（应用数学专业论文）分数布朗运动环境下的最优投资消费问题研究.pdf

摘要 金融数学是人们用数学方法和数学工具研究解决金融问题的一门交叉学科自 二十世纪中期以来，金融数学的研究越来越引起人们的重视最优投资组合和最优投 资消费问题是金融数学的核心问题之一，它主要解决投资消费者如何在非确定性的 环境中使其效用最大化以前许多学者在假定标的资产价格遵循由布朗运动驱动的 随机微分方程情形下研究最优投资消费问题，但是经过大量理论和实证分析，一些学 者发现用分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述标的资产价格将更符合实际本 文就是在假定标的资产价格遵循由分数布朗运动驱动的随机微分方程情形下对最优 投资消费问题及最优增长率进行了较系统研究全文分为七章 第一章绪论，主要介绍了最优投资消费理论的历史及研究现状，本文选题的依据， 以及本文研究的主要内容 第二章，我们首先介绍了分数布朗运动的概念、性质以及关于分数布朗运动的随 机积分理论的基本结果其次，介绍了拟一条件期望的定义以及分数布朗运动函数的 拟一条件期望的计算公式 第三章在分数布朗运动环境下，对单资产单噪声情形下最优投资组合问题以及 最优消费资产组合问题进行了较系统研究假定标的资产价格满足由分数布朗运动 驱动的常系数随机微分方程，利用分数布朗运动的随机分析理论方法，在给定效用函 数为对数效用函数条件下，得到了最优投资组合问题以及最优消费资产组合问题的 显式解 第四章在分数布朗运动环境下，研究了单资产多噪声情形下最优投资组合问题 假定标的资产价格遵循多维分数布朗运动驱动的常系数随机微分方程，在给定效用 函数分别为幂函数、对数效用函数条件下，得到了最优投资组合问题的显式解 第五章在分数布朗运动环境下，讨论了单资产多噪声情形下最优消费资产组合 问题假定标的资产价格遵循多维分数布朗运动驱动的常系数随机微分方程，在给定 效用函数分别为幂函数、对数函数条件下，得到了最优资产组合问题的显式解 第六章研究了分数布朗运动环境下最优增长率问题假定标的资产价格满足由 分数布朗运动驱动的常系数随机微分方程，分别讨论了在单资产单噪声情形下最优 增长率问题以及单资产多噪声情形下最优增长率问题 第七章，总结了本文所研究的主要结果，并提出还需进一步研究的一些问题 关键词：分数布朗运动、w i c k 积、拟条件期望、效用函数、最优投资组合、最优 消费资产组合、最优增长率 s t u d i e so np r o b l e m so fo p t i m a li n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o ni n f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t a b s t r a c t f i n a n c i a lm a t h e m a t i c si sa l li n t e r c r o s s e ds u b j e c tt h a tm a t h e m a t i c a lm e t h o d sa n d m a t h e m a t i c a lt o o l sa r eu s e df o rs t u d y i n ga n ds o l v i n gf i n a n c i a lp r o b l e m s s i n c et h em i d d l e o f2 0 t hc e n t u r y , p e o p l ep a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt ot h ef i n a n c i a lm a t h e m a t i c s o p t i m a l i n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o np r o b l e m sa r et h eo n e o fc o r ep r o b l e m si nf m a n c i a lm a t h e m a t i c s ， w h i c hm a i n l ya n s w g rh o wt om a x i m i z eu t i l i t yf o ri n v e s t o r si nu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t s o m es c h o l a r ss t u d i e dt h eo p t i m a li n v e s t m e n t c o n s u m p t i o np r o b l e m sa n da s s u m e dt h a tt h e a s s e tp r i c ef o l l o w e dt h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd r i v e nb yb r o w n i a nm o t i o nb e f o r e ， b u tt h e o r e t i c a la n de m p i r i c a lr e s e a r c hs h o wt h a tt h ea s s e tp r i c es h o u l do b e y st h es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o nd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n , b c a u s ei tm o r ea c c o r d sw i t l l t h er e a lw o r l d i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w em a k eas y s t e m i ci n v e s t i g a t i o nf o rt h eo p t i r n a l i n v e s t m e n t - c o n s u m p t i o na n do p t i m a li n c r e a s er a t ew h e na s s e tp r i c es a t i s f yt h es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o nd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n t h i st h e s i si n c l u d e ss e v e n c h a p e r s i nc h a p e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dc u r r e n tr e s e a r c hf o ro p t i m a li n v e s t m e n t c o n s u m p t i o n , t h eb a s i so f s e l e c t e dt o p i ca n dt h em a i nc o n t e n to f t h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ed e f i n a t i o n , p r o p e r t i e sa n db a s i ci n t e g r a lt h e o r y o ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n t h e n ，w ep r e s e n tt h ed a f i n i t i o no fq u a s i c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o na n di t sf o r m u l af o rf u n c t i o no ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h eo p t i m a lp o r t f o l i oa n do p t i m a lc o n s u m p t i o np o r t f o l i o p r o b l e mf o rs i n g l e - a s s e ta n ds i n g l e n o i s ei nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i n w h e na s s e r tp r i c e o b e y ss t o c h a s t i cd i f e r e n t i a le q u a t i o n 、撕mc o n s t a n tc o e f f i c i e n ta n df r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n , w eo b t a i nt h ee x p l i c i ts o l u t i o n so fo p t i m a lp o r t f o l i oa n do p t i m a lc o n s u m p t i o n p o r t f o l i op r o b l e mu n d e rt h eg i v e nu t i l i t yf u n c t i o nb yt h es t o c h a s t i ca n a l y s i st h e o r i e so f f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h e o p t i m a lp o r t f o l i op r o b l e mf o rs i n g l e a s s e ta n d m u l t i n o i s e inf i a c t i o n a lb r o w n i a nm o i l o n a s s u m ea s s e tp r i c ef o i l o wt h es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 、i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n ta n dm u l t i d i m e n s i o nf r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n ，w eg a i nt h ee x p l i c ts o l u t i o n so ft h eo p t i m a lp o r t f o l i op r o b l e mu n d e rg i v e nu t i l i t y f u n c t i o nw h i c hi sp o w e rf u n c t i o no rl o g a r i t h mf u n c t i o n i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h eo p t i m a lc o n s u m p t i o np o r t f o l i op r o b l e mf o rs i n g l ea s s e ta n d m u l t i n o i s e inf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n w h e na s s e tp r i c ef o l l o wt h es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 、i t l lc o n s t a n tc o e f f i c i e n ta n dm u l t i d i m e n s i o nf r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n , w ep r e s e n tt h ee x p l i c ts o l u t i o n so ft h eo p t i m a lc o n s u m p t i o np o r t f o l i op r o b l e m u n d e ru t i l i t yf u n c t i o nw h i c hi sp o w e rf u n c t i o no rl o g a r i t h mf u n c t i o n i nc h a p t e r6 ，w ed i s c u s st h eo p t i m a li n c r e a s er a t ep r o b l e mi nf r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o ne n v i r o n m e n t a s s u m ea s s e tp r i c ef o l l o wt h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h c o n s t a n tc o e f f i c i e n ta n dd r i v e nb yf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，w eg e tt h ee x p l i c ts o l u t i o n s o f t h eo p t i m a li n c r e a s er a t ep r o b l e mi ns i n g l e - n o i s ea n dm u l t i n o i s es e t t i n g i nc h a p t e r7 ，w es u m m a l q _ z e dt h em a i nr e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o na n dp o i n t e do u t s o m ei s s u e su n s o l v e d l iq i a o y a h ( m a t h e m a t i c & a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c 、 d i r e c t e db yp r o f e s s o rx u eh o n g k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n , w i c kp r o d u c t ，u t i l i t yf u n c t i o n s ，o p t i m a l p o r t f o l i o ，o p t i m a lc o n s u m p t i o np o r t f o l i o ，o p t i m a li n c r e a s er a t e 西安工程大学学位论文知识产权声明 本人完全了解西安工程大学有关知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 学位论文工作的知识产权归属西安工程大学。本人保证毕业离校后，使用学位论文工 作成果或用学位论文工作成果发表论文时署名单位仍然为西安工程大学。学院有权保 留送交的学位论文的复印件，允许学位论文被查阅或借阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名：李7 弓把 指导老师签名：一一而名 日期： 叩- 7 7 p 西安工程大学学位论文独创性声明 禀承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的学位论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，学位论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，不包括本人 已申请学位或他人已申请学位或其它用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研 究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了感谢。 学位论文与资料若有不实之处，本人承担相关责任。 学位论文作者签名：嚯o 1 b 4l 、 日 期。o o - 0 3 1 7 第1 章绪论 绪论 1 1 最优投资组合以及最优投资消费理论的历史与研究现状 雍炯明、刘道百【l 】指出：“金融数学是运用数学工具来定量研究金融问题的一门学 科，其主要内容有：市场的描述以及一些基本性质的讨论，资产( 包括各种金融衍生证 券) 的定价、投资一消费效益的最优化等等” 用数学方法研究金融问题可追溯到二十世纪初1 9 0 0 年，法国学者路易斯巴谢利 耶( l o u i sb a c h e l i e r ) 发表了名为投机理论的博士论文 2 1 ，首次对b r o w n 运动给出了 精确的数学描述，“这宣告了数学金融学的诞生”【l j 1 9 5 2 年m a r k o w i t z 发表了题为“资产组合选择的均值方差理论”的博士论文 3 1 他 将资产组合的价格看作是随机变量，以其均值衡量收益，以其方差衡量风险，其主要 思想是：给定风险水平使得期望收益最大，或者给定期望收益水平使得风险最小，即 为一个带约束的最优化问题，它标志着现代金融学的开始，也是公认的现代金融学经 历的第一次革命随后，s h a r r t 4 】l i n t n e r l 5 】和m e r t o n 6 1 进一步拓展了m a r k o w i t z 的工作， 提出了“资本资产定价模型”( c a p t i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ) ，简称为c a p m ，即所有风险 资产的期望收益率是它们与市场证券组合协方差的线性函数 1 9 7 3 年，两位伟大的金融理论家与务实家f i s h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 发表了 他们的著名论文“期权定价与公司债务”( t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t y ) 口】 给出了欧式期权定价的显式表达式即著名的b l a c k s c h o l e s 公式这是现代金融学的 第二次革命的标志不久，m e r t o n 在【8 】中减弱了该理论所依赖的条件，使其更符合实 际 近年来，金融数学迅速发展，尤其是一些现代数学理论和方法，如随机分析、随 机最优控制、随机微分方程、偏微分方程、鞅理论、非线性分析、凸分析、对偶理论、 多元统计和现代计算方法等的应用，使得金融数学成为当今发展最快的应用数学之 对于投资组合理论，它主要是沿着两条主线向前发展：一方面，仍然沿用 m a r k o w i t z 的基本思想：均值方差分析法( 简称m v 分析法) ，经历了从单阶段到多阶 段再到连续时间的发展过程m v 方法的优点是直观、容易被接受因此在实际应用 中非常广泛m v 方法的不足是假设的市场比较简单，不能细微地反映出实际市场的 复杂变化情况另外，m v 方法单纯地考虑投资者的投资行为，没有考虑到投资者的 消费以及消费对投资可能的影响另一方面，在m a r k o w i t z 的基本思想的基础上又产 生了一种新的思想一效用思想，亦称为效用函数方法效用函数法就可以将投资者息 息相关的两种行为：投资和消费结合起来考虑通常把这类既考虑投资者的投资又考 第1 章绪论 虑他的消费的问题称为投资消费问题效用函数法的提出使得一系列现代数学理论， 如鞅方法、随机控制理论、倒向随机方法理论、随机微分与对策理论的最新成果可以 应用到现代金融理论，处理一些复杂的实际情况，弥补了m v 方法的不足因此效用 函数方法是均值一方差的推广和发展实际上，当效用函数为二次函数，不考虑消费， 效用函数方法就等价于均值一方差方法” 所谓投资消费问题，确切的说就是投资者选择最优资产组合使自己的财富增加， 并通过消费这些财富使自己效用最大它是采用效用函数法将投资者的投资和消费 行为结合起来考虑，投资者的目的是追求消费效用与最终财富的期望效用最大最早 这方面的研究要归功于s a m u e l s o n 与f a m a , 他们分别在1 9 6 9 年和1 9 7 0 年研究了离散 时间的投资消费问题随后，m e r t o n 对连续时间情形作了大量的研究 1 2 - 1 4 】m e r t o n 应 用随机动态规划原理来研究，提出了类似资本资产定价理论中的分离定理，并证明了 投资消费模型有解析解的充分必要条件是：效用函数为h a r a ( 双曲线绝对风险厌恶) 函数m e r t o n 一系列的工作为后续进一步的研究奠定了基础，所以习惯于把连续时间 的投资消费问题称为m e r t o n 问题 根据投资者的目的的不同，将金融学中的最优投资消费问题分为三大类： 第一类是投资者最大化他的期望效用终端资产也就是说，投资者投资现金于金 融市场中，目的是使得最终他的总资产额达到最大相应的最优问题为： k = s u pe u i ( z ( t ) ) 】( 1 1 ) 其中一4 表示所有可容许策略的集合也就是说。投资者不是随意取值使得问题最大 化，而是在模型的一些限制的范围内( ) 表示效用函数，z ( r ) 表示在到期时间7 时 的总资产数k 表示最优问题的值函数 第二类问题则是最大化投资者的期望消费效用，也就是说，寻找最优消费策略目 的是在一定的时间段上投资者的期望消费效用达到最大相应的最优问题为： 一 = s u pe 【u 2 ( c ( t ) ) d t 】( 1 - 2 ) c ( 0 2 0 叫 其中“，( ) 表示效用函数，c ( f ) 表示投资者的消费比例且满足c ( f ) 0 第三个问题则是投资者既要考虑期望效用终端资产额，还要考虑它的期望消费 效用问题，相应的最优问题是： 一 巧= s u pe u l ( z ( r ) ) + 【u 2 ( c ( f ) ) 刎( 1 - 3 ) c ( f ) 卸 w 对模型( 1 3 ) 的求解，根据m e r t o n 的结论，如果效用函数取h a r a 函数，可以根据 随机动态规划原理将问题转化为求解一个i - i j b 方程如果，“，为一般效用函数， 求解h j b 方程就会非常困难，一般只能通过数值方法来实现【l5 1 1 9 8 3 年l c h o c z k y , s e t h i 与s h r e r e 16 1 ，1 9 8 6 年k a r a t z a s ，l e h o c z k y s e t h i 与s h r e r e 1 - q ，1 9 8 9 年c o x 与h a n g 1 8 】 应用鞅方法求解模型得到一般效用函数下最优投资消费策略的解析表达 第1 章绪论 运用效用函数方法研究投资问题的优点是：一方面可以考虑跟实际更为接近的 复杂市场，另一方面可使用的数学工具非常广泛因此，关于投资消费问题的研究很 多：h e 与p a g e s l l 9 1 ，k 0 0 1 2 0 倒，v i c e i r a t 驯研究了有外来收入流的情形；e a s t h a m h a s t i n g s 2 4 ，z a r i p h o p o u l o u 拥，k s e n d a l 与s u l e m l 2 6 1 ，a k i a n 与s u l e m t 2 7 1 ，s o n e r 与x u 【2 8 i ， s h r e r e 与s o n e r l 2 9 研究了有交易费的情形c a t h i 与s e t h i 3 们，s e t h i 3 ”研究了考虑破产 的情形，c u o c o 与l i u 3 2 i ，c r o s s m a n 与l o r o q u e ”1 研究了消费品为可存品的情形 h a u s o n 与w e s t m a n 3 4 ，b a r d h a n 与c h a o 3 5 1 ，j e a n b l a n c e p i c q u e 与p o n t i e r 3 6 1 ，f r a m s t a d 、 o k s e n d a l 与s u l e r n 翊，g o l l 与k a l l s e n 3 8 】研究了风险资产价格过程为半鞅的情形； b a r d h a n 3 钟，b r o w n e d 0 1 ，z a r i p h o p o u l o u 4 l 研究了不允许卖空或者不允许财富为零等有 限制的情形；g 咛n n o t e 【”，m i a o 4 3 ，p e t e r 【删研究了市场信息不完全的情形；刘海龙与吴 冲锋【4 5 1 研究了随机方差的情形等 1 2 选题依据 近年来，许多学者在标的资产的价格满足由布朗运动所驱动的随机微分方程 豳( f ) = p s ( t ) d t + a s ( t ) d b ( f )( 1 - 4 ) 研究最优资产组合问题和最优投资消费问题利用随机积分或者是鞅方法来求解，对 于幂函数形式的效用函数情形，显式解一般没有完全得到；对于对数形式的效用函数 有些显式解已得到，如文 1 5 ，1 8 ，3 1 ，3 2 ，3 4 1 但是，由于布朗运动的性质导致标的资产的价格也满足此类性质，如未来某时刻 的标的资产价格只与现在的价格有关，与过去的价格无关，这就与人们的直觉不一致， 并与统计数据的厚尾性矛盾所以，一些学者发现用分数布朗运动代替布朗运动，使 之更符合实际用分数布朗运动而非其它随机过程的原因有以下几点： 1 ) 分数布朗运动既不是半鞅，也不是马氏过程，它能够用来描述半鞅、随机过程 和马氏过程所不能描述的现象： 2 ) 标准布朗运动是分数布朗运动的特殊情形，它是h u r s t 参数为 的分数布朗运 动： 3 ) 分数布朗运动具有长程关联性，这与人们对金融市场的直观感觉一致，即未 来某时刻股票的价格不仅与其现有的价格有关，还与过去相当一段时间的价格有关 本文就是考虑标的资产的价格遵循由分数布朗运动所驱动的随机微分方程情形 下，研究最优投资组合、最优消费资产组合以及最优增长率问题 1 3 本文研究内容 本文在假定标的资产价格遵循由分数布朗运动驱动的随机微分方程情形下对最 有投资消费问题及最优增长率进行了较系统的研究全文分为七章 第一章绪论，主要介绍了最优投资消费理论的历史及研究现状，本文选题依据， 第】章绪论 以及本文研究的主要内容 第二章，我们首先介绍了分数布朗运动的概念、性质以及关于分数布朗运动的随 机积分理论的基本结果其次，介绍了拟一条件期望的定义以及分数布朗运动函数的 拟一条件期望的计算公式 第三章在分数布朗运动环境下，对单资产单噪声情形下最优投资组合问题以及 最优消费资产组合问题进行了较系统的研究假定标的资产价格满足由分数布朗运 动驱动的常系数随机微分方程，利用分数布朗运动的随机分析理论方法，在给定效用 函数为对数效用函数条件下，得到了最优投资组合问题以及最优消费资产组合问题 的显式解 第四章在分数布朗运动环境下，研究了单资产多噪声情形下最优投资组合问题 假定标的资产价格遵循多维分数布朗运动驱动的常系数随机微分方程，在给定效用 函数分别为幂函数、对数效用函数条件下，得到了最优投资组合问题的显式解 第五章在分数布朗运动环境下，讨论了单资产多噪声情形下最优消费资产组合 问题假定标的资产价格遵循多维分数布朗运动驱动的常系数随机微分方程，在给定 效用函数分别为幂函数和对数函数条件下，得到了最优资产组合问题的显式解 第六章研究了分数布朗运动环境下的最优增长率问题假定标的资产价格满足 由分数布朗运动驱动的常系数随机微分方程，分别讨论了在单资产单噪声情形下最 优增长率问题以及单资产多噪声情形下的最优增长率问题 第七章为结束语，总结了本文所研究的主要结果，并提出还需进一步研究的一些 问题 第2 章分数布朗运动及其随机积分 2分数布朗运动及其随机积分 2 1 分数布朗运动的定义及性质 定义2 1 1 【删设( q ，p ) 为一概率空间，h ( o ，1 ) 为一常数具有h u r s t 参数h 的分数布朗运动是一g a u s s i a n 过程( 占0 ( ，) ) + = ( f ，叻；f 肜；脚q ) ，且满足 ( 1 ) ( 0 ) = 研( f ) 】= o ，对所有r r + ； ( 2 ) e b n ( t ) b n ( s ) = 日f 1 2 “+ i sr ”一i t s 1 2 ” ；j ，t r + 这里e 表示关于概率测度p 的期望，其中足+ = s ：j 0 ) 如果h = ，则( f ) 为标准布朗运动，用b ( ，) 表示 如果h ，则( r ) 是持久的( p e r s i s t e m ) 或有长程关联性( 1 0 n gr a n gd e p e n d e n c e ) ， 即，( 玎) = e ( 1 ) 【伽+ 1 ) 一巩( 疗) 】) o ，对所有”= l 2 ，且y ：2 1r 卜m 如果日 ，则( d 是反持久的( 纽t i p e r s i s t e n t ) ，即，( 叻 o ， b n ( c t t ) ，。旷与位“晶( ，) ) 。矿有相同的有限维分布 2 2 分数布朗运动的随机积分 设s ( r ) 表示r 上的速减函数的s c h w a r t z 空间，q = s ( r ) 为其对偶空间，通常称 之为缓增广义函数空间，由b o c h n e r - m i n l o s 定理知，对f s ( r ) 且 j 2 = ，2 ) d s ， 存在( s ( 尺) ，) 上的概率测度p 满足： e e x p ( i ) 】= k e x p ( i ) d e = p 州( 2 - d 其中i = 厅， 表示关于6 0 e f ( r ) 的其值为 的随机变量称 ( s ( r ) ，p ) 为白噪声概率空间，称p 为白噪声概率测度 第2 章分数布朗运动及其随机积分 m ( 2 一1 1 知 研 】= o ，f s ( g ) ； 和等距性 研 2 】i i f i i ，f s ( r ) 对任意，p ( r ) = f ：0 f l l 2 m ) ，定义 为 _ l i m ，( l 2 ( p ) )( 2 - 2 ) 其中s ( r ) 收敛于， 对示性函数 1 10 s j t i ( 0 ，r ) = 一1 ，s 0 ， 【0 其它 显然，i ( o ，f ) ( j ) l 2 ( r ) ，考虑过程 b ( t ) ( c o ) = ， 对任意f ，否( f ) ( 叻是期望值为0 ，方差为t 的g a u s s i a n 随机变量令b 为否的连续形式， 则b 为标准布朗运动对f r ( r ) ，由阶梯函数的逼近知： = l 脚， ( 2 - 3 ) x f f f e s ( r ) 和0 日 1 ，定义基本算子 “为 m n 厂( z ) = 一f丐(2h+1)s。i。n詈(z。h)而2知f2f(hl 小鸣一二) c o s ( 詈( 日一扣知扣”一2 m ) 日毛 l 一 f ( 2 习h + 吲1 ) s i n ( z 唧h ) 2i r 挚，1 2 f ( h 2 叫“ 一言) c o s ( j ( j 7 一亏) ) l ，一z i ；一”“ 2 1 且定义 上备( r ) = ( 厂：m 。厂( x ) r ( r ) ) 记m h ( 0 ，) o ) = m 月i ( o ，t x x ) ，并对h ( 0 ，1 ) 定义西( f ) ( 纠= ，则否h ( ，) 为 g a u s s i a n 随机变量，且 e 否( ，) 】= 0 ，e 【否。( f ) 百。( j ) = dr 1 2 ”+ fs 1 2 ”一i t - s i t m 6 第2 章分数布朗运动及其随机积分 记过程 否。( f ) ，t r ) 的连续形式为b h = ( f ) ，t 6 - r ) ，则在概率测度p 下，过程是 h u r s t 参数为h 的分数布朗运动 若日( 月) ，由( 2 2 ) 及( 2 3 ) 知 ，( ，) 码= = = m n f ( t ) d b ( t ) 下面引进多维分数布朗运动 考虑固定的值日，4 ，0 峨 o ，k = 1 ，2 ，m ，作如 下操作： 记 m ；a , m h l + + o m m h - 和过程 b m # o i b h , + _ + o m b h - 则= ( f ) ，t 埘是否。的连续版本其中否。( f ) = = q 显然，若q = l l o - , = o ，i = 2 ，m ，则= 就是前面所述 的一维分数布朗运动对0 h ，工 = i r f d b u ( t ) ，f s ( r ) ，则对，日( r ) 有 d 罗f ( 叻= 厂， _ i ， 定义2 2 4 h 刀称f ：s 。( r ) 一r 是可微的，如果存在一个映射：r 斗( s ) 使得 ( 肘妒( f ) ) ( m ，) 在( s ) 中可积，且对所有y 乓( r ) 有 哕，( 奶= s 。( m v ( t ，铆) ( m y ) ( f ) 研成立则定义 f ( 功= y ( f ，功并称 d y , ，( 功= y ( f ，奶为f 在f 的随机梯度( 或m a l l i a v i n 导数) 定义2 2 5 h 刀设y ：月寸使得y ( ，) o ( ，) 在岱) 中可积，则称y 关于分数布朗 运动可积，且定义 i ry ( t ，a o d b u ( t ) = y ( t ) o w u ( t ) d t 为r ( t ) = y ( t ，) 关于分数稚朗运动的随机积分或j ，( f ) 的i t o 分数积分 注：当j ，= 厂乓( 胄) 为确定的函数时，此定义与( 2 - 4 ) - 致 例取q = 1 ，q = 0 ，i = 2 ，m f 毛( s ) 哦( s ) = f 毛( s ) ( s ) 出= f 。( s i d ( s ) 凼= 圭磁( ，) = 圭( r ) 一i 1i f l 2 h 8 第2 章分数布朗运动及其随机积分 为方便起见，通常将积分形式简记为对应的微分形式例如，看盯为常数，爿( o ) 为确足 的则 x o ) = x ( o ) + fp x o ) a s + fa x ( s ) d b m ( s ) ， 简记为 d r ( t ) = u x ( t ) d t + c r x ( t ) d b ( t ) 上式可变为 鱼! 皇2 ：z ( f ) + 盯j o ) 陟i ( f ) ：( + 。，阡_ ( f ) ) z o ) a t 由w i c k 计算知，此方程的解为 j ( f ) = x e x p o ( t + 口f ( 5 ) 出) = z e x p o ( a t + j ( f ) ) = x e x p ，u t e x p ( 口( f ) 一等( 们) 下面给出一维分数布朗运动的n 6 公式，微积分基本定理，分部积分公式及 o k s a n o v 定理 定理2 2 1 【4 8 】( 分数i t o 公式) 若x ( r ) 满足 x ( f ) = 工+ f “o ) d s + f v ( s ) d ( j ) ；f 0 其中“，v 为确定性函数，f ( r ) ，v 日( r ) ，设，c 2 ( r ) ，且积分f ，。( x ( s ) 姐o ) d s 和日f ，。( x ( j ) ) s 2 v 2 ( s ) 凼收敛，则 厂( x ( f ) ) = 厂( j ) + f ，( x ( s ) ) d y ( s ) + h f 厂( x o ) ) s 2 h - i v 2 0 ) d s 定理2 2 2 【4 7 】( 分数g i r s a n o v 定理)b h ( t ) 为( s ( r ) ，厂，尸) 上的分数布朗运动，对 妒r ( r ) ，定义一个新的概率测度p 满足 石d p ( ) = e x p 【 一三2 】 则在新概率测度下，过程。( f ) = ( f ) 一肘。( o ，f ) ( j ) 妒( 5 ) 凼为分数布朗运动 2 3 拟一条件期望 定义 2 3 1 m 设g 2 丢l 晶( j ) d 碍4 ( j ) ， 属于g ，则g 关于 z ”= 盯 巩，( j ) ，0 5 n 的拟一条件期望定义为 9 第2 章分数布朗运动及其随机积分 甜g 一】= 薹l 咖o f ) 碱邯) 其中l ( o ，t ) ( s ) = i ( o ，f ) ( 毛) i ( o ，t x s ) 如果 瓦 g i 巧” _ g ， 则称g 9 为巧”可测的注：置 a b m ( t ) i z ”】= ( s ) 【( ，) i 正”】 定理2 3 i 4 刀( 分数随机微积分基本定理) 设尸( x ) = 。巴，工= ( ，毛) 是多项 式，若，乓( r ) ，l f 玎，且( ) = f d b m ( c o ) = 对 x = ( 硝“，一y 。( t ) ，设f = p o ( x o ) ，则 f = e ，】+ f 营m 【掣f 1 互” d b u ( t ) 定理2 3 2 4 7 ( 分数c l a r k e - o e o n e 定理) ( 1 ) 设g 9 关于z “可测，则d ，g 9 ，对几乎所有f ，有置。【砂g l 五”】g 。， 营。【矽g l z ”】o 阡0 ( f ) 在f 种可积，且 g = e 【g 】+ f 营 ，【d r g i 五” 0 w u ( t ) d t ( 2 ) 设g 乓关于j 可测，则( f ，) 一面。 掣g l z ”】( 功属于空间审( r ) ，且 g = 研g 】+ rh 【掣g l 掣 d b u ( t ) 1 0 第3 章单资产单噪声情形下的晟优投资组合和最优消费资产组合问题 3单资产单噪声情形下最优投资组合和最 优消费资产组合问题 m e r t o n t ”】开启了连续时间投资组合理论，应用随机控制理论对投资消费问题的 最优策略进行了研究，并给出了封闭解，但其假设市场是完备的之后，一些学者假 设资产的价格服从几何布朗运动在连续时间模型下，研