工程中最常用的是极限平衡法和有限元法。 极限平衡法已经有着长期的应用历史，并且积累了丰富的经验。但是由于极限平衡 法需要引入假定条件而且不能考虑坡体变形，从而边坡稳定分析计算结果与实际是有差 别的。而有限元法可以考虑坡体变形，无需引入假定条件，可以反映坡体的变形情况， 稳定分析计算方面虽然已有一些方法，但不是很成熟。极限平衡法有着计算整体稳定系 数方面的优势，有限元法有着反映坡体变形与应力状况方面的优势。总之，这两种方法 都各自不是一种完美的方法，怎么将这两种方法扬长避短，有机结合，提出更好的边坡 稳定分析方法，这是一个值得研究的问题，如果二者能得到统一，将具有重要的理论和 实际意义。 1 2 研究现状 边坡稳定性分析一直是岩土工程边坡领域的核心问题。涉及到公路工程、铁路工程、 土石坝工程、基坑工程、矿山工程等岩土工程的各个方面。边坡稳定性分析已有多种方 法，仅极限平衡法就有十几种方法。极限平衡法有着自身的基于刚体引入假设的缺陷。 边坡稳定性分析实际上是基于力学理论的一种定量猜测。 极限平衡法最早的是瑞典人彼得森1 9 1 5 年提出来的瑞典圆弧法【l 】。瑞典圆弧法不能 反映中值对边坡稳定性的影响，1 9 3 6 年瑞典人f e l l e n i u s 提出t f e l l e n i u s 法【2 】，采用垂直条 分形式弥补了瑞典圆弧法不能考虑巾值对边坡稳定性贡献的缺陷，开创了边坡稳定分析 垂直条分法的篇章。继此之后的简化毕肖甫法( 1 9 5 3 ) 【3 1 、简化简布法( 1 9 5 6 ) 【4 1 弥补 了瑞典条分法没有考虑条间力的缺陷，s p e n c e r 法t 5 和m o r g e n s t e m p r i c e 法 6 1 等严格方法又 弥补了以前的方法中没有考虑条间切向力的缺陷。李同录等( 2 0 0 3 ) 【7 】将f e l l e l l i u s 法的 条分计算转化为积分形式，从而避免了人工分条的不便，便于编程计算。 将极限平衡法与有限单元法结合的研究已经很多。常用的方法是先用有限单元法分 析边坡的应力场，然后假设滑动面，累加沿滑动面的总剪切力和抗剪力求解边坡的稳定 系数【8 。1 1 。最小稳定系数对应的滑裂面可采用极限平衡法中的圆弧搜索法。关于最危险 滑裂面的搜索，1 9 8 8 年g i a m 平d d o n a l d 提出了模式搜索、法【12 1 ，1 9 9 5 年z o u 等提出了动态规 第一章绪论 划 奠b j 目前常用的还是圆弧搜索法 1 0 , 1 1 】( m i d a s g t s q b 应用圆弧搜索法) 。有限元强度 折i 引 勺髓念提出较早( z i e n k e i e w i c z 等1 9 7 5 ) 【14 1 ，g i f f i t h 等( 1 9 9 9 ) d 5 采用有限元强度 卅：减江? 寻出了与传统方法比较接近的稳定系数。有限元强度折减法，可以单纯由有限单 几法确j t 最危险滑裂面和稳定系数 1 6 - 2 0 】。 最辨发展起来的是用有限元强度折减法计算，然后用极限平衡法基于有限元强度折 减 幺结果中的滑裂面计算稳定系数 2 1 , 2 2 。朱以文等【2 3 1 应用有限元法的计算结果根据滑移 线场州论确定边坡最危险滑裂面【2 4 1 。有限元法、极限平衡法、滑移线法【2 5 】的取长补短 足边坡稳定性分析发展的趋势。 自2 0 0 0 年以来，本课题组一直致力于极限平衡法的研究，先后取得以下进展： 2 0 0 3 年赵剑丽针对均质边坡推导了瑞典圆弧法的稳定系数积分解析公式并编制相 应的程序，用积分解析得出的结果要比普通的条分法结果更为精确。 2 0 0 4 年邓宏科建立了任意坡面形状、剪出口不在坡角的均质土坡模型，提出了危险 滑，、j 斯的搜索方法，同时也编制了相应的程序。 2 0 0 5 年张常亮将边坡稳定性分析推广到了三维，采用椭球体的模型。通过计算得出 与盼例相符合的结果。 2 0 0 6 年曹雄在前几届研究生的基础上推导出了二维通用极限平衡法的公式2 6 1 ，并通 过1 i | n j 假设条件的设定导出了目前所有关于边坡稳定性分析的简化法。完整将二维的所 有力法统在通用法中。 1 3 存在问题 f 哺f 的边坡稳定分析问题中仍未解决的一个问题就是二维极限平衡法的统一模型 最后的求解稳定系数表达式中要确定滑面正应力函数。极限平衡法有很多种，不同的方 法对且i ，卜同的滑面正应力函刿2 7 1 。有限元法进行边坡稳定分析时，只要边坡参数定了， 对于特定滑面底滑面法向应力就是唯一的。有限单元法分析出的边坡应力场人们普遍认 为是边坡的真实应力场【2 8 1 。究竟极限平衡法中的假设哪一种合理，都有待于验证。 1 4 酬究思路 外：殳针对极限平衡法中的假设究竟哪一种合理，有限单元法是否和极限平衡法可以 联系南! 震的这一问题，做了如下几方面的研究工作： 1 分析极限平衡法与有限单元法的异同，对极限平衡法与有限单元法进行对比 分析，找j u 二者之间的联系。 2 长安大学硕士学位论文 2 用m i d a s g t s 有限元软件将单元格划分为竖条对边坡分别进行有限元强度折 减法分析和弹塑性有限元分析，对计算结果进行深入分析。把有限元法计算结果转化 为条间力与底滑面法向力，把有限单元法计算的结果和极限平衡法进行比较。包括条 间力、底滑面法向应力、条间力的方向、条间力的作用点的比较。 3 建立一种通过在有限元法的计算结果中构建插值函数搜索边坡最危险滑裂面的 方法。通过e x c e l 实现应用有限元法计算结果中的各单元最危险滑裂面的方向搜索边坡 最危险滑裂面。分别构建有限元法分析结果中各单元应力o ，、o ，、t 。、底滑面倾角0 【 的插值函数。在进行稳定性分析时根据底滑面坐标调用这些插值函数，求解边坡稳定系 数。 4 通过构建有限元计算结果中的o ，、o t 。，的插值函数，将有限元法计算结果 应用到任意滑裂面情况。总结出极限平衡法只是应用各点应力求解稳定系数中 o ，= r h ( h 为坡内一点到坡面的竖直方向的距离) 的一种情形。滑移线法也是建立在 o ，= r h 的基础上，人为假定了坡脚和坡顶处滑移线的方向。极限平衡法是一种与实 际情况差别较大的方法，滑移线法也是一种与实际情况差别较大的方法。有限元法可 以算出坡体每一点的应力数值，可以确定每一点的最危险滑裂面方向，而不需做假定 条件，所以有限元法是与实际情况比较接近的方法。之所以有限元法未被广泛应用， 可能是不便被工程师广泛采用或不成熟，本文通过简单的e x c e l 实现应用有限元法计 算结果搜索滑裂面求解稳定系数，使得有限元法这种与实际比较接近的方法在实际应 用中简单化，便于实际推广应用。 第_ 章极限平衡法与有限单元法对比分析 第二章极限平衡法与有限单元法对比分析 极限平衡法和有限单元法是目前边坡稳定分析的主要方法。极限平衡法和有限元 法被认为是两类不同的方法，主要是两类方法的前提和满足的条件不同。随着边坡稳 定分析理论的不断发展与完善，这两类方法又不断的融合。 2 1 极限平衡法 2 1 1 边坡稳定极限平衡法的基本原理 极限平衡法是在a y = y h ( h 为坡内点距坡面的垂直距离) 的前提下，在定义了稳 定系数、摩尔库仑强度准则、满足静力平衡条件、滑体内部侧面上的剪应力不超过侧 面上所能发挥的抗力、滑体内部土条不产生拉力等基本原则【2 5 1 基础上建立起来的边 坡稳定分析方法。采用某个方向上力的平衡或关于某个点的力矩平衡求解稳定系数。 2 1 2 二维极限平衡法的作用力及平衡方程 m 瓴曲。 b 图2 1 土条受力分析 基本假设： ( 1 ) 土体为刚体： ( 2 ) 土条底部法向力d n 的作用点作用于土条底部中点； ( 3 ) 条问力满足：x = e f ( x ) ； 厂( x ) = 忍 ( z ) + 兀( z ) 其中九为一待定系数，f ( x ) 为某已知函数。 ( 4 ) 水平地震力坦= r ld w 。 4 长安大学硕士学位论文 建立平衡方程： 水平方向的静力平衡方程：d n s i n c t d t c o s c t + d q d e = 0 ， 竖直方向的静力平衡方程：d n c o s a + d t s i n a d w + d x = 0 ， 对平面内任一点m ( x m ，y m ) 取矩得： ( 2 1 ) ( 2 2 ) d w ( x j | l ，一x d x 2 ) 一d t ( x m x - - d x 2 ) s i n a + ( z m z - - d z 2 ) c o s a 】 + d n ( z m z 一出2 ) s i n 口一( 一x d x 2 ) c o s a + d q ( z m 一乃) ( 2 3 ) + e ( z 肘一z e ) + x ( 一x ) 一( e + d e ) ( z | l ，一z 一d z e ) 一( x + 岔v ) ( h x d r ) = 0 略去高阶微量，则 d w ( x | i ，一x ) 一d r ( x m x ) s i n a + ( z 村一z ) c o s 口 + d n ( z m z ) s i n a 一( x 肘一x ) c o s a 】 + d q ( z j | l ，一z q ) + e d z e d e ( z m z ) + x d x d x ( x m x ) = 0 ( 2 4 ) 极限平衡条件： 刀：一cs e e a d x + 型f 刎一“s e c m x ) ( 2 5 ) f f 、 2 1 3 二维通用极限平衡法 通用模型分别建立基于力的平衡方程求解稳定系数公式和力矩平衡的求解稳定系 数公式【2 6 1 ，通过改变其中的公共参数，使二者的稳定系数相等时，则得到最终的稳定系 数解。 先建立基于力的平衡方程稳定系数公式 将式2 5 代入式2 1 得 把= 坦+ 刎s i n 口一晤出+ - 警( d n c o s a - u d x ) 滑体应满足整体力的平衡条件，即左端的积分应为0 ： f ! 怪s i n 口警一扣+ 州t c o s ou ) l 卜= 。 则基于力的平衡方程求解稳定系数可以表达为： 阻- + t a n 矽, l i d nc o s a - u ) d , c 耻气葶事 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第一：章极限平衡法与有限单元法对比分析 下面建立基于力矩平衡的稳定系数公式 对力矩平衡公式2 4 两端进行积分，并注意条间力产生的力矩相互抵消，得： f ! ( 嘞一x ) d + f ! ( 一z ) s i l l 口一( 嘞一x ) c 。s 口】洲+ s ( z m - - z q ) 坦 ( 2 9 ) = i4 ( 石m x ) s i n a + ( z 村一z ) c o s a d t 将2 4 式代入2 9 式得 r ( 一z ) s i n 口+ ( z m z ) c o s c ，s e c 口+ t g 矽，f 望鍪一甜s e c 口l 抚 耻蘸习面；忑；毒赫心j 。 捌：d 一捌c 。s 口一乓s e c 口出+ 半( 洲- u s e e a d x ) s i n 口 ff 、 型：坐盘 ( 2 1 2 ) d x c o s 口+ s i n a t g f m 口2c o s a + = _ l 则2 1 2 化为 坐：i 堡一坚+ ( c - u t a n 痧 ) t a n ai 上 一：= i 十一i x d x l d xd xf j r n o 上式得出d n d x ，而又引出一个未知量d x d x 。 6 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 2l 坦 r 、， z 训 屹 m 沦 撇 p 也，一 + 刃一龙州偿 s 螂 叶 力 嘞 ，l z 一 螂 口 m 力 一， 一 m i 乙 +e 咖 + ， n 叫 m m 工 】 一 k 嘞e ，l 一1， 脉f 长安大学硕士学位论文 显然，2 4 式和2 1l 式都含有公共未知量d x d r ，在不做进步假定的条件下，该 式是无法求解的。在同时满足力和力矩平衡的条件下，对条间力的方向或位置作出假定， 都可以使问题得解，前者是m o r g e n s t e m - p r i c e 法的假定；后者是j a n b u 法的假定。 2 1 4 常用极限平衡法及其简化条件 通用法考虑了所有力的平衡条件和所有力的作用，各种方法对底滑面上的力d n ， d t 既不能作简化也不能作假定。因此不同的方法只是对条间力的假定不同，同时对力 和力矩的平衡条件不一定都满足。各种方法的简化条件【2 6 1 如下： ( 1 ) f e l l e n i u s 法 假定d x = d e t a n 口( 2 1 5 ) 代入式2 1 ，2 2 ，即得： d n = c o s o r d w - s i n o r d q 将上式代入式2 1 1 采用力矩平衡求解稳定系数。 ( 2 ) 简化b i s h o p 法 假设x = 0( 2 1 6 ) 此时式2 1 4 化为： 型d r = 警+ 竺型笋 去m l 出 f 1 将上式代入式2 1 1 采用力矩平衡稳定系数如。 ( 3 ) s p e n c e r 法( 19 6 7 ) 假定彳= 2 e = t g p e ( 2 1 7 ) 则 j d x = t gb i d e 纵dx 代入2 1 4 ，再代入通用式2 4 和2 11 则得乃尸昂，s p e n c e r 法同时满足力的平衡和 力矩平衡条件。 ( 4 ) s p e n c e r 法( 19 7 3 ) 假定t g s ( x ) = k ( x ) t g o ( 2 1 8 ) 令 t 9 6 ( x ) = x e兄= t g o 厂( x ) = 尼( x ) 则上式变为 第一二章极限甲衡法与有限单元法对比分析 x = 五可( 石) 即上面所推导的假定条间力方向的通用法。 ( 5 ) m o r g e n s t e m - p r i c e 法 给出了条间力的函数关系，即 x = 兄可( x ) ( 2 1 9 ) 为了使求解过程简化，进一步给出了一些线性化的函数，即当d x 很小时，假定滑 动面，微条重力和d x ) 都为线性函数。 z = , 4 x + 丹 d w = p x 4 - q dr ，= 舡+ m 并令 k = 五尼( 肛t g ，q k ，) 捌+ 彳警+ 圳彳一警， f 、 f = p ( 彳一等) 得出如下差分公式： k + i 面( 巨“1 2 血2 + 胁) ( 2 2 0 ) 依次根据式2 2 0 ，式2 1 9 的导数式，2 1 4 和通用式2 4 和2 11 可得f m = f f 。 m o r g e n s t e m p r i c e 法同时满足力的平衡条件和力矩平衡条件。 上面所推导的假定条间力方向的通用法采用的就是m o r g e n s t e m p r i c e 法的假定，只 是形式上不同。 c h e n z y - m o r g e n s t e mm o r g e n s t e m p r i c e 的基础上推导出了数学上更为严谨的公 式。 e p ( x ) s ( x ) d x = 0 ( 2 2 1 ) e p ( x ) s ( x ) t ( x ) d x 一丝= o ( 2 2 2 ) 其中 8 长安大学硕十学位论文 m ) - s i n ( 州) 詈s ( 铲统) 骞+ s e c 删略和s 硅) s ( x ) ：s e c 以e 一妣筹吖 t ( x 1 ：( s i n f l - c o s f l t a n a ) e e 锄炸私必) =上“彤嘶 此式与m o r g e n s t e m p r i c e 法的实质是一样的，也只是形式上不同。 ( 6 ) j a n b u 法 对作用点的位置作出了假定，即假定z e = z e ( x 1 是己知的，即当九= 1 3 时 = z + ( 刁一z ) ( 2 2 3 ) 这相当于条问力的作用点在滑体垂直高度的1 3 处，按通用法中第二种情况求解得 局，等，等，等，等，将盟d x i 代入2 4 求得厅。 应该注意，虽然j a n b u 法在推导时，利用了力和力矩平衡方程，但方程数比未知量 数多1 个，严格地讲该方法的解是不收敛的。保证其收敛的前题是放弃对某一平衡条件 的要求。一般文献中所介绍的j a n b u 法是按力平衡条件求得的稳定系数，不满足力矩平 衡条件。 2 1 5 极限平衡法存在的问题 m o r g e n s t e r n 和p r i c e 最早提出了边坡稳定分析中的的合理性限制，认为所获得的解 必须满足条件：条块间不产生拉力；作用于土条界面上的剪力不超过按摩尔一库仑 法则提供的抗剪强度【2 9 1 。 但是在实际边坡稳定分析中条间力产生拉力是常见的。原因如下： 摩尔库仑线性强度理论导致坡项剪入口土体抗剪力大于实际值。一般情况下，土 体在低应力状态，抗剪力很小。而极限平衡法根据摩尔库仑强度理论，坡顶剪入口附近 的抗剪力比实际的抗剪力大，导致坡顶剪入口附近土条之问产生拉力。 所假定的条块问作用力方向与实际作用力方向有明显偏差。 总之，极限平衡法由于假定太多，不能反映边坡的变形特征，计算出的条间力要完 全满足极限平衡法的平衡方程，一般计算出的条问力坡顶附近大部分条块会出现拉应 力。 9 第二章极限甲衡法与有限单元法对比分析 2 2 有限单元法 有限元法是利用边界上的力的平衡条件和协调条件、本构方程、边界条件等对结构 进行分析的方法，可较真实地模拟现场条件【2 5 1 。随着有限单元法的发展，有限单元法在 边坡工程中已经有很多应用。 目前用有限单元法进行边坡稳定分析可分为有限元强度折减法和用有限元法计算 的应力值与极限平衡法结合起来计算整体稳定系数两种方法。 2 2 1 有限元强度折减法 用弹塑性有限元法分析边坡时，如果边坡达到极限平衡状态，不必事先假定滑动面， 分析过程中可以较为真实的形成贯通面。如果边坡没有达到极限平衡状态，安全度较大 时，坡体不会形成贯通面，安全度较小时，坡体形成大的破裂带或形成多个破裂带。有 限单元法中使坡体达到极限平衡较好的办法就是降低强度参数。将强度折减的有限元法 实质上是使坡体达到极限平衡状态，形成唯一的最危险滑裂面的过程。 有限元强度折减法中稳定系数的定义和极限平衡法是相同的【3 0 卜【3 1 】，有限元强度折 减法的基本原理是将坡体强度参数粘聚力c 和内摩擦角r p 的正切值同时除以一个折减系 数f ，得到一组新的c l 、p 1 值，即经过折减后的抗剪强度指标为： c l = c f ( 2 2 4 ) 缈l = 甜砌n ( t a n 妒仞 ( 2 2 5 ) 然后将c l 、妒1 作为新的计算参数输入，再进行试算，当计算不收敛时，即坡体达到 极限平衡状态。对应的f 被称为坡体的最小稳定稳定系数，同时可以得到坡体的破坏滑 动面 3 2 , 3 6 。 2 2 2 采用有限元法计算的应力值计算稳定系数 采用有限元法计算的应力值计算稳定系数的方法发展较早，有限元法计算应力值方 面已经很成熟。主要难点在于确定最危险滑裂面和计算稳定系数。 采用有限元法计算出应力值之后，引入滑动面 1 8 - 1 0 】。将滑动面划分成若干小弧段 ，小弧段越上的应力用弧段中点的应力值代表，其值可以根据有限元法计算结果求 出，弧段中点的应力表示为。村，0 讲，f 州，z ，与水平线的夹角为谚，则滑弧上的法向应 力和剪应力分别为 吒f ：i 1 ( + ) 一i 1 ( 一) c o s 2 b + z x y i s i n 2 0 , ( 2 2 6 ) 1 0 长安大学硕：i ：学位论文 f ，= 一c 。s 2 只一j 1 ( 一) s i n 2 0 ， 根据摩尔库仑强度准则，滑面上任意一点的抗剪强度为 ( 2 2 7 ) t f i 2 c i 寺。哦t a n 缈i 滑面上的各段的剪应力和抗剪强度分别求出后，将滑面上的剪切力和抗剪力分别求 和，边坡的稳定系数为 z ( c f + 吒，t 锄仍) 只= 型- 一 ( 2 2 8 ) r ，m 此公式为应用有限单元法计算出边坡的应力值之后的求解边坡稳定系数的公式。 极限平衡法无法求出底滑面真实的剪应力，而是按关系式f ，：旦二粤，并假 f 定各个条块稳定系数相i 司根据静力平衡求解t 。 关于应用有限元法计算的应力数值进行边坡稳定性分析有如下方法： 。 1 圆弧搜索法 应用有限元法计算出的应力值通过圆弧法搜索滑面，完全按照极限平衡法搜索滑面 的方法。先确定圆心，不断变化半径，再变化圆心。将所有计算结果中的稳定系数最小 的滑裂面作为最危险滑裂面。如下图所示： 一j 掣髓即3 瑚印m 1 9 5 , 11 3 习1 7j j l 柚工敏 ? d 四硼啦哪! - j 1 1 却1 吨1 1 唧播 0 1 卿8 嘟g v l 瑚般一m 一1 唧1 瑚1 7 1 a i2 1 3 0 删挑1 砜j 飒f 1 0 u 艉釉舶印1 1 轴1 5 q1 ? 7 1 i 1 3 j 坤啦! 1 聊唧强j 1 唧1 硼1 7 5 l1 购王3 9 钉驼召厨翟j 4 u1 1 l = 1 呻寸四暂1 2 掣1 6 0 b ? 7 啡4 硼i o 哪 一的射螂趋) 1 5 2拱h 础8 聋曩彬 图2 2 应用有限元计算结果圆弧法搜索滑面示意图 第二章极限甲衡泫与有限单元法对比分析 这种方法提出较早。计算时所采用的应力数值是边坡的实际强度参数所计算出的 f 澎，j 数值，计算结果中边坡变形可以较好的反映边坡的现有阶段变形。对于不是极限平 衡状态的边坡不能形成贯通面，计算结果稳定系数较极限平衡法大。应用有限元法计算 结果的圆弧搜索法在m i d a s g t s 软件中称为边坡稳定s a m 法。 2 模式搜索法【1 l 】 由有限元法计算所得的应力水平较高点出发，形成一个由顶到底的破坏面。其过程 为将边坡分成若干土条，由坡内一点出发向上向下在相邻的两土条内构筑局部滑裂面。 找出稳定系数的最小值。该方法是由g i a m 和d o n a l d 于1 9 8 8 年提出的。 3 动态规划法【1 2 】 通过有限元法获得的应力分布规律确定滑裂面的范围和初始滑裂面，然后用动态规 划的方法( i d p m ) 搜索最危险滑裂面 3 3 , 3 4 】，并计算相应的稳定系数。 4 等效塑性应变法 找出沿竖直方向上等效塑性应变最大值的位置，得到一系列呈波动状的点的分布， 构成了所谓的函数型数据，再利用最d x - - - - 乘法对这些函数型数据做平滑处理就得到了边 坡的临界滑面【2 2 】。 这种方法实质上是应用强度折减法使边坡达到极限平衡状态，坡体形成破裂面，然 后用极限平衡法计算边坡稳定性。计算时可用滑面上的抗剪力与剪应力的比值求解稳定 系数，也可以将有限单元法中的滑面上的法向应力提取出来代入极限平衡法中计算。 5 基于底滑面应力的极限平衡法求解 朱大勇等利用数值分析得到的应力场，计算潜在滑裂面上正应力分布，再按滑面正 应力修正的方法求解出满足所有平衡条件的稳定系数。应用f l a c 软件计算边坡应力 场，采用临界滑动场理论确定边坡的临界滑裂面【2 ，提取出临界滑面上的正应力分布， 以此正应力分布作为初始正应力，采用正应力修正模式的极限平衡法得到对应的稳定系 数。 2 3 边坡稳定分析极限平衡法与有限单元法的异同 2 3 1 极限平衡法与有限单元法的不同点 极限平衡法需做一定量的假定而有限单元法不需做假定。有限单元法引入变形协调 方程，极限平衡法中没有变形协调方程。、 有限单元法计算时边坡发生变形，应力重分布。坡脚应力集中，相当于边坡有了压 脚效应，所以分析出的稳定系数偏大。 1 2 长安大学硕。j j 学位论文 2 3 2 极限平衡法与有限单元法的相同点 ( 1 ) 都用到摩尔库仑强度准则。求解稳定系数时不论是极限平衡法还是有限单元 法，均要用到摩尔库仑强度准则。 ( 2 ) 关于安全系数的定义相同。极限平衡法的几条基本原则之一就是关于安全系 数的定义，如果土的抗剪强度指标降低为c f 和t a n q o f ，则土体沿着此滑裂面处处达到 极限平衡。有限元强度折减法正是用到这一定义。 1 3 第三章极限平衡法中的极大极小原理在有限元法中的体现 第三章极大极小原理在有限元法中的体现 3 1 关于极大极小原理 这里引入潘家铮的滑坡极限分析的两条基本原理【3 5 】。 原理一滑坡体如能沿许多个滑面滑动，则失稳时它将沿抵抗力最小的一个滑面破 坏。 原理二滑坡体的滑面确定时，则滑面上的反力( 以及滑坡体内的内力) 能自行调整， 以发挥最大的抗滑能力。 用潘家铮的极大原理和极小原理推断，如果坡体达到极限平衡状态坡体必然沿抗 力最小的那个面滑动。如果坡体处于极限平衡状态时，出现抗力最小的面，那么抗力最 小的面上的内力能自行调整，以发挥最大的抗滑能力。有限元强度折减法的折减结果实 际上边坡处于极限平衡状态。有限元强度折减法最大剪应变结果我们可以明显看到有一 个变形带( 见图3 1 、图3 2 ) 。这一变形带就是强度达到极限平衡状态时边坡的滑动破 坏带。 有限单元法被认为可以计算出边坡的实际应力和变形状态，根据潘家铮极大原理 推断，在滑面处，滑面上的内力会自动调整发挥最大抗滑力。调整之后，可以体现在两 个方面： ( 1 ) 发挥最大抗滑力体现在法向应力以最大程度发挥。 ( 2 ) 滑面上各单元的稳定系数相同。 下面用有限元计算结果验证这两条推测： 采用m i d a s g t s 有限元软件计算边坡中的应力分布特征，选取坡高4 0 米，坡度5 1 4 度，粘聚力为4 0 6 k p a ，内摩擦角为2 6 8 。的黄土高边坡，进行有限元强度折减法分析和 弹塑性有限元分析。本文进行的有限元强度折减法分析为用m i d a s g t s 中的s r m 法按内 力收敛标准o 0 3 计算，普通弹塑性有限元分析为用m i d a s g t s 软件中的施工阶段弹塑性 分析。本文后面所叙述的有限元强度折减法计算结果指：像m i d a s g t s 中的s r m 法这类 软件自动进行强度折减的程序并且以有限元内力不收敛作为失稳判定标准的计算结果。 不代表像a n s y s 软件没有强度折减法计算模块而手动进行强度折减的计算结果。普通弹 塑性有限元法的计算结果可以代表有限元软件中不考虑硬化参数的弹塑性有限元计算 结果。 1 4 长安大学硕士学位论文 模型尺寸取2 0 0 m 1 2 0 m ，坡脚到左端边界的距离为6 0 m ，坡顶到右端的距离为 8 8 m ，坡脚到下边界高度为6 0 m ，坡脚坐标为( 8 0 ，8 0 ) 。网格为间距为i m 的二阶四 边形平面应变单元( 坡面为三角形单元) 。在进行有限元计算划分网格时，将有限元网 格划分成垂直的网格，便于将有限元计算结果中各单元以竖条为大单元进行分析。土体 材料采用m o h r - c o l o u m b 模型，模型底部设为固定约束边界，模型左右侧设为水平方向 单向边界。有限元分析采用的模型网格图如图3 1 所示。 图3 1 有限元计算采用的模型网格图 图3 2 有限元强度折减法计算出的边坡最大剪应变图 第三章极限平衡法中的极大极小原理在有限元法中的体现 图3 3 有限元强度折减法计算出的边坡变形特征( x y 方向合成位移) 图 根据各单元的最大最小主应力计算各单元的稳定系数，各单元的稳定系数为各单元 破裂面上的抗剪力与剪切力的比值。 22 2 a = 号+ 詈( a 为各单元破裂面与q 的夹角) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 吼、吒应用有限元法的计算结果中的q 、0 3 。将式3 2 、3 3 、3 4 代入式3 1 得各 单元的稳定系数为： c + ( 半一半酊n 叫t a n 伊 f ： i三兰：= !： s 导c 唧 2 有限单元法算出的滑面单元稳定系数分布如图3 4 所示。 ( 3 5 ) 长安大学硕士学位论文 1 0 8 1 0 7 5 籁 谣 删1 0 7 嚣 1 0 6 5 l - o1 02 03 0 距坡脚距离( 曲 图3 4 有限元强度折减法计算结果滑裂面上的各单元稳定系数分布图 本文算例用有限元强度折减法计算结果中滑裂面上的稳定系数最大值与最小值相 差仅仅只有1 5 3