（固体力学专业论文）在热机械循环载荷作用下纤维增强金属基复合材料多纤维断裂的应力场.pdf

摘要 金属基复合材料在航空、航天领域里的应用非常广泛，其中纤维增强金属 基复合材料( 洲c ，) 具有更优良的性能而倍受航空、航天领域的青睐。应用这些 复合材料制造的部件的使用环境往往都很恶劣，温度变化比较大并且经常是周 期性的，因此研究纤维增强金属基复合材料在热机械循环载荷作用下的力学行 为有很大的现实意义。纤维增强金属基复合材料在制造加工和安装过程中很容 易产生纤维断裂或裂纹等损伤，这些损伤而行成的“弱”纤维在热机械循环载 荷作用下，会在这些损伤的周围会产生局部循环热塑性区域，从而导致m m c ，的 破坏失效。为了这类m m c 结构的安全设计和有效使用，一个非常紧迫的任务是 要深刻地认识金属基复合材料的热机械疲劳( t m f ) 破坏特性。 本文分析研究了多纤维断裂的金属基复合材料在热机械载荷循环作用下， 断裂纤维对复合材料应力场的影响。作为研究纤维增强金属基复合材料在热 机械载荷循环作用下的疲劳特性的前期工作，本文基于剪切滞后模型的理论和 影响函数叠加的方法，分别讨论了金属基复合材料在剪切层、基体未发生屈服 和发生屈服的两种情况的应力场：对于前一种情况，在分析单纤维断裂的基础 上，通过影响函数叠加方法求解了多纤维断裂的复合材料应力场；对于后一种 情况，我们假设了剪切层、基体服从理想塑性条件，将屈服区以带表面应力的 虚拟裂纹替代，将问题化为线弹性问题，此时多纤维断裂的应力场可以通过基 于简化模型的影响函数加权叠加方法求解。通过对纤维增强金属基复合材料在 热机械循环载荷作用下的应力场的研究，把金属基复合材料的应力场与基体循 环热塑性、体积分数、纤维的统计强度以及纤维基体界面特性定量的联系起来， 对于以后进一步形成预测纤维增强金属基复合材料的热机械疲劳寿命的理论 体系打下了好的基础。 对金属基复合材料的研究结果表明：( 1 ) 在外载荷作用下，随着载荷的增 大剪切层总是先于基体发生屈服，且载荷越大基体和剪切层的屈服长度越长， 在同样条件下，如果基体和剪切层同时发生屈服，剪切层的屈服长度总是要长 于基体的屈服长度。( 2 ) 温度变化对复合材料板应力场的影响与温度变化幅值、 加载方式和初始温度的大小有很大的关系。 通过简化模型方法，得到了不同的热机械循环载荷作用下多纤维断裂时纤 维增强金属基复合材料的应力场精确解，得到的结论更易于复合材料的疲劳研 究。 关键词：金属基复合材料，剪切滞后，热机械破坏，循环塑性区 v a b s t r a c t m e t a lm a t r i xc o m p o s i t e sh a v eb e e nw i d e l yu s e di na v i a t i o na n ds p a c e f l i g h t t o d a y c o n t i n u o u sf i b e r sr e i n f o r c e dm e t a lm a t r i xc o m p o s i t e s ( m m c f ) w i nm o r e f a v o ri nt h e s ef i e l d sb e c a u s eo fi t se x c e l l e n tp e r f o r m a n c e t h ee n v i r o n m e n tt h a tt h e e q u i p m e n t sm a d eo fm m c f b eu s e di ni sv e r yb a d t h e s ee q u i p m e n t sa l w a y sw o r k u n d e rt h e r m o m e c h a n i c a lf a t i g u el o a d i n g a tt h es a m et i m em m c fi se a s yt oc o m e i n t ob e i n gf i b e rr u p t u r ea n dc r a c ka tt h ep e r i o do fm a n u f a c t u r eo ri n s t a l l a t i o n l o c a l c y c l i cp l a s t i c i t ya r e aw i l la p p e a ra r o u n dt h ed a m n i f i c a t i o no ft h e s ef e e b l ef i b e r s u n d e rc y c l i c a lt h e r m o m c c h a n i c a ll o a d f o rt h ef a i l s a f ed e s i g na n dr e l i a b l eu s eo f t h e e q u i p m e n t sm a d eo fc o n t i n u o u s f i b e r sr e i n f o r c e dm e t a lm a t r i xc o m p o s i t e s ，a n i m p o r t a n tt a s k i st ou n d e r s t a n dt h et h e r m o m e c h a n i c a lf 乱i g u ec h a r a c t e r i s t i co f m m c f i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ei n f l u e n c eo fm u l t i p l eb r o k e nf i b e r si nm m c tu n d e r c y c l i c a lt h e r m o m e c h a n i c a ll o a d a st h ep r o p h a s ew o r k ，w es t u d yt h ec o m p o s i t e s t r e s su n d e rc y c l i c a lt h e r m om e c h a n i c a ll o a d ，t h eg o v e r n i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so fc o m p o s i t es t r e s sa r eg i v e nb yu s i n gs h e a r - l a gt h e o r ya n dt h es t r e s so f c o m p o s i t ew i t ha ni n f l u e n c es u p e r p o s i t i o nm e t h o d t w oc a s e sw e r ed i s c u s s e d ：i ti s c o n s i d e r e df o rs h e a rl a y e r sa n dm a t r i x e sy i e l do rn o t w h e ns t u d yt h ep r o b l e mt h a t s h e a rl a y e r sa n dm a t r i x e sn o ty i e l d ，w ef i r s tc o n s i d e rt h es t r e s so fc o m p o s i t ew i t ha s i n g l eb r o k e nf i b e ru s e ds h e a r - l a gm o d e l ，t h e nc a l c u l a t et h es t r e s so fc o m p o s i t ew i t h a ni n f l u e n c es u p e r p o s i t i o nm e t h o d ；f o rt h eo t h e rc a s ew es u p p o s es h e a rl a y e r sa n d m a t r i x e sa r ep e r f e c t l yp l a s t i cm a t e r i a l ，w eu s et h ed u m m yc r a c k sw i t hs u r f a c es t r e s s t ot a k et h ep l a c eo fp l a s t i c i t yz o n e ，s ot h ep r o b l e mc a nb et r e a t e da sal i n e a re l a s t i c p r o b l e m w eb u i l dt h es i m p l em o d e lt oc o m p u t e i n f l u e n c ef u n c t i o n b ys t u d y i n gt h e c h a r a c t e r i s t i e so fm e t a lm a t r i xc o m p o s i t e s ，w ef i n dt h eq u a n t i f i c a t i o n a lf u n d a m e n t a l r e l a t i o n b e t w e e n l o c a lc y c l i c p l a s t i c i t y 、f i b e l v o l u m e f r a c t i o n 、m a t r i x v o l u m e f r a c t i o n a n dt h ei n t e r f a c eo ff i b e r sa n dm a t r i x e s t h ec o n c l u s i o ne s t a b l i s h e st h eb a s ef o r s t u d yt h e r m o m e c h a n i c a lf a t i g u e ( t m f ) t h er e s u l t ss h o wt h a t ：( 1 ) w i t ht h ei n c r e a s eo fl o a d ，s h e a rl a y e r st a k ep l a c et h e l o c a ly i e l db e f o r em a t r i x e s ，i nt h es a m ec o n d i t i o n ，t h el e n g t ho fs h e a rl a y e r si sl o n g e r t h a nm a t r i x s ( 2 ) t h ei n f l u e n c eo ft e m p e r a t u r et ot h ec o m p o s i t es t r e s s i sv e r y c o m p l e x ，i tr e l a t e st oi n i t i a lt e m p e r a t u r e 、t e m p e r a t u r er a n g ea n dt h ew a y t og i v e l o a d s t h es o l u t i o n so b t a i n e dm a yb eu s e df o rt h ef a t i g u eo fm m c sc a u s e db yt h e f i b e rb r e a k a g ea n dt h et h e r m o m e c h a n i c a lb e h a v i o ro f t h ef i b e r m a t r i xi n t e r f a c e k e y w o r d s ：d u c t i l em a t r i xc o m p o s i t e s ，s h e a r - l a gm o d e l ，t h e r m o m e c h a n i c a lf a t i g u e ， l o c a lc y c l i cp l a s t i c i t y v i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：建壶日期：2 1 k ：至：f ! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盘出新虢监隘隰冽玉生 i i 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 l1引言 工程上称两种或两种以上的材料在宏观尺度上组成的新材料称为复合材料。 复合材料通常由基体材料和增强材料两大组分构成，组分材料之间有明显的界 面，宏观上呈现出各向异性特性，是非均质的。复合材料不仅保持了组分材料的 自身原有的一些优良特性，而且彼此补偿，明显的改善或突出了一些特殊性能， 成为种新型材料。复合材料的种类很多，按组分材料分类有两种：( 1 ) 按基体 材料分类，可分为：聚合物基复合材料；金属基复合材料；陶瓷基复合材 料；橡胶基复合材料。( 2 ) 按增强材料分类，可分为：纤维增强复合材料； 短切纤维增强复合材料；晶须增强复合材料；颗粒增强复合材料；片状 增强复合材料。纤维增强金属基复合材料是指连续长纤维增强复合材料，基体材 料为金属基。 纤维增强金属基复合材料( m m c 。) 在诸如先进涡轮发动机和超音速飞行器等 航空结构中的应用具有令人鼓舞的前景。这些结构要求承受非常复杂的热机械 循环载荷。为了这类m m c ，结构的安全设计和有效使用，一个非常紧迫的任务是 要深刻地认识c ，的热机械疲劳( t m f ) 破坏机理以及发展t m f 寿命的预测方法。 由于金属基复合材料与传统的均匀金属材料有很大的不同，其损伤破坏特征 也不同，损伤断裂机理与金属材料不同。金属材料的破坏机理是：试件在开裂时 常出现一条主裂纹，当裂纹扩展到某一临界值时会突然失稳破坏，所以这条裂纹 控制着最终的破坏。而复合材料是典型的静不定材料，它的破坏是在构件的高应 力内产生严重损伤。它的损伤形式多种多样，如纤维与基体界面的分离、纤维断 裂、基体开裂或沿纤维开裂与层间开裂同时产生；裂纹的扩展也是非共线的。裂 纹在扩展过程中碰到纤维时，既可沿纤维，也可跨越纤维扩展，遇到纤维界面时， 倾向于损伤沿界面扩展，这种扩展更利于使裂纹的扩展稳定下来。所以除少数层 间裂纹在i 型外力作用下会共线扩展外，多数裂纹扩展是复合型的，特别是对层 合板而言裂纹扩展是i 型和i i 型的复合，并且常见i 、i i 型与i 型的混合状。因 此必要专门定义复合材料损伤起源和裂纹扩展以及破坏形式，开始着眼于复合材 料自身的损伤定义和描述方法。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 金属基复合材料单纤维断裂的研究现状 ( 1 ) 剪切滞后模型是金属基复合材料的损伤力学中常用的一种模型。以下几 个力学模型都利用了纤维与基体之问的界面或基体的剪应力来研究破坏纤维附 上海人学硕士学位论文 近的应力场。 比较早的简单的剪切模型。假设了断裂纤维断裂处，沿轴向长为2 三，的一 段纤维与基体界面的剪切应力为r = 一f 。，其它为零。因此，得到了断裂附近的 应力场分布为： 盯，：。r 。吾。z 茎上， 1 1 。 l 点，s ，z c 。 f t o0 z l ， ( 1 2 ) 弘10t z o o 三一d e i e ( 1 - 3 ) 5 4 f o c o x h le 3 建立了第一个真正的剪切滞后模型，他通过分析简化得到了断裂 纤维处用位移表示的控制微分方程： 啦鲁专圹号占z n d 为纤维直径，e ，为纤维扬氏模量，g 。为基体剪切模量，肜为基体层厚度。占 为位移加载时，远离断裂处的应变，为常数。“r 为纤维位移。加入剪切屈服的 假设，即在纤维断裂处沿纤维轴向有2 t 长的基体屈服，可得应力场分布为： o f2 4 o 吉 0 e 。( 1 一v ，) 很高时可得到较精确的解，但目前研 究的复合材料这一比值并不低，如金属基复合材料( m m c s ) ，纤维体积百分比矿， 较低的树脂基复合材料( p m c s ) 。当假定基体不承受轴向拉应力时，无法解释纤 维的裂纹是如何通过基体传到附近无裂纹纤维的，在金属基复合材料( m m c s ) 和树脂基复合材料( p m c s ) 中基体的裂纹有时也很重要。叠加影响方法的基本 思想是通过分析得到局部断裂对复合材料总体位移与应力场的影响，然后使用权 叠加法得到问题的解。但是所得结论较为复杂，为进一步讨论复合材料板的疲劳 问题带来了困难。 在环氧基复合材料中，对于复合材料的疲劳和韧性界面的脱落是比较重要的 力学性能 19 】【2 。因基体和界面的强度相对于高强度的纤维都比较弱，但有很大 剪应变使得基体屈服和界面脱落都有可能产生。在通常情况下，因塑性变形或脱 落引起的应力分布使无损伤的模型发生疲劳和提高韧性。目前的计算方法通常用 来模拟这三种损伤形式：纤维断裂、基体屈服、纤维基体脱落。考虑到基体屈服 和纤维与基体脱落对单向纤维增强复合材料中裂纹与损伤断裂行为的方法已有 很多如：理想条件下应力场的数值解法、各种利用剪切滞后模型的分析方法、有 限元方法以及均匀材料中的断裂力学方法 1 0 2 i 【2 2 】 2 3 2 4 】 2 5 】 2 6 】 2 7 脚 1 2 9 。使用剪切 上海大学硕士学位论文 滞后模型来研究复合材料，最早是由c o x 提出的，认为纤维之间的基体只传递 剪应力不承受拉应力；而纤维承受所有的拉应力，纤维仅仅受拉或受压。这一假 设大大简化了复合材料的分析，复合材料断裂的现象可表示为如下几种：纤维断 裂、纤维问基体的剪切塑性变形、纤维与基体脱落、裂纹尖端基体应力松弛。 在较早使用剪切滞后模型的文献中，h e d g e p e t h 和v a nd y k e 【捌研究了二维的 理想弹塑性基体的模型，并在完全脱落模型中得到了单根纤维断裂与之相邻纤维 的集中应力的解析解。随后许多作者把这一方法用到有多根纤维断裂的情况下 9 2 5 】【3 0 】【3 1 】【3 2 3 3 】 3 4 】 3 5 3 6 。r e e d y l 3 7 1 和r o s s e t t o s 以及s h i s h e s f l z 3 3 发现剪切滞后模型 在金属基复合材料中也能很好的进行应力分析。z w e b e 目得到单向增强复合材 料中在裂纹顶端有基体塑性变形或脱落的剪滞模型方程的近似解，但没有对屈服 区或脱落区进行详细描述，也没有讨论纤维进一步断裂所需的应力条件。早期在 塑性变形上所作的工作采用了复杂方法分析均匀材料裂纹桥联尖端的应力分布， 用能量释放率方法来刻画塑性区，这些研究的屈服都是基于剪切屈服，屈服区的 塑性应变假定为常数等于初始屈服剪应变，也就是说一有屈服产生立即产生一个 较大的塑性区，这就解释了塑性扩展对载荷很敏感。这一方法不适合断裂纤维少 的短裂纹或非平面裂纹情况。 其它一些方法如：有限差分法、有限元模型、弹簧结构模型都需将复合材料 完全离散化，因此只能分析较小的复合材料。g o d a 和p h o e n i x 2 9 1 通过剪滞模型和 有限差分法使用蒙特卡洛法模拟应力就是一例。当不考虑断裂时，c h a n g 和 c h a n g p9 】等人运用简单叠加思想分析纤维断裂的复合材料的应力场。早期有关这 一方法的简单模型得到了推广。通过修改作用在基体上的剪切载荷来补偿远离塑 性屈服区基体的弹性行为。这一方法在载荷较小屈服长度不大时得到的结果很 好，当屈服长度伸长而单元尺寸较小时得到的结果将不精确，这是因为通过断裂 纤维附近基体的剪应力变化很快，没有得到补偿。i j b e y e f l e i n 和s l p h o e n i x 在 这一基础上发展了二次影响叠加法( q i s ) ，在影响函数中用了常数项、线性项和 二次项，目的是提高多自由度以及计算的精度，以及解决需减小断裂纤维附近基 体单元尺寸的问题。c m l a n d i s 和r ，m m c m e e k i n g 4 0 】使用剪滞模型和影响叠加 方法分析了纤维与基体脱落的应力场。 1 3 本文的研究目的和研究内容 1 3 1 本文的研究目的 金属基复合材料在航空、航天领域里的应用非常广泛，其中纤维增强金属基 复合材料( 埘c ：) 具有更优良的性能而倍受航空、航天领域的青睐。应用这些复合 材料制造的部件的使用环境往往都很恶劣，温度变化比较大并且经常是周期性 的，因此研究纤维增强金属基复合材料在热机械循环载衙作用下的力学行为有 上海大学硕士学位论文 很大的现实意义。纤维增强金属基复合材料在制造加工和安装过程中很容易产生 纤维断裂或裂纹等损伤，这些损伤而行成的“弱”纤维通常对复合材料的强度影 响可能不是很大，但在热机械循环载荷作用下这些损伤的周围会产生局部循环 热塑性区域，从而导致i c ，的破坏失效，本文研究在热机械和循环载荷作用下 的纤维增强金属基复合材料的多纤维断裂发生时应力场是为迸一步研究预测纤 维增强金属基复合材料热机械疲劳寿命的理论体系奠定基础。 1 3 2 本文研究的主要内容 本文在研究热机械循环载荷作用下纤维增强金属基复合材料多纤维断裂的 应力场的问题中，分别讨论了金属基复合材料在剪切层、基体未发生屈服和发生 屈服的两种情况的应力场：对于前一种情况，在分析单纤维断裂的基础上，通过 影响函数叠加方法求解了多纤维断裂的复合材料应力场；对于后一种情况，我们 假设了剪切层、基体服从理想塑性条件，将屈服区以带表面应力的虚拟裂纹替代， 将问题化为线弹性问题，此时多纤维断裂的应力场可以通过基于简化模型的影响 函数加权叠加方法求解。根据前面的研究工作“1 所得的结论，运用简化模型方 法来求解影响函数，从而简化了多纤维断裂的模型。对多纤维断裂问题，建立了 复合材料的细观模型，通过对复合材料中多纤维断裂、剪切层屈服以及基体拉伸 屈服的各种情况的讨论，具体针对a l 基b e 纤维增强复合材料，求得在不同的热 机械循环载荷作用下多纤维断裂时纤维增强金属基复合材料的应力场分布，并 对复合材料的应力场进行了分析和研究，得到一些有价值的结论。 上海大学硕士学位论文 第二章剪切层、基体未发生屈服的多纤维断裂力学模型 2 1 引言 金属基复合材料( 州c s ) 相对树脂基复合材料而言，基体承受的应力要大很 多，因此在研究金属基复合材料在外载荷作用下的应力场分布情况时，不能忽略 金属基体承担的载荷，金属基复合材料的纤维和基体都承受轴向应力。金属基复 合材料本身是多度静不定结构，可以多通道受载，其中个别纤维断裂( 只要不超 过一定的限度) 仍能安全使用，或安全使用一定的期限。这种安全的承受一定损 伤的能力称为破损安全性，金属基复合材料具有很高的破损安全性。由于纤维自 身比较脆弱折断，因而复合材料在加工过程中往往很难保持完好性，常有断裂的 纤维存在，同时亦有含有损伤的纤维存在，这些含有损伤的纤维在一定的载荷作 用下很容易在损伤附近产生应力集中造成纤维断裂。当复合材料含有较多的断裂 纤维时，复合材料的强度将受到影响，因而很有必要研究含有多根断裂纤维的复 合材料的应力场。此前j u n q i a nz h a n g ，j i a nw u l 7 1 采用了傅氏变换方法求解纤维 断裂时的影响函数，虽然结果精确但在研究金属基复合材料中多纤维断裂的问题 时，由于理论模型的复杂性，为进一步讨论金属基复合材料的破坏机理带来较大 的困难。j u n q i a nz h a n g ，w a n p i n gz h a n g ”1 对纤维断裂的问题进行了分析，得到 了重要的结论：断裂纤维对自身及紧邻纤维有影响，同时认为断裂纤维对紧邻的 两层基体有影响，而较远处的纤维和基体的应力和位移不受影响。但是对于金属 基复合材料多纤维断裂时的任意纤维和基体的应力分布情况，都没能给出准确描 述。 为了进一步讨论金属基复合材料的破坏机理并应用于其疲劳寿命的研究， 利用先前得到的结论，我们建立了较完善的理论方法：运用了简化模型方法求解 影响函数：在考虑多纤维断裂的问题中，明确了断裂纤维的影响范围，应用了影 响函数叠加的方法对金属基复合材料多纤维断裂问题进行求解。这样就得到了我 们希望的任意位置的纤维、基体的应力情况。在本章我们会重点介绍在不同的热 机械载荷作用下而且剪切层、基体未发生屈服情况下的多纤维断裂的应力场， 所得的结论能更好的用于金属基复合材料的疲劳研究中。 2 2 基本方程 本章所讨论的问题中，我们取一个在纤维径向以及轴向为无限大的复合材料 板作为研究对象。 我们所建立的复合材料二维平面几何模型如图2 1 所示，在此模型中复合材 料的厚度为t ，纤维的宽度为d ，基体的宽度为w ，纤维和基体间存在一剪切层， 宽度为h 。在纤维和基体中，只考虑了正应力，忽略了剪应力，纤维与基体之间 上海大学硕士学位论文 的应力通过纤维与基体间的剪切层来传递，剪切层中以剪应力为主。 在考虑多纤维断裂之间的相互影响时，为了便于表示纤维与纤维、纤维与基 体以及基体与基体之间的相互关系，将纤维和基体进行编号，如图2 2 所示。 m a t r i xf i b e rm a t r i x 图2 1 复合材料的几何模型 f i g21t h eg e o m e t r i c a lm o d e lo f c o m p o s i t e s fm n 2 fmfmfm 【汁 f n 一2 1n + l n + 2 m m a t r i xf - f i b e r 图2 2 纤维与基体排序图 f i g2 2t h ed i s t r i b u t i o no ff i b e r sa n dm a t r i x e s 2 2 1 纤维的基本方程 在考虑多根断裂纤维之间的影响时，任取第n 根纤维的单元体进行受力分 析，如图2 3 所示。由纤维单元体的受力平衡可得方程： 譬= 一吉( r 。“) ( 2 - ) 其中n 表示纤维与基体的序号，盯! 是第n 根纤维 的正应力，f 是第n 根纤维左侧所受的剪应力， f ! 是第, 根纤维右侧所受的剪应力。因为只有在 剪切层中存在剪应变，同时认为剪切层的应变在 横向是均匀分布的，即在同一剪切层的横截面内 的应力分布是均匀的。由复合材料的二维几何模 型以及相关假设可得剪切层的剪应变与纤维以及 基体的位移之间的关系： 。c ：篮二垒 “ 日 ，一：虹 “ h 、。：+ d 仃： 圈 i 仃： 图2 3 纤维单元体的受力模型 f i g2 3t h ea n a l y s i so ff i b e re l e m e n t ，：、y ：分别是第”根纤维左右两侧剪切层的剪应变 f = g 。得： l = g c 华 1 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 由剪切层应力应变关系 ( 2 4 ) 上海大学硕士学位论文 r _ g 。等 心勘 其中g ，是剪切层的剪切模量，“：是第n 根纤维的位移，“二、“? 表示第n 一1 和 层基体的位移。纤维应力与位移和温度之问的关系为： 盯n ，一- 一s f l 盟d z 一口，p 一) 1 ( 2 - 6 ) e ，为纤维的杨氏模量。将式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) 代入式( 2 1 ) 得： 警一矗叫，) = 。 ( 2 - ) 式( 2 7 ) 为由纤维与基体位移表示的复合材料板应力场微分方程。 2 2 2 基体的基本方程 任取第n 层基体单元体进行研究，如图2 4 所示进行受力分析，其中盯? 是基 体层的正应力，由单元的受力平衡可得： 等= 一托。)龙肜 “7 由 k ，= 华 得 k 。= 瓯鼍产 ( 2 8 ) ( 2 9 ) t 盯? + d 盯? 图2 4 基体单元受力分析 f 2 1 0 ) f i g 2 4t h ea n a l y s i so f m 8 一。l 。“ 基体的应力与位移和温度之间的关系为： 巾民滢一肛r 0 ) 眨 其中e m 为基体杨氏模量。将式( 2 5 ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 i i ) 代入式( 2 8 ) 整理得： 等一畚陪以刊= 。 ( n 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 为另一个由纤维与基体位移表示的复合材料板应力场微分方程。 2 2 3 复合材料板的应力场控制微分方程 在复合材料板中，多个以纤维与基体的位移表示的形如是( 2 7 ) 、( 2 1 2 ) 方 上海大学硕士学位论文 程构成的方程组，即为复合材料板应力场控制微分方程，因此求解复合材料板的 应力场问题也就是求解多个由( 2 7 ) 和( 2 1 2 ) 组成的方程组。 可d 2 u f 一矗f 叫一蠕) = 。 ( 2 1 3 ) 等一南晤心训= 。 ( 2 1 4 ) 为了计算的简化，进行无量纲化处理，令 p = 面d e f _ 7 = 盖v z = g 一。”f z p 万d2 v n i 一( 2 _ 一_ ”一哗。) = 。 ( 2 1 5 ) 万d 2 v m 一( 2 _ ”一嘭。一_ ，) - 。 ( 2 1 6 ) 考虑温度变化时，丁。为初始温度，t “为加载温度，纤维与基体的正应力和 剪切层的剪应力与无量纲位移之间的关系为： = q 卜警，n r o ) 亿 吖呱卜等飞n r o ) 亿 矿吨2 g 。华 ( 2 1 9 ) r 。彤g c 华 ( 22 。) 其吣等愀析概粥到 具体问题的精确解。 2 3 影响函数叠加方法 2 3 1 纤维断裂的影响函数 磊 上海大学硕士学位论文 纤维断裂的影响函数由复合材料板中单 根纤维断裂问题得出。求解影响函数时的边 界条件采用应力边界条件，在纤维断裂处纤 维两断裂表面沿纤维轴向分别有方向相反 的单位力。一般地，通过傅氏交换方法可精 确地求解纤维断裂时的影响函数“，但计算 比较复杂、费时。我们假设纤维断裂对断裂 纤维自身以及紧邻纤维有影响，同时认为断 裂纤维对紧邻的两层基体有影响，而较远处 纤维和基体不受影响。5 1 。如图2 5 所示。 m n 一2m n lm nm n + l 图2 5 简化模型示意图 f i 9 2 5t h es k e t c hm a pf o ra s i m p l i f l e dm o d e l 对这一简化模型方法的合理性，我们可以通过对简化模型方法所得的结果与 傅氏变换精确解法所得的结果进行比较：如下图所示，图形2 6 为单根纤维断裂 的情况下，在断裂处沿纤维轴向存在单位应力时，用此两种方法求出的基体应力 分布图；图形2 7 为单根纤维断裂的情况下，在断裂处沿纤维轴向存在单位应力 时，用此两种方法求出的纤维应力分布图。通过用此两种方法对影响函数的计算， 从图形结果的对比上我们发现：在相同的材料和同样的边界条件下，由于简化模 型方法引入了纤维断裂对较远处纤维和基体没有影响这一假设，所以两种方法计 算的结果存在一定的误差，但误差的大小都在允许的误差范围之内。 0 1 5 厶 掣 昌0l e o 0 5 l 一 鲥帮w 7 ；一而一12 1 41 61 82 z j d 图2 6 纤维断裂条件下，断裂处有单位应力时，简化模型方法和傅氏变换精确方法 求得的基体的应力分布 f i g 2 6t h es t r e s so fm a t r i x e sa r o u n dt h eb r o k e nf i b e ri nc o n d i t i o no ff i b e r b r e a kw i t has i m p l i f i e dm o d e lm e t h o da n dw i t hf o u r i e rt r a n s f o r lm e t h o d 上海大学硕士学位论文 盘 函 0 2 0 0 2 0 4 06 0 8 k 一一一 厂。1 0 囊巍 图2 7 纤维断裂条件下，断裂处有单位应力时，简化模型方法和傅氏变换精确 方法求得的纤维的应力分布 f i g 。2 7t h es t r e s so ff i b e r si nc o n d i t i o uo ft h es i n g l ef i b e rb r e a kw i t h as i m p l i f i e dm o d e lm e t h o da n dw i t hf o u r i e rt r a n s f o r mm e t h o d 为了使简化模型与整个复合材料相一致，基体和纤维的体积百分含量与实际 复合材料板中纤维和基体的体积百分含量相同，取最外层受断裂纤维影响的基体 层厚度为w 2 ，这样就达到了简化模型中纤维与基体的体积百分含量与整个复合 材料相一致。设复合材料中第n 根纤维断裂，且裂纹位置坐标为专，如图2 8 所 示。建立控制方程得： f n - if nf n + l p 万d 2 v j 一( 2 k 7 一_ ”一嘴) = 。 万d 2 v m 一( 2 k ”一k + 1 f - - _ ，) - 。 p 万d 2 v + l 一( 2 k i f - - w 一曙) = 。 等一z ( z v + 2 f - - 州= 。 解上述控制方程，得到： 1 4 m n2m n lh hh h + l 图2 8 单纤维断裂示意图 f i 9 2 8t h es k e t c hm a pf o ras i n g l e b r o k e nf i b e r 上海大学硕士学位论文 矾蝣) = 三1c _ ，, 。烈( + - 8 e + ( 9 & + 3 p 。力- 2 r ：2 ( 1 + 3 p ) ，厄唧( 一周善吲) ( z z t ) 呒”( n ，f ) = 吒”。一1 ，掌) = 一三2 e m a 争i 1f 6 + 置2 p _ 2 t ( i + 2 p ) k 虿e x p ( 一鬲悟一轰i ) ( 2 2 2 ) 盯：7 。+ l ，勤= 0 - 2 ! 。一1 ，善) = j 1 。k 善4 ( r 一4 。i e x p ( 一i 眵一每1 ) ( 2 2 3 ) 0 2 m ( 一+ l ，f ) = 0 2 m ( n 一2 ，f ) = 一乜k c j 厄e x p ( 一再睁董i ) ( 2 2 4 ) 点表示第月根纤维或基体断裂处的坐标，o t 7 ( n ，善) 为第n 根纤维断裂对第n 根纤维的应力影响函数，o - 2 f 研+ 1 ，善) 为第n 根纤维断裂对第n + 1 根纤维的应力影 响函数，o 2 f 0 一l ，掌) 为第n 根纤维断裂对第n 一1 根纤维的应力影响函数； o l ”( 孝) 为第n 根纤维断裂对第n 层基体的应力影响函数，0 1 ( 一- 1 ，f ) 为第n 根 纤维断裂对第n 一1 层基体的应力影响函数，0 2 “+ l ，f ) 为第n 根纤维断裂对第 h + 1 层基体的应力影响函数，0 1 “ 一2 ，f ) 为第n 根纤维断裂对第n 一2 层基体的 应力影响函数。 第n 根纤维断裂时，纤维右侧剪切层的剪应力为： 枷伊一等喜( 2 + 碍州c j 压e x p ( 一再阢j ) ( 2 25 ) 州川瑚叫( 川瑚= 一等喜( 即舾p ( - 同h 妲2 6 其中r ，r ：，r ，r 。为下面方程的四个根 ( 4 1 4 f 一1 6 p f + 4 善2 + 1 9 p 孝：2 + 8 p 2 f2 4 店3 6 p 2 手3 + p2 f 4 ) = 0 ( 2 2 7 ) c ，= c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 由以下连续条件确定： w b = o_ “b = o 盯7 ( n ，茧) = 一1 2 3 2 基体断裂的影响函数 基体断裂的影响函数由复合材料板中单层基体断裂的问题求得。假设断裂的 基体为复合材料板的第n 层，因此在求解基体的影响函数时，取复合材料板中基 体第n 层断裂，且裂纹又处于基体的毒。此时仅考虑其对自身以及对紧邻纤维和 相邻基体的影响。同样为了保持简化模型与整体模型一致，这里取最外层基体的 厚度为w 2 ，从而使得基体与纤维的体积百分含量与整个复合材料板相一致，如 上海大学硕士学位论文 图2 9 所示，根据对称关系得控制微分方程： 等- ( 2 牛k + l f - - 呐= 。 p l d 2 v f n + l f 一( 2 k + l f - - w k 4 ) = 。 等- 2 ( 2 肾k + 2 f - - + l f ) ：o m n im nm ”1 f nf n + 1 图2 9 基体断裂示意图 ， f i g2 9 t h es k e t c hm a pf o ras i n g l eb r o k e n 根据对称性有= k 7 ，又由于延纤维 。们。 轴向无穷远处应变为常数，所以含正指数项 的系数为o ，因为纤维的断裂对较远处纤维没有影响，所以有k ，：矿， 联立以上方程求解得： k ”= t + qe x p ( - 届) ( 2 2 8 ) k ，：圪+ 三主( 4 一r 。k 。p ( - 砖) zi = 1 ( 2 2 9 ) v o m = + 昙壹( 6q _ 。2 p 一2 r ( 1 + 2 p ) ，e x p ( _ 厨) ( 2 3 0 ) 采用应力边界条件，在断裂处基体两断裂表面沿纤维轴向有单位力作用。由 位移表示的第0 层基体断裂的连续条件为： b 2 一- 曙l 2 0 喋t l = o 根据约束条件可以求得当第n 层基体断裂时方程( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 中 的参数为： 2 c = 1 ( r l r 2 ) ( r l r 3 ) p 2 c 1 = 一 ( r l r 2 ) ( r 2 一r 3 ) 户 2 。3 2 ( r l - r 3 ) ( r 2 - r 3 ) p ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 由公式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 可得第n 层基体断裂时，纤维与基体的正应力 上海大学硕士学位论文 ”( 置，自= 一i 1 k 善3 ( 6 + r 、a p - 2 r ( 1 + 2 p ) ) c i 鬲e x p ( 一鬲陟 玛，( 五，手) ： 弓屯主心一4 ) c f 鬲e x p ( 一压陟一毒j ) z i = 1 ( 2 3 5 ) 0 - 4 ( 墨，善) = k c i 再e x p ( 一i 眵一专1 1 ( 2 3 6 ) 由公式( 2 2 0 ) 可以得到当第1 1 层基体断裂时剪应力的表达式为： 寸= 一等喜( 2 + r ，z p - r , 0 + 4 ”e x p ( - 风) ( 2s ，) 乒一簪喜q e x p ( 一廊) ( 2 。s ) 2 3 3 影响函数叠加方法的原理 考虑复合材料含有多根纤维断裂的问题，运用叠加原理可以将求解多根纤维 断裂的应力场问题转化为求解单根纤维断裂的应力场问题“”。，如图2 1 0 所示。 对应每一个纤维断裂，相应的单纤维断裂问题中的裂纹面上作用有应力为e 。( j = 1 ，2 ，3 ) 的表面张开载荷， 其大小待定。当裂纹表面应力为单位应力时，其引 起的纤维应力和基体应力称为影响函数。 因此，多纤维断裂问题的应力场可以由影响函数的加权( 权为e ) 叠加得到， 权e i 可由裂纹应力自由边界条件求得。 假设含有断裂纤维的复合材料板中有n 根纤维断裂，断裂的具体位置为 x i = x 。、x 2 、玛、以，其中五、五、玛、x 。按顺序排列。表示第五 根纤维上胃处断裂时对整个复合材料板的应力影响函数，e l 表示第五i 根纤维上 处断裂时对整个复合复合材料板的应力影响函数，此时复合材料板任意纤维 处的应力表示为： o f ( 五，孝) = e r r + 芝e h 7 ( 置，悟一等1 ) + 艺e 乙仃：7 ( 置一。+ 1 ，陟一暴，1 ) + 厂。， 尸1 ( 2 3 9 ) 。盯：7 ( 五+ ，一1 ，陪一幺。i ) j = l 复合材料板任意基体处的应力表示为： 叫蹦) = e m s + 善料( 跳一舅 n , i 0 2 m ( 五一+ l ，卜铷 ”( 五一+ l ，卜刊) 如q 帅 岳 一 一 f 括刮 。 一： k m 芦兰川 十 十 上海大学硕士学侍论文 图21 0 复合材料多纤维断裂运用影响函数叠加原理的示意图 f i 9 21 0t i l es k e t c hm a po f c o m p o s i t e su s e di n f l u e n c ef u n c t i o ns u p e r p o s i t i o n m e t h o di nc o n d i t i o no f m u l t i p l ef i b e r sb r e a k 复合材料扳剪切层的剪应力为：