（光学工程专业论文）光子晶体中非线性效应和应用的研究.pdf

南京邮电人学硕i ：研究乍学化论文摘婴 摘要 1 9 6 0 年激光的诞生是光学发展史上的一个罩程碑。经过几十年的发展，目前激光在各 个领域都得到了广泛的应用。由于激光工作物质的限制，典输出波长不可能做到无限连续， 而与此i 刊时，各行j i k 对激光输山波b ：= 的需求却在不断增长。激光频率变换技术在这一矛盾 的推动下很快就成为了这一领域的研究热点。次谐波产生是非线性光学频率变换中中最 典型、最重要、最基本的效应之一，也是目前最广泛应用的光波频率变换技术。因此，研 究如何提高倍频转换效率成为一个热门课题。 在倍频过程中，由于基频光波和倍频光波在晶体中的折射率不同，因此会影响到倍频 转换效率。一种方法是利用晶体的双折射的特性进行角度相位匹配。但是这种方法能够利 用的有效非线性系数小、倍频效率低、某些波长无法实现相位匹配。而另一种获得高效非 线性频率变换的相位匹配技术是准相位匹配技术。由于准相位匹配可利用非线性光学晶体 最大的二阶极化张量元，在品体的整个通光范围内均可实现：1 f 临界相位匹配，在较长的品 体上可望实现较高的变频效率。同时，光学超晶格不改变晶体的光学性质，仪对晶体的极 化率进行周期性的调制，它扩大了现有晶体的应用范围。 本文采刖时域有限差分方法来分析光子晶体, 1 1 - - 次谐波产生的特性。时域有限差分方 法具有计算较为简便、通用性强、实用性强、节约计算空间和存储空间的优势。论文在 m a t l a b 软件环境下用时域有限差分方法模拟了在完全相位匹配条件下和准相位匹配情况下 晶体中产生的二次谐波的模场分布。在准相位匹配时，可以明显的看到在正负畴交界处， 光场强度没有减弱而是继续增强。在两种情况下，二次谐波强度都随着晶体长度增加而增 强，而对于准相位匹配，由于不存在走离，可通过加长通光长度来提高转换效率。 近年来，随着准相位匹配光波导制作技术的成熟，对周期极化反转光子晶体用于波长 转换的研究也日渐深入，并逐步向使用化方向迈进。波长转换器是全光网中的关键器件。 级联全光波长转换器通常采用准相位匹配技术来克服直接差频形波长转换中抽运光和信 号光不在同一波段，难以同时耦合进波导的问题。在此基础上，再利用准相位匹配多波长 频率转换技术引入可进行灵活的波长转换的波艮转换器。 关键词：光子晶体，时域有限差分法( f d t d ) ，非线忾光学，准相位匹配( q p m ) ，波长转 换 南京邮电大学硕i ：研究7 i - 学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t t h ea p p e a r a n c eo fl a s e ri sal a n d m a r ki nt h eh i s t o r yo p t i c s l a s e ri sa p p l i e da b r o a d l ya t p r e s e n t t h ew a v e l e n g t hr a n g ec a nn o ts e q u e n c e ，b e c a u s et h ew o r k i n gm e d i u no fl a s e rh a v ea l i m i t a t i o n t h e t e c h n i q u eo ft h ef r e q u e n c yc o n v e r s i o nb e c o m eaf o c u s s e c o n dh a r m o n i c g e n e r a t i o ni st h er e p r e s e n t a t i v e ，i m p o r t a n ta n db a s i ct e c h n i q u ei nn o n l i n e a ro p t i c s 。i ti sa b r o a d l y a p p l i e di nw a v ec o n v e r s i o nt e c h n i q u er e c e n t ly p h a s em a t c h i n gi st h ec o r et e c h n i q u ei ns e c o n d h a r m o n i cg e n e r a t i o n i fp h a s e sd on o tm a t c h ，t h ef r e q u e n c y d o u b l i n ge f f i c i e n c yw i l lr a p i d l y f a l l o n em e t h o di su t i l i z et h ep r o p e r t yd o u b l er e f r a c t i o nt oa t t a i np h a s em a t c h i n g t h i sw a y a d v a n t a g e st h el o wn o n l i n e a rc o e f f i c i e n t ，a t t a i n st h el o wf r e q u e n c y d o u b l i n ge f f i c i e n c ya n dc a n n o tg e tp h a s ew i t hs o m ew a v e s t h eo t h e rw a yi sq u a s i p h a s e m a t c h i n g i tc a na c h i e v et h eh i g h e f f i c i e n c yo ff r e q u e n c yc o n v e r s i o n t h eq u a s i p h a s e m a t c h i n gc a nu s et h em a x i m a ln o n l i n e a r c o e f f i c i e n t ，g e tt h ep h a s em a t c h i n gi n t h ew h o l eu s e f u lw a v er a n g e ，a b t a i nt h eh i g ht h e e f f i c i e n c yo ff r e q u e n c yc o n v e r s i o nw i t hl o n gc r y s t a l m e a n w h i l e ，t h eo p t i c a ls u p e r l a t t i c ec a nn o t a l t e rt h eo p t i c s p r o p e r t i e so fc r y s t a l ，o n l ym o d u l a t et h es e c o n d o r d e rn o n l i n e a ro p t i c a l s u s c e p t i b i l i t yp e r i o d i c a l l ya n db r o a d e nt h ea p p l i c a t i o na r e ao fc r y s t a li ne x t e n c e t h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i nm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e d i nt h i st h e s i s ，f d t di s u s e dt oa n a l y z et h ep r o p e r t i e so fs e c o n dh a r m o n i cg e n e r a t i o ni np h o t o n i cc r y s t a l t h i st h e s i s s i m u l a t e st h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fs e c o n dh a r m o n i cg e n e r a t i o ni nc a s e so fb p ma n dq p m i t i so b v i o u s l yo b s e r v e dt h ei n t e n s i t yb o o s tu pc o n t i n u a l l yi nc o m l t l o nb o u n d a r yw h e ns i m u l a t e q p m t h el o n g e ri sl e n g t ho fc r y s t a l ，t h es t r o n g e ri si n t e n s i t yb o t hi nt h et w oc a s e t h eq p m c a n e n l a r g et h ee f f i c i e n c yw i t hl o n g e rl e n g t hb e c a u s eo fn ow a l k o f fe f f e c t t h e f r e q u e n c y c o n v e r s i o ni st h e k e ya p p a r a t u si n t h ea l l o p t i c a l n e t w o r k s a l l o p t i c a l w a v e l e ng t h c o n v e r s i o na d o p t st h eq p mt e c h n i q u et os e t t l et h ep r o b l e mt h a tt h ep u m p w a v ea n dt h es i n g a lw a v ea r en o ti nt h es a m eb a n da n dc o u p l ei n t ow a v e g u i d eh a r d l y m a k e i n g u s eo fm u l t i p l ew a v ec o n v e r s i o nc a nc o n v e n ew a v ef l e x i b l yi nw a v ec o n v e r s i o n k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ，f d t d ，n o n l i n eo p t i c s q u a s ip h a s em a t c h ，w a v e l e n g t hc o n v e r s i o n l l 南京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：互型穸超 日期： 垄塑垒：丝 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送 交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论 文。本文电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。 论文的公布( 包括刊登) 授权南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：至筮! 耋堡导师签名：日期：乡口罗4 二仨 南京邮也人学硕l ：形f 究生学位论文第一章绪论 1 1 非线性光子晶体概述 第一章绪论 人类社会对信息容量和带宽的需求呈现加速增长的趋势，但目前的电子交换和信息处 理网络的发展已接近电子速率的极限。为了解决电子瓶颈限制问题，已开始在交换系统中 引入光子技术，实现光交换、光交叉连接和光分叉复用，即全光通信系统。其中的主要关 键技术和器件都涉及到大量的非线性光学，如多波长激光发射的变频，高速光学调制器、 全光学开关、光学双稳态、在光纤传输中产生的多种非线性光学效应等。然而，主要的问 题仍然是缺乏高非线性、低吸收、高损伤阈值、响应足够快速的非线性光学介质材料及 其结构。以非线性光学介质组成的非线性光子晶体是有希望满足所有这些基本性能要求的 极佳选择。 在非线性光学介质种，电极化强度p 和场强e 之间已不再是简单的线性关系，还含有 二次、三次等非线性关系，p n ( 1 1 ) 式表示【4 】： p = 8 0 z e + e o z 2 ：e + e o z 孙i e + ( 1 1 ) 在非线性光子晶体中，不仅线性介电函数或折射率被周期性调制，而且非线性源也被 周期性调制，从而产生不同于传统非线性光学介质中的一些性质和现象，如准相位匹配 ( q p m ) 等。 1 2 二次谐波的产生和增强 二次谐波产生是非线性光学混频中最典型、最重要、最基本的技术，也是目前最广泛 应用的光波频率变换技术。二次谐波产生的效率高低取决于材料的非线性特性的好坏，而 经典非线性理论指出一种材料要想用于高效二次谐波产生，必须同时满足三个条件。首先， 材料必需是非中心对称的，因为理论研究已经表明中心对称材料的二阶非线性系数为零； 其次，要有高的二阶非线性系数，非线性系数的高低直接决定了s h g 的效率；最后，要 满足相位匹配条件，理论和实验都已经证明位相匹配条件对转换效率有着决定性的影响。 位相匹配是二次谐波产生的关键技术，只要相位匹配条件不满足，光倍频效率将急剧 下降。m a k e r 等人第一个用实验证实了在位相失配情况下，倍频光强将随相互作用长度周 期性变化，也就是著名的m a k e r 条纹【6 】。在光学倍频过程中，当频率为国的基频光入射到 堕塞业! ! 叁堂堡：生竺塑竺兰垡堡苎里二里堕笙 非线性光子晶体中时，基频光就会由于二阶非线性极化场的作用，在光路上每一位置激发 出二次极化波，这些极化波的不断叠加就会产生二次谐波即倍频光的输出，其频率为 q = 2 q 。光在晶体中传播的速度取决于该光频率在晶体中所对应的折射率，在f 常色散 范围内，频率增高，折射率变大，由于受晶体色散的影响，这些由二次极化波发出的二次 谐波在晶体中的传播速度与入射基频光在晶体中的传播速度不同。基频光与倍频光相速度 的差异使两光束之间存在一个相位差，相位差使两光束的作用距离连续变化，当作用距离 为乞= 五( 4 x ( 门：一啊) ) 时相位差为1 ，这里乞称为相干长度，倍频光的输出强度在这个距离 里经历了从零增强到最大值再到零的过程。若要使倍频光的强度不断地增强则需要使基频 光与倍频光之间地相位差为零，这就是光学倍频的相位匹配条件。 对于各向异性双折射晶体，如l i n b 0 3 或k h 2 p 0 4 ，可利用双折射特性来补偿晶体的 色散，以达到相位匹配的目的。1 9 7 0 年，n b l o e m b e r g e n 与a j s i e v e r s 首次研究了非线性 周期结构中二次谐波的产生( s h g ) 和增强【6 1 。准相位匹配( q u a s i p h a s e - - m a t c h i n g ，q p m ) 概念的提出为满足相位匹配条件增加了一个新的调节参数：对于沿z 方向分布的一维周期 性介质，其二阶非线性极化率可在其倒格子空间展开为傅立叶级数的形式( 1 2 ) 【3 】，【5 】： z 但( 2 ) = 露卜e 州2 ” 。 ( 1 2 ) 当相位匹配条件不满足时，可利用倒格矢来补偿波矢失配，即准相位匹配： 扯= k ：( 2 0 j ) 一2 恕( c o ) 瓯= 0 ( 1 3 ) 其中g m 为倒格矢，人为周期。q = m 竿三 ( m = o ，l ，2 ，3 ) 。三是z 方 1 向的单位矢量。 1 3 非线性光子晶体的应用 近年来波分复用技术日益推广，将由时分复用( t d m ) ，频分复用( f d m ) 等技术所 实现的2 - - 2 0 g b i t 的传输速率提高了8 3 2 倍，达到t b i t 数量级。w d m 技术的关键之一 就是不同波长信号之间的互相转换，即波长转换技术。当不同地点的发射机向同一目的地 以同一波长发送信号时，在很多节点的多个波长上的交换信号会发生冲突。直接的解决方 法是将光通道转移至其它波长。随着对复杂光网络的多重光通道进行管理的需求增加，人 们对波长转换的需求也不断增长。波长转换器是在某一波长上接受输入光信号，而在另一 不同的波长上将其复制出来。 2 南京邮l 乜人学硕l ：研究乍学位论文第一章绪论 全光波长转换( a o w c ，a l l - - o p t i c a lw a v e l e n g t hc o n v e r s i o n ) 由于无需光电( o e ) 电光( e o ) 转换器什，而- 日- 不受光信号格式( s i g n a lf o r m a t ) 及位速率的限制，使得光 子网络具有透明性，其自身也冈此成为一项引人关注的技术。全光波长转换技术主要是依 靠光的非线性效应。 级联全光波长转换器通常采用准柏位匹配技术( q u a s i p h a s e m a t c h i n g ，q p m ) ， 以周期极化反转l i n b 0 3 ( p e r i o d i c a l l yp o l e dl i t h i u mn i o b a t e ，p p l n ) 光波导作为非线性光 学介质，是一种新颖的光波长转换技术，具有对信号速率和调制形式严格透明，多波长同 时转换、转换过程噪声指数极低、转换波长范围对光纤工作波段透明等独特优点，是全光 网和宽带d w d m 系统中不可缺少的关键器件。同时它的抽运光和信号光都在1 5 u m 波段， 在光波导中都是以t m 基模传输，耦合进入光波导窑易，克服了直接差频型波长转换中抽 运光和信号光不在同一波段，难以同时耦合进波导的问题【1 2 1 。 1 4l i n b o 。晶体简介 非线性晶体中，铌酸锂晶体( l i n b 0 3 ，具有大的电光、声光，压电系数，以及大的二 阶非线性系数，特别是人工晶体生长技术非常成熟，与k t p 、l i t a 0 3 和k n b 0 3 等非线性 晶体相比，相同大小的晶体价格约为后者的十分之一，因此得到了j 。4 泛的应用。在周期极 化反转铌酸锂晶体( p e r i o d i c a l l yp o l e dl i t h i u mn i o b a t e ，p p l n ) 中利用准相位匹配技术进 行倍频，是实现高效、紧凑、全固体的短波长激光器的有效途径，在科学技术和国防方面 有着广泛的应用前景。 铌酸锂晶体( l i n b 0 3 ) 是一种无色或带黄绿色的透明晶体。在4 0 c ，密度为4 6 4 4 k g n 1 3 ，居里温度t c 为1 2 1 0o c 。在t c 以上品体属三方晶系3 m 点群，为顺电相；在居里温度 t 。以下，晶体属j 方晶系3 m 点群，为铁电相。由于l i n b 0 3 晶体的居里温度很高，因而又 称为高温铁电体，它具有良好压电性、热释屯性、铁电性、电光和非线件光学性能，又是 多功能的晶体材料，可朋来制作高温换能器、滤波器、热释红外探测器、激光调制器和激 光倍频器等许多有用的器件【9 1 。 3 求邮电 学埘m n ! 匿 0 盯 n ， l i 图i - - 3 l i n b o ，啦品平行丁c 轴的氧八面件柱 阁l 一3 给出了含n b ”的氧八而体，含“+ 和不含“+ 的氧角形而。当温度从t c 以 上降到t c 以下叫，l i + 和n 护+ 相对于氧离子层有一个位移，f 负电荷重心沿c 轴方向偏移。 因此沿c 轴方向出现自发极化。从t 。下降到室温时，n b ”沿c 轴位移00 2 5 t t r n ，而l 1 + 沿 同一方向位移o0 4 5 n m ，它们均沿c 轴同一方向产生位移。由于品体的自发极化方向仅沿 + c 轴或一c 轴方向取向，其它方向不产生电矩，所咀l i n b o ，晶体只存在18 0 0 电畴。铁 屯相时，n b s + 和l r 分别位于图1 3 中氧八面体体心附近，其中，n b 斗占有三分之一的氧 八面体体- i i , ，l i + 占有三分之的氧八面体体，t l , 另行三分之一的氧八面体体心空着p 】。 l i n b o 】单品的介电系数随温度t 升高而增大。在0 4 m 5 “m 波长范围内可连续通光。 1 1 1l i n b 0 3 晶体的非线性荧学系数大，在可见光和近红外光范围山能实现相位匹配，并且 通过控制温度，在光通过的状态下，能在主轴方向上进行相位匹配。因此l i n b 0 3 晶体是 制作光倍频器件，参量放大器和参量振荡器等非线性光学器忭的最成熟的j f 线性材料。 1 5 本文的研究重点和内容安排 论文针对光子晶体中二次谐波效应的相关何题进行，研究。以_ 是奉文的内容安排。 第一章，介绍了光子晶体中非线性现象的原理和应用。重点刘铌醴锂晶体的性质进行 了分析。 第一章，蓐点蹬迹了时域仃限差分法( f d t d ) 的原理。这是本文分析和仿真光子品 体中二次谐波产生特性的理论基础。正确的选掸吸收边界、设置屯磁参数以及应用正确的 雨京邮电人学帧i j 研究生字1 口论文第一荜绪论 迭代公式是该方法的关键。 第三章，首先简单介绍了二阶非线性极化系数，阐述了非线性参量互作用方程一耦合 波方程和倍频相互作用耦合波方程，这是研究光子晶体- i ，二次谐波效应的理论基础。最后 介绍了二次谐波过程中相位匹配条件。 笕四章，首先简要的介绍了角度柏位匹配方式；然后分析了晶体角度柏位匹配方法和 其中存在的问题，在l d a t l a b 软件环境卜用时域有限差分方法对铌酸锂晶体的完全相位匹 配下二次谐波的模场进行模拟；接着介绍了准相位匹配并对周期极化铌酸锂晶体的二次谐 波的模场进行模拟。通过模拟发现准相位匹配情况下，二次谐波场强在畴交界处并没有减 弱而是继续增强。南于准相位匹配可以利用最大非线性系数，凶此其转换效率明显高于角 度相位匹配，且不存在走离效应，可通过加长通光长度来提高倍频转换效率。最后在研究 其它文献中多波长倍频理论的基础上，提出单周期极化反转光子晶体中实现双波长倍频。 第五章，首先介绍了准相位匹配周期极化铌酸锂晶体的应用研究。接着介绍了基于 周期极化反转铌酸锂晶体级联型全光波i j = = 转换原理。利用准相位匹配倍频可以将抽运光倍 频再与信号光差频，将信u 在另一不同的波长上复制出来。最后分析了，利用准相位匹配 的多波长倍频技术可以实现灵活的波长转换。 参考文献 1 】d d e l a c o u r t ，f a r m a n i ，m p a p u c h o n s e c o n d h a r m o n i cg e n e r a t i o ne f f i c i e n c y i n p e r i o d i c a l l yp o l e dl i n b 0 3w a v e g u i d e j 】j i e e ej o u r n a lo fq u a n t u me l e c t r o n i c s ，19 9 4 ， 3 0 ( 4 ) ：10 9 0 - 10 9 9 2 】p 。a 。f r a n k e n ，j f ，w a r d o p t i c a lh a r m o n i c sa n dn o n l i n e a rp h e n o m e n a j 】j 。r e v i e wo f m o r d e n p h y s i c s ，1 9 6 3 ，3 5 ( 1 ) ：2 3 - 3 9 【3 l uy a - l i n ，l uy a n - q i n g ，c h e n gx i a n g f e i ，x u ec h e n g c h e n g ，m i n gn a i - b e n g r o w t ho f o p t i c a ls u p e r l a t t i c el i n b 0 3w i t hd i f f e r e n tm o d u l a t i n gp e r i o d sa n di t sa p p l i c a t i o n s i n s e c o n d h a r m o n i cg e n e r a t i o n j 】a p p l i e dp h y s i c sl e t t e r s ，19 9 6 ，6 8 ( 2 0 ) ：2 7 8l 2 7 8 3 4 】z h uy o n g y u a n ，z h us h i i n g ，h o n gj i n g f e n ，m i n gn a i b e n d o m a i ni n v e r s i o ni nl i n b 0 3 b yp r o t o ne x c h a n g ea n dq u i c k h e a t t r e a t m e n t j a p p li e dp h y s i c sl e t t e r s ， 19 9 4 ，6 5 ( 5 ) ：5 5 8 - 5 6 0 【5 】m y a m a d a ，n n a d a ，m s a i t o h ，k w a t a n a b l e f i r s t o r d e rq u a s i p h a s em a t c h e dl i n b 0 3 w a v e g u i d ep e r i o d i c a l l yp o l e db ya p p l y i n ga l le x t e r n a lf i e l df o re f f i c i e n tf i e l db l u e s 南京邮l 乜人学硕i j 研究乍学位论文第章绪论 s e c o n d h a r m o n i cg e n e r a t i o n 【j 】a p p l i e dp h y s i c sl e t t e r s ，19 9 3 ，6 2 ( 5 ) ：4 3 5 - 4 3 6 6 】x i ew e i ，c h e nx i a n f e n g ，h el i k e ，e ta 1 t h e o r e t i c a ls t u d yo fq u a s i p h a s e m a t c h i n g f o u r t hh a r m o n i cg e n e r a t i o ni np e r i o d i c a l l yp o l e dl i t h i u mt a n t a n l a t e 【j c h i n e s eo p t i c s l e t t e r s ，2 0 0 4 ，2 ( i1 ) ：6 6 4 7 】m y e rle ，e c k a r d trc ，f e j e rmme ta 1 q u a s i p h a s e m a t c h e do p t i c a lp a r a m e t r i c o s c i l l a t o r si nb u l kp e r i o d i c a l l yp o l e dl i n b 0 3 j jo p ts o ca m b ，1 9 9 5 ，1 2 ( 11 ) ：2 1 0 2 8 】j a s k o r z y n s k ab ，a r v i d s s o ng ，l a u r e l lf ，p e r i o d i cs t r u c t u r e sf o rp h a s e - m a t c h i n gi n s e c o n dh a r m o n i cg e n e r a t i o ni nt i t a n i u ml i t h i u mn i o b a t ew a v e g u i d e s j 】p r o c e e d i n g so f s p i e ，1 9 8 6 ，6 ( 1 ) ：2 2 1 9 】许煜寰铁电与压电材料 m 】科学出版社，1 9 7 8 1 0 b y g u ，b d o n g ，g y a n g ，e n h a n c eh a r m o n i cg e n e r a t i o ni np e r i o d i co p t i c a ls u p e r l a t t i c e s j 】，a p p l 。p h s l e t t ，1 9 9 9 ，7 5 ( 1 5 ) ：2 1 7 5 n 2 1 7 7 11 l e m y e r s ，g d m i l l e r ，r c e c k a r d a r t ，q u a s i p h a s e - m a t c h e d1 0 6 一z m p u m p e do p t i c a l p a r a m e t r i co s c i l l a t o ri nb u l kp e r i o d i c a l l yp o l e dl i n b 0 3 【j ，o p t l e t t ，19 9 5 ，7 0 ( 1 ) ：5 2 - 4 5 12 n a ne iy u ，j u n gh o o nr o ，m y o u n g s i kc h as u n a ok u r i m u r aa n dt s k u n o dt a i r a ， b r o a d b a n dq u a s i p h a s e - m a t c h e ds e c o n d - h a r m o n i cg e n e r a t i o ni nm g o - d o p e dp e r i o d i c a l l y p o l e da tt h ec o m m u n i c a t i o n sb a n d j ，o p t i c sl e t t e r s ，2 0 0 22 7 ：10 4 6 - 10 4 8 6 南京邮电人学硕i ：研究化学位论文第二章时域有限差分办江：( f d t d ) 的胛论 第二章时域有限差分法( f d t d ) 的理论 本章首先介绍了时域有限差分( f d t d ) 算法的特点及其应用，然后详细叙述了f d t d 算 法的基本原理，分析了差分方程的导出、数值稳定性条件、数值色散问题、吸收边界条件、 激励源的设置等关键性问题。 2 1f d t d 算法及特点【1 1 1 9 6 6 年k a n es 。y e e 在他的论文中，首次提出了一种电磁场数值计算的新方法_ 时域 有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ，f d t d ) 【2 】【3 】。对电磁场e 、h 分量在空 自j 和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 分量环绕， 应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上 逐步推进地求解卒间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后来被成为y e e 元胞。f d t d 方法 是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计算中将空间某一样本点的电场( 或磁场) 与 周围格点的磁场( 或屯场) 直接相关联，且介质参数已赋值给宅间每一个元胞，因此这一方法 可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射问题。同时，f d t d 的随时间推 进可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可 视化结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设计。 作为一种电磁场的数值计算方法，时域有限差分法具有一些非常突出的特点，也是它 的优点。正是由于这些，使得越来越多的人对它产生了浓厚的兴趣，并得到越来越广泛的 应用。它的主要特点表现在以下几个方面： 1 直接时域计算。f d t d 直接把含时间变量的m a x w e l l 旋度方程在y e e 氏网格空间 中转换为差分方程。在这种差分格式中每个网格点一卜的电场( 或磁场) 分量仅与它相邻的磁 场( 或电场) 分量及上一时问步该点的场值有关。在每一时问步计算网格空问各点的电场和 磁场分量，随着时间步的推进，即能直接模拟电磁波及其与物体的相互作用过程。f d t d 把各类问题都作为初值问题来处理，使电磁波的时域特性被直接反映出来。这一特点使它 能直接给m 非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘m 清晰的物理图 像。如果需要频域信息，则只需对时域信息进行f o u r i e r 变换。为获得宽频带的信息，只需 在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算。 2 ，“泛的适用性。南于f d t d 的直接出发点是概括电磁场普遍规律的m a x w e l l 方程， 这就预示着这一方法应具有最广泛的适用性。近儿年的发展完全证实了这点。从具体的算 7 雨京邮电人学硕。i z t 0 究牛学1 讧论文第二章 时域有限若分 f i 2 ( f d t d ) 的胛论 法看，在f d t d 的差分格式i i - 被模拟空间电磁性质的参量是按空问网格给出的，冈此，只 需设定相应空间点以及相应的参数，就可模拟各种复杂的电磁结构。任何问题只要能正确 的对源和结构进行模拟，f d t d 就应该给出正确的解答。 3 节约计算机的存储空间和计算时间。f d t d 所需要的存储空间直接由所需的网格空 问决定，与网格总数n 成正比。在计算时，每个网格的电磁场都按同样的差分格式计算， 所以，就所需的主要计算时间而言，也是与网格总数n 成止比。对比其他的数值计算方法， 当n 很大的时候，f d t d 往往是更合适有效的方法。这也是本论文舍弃p w m 等数值计算 方法而采用f d t d 算法的主要原因。 4 适合并行计算。很多复杂的电磁场问题不能计算往往不是没有可选用的方法，而是计 算条件的限制。当代电子计算机的发展方向是运用并行处理技术，以进一步提高计算速度。 并行计算机的发展推动了数值计算中并行处理的研究，适合并行计算的发展将更多的发挥 作用。如前面所指出的，f d t d 的计算特点是，每一网格点上的电场( 或磁场) 只与其周围相 邻点处的磁场( 或电场) 及其上一时间步的场值有关，这使得它特别适合并行运算。施行并行 计算可使f d t d 所需的存储空间和计算时间减少为只与n 1 3 成正比。以直角坐标系中的 立方网格空间为例，若每个坐标方向的网格数为1 1 ，则计算网格卒间的网格总数为n = n 3 。 若用n n * 6 个处理器，则每一处理器只需记忆和处理一行中一个场分量的有关信息，n * n 行可以同时处理。这样，对于一个确切的时间步，全部运行时间就正比于完成一行处理所 需时间，这个时间又正比于一行中场分量的个数n ，即n 1 3 。由此看来，f d t d 将随着并 行计算机的发展而越来越显得重要。 5 计算程序的通用性。由于m a x w e l l 方程是f d t d 计算任何问题的数学模型，因而它 的基本差分方程对广泛的问题是不变的。此外，吸收边界条件和连接条件对很多问题是可 以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数来实现，对以上各部分没有直接联系， 可以独立进行。因此一个基础的f d t d 计算程序；对广泛的电磁场问题具有通用性，对不 同的问题或不同的计算对象只需修改有关部分，而大部分是共同的。 6 简单、直观、容易掌握。由于f d t d 直接从m a x w e l lm 发，不需要任何导m 方程，这 样就避免了使用更多的数学t 具，使得它成为所有电磁场计算方法中最简单的一种。其次， 由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体作用的物理过程，所以它又是一种很 直观的方法。由于它既简单又直观，掌握它就不是件很闲难的事情，只要有电磁场的基本 理论知识，不需要数学上的很多准备，就可以学习运用这一方法解决很多复杂的电磁场问 题。这样，这一方法很容易得到推广，并在很j “泛的领域发挥作用。 8 南京i l l l l f 人学顾i ：研究生学位论文第二章时域卡i 限差分方法( f d t d ) 的理论 2 2f d t d 算法的y e e 氏网格 光场( 即电磁场) 的最基本规律是m a x w e l l 方程组，它们的一般形式是依赖时间变量的 旋度方程，从含有时间变量的m a x w e l l 旋度方程出发，k a n es y e e 于1 9 6 6 年创立了计算 电磁场的时域有限差分算法( f d t d ) 。 y e e 氏提出了在四维空间中合理离散电磁场中六个未知场量的网格体系( 称y e e 氏网 格) 。在坐标系中，该网格体系的特点是：电场和磁场各分量在空问的取值点被交叉的放置， 使得在每个坐标平面上每个电场分量的四周由磁场分量环绕，同时每个磁场分量的四周由 电场分量环绕，这就是著名的y e e 氏网格，如图2 1 所示。这样的电磁场空间配置符合电 磁场的基本规律一f a r a d a y 电磁感应定律和a m p e r e 环路定律。正是由于电磁场分量在空间 网格中的这种配置，使得用时域有限差分法在计算机的存储空间中可以模拟电磁波的传播 及其与散射体的相互作用过程。在这种电磁场的配置下，当空间出现介质突变面时可以使 突变面上场分量的边界条件自然得到满足，因而为一些复杂结构的电磁场计算问题带来很 大方便。这一点保证了f d t d 应用的广泛性。 电磁场的计算与计算空间媒质的电磁性质有重要关系，在网格空问中除了规定电磁场 的离散取值点以外，还必须同时给出各离散点相应媒质的电磁参量，即电场离散点处的介 电常数和电导率以及磁场离散点处的磁导率和等效磁阻率。这也说明，通过赋予空间点电 磁参数的方法可在网格空间中模拟各种媒质空间及各种电磁结构，这便使得用f d t d 模拟 电磁波与各种复杂的电磁结构的相互作用变得比较容易。 图2 - 1 电磁场在y e e 网格中的空间分布 9 ! 塑塞坚坐叁兰竺! ：堡! 壅：! ：堂丝堡茎笙三兰盟丝塑堡茎坌皇鲨! ! 旦! 旦! 竺堡堡 在y e e 氏网格- 川j ，每个坐标轴方向上场分量问相距半个网格空问步长，冈而同一种 场分鼍之间相隔正好为一个空间步长。为了保证计算的稳定性，时间离散的步长与空间步 长必须满足一定的关系，时问步长可选为电磁波传播个空间步长所需时间的一半。这样， 在实际运用f d t d 法时，网格的空间步长选定后，时间变量的离散规则也就完全确定了。 也就是说在选定空问网格结构后，就可根据差分近似的基本原则米建立所需的差分方程。 2 3m a x w e l l 方程在各向同性介质中的差分表示 f d t d 算法直接求解包含时间变量的麦克斯韦旋度方程。m a x w e l l 两个旋度方程如下： v 膏：望+ 歹 a 弧萤= a _ + b 7 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中，云为电场强度，单位为伏米( v ，m ) ；西为电通量密度，单位为库仑米2 ( c m 2 ) ； 厅为磁场强度，单位为安培米( m ) ；云为磁通：阜= 密度，单位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ； t 7 为电流密度，单位为安培米2 ( ，m 2 ) ；7 。为磁流密度，单位为伏特米2 ( v m 2 ) 。 各向同性线性介质中的本构关系为： d = e ，b = 蝉，j = g e e jm = o r m h( 2 3 ) 上式中，s 表示介质介电系数，单位为法拉米( f i n ) ；表示磁导系数，单位为亨利 米( h m ) ：o r 表示电导率，单位为西门子米( s m ) ；盯。表示导磁率，单位为欧姆米( q n 1 ) 。 g e 和盯。分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中o r = o ，盯。= o ，以及乒= 8 8 5 x 1 0 2f m ， = o = 4 zx l o 。h j m 。 在直角坐标系中，方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 包含下列6 个分量方程1 1 【3 】： 等一警= 占堡o t + 幔1 咖 瑟 1 l 警一警= 占鲁+ 晦 o 一= f + 肌 8 z a xa t y _ o h y 一堡：占堡+ 以一 一一o = f + ，一 a k a 1 ，西 。 1 0 ( 2 4 ) 南京邮l 乜人学硕l ：研究生学位论文第二章时域有限差分方法( f d t d ) 的理论 ( 2 5 ) 下面考虑( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式的f d t d 差分离散。并且令( 工，y ，z ，f ) 代表面或厅在直角坐标 系中某一分量，在时间和空间域中的离散取以下符号表示： f ( x ，y ，z ，t ) = ，( f 缸，j a y ，k a z ，n a t ) = 尸( f ，j ，k ) 对，( z ，y ，z t ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 笪唑型! | 尘二墨竺! 二尘二墨竺! o x i ，：诅， a x 望! 兰! 羔! 三! ! !