（固体力学专业论文）建立多刚体系统动力学方程的坐标变换法及其应用.pdf

摘要 在近4 0 年里，多刚体系统动力学逐渐成为了复杂机械系统设计和仿真的一个 重要工具，特别是在航空和航天动力学及控制、机器人、生物力学、道路车辆等 领域。目前，多刚体系统的建模方法可归纳为绝对坐标法和相对坐标法两类。 在绝对坐标法中，每个刚体的位形坐标相对于系统的参考基定义，系统的绝 对位形坐标列阵由系统中所有刚体的绝对位形坐标构成。由于系统存在约束，所 以系统中各绝对位形坐标不是完全独立的。对系统应用第一类拉格朗日方程，得 到系统位形坐标的微分一代数方程组。绝对坐标法对系统约束方程的处理比较 简单，但系统控制方程的个数较多，同时求解微分一代数方程组的数值方法远 没有纯微分方程组的初值问题成熟，这类方程组固有的病态在数值计算中会产生 许多困难。 在相对坐标法中，系统的广义坐标列阵由系统中各刚体的相对坐标组成，对 系统应用牛顿一欧拉方程和虚功率原理，得到系统广义坐标的二阶微分方程组。 用相对坐标法得到的系统动力学方程的个数是最简数量，但要建立剐体的速度变 分与系统广义速度交分之间的约束关系，这种关系有时是非常复杂的。另外，对 于有指定运动的树系统或带有闭环的非树系统，系统的广义坐标是不完全独立的， 系统的动力学方程要与指定运动或系统切断所附加的约束方程一起组成微分一 代数方程组才能求解。 本文针对上述建模方法存在的不足，深入地研究了多刚体系统动力学的建模 方法，并将所研究的新方法应用于惯性振动设备的建模，取得的主要研究成果如 下： 基于刚体连体基关于参考基的方向余弦矩阵和刚体转动的p o i s s o n 方程， 导出了建立树形多刚体系统动力学方程的坐标变换法，其过程极其程式化，便于 利用计算机进行符号推导。利用该方法得到的系统动力学方程为关于系统独立广 义坐标的纯微分方程形式，便于系统的动力学数值仿真。 给出了应用拉可朗日乘子法和坐标分离法建立具有指定运动的树形多刚 体系统动力学方程的方法。该方法在继承原树形多刚体系统动力学方程的基础上， 将指定运动作为系统的附加约束，使附加了约束后的系统动力学方程仍为纯微分 方程形式，并将矩阵的广义逆理论应用于其数值计算过程中的违约修正。本方法 也适用于研究非树形多刚体系统。 将坐标变换法应用于惯性振动设各的建模，并将惯性振动设备的状态方程 与所用驱动电机的状态方程结合构成机电耦合系统的数学模型，通过对该数学模 重庆大学博士学位论文 型的数值仿真，研究了惯性振动设备的启动过程。 基于对惯性振动设备启动过程的研究，提出了一种对启动过程进行主动控 制的方法，并开发了能显著改善惯性振动设备启动过程的新型惯性激振器，并已 向中华人民共和国知识产权局专利局申请了发明专利( 申请号：0 2 1 4 3 4 8 8 3 ，公开 号：c n l 4 1 5 4 3 2 a ) 。 关键词：多刚体系统，动力学，坐标变换法，违约修正，惯性振动设备，机电耦 合，启动过程 本项目由国家自然科学基金( n o ：5 0 1 3 5 0 3 0 ) 资助。 墨兰塑至 一 _ _ _ - - _ - ，_ _ - _ - _ _ - - _ _ _ _ _ _ 一 一 a b s t r a c t m u l t i - r i g i d - b o d yd y n a m i c s h a sg r o w ni nt h ep a s tf o u rd e c a d e st ob ea ni m p o r t a n t t o o li nt h ed e s i g na n ds i m u l a t i o no fc o m p l e xm e c h a n i c a is y s t e m s t h i si se s p e c i a l l y t r u ei nt h ea l e ao fa e r o s p a c ed y n a m i c sa n dc o n t r o l ，r o b o t i c s ，b i o m e c h a n i c s ，a n dr o a d a n dr a i lv e h i c l e a tp r e s e n t ，t h em o d e l i n gm e t h o d so fm u l t i r i g i d b o d ys y s t e mc a l lb e c o n c l u d e dt ot w ok i n d s ：a b s o l u t ec o o r d i n a t em e t h o da n dr e l a t i v ec o o r d i n a t em e t h o d i nt h ea b s o l u t ec o o r d i n a t em e t h o d ，t h e p o s i t i o na n d o r i e n t a t i o no fe v e r yr i g i db o d y i nt h es y s t e ma r er e p r e s e n t e db yt h ea b s o l u t ec o o r d i n a t e sw i t hr e s p e c t t ot h er e f e r e n c e b a s eo ft h es y s t e m ，t h ea r r a yo fa b s o l u t ec o o r d i n a t e so ft h es y s t e mc o n s i s t so ft h e a b s o l u t ec o o r d i n a t e so fa l lr i n db o d i e s o w i n gt ot h ee x i s t e n c eo fc o n s t r a i n t si nt h e s y s t e m ，s o i t sa b s o l u t ec o o r d i n a t e sa r e n ti n d e p e n d e n tc o m p l e t e l y a p p l yl a g r a n g e e q u a t i o no f t h ef i r s tk i n dt ot h es y s t e m ，a n dg e tas e to ft h ed i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s ( d a e s ) o f i t sa b s o l u t ec o o r d i n a t e s b yt h ea b s o l u t ec o o r d i n a t em e t h o d ，t h e h a n d l et ot h ec o n s t r a i ne q u a t i o n so ft h es y s t e mi sf a i r l ys i m p l e r ，b u tan u m b e ro f g o v e r n i n ge q u a t i o no f t h es y s t e mi sm o s t i na d d i t i o n ，t h en u m e r i c a lm e t h o d ss o l v e d d a ea l e n tp e r f e c tl i k et h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo f p 1 1 r ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n d i t s i n t r i n s i ci l l - c o n d i t i o nc a nl e a dt om a n yd i f f i c u l t i e si nt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ， i nt h er e l a t i v ec o o r d i n a t em e t h o d ，t h ea r m yo ft h eg e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e so ft h e s y s t e mi sf o r m e db y t h er e l a t i v ec o o r d i n a t e so fa l lr i g i db o d i e s t h e p r i n c i p l eo f v i r t u a l p o w e ra n dn e w t o n e u l e re q u a t i o n sa r ea p p l i e dt ot h es y s t e m ，a n d a r r i v ea tas e to f s e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f t h eg e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e s b yt h i sm e t h o d ，t h e n u m b e ro f t h ed y n a m i ce q u a t i o n si sl e a s t ，b u ti ti sn e c e s s a r yt h a tt h ec o n s t r a i n tr e l a t i o n s a r ee s t a b l i s h e db e t w e e nt h ev e l o c i t yv a r i a t i o no fe v e r y r i g i db o d ya n dt h eg e n e r a l i z e d v e l o c i t yv a r i a t i o n ，t h er e l a t i o n s a r eo f t e nc o m p l i c a t e d m o r e o v e r ，f o rt h et r e e l i k e s y s t e mw i t hp r e s c r i b e dm o t i o na n dt h en o n - t r e e l i k es y s t e mw i mc l o s e d l o o p t h e g e n e r a l i z e dc o o r d i n a t e sa 吼ti n d e p e n d e n tc o m p l e t e l y o n l yt h ed y n a m i c a le q u a t i o n s o ft h es y s t e ma n dt h ec o n s t r a i ne q u a t i o n sr e s u l t i n gf r o mt h ep r e s c r i b e dm o t i o na n dt h e c l o s e d 一1 0 0 p a l ec o m b i n e dt of o r m d a e s ，i t c a nb es o l v e d i nt h i s p a p e r ，t h em o d e l i n gt h e o r yo fm u l t i r i g i d b o d yd y n a m i c sw a s t h o r o u g h l yi n v e s t i g a t e di no r d e rt om a k eu pt h es h o r t c o m i n gi nt h ea b o v em o d e l i n g m e t h o d t h e m a j o r r e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： b a s e do nt h em a r xo fd i r e c t i o nc o s i n eb e t w e e nt h eb o d y f i x e db a s ea n dt h e m 重庆大学博士学位论文 _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - r e f e r e n c eb a s e ，a n dp o i s s o ne q u a t i o no far i g i db o d yr o t a t i n g ，t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o nm e t h o df o rt h em o d e l i n go f t r e e l i k em u l t i r i 百d b o d yd y n a m i c si s d e r i v e d t h em e t h o di sv e r yr o u t i n i z a t i o na n de a s yt or s et h ec o m p u t e rt oc a r r yo n t h e s y m b o ld m v 撕o n t h ed y n a m i ce q u a t i o n so f t h es y s t e mo b t a i n e db yt h em e t h o da r e p u r e d i f f e r e n t i a le g u a t i o n s ，a n dc o n v e n i e n tf o rt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n a m e t h o di sp r e s e n t e dt os t u d yt h ed y n a m i cp r o b l e m so f t r e e l i k em u l t i r i g i d b o d ys y s t e m 谢t l ld e s c r i b e dm o t i o n t h i sm e t h o db a s e s o nt h ed y n a m i ce q u a t i o n s d e r i v e db yt h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，a n dh a n d l e st h ea d d i t i o n a lc o n s t r a i n t s u s i n gl a g r a n g em u l t i p l i e r m e t h o da n dc o o r d i n a t e p a r t i t i o n i n g m e t h o d ht h e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o no ft h ed y n a m i ce q u a t i o n s ，t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s eo f m a t r i c e si sa p p l i e di nt h em o d i f i e dc o n s t r a i n tv i o l a t i o n t h i sm e t h o da l s oi sa p p l i c a b l e t os t u d yn o n t r e e l i k e m u l t i r i g i d b o d ys y s t e m t h es t a t ee q u a t i o n so fai n e r t i a l v i b r a t i n g m a c h i n ea r ed e r i v e d b yt h e c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，a n di t se l e c t r o m e c h a n i c a l c o u p l i n g m o d e li s e s t a b l i s h e db yc o m b i n i n gi t ss t a t ee q u a d o n sw i 血t h eo n eo fi t sm o t o r t h es t a r t i n g b e h a v i o ro f t h em a c h i n ei ss t u d i e db yw a yo f n u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h i sm o d e l b a s e d o nt h er e s e a r c ht ot h e s t a r t i n gb e h a v i o ro f t h e i n e r t i a lv i b r a t i n gm a c h i n e an e w t y p eo f i n e r t i a le x c i t e ri s d e v e l o p e d ，a n dh a sa p p l i e df o rai n v e n t i o np a t e n tt o s t a t ei n t e l l e c t u a lp r o p e r t yo f f i c eo f r r c h i n a ( a p p l i c a t i o nn u m b e r ：0 2 1 4 3 4 8 8 3 ) k e y w o r d s ：m u l t i - r i 西d - b o d ys y s t e r n , d y n a m i c s ，c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ， m o d i f i e dc o n s t r a i n tv i o l a t i o n ，i n e r t i a lv i b m t i n g m a c h i n e ， e l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i n g , s t a r t i n gb e h a v i o r t h e p r o j e c t 、脚s u p p o r t e d b y t h e n a t u r a l s c i e n c e f o u n d a t i o n o f c h i n a ( n q ：5 0 1 3 5 0 3 0 ) i v 1绪论 本章提要：多体系统动力学是2 0 世纪6 0 年代以来迅速发展的新动力学分支，各 国学者在其建模理论、计算方法上已做了大量卓有成效的研究工作，其应用也有 最初的航空航天、机器人逐步扩展到道路车辆、一般机械、生物力学等领域。本 章将对多刚体系统作简要介绍，回顾多体系统动力学的研究进展，讨论目前多体 系统动力学的建模方法，由此提出本文将要进行的主要研究工作。 1 1 多刚体系统简介 工程中的对象是由若干零部件构成的系统。如航空航天器、车辆、机器人、 振动机械等，甚至人体也可以视为由神经控制的骨骼肌肉系统。在对这些复杂系 统进行分析时，如果各部件的变形对所研究的问题影响较小，往往将组成系统的 各零部件简化为冈体，各刚体间通过被称为“铰”的各种运动副连接，在这些铰 上允许有弹簧、阻尼器等非刚性元件。由多个刚体组成的系统称为多刚体系统。 图1 1 工业机器人 f 培l 1 e x a m p l eo f a ni n d u 嘶a ir o b o t 叩e r 砒i r i g 图1 1 所示为一种工业机器人，它正在执行将个圆柱体装入一个圆柱孔的操 作。它由包括机座在内的五个部件和两个旋转副、一个滑动副、一个万向节组成， 当把这些部件都视为刚体时，机器人就是一个多刚体系统“删。 重庆大学博士学位论文 图1 2 自行火炮 f i g1 2 s t a b i l i z e dg u no na t r a c k e dv e h i c l e 图i 3 卫星太阳能电池板的折叠和展开 f i g1 3s o l a r p a n e l s f o l d e da n d d e p l o y e d 图1 - 2 为一自行火炮，它由牵引车辆和安装在车辆上的炮塔组成。牵引车辆可 以简化为一个复杂的多刚体系统“。1 ，炮塔也可以视为相对于车辆有两个转动自 由度的刚体“。为了快速反应的需要，要求火炮在行驶中能够实现瞄准，也就是 将炮管调整到某一绝对姿态或保持某一绝对姿态。 上述两种多刚体系统的特点是：系统的驱动单元在控制单元的控制下，使末 端刚体按指定的轨迹和姿态运动。 图1 3 为卫星太阳能电池板的结构。由于发射的需要，卫星在进入轨道时太阳 能电池板是折叠在卫星主体周围的，入轨后再展开。太阳能电池板也可以简化为 一个多刚体系统嘲“3 ，研究其展开过程的平稳性，这个过程一般持续不到一分 钟的时间。对这类多刚体系统，一般是研究和分析它的瞬态特性。 人体是一个非常复杂的生物系统，在研究人的步态。1 、翻腾”1 等行为以及碰撞 实验时，可以把它视为一个由大量线性和非线性元件组成的机械系统。图1 4 为用 于碰撞实验的多刚体人体模型，它将人的躯干、肢体等简化为刚体，用各种铰模 拟人的关节“m “”1 。主要研究在碰撞过程中人体各部分的响应，特别是加速度。 由于碰撞过程很短，所以研究的也是瞬态过程。 有的工程对象要在驱动元件的驱动下执行一定的操作，如前述的机器人：有 的要研究其在外扰作用下的动态响应，如前述的碰撞人体模型。将一个工程对象 抽象为一个多刚体系统后，除要对系统进行运动学分析外，还要对系统进行动力 学分析，以求得系统的控制方程。这就是多刚体系统动力学问题。 2 1 绪论 图1 , 4 用于碰撞实验的人体模型 f i g1 - 4d u m m y m o d e lu s e df o rc r a s hs i m u l a t i o n 重庆大学博士学位论文 1 2 多刚体系统动力学的发展 早期的多刚体系统动力学研究方法，都是牛顿一欧拉方程( n e w t o n - - e u l e r e q u a g o n ) 的直接发展；如t 9 6 3 年的弗勒彻( f l e t c h e r ) “、1 9 6 5 年的胡克尔( h o o k e r ) 和马格里斯( m a r g u l i e s ) “”“”等所提出的方法。在2 0 世纪7 0 - - 8 0 年代出现的罗 伯森( r o b e r s o n ) 和史维塔塞( s c h w e r t a s s e k ) 方法“”，席勒恩( s c h i e h l e n ) 方 法“”等则是牛顿一欧拉方程的另外几种表达形式。 采用拉格朗日( l a g r a n g e ) 方程可以避免出现铰的理想约束反力，使未知变量 的数目降低到最低程度。但随着刚体数的增多，系统动能和势能函数的项数也急 剧扩张，推导过程繁琐且容易出错。当模型稍有变化时，就必须重新推导。 1 9 6 6 年罗伯森和维滕伯格( w i t t e n b u r g ) “”创造性地将图论引入多刚体系统 动力学。他们利用图论的一些基本概念和数学工具，成功地描绘了系统内各个刚 体间的联系状况。这种联系被称为系统的结构。借助图论工具可将系统的结构引 入系统运动学和动力学的计算公式。罗伯森一维滕伯格和胡克尔一马格里斯发展 了增广体概念，这一概念是1 8 9 7 年由多刚体系统动力学的先驱费舍尔( f i s c h e r ) 所创造的。利用增广体概念可对胡克尔一马格里斯或罗伯森一维滕伯格的基本方 程作出明确的物理解释。罗伯森一维滕伯格方法以十分优美的风格处理了树形结 构的多刚体系统，对于非树形系统，则必须利用铰切割或刚体切割的方法转换成 树形系统后进行处理。维滕伯格最早对多刚体系统动力学作出完整的阐述，他的 著作。”已成为多刚体系统动力学的入门读物。 凯恩( k a n e ) 方法。小翻汹3 是在1 9 6 5 年前后形成的分析复杂系统的一种新方法。 最先用于分析复杂航天器，后发展为使用范围更广泛的普遍性方法。凯恩方法源 于吉布斯( g i b b s ) 和阿沛尔( a p p e l l ) 的伪坐标概念，其特点是利用广义速率代 替广义坐标描述系统的运动，并将矢量形式的主动力与惯性力一起向特定的基矢 量投影，以消除理想约束力，因而兼有矢量力学和分析力学的特点。莱金斯( l i k i n s ) 。”将凯恩方法应用于考虑弹性效应的多体航天器研究。休斯顿( h u s t o n ) 和帕塞 列罗( p a s s e r e l l o ) 嘶瑚1 将凯恩方法应用于人体的多刚体模型分析，休斯顿和帕塞 列罗在计算多体系统动力学方面也作了大量的研究工作”“。 近2 0 年来，国内在多体系统动力学方面的研究和应用也取得了很大的进展。 大量学者在建模理论。”“3 、计算方法“。“等方面发表了许多高质量的文章，并 出版了多种多体系统动力学的著作和教材“。 4 1 绪论 1 3 多刚体动力学建模的现状 目前，可将各种建模方法可归纳为两类4 邮：相对坐标法和绝对坐标法。 相对坐标法是用系统各铰的相对坐标组成系统的广义坐标列阵g 来描述各刚 体的位置和姿态，应用牛顿一欧拉方程和虚功率原理，得到g 的二阶微分方程组 一m 一 = 一q ( 1 3 1 ) 这种方法的特点是系统动力学方程的个数是最简数量，但在建模过程中要建 立刚体的速度变分与系统广义速度变分之间的约束关系，这种关系有时是非常复 杂的。另外，对于带有闭环的非树系统或要执行指定运动的树系统，系统的广义 坐标g 是不独立的，方程( 1 3 1 ) 要与系统切断或指定运动附加的约束方程联立才能 封闭，通常是微分一代数方程组。 在绝对坐标法中，每个刚体的位置和姿态均相对于系统的参考基进行定义。 刚体质心的位置用关于系统参考基的三个笛卡尔坐标( c a r t e s i a nc o o r d i n a t e ) 表示， 刚体的姿态用刚体的连体基关于系统参考基的欧拉角( e u l e ra n g l e ) 或卡尔丹角 ( c a r d a n oa n g l e ) 或欧拉四元数( e u l e rq u a t e m i o n ) 表示，这样每个刚体就有6 个或7 个位形坐标。对于有r 1 个刚体的系统，这6 x n 或7 n 个位形坐标构成系 统的绝对坐标列阵x ，由于系统会存在约束虫f ，i ，f ) = o ，所以这些位形坐标不是 独立的。应用第一类拉格朗日方程，得到x 的微分一代数方程组 = 矧 虫( 兰，主，f ) = qj ( 1 。3 2 ) 式中：垒为系统速度水平约束方程组的雅可比，a 为拉格朗日乘子。绝对坐标法 与相对坐标法的特点基本相反，也就是方程的个数达到了最大，但约束方程的处 理比较简单。求解微分一代数方程组的数值方法远没有纯微分方程组的初值问 题成熟，这类方程组固有的病态在数值计算中会产生诸如“违约”、“刚性”等 许多困难。 目前在机械系统动力学分析中，使用最广泛的两大软件a d a m s ( a u t o m a t i c d y n a m i ca n a l y s i so f m e c h a n i c a ls y s t e m ) 和d a d s ( d y n a m i c a n a l y s i sa n dd e s i g n s y s t e m ) 就是采用了绝对坐标法”1 。对刚体绝对姿态的描述，前者使用了欧拉角， 后者采用了欧拉四元数。 重庆大学博士学位论文 随着计算机软硬件技术的飞速发展，将经典力学原理与现代计算技术相结合， 以形成面向计算机的、程式化的尚效率建模方法，是许多学者努力的方向。殷学 纲在二十世纪八十年代提出的“矩阵法”3 ，是平面多刚体系统建模的一个成功 尝试。矩阵法属于绝对坐标法，它采用剐体质心关于系统总体参考基的笛卡尔坐 标来描述刚体的位置，用刚体连体基关于系统参考基的一个转角来描述刚体的姿 态，且这个转角就是刚体转动的“实坐标”，也就是它的一阶导数是刚体转动的角 速度，二阶导数是刚体转动的角加速度。这样每个刚体就有4 个位形坐标，对于 有t 1 个刚体的系统，这4 1 1 个位形坐标构成系统的绝对坐标列阵占，并选取各铰 的相对坐标作为系统的广义坐标里。对系统应用牛顿一欧拉方程和虚功原理，同时 考虑系统广义坐标里对绝对坐标占的约束关系，得到纯微分方程形式的系统动力学 方程组。 矩阵法的由来是因为在系统动力学方程的导出过程全部为矩阵运算，得到的 结果全部用矩阵的形式表示，所以它便于计算机数值计算，特别是计算机符号运 算。 对于更一般的非平面多刚体系统，刚体转动的描述远没有平面系统那么简单。 因为刚体转动的角速度虽然在形式上可以写成m = 井，但这个表达式是不可积的， 也就是z 只有坐标的形式而无物理意义，称为伪坐标。所以要使用欧拉角或卡尔丹 角或欧拉四元数作为刚体的绝对姿态坐标，它与系统广义坐标之间的约束关系比 较复杂，且不便用较程式化的公式表达，这也是绝对坐标法不容易得到纯微分方 程组的一个原因。 1 4 刚柔混合和柔性多体系统 在多剐体系统中，随着部件尺寸的增大，刚度的降低以及运动速度的提高， 一些部件的变形对系统的影响不可忽略，也就是不能再把它们视为刚体。这样的 系统称为刚柔混合多体系统。如果系统中每个部件都不能视为剐体，这样的系统 一般称为柔性多体系统。 图1 3 所示的卫星太阳能电池板，由于其展开尺度比较大，考虑其电池板变形 时，就是一个柔性多体系统。图1 5 所示的三体机械臂，在考虑臂3 的变形对系统 的影响，而将臂1 和臂2 视为刚体时，就是一个刚柔混合多体系统。刚柔混合或 柔性多体系统是多刚体系统的自然延伸和发展。柔性件在自身变形运动的同时， 在空间经历着大位移的刚性运动，且刚性运动与变形运动互相影响，强烈耦合。 6 圈1 5 三体机械臂 f i g1 5 t h l c c - l i n kr o b o tm a n i p u l a t o r 因此，刚柔混合或柔性多体系统动力学是经典动力学、连续介质力学、计算力学 等多学科交叉的边缘学科。 目前，对柔性构件的建模一般采用所谓的“混合坐标法“”。对柔性构件 建立一浮动坐标系，将构件的位形认为是浮动坐标系的大范围刚性运动与相对于 浮动坐标系的变形运动的叠加。构件的弹性变形按某种边界条件的结构动力学有 限元进行离散，以浮动坐标系刚性运动的坐标和柔性体的节点坐标组成该构件的 坐标阵，然后仿照多刚体动力学的建模方法建立离散系统的数学模型。这样在建 立系统的控制方程上，就与多刚体系统取得了一致，也就是本文研究的方法也适 用于离散后的刚柔混合或柔性多体系统。 1 5 本文的研究内容 根据多剐体系统建模方法、计算方法和应用的现状，本文将在以下方面进行 研究： ( 1 ) 对于树形多刚体系统，目标是获得纯微分方程形式的系统动力学方程，且 过程简明、程式化。实现这一目标的关键是寻求一种方法，使系统中各刚体的绝 对角速度、角加速度与系统独立广义坐标的关系比较容易建立，且较程式化，同 时可以建立系统中各刚体的绝对角速度变分与系统独立广义速度变分的关系。本 文将基于系统中各刚体质心连体基关于系统参考基的方向余弦矩阵和刚体转动的 7 重庆大学博士学位论文 p o i s s o n 方程，研究建立树形多刚体系统动力学方程的坐标变换法。 ( 2 ) 有些树形多刚体系统要执行一些指定的动作，如操作机器人等。它可以指 定系统中一点的运动轨迹和速度，也可以指定系统中刚体的姿态和转动角速度， 这些指定实际上是对系统的一些完整或非完整约束。由于根据工程需要，指定的 动作可能各种各样，随时变化，也就是约束是多样的、变化的，但系统的总体结 构是固定的。本文将研究在继承系统总体动力学方程的前提下，处理这些指定运 动的方法，并提出相应的计算方法和违约修正方法。 ( 3 ) 对有些多刚体系统，如卫星的太阳能电池板系统，其瞬态过程的研究是很 重要的。要研究系统的瞬态特性，就必须考虑系统驱动元件的瞬态特性对多刚体 系统瞬态过程的影响，建立机一电、机一液等耦合的数学模型，才能使研究 更加接近于工程实际。本文将一台惯性振动设备抽象为一个树形多刚体系统，应 用所研究的建模方法获得系统的状态方程，并与驱动单元一三相异步电动机的 状态方程相结合，建立系统机电耦合的数学模型。 ( 4 ) 通过对惯性振动设备机电耦合数学模型的启动过程分析，研究启动过程的 主动控制和能够显著改善惯性振动设备启动过程的新型惯性激振器。 1 6 本章小结 本章简要介绍了多刚体系统的概念，并列举了一些工程背景。通过对多体系 统动力学发展的回顾和现状分析，总结了其两类建模理论的特点。据此，提出了 本文将要开展的研究工。 2p o i s s o n 方程和多刚体系统的描述 2p o i s s o n 方程和多刚体系统的描述 本章提要：首先以刚体连体基关于参考基的方向余弦矩阵和刚体转动的p o i s s o n 方 程为基础，建立刚体转动角速度和角加速度的坐标列阵与方向余弦矩阵9 个元素 的关系；之后，对多刚体系统进行相关基本研究，通过对各种常见铰的相对运动 分析，建立多刚体系统中各刚体的质心绝对坐标以及其连体基关于系统参考基的 方向余弦矩阵与系统广义坐标的关系。 不受约束的自由刚体相对于确定的参考基有6 个自由度，即刚体内任意点0 ， 的三个移动自由度和绕0 f 点的三个转动自由度。因此，分析自由刚体的空间运动 时，可以0 f 为基点建立固结于刚体的右手矢量基，称为刚体的连体基。刚体相对 于参考基的位置，可由点0 f 相对于参考基三个笛卡尔坐标确定；刚体相对于参考 基的姿态，可由连体基关于参考基的方向余弦矩阵确定。 系统中各刚体之间的相对姿态由各刚体连体基之间的方向余弦矩阵确定。同 一刚体绕0 点多次转动时，将每次转动后的连体基视为一系列中间基，刚体每次 转动前后的位置关系由中间基之间的方向余弦矩阵确定。 2 1 方向余弦矩阵及其性质 设有两右手矢量基分别为e 1 = p ：e j 一 7 乌呈k f ；p ；p 习7 ，量2 相对里 的方向余弦矩阵4 ”为。 方向余弦矩阵有下列性质： ( 2 1 1 ) 性质一若两个基的基矢量方向一致或重合，它们之间的方向余弦矩阵为三 阶单位阵。 ：本文中矢量和张量用斜粗体字母表示；带下划线的斜租体字母表示矢量矩阵：矢量基的右上标表示基的编号。 。本文中带下划线的斜细体字母表示标量矩阵：方向余弦矩阵的右上标代表两个相关基的编号。 9 1，j 髯篮稚钟稚钴锄鸽鸳 ，。l i f 1j 毋霹科畦露露 耐畦一 矸砰砰 阳h = h l f p 一 = 爿一 重庆大学博士学位论文 性质二任意矢量n 在不同基曼1 、兰2 上的坐标列阵1 a 、2 _ a 之间满足关系式 d = 4 22 以 ( 2 1 2 ) 性质三基星2 相对基e 1 的方向余弦矩阵4 ”与基呈1 相对基星2 的方向余弦矩阵 42 1 互为转置，即 ( 4 2 ) = 4 2 1 ( 2 1 3 ) 性质四在多个基组成的基族中，任意两基之间的方向余弦矩阵等于一系列 按序排列的基之间方向余弦矩阵的连乘积 4 ”= 靠啡m ( 2 1 4 ) 性质五方向余弦矩阵4 ”的三行依次为基星1 的基矢量p t 、p ；和p ：关于基! z 的坐标阵：方向余弦矩阵的三列依次为基_ e 2 的基矢量p ；、e ；和p ；关于基e ，的坐 标阵。即 e i = 9 2e 2 ；e 2 = ( 7 1 1 ( 2 1 5 ) 性质六方向余弦矩阵为正交矩阵，其行列式等于i 。即 ”一a x l = 4 ”( 纠7 = 星，；( 纠= 乜1 2 ) 7 = 矾d o t ( 4 1 2 ) ：1 ( 2 - 1 6 ) 上式中：璺为三阶单位矩阵。根据方向余弦矩阵的正交性，有 苫雒= ( a ，卢= 1 ，2 ，3 )( 2 1 7 ) 上式为6 个独立的关系式，所以方向余弦矩阵的9 个元素中只有3 个是独立的。 性质七方向余弦矩阵至少有一个等于l 的特征值，所对应的特征矢量关于 两个基的坐标列阵完全相同。 2 2 p o i s s o n 方程 。矢量坐标阵的左上标代表该坐标相对基的编号。 2p o i s s o n 方程和多刚体系统的描述 参见图2 1 。刚体作定点转动时，在t 与f + 4 ，之间无限小时间间隔内完成的无 限小转动4 目所对应的欧拉轴，称为刚体 在t 时刻的转动瞬轴。刚体的瞬时角速度 矢量的方向沿转动瞬轴，关于刚体连体 基e 1 的坐标列阵可写为 c o = 卜1 ：1 0 j 3 7 ( 2 - 2 1 ) 角速度分量峨，1 吐，1 0 , 1 3 在形式上可写为 ，= 疵，1 ：= 开：，1 珊，= 赢( 2 2 2 ) 除刚体作定轴转动或平面运动的特殊情 况以外，一般情况下上式不可积。因此虽 然巩、嘞和死的导数有物理意义，但本 图2 1 刚体的有限转动 f i g2 1f i n i t er o t a t i o no f ar i g i d - b o d y 身并不一定能作为某种坐标存在，称为准坐标或伪坐标。 由于刚体的转动瞬轴位置随时间改变，瞬时角速度不仅改变大小而且改变 方向，因此与刚体的定轴转动不同，刚体定点转动的瞬时角加速度矢量西不一定 沿转动瞬轴方向。 角速度矢量在基呈1 和望。中对时间的一阶导数相同，即 。西= 1 西+ m = 西w ( 2 2 3 ) 参见图2 1 。刚体的连体矢量口关于连体基曼1 有常数坐标劾阵1 垒，当刚体运动 时，描述其姿态的方向余弦矩阵9 1 的各元素均为时间的函数，于是连体矢量口关 于参考基呈6 的随时间变化的坐标列阵0 里为 。一a = 一a “g ( 2 2 4 ) 上式两端对时间求一阶导数，有 。垂= 量“1 垡 ( 2 2 5 ) 连体矢量口关于基星。对时间求一阶导数，有 。五= 圆口 。本文中求导符号的左上标对应某个矢量基的编号，表示关于该基对时间求导。 l l 重庆大学博士学位论文 上式关于基。的坐标方程为 o a = o 亩。口 式中。垂为角速度矢量关于基星。的反对称坐标方阵 l 0 一o o 耍= | 。驰0 | 一o 2o 码 ( 2 2 7 ) 根据反对称坐标方阵的变换特性。查= 。垂”，并将式( 2 1 1 1 ) 代入式( 2 1 1 4 ) ，有 。童= ( 4 “1 查”) ( 4 “1 a ) = 4 “1 亟1 垒( 2 2 9 ) 将上式与式( 2 2 5 ) 比较，得 尘“1 一a = “亟1 一a ( 2 2 1 0 ) 由于上式对任何坐标列阵1 旦都成立，因此1 a 前面的因子必须相等，有 童“= 4 “1 盈 ( 2 2 1 1 ) 根据反对称坐标方阵的变换特性1 鱼= r 。鱼，由上式得到 量“= 。查4 “( 2 2 1 2 ) 式( 2 2 1 1 ) 或( 2 2 1 2 ) 为刚体绕定点转动的方向余弦运动微分方程，即所谓的p o i s s o n 方程脚1 。它描述了刚体的角速度与方向余弦矩阵及其导数的关系。 由式( 2 2 1 1 ) 或( 2 2 1 2 ) 可分别得到以方向余弦矩阵的9 个元素、1 垂或。叠为参 数、含有9 个方程的刚体绕定点转动运动微分方程组，这9 个坐标必须满足式( 2 1 7 ) 所示的6 个约束方程，所以9 个方向余弦矩阵的元素只有3 个是独立的，对应刚 体绕定点转动的3 个自由度。至于那3 个是独立坐标，则可以任意选取。 借助p o i s s o n 方程，刚体转动角速度和角加速度的坐标列阵可以用方向余弦矩 阵的9 个元素表示。将式( 2 2 1 1 ) 两边左乘4 ”，得到 西= 一”j “ 将上式展开，比较两边矩阵对应的元素，得到角速度矢量国的坐标阵照- 与：h - 向余弦矩阵的元素及其一阶导数的关系为 1 2 2 q 1j 吐0 0 r 2 p o i s s o n 方程和多刚体系统的描述 其中 阵为 q = 删剃+ 趔趔+ 露铡 ：= a 0 1 掣+ 硝趔+ 掣掣 0 9 ，= 础钟+ 趔捌+ 铡掣 r 2 2 1 4 ) 同时，还可以看出和相同的行或列正交。将上式写成矩阵的形式，有 堂= 垡里 础趔础0 0000 0 00 0 碟磷磷0 00 00000 0 创倒铡 望= 凶趔钍掣趔掣钟硝础 7 生= 幻趔耙毋幻勰御棚御 而刚体转动角速度关于参考基的坐标列阵。盟可以表示为 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 。一c o = 一a “垡生 ( 2 2 1 9 ) 将式( 2 2 1 5 ) 对时间求一阶导数，得到刚体转动角加