（计算数学专业论文）奇异半正定非线性边值问题的正解及多个正解的存在性.pdf

摘要 本文借助于一些特别构造的锥以及锥上的不动点指数理论，运用逼近序列 法，考虑了若干奇异半正定非线性边值问题的正解存在性在第一章，在允许 非线性项有很强的奇异性和超线性的情形下，得到了至少一个正解的存在性 在第二章，对礼阶奇异共轭半正定边值问题，得到了多个正解的存在性，但是 我们加强了对奇异性的要求在第三章，对于非线性特征值问题，在有很强奇 异性的情形下，得到了多正解存在性；但是对于第一章中的非特征值问题，在 类似情形下，难以得到多个正解的存在性 关键词：不动点指数；奇异边值问题；正解；半正定 a b s t r a c t b yu s i n gs o m es p e c i a l i yc o n s t r u c t e dc o n e sa n dt h ef i x e dp o i n ti d e xt h e o r y t h i s p a p e ri n v e s t i g a t e st h ee ) ( i s t e n c eo fs i i 培1 ea n dm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st os o m es i n g u l a r s e m i p o s i t o n eb o u n d a l yv a l u ep r o b l e 1 8 i nc h a p t e rl ，w ed i s c u s sac l a s so fs e c o n do r d e r d i r i c h l “b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n do b t a i nt h e 嘲s t e n c eo fa tk a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n ， w h e r et h en o n l i n e 撕t yi ss u p e r l i n e a ra n dm a yh a ev e r ys t r o n gs i n g m a r i t hi nc h a p t e r2 ，w e o b t a i nt h er e s u l t so fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o 璐t ot h en t ho r d e rc o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e n l s ，b u tw eh a v et oa d d s o m ei n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o n st ot h en o n l i n e a r i t yh a w e v e r ，i n c h a p t e r3 ，ec a na l s oo b t a i nm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sw i t h o u tt h ei n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o n s a b o v et oac l a s so ft h r e 争0 r d e rt h r e e - p o i n ts l n g u l a rs e m i p o s i t o ee n g l e 删面u ep r o b l e m s n l r t h e r m o r e ，t h ec o r r e s p o n d i n gn o n l i n e a r i t ym a yn o th a v ea n ym o n o t o n i c i t 矿 k e yw b r d s ：c 0 n e ；p 0 8 i t i v es o l u t i o n s ；f i ) 【e dp o i n ti n d e x ；s i n g i l l a rs e m i p 0 8 l t o n e b o u n d a r yv 柏u ep r o b l e m s 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ：多火叉宁 二零零六年三月日 引言 非线性常微分方程是数学中一个古老而重要的分支，在自然科学领域与工 程技术中都有非常广泛的应用，而其解的存在性尤其是正解的存在性是应用和 理论中令人感兴趣的关键问题目前该类问题的处理主要涉及以下几类方法： 上、下解方法，古典变分法，大范围变分法( i 简界点理论) ，迭合度方法，半序 方法以及单调迭代法等等本文主要利用拓扑度理论来研究正解的存在性该 方法的思想就是将微分方程转化为积分方程，构造相应的全连续算子，将微分 方程解的存在性问题转化为算子的不动点的存在性，它起源于数学家希尔伯特 于1 9 0 4 年的发现1 9 3 2 年，l e r r a y s c 。乱d e r 不动点定理的发现标志着非线 性泛函分析的诞生，自此以后，用拓扑度理论研究常微分方程边值问题成为一 个重要方向但当时的文献并不多，原因就是拓扑度理论是用代数拓扑的语言 刻画的，难以直接用到分析上5 0 、6 0 年代以后，经过众多数学家的努力， 才使得拓扑度理论成为一个容易掌握的分析工具，并发现了许多有用的不动点 定理；同时出现了对于锥的讨论 4 5 】，特别是著名的k r n s n o s e i 锥拉压不动点 定理等结果的的发现，使得正解的存在性的讨论成为切实可行的7 0 年代， a m n 建立了锥上的不动点指数理论 4 6 ，从而使得关于正解存在性的工具和 内容更加丰富当然，直至现在，新工具和新方法还在断涌现，为国际上一个 热门问题 奇异微分边值问题起源于核物理，流体力学，边界层理论，非线性光学等 应用学科中( 见 2 】j 1 1 ，【1 3 】， 1 4 】) ，在研究椭圆型方程径向解时也有重要应用 1 2 有关奇异微分边值问题解的存在性，近年来也得到了广泛的研究( 见 1 3 0 1 ) 对 于奇异边值问题的研究，相对来讲还是较新的课题，据作者所了解，可追溯到 二十世纪六、七十年代对于二阶问题来讲形如 一z ”( t ) = ，( t ，z ) ， 。 t 1 ， ( 。1 ) lo z ( o ) 一p ( o ) = o ，可( 1 ) + d 可( 1 ) = o 的奇异边值问题已被广泛研究，其模型问题比如丁 n s f ”m i 方程，起源 于1 9 2 7 年；e m d e n f d 伽f e r 方程及广义的e m d 帆一f d 叫f e r 方程等上面给出 了一个非常一般的“r m 一工i 弛们f f e 边界条件，实际问题有时会对应一些特殊 边界进行研究，如狄利克雷边界条件，诺伊曼边界条件等例如：在1 9 6 7 年， 就有学者研究了方程 3 z ) ，+ 。( 。) z 一2 = o ，o 2 1 ， ( o 2 ) lz 7 ( o ) = o ，z ( 1 ) = a 的多解形态著名的b f n s t u s 方程 u + u ( “”) 2 ：o 可被转化成一个e m d e n f o ”f e r 方程进行研究ag o f f e 9 8 n 在1 9 7 8 年在研究 边界层理论时 2 】提出了方程 卜，( 幻= 掣川“引， ( 0 3 ) iz ( o ) = o ，z ( 1 ) = o ， s dt 。f i n ，e r r o 随后研究了一个稍微一般的形式3 1 卜。”( 归警一( 眯，1 ) - 呸k “，( 0 4 ) lz ( o ) = o ，z ( 1 ) = o ， 的奇异方程，并给出了解存在唯一的充要条件1 9 8 0 年， a g 甜f e 9 n r z 在流 体力学中( 1 3 】又找到了奇异微分边值问题的应用 1 9 8 1 年，e d l u n 撕9 和 w l p e r 聊对整个六，七十年代的研究状况进行了较详细总结 1 5 】，并补充完善 了某些已有结果事实上，正是从这一批工作开始，人们才逐渐意识到奇异边 值问题在研究非线性现象时的重要作用，从而使其在1 9 8 0 年后直至现在成为 一个热门的研究方向 1 9 8 8 年l e b 。觇s u d 等人( 见 2 】 2 5 ， 2 6 】) 对于更广泛的非线性项，在一定 程度上推广了s d 丁n f i n ，e r r o 的结果，同时首次考虑了，变号的情形随后的 一个较系统的方法由。，j w 和，m 撕“所提出，他们考虑了下面的模型问 2 题 _ z ，( 吖 ，甸，0 o 几乎与此同时， 1 9 9 4 年，p 。r i 矗日n 6 e s 和f o 觇oz n 扎o f 饥 6 】又做出了更好的结 果，成为该方向一个经典文献在1 9 9 2 年，a 礼o 礼i o 死n e o 讨论了更广泛形式 的狄利可雷边值问题 1 ，( ”= ，。，z 7 z ，) o “，( 0 6 ) lz ( o ) = o ，z ( 1 ) = o ， 他推广了1 9 8 8 年工e b o 觇s “d 等人在文章【2 】中的第一部分的结果，以及在其 以前二阶奇异正定问题文献中大部分结果，随后被r p _ a 9 n r ”。f 和d o7 兄n n 于1 9 9 8 年及其以后的 7 1 0 】所改进该方向该提到的还应有1 9 8 9 年vd 船e r 和p y n 托m 帆的文章【4 该文讨论了方程 j z ”( t ) = ，( t ，z ) ， o t 。，。 1 ，( 。8 ) iz ( o ) = o ，z ( 1 ) = o 、。 直到1 9 9 2 年才由a n 幻n 幻死n e d 的结果解决，且关于z 7 仅限于线性情形而问 题 ( o 9 ) 在1 9 9 3 年和1 9 9 8 年d o r e 9 n n 和兄pa 9 。r ”n f 结果以前不能被解决，即非线 性项关于变量z 在无穷远处为次线性增长或超线性增长以及其它更复杂的形 态，直到现在，对模型( o 9 ) 还有许多未解决的问题处理这类问题的思想方法 大都为拓扑横截定理，上下解方法，单调迭代法后来又发现了逼近序列法 即将奇异问题用正则问题来逼近，用正则问题的解来通过去极限得到原问题的 解1 9 8 8 年l e 口d 统s “d 等人，1 9 9 2 年a n 幻孔n e d 和1 9 9 8 年r p a 9 n r 叫o f 和 d d 7 r e 9 n n 是拓扑横截定理( 或三e r m y s c n u d e r 不动点定理) 与逼近序列法 相结合，p 咖z c 七h 。6 e s 和f 。兢oz n 扎。是将上下解方法与逼近法相结合无 论怎样，对于奇异性很强的边值问题，一般来说逼近法是不可少的当然，如 果不是太强的奇异性，我们可适当运用锥上的不动点定理来处理该类问题从 1 9 9 8 年开始，r p a 9 n r w n f 和d d g n n 发表了一系列的文章，通过逼近序列 法与其他各种办法结合来研究非线性奇异正定或半正定狄利克雷边值问题，斯 图姆一刘维尔问题以及非线性边界值问题但是，他所处理的非线性项当允许 变号时必须要有下界，对于变号无下界的情形不能处理 本文主要考虑了奇异半正定边值问题的正解存在性在本文第一章，作者 去掉了非线性项非负有下界这一限制，这是第一处与以往绝大多数文献所不同 的；其二，我们的方法与以往常用的处理该类问题的方法不同，是逼近法与不 动点指数理论相结合其三，我们的条件更容易验证一些应当说明，我们没 有考虑斯图姆一刘维尔问题以及非线性边界值问题，前者一般可以平行照搬， 后者则不然当奇异性很强时，对半正定边值问题难以得到多个正解但是， 4 矽 卢 z 幻 一 ， l 0 “卜皓m r 哦 i | = 。q州 ，-f1l 在本文的第三章，对于相应的特征值问题，却可以得到多个正解我们以一个 三阶三点边值问题为例【4 0 一4 4 ，在非常自然的条件下，得到了两个正解，而且 去掉了大多数文献中的单调性的限制上述结果，可以较容易的推广到二阶， 三阶的各种边值条件，具有一定的一般性 但是对于更高阶的边值问题，由于边值条件复杂性，我们的方法难以做到 这一点我们在适当加强了奇异性的要求后，对于高阶共轭边值问题得到了问 题多个正解由于我们对于格林函数做了更细致的估计以及采用了新的技巧， 从而可使得比之以往文献，这里的非线性项可具有更强的奇异性高阶共轭边 值问题的研究同样起源已久它是予1 9 6 5 年冗a r 拈研究化学反应理论时所提 出的数学模型开始时，并没有计算出相应的格林函数的表达式，仅仅借助于 各种估计来处理解存在性问题由于没有明确表达式，结果并不好，并且绝大 多数文献 3 0 一3 9 1 是对于非奇异正定问题来考虑正解存在性的事实上，2 0 0 3 年才有了第一篇半正定边值问题的文献 3 4 】9 0 年代末，人们发现了格林函数 的表达式，结果才有了进步和改进但仍没有克服奇异太强时所带来的问题 本文第二章在非线性项有一定奇异性，并且允许变号无下界的情形下得到了共 扼边值问题的多个正解，这在以往文献中未见报道，所以我们的结果是较为新 颖的需要说明的是，我们的方法同样适用于其他高阶边值问题，如r i g 胁f o c n f 问题，( n ，p ) 问题，以及l i d s o 札e 问题等，因而具有一定的一般性 本文没有考虑常见的四阶问题，其主要模型是梁方程 z ( 4 ( f ) = ， ，z ，z ”) ，o t 1 ， n 1 札( o ) 一6 1 “7 ( o ) = c 1 札( 1 ) + d l 札7 ( 1 ) = o ， ( o 1 0 ) 0 2 “”( o ) 一趾”( o ) = c 2 让”( 1 ) + d 2 钍删( 1 ) = o 但正如前面所强调的，只要是将其转化为了积分方程，凡是用非线性泛函方法 所得结果大多是可以照推的，这是接近问题本质的部分，这是相当重要的当 然，有的结果不行，比如充分结合了方程的特性像极大值原理，解得先验估计 等，此时所得结果是较精致的，也是深刻的 本文的符号与所用定理不在此重复列出，各章节均有详细说明 5 第一章奇异半正二阶边值问题的正解存在性 本文研究了二阶奇异半正边值问题： 鼢裂小 - ， 的正解的存在性其中非线性项，可取负值，且可没有下界并且在允许，在 扛o ，扛1 ，u = o 处有较强奇异性的情形下，获得了上述问题正解存在性 1 1预备知识及引理 关于二阶非线性常微分方程 r j z “( 。) = ”，。) ，o 。 1 ， iz ( o ) = z ( 1 ) = o 正解存在性的研究已有诸多结果文献 1 5 】在非线性项，非负的前提下讨论 了这一问题，文献 7 1 0 】在，有负的下界的情形下讨论了该问题及其特征值 问题的正解及多个正解的存在性文献 17 j ， 6 j j 放松了该要求，但是要求非线 性项，具有一定的可积性，这限制了结果的运用本文利用新的技巧，去掉了 这一限制，在，没有负的下界的情形下得到了正解存在性，我们的结果允许， 在忙o ，扛l ，“= o 处奇异性可以更强，从而改进和弥补了已有文献中的结果 的不足最后给出例子来说明我们结果的合理性 令g ( ，s ) 表示相应的齐次边值问题： f 焉篡。“ 6 ( 1 3 ) 的格林函数，其可被明确表示为( 参见文献【4 7 】) g 。) ：i 印_ s ) ls ( 1 一t ) 0 s 0 s 引理1 1 格林函数g ( t ，s ) 满足以下性质： ( 1 ) g ( t ，) g ( s ，s ) g ( ，s ) sg ( s ，s ) ( 2 ) g ( ，s ) = g ( s ，f ) ；m a x ( t ，。) j 。，g ( t ，s ) = j ； ( 3 ) 对于任意的s ，函数吕潞在( o ，1 ) 上关于连续且一致有界 证明：只证明( 3 ) 固定s ，我们有： 。崦渊5 三= ：鬈三：二：差i 卜s 】。：手1 。蟀粼= 怯二： 0 s 1 s = 1 由数学分析结果知鲁措在( o ，1 ) 0 ，l j 上一致连续，并且s u p 吲。，) g 躲关于 s o ，1 】是连续的口 注1 1 从上面的证明过程容易知道s u p 吲。，。) g 潞s1 恒成立 为了行文的方便，我们给出以下假设： ( h - ) 非线性顼，( t ，z ) 满足 p ( t ) o ( z ) ，( ，z ) + 血( ) sg ( t ) ( 夕( z ) + ( z ) ) 其中9 c ( ( o ，) ，( o ，。) ) 是递减的， ， o g ( 月+ ，兄+ ) 是递增的， g ( ( o ，1 ) ，r + ) 满足詹s ( 1 一s ) p ( s ) + n ( s ) + s ( 1 一s ) q ( s ) d s 2 詹o ( s ) d s ，使得 者z ；志幻知，叫如胁9 ( r ) + ，l ( r ) 7 09 ( s ) j i “”“” 7 | f 高 岛 妇 | f = 揣黼 ( 凰) 存在【q ，明c ( o ，1 ) 使得 h m 垒盟：+ o 。 z 一+ o 。z 在 a ，冈上一致的成立 令n ( ) c o ，1 】，那么边值问题 l z ”( t ) = 。( t ) ， o 1 ， 1 印) 叫1 ) ：o ( 1 4 有一个唯一解l n ( t ) 可表示为： l 8 ( 。) 2j cg ( # ，s ) 。( s ) d s ，z f 0 7 1 】 由上面的结果我们可得 蜊= 和如磁s ) d s 蚓“) z 1 渊0 ( s ) d s g ( “) z 1 ，昌嚣巾冲 g ( t ，t ) a 其中4 = 詹n ( s ) d s 为一个常数 令，= 【o ，1 ，e = c ，捌，那么e 为一个口。m c 空间，范数为忪l i = m a x 州i z ( t ) l p = z e ：z ( t ) 2o ，v t ， ，q = z p ：z ( t ) 兰g ( ，) i izi j ，耽) 显然 p ，q 是e 的两个锥 助+ ，考虑问题( 1 2 ) 相应的辅助边值问题： 0 1 z ( ) 0 z f t ) o ( 1 5 ) + 一 q 似、 | | 鬈d = 0 = 。1荆 ，ll_-，、i_ & = 砂中其 ，l + l 7 f ，l 8 0 + 8 z 1 一， t ， ，ll_jc，_l【 = 1一， + z 片 容易得到l i 圳= | l o ( t ) 峪ai lg ( t ，t ) 1 f + o o 易于知道z ( t ) 是( 15 ) 的解当且仅 当其满足积分方程： z ( ) = z 1 g ( ) 片( s ，z ( s ) 一荆+ ) d s ，z “ ( 1 6 ) 定义算子a ，为 ( 如z ) ( t ) = z 1 g ( t s ) 嚣( s ，z ( s ) 一( s ) + ；) d s ( 17 ) 引理1 2 假定( 研) 成立，则对每个j ，4 ，：q + q 为一个全连续算 子 为了证明该引理，我们采用一个典型丽有效的技巧证明下面的命题 命题设函数f ( t ，z ) c ( ( o ，1 ) f 0 ，。o ) ， o ，。) ) ，并且满足 f ，z ) q ( ) ( z ) ，t ( o ，1 ) ，z o ，。) g ( t ，s ) 如前所定义， 詹g ( s ，s ) g ( s ) d s 。， ( s ) e ( o ，+ o 。) ， o ，。) ) ，那么积分算 子死( t ) = 岳g ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ) d 8 在锥q 上是全连续的 证明：对竹三2 ，定义函数列和算子序列 fi n f f z ) ，f z ) ) ， o o 及z ， b z ( z ) 一丁z 0 ) i = l 詹( f ( s ，z ( s ) ) 一f 二( s ，z ( s ) ) 】g ( ，s ) d s s 倚ff ( s ，z ( s ) ) r ( s ，。( s ) ) ig ( s ，s ) d s + ，】j if ( s ，z ( s ) ) 一r ( s ，z ( s ) ) ig ( s ，s ) d 8 9 詹2 p ( s ) ( z ( s ) ) g ( s ，s ) d s + 让j2 p ( s ) ( z ( s ) ) g ( 8 ，s ) d s o m _ o 。) 这里我们用到了( 马) 和事实g ( ，s ) g ( s ，s ) ，s o ，1 】t 所以霸当n + 。 时，死一致收敛到? ，从而t 是一个q 上的全连续算子 口 由于对于每个j + ，嚣( s ，z + ) e ( ( o ，1 ) x o ，o o ) ，【o ，。) ) 由该命题容易证 得引理12 成立 所以，z q 为( 1 5 ) 的一个解若z 为如在q 上的一个不动点下面我们 来考察如不动点的存在性 1 2主要结果及证明 引理2 1 假定( 风) ，( 凰) 成立，则有 。( a ，q ，q ) = 1 ，w 其中q ，= z q ：| | z | j r ) 证明：由引理2 1 ，对每个j ，岛：q + q 为一个全连续算子我们断 言 z ( a j ( z ) ) ，v 弘 o ，1 j ，z a q ， 不然，存在z o a q ，p o o ，1 使得 z o ( ) = 芦o ( a j z o ( ) ) ，v ， 注意到黝q 并运用引理2 1 ，可得 z 0 ( t ) 2g ( t ，) | jz o | | = r g ( ，) 而 ) = 驯f ) g ( f ，伽茎等以味v 0 ，1 a = z 1n ( s ) d s 1 0 于是我们j 得 引旷) 2 ( 1 一孚) 吲t ) ( ) ；叫) ， o ，1 ( 1 8 ) 这蕴涵着 删，邢) 一) + ) = ，邢) 一) + ；) + ) ( 1 9 ) 由z o ( ) = p 。( a ( t ) ) ，j ，通过直接计算及( 1 9 ) 知 j z ：( 。) = p 。 ，( 。，z 。( 。) 一妒 ) + ；) + 。( 2 ) ，o 。 o ，满足 令 我们断言 o ( z ) a ，( z ) ，z ，玷 r 捣 q i l 一口l p z a ( z ) ，b 7 芦( o ，1 】，z a q 月 不然，存在z o a n 冗，m ( o ，1 】使得 l o z o ( ) = a j z o ( 亡) ，v j 1 2 由( 风) 知道，必存在 ( 1 1 7 ) 注意到z o q 并运用引理2 1 ，可得 z o ( t ) g ( f ，t ) f 。of l = 兄g ( t ，t ) z 。( t ) 一( t ) ( 1 一龛) z 。( ) ；( ) 2 ；兄g ( f ，班 0 ，1 】 这蕴涵着 ( t ) 一庐( ) 兰；鼢( 1 一口) 玩，耽( 。，明 由上面的结论可得 ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) z o ( t ) = p i l 詹g ( ，s ) ，( ，z o ( s ) 一妒( s ) + ) + o ( s ) 】d s 尉g ( ，s ) p ( s ) o ( 。o ( s ) 一( s ) + ) d s 层g ( ，s ) p ( s ) 危o ( z o ( s ) 一( s ) + ) d s 兰m 删一声) 臂g ( f ，s ) 荆d s 。 ( 1 - 2 0 ) 彳r o ( 1 一) m i n t h 口i 岩g ( ，s ) p ( s ) d s 之兄，v ( n ，卢) 这与跏a q 月矛盾从而命题得证口 定理2 1 假定( 玩) ，凰，( 吼) 成立，则边值问题( 1 2 ) 至少有一个正解 证明：由引理2 5 2 6 和不动点指数的可加性，可以得到 z ( 鸟，q 冗q r ，q ) = i ( a ，q r ，q ) 一i ( 乌，q ，q ) = o 一1 ：一1 再由可解性知必存在q r ，使得 a 3 。，= z | 1 3 sds 缸 ，厶 | | al00v 0 0 z a r 一 a 0p g 一 曲 0己 i | 幻 咖 得可j我是 而 于 于是近似问题( 1 5 ) 至少有一个正解 下面证明 ( t ) ) 为一个一致有界等度连续函数族 由z ，的性质，易知 r ( 1 一t ) 茎( ) sr ( 12 1 ) 再类似于( 1 1 1 ) 的推导可以得到 一z ：( t ) = ，( f ，巧0 ) 一妒( ) + ；) + 。( ) sq ( t ) 陋( ) 一声( t ) + ；) + 9 ( z ( ) 一咖( t ) + ) ( 1 2 2 ) 墨q ( t ) 9 ( j z o ( t ) ) 迎号筹业，v t ( o ，1 ) 首先来考虑区间噶乳结合( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 式及微分中值定理，可得z ；( t ) 在【 ，；】 上一致有界从而q ( ) 在区间晦j 1 上是一个列紧函数族由a s c 。托一加。e 缸定 理知存在正整数的子序列3 及一个函数驰c 嗡； ，使得 z j ( t ) - + 蜘，j ，+ 。，j a j 类似的，码( t ) 在区间bi 上是一个列紧函数族。存在3 的子序列3 及 一个函数珈g 晦i ，使得 z j ( t ) - + 瓠，j ，+ 。，j 4 注意到玑( t ) = 可。( t ) ，t 晦；】，由于4 3 依次进行同样的步骤，可得自然数集序列 和函数列 满足 以及 32 42 2 帆2 虻g ；，- 一；1 巧( f ) ，玑，j 一+ 。，j 帆 l 一七 一l 1 一七 4 、j l y | | 、j +k剪 定义一个函数z ：( o ，1 】，( o ，+ o 。) 满足z ( t ) = 玑( ) ，t 嗡1 一】，z ( o ) = z ( 1 ) = o 显然z ( t ) 在整个j 上是有定义的 下面固定( o ，1 ) ( 不失一般性，假定t ；) 并取定m 1 ，2 ，满足 去 o 口 1 3应用举例 例3 1 考虑边值问题 一z ”( ) = 掣( ；+ z 2 ) 一n ( t ) ，。 l ，( 12 4 ) lz ( o ) ：z ( 1 ) _ o 卜“ 1 5 兵甲0 a 2 ，0 2 n c t ，= ；。三兰亍击； 证明只需取r ：1 ，p ( ) = q ( ) = 竖， ( z ) = ( z ) = z 2 则有 。1s ( 1 - s ) p ( s ) d s = z 1s ( 1 一s ) g ( s ) d s = z 1 s 1 一“( 1 一s ) 1 4 m 一1 d s o 。 上s ( 1 一s ) p ( s ) d s 2 上5 ( 1 8 ) g ( 8 ) d s 2 z5 1 - “( 1 8 ) 。“m - 1 d 5 2 詹o ( s ) d s = j ， 者j ( 5 高如= 知小t 叫出肛击弋t 叫郸如 当m 充分大时，上式显然成立 于是定理2 1 保证该问题至少有一个正解 其中 例3 2 考虑边值问题 卜z ，( 归呼( 士) 叫味。 2 詹n ( s ) 如= ；，使得 鼎j ( 5 嘉如= 专知叫嘞s 当充分大时，上式显然成立 于是边值问题( 1 2 5 ) 至少有一正解 1 6 第二章奇异半正定高阶共轭边值问题多个正解存在性 本文研究了高阶奇异共轭边值问题 矿( 0 ) = 0 ，i = 0 ，1 ， 妒( 1 ) = 0 ，j = o ，1 1 ，( 2 1 ) 南+ 1 其中扎2 ，1s 七n 一1 ，：( o ，1 ) ( o ，+ 。) ，r 为连续的，可取负值，且 可没有下界，并且允许在扣o ，扛1 ，z = o 处为奇异的我们的方法主要是借 助于锥上的不动点指数理论和l e 6 e s g u e 控制收敛定理 2 1预备知识及引理 本文讨论了高阶奇异共轭边值问题 ( 0 ) = 0 ，z = 0 ，1 ， 驴( 1 ) = o ，j = o ，l ， 1 ，( 2 2 ) 七+ 1 其中n22 ，1 茎n 一1 ，：( o ，1 ) ( o ，+ o 。) + r 为连续的，可取负值，且 可没有下界，并且允许在扣o ，扣l ，z = o 处为奇异的这种问题在化学反应 理论中大量出现( 见文献 3 4 】及那里的资料) 对于非线性项，非负时情形的研 究已有大量文献 3 0 】【3 2 l 3 7 1 等而当，不是非负函数时，对于其正解的讨论 却很少见( 3 4 ， 3 1 】) ，文献f 3 4 】在，有负的下界的情形下讨论了该问题正解，文 献( 3 1 】去掉了这一限制，对于相应的特征值问题 扩( o ) = o ，i = 0 ，1 ，一，一1 ， z ( 1 ) = o ，j = 0 ，1 ，- ，”一七+ 1 1 7 f 2 3 1 其中n 芝2 ，1s 女sn 一1 ，：( o ，1 ) ( o ，+ 。) + r 为连续函数，在a 合适的范 围内，得到了单个正解的存在性本文则在适当的假设下，在，没有负的下界 的情形下得到了问题( 2 1 ) 多个正解的存在性 令g ( ，s ) 表示相应的齐次边值问题 ( 一1 ) “一七z ( “( t ) = o ， o f 1 ， ( o ) = o ，i = o ，1 ，一，七一1 ( 2 4 ) 一( 1 ) = o ，j = 0 ，1 ，一，n 一+ 1 其中札2 ，1s 七n 一1 的格林函数，其可被明确表示为( 参见文献【3 2 】) g ( t ，s ) 满足下面的性质【3 1 3 2 】： q ( ) t ，( s ) sp ( ，s ) 曼( t ) t ，( s ) sj ( s ) ，os ，s 1 q ( t ) j ( 5 ) q ( ，5 ) p ( t ) j ( s ) sj ( s ) ，os ，ss1 0 t s ： o s 1 o 【t ) 【5 js “【，s ) 曼( ) 【s ) s 【s j ，u 三t ，ssl ； 其中， 邮) = 竽1 雕) = 器s t ，= 若蔫， 注1 1 由于g ( t ，s ) 在 o ，1 】2 上连续，那么v s o ，1 】固定，存在盯( s ) ( o ，1 ) 使得g ( 口( s ) ，s ) ：m a x 蚓0 1 lg ( t ，s ) ，且g ( 口( s ) ，s ) 在5 ( o ，1 ) 上为连续的 引理1 2 设函数z ( ) 在开去间( a ，6 ) 上连续，两个单侧极限z ( n + o ) ，z ( 6 一o ) 存在，那么r ( ) 在( 。，b ) 上有界 1 8 卜旷菇飞 踹踹蘸 聊 引理1 3 对于任意的s j ，函数搿在( o ，1 ) 上关于连续且一致有界 证明：固定s ，我们有： 。噪掣= f 赛可b 弋h 圪羔g 。蟀掣= f 砸与苦可 s = 1 、 0 墨s 1 由引理1 2 ，命题成立 注1 2 由引理证明知，号辫在( o ，1 ) o ，1 上一致连续并且s u p 吲吣) 辫 关于s 【o ，1 是连续的 注1 3 由上面的证明过程知 掣f 蒜去可s “- 1 ( 一广1 m 洲n ( t ) 一( 七一1 ) ! ( 礼一一1 ) ! “”一 引理1 4 假定z 伊( o ，1 ) n 伊 o ，1 ) n 伊一( o ，1 l 詹i z ( ”( ) i j ( t ) 出 + 。，满足 问题( 3 2 ) 的边界条件并且 那么，z ( t ) 磐i lzl l ，t 0 ，1 】”i l 表示c o ，1 】的范数，阮= m a x 吲吣】( t ) f ! 二! ) ! 二! 生二! 二! ! = 二! 二! 1 m i n 七，n 一 加一2 ) n 一2 二1 为了行文方便，我们给出以下假设： ( 峨) j ，( ) c ( o ，1 ) 是一个连续函数满足 o ( ) o ( ) 茎，( ，可) + p ( t ) s 西( t ) ( g ( 可) + h ( 可) ) 咖o ，咖g ( ( o ，1 ) ，( o ，+ 。) ) ，9 g ( ( o ，1 ) ，( o ，+ o 。) ) ， g ( r + ，r + ) ，r + = o ，+ ) g 为单调递减的，h 。， 为单调递增的 ( 凰) 存在，p ( o ，1 ) ，对任何正数女。， n 驴( s ) 1 9 ( 。n ( s ) ) + + 如( s ) ) d s z 1 ) 9 ( 。a ( s ) ) + 驴( s ) + ) s n _ h ( 1 一s ) 娜d s u 。 墙及某个? 7 ( ；，1 ) 满足 。黑。( 。以。锄( 8 ) ，( 5 ) 枞。眵) “= 1 ，2 令，= o ，1 ，e = c ，嗣，范数为忪忙m 嘁。，lz ( ) i ，则容易知道e 为个 b n o c h 空间再令p = z e ：。( 0 o ，) ，q = p p ：z ( t ) 磐i iz | | ，) 显然p ，q 是e 的两个锥 由于p g ( o ，1 ) 且满足( 也) ，那么根据格林函数的性质知边值问题 ( 一1 ) “一2 z ( ”( ) = p ( ) ， o t 1 ， 扩( o ) = o ，z = 0 ，1 ，一1 ( 2 5 ) 一( 1 ) = 0 ，j = o ，l ，一，n 一南+ 1 其中n 2 ，1 七n 一1 有一个唯一解却( t ) 可表示为： ，】 功( ) = g ( ，8 ) p ( s ) d s ，t j j i i 引入记号 陋( f ) j + = m 馘 z ( 妨一l p ( t ) ，去r 0 0 ( f ) ) v m + ，考虑问题( 2 1 ) 相应的辅助边值问题： ( 一1 ) “一z ”1 ( t ) = ，( ，p ( ) r + 去) ， o t 1 ， 扩( o ) = 0 ，i = 0 ，1 ，一1( 26 ) z ( 1 ) = 0 ，j = o ，1 ，一，竹一后+ l 易于知道z ( t ) 是( 2 6 ) 的解当且仅当其满足积分方程： ，1 z ( f ) = 二g ( 。，s ) ，( s ，p ( 。) j + + 素) d s ， ( 2 - 7 ) m l ll 2 0 定义一列算子：尸，g o ，1 ( 洲= 上1g ( 如) m r + 去) + p ( s ) d s ( 2 8 ) 引理1 6 假定( 风) ，( 凰) 满足，那么：尸，q 为一全连续算子 证明：由于( t ) j ( s ) sg ( t ，s ) 母( ) t ，( s ) ，o 曼t ，s 茎1 ，v s ，则v s ，t ，t ， 可得 詹g ( t ，s ) ，( s ，【z ( s ) 】+ 去) d s 2j o ( ) j ( s ) ，( s ，眵( s ) 】+ + 刍) d s a ( ) 蔚j ( s ) ，( s ，p ( s ) 】+ + 击) d s q o ) 姑丑费考生，( s ，扛p ) l + + 去) 如 f 2 9 1 a ( ) 君磊孙，( s ，p ( s ) + + 击) 4 s 磐君g ( r ，s ) ，( s ，p ( s ) 】+ + 击) d s 磐l i z 从而知道：q q 同时由于( 日，) ，( 凰) 对任意的z 只忪临m ，得 詹g ( ，s ) ( s ) 陋( p ( ) r + 去) + 9 ( p ( t ) 】+ + 去) d s 詹g ( ，s ) 妒( s ) 陋( 彳+ ) + 9 ( j 场a ( s ) ) d s 蔚芦( t ) j ( s ) ( s ) 陋( a 彳十；) + g ( 争q ( s ) ) 】d s 詹j ( s ) 砂( s ) 陋( f + 1 ) + 夕( j _ r o a ( s ) ) 】d s e ( 时) ，觇 o ，1 1 f 2 1 0 ) 这说明算子，v m + 是有界的 再借助于，( 。，b ( s ) r + 去) g 1 ) r + ，r + 】及其具有的可积性可以得到 ( 加) ，( 归曩，州，( s 俐r + 去) + p ( s ) 】d s + z 1 爰脚) h 去) 州s ) 眠 1 f 2 1 1 ) 2 l 一 一 一 一 一 sd h l m + 、j s ，【 zs ，【f ， 、j s ，【 g m 首先我们假定n 一2 ，那么可计算得 i 袅p ( t ，s ) i e t 一1e ( 1 一z ) 七一1 ( s f z ) ”一七一1 d 。+ e 驴f ( 1 e t 一1 ( 1 一s ) 2 s “一一1 + g 萨( 1 一s ) 8 s “一一2 g 驴一1 ( 1 一s ) s “一。一1 ，o sss1 ( 2 1 2 ) 当n 一= 1 时