（岩土工程专业论文）弹性地基板隔振及其在轨道交通中的应用.pdf

摘要 随着现代工业的迅速发展和城市规模的日益扩大，振动对生产和生活环境的 影响已引起人们的普遍重视，对人工振动防止对策的研究成为工程界面临的重要 课题。本文对轨道交通荷载作用引起的地面振动及应用弹性地基板( 即波阻板) 屏障隔振进行了研究。 文章首先论述了轨道交通产生的地面振动及其治理措施，并对国内外相关研 究现状进行了综述。然后运用a n s y s 有限元软件，模拟了弹性地基扳屏障隔振， 分析了使用弹性板屏障的隔振效果及影响因素。之后，通过三份现场试验数据， 总结了轨道交通对周围环境的振动影响及其产生的环境振动的基本规律。最后， 根据三组弹性地基板隔振实例分析，表明采用弹性板屏障具有较好的隔振效果。 根据测试振动频谱范围以及数值计算结果，表明在轨道交通中设置弹性地基板屏 障可以获得较好的隔振效果。 关键词：人工振动；环境振动；屏障隔振：弹性地基板( 即波阻板) ；轨道交通 有限单元法：粘弹性边界；弹性动力学 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e mi n d u s t r ya n dc o n t i n u o u se x p a n s i o no fb i gc i t i e s ， t h ei n f l u e n c e so fv i b r a t i o n so nt h el i v i n ga n dw o r k i n ge n v i r o n m e n t so ft h ep e o p l e h a v eb r o u g h tt ot h ec l o s ea t t e n t i o n so ft h ep u b l i c t h es t u d yo fp r o t e c t i v em e t h o d s a g a i n s tm a n - m a d ev i b r a t i o nh a sb e c o m eas i g n i f i c a n tt o p i cc o n f r o n t e db ym a n y r e s e a r c h e r s i nt h i st h e s i s , t h eg r o u n d b o r n ev i b r a t i o ni n d u c e db yr a i lt r a n s i ta n dt h e i s o l a t i o no fr a i l w a yf r o me n v i r o n m e n t a lv i b r a t i o nb ye l a s t i cb a s ep l a t e ( n a m e l y , w i b ， w a v ei m p e d a n c eb l o c k ) i sn u m e r i c a l l ys t u d i e di nat w o d i m e n s i o n a lm o d e lb yf i n i t e e l e m e n tm e t h o d i nt h i sp a p e r , c o n t r o l l i n ga n de v a l u a t i n gg r o u n d b o r n ev i b r a t i o nd u et or a i l w a y t r a n f f i ca r cs t u d i e d ，a n dt h et h e o r i e sa n dp r a c t i c a la c h i e v e m e n t se x i s t e di nd o m e s t i c a n do v e r s e a sa r es u m m a r i z e da tf i r s t t h e nt h ev i b r a t i o ni n f l u e n c ea n de f f e c to f i s o l a t i n gv i b r a t i o nb ye l a s t i cb a s ep l a t ea r ec a l c u l a t e db yg e n e r a lf i n i t ee l e m e n t p r o g r a ma n s y s t h e nv i b r a t i o ni n f l u e n c e so nt h es u r r o u n d i n ge n v i r o n m e n ta n d r u l e sa b o u te n v i r o n m e n t a lv i b r a t i o na r es t u d i e db yt h r e ei n s i t ue x p e r i m e n t s a tl a s t ， b e t t e rv i b r a t i o ni s o l a t i o ne f f e c t b yw m i so b t a i n e df r o mt h r e ec a s eh i s t o r i e s t h er e s u l t so fn u m e r i c a ls t u d i e sa n dp r a c t i c a lf i e l de x p e r i m e n t ss h o wt h a tb e t t e r s c r e e n i n ge f f i c i e n c yc o u l db e a c h i e v e db yu s i n ge l a s t i cb a s ep l a t ei n r a i l t r a n s i t s y s t e m k e y w o r d s ：m a n - m a d ev i b r a t i o n ；e n v i r o n m e n t a lv i b r a t i o n ；v i b r a t i o ni s o l a t i o nb y b a i e r s ：e l a s t i cb a s ep l a t e ；w a v ei m p e d a n c eb l o c k ；r a i lt r a n s i t ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ； v i s c o e l a s t i cb o u n d a r y ；e l a s t i cd y n a m i c s 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：2 吾劲 2 0 0 5 年3 月1 日 经指导教师同意，本学位沦文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月曰 剐济大学申请硕士学位论文第1 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 随着现代工业的迅速发展和城市规模的日益扩大，振动对城市生产和生活环境的影响已 引起人们的普遍重视。国际上已把振动与噪声并列为七大公害之一n ，并着手研究振动污 染规律、振动产生原因、传播途径、控制方法以及对人体的危害等。 与地震、海浪冲刷、大气环流等引起的自然振动相比，人工振动即人类活动引起的地面 振动( 微米级) ，因其损坏进度慢，振动掏燕错综复杂而常被诸多其它因素掩盏，在国内一 直未能得到足够重视。然而，值得注意的是与地震产生破坏的突发性与毁灭性不同，人工振 动引起的河蹶是大量而持续产生的，并与人们日常生活息息相关。 人工振动问题一般可分为两类第一类涉及小振幅振动，b p 对人类生产生活环境和灵敏 设备仪器的影响，可接受的振动值很低，如大型精密设备的防微振设计、核反应堆和航空航 天设施等第二类是有关导致结构破坏或产生破坏影响的振动问题，如历史文化古迹、不良 地基上的建筑物等。生活中常见的是第一类问题，第二类问题较少出现，但会产生重大的经 济后果，对社会直接或间接影响相当大。 釜 1 l l 鬃 廊变， 图1 1人工振源的振幅与频率3 对人一振动的研究始j j2 0 憾纪4 0 年代b a r k a n ，逊3 0 年米欧荚、日本等发达围家进 行了较多研究，如m a s s a r c h 3 1f1 9 9 3 ) 、w o o d s 45 1 ( 1 9 6 1 9 7 4 ) 、l i t 【o 0 1 ( 1 9 7 8 ) 、a v e i l e s j 耐济大学申请硕十学位论文第1 章绪论 7 8 1 ( 1 9 8 3 ，1 9 8 8 ) 、a h m a d “1 “( 1 9 9 1 1 9 9 6 ) 、v i i i o t 1 1 1 ( 2 0 0 0 ) 和j e a n 1 2 1 ( 2 0 0 0 ) 等 研究了人工振动的产生、传播，振波的衰减、折射聚焦和共振放大，提出了评价地面振动和 隔振设计的标准；k o s t a r e v 1 3 1 ( 1 9 9 6 ) 、k r y l o v h 4 1 ”( 1 9 9 7 ，1 9 9 9 ) 、m a d s h u s 1 6 l ( 1 9 9 9 ) 、 j o n e s 1 7 1 ( 1 9 9 9 ) 等对铁路交通引起的地面振动，特别是高速列车和重载列车引起的地面振 动及其对周围环境的影响进行了研究，提出了些计算方法和计算模型。 芒 ： 二， 阿 = 蘅 = = ：- - 一 三 己 ：= 。i 三三三 ：二 二 =二 i；三 j 一 = 可7 r 三1 1l i 地震铁路交通施工工业爆破 振源 圈1 2 人工摄濠的摄动霸环次戴玎1 人工振动的主要来源是重工业机器振动、交通荷载振动和建筑施工振动等1 1 8 1 0 图1 1 表示了不同振源的主要频率和应变值变化范围”1 ，评价振动时必须考虑频率、振幅这些主 要因素的变化；此外振动循环次数也决定结构破坏，图1 2 为假定：l 程结构使用期为3 0 年 时不同振源的有效振动循环次数( 振幅人于0 5 r a m s ) 3 1 。由图中可见，交通和_ t 业振源的 振动影响最大。本文主要研究交通荷载引起的环境振动及其减振问题。 1 2 轨道交通产生的地面振动特性 1 2 1 人l 振动波场 人1 振动都受f 述网索控制：( 1 ) 振源的动力特性；( 2 ) 振动沿地面l 传橘规律：( 3 ) 地孟振动对建鲈物、灵敏设箭仪器! 哎凡类感觉的影响。球管人l 振源类，一、变化人，但其 赫嚣蜂曙鞯挥 同济大学申请硕 学位论文第1 章绪论 引起的地基土应变很小，主要作用位置接近地表处，所以产生的波场为表面波源产生的弹性 1 波波场。m i l l e r | 1 9 1 ( 1 9 5 5 ) 近似算出当泊松比”一二时弹性半空间表面在竖向激振圆形基础 4 作用下p 波、s 波和r 波的波能分配，据此w o o d s ( 1 9 6 8 ) 绘出了著名的远距离波场图，如 图1 3 示“”。根据m m e f 和p u r s e y ( 1 9 5 5 ) 的计算，三种弹性波占总输入能量的百分比是： 瑞利波( r 波) 6 7 ，剪切波( s 波) 2 6 ，压缩波( p 波) 7 。由于瑞利波占了来自竖向 振动总输入能量的三分之二，以及瑞利波随距离增加衰减比体波( p 波、s 波) 慢的特点( 见 表1 1 ) ，所以对于位于或接近地表面的基础，瑞利波具有首要的意义。 几何阻尼定律 圆形基础 i ，墼 二r 罗 钕、水平甍 劣葙爵振幅7 f l x t 卜7 、 弟切州 j ? 、， 主。乓恕上。i 图l _ 3 均质各向同性弹性半空问表面竖向荷载作用下的渡场( 引自w o a d s 1 9 6 8 ) 1 4 - 朋 表1 1 各种波效应的振幅与距离( r ) 的关系n 部位 振源类型r 波效应p 波效应s 波效应 点源 l r j 2 “，21 r 2 半空间表面 线源与r 无关1 r 纠2u r a 2 点源无r 波 “r“r 无限空间内部 线源无r 波1 r ”2以v 2 1 2 2 轨道变通振动的产q ：及传皤划钭 同济人学申请硕士学位论文第1 章绪论 轨道交通系统产生的振动对周边环境的影响一般通过以下方式进行：由运行列车对轨道 的冲击作用产生振动，并通过结构( 隧道基础和衬砌或桥梁的墩台及其基础) 传递到周围的 地层进而通过士介质向四周传播，进一步诱发附近地下结构以及建筑物( 包括其结构和室 内家具) 的二次振动和噪声，从而对建筑物的结构安全以及建筑物内人们的工作和生活环境 产生很大的影响，如图1 4 示。 图1 4 轨遵交通振动的产生与传播“ 轨道交通系统的振动主要由以下几方面组成： ( 1 ) 列车以一定速度运行时，对轨道的重力加载产生的冲击； ( 2 ) 列车在轨道上运行时，轮轨相互作用产生的车轮与钢轨结构的振动； ( 3 ) 当车轮滚过钢轨接头时，轮轨相互作用产生的车轮与钢轨结构的振动： ( 4 )轨道的不平顺和车轮的损伤也是系统振动的振源。 对于高架轻轨系统，其影响因素主要有列车速度、车辆重量、桥梁结构类型和基础类型、 跨度、刚度、挠度等，列车与桥梁的相互作用也会加人振动作用。文献【2 3 】、 2 4 1 通过对 上海明珠线实测表明：频率小于1 6 h z 的振动随距离衰减很小，其倍距离衰减量约为4 d b ； 2 0 - - 2 5 h z 的振动随距离衰减较犬，其倍距离衰减蜮约为8 d b ；而6 4 h z 羽i8 0 h z 的振动随距 离衰减更人，其倍距离衰减量约为8 1 6 d b 。 对1 j 地r 铁路系统，其影响因素主要有列车速度、下辆重量、隧道基础希i 衬砌结构类型、 轨道类型以及是否采用隔振措施等。已有调查表叫】”2 “，地铁列车在隧道内高速运行时， 距轨道水平距离1 5 m 处，振级甲均值为8 1 d b ：距轨道水甲距离2 4 m 处，振级平均值为 7 1 6 d b 随肌离轨j 煎水平距离的增加振级不断褒日& 一此外，地铁振动影响范r 研还取决r 州午 速度及隧道的埋深。列车运行速度越快，振动干扰越强，振动的影响范围越大；隧道埋深越 大，影响范围越小。由于列车运行引起的地面水平振动在传播过程中衰减要快于垂直方向， 故沿线建筑物内垂直方向振动大于水平方向振动，且最人振幅密集于低频区1 2 7 1 对于周边建筑物平面而言，由于其纵向劲度犬于横向劲度，所以无论建筑物走向与线路 相对位置如何，建筑物受列车运行产生振动影响时都表现为横向振动大于纵向振动。就不同 楼层高度而言，一般对于四层以下低层建筑振动强度随楼层高度的增加而增大，对五层以上 建筑，有异常现象出现t 2 8 1 随着列车速度的提高，产生的环境振动水平有增大的趋势。当列车运行速度低于 8 0 o n h 时，l o k m h 范围内的变化对该点的振动基本无影响，由于城市轨道交通运行速 度多在3 0 k m h - - l o o k m h ，故可认为列车速度变化对大地表面振动影响不明显。当列车速度 超过2 0 0 k m h 时( 高速铁路) ，也可观测到相类似的现象( 见第四章) 。但是列车速度对楼 房建筑振级的影响却是明显成正比变化1 2 8 1 随着列车速度提高，相应点的振级强度也增大。 1 3 轨道交通引起的环境振动治理 1 3 1 治理措施 杨先健“”根据振动污染传播的土动力学特性，提出了治理振动公害的不同途径( 图 1 5 ) 。图中传输路线一开关表示了防振部位，只需断开其中一个开关即可达到隔振目的。 图i s 环境振动污染治理框图1 根撕图1 5 ，对轨道交通引起的环境振动问题的治理通常可从以f 三个方面考虑：第一 阡低振她的激振强度。采州6 0 k g m 以上的t r 轨和无缝线路，增强耖遂的寿命平抗振性能， 消除车轮对轨道接头的撞击；减轻车辆的簧下质最，避免车辆与轨道产生共振；采用合理的 道床和轨道结构形式，减少轨道不平顺和车轮缺陷：加深轨道埋深或采用较重的隧道结构， 加快振动衰减速度；增强路基土的强度，可以采用各种地基处理方法，如利用双灰桩加固路 基等：增加路基刚度，可以在道碴下埋置刚性板( 梁) 或刚度更大的混凝土箱形格栅，如图 1 6 所示。第二二，切断振动的传播路径或在传播途径上消弱振动。通常可以沿路基设置明沟、 刚性墙、排桩等作为隔振屏障。第三，合理规划设计使建筑物避开振动影响区。在规划设计 中建筑物尽量避开振动放大区，轨道线路选线避开轻质结构或基础较浅的房屋，无法避开时 应加深轨道基础埋深，同时应充分利用各种天然屏障隔振减振 2 9 - 3 2 | 。 d _ q q 咖 扣 ，t h _ 一i 口1 4 8 0 m i m l l l t l l m ( a ) 路堤：( b ) 板：( c ) 格栅 图1 6 增加路基刚度“1 1 3 2 屏障隔振技术 与传统方法相比，屏障隔振具有造价低、不易损坏、耐久性好、施工简单和可作为结构 一部分的优点。它既可用于主动隔振又可用下被动隔振。目前在工程中广泛应用的屏障有空 沟、填充沟( 如用膨润土泥浆、锯屑、砂子和粉煤灰等作为填充物) 、钢筋混凝士墙、连续 柔性墙( 气胀垫) | 3 1 弹性板、圆柱形孔列、桩排和板桩等。高广运”3 1 根据屏障隔振的形 式将屏障分为两类：( 1 ) 连续屏障( 空沟、填充沟、洮凝 ：板梁等，见图1 7 ) ；( 2 ) ：l l z 连续 屏障( 孔列、桩排、板桩以及短墩状混凝十板等，见图1 8 ) 。 吴世明等1 通过粉煤灰桩的现场模型试验，证明粉煤灰屏障具有一定的隔振效嘬。赵 荣欣”5 1 等通过材料试验j 有限元数值分析研究了泡洙塑料一水泥士填充沟的隔振性状，指 出填充沟的隔振效果与填充材判的密度密切相关。金p 军等”6 1 建立了具有弹性地基的多层 靖振系统的动力学方拌。；，采镕等”研究r 央臼软弱r 层的层状场地对入射s h 波的岫麻分 析。钱菊生。和冯卫。1 采用边界单元法对连续屏障隔振进行了数值计算。杨先健、高广 图1 7 连续屏障隔振系统 空沟或填 充沟所组 成的连续 屏障 幽1 8 非连续屏障隔振系统 列或 组成 连续 运和干! l | f i 荪等”一”则对非连续屏障隔振进行了理论分析及模型和现场试验，证明非连续屏 障具有较好的隔振效果。高广运”通过理论计算和模型、现场试验，提山了排桩隔振的实 州设计疗法，突破了w o o d s 提出的1 f 连续屏障单体直释必须人于屏敝波k 1 6 的结论，获得 较好的1 群效果。梁涛基丁域参数地基模型采刚边界单元法对1 | 连续屏障隔振进行了三 维数值分析：孙雨明1 川边界单元法计算rt 哥速铁路产生地面振动的摹本规律以及对铁路 振动使j 叶悯i 胼障隔振f n 效果；邱畅“”以州利波散射理论静 分方群为基甜 ，列连续d 1 1 障( 填 i j 济大学申请硕 学位论文第1 章缔论 充沟) 和非连续屏障( 单排桩、多排桩) 的远场被动隔振进行了三维分析，得出了一些有益 的结论。 近年来出现的另一种形式的屏障隔振方法是使用埋置在振源或被保护结构下的弹性板 进行隔振( 见图1 9 ) 。这种隔振思想来自于表面激振的层状地基波的传播存在截止频率，当 激振频率低于截止频率时，地基中不存在波的传播现象。利用这个效应，s c h m i d 等1 ( 1 9 9 2 ) 建议用一个刚性层来形成有限尺寸的人工基岩，并将这个人工基岩称为波阻板( w a v e i m p e d a n c eb l o c k ，简写为w i b ) ，在该文里，s c h n f i d 对二维频域w i b 隔振效果做了详细的 研究。s i e r a e r , t h ，f o r c h a p ，e 1 4 8 1 ( 1 9 9 2 ) 为了验证w i b 的隔振效果在b e r l i n 进行了现场 试验。t a k e m i y a 4 9 , 5 0 1 ( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ) 分别用边界元和有限元法研究了w i b 的隔振效果，p e p l o w 5 1 1 ( 1 9 9 9 ) 则研究了层状地基w i b 隔振效果。这些学者的研究在定程度上论证了使用弹 性地基板屏障隔振的可行性与有效性。根据国外学者的研究 5 1 1 ，使用弹性地基板屏障隔振 更有利于屏蔽低频振动，而轨道交通产生的振动多在2 - - 8 0 h z 之问，因而通过在轨道f 方 埋置刚性弹性地基扳对列车产生的环境振动在理论上具有较好的隔振减振效果。鉴于移动轨 道以及重新布轨的费用较为高昂，在具体施上上艺上国外比较成熟的是向地基土高压喷射注 浆，通过加固地基的方法在地基中形成人工硬壳层，增加地基刚度，从而形成理论计算中的 刚性弹性地基板。故而在某些文献3 ”中也将弹性地基板屏障隔振称为地基处理隔振方法。 在国内，晟新的隔振设计规范也已收录了弹性板屏障隔振技术。 14 本文研究内容 幽1 9 弹性板隔振系统 弹性板 环境振动川题l i 引起越米越彰人1 勺天注，筇隔振技术t 午近年求型魁f j 兑为个f i j | _ 7 t 热 同济大学申请硕士学位论文 第1 章绪论 点。弹性地基扳( 又称波阻板) 屏障隔振在国外已经证明是一种有效、可行并且经济的隔振 技术，然而国内的学者对此涉及较少，相关的试验及t 程实例更是寥寥可数。鉴于此，本文 在前人研究基础上，针对弹性地基板屏障隔振技术及其工程应用做了以f 几个方面的研究t 作： ( 1 ) 使用a n s y s 大型通用有限元程序模拟在列车竖向振动荷载作用下，地面振动情 况及使用弹性地基扳屏障隔振后的振动情况，通过数值计算总结出使用弹性地基板屏障理论 上的隔振效果以及相关影响因素。 ( 2 ) 为了研究轨道交通对周围环境的振动影响，课题组进行了两次现场试验，收集了 三份测试数据：通过上海磁悬浮、布鲁塞尔一巴黎高速轮轨、秦沈客运专线三种不同场地， 不同形式的轨道线路的测试数据，总结出轨道交通产生的环境振动的基本规律。 ( 3 ) 收集了弹性地基板在实验室以及工业民用建筑上的三个应用实例，通过相关测试 数据总结了弹性地基板的隔振效果，并根据理论计算结果推测了弹性地基板在轨道交通中的 应用效果。 同济大学中请硕士学位论文第2 章弹性动力学问题的有限单元法 第2 章弹性动力学问题的有限单元法 2 1 有限单元法简介 目前科学家已经求解出了许多物理力学问题应遵循的基本方程和相应的定解条件，然而 由于部分方程某些特征的非线性性质或求解区域复杂的几何形状因素，导致这些方程不能得 到相应的解析解。这类问题通常的解决方案有两种：一是对方程和几何边界引入简化假设， 但经常会产生较大的误差甚至出现错误的解答；二是采用数值解法，近四十年来，随着电子 计算机的飞速发展与普及应用，数值解法逐渐成为求解科学技术问题的主要工具。数值解法 尤以有限差分法、有限单元法、边界单元法等为代表。 有限差分法是通过有限个差分方程来近似模拟偏微分方程。直接求解问题基本方程和相 应定解条件的近似解，理论上属于数学模拟；它在求解流体力学问题上具有一定的优势但 是由于计算量偏大，以及对几何形状复杂问题适应性不强等，在动力学问题上它已基本被排 除。对于一般的弹性动力学问题，通常采用有限单元法和边界单元法。边界单元法只需在结 构交界面处进行离散，但需要计算奇异积分。有限单元法是以有限个单元的集合体来代替连 续体，它需要在一个较大区域内进行离散，在边界处需要添加透射边界、粘性边界等人工边 界条件以避免边界对波的反射现象，在理论上属于物理模拟。 对有限单元法的研究，可以追溯到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作，他第一次尝试应用定义 在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，求解s t v e n a n t 扭转问题。其后一 些数学家、物理学家和工程师如m c h e n r y 、h r e n i k o f f , n e w m a r k 、a r g y r i s 等人由于各种原 因也涉足过有限单元的概念。但只是在6 0 年代之后随着计算机的发展有限单元法才得到广 泛应用。1 9 5 6 年t u r n e r 、c l o u g h 等成功给出了三角形单元求解平面虑力问题的正确解答， 这是现代有限单元法的第一次成功的尝试。1 9 6 0 年c l o u g h 进一步处理了平面弹性问题，井 第一次提出“有限单元法”的名称。在这之斤，b e s s e l i n g 、m e l o s h 、j o n e s 、z i e n k i e w i c z 等 人也相继在有限单元法上作出相应研究井取得一些成果”2 5 3 | 。 4 0 多年米，有限单元法的理论年应j _ | 得到了迅速、持续不断的发展，其应_ 【_ | j 已由弹性 力学平面问题j r 展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题平波 动问题；分析对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、祜塑性和复合材料等，从硎体力学扩展 到流体力学、热力学等连续介质力学领域：在i 程分析中的作川已从分析利校核打、展剑优化 设训并平计算辅助设计技术相结合。近3 0 年0 ：，国际i h 场t 已运渐彤r 多个成熟的商 l 【1 同济大学申请硕上学位论文第2 章弹性动力学问题的有限单元法 业有限元软件，如a n s y s 、m s c l n a s t r a n 、m s c x m a r c 、a b a q u s 、a l g o r 、s a p 等， 其中以a n s y s 的应用最为广泛。 2 2 弹性动力学基本方程 弹性动力学的基本任务是求解弹性物体对于各种动力荷载的反应。对于连续介质来说， 在数学上就归结为处理一组偏微分方程的初值或初值一边值问题。在现实中最常遇到的是结 构动力学一土动力学问题，通常它有三类研究对象，一类是在运动状态下工作的机械或结构， 另一类是承受动力荷载作用的工程结构，还有一类是波在介质中的传播问题。 弹性动力学的基本方程是： 运动方程 几何方程 物理方程 边界条件 初始条件 口+ l 肛f 矗+ 删“ ( 在矿域内)( 工2 1 ) 勺一i 1 0 l ，j + “) o u d 咐e h h j2 u i 吒h j 一正 ( 在y 域内) ( 在矿域内) ( 在s 。边界上) ( 在s 。边界上) u i ( x ，y ，z ，o ) 一u l ( x ，y ，z ) 1 u i , t ( x ，y z ，o ) - u ( x ，y ，z ) f ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 1 ) 式中q 、q 分别为应力和应变的张量表示；u i 为位移；，j 为体积力；d i j k t 为 弹性矩阵；n 为边界外法线的方向余弦；p 是质量密度；芦是阻尼系数：“i 4 和“柚分别是 心对t 的二二次和一次导数，即分别表示i 方向的加速度和速度；肛l f 。和删“分别代表惯性 力和阻尼力| 5 4 - 5 6 | 。 2 3 有限单元法求解基本方程 结构在随时间而变化的衙载作州r ，位移、速度、加速度、应变雨i 麻力都是时间的函数， 现以三维实体动力分析为例，_ l j 有限元求解的基本步骤如下： ( 1 ) 连续| j ；( 域的离散化 舟z 巩力分析巾，l 习为引入了 | 寸问坐标我们所处理的是b ，y ，z ，t ) 问题。柱有限元分析 同济大学申请顿士学位论文第2 章弹性动力学问题的有限单元法 中一般采用部分离散的方法，即只对空间域进行离散，在时间尺度上则采用差分法。 ( 2 ) 构造插值函数 由于只对空问域进行离散，所以单元内位移us v ，w 的插值表示为 或 其中 u ( x ，y p “，y z ，f ) - z ，f ) 一 m 0 ，y ，z ，如，( f ) j y ，：，) v a t ) w 纠) 善j 毛) m ( f ) 厅一万。 似0 ，y ，z ，t ) 厅。 v ( x ，y ，z ，f ) ，霄- 【l ，以】 1 w ( x ，y ，z ，f ) 藏；。l 。( f = 1 ，2 ，n ) ( 2 3 1 a ) ( 2 3 1 b ) 小卧恻“= 址 正缸；b + 一伊埘一删柚k y 一正，缸。( o r q n j - - 霉b o ( 2 3 2 ) 对e 式的第一项正曲。盯d 矿进行分部积分，并代入物理方程t 则上式可以得到 正0 e “d 社f + 血，砷+ 函；删，k 矿z 正血，t , d v + j 二。出，霉嬲 ( 2 3 3 ) 将位移空间离散后的表达式( 2 3 1 ) 代入上式，并注意剑结点位移变分撕的任意性，最终 得到系统的求解方科( 即运动方科) ： m i i ( t ) + c i “) + k a ( t ) 一q t ) t 2 3 4 ) 其。 ，矗( f ) 币i ( f ) 分别是系统的结点加进度向量平结点速度向封，m ，c ，k 平l i q r f j 分别是 系 盘i 竹质艟矩阵，| ； j 己( 1 i l f 哗、冈业斜i 翻嗣 ，- 量t i 拔砒，分刖l 簖r 的单元甜 玛：嗣1 i q j 成 。v何。r矗。 m 一肘，k 一置，c - c ，q x q ( 2 筋3 t _ a ) -o_ 一 m 。正。p 7 n d v ，k 。；工。b 7 d b d v ，c 。正。7 n d v ( 2 3 _ 6 ) 分别是单元的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 q 。5 丘7 彤y + 丘7 t d s ( 2 删 是单元荷载向量。 阻尼矩阵c 与材料的粘滞系数有关，可以根据应力应变速率的关系推导。现在常用的 r a y l e i g h 理论则假设阻尼由两部分组成，一部分与单元的应变速率成正比，另一部分则与节 点的变位速率成正比。设p 。) 为应变速率成正比的阻尼应力，乜) 为相应的节点力， f 2 为第二部分的节点力，则 缸) 卢f d 舡) 一卢f d p 豫) ( 2 舶3 ) 故 而 扳 一二陋】r h k y = 卢k 舡) f 2 ) = a 阻舡 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) 口和芦为比例系数，一般假定为常数，可由系统的振动圆频率和相对应的阻尼比2 0 来 表示。即： 口2 i d 0 卢一九m 九一般在0 0 2 0 2 4 范围内变化，耵。可根据实际情况由场地的基本周期求得。 从而阻尼矩阵可以写为 | c 。j - 口k 。j + 卢k 。j ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 4 ) 求解运动方程 运动方群( 2 3 4 ) 式的求解方法，原划上可以利j ； j 求解常微分方程组的常川方法( 例如 r u n g e - - k u t t a 方法) 求解，但在有限元动力分析中，冈为矩阵阶数很高用这些常用算法 一般是不经济的，所以只对少数有效的方法有兴趣，这些方法可分为两类，即直接积分法和 振型替加法。本文采h ：l 直接积分法进行求解。直接积分法涎指在积分运动方程之前升；进行方 桦形式的变换，而直接进行逐步数值积分。直接积分法叶 ，n e w m a r k 算法是疗川“最j 泛的 种山浊，这址洲为n e w m a r k 方法足7 条件稳定| 勺数值班分山法。弈详k 尊旃5 。i j 。 l i 司济大学申请硕士学位论文第2 章弹性动力学问题的有限单元法 ( 5 ) 计算结构的应变和应力 经式( 2 3 4 ) 解得结点的位移向量4 0 ) ，利用式( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 计算所需耍的应 变s ( f ) 和应力盯o ) 。 2 4 土动力学问题分类和人工边界条件 根据动力荷载性质，土动力学问题大致可分为两种。一种是动力荷载作用在局部土面， 地基的边界无限，如机器基础、地面或地f 爆炸等。这类所谓的源问题中，近域的表面荷载 q 已知，动力反应0 ) 应向远域逐步衰减。另一种是远域传来的边界位移岳。 或边界加速 度仁。 已知，而近域的表面都无荷载，地震荷载即属于这种情况。 对于静力问题而言，边界条件相对较为简单；而对于动力问题，由于土的成层性、应 力波在界面上的反射和透射以及动荷载类型等因素的影响，常常会给计算结果带来不容忽视 的误羔。故用有限元法进行动力分析时，必须把实际上近于无限的计算域用某一人上边界条 件截断，通过推导合理的边界条件来反映未划入计算域的土体。人工边界的作用不仅在丁：模 拟刚度，还需避免任何向外传播波的反射。这样人工边界条件在概念上可以理解为通过消除 计算区域边界以外直到无限远处土体的动力自由度而得到，人工边界的位置取决于所加边界 的类型、十体材料阻尼人小、频率范围、波速以及激励持续时间等因素的影响。因而使用有 限单元法求解动力问题时的人工边界处理是一个十分重要的步骤，它直接影响着动力问题的 计算精度。常见的人t 边界条件一般有以下几种： ( 1 ) 简单的截断边界。 与静力计算一样，在建筑物一定距离处截断，设置刚性支撑、辊轴或自由变形结点。 通常一般的截断边界，为了使动力计算不失真，必须增大截断的范围，从而使得计算量大大 增加。对土质较差的地基，由丁反射波能在土体中很快消散，如果边界设在建筑物直径5 1 0 倍以外处，这样的简单方法仍可应用。 对于远置人工边界，在处理弹性波向无限介质的能量逸散时通常采用崩定边界取 0 k = o 或门山边界取仁k = 0 ( 角标b 表示人l 一边界f 表示介质外的作1 l i j 力) 。这样设 置的边界对传来的波可以起到完全反射的作川。此外，还可采圳在邻接边界的儿个单元中人 为增人阻尼系数的方法米形成截断边界。 ( 2 ) 猫( 滞) 性边群。 1 4 同济大学串请硕士学位论文 第2 章弹性动力学问题的柯限单兀法 粘性边界条件的主要思路是在边界结点的切向和法向设置阻尼器( 其粘滞系数分别为 a p c ， b , o c p ，c ，和。p 分别为剪切和压缩波速) 用以吸收外界传来波的能量。当口和6 取 为常数( 例如1 ) 时，此方法的误差仍然较大，只有当a 和b 随波的频率而改变时计算结果 才较为理想。因此此法只适用于频域中求解。此外为了保证一定的精度，粘性边界与基础之 间的距离需要取的足够大( 如取r 波波长的3 4 或v 2 ) 。当入射波与边界接近垂直时，粘 滞边界的计算精度较高反之则较差”7 15 9 1 粘( 滞) 性边界因其物理概念明确，处理方法比较简单，易于计算程序的实现等优点 在研究中得到广泛应用。但粘性边界只有一阶精度，仅考虑了对散射波能量的吸收，未能模 拟半无限地基的弹性恢复性能，在低频作用f 很可能发生整体飘移现象，即存在低频稳定性 问题。鉴于此，d e e k s 。1 等人采取与粘性边界推导过程相类似的方法，在假定二维散射波 为柱面波形式的基础上提出了粘弹性人工边界。粘弹性边界通过在截断边界上同时施加粘 性阻尼器和线性弹簧来实现，不仅可以较好地模拟地基的辐射阻尼，而且也能模拟远场地基 介质的弹性恢复性能具有良好的低频稳定性。尽管粘一弹性边界与粘性边界一样只具有一 阶精度但理论上前者对散射波场的假设更符合实际情况，因此粘弹性边界的精度通常要 高于粘性边界。 ( 3 )一致边界或透射边界。 如果在动力波传播的无限域中切出一块有限大小的计算域来，则在截面上应存在计算 域和被切除区域之间的作用力。这个方法的基本思想是把这一作用力事先计算出来，加在计 算域的边界上，从而使计算结果将与原来未切开的无限域的解答一致。然而，在动力分析前 求出截面边界上的作用力并非易事。这需要在整个动力方程完全解答求出后才有可能。因此， 实际应用中只能针对某一特定问题求作用力的近似解，如l y s m e r 和w a a s 针对刚性基岩上 成层十水平传播的瑞利波推导了侧面边界上的作用力与边界位移关系的弹性系数矩阵”7 5 8 1 , 由于这一矩阵与频率有关，因此此法也只能用于频域中求解。 一般来说，透射边界的物理概念明确，透射效果好，计算简单，且很容易千有限元等 数值解法相结合，故在近年来得剑，很人的发展。国内学者廖振鹏“1 等在此问题上研究较 为深入。 ( 4 ) 有限元和无限元或边界元相结台。 有限元和无限元或边界元相结合的方法目前已成为处理无限i 叉域动力问题边界条件的 种重要厅法。南j 般的动力问题都灶近域t 波源能：t 羊变形较人，i 啊离波源较远处由t 同济大学申请硕士学位论文第2 章弹性动力学问题的有限单兀法 能量衰减通常变形很小，所以在动力分析中计算区域的中心必须考虑地基土的非均质性、非 线性以及地形的不规则性，以适用于有限元计算。而远域由于变形较小，通常可当作均匀弹 性介质，一般不会引起太大的误差，所以可以用无限元或边界元进行离散以描述波向无限远 处传递的辐射边界条件。一般说来对于局部荷载的源问题用边界元较好，而地震反应问题则 最好用无限元 5 7 - 5 9 | 。 除上述边界外，常见的还有双渐进边界、非反射边界、旁轴近似和一致传递边界等。 需要注意的是上述方法通常都只适用于频域问题中求解，对于需要在时域中求解的真 正非线性问题，一般通过把边界取得远一些来简化求解，近年来部分学者提出了一些时域边 界条件，取得了一定进展。 2 5n e w m a r k 方法 n e w m a r k 方法实质上是线性加速度法的一种推广”“。它采用f 列假设： 喀+ 。t 匆+ ( 1 一y h + y 每+ 。】凸f ( 2 5 1 ) 口“- = 口r + 矗t f + ( ；一6 户r + 6 西t + “】f 2 c ：s - ：， 式中：y 、6 为两个参数，如取6 1 4 ，y t 丢，即得到平均加速度方法a n e w m a r k 方法中时问t + f 的位移解答口，+ m 是通过满足时间f 的运动方程( 2 5 3 ) 而得到 脚，+ + c a “出+ k a “口iq ；+ ( 2 5 3 ) 为此，从( 2 4 2 ) 式解得 一击( 4 t + u - a t ) 一面1 小( 去一，卜。 c z s 。， 口一2 i 矿1 4 一面q i 丽。1 尸 忱+ 5 4 将上式代入( 2 5 1 ) ，然后再一并代入( 2 5 3 ) 式，则得到从口，d ，矗，计算n 。+ 的公式