（固体力学专业论文）考虑初始几何缺陷的高层框架结构非线性静力稳定分析的QR法.pdf

考虑初始几何缺陷的高层框架结构非线性 静力稳定分析的q r 法 摘要 高层建筑中的框架结构体系应用广泛，其承重结构主要是梁和柱。其 中的钢结构框架具有强度高、延性好，抗震能力好、施工快等许多优点。 丧失稳定是钢结构破坏的主要形式之一，所以稳定性分析是钢框架设计中 的一个重要环节。 本文主要研究考虑初始几何缺陷的框架结构几何非线性静力稳定问 题。利用0 r 法、根据几何非线性变形理论和结构稳定性理论，先推导出考 虑初始几何缺陷的单元刚度矩阵，并建立起结构稳定的泛函，由变分原理 导出结构的稳定方程。本文所建立的稳定方程考虑了几何非线性的大变形 效应，通过忽略几何非线性的二次项，将问题归结为求解线性稳定问题的 特征值稳定方程，建立了结构非线性静力稳定性问题的新算法及失稳类型 判别准则。最后利用m a t l a b 编制了相应的计算程序，通过一些算例，一方 面验证了本文方法的正确性，另一方面通过与有限元法的比较也说明了本 文方法的优越性和实用性所在。计算结果表明，按照本文建立的计算格式 来分析考虑初始几何缺陷的框架结构的几何非线性静力稳定性问题，不仅 精度高，而且未知量的数目很少，程序简单易编，收敛性好，很容易在微 机上实现。本文不仅具有理论意义，而且对工程实践也有一定的参考价值。 关键词：高层框架结构样条函数0 r 法有限元法初始几何缺陷 几何非线性稳定性分析 1 1 ， q r m e t h o d f o rn o n l i n e a rs t a b i l i t y a n a l y s i so ft a l lf r a m e ss t r u c t u r e s w i t hn n t i a lg e o 豫t r i c a ll m p e r f e c t i o n a b s t r a c t t h e r ea r el 吣o fs t m c t u r e 鼬n e si nh i 曲b u i l d i n g 锄d b e 锄sa n dc o l u 呦s a r em a i nl o a d - b e a r i n gs 仃u c n i fi ti ss t e e l 咖c t u r e 觑嘲e s ，i th 舔s o m e a d v a m a g e si n c l u d i n gk 曲妣n g ：f l l ， l a q 萨e x t e n s i o n ，9 0 0 d a m i s e i s m i c c 印a _ b i l i 奶r a p i dc o n s t n _ l c t i o ns p e e da n ds oo n e s p e c i a l l yn o w a d a y s ，s t n j c 讥r e s 一 。 _ t r e n dt ol i g h t t l l i n m o d e l b e c a u s eo fm ed e v e l o p m e mo fd e s i g nm e o 巧柚d 2 m a t e r i a l p m p e r t ) r i t i sah i 曲1 i g h tm a ts t e e ls 仉j c t u r e st o t a l s t a l b i l i t ) ，i s c a 】c u l a t e d i i lt l l i sm e s i s ，t i l ep m b l e mo fn o n l i n e a rs t a t i cs t a b i l i 够a i l a l y s i so fs t m c t u r e 疗锄e si nh i 曲b u i l d i n g s 丽mi l l i t i a l g e o m e t r i c a li m p e 啪c t i o n 1 h ea u t l l o r e x a c t 组n g e n ts t i f m e s sf o ri m p e “e c tb e 锄- c o l u m n m e m b e r sa n de s t a b l i s h t h e 向n c t i o n so fs t a b i l i t yo nt h eb a s i so fq r - m e m o d ，a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo f g e o m e t r i c a ln o n l i n e a ra n dt i l et l l e o r yo fs t a b i l i 劬e d u c et 1 1 es t a b i l i t ye q u a t i o no f s 仃u c t u r eb a s e do nv a r i a t i o n a l 埘n c i p l e t h e b i gd i 呦n i o ng e o m e t r i c “ n o n l i n e a rw a sc o n s i d e r e db yt i l es 像b i l i t ) re q u a t i o i l t 1 1 ea u m o rs i m p l i f i e dm e p r o b l e mo fg e o m e t r i c a ln o n l i n e a rt l l r o u g hi g n o r e dq u a d r a t i ct 咖a n dr e s e e i t h es i m p l et e m ，a tl a s tb o i l e dd o w nt os o l v et h el i n e a r s t a b i l i 够e q u a t o no f e i g e n v a l u e t h ea u t h o re s t a b l i s h e dt h en e wa r i t h m e t i co fn o i l l i n e a rs t a b i l i 够 a n a l y s i sa n dt h eg u i d el i n eo ft h es t ) r l eo fl o s ts t a b i l i t y l a s t ly ，t h er e l e v a n t c o m p u t e rp r o g r a m sw e r ec o m p l e t e dw i t hm a t l a b t h ea m h o rv a l i d a t et h e c o n e c n l e s so ft h em e t h o dt 1 1 r o u g hs o m ee x 锄p l e s w h e nq r m e t h o di su s e dt o a n a l y z i n gt h es t a t i cs t a b i l i t yo ft a l lf m m e ss t r u c t u r ew i t hi n i t i a lg e o m e t r i c a l i m p e “- e c t i o n ，t l l er e s u l ts h o wm a tt h i sm e t h o di sn o to n l yh i g ha c c u r a c yb u ta l s o t 1 1 en u m b e ro fu n l ( 1 l o w nq u a n t 时i sf e w n e s sa n dc o m p u t e ds i m p l ya n di t h a s b e 钍e rc o n v e 唱e n c ep e 墒蛐锄c e ，i tc a l lb ea c n l a l i z e de a s i l yb y c o m p u t e r i ti s ae f i e c t i v ea n de c o n o m i cn e wm e t l l o d t h i sp 印e rn o to n l yh 勰t 1 1 et i l e o r i e ss i g n i f i c a t i o nb u ta l s oh 船m e r e 诧r e n c e v a l u ei ne n g i n e e r i n g p r a c t i c e k e y w o i t d s ：t a l l 鼬n e s s t l l l c t u r e ； q r r n e t l l o d ； f i n i t ee l e m e n t m e t l l o d ( f e 峋；g e o m 嘶c a ln 砌i n e i 1 1 i t i a lg e o m “c a li m p e r f e c t i o n ；s t a b i l i t ) ， a n a l y s i s ，d ， 、 a f l 广西大学硕士掌位论文 考虑初始几何缺陷的岛层桁絮结构非线干牛静力稳定分析的q r 法 1 1 钢框架结构的特点 第一章绪论 目前国内外建筑结构常用的是钢筋混凝土结构和钢结构。与钢筋混凝土结构相比， 钢结构具有很多优点： ( 1 ) 能合理布置功能区问 利用钢材强度高的特点，钢结构可以设计成较大的跨度或开问，特别是轻钢结构跨 度可达几十米。这样使建筑平面能够合理分隔，灵活方便，创造开放式大空间建筑，从 而满足了许多需要大空间使用功能建筑的需求。 ( 2 ) 自重轻、抗震性能好 钢结构延性好、塑性变形能力强，属于柔性结构，且自重轻，能比较好地消耗地震 带来的能量，因而能有效地降低地震响应及灾害影响程度，极有利于抗震，结构安全度 高。 ( 3 ) 施工方便、工期短 钢结构构件可以实行工厂化生产、现场安装。由于现场作业量小，施工机械化程度 高，且基本不受冬季施工的影响，所以加快了施工速度。根据统计，同样面积建筑物， 钢结构比混凝土结构工期可缩短1 3 。 ( 4 ) 综合效益好 由于自重轻，基础费用降低，总体用料减少，直接成本降低。建设工期短，建筑可 以提前投入使用，间接费又可减少。而且在施工过程中可节省支模材料，所以综合造价 低。 ( 5 ) 符合产业化要求 钢结构适宜工厂大批量生产，工业化程度高，并且能将节能、防水、隔热、门窗等 先进成品集合于一体，成套应用，将设计、生产、施工一体化，提高住宅建筑技术集成 广西大掌硬士掌位论文 考虑初始几何缺陷的岛层椎架结构1 f 线件静力稳定分析的o r 法 化、产业化的水平。 ( 6 ) 符合可持续发展的要求 随着国家对环保的要求，轻锅结构与混凝土建筑相比还有可重复利用，异地重建等 优势，整个建筑呵在很地h t 问内拆迁，损失极小，在施上过程中对周围环境污染少，足 一种新型的绿色环保建筑。 综上所述，钢结构的应用前景非常看好，是建筑结构发展的趋势，所以对钢结构的 研究有非常重要的理论意义和现实意义。当前由于结构设计理论和材料性能的发展，钢 结构更趋于轻薄化，对钢框架特别足高层钢框架的稳定性计算的藿要性更为突出。因此 钢框架结构的稳定设计已是钢结构设计的最基本问题。 l - 2 框架结构稳定问题研究的历史和现状 1 7 8 8 年l a g r a n g e 在他的名著分析力学一书中将稳定性的原理一般表述为：“当 保守系统处于势能的严格极小状态时，系统处于稳定平衡。”这是关于平衡状态稳定性 的最早的论述。到2 0 世纪4 0 年代大约二百年的时间，弹性系统稳定性的研究主要是集中 在弹性系统平衡稳定性问题上。弹性系统稳定性问题开展研究较晚，主要原因是由于弹 性系统本身的静力学平衡条件较复杂。从g a l i l i o 开始探讨梁的静力平衡方程到1 8 世纪 初j 硼e sb e r n o u l l i 建立精确的梁理论，花费了近百年的漫长岁月，而板壳的平衡方程 的精确建立和边界条件的正确提法直到上世纪末才最后解决。弹性系统的稳定性只有在 静力平衡条件准确无误地研究清楚了以后，才有可能迸一步着手进行研究。杆的稳定性 研究出现在1 8 世纪三四十年代，1 7 2 9 年p m u s s c h e n b r o c k 用实验方法研究了压杆的稳定 性，1 7 4 4 年e u l e r 得到了压杆稳定性的理论解，以及失稳后的大挠度弹性曲线。但由于 当时建筑材料主要为木材和石材，对于这些强度较低的材料，必须使用粗短的构件，因 而弹性稳定性问题并不是首要的。因此，e u l e r 的细长压柯稳定性理论在相当长的时间 里没有得到实际应用。在1 9 世纪后半叶，由于近代工业兴起，建筑业和航海业蓬勃发展， 铁路、钢桥开始大量修建，广泛使用了钢铁等高强度材料，压杆屈曲问题才有了实际意 义与此同时，板壳结构也被大量采用。1 9 世纪五、六十年代，由于若干典型事故的出 现，例如前苏联古比雪夫列宁冶金厂锻压车间的屋盖突然塌落、美国h a r t f o r d 城的一体 育馆网架下雨时突然坠落等等，促进了人们对弹性系统稳定性的研究。弹性系统稳定性 2 制 i ， ， 考虑初始几何缺陷的高层框架结构非线悍静力稳定分析的q r 法 方面的许多难题，在这一时期得以发展和解决。在这一时期，弹性系统平衡状态的稳定 性研究大多局限于线性问题范围，它主要是根据线性问题的特征值理论确定结构所能承 受的最低临界荷载。而非线性问题则是随着工业发展的需要以及相关数学水平的提高后 彳突显出束的。对于相对简单的弹件压杆，一旦精确的平衡条件建立，其平衡问题的求 解、临界衙载的确定，以及屈曲后行为的解决就变得非常容易，e u l e r 同时解决了“平 衡问题的求解、临界荷载的确定”两个问题。对于板壳问题，情况则复杂得多。从它的 线性平衡方程的建立到非线性问题的初步提出和解决则花去了半个多世纪，而且至今在 理论与实际方面仍然存在一批急待解决的难题。值得指出的是，1 9 4 5 年荷兰力学家 k o i t e r 第一次对结构屈曲后的行为进行了一般性研究，他还对临界状念的类型进行了简 单的分类，这是对弹性系统定性分类的开始。在此阶段，由于计算技术的限制，对弹性 系统非线性问题的求解，基本上是用摄动法在少数临界点附近作小参数展开，然后对其 邻域中系统的行为进行讨论。而一般的非线性解法则是在上世纪五六十年代，随着电子 计算技术的发展才发展起来。 结构稳定分析的目的是寻求结构在各种外部环境( 静力、动力、热效应等) 下的弹性 和弹塑性临界条件及相应的最大承载能力。现代的简单结构稳定性实验和计算揭示了结 构在失稳的临界状态下所表现出来的极其复杂的现象( 屈曲、压溃、分支、振荡等) 为结 构稳定性的研究提出了更为严峻的课题，因此，近几十年来一直是沿以下三个主要方面 进行的。其一是非线性挠度稳定性理论，主要是针对钢架、板、壳体的稳定性研究：其 二是非线性前屈曲一致理论，主要是六十年代中期s t e i n 研究薄壳屈曲前状态得出的成 果，能较好符合薄壳实验的结果：其三是初始后屈曲理论，主要是k o i t e r 研究结构初始 缺陷因素对于临界荷载的影响，集中研究了临界状态附近的屈曲后初始阶段的性质，并 提出了结构处于临界状态的“初始缺陷敏感度”的概念“1 。最初框架的稳定是以框架中 单一的梁柱单元的稳定作为衡量框架稳定的标准，在框架计算中引入计算长度的概念。 但框架结构是一个整体结构，只有对结构作一个整体分析才能对其失稳有较确切的理 解。在对框架进行整体分析时经常采用的方法是把空间结构简化为平面结构，利用平衡 方程中刚度矩阵行列式值为零作为结构失稳的判别准则，并由此计算出结构的l 晦界荷 载。 近几十年来，在研究发挥钢结构稳定性能的潜力及完善相关稳定计算的理论方面， 国内外都取得了长足的进步，例如研究有几何缺陷和残余应力的钢结构的实际受力性能 及其极限荷载，并用数值法求解取得了不少研究成果。此外，通过实验验证理论分析的 3 _ 考虑初始几何缺陷的高层框架结构非线性静力稳定分析的0 r 法 方法，并将理论研究成果利用图表表示或演化为实用计算公式，从而将弹翅性稳定理论 用于解决钢结构设计的问题都取得了丰硕成果。 对于钢框架稳定性的研究，国内许多学者也进行了大量的工作。沈祖炎等”将高层 钢框架结构简化为弯剪型多质点体系，进行平面钢框架弹甥忭动力反应分析。徐伟良、 吴惠弼1 。提出了一种钢框架二阶弹塑性分析的简化塑性区法，考虑了p 一效应等因素， 又克服了塑性区法划分单元过多的缺陷。颜永弟“1 采用刚塑性法分析了平面框架的极限 荷载。徐伟良、潘立本“1 用变刚度的螺旋弹簧模拟梁柱节点连接的柔性，给出了柔性钢 框架柱计算长度系数的修正系数。王志鸯等通过实验的方法证明了二阶弹塑件分析能较 好反映钢框架的内力和变形。舒兴平、尚守平等”3 采用有限变形理论及内力屈服面塑性 流动理论对平面钢框架进行了弹塑性大变形全过程分析。张文元，张耀春”1 引入塑性铰 的概念，建立了空间梁单元弹塑性刚度矩阵，同时考虑几何非线性、残余应力、端部约 束等的影响，给出了一套结构复杂体系的有限元计算方法。李国强、冯健”1 通过对综合 离散法的推广应用，提出了进行高层钢结构建筑弹塑性地震反映分析的一种实用简化计 算方法。李军，张耀春嘲采用有限分割有限元，v o nm i s e s 屈服准则及随动强化准则的 方法进行轴向受力钢构件的几何、物理非线性的理论推导与程序编制。周强、吕西林“” 提出了用准有限区域法来分析平面钢框架弹塑性大变形。刘开国“o 采用角度变位移法分 析钢框架结构的弹性和弹塑性二阶内力。薛素铎，王健宁，曹资，张毅刚“”利用结构弹 塑性地震反应理论，采用理想弹塑性模型，通过结构非线性分析程序，对双层柱面网壳 进行了地震作用下的弹塑性分析。王志骞“”通过理论和实验方法证明横梁荷载和水平荷 载产生的主弯曲可降低钢框架弹塑性极限承载力。关于钢框架的动力稳定性研究，殷学 纲、李宾“”提出了求解刚架之有限元模型的动力失稳域的方法。李青宁推导了矩形、 箱形、圆形和环形变截面杆单元的传递矩阵，利用变截面杆单元的传递矩阵可有效地减 少未知数并提高精度。梁立恒、郭秉山1 1 6 j 应用传递矩阵法对变截面门式刚架进行了弹 性稳定分析。 闰月梅“”采用平面框架进行稳定分析。采用平面框架的方法简便实用，但理论上并 不严密。框架结构作为一个空间结构，结构达到临界平衡状态时，不但总势能一阶变分 为零，更重要的特征是二阶变分也为零。要精确分析结构的稳定问题，就应把结构的临 晃荷载和屈曲模态作为结构的内在属性，通过二阶变分为零进行精确分析。即以空间单 元为研究对象对框架进行整体稳定分析。三维整体稳定分析的方法主要有以下几种：( 1 ) 4 ， 广西大掌硕士掌位论文 考虑初始几何缺陷的高层框架结构前线性静力稳定分析的q r 法 离散化方法。这种方法把结构杆件离散，进行杆件有限元分析，具有较高的精度，但其 基本未知量多，计算量大；( 2 ) 连续化方法。这种方法是将实际体系等效连续化，用 材料力学，弹性力学建立控制微分方程。该法概念较清晰，但需涉及用复杂的偏微分方 程求解； ( 3 ) 连续一离散化方法。目前府用连续一离散化方法存高层结构静力、动力 及稳定分析中部已取得成功。其综合了前两种方法的优点，既避免了采用有限元法分析 的大量数值计算工作，又不必求解复杂的偏微分方程。欧阳蜴“”建立了理想状态下空间 单元应变方程和刚度矩阵，李国强、刘玉姝“”提出了基于三维单元改进塑性区模型的双 重非线性刚度方程。王孟鸿、方敏勇、郝际平瞳。1 导出了一种新型的三维空日j 薄壁构件切 线单元刚度矩阵，这些成果都使框架结构在空| 日j 整体稳定上得到了较好解决。 自6 0 年代后期开始，结构动力稳定性问题成为固体力学领域中十分活跃的研究课 题，非线性动力稳定的理论在工程上有着广阔的应用前景，但当前理论研究还存在许多 问题，对动力稳定性定义和判定准则还没有一致的看法，用有限元方法进行结构的静力 稳定性分析虽已较成熟，但进行非线性动力稳定性分析则还很不完善。”。对于非线性动 力稳定问题时的处理常采用很保守的措施，如只采用非线性静力稳定性分析或通过进行 缩尺模型振动台试验等，再给出非常大的安全系数以保证结构的安全。显然这些措旌不 尽科学和合理。要分析非线性大跨空间结构的动力稳定性性能，必须建立可靠的非线性 动力稳定性分析理论和分析方法，综合考虑结构的几何与材料非线性、各种初始缺陷和 残余应力的影响，建立精确的动力弹塑性有限元分析模型，提出确定动力稳定性的可靠 手段，建立最不利初始缺陷设计准则”1 。 从对框架结构稳定分析的具体方法而言有微分方程法，矩阵位移法，近似数值计算 法等。微分方程法是将框架离散成杆件，列出杆件变形后的力矩平衡微分方程，根据杆 端转角关系联立方程求解；矩阵位移法的解题思路是首先在框架中各个可发生位移的节 点处列出杆端位移与杆端内力的关系即转角一位移方程，然后以各节点位移为未知量， 建立各个节点处杆端内力总和与外力平衡的方程，最后由此平衡方程式解出节点位移和 内力；数值计算方法中有限元法是目前进行框架稳定分析应用较多的一种方法，该方法 通过建立结构的弹性刚度矩阵和几何矩阵，从而把稳定问题转化为求解矩阵广义特征值 问题。但是该方法也存在着不足之处，当结构单元较多时，结构刚度矩阵的组装与求解 需要大量的内存和计算时间，在进行结构非线性动力分析时，容易出现刚度矩阵负定， 造成计算不收敛；特别是有限单元法要求单元之间必须变形协调，使得有限单元法难以 处理非连续介质、大变形以及结构倒塌分析等问题。为解决此问题国内外学者近些年来 5 、r 广西大掌硕士掌位论文 考虑初始几何缺陷的高层框架绐构非线性静力稳定分析的q r 法 提出了一些新的数值计算方法。闰月梅”7 1 提出了对高层钢框架整体稳定分析的一种新方 法传递矩阵法。传递矩阵是将基本单元端部的位移和对应的内力作为状态变量，利用单 元剐度矩阵、杆件的变形微分方程以及结点平衡和位移协调，建立基本单元端都的状态 变置与相邻基本单元端部的状态变管之问的转化笑系，通过各单元的传递矩阵依次相乘 建立整体传递矩阵，结合单元或整个结构两端的边界条件，求得截面的内力和位移或结 构的稳定承载力。该法与有限元相比，不存在需建立存储占空间很大的总体刚度矩阵及 解一个大型的线性方程组问题，因而数据输入工作量很少，编制程序容易，同时得到的 结果精确度很高。该法和加权余餐泫相比，不存存需选择合适的试函数问题，也不需论 证解的收敛性。聂国隽在分析框架时采用另一种数值方法一微分求积单元法，微分求 积单元法是在微分求积法的基础上结合有限分割和集成规则而形成的一种新的数值计 算方法，先把整体拆为若干个单元，这些单元在节点上相连接，然后进行单元分析，建 立各离散单元的基本微分方程，利用微分求积法原理将这些基本微分方程转化为代数方 程进行求解，再将这些单元关系式按一定的条件集合成整体，建立整体结构的位移法基 本方程，从而解得各节点的位移和内力。微分求积单元法包括了单元及结构的所有离散 形式的控制方程，因此在许多情况下可得出较为精确的解。 广西大学秦荣教授创立的样条有限点法和q r 法亦是解决稳定问题的有效方法。样 条有限点法，于1 9 7 8 年创立，它是在有限元法与有限条法之间另辟的一条新路，利用 样条离散化创立了一类变量、二类变量及三类变量样条有限点法。这种方法是一种样条 无网格法，不仅计算简便，而且精度也高。该方法以b 样条函数、正交函数及最小势能 原理为基础，位移函数由b 样条函数和正交函数的乘积的线性组合构成，一个方向采用 b 样条函数，另一个方向采用正交函数，总剐度矩阵利用最小势能原理建成，这个方法 适用于规则区域上的各种结构的分析。对于这类结构，它不仅比有限元法具有相当大的 优越性，而且比有限条法还优越讲1 。 q r 法创立于1 9 8 4 年，集有限元法、有限条法、无限元法及样条有限点法等方法 的优点于一体，克服了它们的缺点，突破了它们各自的局限性。q r 法建立的刚度方程 只与样条结点和级数项有关，与结构的单元总数无关。因此，用q r 法建立的刚度方程 中的未知数较有限元法要少得多。q r 法能够适用于各种大型复杂的不规则的结构形式 的计算，而且编程简单，计算简便，费用小，精度高。用q r 法建立刚度矩阵和荷载向 量非常方便，不必像有限元法必须先扩张后叠加嘲。对于高层建筑结构，当高度较高及 柔性较大时，结构的稳定性分析不能忽视，可利用q r 法，根据几何非线性变形理论， 6 屯 + 、 、 ，誊 磷 考虑初始几何缺陷的岛层框架结构1 f 线悍静力稳定分析的q r 法 先建立结构稳定的泛函，再由变分原理导出结构的稳定方程，文献 2 6 在高层建筑结构 的稳定性分析中，虽然选取卡t 件作为单元，但采用了q r 法将框架节点位移转化为样条 节点上的广义位移，因此未知量与单元的划分无关，只与样条节点有关，所以未知量的 数目很少，计算非常简单，很容易在微机f 实现。对丁几何非线性、材料非线性和双重 非线性稳定问题，可利用样条函数方法( 样条有限点法、q r 法或样条子域法) 建立增 量刚度方程后，再利用切线刚度法、特征刚度法及当前刚度参数法或其它方法分析结构 的非线性稳定问题。 结构的初始缺陷可分为几何缺陷和物理缺陷，也有人将其分为单元缺陷和结构整体 缺陷，结构的静、动力稳定性能对这些缺陷极其敏感。h a t z i s 的研究发现，单根杆件 的缺陷可使结构稳定性承载能力降低2 0 ，m o r r i s 研究表明结构整体缺陷可使稳定性 临界荷载下降3 5 。要使稳定性理论分析结果和结构的实际性能相吻合，必须采取有效 措施把这些因素考虑进去。本文考虑的初始几何缺陷，在实际工程中，往往是由于结构 杆件制造误差以及施工中产生的一些误差累加而成的，综合这些因素都可以将其都归结 为初始几何缺陷。 百余年来，很多学者对结构稳定问题进行了深入研究，做出了卓越贡献。但由于稳 定问题的复杂性，尤其当构件存在初始缺陷、残余应力以及非线性因素的影响，就更增 加了解决稳定问题的难度。在工程结构稳定性的研究领域中，还存在很多尚未解决好的 问题。比如：大跨度桥梁、大跨度薄壳、大跨度大空间网壳、高层与超高层建筑结构的 双重非线性动力稳定性问题。 1 3 本文的课题来源、研究意义和所做的工作 1 3 1 课题来源 广西自然科学基金项目：结构双重非线性稳定分析的新理论新方法( 桂科自0 3 3 9 0 1 3 ) 1 3 2 研究意义 本文主要研究考虑有初始几何缺陷框架的稳定问题，首先建立考虑初始缺陷的单 7 也 、 、 十 广西大学硬士掌位论文 考虑初始几何缺陷的高层框絮结构邗线忭静力稳定分析的q r 法 元刚度矩阵，这里主要采用了平衡法；然后采用新的分析方法q r 法建立了结构的稳定 方程，开辟了进行结构分析的新算法、新途径，建立了结构稳定性的判别准则。q r 法 吸收了传统有限元法离散化的基本思路，虽然也划分有限元网格，但与有限元法不同， 通过建立单元结点位移向帚与结构样条结点向帚的转换关系，使得离散化刚度方程中未 知量数目只与样条结点有关，而与单元多少及嘲格划分无关，所以样条离散化刚度方程 中未知量数目很少，这样既可以直接利用有限元法的单元刚度矩阵，还可以发挥q r 法 进行结构分析计算简便精度高的优点，改进了有限元法在进行非线性和复杂结构分析时 未知量数目多，计算量大的缺点，是一个经济有效的新方法。所以，本文所做的工作将 丰富和完善结构非线性稳定理论的研究内容和研究方法，为结构非线性稳定性分析提出 一个经济有效的新方法，开拓一个新途径，具有理论意义和工程指导意义。 1 3 3 本文研究工作 ( 1 ) 首先要利用单元平衡的关系建立考虑初始几何缺陷的单元刚度矩阵 ( 2 ) 利用q r 法，根据几何非线性变形理论和结构稳定性理论，建立起结构稳定的 泛函，再由变分原理导出结构考虑几何非线性大变形效应的稳定方程，进行考虑了初始 几何缺陷的框架结构的稳定性分析。本文所建立的稳定方程考虑了几何非线性的大变形 效应，通过忽略几何非线性的二次项，保留一次项，将几何非线性问题简化，最后归结 为求解线弹性稳定问题的特征值稳定方程，建立了结构非线性静力稳定性问题的新算法 及失稳类型判别准则。 ( 3 ) 本文将几何非线性问题做了线性化处理，最后归结为求解特征值问题，避开了 考虑非线性需要全过程跟踪，编程复杂的难点，利用m a t l a b 语言编制了相应的计算程 序，分析了一些算例。其结果与理论解析解的结果和试验实测值吻合得很好，比按纯线 弹性求解精确度高。因此，验证了本文所建立的计算格式是准确可行的。 ( 4 ) 本文最后通过五个算例发现q r 法的计算速度比较统一类型的有限元法效率 高，同时说明三层以上的框架结构的稳定计算中，几何非线性计算是有必要的，并且考 虑了初始几何缺陷就更符合工程实际。 8 o i 、 、 考虑初始几何缺陷的高层框架结构非线忤静力稳定分析的q r 法 第二章结构稳定分析的基本理论 2 1 稳定的基本概念 稳定问题是力学中的一个重要分支，与强度问题有着同等重要的意义。结构的稳定 分析是结构分析的重要组成部分。半个多世纪以来，随着新材料、新技术突破性的发展， 大跨度空间结构在世界范围内得到了广泛的应用。”。随着团家经济实力的增强和社会发 展的需要，最近几年各种大跨度结构在我国也得到了大量的应用。这些大跨度空间结构 具有极强的几何与材料非线性特征，杆件单元以承受轴向力为主，此时结构的承载能力 常由其稳定性所控制。结构失稳时具有和脆性断裂相似的特性，即结构的失稳破坏往往 突然发生，没有明显的征兆。这种破坏常会造成大量的人员伤亡和巨大的经济损失，因 此对这类结构的稳定性能特别是双重非线性稳定理论的研究具有特别重要的意义嘲 稳定是结构所处的一种状态。失稳的真正含义是几何突变，即在任意微小的外力干 扰下物体或结构的几何形状发生极大的改变。在撤除了这个任意微小的外力后，物体 或结构并不恢复到原来的几何形状。事实上稳定的定义并非统一，关键在于将这种现象 放在哪一种理论系统中研究。一种被广为接受的解释是：失稳的发生意味着稳定平衡 向不稳定平衡的转移而达到一个新的稳定的平衡。可能发生平衡转移的那个瞬间即为临 界状态。关于稳定平衡或不稳定平衡的定义及其判断成为我们关注的重点。从力学上讲， 当局部杆件发生失稳时，应力急剧下降，相邻构件必须承担起本由失稳构件承担的荷载， 使得应力发生重分布。如相邻构件能够承担重分布的荷载，则结构是稳定的，否则结构 是不稳定的。在经典的线性结构分析中，常假设结构的变形非常微小，甚至可以忽略， 所以平衡方程可按变形前的几何位置建立，从而结构的荷载一位移关系为线性的。由于 失稳将引起结构几何形状发生明显改变，所以在结构稳定分析时，必须考虑变形对结构 内力的影响，平衡方程必须按变形后的位置建立，这时结构的荷载一位移关系为非线性 的，因此实际结构屈曲前和屈曲后分析都必须采用非线性分析的方法。这是稳定分析和 经典结构分析最大的不同点。结构的稳定性能可以从非线性的荷载一位移关系曲线中得 到完整的概念，因为曲线上的每一点都代表相应的平衡状态，曲线上的每一点均满足 平衡方程，变形、协调方程和本构方程，因而该曲线又称为平衡路径。在平衡路径上， 9 考虑初始几何缺陷的岛层框架结构非线性静力稳定分析的o r 法 若荷载随位移的增加而增加，则平衡状态是稳定的；若荷载随位移的增加而降低，则平 衡状态是不稳定的。 2 2 结构失稳的类型和典型结构的失稳 1 平衡分岔失稳 完善的( 即无缺陷、挺直的) 轴心受上f 三构件和完誉的在中面内受压平板的失稳都属 于平衡分岔失稳问题。属于这一类的还有理想的受弯构件以及受压的圆柱壳等的失稳。 以完善的轴心受压构件为例予以说明。当作用于构件端部的荷载p 在未达到某一极 限值时，构件始终保持着挺直的稳定平衡状态，构件的截面只承受均匀的压应力，同时 沿构件的轴线只产生相应的压缩变形。如果在其横向施加一个微小的干扰，构件会呈 现微小弯曲，但是一旦撤去此干扰，构件又会立即恢复到原有的直线平衡状态。如果作 用值达到，构件就会突然发生弯曲，这种现象称为屈曲，或者称为丧失稳定。这时构 件由原来挺直的平衡状态转变的与其相邻的伴有微小弯曲的平衡状态。此时，构件出现 了两个可能的平衡途径，也就是出现了岔道。由于在同一个荷载点出现了平衡分岔现象， 所以其失稳称为平衡分岔失稳，也称为第一类失稳。平衡分岔失稳还分为稳定分岔失稳 和不稳定分岔失稳两种。“捌。 ( 1 ) 稳定分岔失稳 图争l 为承受轴向压力杆件的荷载位移曲线，当压力达到如( 1 l 缶界荷载) 后，分 叉的平衡路径i i 关于竖轴对称，结构屈曲后并未丧失继续承载的能力。从设计的角度看， 这类结构具有屈曲后强度，即具有承担大于屈曲荷载的承载能力。所以这种屈曲破坏是 有预兆的延性破坏。初始缺陷使平衡路径变为虚线形式，并使结构的刚度下降更快，产 生更大的变形从而影响结构的正常使用，结构的实际屈曲方向取决于初始缺陷的方向。 轴压杆和中面受压的薄板的失稳属于这一类姗 考虑初始几何缺陷的高层框架结构非线件静力稳定分析的q r 法 p 图2 1 稳定的对称分叉失稳 f i g 2 1s t e a d ys y 哪e t r yi n s t a b 订it y 图2 2 不稳定的对称分叉失稳 f i g 2 2i n s t e a d ys y 嘲i e t r yi n s t a b il it y ( 2 ) 不稳定的对称分又犬稳 图2 2 为承受均匀压力圆柱壳的荷载一位移曲线，当压力达到艮后，分叉的平衡 路径i i 亦关于竖轴对称，但结构丧失了继续承载的能力。在达到理论上的屈曲荷载凡 前，微小的干扰就可能使这类结构由屈曲前的稳定平衡状态( 点a ) 跳跃到非l 临近的屈曲 平衡状态( 点b ) ，而不经过理想的分叉点，所以这种屈曲又称为有限干扰屈曲。这类结 构一旦发生屈曲，刚度迅速降低而产生较大的变形，没有屈曲后强度，故不具有承担大 于屈曲荷载的承载能力，所以这种屈曲破坏是没有预兆的脆性破坏。初始缺陷使平衡路 径变为虚线形式，它不但降低了结构的刚度，而且使结构实际的极限荷载p u 远小于k ， 结构的实际屈曲方向取决于初始缺陷的方向。承受轴向荷载的圆柱壳、承受均匀外压力 的全球壳、矢跨比较高的拱、拉线塔的整体失稳属于这一类。薄壁型钢方管压杆在一定 条件下也表现出类似特性1 。 2 极值点失稳 偏心受压构件在轴向压力作用下产生弯曲变形，其荷载一挠度曲线如图2 3 所示， 在曲线的上升段o a b ，构件的挠度随着荷载而增加，处在稳定平衡状态，而曲线上的a 点表示构件截面的边缘纤维开始屈服：荷载继续增加时由于塑性向内扩展，弯曲变形加 快，图中曲线的下降段b c 表示维持平衡的条件是要减小构件的端部的压力，因而使得 构件处于不稳定平衡状态；曲线的极值点b 标志了该偏心受压构件在弯矩的作用的平面 内已经达到了极限状态，对应的荷载为构件的极限荷载。由此可知，具有极值点失稳的 偏心受压构件的荷载一挠度曲线只有极值点，没有出现如理想轴心受压构件那样在同一 点存在两种不同变形状态的分岔点，构件弯曲变形的性质没有改变，故此失稳称为极值 点失稳，也称为第二类失稳口钉。 极值点失稳的现象是十分普遍的，如双向受弯构件和双向弯曲压弯构件发生弹塑性 考虑初始几何缺陷的高层框絮结构非线t 牛静力稳定分析的职法 弯扭失稳都是属于极值点失稳。 p p u 图2 3 极值点失稳 f i g 2 3l l m iti n gp o i n t 图2 4 跳跃失稳 f l g 2 4s n a pt h r o u g h 3 跃越失稳 图2 4 为承受节点集中荷载的两杆扁桁架的荷载位移曲线，平衡路径为一条有 极值点的非线性曲线。一经加载，平衡路径便开始弯曲，在达到艮以前，结构刚度随 荷载的增加而降低。当荷载达到p 仃时，结构会突然跳跃到另一具有较大位移的稳定平 衡状态，经过很大的变形后跳跃到另一个稳定平衡状态。但实际工程中不允许出现这样 大的变形，所以应该以临界荷载作为承载的极限。从设计的角度看，这类结构的跨高比 越大，临界荷载越小。初始几何缺陷对结构的临界荷载影响也很大嘲。 2 3 稳定问题的计算方法 结构稳定分析的方法都是根据外荷载作用下结构呈现的变形形式确定的。构件失稳 时产生的变形可能受到与其相连接构件约束的影响，有时甚至还可能与整个结构的变形 有关，因此需要着眼于整个结构来分析稳定性问题。由于所研究的结构变形与荷载之间 呈现非线性关系，因此稳定计算属于几何非线性问题，采用的是二阶分析的方法。稳定 计算所给出的，不论是屈曲荷载还是极限荷载，都标志着所计算构件或结构的稳定承载 力”1 。 稳定问题的计算方法有以下三种啪1 ： ( 1 ) 平衡法。对于有平衡分岔点的弹性稳定问题，在分岔点存在着两个极为邻近的 平衡状态，一个是原结构的平衡状态，一个是已经有了微小变形的结构的平衡状态。平 衡法是根据已产生了微小变形后结构的受力条件建立平衡方程而后求解的。如果得到的 1 2 广西大掌硕士掌位论文 考虑初始几何缺陷的尚层框架结构1 r 线性静力稳定分析的q r 法 符合平衡方程的解有不止一个，那么其中具有最小值的那个才是该结构的分岔屈曲荷 载。平衡法只能求解屈曲荷载，不能判断结构平衡状态的稳定性。尽管如此，由于在工 程设计中常常只需要知道结构的屈曲荷载，所以经常采用平衡法。在许多情况下，采用 平衡法可以获得精确解。 ( 2 ) 能量法。如果结构承受着保守力，可以根据已有变形结构的受力条件求得结构 的总势能，总势能足结构的应变能与外力势能两项之和。如果结构处在平衡状态，那么 总势能必有驻值。根据势能驻值原理，总势能对位移的一阶变分为零，即可得到平衡方 程，再由平衡方程求解出分岔屈曲荷载。按照小变形理论，能量法一般只能获得屈曲荷 载的近似解。但是，如果事先能够了解屈曲后的变形形式，根据该变形形式进行计算可 以得到精确解。能量法用于大挠度理论分析，可以判断屈曲后的平衡是否稳定。 ( 3 ) 动力法。处于平衡状态的结构体系，如果施加微小干扰使其发生振动，这时结 构的变形和振动加速度都与己经作用在结构上的荷载有关。当荷载小于稳定的极限值 时，加速度与变形的方向相反，若将干扰撤去，运动趋于静止，结构的平衡状态是稳定 的：当荷载大于极限值时，加速度与变形的方向相同，即使将干扰撤去，运动仍是发散 的，因此结构的平衡状态是不稳定的，临界状态的荷载即为结构的屈曲荷载，可由结构 振动频率为零的条件解得。 ( 4 ) 缺陷法口4 1 。缺陷法认为：完善而无缺陷的理想中心受压直杆是不存在的。由于 缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形，其值要视缺陷程度而定。在一般条件下 缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著，只是当荷载接近完善系统的临界值时，变形才迅 速增至很大，由此确定其失稳条件。该法的结论只能指出当p = p 。、p 2 p n ，杆件将发生 无限变形，所以是不稳定的。但对于p 在p l 、p 2 p n 各值之间时压杆是否稳定的问题也 不能解释。 2 4 平衡稳定性的判定准则 从前面分析的几种失稳现象可知，并非处在平衡状态的结构都是稳定的，通常采用 两种方法判断平衡是否稳定，即静力准则、能量准则和动力准则。 ( 1 ) 静力准则。满足静力平衡条件的某结构体系，当受到微小的扰动使其偏离原 广西大掌硕士掌位论文 考虑初始几何缺陷的高层枵架结构非线件静力稳定分析的q r 泣 来的平衡位置时，若在该体系上能产生一指向原来平衡位胃的力( 正的恢复力) ，当扰动 撤除后能使该体系迅速回复到原来位置时，则原来的平衡状态是稳定的，即稳定平衡； 若产生了背向原来平衡位置的力( 负的恢复力) ，使得变形越来越大，则原来的平衡状态 是不稳定的，即不稳定平衡；荇受到扰动后不产生任何弓该体系起偏离作用的力，扰动 撤除后，体系不会 ；9 ( 复原来的平衡位形也不会继续增大偏离，而在新的位置平衡，则为 中性平衡。这就是稳定的静力准则。中性平衡状态是从稳定平衡过渡到不稳定平衡状态 的临界状态，使结构处于中性平衡状态的荷载即为临界荷载1 。 ( 2 ) 能量准则。结构体系的平衡稳定性也可用体系的总势能n 来判定。总势能t 1 为结构体系内的应变能u 与外荷载势能v 之和。如果体系受到微小的扰动使其偏离原来 的平衡位置，体系的总势能是增加的，则原来的平衡状态是稳定的；如果总势能是 减少的，则原来的平衡状态是不稳定的；如果总势能保持不变，则为中性平衡。也就 是说，体系最初的总势能n 是极小值时，为稳定平衡，是极大值时，为不稳定平衡。这 就是稳定的能量准则。也可以用能量泛函的变分来表示。 6 = o 62 h o 平衡是稳定的 6 = o 62 n 。；当h 孚 时，p 。o ) = o 。 ( 4 ) 纯( x ) 的递推关系成立，即 姒2 肇嘣舳 ( 5 ) e ( x ) 出= l 吼o + n ) = l ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 在这里只是简单介绍了b 样条函数基本知识，有关b 样条函数的详细内容和数值运算部 分可参考文献 1 7 。 3 2 高层建筑结构静力分析的衄法 q r 法是秦荣教授于1 9 8 4 年提出的用于结构分析的新方法。该方法的基本过程为： 先进行单元划分和样条离散化，然后建立结构位移转换函数，进行单元位移转化，根据 位移转换函数，建立单元总势能泛函，最后利用最小势能原理或变分原理，建立结构的 总刚度方程。本节以一个平面框架的弹性静力问题来说明q r 法的基本原理及其应用。 3 2 1 样条离散化 沿框架x 方向进行单样条离散化，其位移函数沿x 方向采用b 样条函数，其它方向 采用正交多项式，将b 样条函数与正交多项式的乘积加以线性组合，由此构成了整个