（应用数学专业论文）动态网络的同步与近似同步研究.pdf

动态网络的同步与近似同步研究 摘要 本文研究复杂动态网络的同步与近似同步及判定问题动态网络在物理、数 学、生物、信息、管理、甚至艺术领域中都有着广泛的应用，对其中的完全同步 和近似同步现象的深入研究和认识具有重要的理论意义和实际实用价值由于参 数扰动的影响在相同参数条件下已完全同步的网络可能变成不完全同步或广义 同步，甚至不同步因为有相同参数的无噪声网络在现实世界中是不可能的，这就 意味着网络节点参数都恒同、无任何参数偏差只是一个理想的假设，相较之下， 近似恒同网络更具普遍性，也得到科学家们越来越多的关注 本文研究的动态网络系统，其单个节点的状态方程如下： i c i = f ( x i ，v i ) ( i = 1 ，2 ，) 其中戤r m 是第i 个节点的状态变量，v i 留是相应的参数由这样的节点通 过耦合构型矩阵联系在一起的动态网络系统可表示为： 疵= f ( x i ，忱) + 仃a i j w j ( h ( x j ) 一日( 戤) ) ，( i = 1 ，2 ，) j = l 参数盯是网络的耦合强度；对称矩阵a = ( o 巧) n 是反映节点间连接拓扑关 系的关联矩阵，其元素只取0 或l ，n 西= 1 表示第i 个节点和第歹0 i ) 个 节点相互关联，a i j = 0 表示第i 个节点和第j ( j i ) 个节点无直接关联；矩阵 w = ( ) n 称为权重矩阵；h ：r m 一舻是节点状态变量之间的内部耦合函 数 一般而言，各节点的参数 u i 是不相同的若u l = v 2 = = v n ，则称网络系 统为恒同网络，若各节点参数仇相互接近，则称网络系统为近似恒同网络进一 t 摘要 步，若矩阵( a i j w i ，) 是对称矩阵，则称网络系统为对称网络，否则称非对称网络 本文在前人研究的基础上着重研究了非对称近似恒同网络的局部近似同 步、非对称恒同网络的全局同步及非对称近似恒同网络的全局近似同步问题 首先将主稳定函数法推广应用于非对称近似恒同网络的局部近似同步问题，获得 了相应的判定定理；其次，将l y a p u n o v 函数法和图论结合，利用基于连接图的稳 定性方法分别研究了非对称恒同网络的全局同步与非对称近似恒同网络的全局 近似同步问题，获得了相关的判定定理，揭示了网络同步与网络结构图之间的联 系与主稳定函数法相比，连接图下的全局稳定研究不仅允许常数连接系数还允 许时间依赖的的连接系数最后，对如何选取近似恒同网络的参考轨道问题进行 了讨论，获得了一些新认识，简化了近似恒同网络的近似同步计算 关键词：动态网络；非对称网络；近似恒同网络；近似同步；主稳定函数；连接图稳 定 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys y n c h r o n i z a t i o na n dn e a r - s y n c h r o n i z a t i o no fd y n a m i c a l n e t w o r k s d y n a m i c a ln e t w o r k sa r ea p p l i e dw i d e l yi nd i f f e r e n tf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ， m a t h e m a t i c s ，b i o l o g y , i n f o r m a t i c s ，m a n a g e m e n to re v e ni na r t s t h es t u d yo nt h e i r s y n c h r o n i z a t i o na n dn e a r - s y n c h r o n i z a t i o nh a si m p o r t a n tv a l u ef r o mt h ev i e wp o i n t s o ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n p a r a m e t e rm i s m a t c hc a nc a u s et h en e t w o r k s s t a t ec h a n g ef r o mt h es y n c h r o n o u ss t a t et on e a r - s y n c h r o n o u so n e st og e n e r a l i z e ds y n - c h r o n o u so n e s ，o re v e nu n s y n c h r o n o u s s i n c ean o i s e l e s ss y s t e mw i t he x a c t l yt h es a m e p a r a m e t e r si si m p o s s i b l ei np r a c t i c e ，a l lt h ep a r a m e t e r so ft h en o d e si nn e t w o r ka r ei d e n t i c a lw i t h o u ta n ym i s m a t c hi so n l yap e r f e c ta s s u m p t i o n i nt h ec o n t r a s t ，n e a r - i d e n t i c a l n e t w o r ki sm o r ec o m m o na n d p r a c t i c a l a tt h es a m et i m e ，t h i st y p eo fn e t w o r ka t t r a c t s m o r ea t t e n t i o nf r o mt h er e s e a r c h e r s b y i n d i v i d u a ld y n a m i c so ft h ed y n a m i c a ln e t w o r k ss t u d i e di nt h i sp a p e ri sg o v e r n e d 规= f ( x i ，忱) w h e r ex i r mi st h es t a t ev a r i a b l ef o rt h ei t hn o d e ；i wi st h ec o r r e s p o n d i n g p a r a m e t e r s t h ed y n a m i c a ln e t w o r k sc o n s i d e r e di nt h i st h e s i sc o n s i s t i n go ft h e s en o d e si n t e r - i i i a ： 0 a b s t r a c t a c t i n gt h r o u g hac o u p l i n gc o n f i g u r a t i o nd i f f u s i v e t y p ec o u p l i n gr e a da s n x i = f ( x i ，忱) + 仃。巧( 日( ) 一n ( x i ) ) ，i = 1 ，2 ， j = 1 w h e r e 仃i sc o u p l i n gs t r e n g t ho fn e t w o r k s 。s y m m e t r i cm a t r i xa = ( a q ) n nr e p r e s e n t s t h e t o p o l o g yo fi n t e r a c t i o n sa m o n gt h en o d e s ，a o = 1i fn o d e sia n dj ( j 0 ) a r e c o n n e c t e da n da j = 0i fn od i r e c tr e l a t i o nb e t w e e nn o d e sia n dj ( y o ) ，m a t r i x w = ( 叫巧) nr e p r e s e n t st h ea s s i g n m e n to fw e i g h t s ，h ：p _ pm e a n st h e i n t e r n a lc o u p l i n gf u n c t i o no fs t a t ev a r i a b l eo fn o d e i ng e n e r a l ，t h ep a r a m e t e r1 3 io ft h en o d ei sd i f f e r e n tf r o me a c ho t h e r t h en e t 一 w o r k si sc a l l e di d e n t i c a ln e t w o r k si fv l = v 2 = = v n ；t h en e t w o r k si sc a l l e d n e a r - i d e n t i c a li fa l lt h ep a r a m e t e r sa r ec l o s ef r o me a c ho t h e r ；f u r t h e r , t h en e t w o r k si s s y m m e t r i co n ei ft h em a t r i x ( o 巧蚴) i ss y m m e t r i c ，o t h e r w i s e ，t h en e t w o r k si sc a l l e d a s y m m e t r i c b a s i n go np r e v i o u sp u b l i s h e dr e s e a r c h ，w ef o c u so ns y n c h r o n i z a t i o no fa s y m m e t r i cn e t w o r ka n dn e a r - s y n c h r o n i z a t i o no fa s y m m e t r i cn e a r - i d e n t i c a ln e t w o r k b ye x t e n d i n gt h em a s t e rs t a b i l i t yf o r m a l i s mt oa p p l yo nt h ep r o b l e mo fl o c a ln e a r - s y n c h r o n i z a t i o no fa s y m m e t r i cn e a r - i d e n t i c a ln e t w o r k ，s o m e c o r r e s p o n d i n gc r i t e r i o nt h e o r e m s a r eo b t a i n e d t h e nc o m b i n i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o na n d g r a p h t h e o r e t i c a lr e a s o n i n g ， c o n n e c t i o ng r a p hb a s e ds t a b i l i t ym e t h o di se x t e n d e dt ot h es t u d yo ng l o b a ls y n c h r o n i z a t i o no fa s y m m e t r i ci d e n t i c a ln e t w o r ka n dg l o b a ln e a r - s y n c h r o n i z a t i o no fa s y m m e t r i cn e a r - i d e n t i c a ln e t w o r k ，s o m ec o r r e s p o n d i n gc r i t e r i o nt h e o r e m sa r eo b t a i n e d ，t h e r e l a t i o nb e t w e e ns y n c h r o n i z a t i o no fn e t w o r ka n dt h eg r a p ho fn e t w o r ka r ed i s c u s s e d c o n t r a r yt ot h em a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ，t h ec o n n e c t i o ng r a p hs t a b i l i t ym e t h o dp e r m i t s n o to n l yc o n s t a n t ，b u ta l s ot i m e - d e p e n d e n ti n t e r a c t i o nc o e f f i c i e n t s a tl a s t ，w ed i s c u s s t h ep r o b l e mh o wt os e l e c ta p r o p e rr e f e r e n c et r a j e c t o r y ，o b t a i ns o m en e wf i n d i n g sa n d i v l l a b s t r a c t 。 _一 s i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o no fn e a r - s y n c h r o n i z a t i o no fn e a r - i d e n t i c a ln e t w o r k k e yw o r d s ：d y n a m i c a ln e t w o r k s ；a s y m m e t r i cn e t w o r k ；n e a r - i d e n t i c a ln e t w o r k ；n e a r - s y n c h r o n i z a t i o n ；m a i ns t a b l ef u n c t i o n ；c o n n e c t i o ng r a p hb a s e ds t a b i l i t y v 目录 摘要i a b s t r a c t 目录v i i l 绪论1 2 预备知识4 2 1 对称恒同网络j 4 2 2 非对称恒同网络 6 2 3 对称近似恒同网络7 2 4 非对称近似恒同网络：9 3 非对称近似恒同网络的局部近似同步1 1 3 1 推广的主稳定方程与近似同步判定l l 3 2 数值例子1 5 4 非对称网络的全局同步与全局近似同步判定2 0 4 1 非对称恒同网络的全局同步，2 0 4 2 非对称近似恒同网络的全局近似同步2 6 4 3 应用实例2 9 5 关于参考轨道的选取：3 l 5 i 平均参数轨道3 1 5 2 源节点网络3 4 5 3 应用实例3 6 6 小结? 4 0 参考文献4 l 目录 在学期间的研究成果及发表的论文4 5 致谢4 6 学位论文独创性声明及授权声明4 7 学位论文诚信承诺书4 8 v i i 在病床上 步摆动的 梁相互作 同步现象 心肌细胞 在人们的日常生活中，同步现象俯拾皆是例如，当一场精彩的戏剧演出结束 的时候，剧场里的掌卢在最初的时刻是零乱的，节奏是不同的，但是在几秒钟后， _ ， 每个人都和着别人的节奏鼓掌，大家都用共同的节奏欢呼起来【3 】然而，同步现 象也有可能是有害的例如，2 0 0 0 年6 月1 0 日伦敦千年桥落成，当成千上万的人 们开始通过大桥时，共振使这座6 9 0 吨钢铁造成的大桥开始振动桥体的s 形振 动所引起的偏差甚至达到了2 0 厘米，使得桥一k 的人们开始恐慌，大桥也不得不临 时关闭。 在过去的几十年里，复杂网络的同步情形已经引起了来自不同领域研究者的 注意，诸如物理、数学、生物、信息、管理、甚至艺术【1 】 4 卜【1 2 】 1 5 】 2 7 】 3 5 】 如何使网络节点的运动同步化是一个很令人感兴趣的课题 本文研究的近似恒同网络中孤立节点的动态方程如下： 也= f ( x i ，仇) i = 1 ，2 ， ( 1 1 ) 其中兢是第i 个节点的状态分量，仇留是相应的参数可以看出，在系统 ( 1 1 ) 中，各节点的参数v i 是不同的 文中考虑把这些节点通过耦合构型矩阵联系在一起，耦合后网络动态方程如 1 1 绪论 下： 其中参数仃是网络的耦合强度；对称矩阵a = ( 口西) 是反映节点间连接的 拓扑关系的关联矩阵，矩阵元素a 西只取o 或1 , a t f = l 表示第i 个节点和第 j ( j i ) 个节点相互关联，o 巧= 0 表示第i 个节点和第j ( j i ) 个节点无直接 关联；矩阵w = ( 埘i ，) 称为权重矩阵；h ：r m 一砂是节点状态变量之间 的内部耦合函数目前大量的研究工作均假设所有网络节点的参数都是恒同的 1 4 】【1 6 】 1 7 】 18 】【2 0 】 2 3 3 2 3 4 ，无任何参数偏差，即u l = v 2 = = u ，则系统 ( 1 1 ) 成为恒同网络在这个假设下，网络可能会达到完全同步，这种情况已经运 用主稳定函数( m s f ) 【1 4 】【1 6 】【1 7 】【2 2 】、李雅普诺夫函数 1 8 2 0 3 4 、图论【3 2 】 等做了大量的研究很显然，这个假设是不现实的，因为有相同参数的无噪声网络 在现实世界中是不可能的另一方面，目前虽然已经有一些方法应用于混沌动态 网络近似同步的研究【1 6 1 7 ，但是大家关注的焦点还是完全同步 众所周知，节点间的参数偏差能够引起同步状态的变化由于参数扰动的影 响在相同参数条件下已完全同步的网络可能变成不完全同步或广义同步，甚至不 同步该现实中，不同节点的运动轨道虽然无法获得一个完全相同的时间函数，但 是可以代之以各个节点的轨道在一个小邻域内彼此靠近，亦可满足实际需求然 而与文献中被广泛讨论的恒同网络的完全同步相比，带小参数偏差的近似恒同 网络和近似同步【1 9 】更适合实际的需要在目前的研究中，想要使网络达到实际 需求的同步状态，与设计一个复杂的未知的控制器 2 1 2 5 3 3 】相比，控制和调整 耦合强度显然是最方便也是最直接的途径此外，不管研究的是哪种同步状态恒 同同步还是近似同步，目前的研究都主要集中在耦合矩阵对称( 即耦合矩阵可 对角化) 的网络上【1 3 1 4 1 8 3 1 然而无向无权重网络在现实中是几乎不存在 的，也就是说大多数的耦合矩阵通常是不对称的【2 0 3 2 】甚至是不可对角化的 【1 6 1 1 7 与可对角化的对称网络相比，人们在更受欢迎和更有实际应用价值的不 可对角化网络上的研究做的不多人们虽对耦合矩阵非对称网络已有研究，近似 2 22l=zh 一 巧 日 ” 山 一u o 芦 盯 + 仇 z ， = z 1 绪论 恒同网络也已引起大家的关注，但据我所知到目前为止，耦合矩阵非对称且近似 恒同的网络虽被提及但并没有被分析【1 9 】，本文将重点分析这一类型的网络 本文通过设计一个有方向和权重的连接拓扑( 即耦合矩阵不一定可对角化 ) ，在文【1 6 1 7 1 9 】中的m s f 法和微分方程不变原理基础上，使非对称近似恒 同节点网络达到近似同步情形( n s s ) ，这种情形更为一般和实际同时，本文对 文【1 2 8 】中连接图稳定方法做进一步的推广，使其适用于更一般的非对称恒同 网络与非对称近似恒同的网络 另外，参考轨道的选取一直是网络同步研究中的一个难题虽然在理论上一 般采用平均轨道，但由于平均轨道的求解需求解原方程，因计算量过大而改以其 它轨道代替在文献【1 9 】中，参数平均轨道被用来影射平均轨道，但并未给出适用 条件和相关讨论证明在本文中，我们讨论了参数平均轨道被用来影射平均轨道 的适用条件同时，我们给出参数平均轨道虽然在合适的条件下可以用来计算最 大李雅普诺夫指数( l m 口z ) ，但是它本身有可能与我们的系统并不同步进一步的， 我们还讨论了一类特殊网络的参考轨道选取问题，使庞大的计算过程得以简化 本文的结构和主要内容分布如下：第一章为绪论，简单介绍本文所要研究的 系统( 1 1 ) 以及前人所做的成果第二章，分四个部分，分别介绍了网络的四种类 型及其相关概念第三章，通过m s f 来研究非对称近似恒同网络局部同步判据 并给出数值验证第四章，通过基于连接图的稳定性方法来研究非对称恒同网络 与非对称近似恒同网络全局同步判据并举例第五章，通过调整网络结构，获得合 适的参考轨道，并应用最后一章对本文进行小结 标注： 厶：佗n 单位矩阵； o ：两个矩阵的k r o n e c k e r 内积； | l 0 ：欧氏向量模； r x ( c ) ：所有n n 实( 复) 矩阵组成的集合 3 2 预备知识 本文主要讨论非对称恒同或非对称近似恒同网络的同步问题，它们在众多领 域中有着广泛的应用为此本章先介绍相关知识 2 1 对称恒同网络 所谓对称恒同网络是指下面的网络系统： n 疵= f ( x i ) + 盯n o ( h ( x j ) 一h ( x t ) ) ，i = 1 川2 一， ( 2 1 ) i = 1 其中其中x i 是第i 个节点的状态变量；参数盯是网络的耦合强度；对称矩 阵a = ( a i j ) f v n 是反映节点间连接的拓扑关系的关联矩阵，矩阵元素a i j 只取0 或1 ，= 1 表示第i 个节点和第j ( j i ) 个节点相互关联，a i j = 0 表示第i 个节 点和第j ( j i ) 个节点无直接关联；h ：矽_ 是节点状态变量之间的内部 耦合函数为了方便讨论，通常定义 l i j = 一，若i 歹； z 乱= 一篓；幻 则方程( 2 1 ) 可改写为 ( 2 2 ) 显然耦合矩阵l = ( 幻) n 为对称矩阵，并且是一个行和为零的l a p l a c e 矩阵， 它的特征值可排序0 = a 1 入2 a 3 入 网络系统( 2 2 ) 最显著的特征就是存在同步流形，也就是说下面的子流形不 变 4 2 = 日 触 矿 一 枕， = z 黝( t ) _ s ( ) ，i = l ，2 ， 则称动态网络( 2 2 ) 可局部完全( 渐近) 同步到状态s ( ) 特别的，当d = r m 时，则称网络系统( 2 2 ) 全局完全同步 对于对称恒同网络，目前已有大量研究 1 3 1 1 4 1 1 8 1 ，根据同步状态s ( 亡) 的不 同情况，这类网络系统可能达到的完伞同步状态可以是平衡点、周期轨道、甚 至是混沌轨道判定该类网络系统是否同步的一个著名方法是1 9 9 8 年在文献 【1 4 】中提出的主稳定函数法根据主稳定函数法，判定网络系统是否同步于状态 s ( 亡) 可以归结为计算网络( 2 2 ) 对应的主稳定方程 力= d f ( s ( t ) ) 一仃入d 日( s ( 亡) ) 】叼 ( 2 3 ) 的最大李雅普诺夫指数l m 凹( 入) ，称为主稳定函数若c m 们( 盯a i ) o ( i = 2 ，3 ，其中九为l 的一1 个非零特征值) ，则网络( 2 2 ) 可达完全( 渐 进) 同步状态由于该方法是通过计算一阶变分方程得到主稳定函数，冈此通常 只能得出局部同步的结论要讨论全局同步的问题，可用李雅普诺夫函数法 1 8 1 另外文献 2 8 】将李雅普诺夫函数法与图论结合提出了基于连接图的稳定性方法， 获得一种关于对称恒同网络全局同步的判定方法在一定条件下，该方法只需计 s 2 预备知识 算连接图的路径长度问题，方便快捷本文将把这个方法进行推广获得非对称恒 同网络的全局同步判据，并给出实例以阐明其应用 此外，文献【1 3 1 1 6 1 1 7 】还利用主稳定函数法的基本思想，用图论方法讨论了 对称恒同网络同步的最优化问题 2 2 非对称恒同网络 虽然目前的大量文献主要研究对称网络的同步问题，然而非对称网络在现实 问题中是不可避免的，更加贴近实际所谓非对称恒同网络是指如下系统： 其中a = ( a z ) n n 仍为系统( 2 1 ) 中的关联矩阵，而矩阵w = ( w i j ) l v n 称为权 重矩阵，其元素可以取任意实数同样，系统( 2 4 ) 也可简写成系统( 2 2 ) 的形式， 若定义 岛= 一n 巧，若i 歹； f 税= 一路；岛 特别注意，此时耦合矩阵l = ( 1 i j ) n n 一般是非对称矩阵，因此有非对称网络之 说 在上一节介绍的对称网络中，由于耦合矩阵l 是对称的，它必然可以对角化， 因此才可以把n m 维的问题简化到m 维的问题，得到相应比较简洁的主稳定 方程( 2 3 ) 而非对称网络，若非对称耦合矩阵己可对角化 2 6 ，则仍可得到上一 节中的主稳定方程( 2 3 ) 但是大部分的非对称耦合矩阵己是不可对角化的，此时 不能直接用上一节中的主稳定函数法文献 1 6 1 1 1 7 】对这种情况得到推广的主稳 定函数法 6 42 2l | | v zh一 巧 日 一v 一v 0 芦 盯+ z ， = z p = j ： 立： ：， 入；j 1 九 ? 7 1 = d ，( s ( 亡) ) 一a a i d 日( s ( 亡) ) 】刀1 ， ( 2 5 ) 亿= d f ( s ( t ) ) 一盯a i d 日( s ( 亡) ) 】叩2 一o r d h ( s ( t ) ) 7 7 1 ， ( 2 6 ) ， ( 2 7 ) 力= d f ( s ( t ) ) 一a a i d h ( s ( 亡) ) 纸一仃d h ( s ( t ) ) 叩一1 ( 2 8 ) 当方程( 2 5 ) 的最大李亚普诺夫指数l m ( 盯九) 0 且d h ( s ( t ) ) 有界时，若当块 鼠对应的上述方程组是线性稳定的，即o a t ) _ 0 ，j = 1 ，2 ，k i 因此，若最大 李亚普诺夫指数l m a x ( c r a i ) o ( i = 2 ，3 ，2 ) 且d h ( s ( t ) ) 有界时，则整个非对 称恒同网络系统( 2 4 ) 可达完全( 渐进) 同步状态 对这类非对称恒同网络，文献【2 4 3 2 】用李雅普诺夫函数法研究了全局完全 同步问题，文献【1 6 1 7 2 0 】推广的主稳定函数法研究了非对称恒同网络的局部 同步问题，但并未考虑节点非恒同的情形，本文将进一步将主稳定函数法推广应 用于非对称非恒同网络 2 3 对称近似恒同网络 目前大量的研究工作均假设所有网络节点在未耦合时均有相同的动力学方 程如上介绍，在该假定下网络存在完全同步流形但是，孤立节点具有不同动力 7 2 预备知识 学方程的模型不可避免，更具普遍性，例如，即使实际问题要求孤立节点动力学方 程相同，但是由于参数不可能精确测量等因素也会造成孤立节点动力学方程的微 小差异因此有必要研究孤立节点具有不同动力学方程的耦合网络，特别应研究 如下形式的对称近似恒同网络： 其中l = ( ) 为对称关联矩阵，仇彤是相应第i 个节点的系统参数当 口1 = 珑= = v n 时，网络( 2 9 ) 就成为前两节中介绍的恒同网络一般而言，当 参数仇不全相同时，恒同网络中存在的同步流形m 将不再保持，给进一步的分 析带来困难对这一类网络已有多种方法进行研究，如基于连接图的稳定性方法 【2 8 、自适应控制法【3 3 1 、主稳定函数法【1 9 1 各节点状态方程中参数仇的偏差可能影响网络的同步状态，甚至使网络不 能达到同步，因此我们考虑所谓近似同步的问题。， 假设在系统( 2 9 ) 中提及的参数眈是彼此接近的参数，文献 1 9 】引入下面的 定义 定义2 2 ( 网络的近似同步) 对于给定的小常数c 0 ，若系统( 2 9 ) 的状态 x i ( t ) ( i = 1 ，2 ，) 在时间t _ o o 时满足条件 1 m i j a x n0 兢( ) 一巧( 亡) | | c ， 则称网络( 相对于c ) 可达到近似同步状态 对这种近似同步的网络系统，我们可以用平均轨道牙( 亡) = 专墨。航( 芒) 来近 似描述单个节点的运动状态若采用平均轨道牙( 亡) 做参考轨道，类似恒同网络的 情况，可得到系统( 2 9 ) 相对于平均轨道e ( t ) 的偏差吼= 茁i ( 亡) 一e ( t ) 的一阶变分 8 9221 = 巧 日 一= 芦 盯一 仇 z ， = z 预各知识 孟( 删依+ d 口，( 牙( 亡) ，d ) 墨1 p , 歹h j ( 2 1 0 ) 记矩阵c = ( 幻一专冬。幻) n ，p 一1 = ，入) 这是关于r h 的一个m 维非齐次线 定理2 1 若对所有i = 2 ，3 ，方程( 2 1 0 ) 满足条件 系统( 2 1 0 ) 对应的齐次线性系统指数稳定，即最大李亚普诺夫指数为负； 非齐次部分d ，整1 p t j h j 有界， 则非齐次主稳定方程( 2 1 0 ) 的解是渐近有界的，从而系统( 2 9 ) 可达到近似同步 注意：定理2 1 是在对称近似恒同网络条件下给出的近似同步判据，并未研 究耦合矩阵非对称情况据我所知，未见针对非对称近似恒同网络的近似同步判 据研究，本文将在第三章中进行讨论，给出相应的判据 此外，定理2 1 中涉及的平均轨道在实际应用中是很不方便的，特别是对大 规模网络系统是很难获得的因此如何选择便于实际运用的参考轨道也就成了该 类网络研究中的一个很有意义的课题针对此问题本文专门讨论了参考轨道的选 取问题，对一类特殊的包含有源节点( 详见第五章) 的非对称近似恒同网络进行深 入讨论另外，文献【2 8 】基于连接图的稳定性方法，通过计算连接图的路径长度来 讨论对称近似恒同网络全局近似同步问题，但并未探讨非对称近似恒同网络的情 况，本文将在第四章中将他们的方法推广到非对称近似恒同网络的情况 2 4 非对称近似恒同网络 考虑到实际问题的复杂性，除了以上介绍的各类嘲络，有必要研究所谓非对 9 2 预备知识 称近似恒同网络的同步或近似同步问题即系统( 2 9 ) 中耦合矩阵l 不对称，仇不 全相同特别是耦合矩阵不可对角化时，无法直接用前文介绍的结果，需要专门研 究本文在第三章和第四章中将对这种情况的近似同步问题进行研究并给出相应 的判据 1 0 到对称近似恒同网络近似同步的判据本章在前人研究工作的基础上将主稳定函 数法做推广，研究非对称近似恒同网络的近似同步问题 考虑系统 ( 3 1 ) 其中耦合矩阵l = ( 如) 不可对角化，且f “= 一舞tl i j ，i = 1 ，2 ，n ，v i 是 有微小偏差的参数 3 1 推广的主稳定方程与近似同步判定 假设牙( 亡) = 专釜1z t ( ) 是系统( 3 1 ) 的一条平均轨道，记毛( 亡) = 兢( ) 一牙( 亡) 是第i 个节点相对于平均轨道的偏差，面= 专篓1 耽是平均参数，h i = 忱一面 是第i 个节点的参数偏差，吗= 专竺l 如，歹= 1 ，2 ，n ，c = ( 岛) r ， = 幻一a j ( i ，歹= 1 ，2 ，) 将已，h i 代入式子( 3 1 ) 得 毫= 娩一杰 = 厂( 兢，仇) 一盯篓。l 缈日( 巧) 】一 专篓。f ( x j ，吻) 一o - e j 竺。奶h ( ) = 厂( 牙+ 毛，面+ 玩) 一丙1 釜1 ，( 孟+ 岛，西+ ，o ) 一盯器1 e i j h ( 牙+ 白) ( 3 2 ) 对( 3 2 ) 式在( 牙，面) 处展开得到一阶变分方程 基= d z f ( x ，订) 6 一盯篓1 岛d 日 ) 白十d 钉f ( x ，面) 玩 ( 3 3 ) 21 ，= 巧 h 芦 盯一 仇 z ， = z 3 非对称近似恒同网络的局部近似同步 显然，变分方程( 3 3 ) 与非对称恒同网络对应的变分方程相比多了非齐次项 d 秒厂( 牙，面) 玩类似于对称近似恒同网络中m 维的主稳定方程( 2 1 0 ) ，下面推导非 对称近似恒同网络对应的主稳定方程 方程( 3 3 ) 也可写成矩阵乘积形式 或 毒= d z f 一a d h 毒t + d f h ， = ( 荨1 ，已，一，知) r m ) ( 3 4 ) = 【h o d z f a l o d h 毒+ i n o d h ，( = ( f ；1 ，露，罨) t r m 1 ) ( 3 5 ) 其中c t 表示矩阵c 的转置矩阵，根据矩阵与矩阵l 的定义可知它们的特征 值是完全相同的 系统( 3 1 ) 在耦合矩阵l 可对角化的情况下，近似同步已有研究【1 9 】，此时 d j 三专竺ll i j = 0 ，并且存在可逆矩阵p 使得p _ 1 p = h = d i a g 入1 ，入2 ，入 ， 其中，入l ，a 2 ，a 是矩阵l 的特征值 对本章讨论的不可对角化的情况，根据矩阵理论知识，存在可逆矩阵p 将矩 阵化为若当标准型，即 p 一1 c p ：了：，o 易 、厂九 l 反：卜 鼠j 卜 九 k i x k i 其中，b i 为k i 阶若当块，：= 2k i + 1 = ，a i , i = 2 ，2 为矩阵c 的特征值( 有可 能是复数) 1 2 叩r + l m + 2 d 。，一a ) k d h r h + l + d 口，墨1p r + l , j h j ， 【d 。，一仃a t d 日 叩r + 2 一盯d h r h + l+ d 锄，釜lp r - - 2 。4 h j ， 枷+ = 【d 。，一a ) q d h r h + 觑一盯d h r h + 版一1 + d 口，篓lp 件k i j h j 为叙述方便，引入记号 n 1 ( ) = 0 ，a s ( t ) = - - 0 d h 伽+ 。一1 ( s = 2 ，觑) b x t ) = d v ，墨1p 件。j ，( s = 1 ，) 则上述方程可写为 1 7 = d z i 一仃九d h y + a ( t ) + 6 ( 亡) ， ( 3 7 ) 其中y = ( r h + 1 ，r h + 2 ，+ ) ，a = ( a r + l ，a r t 2 ，a r + k i ) ，b = ( b r + l ，b r - f 2 ，b r + k i ) 每一个若当块反对应的子方程都具有如上形式，因此通过若当变换p ，就将 nxm 维的主稳定方程( 3 6 ) 的分析转化为对k ixm 维的子方程的分析尽管已 经进行了简化，但与不可对角化恒同网络情况相比，这个主稳定方程( 3 7 ) 又增加 了非齐次项6 ( 亡) 由方程( 3 7 ) 的结构，可以看到这是一个非齐次线性微分方程组为了分析它 13 3 非对称近似恒同网络的局部近似同步 的稳定性，先考虑对应的的齐次方程 力= d z ，一仃a d h q ( 3 8 ) 方程( 3 8 ) 在形式上与文献【1 4 】中的主稳定方程完全相同，所以当时间t o o 时，叩按指数率趋于。当且仅当最大李亚普诺夫指数l ( 仃a ) 0 下面假设 仃入t 对应的最大李亚普诺夫指数l m 纰( 仃儿) 0 ，i = 2 ，3 ，1 记西( ，o a ) 是 方程( 3 8 ) 的基本解矩阵，则对t t o 存在依赖这些盯a i 的正常数，y 使得对 i = 2 ，3 ，f ，有不等式 西( 亡，仃九) 垂( o ，盯九) 一1i | p e 一, _ y ( t - t o ) ( 3 9 ) 为了书写方便，以下西( 亡，盯入) 关于盯入的依赖关系不再明示 对于非齐次线性方程组( 3 7 ) ，每一个子方程都具有相同的形式，它们的解可 以统一的表示为 伽+ t ( 亡) ：垂( 亡) 西一1 ( ) 伽+ i ( ) + 圣( 亡) i 圣一1 ( 7 - ) ( 。 ( 7 ) + 玩( 7 - ) ) d 7 - ( 3 1 0 ) t ，t o 从而利用不等式( 3 9 ) 可得： 嘶+ i ( t ) l l o 圣( ) 西一1 ( t o ) l l 1 1 t r + i ( t o ) l l + 尼i l o ( t ) 西一1 ( r ) l l d r s u p rl i ( n i ( 7 ) + 玩( 7 - ) ) i | p e 一7 ( 。一。) l l r r + i ( t o ) l l + 笔( 1 一e 一7 ( 一叫) s u p 下i i ( a i ( r ) + 玩( 7 ) ) 0 赢gs u p r t ( 7 - ) + 统( 7 ) ) i i ( 3 1 1 ) 由此可看出只要非其次部分( a i ( t ) + 玩( 亡) ) 渐进有界则伽“( 亡) 是有界的那么， 非齐次主稳定方程( 3 7 ) 的解是渐进有界的根据方程( 3 7 ) 中a i ( t ) ，6 i ( t ) 的定 义，可以通过控制参数偏差b 以及耦合强度5 r 及适当的内联函数日依次使得 7 7 2 ，7 3 ，伽渐进有界就能控制s u p 。i i ( a i ( t ) + 6 t ( 亡) ) i | 适当小，即可使网络达到 1 4 则只要参数偏差充分小，系统( 3 1 ) 可以达到近似同步状态 3 2 数值例子 ，在 以控制 结果 负： 本节将给出具体例子来说明上述关于非对称近似恒同网络局部近似同步判 定定理3 1 的应用考虑孤立节点处的动态方程为l o r e n z 方程并由4 个节点构 成的非对称近似恒同网络： l o ( x i 2 一觑1 ) b i x i l x i l x i 3 x i 2 x i l x i 2 一；翰 一羞z f 3 其中z = ( z l ，z 2 ，z 3 ，x 4 ) t ，观= ( 娩1 ，z 幽z 3 ) 是第i ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 个节点的状态向 量，对应方程( 3 1 ) 中的v i ，参数偏差h = ( b t 一5 ) 4 1 = 一0 0 1 ，- 0 0 1 ，0 0 1 ，o 0 1 】t ， 取云= 2 8 ，内部耦合由h = d i a g 1 ，1 ，1 ) 确定 记平均轨道牙( 亡) = ( x ( 亡) ，y ( ) ，z ( ) ) 其中x ( ) = 竺。鼢1 ( 亡) ，y ( 亡) = 4 1 竺1z i 2 ( ) ，z (