（信号与信息处理专业论文）基于分数低阶循环相关的系统辨识及应用研究.pdf

大连理t 大学硕士学位论文 摘要 系统辨识是指根据系统的输入、输出信号及其统计特性进行系统参数的估计。基于 循环平稳特性的二阶统计量( s o s ) 方法与以往基于高阶统计特性( h o s ) 的方法相比具 有计算量小、收敛速度快等优点，因此近年来，基于信号循环平稳特性的系统辨识方法 受到了广泛的关注。 在传统的信号处理中，高斯信号模型占据主导地位，这种假设在许多情况下是合理 的，而且在该模型下设计的信号处理方法易于进行理论上的解析分析。然而，在实际应 用中存在的大量非高斯信号和噪声具有显著的尖峰脉冲特性，如水声信号、低频大气噪 声及许多人为产生的信号和噪声。如果仍采用高斯分布模型来描述这类过程，将会由于 模型与信号噪声不能很好匹配而导致所设计的算法性能显著退化。口稳定分布则为这类 过程提供了非常有用的理论工具，因此，通常用口稳定分布来描述这类具有显著尖峰脉 冲状波形的随机信号。由于盯稳定分布是广义的高斯分布，而高斯分布是口稳定分布的 特例，因此口稳定分布模型具有更广泛的适用性。但在分数低阶口稳定分布噪声下，由 于没有有限的二阶矩，因此在高斯模型下基于二阶统计量的系统辨识方法不能正常工 作。 本文首先回顾了系统辨识的发展，然后分别从分数低阶口稳定分布模型和高斯模型 这两方面着手，具体介绍了基于共变、盯谱的系统辨识方法和基于循环平稳特性的二阶 统计量的系统辨识方法。然后结合分数低阶相关和二阶循环相关给出了分数低阶循环相 关( f l o c c ) 的定义，并证明了分数低阶循环相关的循环频率与二阶循环相关的循环频率 相等的特性。最后在背景噪声为口稳定分布模型假设条件下，应用分数低阶循环相关理 论，依据现有的基于循环平稳特性的二阶统计量的系统辨识方法，给出了基于分数低阶 循环相关的系统辨识算法。理论分析和计算机仿真表明，该算法在高斯和非高斯口稳定 分布噪声环境下均具有良好的韧性。 关键词：循环平稳；分数低阶口稳定分布；分数低阶循环相关 大连理工大学硕士学位论文 s y s t e mi d e n t i f i c a t i o na n da p p l i c a t i o nb a s e do nf r a c t i o n a ll o w e r o r d e r c y c l i cc o r r e l a t i o n a b s t r a c t s y s t e mi d e n t i f i c a t i o na i m sa tr e t r i e v i n gt h eu n k n o w nr e s p o n s eo fs y s t e mu s i n gt h ei n p u t a n dt h eo u t p u ts i g n a la n dt l l e i rs t a t i s t i c s t h es e c o n d - o r d e rs t a t i s t i c s ( s o s ) m e t h o db a s e do n c y c l o s t a t i o n a r ys h o w st h es u p e r i o r i 哆t ot h em e t h o db a s e do nh i g h 盯s t a t i s t i c s ( h o s ) i n c o i n p u t a t i o n sa n dc o n v e r g e n c es p e e d s t h es y s t e mi d e n t i f i c a t i o n m e t h o d sb a s e do n c y c l o s t a t i o n a r y , w h i c hh a v e b e e na t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s g a 鹏s i a nm o d e li si nd o m i n a n tp o s i t i o no ft r a d i t i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n gf i e l d t 1 1 i s a s s u m p t i o ni sr e a s o n a b l eu n d e rm a n yc i r c u m s t a n c e s i t se a s yt oc a r r y o u tt h e o r e t i c a la n a l y s i s i nd e s i g n i n gs i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d su s i n gt h eg a u s s i a nm o d e l h o w e v e r ，i nf a c tt h e r ea r e al o to fn o n - g a u s s i a ns i g n a l sa n dn o i s e sw i t hn o t a b l ep u l s ec h a r a c t e r i s t i c ，l i k eu n d e r w a t e r a c o u s t i cs i g n a l s ，l o w f r e q u e n c ya t m o s p h e r i cn o i s e sa n dm a n yo t h e rn o i s e sp r o d u c e db y h u m a n i fw es t i l lu s eg a u s s i 锄m o d e lt od e s c r i p tt h e s ep r o c e s s e s i tw i l lr e s u l ti nn o t i c e a b l e d e g r a d a t i o no ft h ea l g o r i t h m s ，b e c a u s et h em o d e ld o e s n tm a t c hw e l lw i t hr e a ls i g n a l so r n o i s e s a l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o ni sav e r yu s e f u lt h e o r e t i c a lt o o lf o rt h i sk i n do fp r o c e s s s o p e o p l eu s u a l l y1 】s ei tt od e p i c ts t o c h a s t i cs i g n a l sw i t har e m a r k a b l ei m p u l s i v ec h a r a c t e r i s t i c b e c a u s ea l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o ni s g e n e r a l i z e dg a n s s i a nd i s t r i b u t i o n , w h i c hi s t os a y g a u s s i a nd i s t r i b u t i o ni sas p e c i a lc a s eo fa l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o n s oa l p h a - s t a b l em o d e lc a l l b eu s e di nm o r ew i d e l yr a n g e b u tu n d e rn o i s em o d e lo ft h ef r a c t i o n a ll o w e ro r d e r a l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o n , t h es y s t e mi d e n t i f i c a t i o nm e t h o d su s e dt h eg a u s s i a nm o d e la n d b a s e df i l ls e c o n do r d e rs t a t i s t i c sc o u l dn o tw o r kp r o p e r l yf o rt h es e c o n d - o r d e rs t a t i s t i c s b e c o m eu n b o u n d e d i nt h i st h e s i s ，w er e v i e wt h ed e v e l o p m e n to fs y s t e mi d e n t i f i c a t i o n c o n s i d e r i n gt h e f r a c t i o n a ll o w e ro r d e ra l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o nm o d e l ，w ei n t r o d u c et h es y s t e mi d e n t i f i c a t i o n m e t h o db a s e do nc o v a r i a t i o na n da l p h as p e c t r u m c o n s i d e r i n gt h eg a u s s i a nm o d e l ，w o i n t r o d u c et h es e c o n do r d e rs t a t i s t i c sm e t h o db a s e do nc y c l o s t a t i o n a r y t h e nc o m b i n et h e f r a c t i o n a ll o wo r d e rc o r r e l a t i o nw i t l is e c o n do r d e rc y c l o s t a t i o n a r yc o r r e l a t i o n , w ep r e s e n tt h e c o n c e p t i o no f f r a c t i o n a ll o wo r d e rc y c l o s t a t i o n a r yc o r r e l a t i o n ( f l o c c ) a tt h es a l n et i m e ，w e p r o v et h ep r o p e r t yt h a tt h ec y c l i cf r e q u e n c yo f f r a c t i o n a ll o wo r d e rc y c l o s t a t i o n a r yc o r r e l a t i o n e q u a l st ot h ec y c l i cf r e q u e n c y o fs e c o n do r d e rc y c l o s t a t i o n a r yc o r r e l a t i o n a tl a s t , d r a w i n go n e x i s t i n gs e c o n do r d e ra l g o r i t h m sb a s e do nc y c l o s t a t i o n a r y , u s i n gf r a c t i o n a ll o w e ro r d e r c o r r e l a t i o nt h e o r y , t h em e t h o do ff r a c t i o n a l1 0 w g ro r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o ni sd e v e l o p e du n d e r 基于分数低阶循环相关的系统辨识及应用研究 t h ea l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o n n o i s e s i ts h o w st h a tt h en e wa l g o r i t h mi sr o b u s tf o rb o t h g a u s s i a na n dn o n g a u s s i a ni m p u l s i v en o i s ee n v i r o n m e n tt h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d c o m p u t e rs i m u l a t i o n s k e yw o r d s ：c y c l o s t a t i o n a r y ；f r a c t i o n a ll o w e ra l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o n ；f r a c t i o n a ll o w e r o r d e rc y c l i cc o r r e l a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：! 室! 丝日期：趔! 兰：丝 火连理l 大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：选墨三查 导师签名 鱼三! 延； 垒咝2 年上月旦曰 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 系统辨识的基本概念 系统辨识是指根据系统的输入、输出信号及其统计特性进行系统参数的估计，如图 1 1 所示。 日坳) 辨识 图1 1 系统辨识的原理图 f i g 1 1t h es c h e m a t i cd i a g r a mo f s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n 近年来采用盲方法来进行系统辨识成为研究中的热点，在具有高数据率的数字移动 通信和数字广播中采用盲方法进行系统辨识等均引起了人们极大的兴趣，与此同时也出 现了很多新的方法。严格来说，盲系统辨识是只有观测的输出数据可资利用，这指的是 全盲。然而实际中应用最多的是基于训练序列的以及所谓的半盲方法，即除了接收的数 据外，还有某些辅助信息可以利用。本文中，针对实际情况，既介绍了盲系统辨识方法， 也研究了基于训练序列的方法。系统辨识的其它应用领域包括图像恢复、回波消除、生 物医学信号处理等。 1 2 课题的理论意义和应用价值 循环平稳信号是一种特殊的非平稳信号，它的统计特性呈周期或多周期平稳变化。 在通信、遥测、雷达和声呐等系统中经常遇到的许多信号都是循环平稳信号1 卅。循环 平稳信号处理方法具有很好的噪声和干扰抑制能力。利用信号的循环平稳特性进行系统 辨识的方法无论在计算量方面还是在收敛速度方面较传统的基于高阶统计量的方法都 具有一定的优势，而且仅利用循环平稳信号的二阶统计量( s o s ) 即可辨识非最小相位系 统。因此受到了广泛的关注。 由于高斯模型简单、易于计算分析，而且对许多过程的描述是行之有效的，所以以 往的信号处理方法，通常是建立在高斯假定的基础上，并且基于二阶统计量理论。在许 多情况下，这种假定是合理的，并且其合理性可以由中心极限定理而得到证明。高斯假 定的另一个特点是在这种假定基础上所设计的信号处理算法易于进行理论上的解析分 基丁分数低阶循环相关的系统辨识及麻用研究 析，因为对信号噪声的任何非高斯假定，都不可避免地会引入非线性问题，从而导致信 号处理算法的复杂化。但是，在诸如水声、雷达、通信、振动和生物医学信号处理等领 域的实际应用中，许多随机信号是非高斯分布的。这样，将其作为高斯分布的情况来分 析和处理，往往不能得到满意的结果。近年来，非高斯随机信号处理理论与应用得到了 广泛的重视和发展。非高斯随机信号有不同的种类，可以用不同的模型来描述，其中口 稳定分布模型是一种具有广泛应用价值的非高斯分布模型。 本文旨在改造现有的基于循环平稳特性的二阶统计量的系统辨识方法，发展基于分 数低阶口稳定分布和信号循环平稳特性的分数低阶循环相关的系统辨识算法，使之在高 斯和分数低阶口稳定分布下均具有良好的韧性。 另外，目前的系统辨识方法均假设为高斯模型，对于将非高斯信号与非平稳信号相 结合的系统辨识理论与应用研究仍处于空白阶段。因此本课题的研究具有重要的理论价 值和应用价值。 1 3 国内外研究概况和发展趋势 传统的系统辨识方法是基于输出信号的二阶统计量的，但是当输入信号是平稳信号 时，输出信号的二阶统计量不包含系统的相位信息，因此必须假设未知系统是最小相位 系统，即系统的所有零点都在单位圆的内部【酊。然而在实际应用中，并不是所有的系统 都满足这种假设，例如通信系统中很多时候信道就不是最小相位系统。为了弥补这种缺 陷，人们提出了基于高阶统计量的方法。由于输出信号的高阶统计量包含系统的相位信 息，这类算法能用于非最小相位系统的辨识。但是，计算高阶统计量需要大量的计算和 数据，而且存在容易陷入局部最小点，收敛速度慢等缺点，所以基于高阶统计特性的盲 辨识方法在信道快变的移动通信中应用非常有限。 自d o n o h o 于1 9 8 1 年的经典工作1 1 以来，人们普遍认为基于二阶统计量不能估计非 最小相位系统。因此，在1 9 9 1 年以前，人们很少研究二阶统计量方法。这种状况被l a n g t o n g 等人的突破性工作所改变。l a n gt o n g 于1 9 9 1 年第一个提出基于二阶统计特性 ( s o s ) 的盲辨识算法【8 ，该方法与以往基于高阶统计特性( h o s ) 的方法【1 0 - 1 4 相比有计算 量小、收敛速度快等优点，重要的是该方法仅用二阶统计量即可辨识非最小相位系统， 为系统辨识开创了一个新的研究领域，之后，在算法设计、系统可辨识性、对输入信号 的限制，应用等各方面成为信号处理领域的研究热点。l a n gt o n g 通过对接收端数据以 高于符号速率的频率进行过采样( o v e r - s a m p l i n g ) 后使其具有循环平稳特性，将接收端数 据矩阵的自相关阵r 。( o ) ，r 。( 1 ) 分别进行奇异值分解( s v d ) ，最后利用j o r d a n 阵的特 大连理工大学硕士学位论文 性将信道矩阵参数日用接收端数据矩阵的自相关阵r ，( t ) 表示，从而实现系统辨识。由 于循环平稳信号的自相关函数包含信道的相位信息，使得基于二阶统计量的非最小相位 盲信道辨识成为可能。与高阶统计量的方法相比，二阶统计量的方法只对输入信号的先 验知识作少量假定，并且只需较短的观察数据就可以辨识系统。 基于二阶统计特性盲辨识方法的推出，归功于信号循环平稳特性的引入。1 9 9 1 年， g a r d n e r 首先提出通过对循环平稳序列的处理可以获得非最小相位系统的相位信息，从 而达到对信道进行辨识的思想 1 5 l 。在无线通信系统中，调制、脉冲成型、过采样等操作 都会引入信号的循环乎稳特性，所以大部分的通信信号都是循环平稳信号，对信号的循 环平稳假设是普遍适用的。与平稳信号的二阶统计量不同，循环平稳信号的二阶统计量 保留了信道的相位等有用信息 1 6 q 9 。于此同时，因为它是二阶统计量，所以它的估计比 平稳信号的高阶统计量的估计计算量要小，且估计需要的数据要少，因此，近年来，基 于信号循环平稳特性的处理方法受到了广泛的关注。 循环平稳特性的引入，主要有两种方法： 一种是l a n gt o n 9 1 9 9 1 年提出的在系统的接收端对接收信号过采样产生循环平稳特 性的方法【s , 9 1 。但是该方法存在很多弊端，当信道零点接近不可辨识时，给予过采样的算 法性能将大大降低，而且大多数的基于过采样的算法对信道阶数误匹配很敏感。过采样 也会引起信道长度的增加，使得必须估计更多的参数。1 9 9 5 年e r i cm o u l i n e s 提出子空 间的方法【2 0 】，它是利用过采样后信道矩阵所具有的一些特性来实现系统的盲辨识，这在 本质上与l a n gt o n g 的方法是致的。 另外一种是1 9 9 8 年e r c h i ns e r p e d i n 等人提出的在系统的发射端通过调制的方式引 入循环平稳特性的方法【2 1 】。该方法克服了在接收端过采样引入循环平稳特性存在的弊 端，但需要确保调制序列的周期大于信道阶数的一半，该方法明显的优点就是即使l 是信道真实阶数的过估计也不影响辨识的结果，只要样本相关函数精确即可。这一点尤 其重要，因为对于实际的信道大多都是带限信道，也就是说信道问不存在公共零点的条 件并不总是能够满足。所以说，基于发射端循环平稳特性的方法将是盲系统辨识方法发 展的趋势。 之后，上述两种方法被不断改进并广泛应用到o f d m 、c d m a 、m i m o 等各种通信 系统的信道参数辨识中。基于多天线的o f d m 系统，即m i m o - o f d m 系统的盲辨识是 未来发展方向之一，m i m o o f d m 是b 3 g 和4 g 移动通信系统的主要方向，主要是因 为其大信道容量、高速的信息处理速度、和在时变信道中抗衰落的良好性能。w b a i 证明了m i m o o f d m 中，只要循环前缀的长度大于1 时，其接收端数据则具有循环平 稳性1 2 2 1 。b o l c s k e i 则利用线性预编码的方法产生接收端数据的循环平稳性，通过合理的 基丁分数低阶循环相关的系统辨识及麻用研究 选择非冗余预编码数据，可以完全将m i m o o f d m 转化为s i s o o f d m 系统，然后进 行信道估计 2 3 1 。 以往的盲系统辨识理论都是在高斯模型假设的前提下发展的，而在实际的通信系统 中，普遍存在着具有尖峰脉冲特性的信号或噪声，可以用分数低阶口稳定分布模型来描 述。近年来，广义高斯信号，尤其是分数低阶口稳定分布信号处理理论得到了广泛的发 展。但是，对于将分数低阶口稳定分布与循环平稳信号相结合的系统辨识理论与应用的 研究几乎处于空白阶段。因此，很有必要发展将广义高斯与非平稳相结合的系统辨识理 论，使其具有更广泛的应用。 1 4 本文的主要内容 本文主要在盯稳定分布信号或噪声下，应用分数低阶循环相关理论，在原有算法基 础上给出了将广义高斯与循环平稳相结合的系统辨识算法。全文各章内容安排如下： 第一章绪论，主要介绍了系统辨识的发展历史及趋势。 第二章简要介绍了口稳定分布、分数低阶统计量理论，并给出了a 稳定分布信号 条件下盲系统辨识的基本算法，即时域共变法及频域口谱法。 第三章简要介绍了循环平稳信号的基本概念，仿真了典型通信信号的循环相关和 谱相关，给出了两种基于二阶循环平稳统计特性的盲系统辨识算法，即过采样引入循环 平稳的方法和调制引入循环平稳的闭式求解方法。 第四章结合二阶循环相关和分数低阶相关理论，提出了分数低阶循环相关( f l o c c ) 的概念；结合二阶循环相关和分数低阶协方差理论，提出了分数低阶循环协方差的概念， 并举例证明了分数低阶循环相关( f l o c c ) 以及分数低阶循环协方差的循环频率与二阶 循环相关的循环频率相等的特性。 第五章介绍了传统的基于二阶循环相关( s o c c ) 的多输入多输出( m i m o ) 系统辨 识方法，在此基础上引入分数低阶循环相关( f l o c c ) 的概念，改进了该系统辨识方法， 将广义高斯及非平稳相结合，发展了一种新的适用于分数低阶口稳定分布噪声环境的系 统辨识方法，计算机仿真实验表明，该算法在高斯和o r 稳定分布噪声环境下均具有良好 的韧性。 最后，对本文的工作进行总结。 4 一 大连理工大学硕士学位论文 2 基于分数低阶统计特性的系统辨识 2 1 引言 由于高斯模型简单、易于计算分析，而且对许多过程的描述是行之有效的，所以在 以往的信号处理方法，通常是将非高斯分布简化为高斯分布。但是，在诸如水声、雷达、 通信、振动和生物医学信号处理等领域的实际应用中，许多随机信号是非高斯分布的。 这样，将其作为高斯分布的情况来分析和处理，往往不能得到满意的结果。近年来，非 高斯随机信号处理理论与应用得到了广泛的重视和发展。非高斯随机信号有不同的种 类，可以用不同的模型来描述，有一大类非常重要的非高斯过程可以由它们的冲击特性 来表征。与高斯随机过程相比，这类过程更有可能具有尖峰或远离观测值的突发电平， 它们的概率密度函数的拖尾比高斯过程概率密度函数的拖尾衰减得更慢。环境噪声、大 气噪声、无线信道噪声、海杂波、地杂波、雷达杂波以及许多人为产生的信号，都可能 属于这一类型，稳定分布理论为这类信号的分析和处理提供了模型和理论工具。 2 2 口稳定分布 2 2 1 口稳定分布的定义 口稳定分布是一类非常重要的非高斯随机分布，广泛应用与水声、大气、雷达信号 处理、语音信号处理、时间延迟估计和生物医学信号处理等领域 2 4 - 2 7 】。口稳定分布的概 念最早是由利维( l e v y ) 于1 9 2 5 年在研究广义中心极限定理时提出的2 6 】。八十年来，口 稳定分布的理论在数学界得到了广泛的重视和发展，但是，直到1 9 9 3 年，经由s h a o 和 n i k i a s 的论文【2 5 】，口稳定分布的概念和理论才在信号处理领域得到重视，并且在近十年 中，得到了迅速的发展、丰富和广泛的应用。 提出并发展口稳定分布的概念和理论有以下原因： ( 1 ) 这种分布是满足广义中心极限定理的唯一的一类分布； ( 2 ) 它是一种能够保持自然噪声过程的产生机制和传播条件的极限分布； ( 3 ) 口稳定分布是一种更加广义化的高斯分布： ( 4 ) 口稳定分布能够非常好的与实际数据相吻合。 与大多数的统计模型不同，除了极个别的情况以外，稳定分布的随机变量不存在闭 合形式的概率密度函数。因此，稳定分布随机变量通常由它们的特征函数来描述。单变 量的稳定分布随机变量，其特征函数可以表示为 矿( “) = e x p j a “一州“r 【1 + 妒s g n ( u ) c o ( u ，口) 】) ( 2 1 ) 基于分数低阶循环相关的系统辨识及应用研究 式中， 咖，= 糍：j 芝。 c z z ， f 1 ，“ 0 s g n ( u ) = o ， ；0( 2 3 ) 【一1 ， “ o 由上式可见，“稳定分布的特征函数由口，屈，a 四个参数即可确定，对各参数说明 如下： ( 1 ) 口( o 2 】称为特征指数，它决定该分布脉冲特性的程度。口值越小，所对应分 布的拖尾越厚，因此脉冲特性越显著。相反，随着盯值变大，所对应分布的拖尾变薄， 且脉冲特性减弱。盯- - - - 2 时，特征函数式与均值为a 方差为2 盯2 的高斯分布相同，即高 斯分布是盯稳定分布的一个特例。口= i ，= 0 时为柯西分布。为了区分口= 2 的高斯 分布与0 口 2 的非高斯稳定分布，定义后者为分数低阶口稳定分布。 ( 2 ) 一1 1 称为对称参数，用于确定分布的斜度。= o 对应于对称分布，简 称为s a s 。 ( 3 ) y 称为分散系数，它是关于样本相对于均值的分散程度的度量，类似于高斯分 布中的方差。 ( 4 ) a ( - - - o o ，佃) 称为位置参数。对于$ a s 分布，若l 口2 ，则a 表示均值，若 0 口l ，则a 表示中值。满足a = o , y = 1 时，口稳定分布称为标准口稳定分布。 我们所熟悉的高斯分布( 口= 2 ，= 0 ) ，柯西分布( 口= 1 ，= 0 ) ，以及泊松分布 ( 口= 1 2 ，= 0 ) ，是s a s 分布中的一些特例，也是具有闭合表达形式概率密度函数的有 限几种稳定分布。 非高斯的s e s 分布具有许多与高斯分布相同的性质，例如，s a s 分布的概率密度函 数也是平滑的、单峰的、钟形的以及关于某值对称的，等等。更重要的是，非高斯的s a s 分布也具有可线性叠加的特性( 线性稳定性) ，即两个具有相同特征指数的独立稳定分布 随机变量之和，仍是具有上述特征指数的稳定分布随机变量。另一方面，s d s 分布的概 率密度函数具有比高斯分布概率密度函数更尖锐的峰和更厚的拖尾。上述略分布与高 斯分布的相同之处和相异之处，保证了s 嬲分布可以很好的刻画在许多信号处理应用 中，我们常常会遇到的那些类似于高斯分布，却具有更强冲击性的非高斯现象。因此， 大连理工大学硕士学位论文 我们后面的讨论，针对s a s 分布进行。正如我们常常仅研究均值为零的高斯分布一样， 我们也假设所讨论的s a s 分布的位置参数a = 0 。 口稳定分布作为建模工具是非常灵活的，主要原因在于它的特征指数口，0 口 2 可以用于控制概率密度函数拖尾的厚度( 如图2 1 所示) 。口值越小，表明所对应的信号 噪声中有越显著的尖峰脉冲；而口越接近于2 ，则更接近高斯特性；当口= 2 时，则为高 斯分布。 图2 1 不同口参数条件下口稳定分布的概率密度函数 f i g 2 1 t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o no f a l p h a - s t a b l ed i s t r i b u t i o nf o rd i f f e r e n tv a l u eo f a l p h a 与高斯分布的情况相同，用口稳定分布作为统计建模工具的理论依据也是源于中心 极限定理。中心极限定理表明：如果一个随机现象是由无穷多个具有有限方差的独立同 分布( i i d ) 的分量构成的，则这种随机现象近似地服从高斯分布。相对于中心极限定理， 存在一个更加一般性的定理，称为广义中心极限定理。广义中心极限定理表明：对于独 立同分布随机变量的和，无论各个随机变量是否存在有限方差，当变量数目无限增加时， 必将收敛于口稳定分布族。这样，与高斯分布的形成一样，非高斯口稳定分布也是源于 随机变量之和。如果观测信号或噪声可被看作很多独立同分布之和，则由广义中心极限 定理，使用口稳定模型来描述是合适的。 2 2 2 口稳定分布的性质 口稳定分布具有如下性质： ( 1 ) 令工s 。p ，4 ) ，且o 口 2 。则对于任意o p 口，有 基丁二分数低阶循环相关的系统辨识及应用研究 e i x l 9 o o ( 2 4 ) 对于任意p 盯，有 e i x l 9 = o 。 ( 2 5 ) 盯 2 的口稳定分布随机变量没有有限的二阶矩，这表明许多在高斯情况下有效的技术 不能应用于这种场合。使算法变得更复杂的原因为研x 2 】趋于无穷。当口l 时，有 日f x i 】= o o ，使数学期望的使用受到影响。 图2 2 给出了样本方差估计随竹变化的曲线，很明显在高斯分布下，样本方差收 敛到一个确定的有限值，而在分数低阶口稳定分布条件下，样本方差基本未能收敛，且 口值越小，的波动越显著。 0 5 0 0 1 0 0 01 5 0 02 0 0 0 样奉簸 a l p h a = 2 0 ( 高斯分布) 图2 2 不同口值条件下随行变化的曲线 f i g 2 2 t h ec u r v eo f c h a n g e da c c o r d i n gt o 栉f o rd i f f e r e n tv a l u eo f a l p h a ( 2 ) 令工吼p ，0 ) 满足o 口 2 ，且当口= 1 时有= o ，则对于所有0 p a ， 存在一个常数铭，( p ) 使 一8 一 薹| 善耋 。 大连理工大学硕士学位论文 ( e l x r ) “= c a 口( p ) 盯 ( 2 6 ) 成立。式中，常数c 础( p ) 等于( e i 托1 9 ) “9 ，其中x 。s 。( 1 ，o ) 。 2 3 分数低阶统计量 2 ，3 ，1 分数低阶矩 信号的统计矩包含了丰富的有关信号特征的信息。统计矩的整个谱分布可以从0 阶 一直延伸到无穷阶。传统的信号处理方法通常只利用二阶矩，近年来发展起来的基于高 阶统计量的信号处理技术，则主要从三阶或四阶统计量中提取有用的信息。 若随机信号的特征指数为口，则只有阶数小于口阶的统计矩是有限的。即若信号或 噪声的特征指数满足0 口 2 ( 称为分数低阶口稳定分布) ，则其高阶统计量，甚至二阶 统计量都是不存在的。在这种情况下，基于二阶统计量和基于高阶统计量的信号分析处 理方法都不能有效地工作，并出现显著的退化，甚至会导致错误的结果。这样，分数低 阶矩( f l o m ) 或分数低阶统计量( f l o s ) 就成为非高斯a 稳定分布信号、噪声条件下信号 处理的重要手段。 二阶矩 分数低阶矩理论高阶矩 0 1 _ 一一i! 竭 00 511 5234 统计量的 阶数 图2 3 随机信号统计矩的分布示意图 f i g 2 3 t h es c h e m a t i cd i a g r a mo f s t a t i s t i c a lm o m e n td i s t r i b u t i o no f s t o c h a s t i cs i g r i a l 一般而言，随机变量工的二阶矩通常定义为研x 2 】。对于口稳定分布随机变量，只 存在分数p 阶矩，这可以由以下的定理表示： 定理2 1 ：设工为一口稳定分布随机变量，若0 口 - - a ( 2 7 ) 研l x 门 o o ，0 p 口 ( 2 8 ) 若口= 2 ，则有 皿l x 门 o o ，p 0 ( 2 9 ) 基于分数低阶循环相关的系统辨识及应用研究 由定理2 1 知，若口稳定分布的特征指数为0 口 2 ，则只有阶数小于口阶的矩是 有限的。特别地，对于口 2 的分数低阶口稳定分布，其方差( 或二阶矩) 是不存在的。 非高斯口稳定分布随机变量的矩与分散系数之间存在着一个重要的关系，这个关系 由定理2 2 给出。 定理2 2 设为一妇s 分布的随机变量，其位置参数4 = 0 ，分散系数为y ，则 e i x i ，】- m ，口p 4 ，o - p 口 ( 2 1 0 ) 【c o ，p 盯 式中 ，2 ”1 r ( 掣) r ( 一p l a ) c o ，口) = 纛毛矿 2 1 1 盯、兀l ( - 一口z ) 其中r ( ) 为伽马函数。c ( p ，盯) 仅为口和p 的函数，与随机变量无关。 2 3 2 共变的概念及性质 ( 1 ) 共变的概念 根据统计信号分析的二阶矩理论，两个随机变量的协方差的概念是十分重要的。然 而，由于$ g s 分布没有有限的方差，所以不存在协方差。于是，一个称为共变( c o v a r i a t i o n ) 的概念于1 9 7 8 年由m i l l e r 提出【2 9 1 。共变这个量在s a s 分布随机变量中的地位与协方差 在高斯分布随机变量中的地位相似。 定义2 1 对于联合s a s 分布的随机变量彳和y ，满足1 口2 ，则和y 的共变定 义为 防，y l = b 4 一“( 凼) ( 2 1 2 ) j 式中s 代表单位圆，( ) 为塔分布随机向量( x ，y ) 的谱测度，对于实数过程，符号 表示如下的运算 z 4 = l z l 4s g n ( z ) ( 2 1 3 ) 对于复数过程，符号 表示 z 一= 一z + ( 2 1 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 x 和y 的共变系数定义为 以，= 阢 x , r l ( 2 1 5 ) 显然，共变与协方差的主要区别在于除了口= 2 以外，对于其他的口值共变没有对 称性，即 防，y l y ，x l ，1 口 2 ( 2 1 6 ) 由于谱测度不易得到，因此上述定义很难应用于实际。然而，由于共变与f l o m ( 分 数低阶矩) 之间存在一定的联系，这样，共变就成为一个有实际应用价值的概念了。 定理2 3 具有联合s 硝分布的随机变量x 和y ，满足1 口2 ，假定y 的分散系数 y y ，则 防，】，l = l l y i i ：- - y y ( 2 1 7 ) 如= 掣暑，1 s p e ( i y i 口( 2 1 8 ) 盯= i _ ， s 口 1 0 ， ) x , r k2 箭以，l p a ( 2 1 9 ) ( 2 ) 共变的性质 共变防，y l 对于x 是线性的。如果五，五，y 服从联合s n s 分布，则 l a x , + 丑x ：，r l = 4 d ，1 ，y l + 雪d ，2 ，y l ( 2 2 0 ) 对任意实常数a 和b 都成立。 当口= 2 时，即当石，y 服从零均值联合高斯分布，则x 和】，的共变就退化为x 和 y 的协方差i x ，】r l = e ( 盯) 。 一般来说，防，y l 对于第二个变量y 不是线性的。但是，它对于y 存在下面的伪 线性：即如果五，e 是独立的，且x ，k ，e 服从联合s a 8 分布，则 防，一k + s r , l = a 防，i l + 口。1 防，e l ( 2 2 1 ) 对任意实常数a 和b 都成立。 如果x ，】，是独立的且服从联合咯分布，则防，y l = 0 ，但是反之通常是不成立 的。 基丁二分数低阶循环相关的系统辨识及f 茈用研究 对于任意的联合s a s 随机变量，有柯希许瓦兹不等式成立 | 【x ，巩矧。i i y i i ； 1 ( 2 2 2 ) 特别地，如果x ，y 的分散系数为1 ，则有| 【x ，y 。l 1 。 2 3 3 分数低阶口稳定分布噪声条件下混合信噪比的设定 信噪比设定是计算机模拟的必需步骤之一。在高斯信号噪声条件下，通常采用对数 信号噪声功率比。在分数低阶口稳定分布噪声条件下，由于不存在有限的二阶矩，致使 噪声的方差变得没有意义，因此需要采用混合信噪比。混合信噪比定义为 m s n r = 1 0 l o g l o ( z 以) ( 2 2 3 ) 式中，仃；和以分别表示高斯信号的方差和分数低阶口稳定分布噪声的分散系数。 假定要对给定的高斯分布信号s7 ( n ) 和加性分数低阶口稳定分布噪声v ( n ) 设定混合 信噪比为m s n r = m d b 。由式( 2 2 3 ) 有 盯，= , r ，1 0 o ( 2 2 4 ) 式中的q 即为在给定混合信噪比下信号s ( ”) 的标准差。按照式( 2 2 4 ) 调整给定信号s ( ”) 的幅度，就可以实现设定信噪比的目的。 咖，2 巳 弦z s ， 式中，s ( ”) 为按照给定信噪比调整幅度后的信号，v a r s ( n ) 】表示信噪比设定之前信号的 方差。把式( 2 2 5 ) 代入式( 2 2 3 ) ，可以验证经过式( 2 2 5 ) 所示的幅度调整后，信号和噪声 满足给定的混合信噪比。 2 4 基于共变的盲系统辨识 2 4 1 算法介绍 对于f i r 系统，激励信号工为独立同分布的实s a $ 分布随机变量，特征指数为口， 分散系数为，系统响应信号为 e = ，x 。 ( 2 2 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中协f j 为系统脉冲响应。 利用式( 2 1 9 ) 计算响应信号的共变。，= l ，l + ，】。及c 一= 【匕，l 一， 。，其中 j = 1 ，q 。 响应信号与激励信号同为实s a s 随机变量，则需要估计其特征指数及分散系数。y 的p 阶矩为 e ( i r l ) = e ( e , u , g l r l ) ，0 p 口 ( 2 2 7 ) 定义一个新的随机变量矿= l o d y 3 们，由于y 的概率密度函数在y = o 时是有界的，因此 1 0 d y i 是有界的，所以有 e ( iy | 9 ) = e ( e p a g i r l ) = e ( e 7 ) ，0 p 口 ( 2 2 8 ) 级数展开后得 球1 = 薹彬) 等 ( 2 2 9 ) 其中层( 矿) = 筹( c l ( b 口) 以一4 ，i o ，进一步有【3 l 】 即) = e ( 毒- 1 ) + i 口，l o 阢 ( 2 3 0 ) 口r口y 。 e f - e ( 啪= i 7 r 2 【虿1 + 三1 ) ( 2 3 1 ) 其中e = 0 5 7 7 2 1 5 6 6 为欧拉常数，口，为响应信号的特征指数，以为响应信号的分散 系数。所以可以根据式( 2 3 1 ) 估计响应信号的特征指数，然后代入式( 2 3 0 ) 得到响应信 号的分散系数。 由于 勺2 饥，l 2 篓秒+ 乩2 ，g 眨s z ， q = n ，l = 善铷r ，川2 ，g ( 2 - s s ， 董王坌墼堡堕堡堡塑茎塑墨竺塑婴查旦婴壅 采用最小二