（应用数学专业论文）时标上的随机分析及应用.pdf

摘要 摘要 随机过程是动态地研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。其 中的随机分析研究的是二阶距过程的极限、连续性、导数及积分。现有 对随机过程的研究只涉及两种特殊状态，即离散状态与连续状态，随机 分析部分亦是如此。所谓时标就是非空闭集。离散现象和连续现象是时 标的两种特例。 本硕士论文共分为四章。主要内容是研究时标上的随机分析及其应 用，将时标理论应用到随机分析的二阶矩过程中去，建立一般状态下随 机分析的基本概念。并将其应用到时标上的均值定理，得出了关于时标 上二阶距过程的均值定理的一些结果。这对下一步研究时标上随机微分 方程的稳定性打下了基础。 第一章绪论，简单介绍了动力系统稳定性的重要性，随机微分方程 及其稳定性理论的发展，以及随机过程尤其是其中的随机分析，同时也 对时标理论的建立与发展作了简要的介绍。最后，对本文所要做的工作 作了简要介绍。 第二章中，简单回顾与介绍了得出本文主要结果所需的预备知识， 包括随机过程中的二阶距过程基本知识，以及时标理论的基础知识。 第三章是本文的核心内容之一，主要讨论了将时标理论应用到随机 分析的二阶矩过程中所得到的一些结果。主要包括：时标上的均方极限、 时标上的均方连续性、时标上的均方导数、时标上的均方积分。 第四章也是本文的核心内容。在第三章得到的结果的基础上，进一 步应用了这些结果，得出了时标上的均值定理 最后，在结论部分总结了本文所做的工作，并对未来工作的研究方 向作了展望 关键词：时标，二阶距过程，均方极限，均方连续，均方导数， 均方积分，均值定理 广东工业大学理学硕士论文 a b s tr a c t s t o c h a s t i cp r o c e s si sam a t h e m a t i c a ls u b j e c tw h i c hs t u d y s s t a r i c sr e g u l a r i t yo fs t o c h a s t i cp h e n o m e n o nd y n a m i c a l l y 。i nw h i c h t h es t u d yo b j e c t so fs t o c h a s t i ca n a l y s i si n c l u d e da r em e a n s q u a r e l i m i t 、m e a n s q u a r ec o n t i n u i t y 、m e a n s q u a r ed e r i v a t i v e a n d m e a n s q u a r ei n t e g r a lo ft h es e c o n dm o m e n tp r o c e s s n o wt h es t u d y o ns t o c h a s t i cp r o c e s so n l yr e f e r st o t w os p e c i a ls t a t u s ，n a m e l y d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u ss t a t e s ，a n dt h es t o c h a s t i ca n a l y s i si st h e s a m e t h es o c a l l e dt i m es c a l e sa r en o n e m p t yc l o s e ds e t s d i s c r e t e s t a t ea n dc o n t i n u o u ss t a t ea r et w os p e c i a le x a m p l e so nt i m es c a l e s t h ist h e s iso fm a s t e risc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，t h em a i n c o n t e n t so fw h i c ha r es t u d y i n gs t o c h a s t i ca n a l y s i sa n ds o m e a p p l y i n g so nt i m es c a l e s a p p l y i n gt h et i m es c a l e st h e o r yi n t ot h e s e c o n dm o m e n tp r o c e s s ，s o m er e l a t i v eb a s i cc o n c e p t sa r ef o u n d e d i ng e n e r a ls t a t e s i tisa ls oa p p li e di n t om e a nv a l u et h e o r e mo n t i m es c a l e s ，s o m eu s e f u lr e s u l t sa b o u tm e a nv a l u et h e o r e mo fs e c o n d m o m e n tp r o c e s so nt i m es c a l e sa r ef o r m e d i ti sap r e p a r a t i o nf o r t h es t u d yo nt h es t o c h a s t i cp r o c e s su n d e rt h eg e n e r a lc o n d i t i o n a n d t h es t a b i l i t yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o no nt i m e s c a l e s i nc h a p t e ro n e ，n a m e l yi n t r o d u c t i o no ft h isa r t i c l e ，ic h i e f l y i n t r o d u c et h ei m p o r t a n c eo fs t a b ili t yo fd y n a m i cs y s t e m 。t h e d e v e l o p m e n to fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n di t ss t a b i l i t y t h e o r y ，a n ds t o c h a s t i cp r o s s ，e s p e c i a l l ys t o c h a s t i ca n a l y s i si ni t i nt h es a m et i m e ，ia l s os i m p l yi n t r o d u c et h ef o u n d a t i o na n d d e v e l o p m e n t o ft h et i m e s e a l e s t h e o r y i n t h ee n d ，w e s i m p l y i n t r o d u c et h ec h i e fj o bi nt h i sa r t i c l e a b s t r a c t i nc h a p t e rt w o ，is i m p l yr e v i e wa n di n t r o d u c es o m ep r e p a r a t i o n k n o w l e d g ew h i c hi sn e e d e df o rt h ec h i e fr e s u l t so ft h i sa r t i c l e t h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g ei n c l u d et h eb a s i ck n o w l e d g eo f t h e s e c o n dm o m e n tp r o c e s si ns t o c h a s t i cp r o c e s sa n dt h et i m es c a l e s t h e o r y c h a p t e rt h r e ei s o n eo ft h ec o r e so ft h i sa r t i c l e ，i nw h i c h id i s c u s ss o m er e s u l t so fa p p l y i n gt h et i m es c a l e st h e o r yi n t ot h e s e c o n dm o m e n tp r o c e s si ns t o c h a s t i ca n a l y s i s ，c h i e l l yi n c l u d e ： m e a n s q u a r e1 i m i to nt i m es c a l e s 。m e a n s q u a r ec o n t i n u i t yo nt i m e s c a l e s ，m e a n s q u a r ed e r i v a t i v eo nt i m es e a l e s ，m e a n s q u a r e i n t e g r a lo nti m es c a le s c h a p t e rf o u ri sa l s ot h ec o r eo ft h i sa r t i c l e ，o nt h eb a s iso f t h er e s u l t s g o t i nc h a p t e rt h r e e ，i f u r t h e r l ya p p l y t h e s e r e s u l t s ，a n dg e tm e a nv a l u et h e o r e mo nt i m es c a l e s i nt h ee n d ，im a k eac o n c l u s i o no ft h isp a p e ra n dg i v eap l a n o ft h ef u t u r ew o r k k e yw o r d s ：t i m es e a l e s ，t h es e c o n dm o m e n tp r o c e s s ，m e a n s q u a r e 1 i m i t ，m e a n s q u a r ec o n t i n u i t y ，m e a n s q u a r ed e r i v a t i v e ，m e a n s q u a r e i n t e g r a l ，m e a nv a l u et h e o r e m i l l 广东_ 亡业大学理学硕士论文 原创声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是 我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取 得的，论文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此 声明。 论文作者签字： 指导教师签字： 年月日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 在当前，在各种工程项目中，系统的稳定性起着非常重要的作用。 动力系统的稳定性理论研究已经取得了丰硕的成果，并且得到了广泛的 应用。但随着研究及应用的深入，随机因素也不得不考虑，于是对随机 微分方程的稳定性的研究就提上了日程。同时，随着时标理论的发展， 我们就不能仅仅满足与只在离散及连续状态下研究上述问题。于是，时 标上随机微分方程稳定性的研究就是一个非常有意义的课题。但是在将 时标理论应用到随机微分方程上去时，需要做大量的准备工作。首先要 将时标理论运用到随机过程中的随机分析中去，建立时标上的随机分析 的相关概念，这是将时标理论应用到随机微分方程上去的首要工作，也 是本文所要介绍的主要结果。 1 2动力系统的稳定性 动力系统稳定性的重要性是人所共知的，上世纪俄罗斯著名数学力 学家李雅普诺夫院士首创的运动稳定性的一般理论，受到了各国学者的 高度重视。事实上，在经典控制中，稳定性是唯一的要求，即使在现代 控制中，他仍然是主要的性能指标。近十年来，李雅普诺夫函数又成功 地应用到神经网络，借助于动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成 某些智能优化计算和联想记忆，开辟了新途径。 1 3随机微分方程 常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用也是众 所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精 确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对某些实际过程 的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实 广东工业大学理学硕士论文 际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程， 简称随机微分方程，随机微分方程稳定性理论的研究，正如同确定性常 微分方程稳定性理论的研究一样，是研究它的解的定性理论的一个重要 方面，它无论对于基础理论的研究，还是应用技术的研究，都具有十分 重要的意义。 1 4随机过程 随机过程是随着2 0 世纪初物理、化学、通信、管理、控制论、规划 论、排队论、及信息论等学科的需要逐步发展起来的一门数学学科。其 内容十分丰富，应用极其广泛。它的研究对象与初等概率论一样，也是 随机现象的统计规律性。初等概率论研究的是随机现象的静态特性，而 随机过程研究的是随机现象的动态特性，即随机现象的发展与变化过程。 随机过程中的随机分析部分主要讲的是二阶距过程的极限、连续性、导 数与积分。 1 5 时标 演算法是1 9 8 8 年由斯坦分黑格在他的博士论文中提出的一个理论 h 1 。随后他又发表论文对其进一步完善哺6 j 。这种算法不仅能够把微积 分算法和差分方程结合在一起，而且还解决了把“停止一开始”行为和 连续性行为结合在一起的问题，实现了数学演算方面的一大突破。但是 当时他和他的同事们看不出这一理论有什么实际用途，所以三年后不得 不因为资金问题而被搁置了下来。在随后几年里，只有凯墨凯勒等少数 学者继续进行研究 。1 引，他们并在1 9 9 6 年合写了第一本关于测度链的专 著1 。 19 9 7 年德国数学家保那一个偶然的机会又发现了它， 他和他的 同事全身心地投入了研究并取得了突飞猛进的进展，短时间内就发表了 多篇论文n 2 24 l 。至今，时标理论已经受到国际上许多专家、学者的极大 关注，他们包括德国，美国，爱尔兰，新加坡，加拿大，土耳其等国的 斯坦分黑格，阿鲁拜赤，阿格瓦，保那，瑞根，皮特森，拉克史密肯 瑟，林尔博，热那德麦森等等研究的内容涵盖了相当多的领域。经过十 2 第一章绪论 几年的发展，目前这一领域已出版了若干专著和一系列研究论文。国际 上许多知名杂志，比如：j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e d l a t h e m a t i c s 矧，d y n a m i cs y s t e m sa n da p p l i c a t i o n s ，j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s isa n da p p l i c a t i o n s 9 1 6 n o n l i n e a r a n a l y s i s 6 2 1 圳瞳2 3 也都登载了时标理论方面的论文。 时标在实际应用中具有巨大的空间。黛安娜托马斯用公式表达携带 西尼罗河病毒的蚊子的数量，她认为时间标度演算法是解决她的问题的 唯一方法。因为随着季节变化，蚊子在春、夏、秋这样连续的时间里繁 衍、成长、死亡，科学家们可以考虑多种影响蚊子数量的原因来绘制一 个连续的曲线，表示这一阶段的情况，而蚊子到了冬季死亡，它的卵留 下来并在新的季节里孵化生长。科学家们年复一年得到的只是一些离散 的曲线。而为了能表示一个离散的情形，数学家又发明了差分方程式。 这正是托马斯在计算西尼罗河病毒的蚊子时所用的方法。她还类似方程 表示出受感染的人和鸟的数量。由于病毒在物种之间传染，这些方程之 间还有复杂的相互关系。但是由于她的公式不考虑连续性的影响，所以 就不能正确地预测受感染的候鸟在春天重新回到纽约的数量。托马斯必 须找到一种方法，同时考虑连续过程和离散过程，必须把微积分算法和 差分算法结合在一起。而时间标度演算法弥合了西尼罗河病毒传播的离 散方面和连续方面之间的空隙，托马斯认为这种算法是理解和控制这种 疾病的最佳途径，而且新的计算模式一旦研究出，它将成为战胜这一疾 病的有力武器。一些科学家已经开始研究利用时标改进股票市场的计算 模式。还有的科学家利用时标精确计算发动机的油耗量阳0 i 。本世纪初， 国内数学界也越来越注意到时标理论的重要价值。张炳根对时间标度( 或 测度链) 上的动态方程振动与非振动性进行了一系列的研究卜3 引。中山 大学的刘爱莲、欧柳曼两位博士也对动态方程在时标上的运用进行了相 关的研究阳5 。3 引。 1 6本文工作简介 鉴于对建立时标上随机微分方程稳定性理论的憧憬，本文首先建立 了时标上随机分析的相关概念基础，主要包括：时标上的均方极限、时 3 广东工业大学理学硕士论文 标上的均方连续性、时标上的均方导数、时标上的均方积分。同时还将 他们应用到均值定理上去，得到了时标上二阶距过程的均值定理。这也 为下一步工作奠定了基础。 4 第二章准备知识 第二章准备知识 2 1二阶距过程 定义2 1 1 【3 。我们称随机试验e 的最简单不能再分的每个结果为e 的样 本点。由所有样本点组成的集合q 称为e 的样本空间或必然事件。称不 含样本点的空集为不可能事件。 定义2 1 2 1 如果随机过程 x ( f ) ，t e t 对任意x ( f ) 的均值与方差都存 在，则称 x ( f ) ，tet 为一个二阶矩过程，其中t 为任意实数集。 定义2 1 3 阳1 设( q ，a ，尸) 为一概率空间，人表示q 中的某些子集组成的集 类，尸表示概率测度，简称概率。我们称定义于( q ，a ，尸) 上的具有二阶矩 的随机变量的全体组成的集合为二阶矩空间，记为日，即日中的元素都 是( q ，a ，p ) 上的随机变量，且存在二阶矩。 下面列举二阶矩空间日的性质。 性质2 1 1 3 3日是线性空间。即对任意x ，y h 和常数口，b ，有 a x + b y h 。 性质2 1 2 凹1 日是具有内积的空间。即设x ，】，日，定义( x ，y ) - - - e x y 】， 则其满足：对x ，】，z h ，有 ( 1 ) ( x ，y ) = ( 】，x ) 。 ( 2 ) ( c x ，y ) = c ( x ，】，) ，( x ，c y ) = c ( x ，】，) ，其中c 是常数。 ( 3 ) ( x + y ，z ) = ( x ，z ) + ( 】，z ) 。 ( 4 ) ( x ，x ) o ，且( x ，x ) = 0 ，当且仅当x = 0 。 这时称( x ，y ) 为日中的内积。 性质2 1 3 日是具有范数的空间。设xe 日，定义0 x 0 = ( x ，x ) 。称 0 x 0 为h 中的范数，如果0 x 0 满足： ( 1 ) 0 x l i 0 ，且l l x i i = o 当且仅当x = o 。 ( 2 ) 0 i i = 川i x 0 ，其中c 为常数。 ( 3 ) i i x + y i i 0 x | l + 俐i ，其中x ，】，日，并称此为三角不等 5 广东工业大学理学硕士论文 式。 性质2 1 4 日是具有距离的空间。设x ，y h ，定义 d ( x ，j ，) = lx - r l i ，则d ( x ，y ) 为h 中的距离，即对x ，】，z 日，有 ( 1 ) d ( x ，y ) 0 ，且d ( x ，】，) = 0 当且仅当x = y 。 ( 2 ) d ( x ，y ) = d ( r ，x ) 。 ( 3 ) d ( x ，y ) d ( x ，z ) + d ( z ，y ) 。 2 。2 时标理论 实数r 的任何一个非空闭子集被称为时标，用丁来表示。心5 1 定义2 2 1 矧对于f t ，我们定义向前跳跃算子仃：t - - - ) t 满足 c r ( t ) = 砒 s t ：s ，) ， 同理可定义向后跳跃算子 p ( t ) ：= s u p s t ：s o ，使v = ( t o 一万，) u ( 岛，t o + 万) ，当te u n t 时，l 厂( f ) 一c i 占总成 立，则称当r 一岛时，常数c 是f ( t ) 的极限，记为l i m 。f ( t ) = c 。 注：时标上的极限具有局部有界的性质，即若，j 时f ( t ) 的极限存 在，则存在的一个领域及正数m ，当f ( 气- 8 ，岛) u ( ，t o + 艿) 时， i 厂( f ) i t o 时，时标上的二阶矩过程 x ( 于) ，f 丁) 均方收敛于x ，亦称x 为当，专时，时标上的二阶矩过程 x ( f ) ，f t ) 的 8 第三章时标上的随机分析 均方极限，记为1 i m 。x ( t ) = 彳。 在定义3 1 1 的基础上，进一步得到了时标上均方极限的相关性质 定理。 定理3 1 2 对于时标上的二阶矩过程 x ( f ) ，f 丁) 以及x ，】，日，如果 l - i m x ( t ) = x ，且1 i m x ( t ) = y ，则x = y 。 f f n 7 f 7 证日月1 一i m 。lx r l l = l i m 。i x ( t ) 一x _ e x ( t ) 一】， 熘 ) 一x l + i i x ( ，) 一y 旧 = l i m 。x ( t ) 一x l l + l i r n 。x ( o 一】，i = 0 可知，x = y 得证。 定理3 1 3 对于时标上的二阶矩过程 x ( f ) ，f 丁) ， 】，( f ) ，f et ) 以及 x ，】，h ，口，6 ，气，c 均为常数，厂( f ) 是时标丁上的函数，且1 - i m 。x ( t ) = x ， 1 。i m 。y ( t ) = 】，l i m 。f ( t ) = c ，下列各式成立。 ( 1 ) 1 一i m 。f ( t ) = l i m 。f ( t ) = c 。 ( 2 ) 1 i m x = x 。 l l o ( 3 ) 1 i m f ( t ) x ( t ) = c x 。t，0 ( 4 ) 1 ：姆 必( r ) + 6 】，( f ) = a x + b y 。 ( l 啪i m x ( r ) = e 1 - 至m x ( ，) = e 【x 】。 9 广东工业大学理学硕士论文 ( 6 ) l 啪i m 砸x ( 伽) m 牝i - 吣r e x ( 世：秽( ，) ) - 叫删】。 ( 7 ) l 啪i r a 吐1 2 = e - ；k m l x ( ，) 1 2 = w 。 证明：( 1 ) ，( 2 ) 很明显成立。 ( 3 躲f ) x ( f ) 一c x = l i m ，i f ( r ) z ( f ) 一巾) x l + 巾) x c x l i 酬巾) 彳( r ) 一巾) x 忡熘i i f ( , ) x c x l = l i m 。f ( t ) i i x ( t ) 一x i i + l 啪i m l f ：t ) 卅x i i = 0 ( 4 ) l i _ ml a x ( t ) + b r ( t ) l 一( a x + b y ) = l 酬i m a x ( t ) 一硝 + 6 】，( f ) 一b y _ l ，一i m b 。i 必c ( 、t ，) 一必l l + l i m 。l b r ( t ) 一b y l l 0 ，总存在占 0 ，使u = ( 一万，t o + 万) ，当f u n t 时， 0 x ( f ) 一x ( 气) 6 0 ，存在随机变量x ( t o ) 和实数万 0 ，使u - - ( f o - 5 ，t o + 万) ，当j u n t 时，i i z 仃( f o ) 一x ( s ) ) 一x ( 岛) 仃( 岛) 一s 1 1 - 0 ，存在，的领域u ，对于 所有的s un t ，有 | i x 盯( r ) 一x ( s ) ) 一r ( r ) 盯( r ) 一s i | 三止笔2 二型 | i 】厂 盯( ，) 一】，( s ) ) 一】，( r ) 仃( ，) 一j 圳三也笔2 二型 则i l ( 以+ 6 】，) 盯( ，) 一( 以+ 6 】，) ( s ) ) _ l a x ( r ) + b y ( r ) 仃( r ) 一s i i 口帐x 仃( r ) 一x ( s ) ) 一( ，) 仃( r ) 一s i i + 6 | i 】， 盯( f ) 一】，( s ) ) 一严( r ) 盯( r ) 一j i | p i 盯( f ) 一刮 得讦。 3 4时标上的均方积分 将随机分析中的均方积分概念应用到时标上去，得到了时标上的均 方积分的相关概念。一些与其有关的基本性质，一并列出。 定义3 4 1 对于任给的时标t = 口，b ，任取一些点a = t o 0 ，使0 s - 1 1 i 0 ，都存在实数万 0 ， 使i s - x o ，都存在实数磊 o ，使慨一圳 0 ，存在龟 0 ，使 0 是一厶0 o ，都存在实 数皖 0 ，对任意的p 乞( 口，b ) ，任意的彘 气小t k ) ，都有 i i 一厶0 = 0 ( s + 曼) 一( + 厶) | | 0 ，使u - - ( t 一万，t + 6 ) ，当5e u f i t 时， k x 仃( ，) 一x ( s ) ) 一x ( r ) 盯( r ) 一s 1 1 - 0 ，存在随机变量彳( f ) 和实数6 0 ，使u = ( t - 6 ，t + 5 ) ， 当s un 丁时，i i x ( ，) 一x ( s ) 一x ( f ) ( f s ) 忙占- 5 i 总成立，由上式可直接 看出当j = r 时其亦成立。又由于f 是右稠密的，故 x 仃( r ) 一x ( s ) ) 一x ( ，) 盯( f ) 一j 1 1 - s l 仃( f ) 一s l 成立。 得证。 ( 4 ) 若t 是右稠密的，则仃( f ) = f ，故等式成立；若f 是右分散的，则由 ( 2 ) 可得 圳= 学， 即 x 仃( f ) 2x ( f ) + ( f ) x ( f ) 得证。 定义4 1 1 设 x ( f ) ，f 丁) 是时标上的二阶矩过程，我们说x ( t ) 在 t e t m a x t ) 是右增的，假定 ( 1 ) 若f 是右分散的，则x o ( o 彳( f ) ； ( 2 ) 若f 是右稠密的，则存在f 的邻域u 使当s u 且s f 时，有x ( s ) x ( f ) 。 同理可定义右减随机过程。 定理4 1 2 设 x ( ，) ，r t 是时标上的二阶矩过程，假设x ( t ) 在 t t m a ) 【刁均方可导。若x ( f ) 0 ，则x ( f ) 是右增的：若x ( f ) ，时，总存在一部分s 使x ( s ) f 时，有 x ( s ) x ( f ) 。 同样可定义局域右最小值。 定理4 1 3 设 x ( f ) ，f t 是时标上的二阶矩过程，x ( f ) 在t t m a x t ) 均 方可导。若x ( r ) 0 ，则x ( t ) 在t t m a xt ) 有局域右最小值。若 x ( t ) 0 ，知x ( t ) 是右增的。即当f 是右分散点时， x 仃( f ) x ( f ) ；当f 是右稠密点时，存在，的邻域u 使当s au 且s t 时，有 z ( s ) x ( t ) 。故知x ( f ) 在tt m a x t ) 有局域右最小值。同理可证，若 x a ( ，) 0 ，则x ( f ) 在t t m a x t ) 有局域右最小值，与条件矛盾， 故若x ( f ) 在t t m a x t ) 有局域右最大值，则x ( f ) 0 。同理可证，若x ( f ) 在t t m a x t ) 有局域右最小值，则z ( ，) 0 。 得证。 定理4 1 5 ：设 x ( ，) ，f 口，6 ) 是时标上的二阶矩过程，x ( f ) 在f 【口，6 均 方连续，在f 口，6 ) 均方可导，并且满足 x ( 口) = x ( b ) 则存在善，f a ，b ) 使 x ( 善) 0 x ( f ) 证明：假设不存在善使x ( 善) 0 ，则对于任意的f 口，b ) ，x ( f ) 0 。故 可知x ( f ) 在t t m a x t ) 是右增的，即x ( a ) x ( b ) ，与己知矛盾，故存在 2 1 广东工业大学理学硕士论文 孝使x ( 告) 0 。同理可证，存在0 x a ( r ) 4 2均值定理 得证。 前面已经做好了准备工作，定义了相关概念，并得到了一些准备定 理。本节的主要内容就是在上一节的基础上，推导出时标上二阶距过程 的均值定理。 定理4 2 1 ( 均值定理) ：设 x ( f ) ，te a ，6 是时标上的二阶矩过程，x ( t ) 在f 口，6 均方连续，在t 口，b ) 均方可导，则存在善，f 口，b ) ，使 x ( 善) 掣( f ) 证明：取时标上的二阶矩过程 缈( f ) ，f 口，6 使满足 伊( ，) = x ( r ) 一y ( 口) 一2 掣( ，一口) 于是缈( f ) 在r 口，6 】均方连续，在t 口，6 ) 均方可导，且满足缈( 口) = 缈( 6 ) ， 则由前一定理可得：存在善，f 口，6 ) 使 伊( 善) 0 缈( r ) 于是由 伊( f ) = x ( f ) 一x ( b i ) - 石x 一( a ) 可知 存在善，f 【口，6 ) 使 x ( 善) x ( b f ) - x ( a ) x ( r ) 得证。 结论 结论 本文将时标理论应用到随机过程中的随机分析理论中去，将原来只 能分类研究的离散状态和连续状态下的随机分析内容用时标理论统一起 来，建立了时标上的随机分析理论概念基础。这些基本概念主要包括时 标上的均方极限、时标上的均方连续性、时标上的均方导数、时标上的 均方积分。并以这些基本概念为基础，得出了时标上二阶距过程的均值 定理，为进一步研究时标上随机微分方程的稳定性理论奠定了基础。目 前常微分方程稳定性理论已经比较成熟了，在实践中也得到了广泛的应 用，随机微分方程的稳定性理论研究也已经取得了一些研究成果，而对 于时标上随机微分方程稳定性理论的研究还没有开始。有鉴于常微分方 程稳定性理论和随机微分方程的稳定性理论在实际应用中的成果，我想 在不久的将来，时标上随机微分方程稳定性理论的研究也同样会取得丰 硕的成果，并能够在实际应用中获得成功。在前期工作中，我发现要将 时标理论应用到随机微分方程稳定性理论上去，还要做大量的准备工作， 除去前面已经得到的结论外，还要证明时标上达布均方积分与黎曼均方 积分的等价性，进而得出得出时标上均方积分的计算表达式，从而真正 掌握能将时标理论与随机微分方程稳定性理论有效结合起来的有力武 器，并进而得到更丰富的理论成果。 广东工业大学理学硕士论文 参考文献 1 】廖晓昕动力系统稳定性理论和应用国防工业出版社，2 0 0 0 ：v i x 2 】胡宣达随机微分方程稳定性理论南京大学出版社，1 9 8 6 ：3 - 4 3 】孙荣恒随机过程及其应用清华大学出版社，2 0 0 4 ：1 3 6 1 4 8 【4 】s t e f e nh i l g e r ，e i n m a k e t t e k a l k u lm i ta n w e n d u n ga u f z e n t r u m s m a n n i g f u l t i g k e i t e n p h dt h e s i s ，u n i v e r s i ta tw u r z b u r g ，19 88 5 】s t e f e nh i l g e r ，a n a l y s i s o nm e a s u r ec h a i n s au n i f i e da p p r o a c ht o c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ec a l c u l u s j r e s u l t sm a t h ，19 9 0 ，18 ：18 - 5 6 6 】s t e f e nh i l g e r d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ec a l c u l u s - u n i f i e d n o n l i n e a r a n a l y s i st h e o r ym e t h o d & a p p l i c a t i o n s ，19 9 7 ，3 0 ，5 ：2 6 8 3 2 6 9 4 7 b k a y m a k c c a l a n l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yf o rd y n a m i cs y s t e m so n t i m es c a l e s j a p p l m a t h a n ds t o c h a s t i ca n a l ，19 9 2 ，5 ：2 7 5 - 2 8 9 【8 b k a y m a k c c a l a n l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yf o rd y n a m i cs y s t e m so n t i m es c a l e s j a p p l m a t h a n ds t o c h a s t i ca n a l ，1 9 9 2 ，5 ：2 7 5 2 8 9 9 b k a y m a k c c a l a n ，l r a n g a r a j a n v a r i a t i o no fl y a p u n o v sm e t h o df o r d y n a m i cs y s t e m so nt i m es c a l e s j m a t h a n a l a p p l ，19 9 4 ，18 5 ( 2 ) ： 3 5 6 3 6 6 1 0 】b k a y m a k c e a l a n s t a b