（应用数学专业论文）半直线上具固定时刻脉冲的微分系统的若干问题.pdf

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a s c o l i 定理相应的放宽对脉冲函数的限制，给出半直线上带无穷个脉 冲点的非奇异边值问题正解的存在性，然后再利用单调迭代技巧，给出这类方程奇 异边值问题正解的存在性最后给出一个例子说明定理的应用 在第二章中，考虑一类中立型脉冲微分系统 h ( ) 一c 。( 呖( ，l ：( ) ) ) + ，j ( t ，。( 毋l ( ) ) ，。( 乃f ( ) ) ) = 0 ， 1t 沁7 l 批k ) ， ( 22 1 ) 【z l c _ 。= “( z ( k ) ) ，k = l ，2 ， 其中a x h ：“= 。( “+ ) 一z ( “一) ，记i m = l ，2 ，一，m ) ，知= 1 ，2 ，- 一，p ) ， = ( 1 ，2 ，一，1 ) 设h i ，g i 。g 【 吼且m 严格单调递增，鲫。单调递增，对任意的t z 些丕埂整盔堂堡圭兰焦鎏皇 2 ， c ( z ) ，毋u ( ) 乱l 卫 ) = + o 。， r ，r + ，i ，m ，j 如让厶：t o t i f 三罕b9 j u ( t ) = + o o ，岛g ( 工r + 1 ，c j 亡2 k 墨= + 。，“( z ) c f r 疗十： 且在且+ 上单调递增，且l i m 几( z ) = 0 ，= l ，2 ， 脉冲泛函微分方程理论的出现是由于在实际问题中为了更精确的描绘事物的 现象和揭示事物的发展规律而产生的这类方程主要来源于生物工程，控制论和经 济数学等学科近二三十年来对泛函微分方程理论的研究相当活跃 近年来研究中立型泛函微分方程解的振动性质的文章较多相比之下，中立型 泛函微分方程非振动解的存在性研究却较少在本章中我们利用非线性分析中的 d a r b o 定理，对具固定时刻咏冲的一阶非线性中立型泛函微分系统的正解渐近性质 进行了详细分类，并给出了各种类型正解存在的充分条件最后给出两个例子说明 定理的应用 关键词：脉冲微分方程， 解的存在性，奇异边值问题，中立型脉冲泛函微 分方程，无穷延滞 分类号：0 1 7 5 2 1 坐查堕塾盔堂堡主堂垡迨塞3 s o m ep r o b l e m si nt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hf i x e di m p u l s i v eo nt h eh a l f - l i n e j i a w e ” s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r r e a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ：p r c h i n a a b s t r a c t t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r w es t u d yi m p u l s i v e f o u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e ma sf o l l o w iy ”十q f ( t ，y ) = 0 ，n t o 。，t t k ，( = 1 ，2 ) g l e ；t t 2 7 k ( g ( 。t ) ，( 6 k ) ) ，( 21 ，2 ，+ ) ( 1 21 ) i 鲥。= l ( t ) ) ， ( = 1 ，2 ，) 、 i ( n ) ；0 ， y t ( 。) = 0 、 w h e , e 可1 t = 。= 可( t k 十) 一( k 一) j ! ：，t = “+ ) 一矿( “一) ，叮ee ( n ，。) ，0 i jxh ，万】，j = 。) ，月= ( o ，o 。) 霄= f f j 。c ) ，( = ( a s 。cj j = j ( t i 、t 2) n t l t 2 一，a n dl i l t t k = 。：k 、l k i sc o t l t i t t i i o l l s t h et h e m yo fi m p u l s i v ed i f f e , e n t i a lc q u a ti o n si san e x vi m p o r t a n tb l a n ( ho fd i f f c r ( ，1 1 - t i me q u a t i o n s t h et h e o l 。yc a l la l s ob ea p p l i e dt om e d i c i n ea n db i o l o g y o p ti m me o l l t lo l m o d e l si t , e c o t l o l t l i c st h ed y n a n f i e a ls y s t e ma n d0 1 h f 、if i e h l s u s i n gt l i ei h e m yo fa r z e l a - a s c o l i1 w 2f i , s t l ys t u d yt h ee x s i s t e n c ei ) l o p e r t i e so fa n o n s i n g u l a rh o tn d a r yv a l u ep r o b l e m t h e nt h ee x s i s t e l l c ep r o p e 】t i e so f h es i n g uj a , b o u n d a r yv a u ed l o b l e mi so b t a i n e db yi u e a n so fl l i eu l o n o t o l l ei t e r a t i v et e c h n i q u e a n d a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yn e u t r a li m p u l s i v ef o u u c t i o a a ld i f f e r e n t ，i a ls y s t e 】) l f o l l o w l ( z ( ) 一q ( ) ( ，l 。( ) ) ) + 力( ，z ( 鲫l ( ) ) ，。( j ( ) ) ) = o ， 2 1 t 独，t t 。，芦) ， ( 2 2 1 ) 1，k ，h i l ( “) ， ” i z i k “= ( z ( k ) ) ，k = 1 ，2 ， w h e r ea x b k = z ( t k + ) 一x ( t k 一) ，h e r ek = 1 ，2 ，一，m ) ，l p = 1 ，2 ，+ 。，p ) ，j l = ( 1 ，2 ，f ) s u p p o s eh l ，g j u g r 1 ，a n dh i i ss t r i c t l yi n c r e a s i n g ，9 j ui s i n c r e a s i n g ( t ) t ，鲫“( t ) t ，t d _ l i + r a h i ( t ) = + 。，l i 十m 哪g j u ( ) = + 。0 ，。；g f z r + j ， 坐查竖蕉盔兰堡主堂丝迨塞 4 ，j e 【j r ，r + ，i l m ，j 昂，u 丑；t o 。l 2 一，k 兰k = + 。，以( 。) c 【r ，r + 】，s k ( x ) i si n c r e a s i n go nr + ，a n dk 旦“( z ) 2o ，31 ，2 - t h et h e o t 。yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e s c r i b l e st h ep h e n o m e n ao ft h i n g s a n dr e v e a l st h eo b j e c t i v el a w sg o v e r i n gt h ed e v e l o p m e n to ft h i n g sm o r ep r e c i s e l yt h a n t h ec o r l e s p o n d i n gt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a ye f f e c t st h e s ee q u a t i o n sd e r i v ef r o mb i o l o g y ，e n g i n e e r i n g ，o p t i m a lc o n t r o lm o d e l si ne c o n o m i c s ，e c o n o m i c a l m a t h e m a t i c sa n ds oo n t h et h e o r yo ff l m c t i o n md i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e nw i d e l y s t u d i e df o rn l o r et h a nt h i r t yy e a r s b yt h ed a r b ot h e o r yi nn o n l i n e m a n a l y s i s t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fp o s i t i v e s o l u t i o n so fn o n l i n e a rn e u t r a li m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l ec l a s s i f i e di n d e t a i l 、s o r t i es l t f f l c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s ie t i c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fs y s t e m ( 2 2 1 ) a r eg i v e n a tl a s tw eg i v et w oe x a m p l e st oi l l u s t l a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m s - k e y w o r d s ：i m p l u s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n 、e x i s te n c eo ft h es o l u ti o n 、 s i n g u 。 l a rb o u n d & r yv a l l i ei ) i _ o n i b l e n l 1 l e n t l a lf u n c lh j n a ld i f f c l e n t i a le q u a t i o n s i t hi m p u l s e s 、 i n f i n i t ed e l a y c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 一一 些盔堕蔓盔兰堡圭兰垡迨塞 一一互 第一章脉；中微分方程奇异边值问题解的存在性定理 1 1引言 脉冲微分方程理论是近十年发展起来的微分方程理论的一个重要的新分支，它 在生物学，生物医学，经济学的最优控制及航天技术领域都有广泛的应用( 参见文 献f l 1 1 ) 具有奇性的脉冲微分方程出现在各种应用学科中例如，核物理，气体动力学， 流 本力学，边界层理论，非线性光学等有关奇异边值问题解的存在性，正解的存 在性和唯一性近十年来已作了大量的研究( 参见文献1 1 4 2 1 ) ) 文献i l o 一1 1 利用锥理论得到了解存在的充分条件，( 1 0 1 研究了有限区间上含 有限个脉冲点的次线性奇异边值问题，1 1 1 】讨论了无界区域上带无限个脉冲点的 前奇异边值问题，但它们对方程在脉冲点所满足的函数“( ，v 气了k ( 9 7 ) 都有一定的 限制f 1 2 】在半直线上讨论了一类与本章类似但不含脉冲的微分系统正解的存在 性本章将相对放宽对k 7 的限制，研究半直线上带无限个脉冲点的奇异边值问 颢 考虑下面的脉冲微分系统 t 2预备知识 矿十q f ( t ，y ) = 0 ， 。 z 。，t ( k = 1 ，2 ，) ， 她“5 “( ( 她们k ) ) ，( 21 ，2 ，) ， ( 1 2 1 1 洲b “= 7 k ( ( 蝈) ， ( = 1 ，2 ，l ， ”( o ) = 0 ， y l ( 。) = 0 ， 其中g l 2 虹= 可( k + ) 一g ( “一) ，l 拄k = y l ( “+ ) 一y t ( t 一) ，口g ( 。，3 ：) ，g 。，日，耳 】，= ( o ，o o ) ，h = ( o ，。) ，霄= 【0 ，。) ，k = a 0 ，o o ) ，j = j i ，t 2 ，】， n t l h 时“2n 且l ：，j 】 t t l 。，假设9 ：【，q r _ r 连续，且 西c ( o ，6 ) nl a ，叫，在( a ，6 ) 上币 0 阿假设存在常数m n o + b o ( 6 一n ) 与a 无关，对 ly ”十a 咖9 ( ，9 ) = 0 ，o t b ，t “，( k = l ，2 ，- ，) 妇一2 地 y t k ) 枷 ) ) ，( 赔1 ，2 ，) ，( i 删 l m ：，。= 入7 k ( g ( ) ) ， ( k = l ，2 ，一，乃) ， l ”( n ) = a 0 0 ，( b ) = b o 0 ， 其r ia ( 0 1 ) 的解 p c i 【n ，b l n c 2 【( n ，b ) ，t n 1 川o = s u pi u ( 川m ， m ，b j 至少存在一个解j p c 【b 】n c 2 l ( a ，b ) l ，：t 。) 且o m 在这里 p c i i o , ，b 】= 口 f 定义在【。 纠上，y ( t ) 在t 靠时连续， y ( “+ ) ，y ( “一) ，( “+ ) ，y ( k 一) 均存在，= 1 ：2 ，n ) ， c 2 h 。，6 ) 1 l 一，t n ) 】= 9 i 在( n ，1 ) u ( l ，2 ) u u ( 一b - - 、 奎续可导) 1 3半直线上脉冲微分方程奇异边值问题 22 苻 则 一一 些奎堕蕉盔堂塑堂垡造塞 一工 为了证明( 1 2 1 ) 有解，我们先来研究非奇异边值问题 ig ”+ q f ( t ，y ) = 0 ， o o ，且n 2 0q ( 8 ) 幽 0 ，使1 ，( t ，“) l 曼m ， ( ，u ) k 。) k o ，。c ) ( 1 3 2 ) ( 133 ) ( 1 3 4 ) 咀i j ( 131 1 有解? ，p p l 【，k 1 n c 2 【，k 且 b c a ，c o ) 6 1 f 2 3 ，v ( t ) g d 、t 【n ，。c ) 证明固定n 1 ，2 ，) 使n n ，则存在h ，有t l n h 。i o 先讨论以下问题 f 口7 + 口j ( t ，g ) = ( ) ， o m t k ，( k21 ，2 ，h ) la ? “j - k = ， ( ( n ) ，y l ( t k ) ) ，( k 2 1 ，2 ，) 、 ( 1 35 n l y l i f = “= 了 ( ( k ) ) ， ( k2l h 2 ) ， i ( n ) = 伽， ( n ) 2o - 为了证明( 1 3 5 ) n 有解，我们将运用定理1 2 1 考虑 f ，+ a 口，+ ( t ，u ) = 0 ， n t n ，k ，( = 1 ，2 - _ ，7 ”) i b 。= x k ( y ( t k ) ，矿( k ) ) ，( 2l 2 。，0 。) ，1 1 3 6 ) l 虮：t 。= 入l ( g 咏k ) ) ， ( r 。1 h 2 一，l l ( n ) = ( f ( ，。) 20 ， 其中 ( o ，1 ) ， “抽) ：，崆0 0 ij o o ) ，“o o “融 k 小l 孙 l 且 黑 一 些巫堕踅盔堂堡圭堂堡丝窒8 令为( 1 36 ) a 对某个a ( o ，1 ) 的鼹，则y p c i h n l n e 2 ( ( o ，n ) l ，。) j 再注意到 9 ”= 一x q f + 0 ，9 ) s0 ：n t n ，t t k ，( k = 1 ，2 ，- 一h ) y l b t k = g “+ ) v ( t k 一) = 了k ( g ( o k ) ) 0 从t 到t t 积分可得 w t ( c ) ： f “q ，( 啪d s 一入t k ( v 协k ) ) 0 ，t 【 t l ( 137 ) j t 曼“ ” 则 嘲m ) 曼m 上。q ( s ) d s + 。篆。k t 【a ，呐 ( 1 3 8 ) 注意到 v 1 f - k = 耵( “+ ) 一口( “一) = ( 可( “) ，y l ( 札) ) 20 ， 将( i 3 7 ) 从u 到t 积分可得 ( t ) = a o + a 上上“口，+ ( s ，) d s d r + a 。i k ( ( t ) ) ( 一t ) 十厶( g ( t ) 、( t k ) ) 斟此 一 ( t 一。) k ( 批) ) ，t q f 0 曼( ) s ”( j ) ：。a “厂q ，( s ，) d s d 4 -y ) d s d r a ( h n ) 妻一i k ( y ( t k ) ) f 0 曼( ) s ”( j ) = o o a q ，( s ， 一 一n ) ( t k 】) 9 。十m “。m ，d s d r + 刊静跏川哳 由( 1 ，3 8 ) 及缸( 口，y 1 ) 分别关于y ，y 连续，有 j t ( g ( t 1 ) ，( 1 ) ) s t 。 4 。，使i u l o n 由定理1 2 1 保证( 1 3 6 ) l ( 即( 1 3 5 ) ”) 有解 y 。p c i h n 】n c 2 竹) 博h 一，。) 】 由( 13 8 ) ，( 1 3 9 ) 我们可得 0 v ：。( t ) m ：。q i s ) d s + l 女， t 陋，n ( 1 39 ) k 眦 。一 2 + 如 曲q 厂。 2 jc f w+ ” 慨 ( 一 三 + 打如s g ，厶 f 村 o 0 ， 如 蛳 呱 墨 t ，。 ， t 1 n 下面我们来研究区间【n ，n o 对任意的n - o ，n o + l ，) ，由上可知存在( 1 3 5 ) 一 的解u 。，且 令 r 。 o u ：( ) m q ( s ) d s + l k i ， t 0 ，7 l 】t f ! 旋 。4 a osu n ( t ) ，t k ，n 】 ( 13 1 0 ) ( 13 ，1 1 ) 因为h n 0 1ch n ，由( 1 3 1 0 ) 可得 抓刚序州”。! 轰。k 川叩0 1 ( 1 3 1 2 ) 显然 铡( ) = t z 寥( f ) ， 蝴( f ) = u 窜( f ) ， 咖辨( t 1 ) = “g ( f 。+ ) t 五 t j o 妒凛( ) = u 窑3 ( ) ， t j k c j 。) 、t k ) = “ “t k + ) ， 咖鼢。( ) = “趴) ， t l 。 毋鼢。( t 。) = u 5 一( 。+ ) ， 曲“。( ) c 2 蛾，c 2 k ，饥1 ) ，一，妒。c 2 ( tr n 。，7 0 ( ，= 0 ，1 ) 由( 1 31 2 ) 有 ， 0 截谴( t ) 茎m ，jq ( s ) d s + 五， 了k ， ( 七= 0 ，- ，h 。) ( 1 3 1 3 ) 一 c k o o 同上泔论可得 l ls 莎i o ( f ) s 咖，。o ( t 1 ) 一( f 1 ) 妯+ m “”g ( s ) d s d r + m 刊塾 m l ，t 了o 则 同理 从硐 确。 一一 些丕堕歪盔堂塑主芏垡堡塞上上 j 1 ( i i n ( t 1 ) ，u ：( t 1 ) ) sn t 。 o o 曲( t ) 曼曲。l ( t 2 ) 一) na o + m r 2 一s ) d s d r4 - n t ，+ 【c 2 刊塾 i m t - ， t j l 1 2 ( u 。( 2 ) ，u ：( c 2 ) ) 一n ：， j l ( “。( t 1 ) ，t ：( 1 ) ) + l ( u 。( t 2 ) ，u ：。( t 2 ) ) 帆。 币；、2 ( t 1 啦。2 ( t a ) ，3 ，。 = 1 l n ( t a ) a 0 + m q ( s ) d s d v + n t 2 + ( t 3 j nj t i m t 。，t j 2 1 3 ( a 。( t 3 ) ，u ：( 3 ) ) t 。 i ( “，。( tl ) ，u ：。( “) ) + 2 ( “。( t 2 ) ，“；。( 幻) ) + i a ( u 。( t 3 ) ，t - ：( 3 ) ) s 。 继续1 j 去可得 i l o ( “。( ) ，“撕t 。) ) s 两，。， v n 0 ，k ( 。( k ) ，州 k ) ) n t 。 进i f i f c ；6 。( t ) s ：6 ，。( r t o ) n 0 十m f 。厂如) d s d r + 。+ ( n 。- 0 ) 塾 m ，了n 小 易得 。o 茎妒，施( t ) s 地，t - j k ，( = 0 ，。；其中帆，。o + 1 2 m ；。) f 1 3 h ) 一 些丕堕垂盔堂亟主堂鱼堡塞 1 2 o 一q 5 ：k ( t ) m q ( q ，t ( t k ，t k + 1 ) ， ( = 0 ，。一，7 n 。；其中t o = 。，t 。 1 = n o ) ( 1 3 1 5 ) 埘( 131 3 ) 一( 1 ，3 i s ) 当= 0 时，由az z e | a ：a s c o l i 定理可知，存在序列 m o c n o ，n o + 1 ，) 和函数 1 f 器e 【0 ，1 】，( j = 0 ，1 ) ， 有( 以下砷指一致收敛) 搠j 妒，( j = o ，1 ) ，n _ + o o ，n m 0 t 了。 对 币) ，7 t a ，显然有( 1 ，3 ，1 3 ) 一( 1 31 5 ) 成立( 此时取= 1 ) 由a r z e l a - a s c o b 定理知，存在序列 m tcm o 和函数 妒鼢o ( l 如l ，( ，= 0 ，1 ) ， 有 曲卿寄妒嚣l ，( j = 0 ：1 ) ，n _ o o ，n m l ，了i 对 妒雠) ，7 l m l ，显然有( t , 3 1 3 ) 一( 1 3 1 5 ) 成立( 此时取 = 2 ) 由a r z e l a a s c o l i 定理知，存在序列 如c ”l 和函数 币然q 2 ，。3 1 ，o = 0 ，1 ) ， 自 翘j 妒然，( j = 0 ，1 ) ，n - o 。，n ，2 ，t 了2 继续下去，对( ，m 。) ，r z 鸩。一1 ，显然有( 1 3 1 3 ) 一( 1 3 1 5 ) 成立( 此时取k = t n 。) 由a l z e l a - a s c o l i 定理知，存在序列 和函数 囱 n 矗，oc m h o l 妒。哪，n 】，o = 0 ，1 ) g ，b ( 。i h ) 。辛妒。，( j = 0 ，1 ) ，n _ 0 0 ：n 。，z 了h 。 一 些丕堕堇盔堂堡主堂焦造塞1 3 令 ， i 妒，e , j o ， 删： 蜘：叫 ( j 她1 ) i = ： i 妒矗州 显然 z 。( t ) p c i n n o n e 2 ( 0 ，n o ) h 一，t t 。) 】 记螺。= m t 吲则有 u 妒净z 辖，( j = 0 ，1 ) 、7 l _ 。o ，n v 孟，t 【o ，n 0 1 ， 且z 。( “) = o o ，z n 0 ( t ) g o ，f 【o ，n o 并且由( 1 3 1 2 ) 可得 osz ) m f q ( s ) d s 十l k ， t h 埘 令。= | v i 。n o ) 再来考察区间【a ：m 】十1 】 对t 【l 十1 ，“j + 2 ， 有 0 一：( t ) 彳q ( ) ， “ t v z u 十1 ， t k ，( k = i ，一十1 ) 0s 纵) mf g ( s - i - 三k ，+ 1 】 e 兰t k o o 仿照( 13 1 4 ) 式的推导过程易得 a 0s t ，。( t ) m + l ，t 【a ，1 0 + 1 】 仿照推导z 埘( f ) ( j = 0 ，1 ) 的方法，将u 。( ) 分段讨论可找到一个序列 妮o + ici v , t o 和一个分段函数 z 熟i ( ) ，( j = o ，1 ) ，z n o + - t ( ) p 0 1 ( 8 ，n o + q o c 2 【( 。，n o + 1 ) t 1 ，一，。+ 。) 1 使 u g ) = z j 囊l ，( j = 0 ，1 ) ，n o 。，n ：。+ l ，t a l n o + l 】， 且 z n o + l ( o ) = o , 0 ，z n o + i ( t ) a o ，t 【q ，n o + lj ， 一 生查堕堇盔兰壁圭堂堑堡塞1 4 并且 因为 可知 。sz 。l ( t ) m j ( 。q ( s ) d s + 。! 篆。上一 孵o + 1c oc 孵。 z n o + i = z t 缸，n o 】 令n n o + l = 孵o + 1 ( n o 十1 ) 继续下去，取k n o + 2 ，n o 十3 ， ，对任意的n ，k 十1 ，) ，存在序列 ；c k _ cn ；一l 和个分段函数 z f ( ) ，o = 0 ，1 ) ，z k ( t ) p c i 【n ，k n c 2 ( 。、k ) l ：，“) 】 使 u ? ) 弓z p ，( j = 0 ，1 ) ：7 2 _ o o ，n ；t 【。：q 目 z ( 8 ) = 盘o ，z ( ) n o ，( o 惫1 ， 并且 o z i ( ) mf ”q ( s ) d s 十l ，f 】， o 黜) 上如十。毳。h 托 z k ；z k 一1 ， ( 。，1 】 令帆= 呱 ” 定义函数：i q ，o o ) _ i o o ，o o ) ，对任意的t 【。，o o ) ，取7 n 扣o r 1 0 + 1 ) 浚 f m ，令( ) = z 。( t ) 由t 的任意性可知 y p c i k 1 n g 2 【j ，k 1 ， 且 f ( 口) = a o ；v ( t ) o o ，t ，； ( ) f o 。q ( s ) 如+ l ， hoo)0y t m l k t o o )( 1 3 1 6 ) ( ) q ( s ) d 5 + ， b ， ( 1 1 6 ) o o 曼k 三 些垄堡萱盔堂壁主堂焦迨塞一 一l 量 对固定的t 【0 ) ，m 的取法同上，现在对no r _ 麓，有 u 。o ) = 。o + ( 日) u ：( ) 一 一s ) q ，( s ，u n ( s ) ) d s r j d + 口k 【“：( t k ) ) n t k ) + h i u n ( t k ) ，u ：( “) ) 令n _ 。o ，7 t 坛，得 z m ( ) = 。o + o ) ( a ) 一7 ( 一s ) q f ( s ，( s ) ) d s ，t ，d + 口k ( z 袅 t ) ) ( 一c k ) + ，k ( z m ( “) ，z 量( t k ) ) 1 a tk ( t 即 ， g u ) = o o + ( 一o ) g ( n ) 一( 亡一s ) q ，( s ，可( s ) ) d s 十哆k ( ( t k l ) ( t 一“) + h ( 口( 芒k ) ，( t ) ) 1 0 k 0 且 q ( s ) d s 1 且连续，非增，( 】3 1 9 ) f ”口( 。) 9 ( ( z o ) ) 出 、其中 为任意正常数，(1300 k o 2 0 ) q ( 。) 9 ( 扛一o ) ) 出 q ，若v p c i 【n ，硝满足 ) 一。 厂f 。+ g ( ) 十l ( t y ( t g q ( s ) d s d 口- 一d ) ) ，f o ，嘲， ) 墨一。 + g ( ) 十 一凸) ) ，f 【o ，纠， 则存在连续函数皿【。，o 。) _ + ( o ，o o ) ( 与独立) ， ( 1 - 3 2 1 ) 使巾，小) ) 叩( 0 ，地其中g = 上。嵩， 0s 一， 使竹 1 d + d ，其中1 0 中讨论，先来考察以下的边值问题 ly ”+ q i ( t ，y ) = o ，n t n ，t t k ，( k = 1 ，2 ，一，h ) ， l g l b “= i k ( y ( t k ) ，y r ( t k l l ，( k = 1 ，2 ，) ， i 口lc ：。：了k ( 口( t ) ) ， ( k = 1 ，2 ，) ， lp ( 。) = o ， y l ( n ) = 0 再固定m 1 ，2 ，) 并考虑以下的非奇异边值问题 l 耵”+ q ，( ，耵) = 0 ， n n ，矗，( 惫= l ，2 ，h ) ， i 讣：。= f k ( o ( m ) ，( t k ) ) ，( k = l ，2 ：) ， i 洲# “= 7 k ( y ( “) ) ，( k = 1 ，2 ，) ， l ”( o ) = 鬲1 ， 矿( n ) = 0 我们将运用定理1 2 1 来证明( 1 3 ，2 3 ) ”有解，考虑 l ”+ 入q ，( t ，材1 = 0 ， n 札，t t k ，( 七= 1 ，2 一，一z ) ， l 吡：“= a ( ( “) ，y l ( “) ) ，( k = 1 ，2 ，) ， l ”饥：。= a 了( g 化k ) ) ， ( k = 1 ，2 ，) ： i 目( n ) = 鬲l ， y l ( n ) = o ， 其中a ( 0 ，1 ) ， 八小扣滁嚣鼍 同定理1 3 1 令 为( 132 4 ) 对某个 ( o ，1 ) 的锯，则 掣7 0 ) s0 ，o n ，t k ( 惫= l ，一，丁，t ) ； ( ) 0 ，z 1 ；，( t ) 之袁，t 。，r 。1 由( 1 3 1 9 ) 有 o 讯) sq 9 ( 熹) ，n t n ，垴( 皓1 一t n ) ( 1 32 2 ) f 1 3 2 3 ) ( 1 32 4 ) 些銮堕整盔堂堡圭堂焦堡塞! ! 嘞协) 9 ( w 如汕+ 。未* 9 ( 去) 序踟一：篆。玩川。i n 又因 土g ( t ) sg ( tl ) 熹州去，r f 如，d s d ，+ m 叫挚 i m t ，t j n 再南，。的连续性，有 ，l ( ( t 1 ) ，y t ( t 1 ) ) s t 则 y ( t i + ) sy ( t ) sy ( t 2 ) 熹刊去) r 2f 小汕m 刊耋l t ；m 1 2 ，t 同理 如( ”( 0 2 ) ，矿( 0 2 ) ) sn t ：， f l ( ( 1 ) ，y l ( i ) ) + 如( p ( 2 ) ，( 0 2 ) ) 。， 继续 、_ 去得 登 ( g 【靠) ，g ) “l v 所以 ( t ，。十) 墨v ( t ) y ( n ) 磊1 + g 【别if 。n f o o ( s ) d s d t + ；水刊薹l t ；m a ，t k 土sv 0 ) 矗，( 口，n l m 一 些壅塑整盔兰堡圭堂垡堡塞监 则定理1 2 1 保证( 1 , 3 2 4 ) 1 ( 即( l 3 2 a ) “) 有解 y 。p c 陋，n 】n c 2 【( o ，n ) l ，。) 目 1 9 m ( ) 去， t 咚“ ； g ( t ) 0 ，t 【a ，n 】 下面我们去证明( 1 3 2 2 ) 有解，先注意到 0 一g 崭( ) 墨q ( t ) 9 ( y m ( ) ) ，n t 0 ，所以 t ( t ) o ，z 陋，o 十】 即 分m ( ) 2 ( 一o ) 掣m k + ) ( 一。) 西( o + z x ) ， ( n ，o 十】 ( 1 32 9 ) y m ( ) 兰o ( ) ， a ，, l 】 再来看( 1 32 5 ) 就有 0 一篇( ) q ( ) 9 ( 0 ( ) ) ，n t n ，t ( k = 1 ，- ，- 。) 并且 0 勰) s q ( s ) 9 ( o ( s ) ) 出+ k 以 e i n f 0 。q ( s ) g ( ec s ) ) d s + l ，t 】 + ： l ， 【n ，l 】 “ f ! k 。 义( 1 32 0 ) 保证 ( 133 0 ) ( 1 33 1 ) ( 1 3 3 2 ) q ( s ) g ( e ( s ) ) d s + 吣龇 + 缸 0 。i ，lj、lil 一一0 0 得 叮 923嬲 3 令 由 一一 些丕盟整盔堂亟主兰垡迨塞呈q 和函数 t t g ( t ) ，( j = 0 ，1 ) ，u 。( t ) p c i 【。，n 】f 1 g 2 【( n ，n ) t 1 ，-